山东省泰安市岱岳区2018-2019年最新中考数学二模试卷(含答案)
2019届山东省泰安市岱岳区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）
1．计算﹣的结果是（）
A．6的倒数B．6的相反数C．﹣6的绝对值D．﹣6的倒数
2．某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm用科学记数法表示为6.7×10nmm（n为负整数），
则n的值为（）
A．﹣5B．﹣6C．﹣7D．﹣8
3．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（）
A．2a+3b=5abB．﹣=C．（a+b）2=a2+b2D．a6÷a3=a
2
5．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，如果∠1=α度，∠2=β度，
则（）
A．α+β=150B．α+β=90C．α+β=60D．β﹣α=30
6．化简分式：（1﹣）÷的结果为（）
A．B．C．D．
7．如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（）
2019年山东省泰安市中考数学试卷（答案解析版）
2019年山东省泰安市中考数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.在实数|-3.14|，-3，-，π中，最小的数是（）A. B. C. D. 2.下列运算正确的是（）A. B. C. D. 3.2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A. 米B. 米C. 米D. 米4.下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A. B. C. D. 5.如图，直线11∥12，∠1=30°，则∠2+∠3=（）A. B. C. D. 6.某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A. 众数是8B. 中位数是8C. 平均数是D. 方差是7.不等式组，＞的解集是（）A. B. C. D. 8.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A第1页，共24页港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为（两港之间的距离为（ ）km ． A. B. C. D. 9. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠A =119°，过点C 的圆的切线交BO 于点P ，则∠P 的度数为（的度数为（ ）A. B. C. D. 10. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（的概率为（ ）A. B. C. D. 11. 如图，将⊙O 沿弦AB 折叠， 恰好经过圆心O ，若⊙O 的半径为3，则 的长为（的长为（ ）A. B. C. D. 12. 如图，矩形ABCD 中，AB =4，AD =2，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF中点，连接PB ，则PB 的最小值是（的最小值是（ ）A. 2B. 4C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分） 13. 已知关于x 的一元二次方程x 2-（2k -1）x +k 2+3=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是______．14. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同）白银重量相同），，称重两袋相等，称重两袋相等，两袋互相交换两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为______．15. 如图，∠AOB =90°，∠B =30°，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A 、点C ，交OB 于点D ，若OA =3，则阴影都分的面积为______．16.若二次函数y=x2+bx-5的对称轴为直线x=2，则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的解为______．17.在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n 个正方形对角线长的和是______．18.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.先化简，再求值：（a-9+ ）÷（a-1- ），其中a=．20.为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：分），绘制了如下的统计图表（不完整）：组别分数人数第1组90＜x≤1008第2组80＜x≤90a第3组70＜x≤8010第4组60＜x ≤70 b第5组50＜x ≤60 3 请根据以上信息，解答下列问题：请根据以上信息，解答下列问题： （1）求出a ，b 的值；的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？分的共有多少人？21.21. 已知一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =的图象交于点A ，与x 轴交于点B （5，0），若OB =AB ，且S △OAB = ． （1）求反比例函数与一次函数的表达式；）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P 为x 轴上一点，△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．的坐标．22.22. 端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A 、B 两种粽子1100个，购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同．已知A 种粽子的单价是B 种粽子单价的1.2倍．倍．（1）求A 、B 两种粽子的单价各是多少？两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A 、B 两种粽子共2600个，已知A 、B 两种粽子的进价不变．求A 种粽子最多能购进多少个？种粽子最多能购进多少个？ 23.23. 在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，点P 是边AD 上一点．上一点．（1）若BP 平分∠ABD ，交AE 于点G ，PF ⊥BD 于点F ，如图 ，证明四边形AGFP是菱形；是菱形；（2）若PE ⊥EC ，如图 ，求证：AE •AB =DE •AP ；（3）在（2）的条件下，若AB =1，BC =2，求AP 的长．的长．24.24. 若二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A （3，0）、B （0，-2），且过点C （2，-2）．）．（1）求二次函数表达式；）求二次函数表达式；（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且S △PBA =4，求点P 的坐标；的坐标；（3）在抛物线上（AB 下方）是否存在点M ，使∠ABO =∠ABM ？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由．轴的距离；若不存在，请说明理由．25.25. 如图，四边形ABCD 是正方形，△EFC 是等腰直角三角形，点E 在AB 上，且∠CEF =90°，FG ⊥AD ，垂足为点C ． （1）试判断AG 与FG 是否相等？并给出证明；是否相等？并给出证明；（2）若点H 为CF 的中点，GH 与DH 垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．给出证明；若不垂直，说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵||=＜|-3|=3 ∴-＜（-3）C 、D 项为正数，A 、B 项为负数， 正数大于负数， 故选：B ．根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小． 此题主要考查利用绝对值来比较实数的大小，此题要掌握性质”两负数比较大小，绝对值大的反尔小，正数大于负数，负数的绝对值为正数“． 2.【答案】A【解析】解：A 、a 6÷a 3=a 3，故此选项正确；B 、a 4•a 2=a 6，故此选项错误； C 、（2a 2）3=8a 6，故此选项错误； D 、a 2+a 2=2a 2，故此选项错误； 故选：A ．直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3.【答案】B【解析】解：42万公里=420000000m 用科学记数法表示为：4.2×4.2×10108米， 故选：B ．科学记数法的表示形式为a×a×1010n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×a×1010n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 4.【答案】A【解析】解：①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确； ②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确； ③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误； ④不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：A ．根据轴对称图形的概念分别确定出对称轴的条数，从而得解．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5.【答案】C【解析】解：过点E 作EF ∥11，∵11∥12，EF ∥11， ∴EF ∥11∥12，∴∠1=∠AEF=30°，∠FEC+∠3=180°， ∴∠2+∠3=∠AEF+∠FEC+∠3=30°3=30°+180°+180°+180°=210°=210°， 故选：C ．过点E 作EF ∥11，利用平行线的性质解答即可．此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答． 6.【答案】D【解析】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A 选项正确； 10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是（8+8）=8，故B 选项正确； 平均数为（6+7×6+7×2+8×2+8×2+8×3+9×3+9×3+9×2+10×2+10×2+10×22）=8.2，故C 选项正确； 方差为[（6-8.2）2+（7-8.2）2+（7-8.2）2+（8-8.2）2+（8-8.2）2+（8-8.2）2+（9-8.2）2+（9-8.2）2+（10-8.2）2+（10-8.2）2]=1.56，故D 选项错误； 故选：D ．根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．7.【答案】D【解析】解：，由①得，x≥x≥-2-2， 由②得，x ＜2，所以不等式组的解集是-2≤x ＜2． 故选：D ．先求出两个不等式的解集，再求其公共解．本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 8.【答案】B【解析】解：根据题意得，∠CAB=65°CAB=65°-20°-20°，∠ACB=40°ACB=40°+20°+20°+20°=60°=60°，AB=30，过B 作BE ⊥AC 于E ，∴∠AEB=∠CEB=90°，在Rt △ABE 中，∵∠ABE=45°，AB=30，∴AE=BE=AB=30km ， 在Rt △CBE 中，∵∠ACB=60°， ∴CE=BE=10km ，∴AC=AE+CE=30+10，∴A ，C 两港之间的距离为（30+10）km ，故选：B ．根据题意得，∠CAB=65°CAB=65°-20°-20°，∠ACB=40°ACB=40°+20°+20°+20°=60°=60°，AB=30，过B 作BE ⊥AC 于E ，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单． 9.【答案】A【解析】解：如图所示：连接OC 、CD ， ∵PC 是⊙O 的切线，∴PC ⊥OC ， ∴∠OCP=90°， ∵∠A=119°， ∴∠ODC=180°ODC=180°--∠A=61°， ∵OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC=61°， ∴∠DOC=180°DOC=180°-2×-2×-2×61°61°61°=58°=58°， ∴∠P=90°P=90°--∠DOC=32°； 故选：A ．连接OC 、CD ，由切线的性质得出∠OCP=90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC=180°ODC=180°--∠A=61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD=∠ODC=61°，求出∠DOC=58°，由直角三角形的性质即可得出结果．本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键． 10.【答案】C【解析】图如图所示：∵共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为=；故选：C．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．11.【答案】C【解析】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC=OA，∴∠OAC=30°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAC=30°，∴∠AOB=120°，∴的长==2π，故选：C．连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC=OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．12.【答案】D【解析】当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=CE 当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP 由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P=CF ∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值∵矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1=2 ∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°∴∠DP2P1=90°∴∠DP1P2=45°∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1=BC=2 ∴BP1=2∴PB的最小值是2故选：D．根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．13.【答案】k＜【解析】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k-1）2-4（k2+3）=-4k+1-12＞0，解得k；故答案为：k．根据方程有两个不相等的实数根可得△=（2k-1）2-4（k2+3）＞，求出k的取值范围；本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．14.【答案】 【解析】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故答案为：．根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．15.【答案】π【解析】解：连接OC，作CH⊥OB于H，∵∠AOB=90°，∠B=30°，∴∠OAB=60°，AB=2OA=6，由勾股定理得，OB==3，∵OA=OC，∠OAB=60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC=60°，COB=30°，∴CO=CB，CH=OC=，∴阴影都分的面积=-×3×3×3×3×+×3×-=π，故答案为：π．连接OC，作CH⊥OB于H，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BD，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC=60°，∠COB=30°，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．16.【答案】x1=2，x2=4 【解析】解：∵二次函数y=x 2+bx-5的对称轴为直线x=2，∴，得b=-4，则x 2+bx-5=2x-13可化为：x2-4x-5=2x-13，解得，x1=2，x2=4．故意答案为：x1=2，x2=4．根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得b的值是解题的关键．17.【答案】（2n-1）【解析】解：由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，∴OA1=1，C1A2=2，C2A3=4，C3A4=8，……，∴前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n-1A n）=（1+2+4+8+…+2n-1），设S=1+2+4+8+…+2n-1，则2S=2+4+8+…+2n-1+2n，则2S-S=2n-1，∴S=2n-1，∴1+2+4+8+…+2n-1=2n-1，∴前n个正方形对角线长的和是：×（2n-1），故答案为：（2n-1），根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前n 个正方形对角线长的和，本题得以解决．本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18.【答案】2 【解析】解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，BC=AD=12，DC=AB=3，∵E为AD中点，∴AE=DE=AD=6 由翻折知，△AEF ≌△GEF ，∴AE=GE=6，∠AEF=∠GEF ，∠EGF=∠EAF=90°EAF=90°==∠D ，∴GE=DE ，∴EC 平分∠DCG ，∴∠DCE=∠GCE ，∵∠GEC=90°GEC=90°--∠GCE ，∠DEC=90°DEC=90°--∠DCE ， ∴∠GEC=∠DEC ，∴∠FEC=∠FEG+∠GEC=×180°180°=90°=90°，∴∠FEC=∠D=90°，又∵∠DCE=∠GCE ，∴△FEC ∽△EDC ，∴， ∵EC===3， ∴， ∴FE=2，故答案为：2． 连接EC ，利用矩形的性质，求出EG ，DE 的长度，证明EC 平分∠DCF ，再证∠FEC=90°，最后证△FEC ∽△EDC ，利用相似的性质即可求出EF 的长度． 本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE ，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．19.【答案】解：原式=（ + ）÷（ - ）= ÷ = • = ，当a = 时，时，原式= =1-2 ．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的运算能力．20.【答案】解：（1）抽取学生人数10÷10÷25%=4025%=40（人），（人）， 第2组人数 40×40×50%-8=1250%-8=12（人），（人），第4组人数 40×40×50%-10-3=750%-10-3=7（人），（人），∴a =12，b =7；（2） =27°，∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×1800×50%=90050%=900（人），（人），∴成绩高于80分的共有900人．人．【解析】（1）抽取学生人数10÷10÷25%=4025%=40（人），第2组人数 40×40×50%-8=1250%-8=12（人），第4组人数 40×40×50%-10-3=750%-10-3=7（人），所以a=12，b=7； （2）=27°，所以“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×1800×50%=90050%=900（人），所以成绩高于80分的共有900人． 本题考查了统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键． 21.【答案】解：（1）如图1，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，∵B （5，0），），∴OB =5，∵S △OAB = ，∴ ×5×AD = ， ∴AD =3，∵OB =AB ，∴AB =5，在Rt △ADB 中，BD = =4，∴OD =OB +BD =9，∴A （9，3），）， 将点A 坐标代入反比例函数y = 中得，m =9×=9×3=273=27， ∴反比例函数的解析式为y = ，将点A （9，3），B （5，0）代入直线y =kx +b 中，中， ， ∴ ，∴直线AB 的解析式为y = x - ；（2）由（1）知，AB =5，∵△ABP 是等腰三角形，是等腰三角形，∴ 当AB =PB 时，时，∴PB =5，∴P （0，0）或（10，0），），当AB =AP 时，如图2，由（1）知，BD =4，易知，点P 与点B 关于AD 对称，对称，∴DP =BD =4，∴OP =5+4+4=13，∴P （13，0），），当PB =AP 时，设P （a ，0），），∵A （9，3），B （5，0），），∴AP 2=（9-a ）2+9，BP 2=（5-a ）2， ∴（9-a ）2+9=（5-a ）2 ∴a = ，∴P （ ，0），），即：满足条件的点P 的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（ ，0）．）．【解析】（1）先求出OB ，进而求出AD ，得出点A 坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）分三种情况，①当AB=PB 时，得出PB=5，即可得出结论；②当AB=AP 时，利用点P 与点B 关于AD 对称，得出DP=BD=4，即可得出结论；③当PB=AP 时，先表示出AP 2=（9-a ）2+9，BP 2=（5-a ）2，进而建立方程求解即可得出结论．此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．22.【答案】解：（1）设B 种粽子单价为x 元/个，则A 种粽子单价为1.2x 元/个，个，根据题意，得： + =1100，解得：x =2.5，经检验，x =2.5是原方程的解，且符合题意，是原方程的解，且符合题意，∴1.2x =3．答：A 种粽子单价为3元/个，B 种粽子单价为2.5元/个．个．（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600-m）个，）个，依题意，得：3m+2.5（2600-m）≤7000，解得：m≤1000．答：A种粽子最多能购进1000个．个．【解析】（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量=总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600-m）个，根据总价=单价×数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23.【答案】（1）证明：如图 中，∵四边形ABCD是矩形，是矩形，∴∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AED=90°，∴∠BAE+∠EAD=90°，∠EAD+∠ADE=90°，∴∠BAE=∠ADE，∵∠AGP=∠BAG+∠ABG，∠APD=∠ADE+∠PBD，∠ABG=∠PBD，∴∠AGP=∠APG，∴AP=AG，∵PA⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，∴PA=PF，∴PF=AG，∵AE⊥BD，PF⊥BD，∴PF∥AG，∴四边形AGFP是平行四边形，是平行四边形，∵PA=PF，∴四边形AGFP是菱形．是菱形．（2）证明：如图 中，∵AE⊥BD，PE⊥EC，∴∠AED=∠PEC=90°，∴∠AEP=∠DEC，∵∠EAD+∠ADE=90°，∠ADE+∠CDE=90°，∴∠EAP=∠EDC，∴△AEP∽△DEC，∴ = ，∵AB=CD，∴AE•AB=DE•AP；（3）解：∵四边形ABCD是矩形，是矩形， ∴BC=AD=2，∠BAD=90°，∴BD= =，∵AE⊥BD，∴S△ABD=•BD•AE=•AB•AD，∴AE=，∴DE= =，∵AE•AB=DE•AP；∴AP= =．【解析】（1）想办法证明AG=PF，AG∥PF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明PA=PF即可解决问题．（2）证明△AEP∽△DEC，可得=，由此即可解决问题．（3）利用（2）中结论．求出DE，AE即可．本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】解：（1）∵二次函数的图象经过点A （3，0）、B （0，-2）、C （2，-2）∴ 解得：解得：解得：∴二次函数表达式为y = x 2- x -2 （2）如图1，设直线BP 交x 轴于点C ，过点P 作PD ⊥x 轴于点D设P （t ， t 2- t -2）（t ＞3）∴OD =t ，PD = t 2- t -2 设直线BP 解析式为y =kx -2 把点P 代入得：kt -2=t 2- t -2 ∴k = t -∴直线BP ：y =（ t - ）x -2 当y =0时，（ t - ）x -2=0，解得：x = ∴C （ ，0）∵t ＞3 ∴t -2＞1 ∴ ＜ ，即点C 一定在点A 左侧左侧∴AC =3- ∵S △PBA =S △ABC +S △ACP = AC •OB + AC •PD =AC （OB +PD ）=4 ∴ =4 解得：t 1=4，t 2=-1（舍去）（舍去）∴ t 2- t -2= ∴点P 的坐标为（4， ）（3）在抛物线上（AB 下方）存在点M ，使∠ABO =∠ABM ．如图2，作点O 关于直线AB 的对称点E ，连接OE 交AB 于点G ，连接BE 交抛物线于点M ，过点E 作EF ⊥y 轴于点F∴AB 垂直平分OE∴BE =OB ，OG =GE∴∠ABO =∠ABM∵A （3，0）、B （0，-2），∠AOB =90°∴OA =3，OB =2，AB = ∴sin ∠OAB = ，cos ∠OAB = ∵S △AOB = OA •OB = AB •OG∴OG = ∴OE =2OG = ∵∠OAB +∠AOG =∠AOG +∠BOG =90°∴∠OAB =∠BOG∴Rt △OEF 中，sin ∠BOG = ，cos ∠BOG = ∴EF = OE = ，OF = OE = ∴E （ ，- ）设直线BE 解析式为y =ex -2 把点E 代入得： e -2=- ，解得：e =-∴直线BE ：y =- x -2 当- x -2= x 2- x -2，解得：x 1=0（舍去），x 2= ∴点M 横坐标为 ，即点M 到y 轴的距离为 ．【解析】（1）用A 、B 、C 三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．（2）设点P 横坐标为t ，用t 代入二次函数表达式得其纵坐标．把t 当常数求直线BP 解析式，进而求直线BP 与x 轴交点C 坐标（用t 表示），即能用t 表示AC 的长．把△PBA 以x 轴为界分成△ABC 与△ACP ，即得到S △PBA =AC （OB+PD ）=4，用含t 的式子代入即得到关于t 的方程，解之即求得点P 坐标． （3）作点O 关于直线AB 的对称点E ，根据轴对称性质即有AB 垂直平分OE ，连接BE 交抛物线于点M ，即有BE=OB ，根据等腰三角形三线合一得∠ABO=∠ABM ，即在抛物线上（AB 下方）存在点M 使∠ABO=∠ABM ．设AB与OE交于点G，则G为OE中点且OG⊥AB，利用△OAB面积即求得OG进而得OE的长．易求得∠OAB=∠BOG，求∠OAB的正弦和余弦值，应用到Rt△OEF即求得OF、EF的长，即得到点E坐标．求直线BE解析式，把BE解析式与抛物线解析式联立，求得x的解一个为点B横坐标，另一个即为点M 横坐标，即求出点M到y轴的距离．本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，等腰三角形性质，三角函数的应用．第（3）题点的存在性问题，可先通过画图确定满足∠ABO=∠ABM的点M位置，通过相似三角形对应边成比例或三角函数为等量关系求线段的长．25.【答案】解：（1）AG=FG，理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M∵四边形ABCD是正方形是正方形∴AB=BC，∠B=90°=90°==∠BAD∵FM⊥AB，∠MAD=90°，FG⊥AD∴四边形AGFM是矩形是矩形∴AG=MF，AM=FG，∵∠CEF=90°，∴∠FEM+∠BEC=90°，∠BEC+∠BCE=90°∴∠FEM=∠BCE，且∠M=∠B=90°，EF=EC∴△EFM≌△CEB（AAS）∴BE=MF，ME=BC∴ME=AB=BC∴BE=MA=MF∴AG=FG，（2）DH⊥HG理由如下：如图，延长GH交CD于点N，∵FG⊥AD，CD⊥AD ∴FG∥CD∴ ，且CH=FH，∴GH=HN，NC=FG∴AG=FG=NC又∵AD=CD，∴GD=DN，且GH=HN∴DH⊥GH【解析】（1）过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，可证四边形AGFM是矩形，可得AG=MF，AM=FG，由“AAS”可证△EFM≌△CEB，可得BE=MF，ME=BC=AB，可得BE=MA=MF=AG=FG；（2）延长GH交CD于点N，由平行线分线段成比例可得，且CH=FH，可得GH=HN，NC=FG，即可求DG=DN，由等腰三角形的性质可得DH⊥HG．本题考查了正方形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△EFM≌△CEB是本题的关键．。
【中考真题】2019年山东省泰安市中考数学真题试卷(附答案)
【解析】
【分析】
根据实数的比较大小的规则比较即可.
【详解】
解： ；
因此根据题意可得-3是最小的
故选B.
【点睛】
本题主要考查实数的比较大小，关键在于绝对值符号的去掉，根据负数绝对值越大，反而越小.
2．A
【解析】
【分析】
根据整式的运算法则逐个计算即可.
【详解】
A正确，
B错误，
C错误，
D错误，
故选A.
一共有25种结果，其中15种结果是大于5的
因此可得摸出的小球标号之和大于5的概率为
故选C.
【点睛】
本题主要考查概率的计算的树状图，关键在于画树状图，根据树状图计算即可.
11．C
【解析】
【分析】
根据题意作 ,垂足为C，根据题意可得OC= ，因此可得 ,所以可得圆心角 ,进而计算的 的长.
【详解】
根据题意作 ,垂足为C
【详解】
解：原式
当 时，原式
【点睛】
本题主要考查分式的化简，根据化简的分式求值，这是中考的必考题，应当熟练掌握.
20．（l） ， ；（2） ；（3）成绩高于80分的共有900人
【解析】
【分析】
（1）根据第三组的学生人数除以所占的百分比，计算出总人数，再利用第二组所占的百分比乘以总人数，可计算的a的值，进而计算b的值.
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2019年山东省泰安市中考数学真题试卷（附答案)
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
一、单选题
1．在实数 ， ， ， 中，最小的数是（）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（）
2019年山东省泰安市中考数学试卷
2019泰安数学学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.（2019•泰安）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米2.（2019•泰安）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3 C．|﹣3.14| D．π3.（2019•泰安）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a44.（2019•泰安）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④5.（2019•泰安）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8 B．中位数是8C．平均数是8.2 D．方差是1.26.（2019•泰安）不等式组的解集是（）A．x≤2 B．x≥﹣2 C．﹣2＜x≤2 D．﹣2≤x＜27.（2019•泰安）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．308.（2019•泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°9.（2019•泰安）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．10.（2019•泰安）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°11.（2019•泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．12.（2019•泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π二、填空题（共6小题）13.（2019•泰安）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．14.（2019•泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．15.（2019•泰安）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为．16.（2019•泰安）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为．17.（2019•泰安）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是﹣．18.（2019•泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．三、解答题（共7小题）19.（2019•泰安）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．20.（2019•泰安）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：组别分数人数第1组90＜x≤1008第2组80＜x≤90a第3组70＜x≤8010第4组60＜x≤70b第5组50＜x≤603请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？21.（2019•泰安）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．22.（2019•泰安）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B 种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？23.（2019•泰安）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．24.（2019•泰安）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．25.（2019•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．2019泰安数学参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：42万公里＝420000000m用科学记数法表示为：4.2×108米，故选：B．【知识点】科学记数法—表示较大的数2.【分析】根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小．【解答】解：∵||＝＜|﹣3|＝3∴﹣＜（﹣3）C、D项为正数，A、B项为负数，正数大于负数，故选：B．【知识点】实数大小比较、算术平方根3.【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故此选项正确；B、a4•a2＝a6，故此选项错误；C、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；D、a2+a2＝2a2，故此选项错误；故选：A．【知识点】合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法4.【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出对称轴的条数，从而得解．【解答】解：①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；④不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【知识点】轴对称图形5.【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．【解答】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是（8+8）＝8，故B选项正确；平均数为（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，故C选项正确；方差为[（6﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.56，故D选项错误；故选：D．【知识点】折线统计图、算术平均数、方差、中位数、众数6.【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，由①得，x≥﹣2，由②得，x＜2，所以不等式组的解集是﹣2≤x＜2．故选：D．【知识点】解一元一次不等式组7.【分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE＝AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题8.【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．【解答】解：如图所示：连接OC、CD，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；故选：A．【知识点】切线的性质9.【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图如图所示：∵共有10种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有6种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为＝；故选：C．【知识点】列表法与树状图法10.【分析】过点E作EF∥11，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：过点E作EF∥11，∴EF∥11∥12，∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°，故选：C．【知识点】平行线的性质11.【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°∴∠DP2P1＝90°∴∠DP1P2＝45°∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2∴BP1＝2∴PB的最小值是2故选：D．【知识点】矩形的性质、轨迹、垂线段最短12.【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．【解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．【知识点】垂径定理、弧长的计算、翻折变换（折叠问题）二、填空题（共6小题）13.【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＞0，求出k的取值范围；【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，解得k；故答案为：k．【知识点】根的判别式14.【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故答案为：．【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组15.【分析】连接OC，作CH⊥OB于H，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BD，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．【解答】解：连接OC，作CH⊥OB于H，∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，由勾股定理得，OB＝＝3，∵OA＝OC，∠OAB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COB＝30°，∴CO＝CB，CH＝OC＝，∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．【知识点】含30度角的直角三角形、扇形面积的计算16.【分析】根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，∴，得b＝﹣4，则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，解得，x1＝2，x2＝4．故意答案为：x1＝2，x2＝4．【知识点】二次函数的性质、抛物线与x轴的交点17.【分析】根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前n个正方形对角线长的和，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，∴前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，则2S﹣S＝2n﹣1，∴S＝2n﹣1，∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，∴前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），故答案为：（2n﹣1），【知识点】规律型：点的坐标、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征18.【分析】连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC＝90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出EF的长度．【解答】解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝2，故答案为：2．【知识点】矩形的性质、翻折变换（折叠问题）三、解答题（共7小题）19.【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝时，原式＝＝1﹣2．【知识点】分式的化简求值20.【分析】（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数40×50%﹣8＝12（人），第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7（人），所以a＝12，b＝7；（2）＝27°，所以“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），所以成绩高于80分的共有900人．【解答】解：（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数40×50%﹣8＝12（人），第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7（人），∴a＝12，b＝7；（2）＝27°，∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），∴成绩高于80分的共有900人．【知识点】频数（率）分布表、扇形统计图21.【分析】（1）先求出OB，进而求出AD，得出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）分三种情况，①当AB＝PB时，得出PB＝5，即可得出结论；②当AB＝AP时，利用点P与点B关于AD对称，得出DP＝BD＝4，即可得出结论；③当PB＝AP时，先表示出AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，进而建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB＝5，∵S△OAB＝，∴×5×AD＝，∴AD＝3，∵OB＝AB，∴AB＝5，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∴OD＝OB+BD＝9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，∴反比例函数的解析式为y＝，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣；（2）由（1）知，AB＝5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB＝PB时，∴PB＝5，∴P（0，0）或（10，0），②当AB＝AP时，如图2，由（1）知，BD＝4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP＝BD＝4，∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），③当PB＝AP时，设P（a，0），∵A（9，3），B（5，0），∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2∴a＝，∴P（，0），即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．【知识点】反比例函数综合题22.【分析】（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量＝总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：+＝1100，解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝3．答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，解得：m≤1000．答：A种粽子最多能购进1000个．【知识点】分式方程的应用、一元一次不等式的应用23.【分析】（1）想办法证明AG＝PF，AG∥PF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明P A＝PF即可解决问题．（2）证明△AEP∽△DEC，可得＝，由此即可解决问题．（3）利用（2）中结论．求出DE，AE即可．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，∴∠AGP＝∠APG，∴AP＝AG，∵P A⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，∴P A＝PF，∴PF＝AG，∵AE⊥BD，PF⊥BD，∴PF∥AG，∴四边形AGFP是平行四边形，∵P A＝PF，∴四边形AGFP是菱形．（2）证明：如图②中，∵AE⊥BD，PE⊥EC，∴∠AED＝∠PEC＝90°，∴∠AEP＝∠DEC，∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠EAP＝∠EDC，∴△AEP∽△DEC，∴＝，∵AB＝CD，∴AE•AB＝DE•AP；（3）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝＝，∵AE⊥BD，∴S△ABD＝•BD•AE＝•AB•AD，∴AE＝，∴DE＝＝，∵AE•AB＝DE•AP；∴AP＝＝．【知识点】相似形综合题24.【分析】（1）过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，可证四边形AGFM是矩形，可得AG＝MF，AM＝FG，由“AAS”可证△EFM≌△CEB，可得BE＝MF，ME＝BC＝AB，可得BE＝MA＝MF＝AG＝FG；（2）延长GH交CD于点N，由平行线分线段成比例可得，且CH＝FH，可得GH＝HN，NC＝FG，即可求DG＝DN，由等腰三角形的性质可得DH⊥HG．【解答】解：（1）AG＝FG，理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD∴四边形AGFM是矩形∴AG＝MF，AM＝FG，∵∠CEF＝90°，∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC∴△EFM≌△CEB（AAS）∴BE＝MF，ME＝BC∴ME＝AB＝BC∴BE＝MA＝MF∴AG＝FG，（2）DH⊥HG理由如下：如图，延长GH交CD于点N，∵FG⊥AD，CD⊥AD∴FG∥CD∴，且CH＝FH，∴GH＝HN，NC＝FG∴AG＝FG＝NC又∵AD＝CD，∴GD＝DN，且GH＝HN∴DH⊥GH【知识点】全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形、正方形的性质25.【分析】（1）用A、B、C三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．（2）设点P横坐标为t，用t代入二次函数表达式得其纵坐标．把t当常数求直线BP解析式，进而求直线BP与x轴交点C坐标（用t表示），即能用t表示AC的长．把△PBA以x轴为界分成△ABC与△ACP，即得到S△PBA＝AC（OB+PD）＝4，用含t的式子代入即得到关于t的方程，解之即求得点P坐标．（3）作点O关于直线AB的对称点E，根据轴对称性质即有AB垂直平分OE，连接BE交抛物线于点M，即有BE＝OB，根据等腰三角形三线合一得∠ABO＝∠ABM，即在抛物线上（AB下方）存在点M使∠ABO＝∠ABM．设AB与OE交于点G，则G为OE中点且OG⊥AB，利用△OAB面积即求得OG进而得OE的长．易求得∠OAB＝∠BOG，求∠OAB的正弦和余弦值，应用到Rt△OEF即求得OF、EF的长，即得到点E坐标．求直线BE解析式，把BE解析式与抛物线解析式联立，求得x的解一个为点B横坐标，另一个即为点M横坐标，即求出点M到y轴的距离．【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）∴解得：∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D设P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3）∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2设直线BP解析式为y＝kx﹣2把点P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2∴k＝t﹣∴直线BP：y＝（t﹣）x﹣2当y＝0时，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝∴C（，0）∵t＞3∴t﹣2＞1∴，即点C一定在点A左侧∴AC＝3﹣∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC•OB+AC•PD＝AC（OB+PD）＝4∴＝4解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）∴t2﹣t﹣2＝∴点P的坐标为（4，）（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F∴AB垂直平分OE∴BE＝OB，OG＝GE∴∠ABO＝∠ABM∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°∴OA＝3，OB＝2，AB＝∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG∴OG＝∴OE＝2OG＝∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°∴∠OAB＝∠BOG∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝∴EF＝OE＝，OF＝OE＝∴E（，﹣）设直线BE解析式为y＝ex﹣2把点E代入得：e﹣2＝﹣，解得：e＝﹣∴直线BE：y＝﹣x﹣2当﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝∴点M横坐标为，即点M到y轴的距离为．【知识点】二次函数综合题。
山东省泰安市新泰市2018-2019学年中考数学二模考试试卷及参考答案
A . 35° B . 30° C . 25° D . 55°
9. 如果关于x的分式方程
的解为负数，且关于y的不等式组
无解，则符合条件的
所有整数a的和为（ ） A . -2 B . 0 C . 1 D . 3 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx-2k和二次函数y=-kx2+2x-4（k是常数且k≠0)的图象可能是（ ）
（1） 本次共调查名学生，扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为度； （2） 补全条形统计图； （3） 选修D类数学实践活动的学生中有2名女生和2名男生表现出色，现从4人中随机抽取2人做校报设计，请用列表 或画树状图法求所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率. 21. 如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y= （m≠0）的图象交于点A、B，与y轴交于点C.过点A作A D⊥x轴于点D，AD=2，∠CAD=45°，连接CD，已知△ADC的面积等于6.
三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 7小 题 ， 满 分 78分 。 ）
19. 先化简，再求代数式 其中a=2sin60°-3tan45°.
山东省泰安市新泰市2018-2019学年中考数学二模考试试卷
第1页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………山东省泰安市新泰市2018-2019学年中考数学二模考试试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 四 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共12题)1. 在- 、- 、-|-2|、- 这四个数中，最大的数是（ ）A . -B . -C . -|-2|D . -2. 下列运算正确的是（ ）A . x 2+x 3=x 5B . (x -2)2=x 2-4C . (3x 3)2=6x 6D . x -2÷x -3=x3. 下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是（ ）A .B .C .D .4. 王老师乘公共汽车从新秦到相距60千米的莱芜办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车快20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了 小时，设公共汽车的平均速度为x 千米/时，则下面列出的方程中正确的是（ ） A .B .C .D .5. 已知关于x 的一元二次方程（2-a ）x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则整数a 的最小值是（ ）答案第2页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A . 1B . 2C . 3D . 46. 如图，Rt△ABC 中，AB=9，BC=6，△B=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A .B .C . 5D . 47. 如图，BD 为△O 的直径，点A 为弧BDC 的中点，△ABD=35°，则△DBC=（ ）A . 20°B . 35°C . 15°D . 45°8. 已知直线m△n ，将一块含30°角的直角三角板ABC ，按如图所示方式放置，其中A 、B 两点分别落在直线m 、n 上，若△1=35°，则△2的度数是（ ）A . 35°B . 30°C . 25°D . 55°第3页，总26页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………9. 如果关于x 的分式方程的解为负数，且关于y 的不等式组 无解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A . -2 B . 0 C . 1 D . 310. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx -2k 和二次函数y=-kx 2+2x -4（k 是常数且k≠0)的图象可能是（ ）A .B .C .D .11. 如图，正方形ANCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC=2，C6，H 是AF 的中点，那么CH 的长是（ ）A . 2.5B . 2C .D . 412. 如图，A （8，0）、B （0，6）分别是平面直解坐标系xOy 坐标轴上的点，经过点O 且与AB 相切的动圆与x 轴、y 轴分别相交与点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是（ ）答案第4页，总26页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A . 4B . 5C . 4.6D . 4.8第Ⅱ卷 主观题第Ⅱ卷的注释评卷人得分一、填空题（共6题)1. 把代数式3x 3-12x 2+12x 分解因式，结果是 。
中考真题：2019年山东省泰安市中考数学试题(原卷+解析)
2019年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3C．|﹣3.14|D．π2．（4分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a43．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米4．（4分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④5．（4分）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8B．中位数是8C．平均数是8.2D．方差是1.27．（4分）不等式组的解集是（）A．x≤2B．x≥﹣2C．﹣2＜x≤2D．﹣2≤x＜2 8．（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km 至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．309．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．11．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．15．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为．16．（4分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为．17．（4分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A 恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：组别分数人数第1组90＜x≤1008第2组80＜x≤90a第3组70＜x≤8010第4组60＜x≤70b第5组50＜x≤603请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P 的坐标．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．2019年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3C．|﹣3.14|D．π【分析】根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小．【解答】解：∵||＝＜|﹣3|＝3∴﹣＜（﹣3）C、D项为正数，A、B项为负数，正数大于负数，故选：B．【点评】此题主要考查利用绝对值来比较实数的大小，此题要掌握性质”两负数比较大小，绝对值大的反尔小，正数大于负数，负数的绝对值为正数“．2．（4分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a4【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故此选项正确；B、a4•a2＝a6，故此选项错误；C、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；D、a2+a2＝2a2，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：42万公里＝420000000m用科学记数法表示为：4.2×108米，故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出对称轴的条数，从而得解．【解答】解：①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；④不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（4分）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°【分析】过点E作EF∥11，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：过点E作EF∥11，∵11∥12，EF∥11，∴EF∥11∥12，∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°，故选：C．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8B．中位数是8C．平均数是8.2D．方差是1.2【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．【解答】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是（8+8）＝8，故B选项正确；平均数为（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，故C选项正确；方差为[（6﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.56，故D选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．7．（4分）不等式组的解集是（）A．x≤2B．x≥﹣2C．﹣2＜x≤2D．﹣2≤x＜2【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，由①得，x≥﹣2，由②得，x＜2，所以不等式组的解集是﹣2≤x＜2．故选：D．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．8．（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km 至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．30【分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB ＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE＝AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．9．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．【解答】解：如图所示：连接OC、CD，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；故选：A．【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图如图所示：∵共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为＝；故选：C．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．11．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．【解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB 的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°∴∠DP2P1＝90°∴∠DP1P2＝45°∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2∴BP 1＝2∴PB的最小值是2故选：D．【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是k．【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＞0，求出k的取值范围；【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，解得k；故答案为：k．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故答案为：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．15．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为π．【分析】连接OC，作CH⊥OB于H，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BD，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．【解答】解：连接OC，作CH⊥OB于H，∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，由勾股定理得，OB＝＝3，∵OA＝OC，∠OAB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COB＝30°，∴CO＝CB，CH＝OC＝，∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．【点评】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．16．（4分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为x1＝2，x2＝4．【分析】根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x ＝2，∴，得b＝﹣4，则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，解得，x1＝2，x2＝4．故意答案为：x1＝2，x2＝4．【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得b的值是解题的关键．17．（4分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是（2n﹣1）．【分析】根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前n个正方形对角线长的和，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，∴前n个正方形对角线长的和是：（OA 1+C1A2+C2A3+C3A4+...+C n﹣1A n）＝（1+2+4+8+ (2)﹣1），设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，则2S﹣S＝2n﹣1，∴S＝2n﹣1，∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，∴前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），故答案为：（2n﹣1），【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A 恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是2．【分析】连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC＝90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出EF的长度．【解答】解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝时，原式＝＝1﹣2．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的运算能力．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：组别分数人数第1组90＜x≤1008第2组80＜x≤90a第3组70＜x≤8010第4组60＜x≤70b第5组50＜x≤603请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？【分析】（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数40×50%﹣8＝12（人），第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7（人），所以a＝12，b＝7；（2）＝27°，所以“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），所以成绩高于80分的共有900人．【解答】解：（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数40×50%﹣8＝12（人），第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7（人），∴a＝12，b＝7；（2）＝27°，∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），∴成绩高于80分的共有900人．【点评】本题考查了统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y ＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P 的坐标．【分析】（1）先求出OB，进而求出AD，得出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）分三种情况，①当AB＝PB时，得出PB＝5，即可得出结论；②当AB＝AP时，利用点P与点B关于AD对称，得出DP＝BD＝4，即可得出结论；③当PB＝AP时，先表示出AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，进而建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB＝5，∵S△OAB＝，∴×5×AD＝，∴AD＝3，∵OB＝AB，∴AB＝5，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∴OD＝OB+BD＝9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，∴反比例函数的解析式为y＝，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣；（2）由（1）知，AB＝5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB＝PB时，∴PB＝5，∴P（0，0）或（10，0），②当AB＝AP时，如图2，由（1）知，BD＝4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP＝BD＝4，∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），③当PB＝AP时，设P（a，0），∵A（9，3），B（5，0），∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2∴a＝，∴P（，0），即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？【分析】（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量＝总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：+＝1100，解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝3．答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，解得：m≤1000．答：A种粽子最多能购进1000个．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．【分析】（1）想办法证明AG＝PF，AG∥PF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明P A＝PF即可解决问题．（2）证明△AEP∽△DEC，可得＝，由此即可解决问题．（3）利用（2）中结论．求出DE，AE即可．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，∴∠AGP＝∠APG，∴AP＝AG，∵P A⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，∴P A＝PF，∴PF＝AG，∵AE⊥BD，PF⊥BD，∴PF∥AG，∴四边形AGFP是平行四边形，∵P A＝PF，∴四边形AGFP是菱形．（2）证明：如图②中，∵AE⊥BD，PE⊥EC，∴∠AED＝∠PEC＝90°，∴∠AEP＝∠DEC，∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠EAP＝∠EDC，∴△AEP∽△DEC，∴＝，∵AB＝CD，∴AE•AB＝DE•AP；（3）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝＝，∵AE⊥BD，∴S△ABD＝•BD•AE＝•AB•AD，∴AE＝，∴DE＝＝，∵AE•AB＝DE•AP；∴AP＝＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用A、B、C三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．（2）设点P横坐标为t，用t代入二次函数表达式得其纵坐标．把t当常数求直线BP解析式，进而求直线BP与x 轴交点C坐标（用t表示），即能用t表示AC的长．把△PBA以x轴为界分成△ABC与△ACP，即得到S△PBA＝AC （OB+PD）＝4，用含t的式子代入即得到关于t的方程，解之即求得点P坐标．（3）作点O关于直线AB的对称点E，根据轴对称性质即有AB垂直平分OE，连接BE交抛物线于点M，即有BE ＝OB，根据等腰三角形三线合一得∠ABO＝∠ABM，即在抛物线上（AB下方）存在点M使∠ABO＝∠ABM．设AB 与OE交于点G，则G为OE中点且OG⊥AB，利用△OAB 面积即求得OG进而得OE的长．易求得∠OAB＝∠BOG，求∠OAB的正弦和余弦值，应用到Rt△OEF即求得OF、EF的长，即得到点E坐标．求直线BE解析式，把BE解析式与抛物线解析式联立，求得x的解一个为点B横坐标，另一个即为点M横坐标，即求出点M到y轴的距离．【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B （0，﹣2）、C（2，﹣2）∴解得：∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x 轴于点D设P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3）∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2设直线BP解析式为y＝kx﹣2把点P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2∴k＝t﹣∴直线BP：y＝（t﹣）x﹣2当y＝0时，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝∴C（，0）∵t＞3∴t﹣2＞1∴，即点C一定在点A左侧∴AC＝3﹣∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC•OB+AC•PD＝AC （OB+PD）＝4∴＝4解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）∴t2﹣t﹣2＝∴点P的坐标为（4，）（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB 于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F∴AB垂直平分OE∴BE＝OB，OG＝GE∴∠ABO＝∠ABM∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°∴OA＝3，OB＝2，AB＝∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG∴OG＝∴OE＝2OG＝∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°∴∠OAB＝∠BOG∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝∴EF＝OE＝，OF＝OE＝∴E（，﹣）设直线BE解析式为y＝ex﹣2把点E代入得：e﹣2＝﹣，解得：e＝﹣∴直线BE：y＝﹣x﹣2当﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝∴点M横坐标为，即点M到y轴的距离为．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，等腰三角形性质，三角函数的应用．第（3）题点的存在性问题，可先通过画图确定满足∠ABO＝∠ABM的点M位置，通过相似三角形对应边成比例或三角函数为等量关系求线段的长．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．【分析】（1）过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，可证四边形AGFM是矩形，可得AG＝MF，AM＝FG，由“AAS”可证△EFM≌△CEB，可得BE＝MF，ME＝BC＝AB，可得BE＝MA＝MF＝AG＝FG；（2）延长GH交CD于点N，由平行线分线段成比例可得，且CH＝FH，可得GH＝HN，NC＝FG，即可求DG＝DN，由等腰三角形的性质可得DH⊥HG．【解答】解：（1）AG＝FG，理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD∴四边形AGFM是矩形∴AG＝MF，AM＝FG，∵∠CEF＝90°，∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC ∴△EFM≌△CEB（AAS）∴BE＝MF，ME＝BC∴ME＝AB＝BC∴BE＝MA＝MF∴AG＝FG，（2）DH⊥HG理由如下：如图，延长GH交CD于点N，∵FG⊥AD，CD⊥AD∴FG∥CD∴，且CH＝FH，∴GH＝HN，NC＝FG∴AG＝FG＝NC又∵AD＝CD，∴GD＝DN，且GH＝HN∴DH⊥GH【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△EFM≌△CEB是本题的关键．。
2023年山东省泰安市岱岳区中考数学模试卷
2023年山东省泰安市岱岳区中考数学模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的.） 1．（4分）2-的绝对值是( )A ．2-B ．1C ．2D ．122．（4分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为( )A ．33.610⨯B ．43.610⨯C ．53.610⨯D ．43610⨯3．（4分）下列计算正确的是( )A ．842aaa÷= B ．236(2)6aa=C ．3232aaa-=D ．23(1)33a a a a -=-4．（4分）某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是( )A ．B ．C ．D ．5．（4分）如图，直线//a b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若158∠=︒，则2∠的度数为()A ．30︒B ．32︒C ．42︒D ．58︒6．（4分）从1-、2、3、6-这四个数中任取两数，分别记为m 、n ，那么点(,)m n 在函数6yx=图象上的概率是()A ．12B ．13C ．14D ．187．（4分）若数a 使关于x 的不等式组111(1)3223(1)x x x a x ⎧--⎪⎨⎪--⎩……，有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程312122y a y y++=--有整数解，则满足条件的所有a 的值之和是()A ．10-B ．12-C ．16-D ．18-8．（4分）如图，O中，弦B C 与半径O A 相交于点D ，连接A B ，O C ．若60A∠=︒，85A D C ∠=︒，则C ∠的度数是( )A ．25︒B ．27.5︒C ．30︒D ．35︒ 9．（4分）函数2(0)ya xb x a b a =+++≠的图象可能是()A ． B．C ．D ．10．（4分）已知O的直径10C Dc m=，A B 是O的弦，A BC D⊥，垂足为M ，且8A B c m=，则A C 的长为( )A．mB．mC．m或mD．m或m11．（4分）如图，在A B C D中，2C D A D=，B EA D⊥于点E ，F 为D C 的中点，连接E F 、B F ，下列结论：①2A B CA B F∠=∠；②E FB F=；③2E F BD E B CSS ∆=四边形；④3C F ED E F∠=∠，其中正确结论的个数共有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．（4分）如图，一次函数2yx=与反比例函数(0)k yk x=>的图象交于A ，B 两点，点P 在以(2,0)C -为圆心，1为半径的C上，Q 是A P 的中点，已知O Q 长的最大值为32，则k 的值为()A ．4932B ．2518C ．3225D ．98二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上） 13．（4分）关于x 的方程2(2)210mx x -++=有实数根，则偶数m 的最大值为 ．14．（4分）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x 匹大马，y 匹小马，根据题意可列方程组为 ．15．（4分）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸//E F M N，小聪在河岸M N 上点A 处用测角仪测得河对岸小树C 位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B 处，测得河对岸电线杆D 位于北偏东30︒方向，此时，其他同学测得10C D =米．请根据这些数据求出河的宽度为米．（结果保留根号）16．（4分）如图，在R t A B C ∆中，90A C B∠=︒，4A B=，2B C=，将A B C ∆绕点B 顺时针方向旋转到△A B C ''的位置，此时点A '恰好在C B 的延长线上，则图中阴影部分的面积为 （结果保留)π．17．（4分）如图，抛物线21(2)3ya x =+-与221(3)12yx =-+交于点(1,3)A ，过点A 作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论：①无论x 取何值，2y的值总是正数；②23a =；③当0x=时，216yy -=；④10A BA C +=；其中正确结论是 ．18．（4分）如图，将A B C ∆沿着过B C 的中点D 的直线折叠，使点B 落在A C 边上的1B 处，称为第一次操作，折痕D E 到AC 的距离为1h ；还原纸片后，再将B D E∆沿着过B D 的中点1D 的直线折叠，使点B 落在DE 边上的2B 处，称为第二次操作，折痕11DE 到A C 的距离记为2h ；按上述方法不断操作下去⋯，经过第n 次操作后得到折痕11n n DE --，到A C的距离记为nh ．若11h=，则nh 的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共78分，解答写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19．计算：①解不等式组：4(1)22113x x x x -+⎧⎪+⎨>-⎪⎩…；②先化简，再求值：212(1)211x xx x -÷-+++，其中1x=-．20．如图，一次函数(ykx b k=+、b 为常数，0)k≠的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B两点，且与反比例函数(n y nx =为常数，且0)n ≠的图象在第二象限交于点C．C Dx⊥轴，垂足为D ，若2312O BO A O D ===．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E ，求C D E ∆的面积； （3）直接写出不等式n k x b x+…的解集．21．2022年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的同学共有多少人？（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为多少？（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．22．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y （件)与每件的售价x （元)满足一次函数关系，部分数据如下表：（1）求出y 与x 之间的函数表达式；（不需要求自变量x 的取值范围）（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w （元)，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？23．如图，90B A D C A E ∠=∠=︒，A BA D=，A EA C=，A FC B⊥，垂足为F ．（1）求证：A B CA D E∆≅∆；（2）求F A E ∠的度数； （3）求证：2C DB F D E=+．24．如图，抛物线2ya xb x c=++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y a x b x c=++上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线O D 下方时，求P O D ∆面积的最大值．（3）直线O Q 与线段B C 相交于点E ，当O B E ∆与A B C ∆相似时，求点Q 的坐标．山东省泰安市岱岳区中考数学模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的.） 1．（4分）2-的绝对值是( )A ．2-B ．1C ．2D ．12【分析】利用数轴上表示某个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案．【解答】解：2-的绝对值为2． 故选：C ．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键． 2．（4分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成．该卫星距离地面约36000千米，将数据36000用科学记数法表示为( )A ．33.610⨯B ．43.610⨯ C ．53.610⨯D ．43610⨯【分析】科学记数法的表示形式为10na ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10…时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【解答】解：436000 3.610=⨯，故选：B ．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10na ⨯的形式，其中1||10a <…，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．（4分）下列计算正确的是( )A ．842aaa÷=B ．236(2)6aa=C ．3232aaa-= D ．23(1)33a a a a -=-【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A 、原式4a=，不符合题意；B 、原式48a =，不符合题意； C、原式不能合并，不符合题意； D、原式233a a =-，符合题意，故选：D ．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（4分）某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是()A ．B ．C ．D ．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：从正面看，故选：C ．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 5．（4分）如图，直线//a b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若158∠=︒，则2∠的度数为()A ．30︒B ．32︒C ．42︒D ．58︒【分析】先利用平行线的性质得出3∠，进而利用三角板的特征求出4∠，最后利用平行线的性质即可； 【解答】解：如图，过点A作//A B b，3158∴∠=∠=︒，3490∠+∠=︒，490332∴∠=︒-∠=︒，//a b，//A B b，//A B a∴，2432∴∠=∠=︒，故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是作出辅助线，是一道基础题目．6．（4分）从1-、2、3、6-这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点(,)m n在函数6yx=图象上的概率是()A．12B．13C．14D．18【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出6m n=，列表找出所有m n的值，根据表格中6m n=所占比例即可得出结论．【解答】解：点(,)m n在函数6yx=的图象上，6m n∴=．列表如下：m n的值为6的概率是41 123=．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表找出6m n =的概率是解题的关键．7．（4分）若数a 使关于x 的不等式组111(1)3223(1)x x x a x ⎧--⎪⎨⎪--⎩……，有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程312122y a y y++=--有整数解，则满足条件的所有a 的值之和是()A ．10-B ．12-C ．16-D ．18-【分析】根据不等式的解集，可得a 的范围，根据方程的解，可得a 的值，根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：()()111132231x x x a x ⎧--⎪⎨⎪--⎩①②……，解①得3x -…， 解②得35a x +…，不等式组的解集是335a x +-剟．仅有三个整数解，3105a +∴-<…83a ∴-<-…，312122y a y y++=-- 3122y a y --=-．102a y +∴=2y ≠， 6a ∴≠-，又102a y+=有整数解，8a ∴=-或4-，所有满足条件的整数a 的值之和是(8)(4)12-+-=-，故选：B．【点评】本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解题关键．8．（4分）如图，O中，弦B C与半径O A相交于点D，连接A B，O C．若60∠=︒，A∠的度数是()∠=︒，则CA D C85A．25︒B．27.5︒C．30︒D．35︒【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出B∠以及O D C∠度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．【解答】解：60∠=︒，A D CA∠=︒，85C D O∠=︒，B∴∠=︒-︒=︒，95856025∴∠=∠=︒，250A O C B∴∠=︒-︒-︒=︒180955035C故选：D．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠度数是解题关键．A O C9．（4分）函数2(0)=+++≠的图象可能是()y a x b x a b aA．B．C．D．【分析】根据各选项中函数的图象可以得到a、b、c的关系，从而可以判断各选项中那个函数图象可能是正确的．【解答】解：A：由图象可知，开口向下，则0a<，又因为顶点在y轴左侧，则b <，则0ab +<，而图象与y 轴交点为(0,)a b +在y 轴正半轴，与0ab +<矛盾，故此选项错误；B：由图象可知，开口向下，则0a<，又因为顶点在y 轴左侧，则0b<，则0ab +<，而图象与y 轴交点为(0,1)在y 轴正半轴，可知1a b +=与0ab +<矛盾，故此选项错误；C：由图象可知，开口向上，则0a >，顶点在y 轴右侧，则0b<，1ab +=，故此选项正确；D：由图象可知，开口向上，则0a >，顶点在y 轴右侧，则0b<，与y 轴交于正半轴，则0ab +>，而图象与x 轴的交点为(1,0)，则0ab a b +++=，即0ab +=与a b +>矛盾，故此选项错误．故选：C ．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 、c 的关系． 10．（4分）已知O的直径10C Dc m=，A B 是O的弦，A BC D⊥，垂足为M ，且8A B c m=，则A C 的长为( )A ．mB ．mC ．m或mD ．m或m【分析】先根据题意画出图形，由于点C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：连接A C ，A O ，O的直径10C Dc m=，A BC D⊥，8A Bc m=，1184()22A M AB c m ∴==⨯=，5O DO C c m==，当C 点位置如图1所示时，5O A c m=，4A Mc m=，C DA B⊥，3()O M c m ∴===，538()C M O C O M cm ∴=+=+=，)A C c m ∴===；当C 点位置如图2所示时，同理可得3O Mc m=，5O C c m=，532()M C cm ∴=-=，在R t A M C ∆中，)A C c m ===．故选：C ．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 11．（4分）如图，在A B C D中，2C DA D=，B EA D⊥于点E ，F 为D C 的中点，连接E F 、B F ，下列结论：①2A B C A B F∠=∠；②E FB F=；③2E F BD E B CSS ∆=四边形；④3C F ED E F∠=∠，其中正确结论的个数共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】如图延长E F 交B C 的延长线于G ，取A B 的中点H 连接F H ．想办法证明E FF G=，B EB G⊥，四边形B C F H 是菱形即可解决问题；【解答】解：如图延长E F 交B C 的延长线于G ，取A B 的中点H 连接F H ．2C D A D =，D FF C=，C F C B∴=，C F B C B F∴∠=∠，//C D A B，C F B F B H ∴∠=∠， C B F F B H ∴∠=∠，2A B C A B F ∴∠=∠．故①正确，//D E C G， D F C G ∴∠=∠，D F F C=，D F E C F G∠=∠，()D F E C F G A S A ∴∆≅∆，F E F G∴=， B E A D⊥， 90A E B ∴∠=︒，//A D B C，90A E B E B G ∴∠=∠=︒，B F E F F G∴==，故②正确，D FE CF GS S ∆∆=，2E B G B E FD E B C S S S ∆∆∴==四边形，故③正确，A H HB =，D FC F=，A B C D=，C F B H∴=，//C F B H，∴四边形B C F H 是平行四边形，C F B C=，∴四边形B C F H 是菱形，B FC B F H∴∠=∠，F E F B =，//F H A D，B EA D⊥，F H B E∴⊥，B F H E F H D E F ∴∠=∠=∠，3E F C D E F∴∠=∠，故④正确，故选：D ．【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 12．（4分）如图，一次函数2yx=与反比例函数(0)k yk x=>的图象交于A ，B 两点，点P 在以(2,0)C -为圆心，1为半径的C上，Q 是A P 的中点，已知O Q 长的最大值为32，则k 的值为()A ．4932B ．2518C ．3225D ．98【分析】作辅助线，先确定O Q 长的最大时，点P 的位置，当B P 过圆心C 时，B P 最长，设(,2)B t t ，则(2)2C D t t =--=+，2B Dt=-，根据勾股定理计算t 的值，可得k 的值．【解答】解：连接B P ， 由对称性得：O AO B=，Q是A P 的中点，12O Q B P∴=，O Q长的最大值为32，B P∴长的最大值为3232⨯=，如图，当B P 过圆心C 时，B P 最长，过B 作B Dx⊥轴于D ，1C P =， 2B C ∴=，B在直线2y x=上，设(,2)B t t ，则(2)2C D t t =--=+，2B Dt=-，在R t B C D ∆中，由勾股定理得：222B CC DB D=+，2222(2)(2)t t ∴=++-，t =（舍)或45-，4(5B ∴-，8)5-，点B 在反比例函数(0)k yk x=>的图象上，4832()5525k ∴=-⨯-=；故选：C ．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上） 13．（4分）关于x 的方程2(2)210mx x -++=有实数根，则偶数m 的最大值为 2 ． 【分析】由方程有实数根，可得出240ba c -…，代入数据即可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得m 的取值范围，再找出其内的最大偶数即可． 【解答】解：当20m -=时，原方程为210x +=，解得：12x=-，2m ∴=符合题意；当20m-≠时，△22424(2)0ba c m =-=--…，即1240m -…， 解得：3m …且2m≠．综上所述：3m …，∴偶数m 的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，分方程为一元一次或一元二次方程两种情况找出m 的取值范围是解题的关键．14．（4分）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x 匹大马，y 匹小马，根据题意可列方程组为10031003x y y x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩．【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得，10031003x y y x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，故答案为：10031003x y yx +=⎧⎪⎨+=⎪⎩．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．15．（4分）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸//E F M N，小聪在河岸M N 上点A 处用测角仪测得河对岸小树C 位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B 处，测得河对岸电线杆D 位于北偏东30︒方向，此时，其他同学测得10C D=米．请根据这些数据求出河的宽度为(301+ 米．（结果保留根号）【分析】如图作B HE F⊥，C KM N⊥，垂足分别为H 、K ，则四边形B H C K 是矩形，设C KH B x==，根据ta n 30H D B H︒=列出方程即可解决问题．【解答】解：如图作B HE F⊥，C KM N⊥，垂足分别为H 、K ，则四边形B H C K是矩形，设C KH B x==，90C K A ∠=︒，45C A K ∠=︒，45C A K A C K ∴∠=∠=︒，A K C K x∴==，30B KH C A K A B x ==-=-，301020H D x x ∴=-+=-，在R T B H D ∆中，90B H D ∠=︒，30H B D∠=︒，ta n 30H D H B∴︒=，∴203x x-=，解得301x=+∴河的宽度为(301+米．【点评】本题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型． 16．（4分）如图，在R t A B C ∆中，90A C B∠=︒，4A B=，2B C=，将A B C ∆绕点B 顺时针方向旋转到△A B C ''的位置，此时点A '恰好在C B 的延长线上，则图中阴影部分的面积为4π（结果保留)π．【分析】由将A B C ∆绕点B 顺时针方向旋转到△A B C ''的位置，此时点A '恰好在C B的延长线上，可得A B C ∆≅△A B C ''，由题给图可知：A B C A B C A B A C B C S S S S S∆''''=+--阴影扇形扇形可得出阴影部分面积． 【解答】解：A B C∆中，90A C B∠=︒，4A B =，2B C=，30B A C ∴∠=︒，60A B C ∠=︒，A C=将A B C ∆绕点B 顺时针方向旋转到△A B C ''的位置，此时点A '恰好在C B 的延长线上，A B C ∴∆≅△A B C ''，120A B A C B C ∴∠'=︒=∠'，A B C A B C A B A C B C S S S S S ∆''''∴=+--阴影扇形扇形A B A C B C S S ''=-扇形扇形2212041202360360ππ⨯⨯=-16433ππ=-4π=．故答案为4π．【点评】本题主要考查了图形的旋转，不规则图形的面积计算，扇形的面积，发现阴影部分面积的计算方法是解题的关键． 17．（4分）如图，抛物线21(2)3ya x =+-与221(3)12yx =-+交于点(1,3)A ，过点A 作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B ，C ．则以下结论：①无论x 取何值，2y的值总是正数；②23a =；③当0x=时，216yy -=；④10A BA C +=；其中正确结论是 ①②④ ．【分析】根据221(3)12y x =-+的图象在x轴上方即可得出2y 的取值范围；把(1,3)A 代入抛物线21(2)3ya x =+-即可得出a 的值；由抛物线与y 轴的交点求出21yy -的值；根据两函数的解析式求出A 、B 、C 的坐标，计算出6A B =与4A C=的长，即可得到A BA C+的值．【解答】解：21(3)02x -…，∴221(3)102y x =-+>，∴无论x 取何值，2y 的值总是正数，①正确；抛物线21(2)3ya x =+-与221(3)12yx =-+交于点(1,3)A ，393a ∴=-，∴23a =，②正确； 当0x=时，113y=-，2112y=，∴当0x=时，21356yy -=，③错误；当3y =时，212(2)333y x =+-=，解得5x =-或1，当3y=时，221(3)132yx =-+=，解得1x=或5，6A B ∴=，4A C=即10A BA C +=，④正确；综上正确的有①②④， 故答案为：①②④．【点评】本题考查的是二次函数的图象和性质，解题的关键是根据题意利用数形结合进行解答，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．18．（4分）如图，将A B C ∆沿着过B C 的中点D 的直线折叠，使点B 落在A C 边上的1B 处，称为第一次操作，折痕D E 到AC 的距离为1h ；还原纸片后，再将B D E∆沿着过B D 的中点1D 的直线折叠，使点B 落在DE 边上的2B 处，称为第二次操作，折痕11DE 到A C 的距离记为2h ；按上述方法不断操作下去⋯，经过第n 次操作后得到折痕11n n DE --，到A C的距离记为nh ．若11h=，则nh 的值为1122n --．【分析】由折叠的性质与已知条件可得1B DCD D B ==，1B D E B D E ∠=∠，得出11D C B D B C∠=∠，再由平角与三角形内角和定理得出111B D E B D E D C B D B C∠=∠=∠=∠，则//D EA C，得出点1B 到D E 的距离11h=，由折叠的性质得E B D∆≅△1E BD，则E B DSS∆=△1E B D ，由三角形同底等高面积相等，得出点B 到D E 的距离=点1B 到D E 的距离为11h =，同理11//DE D E，点B 到11DE 的距离=点2B 到11DE 的距离为11122h =，则1B 到11DE 的距离2112h=+，依次得到3h 、4h 、5h 、nh ⋯即可．【解答】解：将A B C ∆沿着过B C 的中点D 的直线折叠，使点B 落在边A C 上的点1B 处，1B DCD D B ∴==，1B DE B D E∠=∠，11D C B D B C∴∠=∠，11180C D B B D E B D E ∠+∠+∠=︒，111180C D B D C B D B C ∠+∠+∠=︒，111B D E B D E D C B D B C ∴∠=∠=∠=∠，//D E A C∴，D E到A C 的距离为1h ，∴点1B 到D E 的距离11h=，由折叠的性质得：E B D∆≅△1E BD，E B D E B DS S∆∴=，∴点B 到D E 的距离=点1B 到D E 的距离为11h=，同理：11//DE D E，点B 到11DE 的距离=点2B 到11DE 的距离为11122h =，1B ∴到11DE 的距离2112h=+，同理：3211111424hh h =+=++，431111118248h h h =+=+++，⋯⋯11111111224822n n n h --=+++⋯+=-，故答案为：1122n --．【点评】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质、平行线的判定与性质、图形的变化规律等知识，首先根据变化发现规律得出一般性结论是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共78分，解答写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19．计算：①解不等式组：4(1)22113x x x x -+⎧⎪+⎨>-⎪⎩…；②先化简，再求值：212(1)211x xx x -÷-+++，其中1x=-．【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；（2）先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，最后将x 的值代入计算即可．【解答】解：①()4122113x x x x ⎧-+⎪⎨+>-⎪⎩①②…，由①得：442x x -+…， 解得：2x …， 由②得：2133x x +>-，解得：4x <，∴不等式组的解集为：24x <…；②原式211(1)1x x x x --=÷++211(1)1x x x x -+=⋅+-11x =+，当1x=时，原式=3=．【点评】本题主要考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序． 20．如图，一次函数(ykx b k=+、b 为常数，0)k≠的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B两点，且与反比例函数(n y nx =为常数，且0)n ≠的图象在第二象限交于点C．C Dx⊥轴，垂足为D ，若2312O BO A O D ===．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E ，求C D E ∆的面积； （3）直接写出不等式n k x b x+…的解集．【分析】（1）根据三角形相似，可求出点C 坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；（2）联立解析式，可求交点坐标；（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系． 【解答】解：（1）由已知，6O A=，12O B=，4O D=C D x⊥轴 //O B C D∴A B O A C D∴∆∆∽∴O A O B A D C D =∴61210C D=20C D ∴=∴点C 坐标为(4,20)-80n xy ∴==-∴反比例函数解析式为：80y x=-把点(6,0)A ，(0,12)B 代入yk x b=+得：0612k b b =+⎧⎨=⎩解得：212k b =-⎧⎨=⎩∴一次函数解析式为：212yx =-+（2）当80212x x-=-+时，解得110x =，24x=- 当10x=时，8y=-∴点E 坐标为(10,8)-11201081014022C D E C D A E D A S S S ∆∆∆∴=+=⨯⨯+⨯⨯=（3）不等式n k x b x+…，从函数图象上看，表示各个象限一次函数图象不高于反比例函数图象，∴由图象得，不等式n k x b x+…的解集40x -<…或10x …．【点评】本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及用函数的观点通过函数图象解不等式．21．2022年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会．目前运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机调查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）这次被调查的同学共有多少人？（2）扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为多少？（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大运会志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【分析】（1）根据跳水的人数和跳水所占的百分比即可求出这次被调查的学生数；（2）用360︒乘以篮球的学生所占的百分比即可；（3）画树状图，共有12种等可能的情况，其中恰好选中甲、乙两位同学的情况有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）根据题意得：5430%180÷=（人)，即这次被调查的学生共有180人；（2）根据题意得：360(120%15%30%)126︒⨯---=︒，即扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126︒；（3）画树状图如下：共有12种等可能的情况，其中恰好选中甲、乙两位同学的情况有2种，∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为21 126=．【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．22．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y （件)与每件的售价x （元)满足一次函数关系，部分数据如下表：（1）求出y 与x 之间的函数表达式；（不需要求自变量x 的取值范围）（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w （元)，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到y 与x 之间的函数表达式； （2）根据题意，可以得到相应的方程，从而可以得到如何给这种衬衫定价，可以给客户最大优惠；（3）根据题意，可以得到w 与x 之间的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可得到售价定为多少元可获得最大利润，最大利润是多少． 【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为yk x b=+，601400651300k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得，202600k b =-⎧⎨=⎩，即y 与x 之间的函数表达式是202600y x =-+；（2）(50)(202600)24000x x --+=，解得，170x=，2110x=，尽量给客户优惠，∴这种衬衫定价为70元；（3）由题意可得，2(50)(202600)20(90)32000w x x x =--+=--+，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，50x∴…，(50)5030%x -÷…，解得，5065x剟，∴当65x=时，w 取得最大值，此时19500w =，答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答． 23．如图，90B A D C A E ∠=∠=︒，A BA D=，A EA C=，A FC B⊥，垂足为F ．（1）求证：A B CA D E∆≅∆；（2）求F A E ∠的度数； （3）求证：2C DB F D E=+．【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出A B CA D E∆≅∆的条件；（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到F A E ∠的度数； （3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立． 【解答】证明：（1）90B A D C A E ∠=∠=︒， 90B A C C A D ∴∠+∠=︒，90C A DD AE ∠+∠=︒，B ACD A E∴∠=∠，在B A C ∆和D A E ∆中，A B A D B A C D A E A C A E=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()B ACD AE S A S ∴∆≅∆；（2）90C A E ∠=︒，A C A E=，45E ∴∠=︒，由（1）知B A C D A E∆≅∆，45B C A E ∴∠=∠=︒，A FB C⊥， 90C F A ∴∠=︒， 45C A F ∴∠=︒，4590135F A E F A C C A E ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）延长B F 到G ，使得F GF B=，A FB G⊥，90A F G A F B ∴∠=∠=︒，在A F B ∆和A F G ∆中，B F G F A F B A F G A F A F=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()A F B A F G S A S ∴∆≅∆，A B A G∴=，A B FG∠=∠，B ACD A E∆≅∆，A B A D ∴=，C B A E D A ∠=∠，C B E D=，A G A D∴=，A B FC D A∠=∠，G C D A∴∠=∠，45G C A D C A ∠=∠=︒，在C G A ∆和C D A ∆中，G C A D C A C G A C D A A G A D∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()C G A C D A A A S ∴∆≅∆，C G C D∴=，22C G C B B F F G C B B F D E B F =++=+=+，2C D B F D E∴=+．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 24．如图，抛物线2ya xb x c=++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y a x b x c=++上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线O D 下方时，求P O D ∆面积的最大值．（3）直线O Q 与线段B C 相交于点E ，当O B E ∆与A B C ∆相似时，求点Q 的坐标．【分析】（1）函数的表达式为：(1)(3)y a x x =+-，将点D 坐标代入上式，即可求解；（2）2111()(32)(2)3222P O DD P SO G x x m m mm ∆=⨯-=+-=-++，即可求解；（3）分A C BB O Q∠=∠、B A CB O Q∠=∠，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线O Q 倾斜角，进而求解． 【解答】解：（1）函数的表达式为：(1)(3)y a x x =+-，将点D 坐标代入上式并解得：1a=，故抛物线的表达式为：223y x x =--⋯①；（2）设点2(,23)P m mm --，①当点P 在第三象限时，设直线P D 与y 轴交于点G ，设点2(,23)P m mm --，将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y s x t=+并解得： 直线P D 的表达式为：32ym x m=--，则32O Gm=+，2111()(32)(2)3222P O D D P S O G x x m m m m ∆=⨯-=+-=-++，②当点P 在第四象限时， 设P D 交y 轴于点M ， 同理可得：211()322P O DD P S O M x x m m ∆=⨯-=-++，综上，2132P O DSmm ∆=-++，10-<，故P O DS∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916；（3）3O B O C ==， 45O C B O B C ∴∠=∠=︒，A B C O B E∠=∠，故O B E ∆与A B C ∆相似时，分为两种情况： ①当A C BB O Q∠=∠时，4A B =，B C=，A C=，过点A 作A HB C⊥于点H ，1122A B C S A H B C A B O C∆=⨯⨯=⨯，解得：A H=，则2s inA H A C BA C∠==，则ta n 2A C B∠=，则直线O Q 的表达式为：2y x =-⋯②，联立①②并解得：x =故点Q ，-或(，，②B A CB O Q ∠=∠时，3ta n 3ta n 1O C B A C B O QO A∠====∠，则点(,3)Q n n -，则直线O Q 的表达式为：3y x =-⋯③，联立①③并解得：2x =故点1(2Q -+，32-或1(2--，32+；综上，当O B E ∆与A B C ∆相似时，Q ，-或(或2，32-或1(2--，32+．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。
2018-2019学年山东省泰安市岱岳区八年级(上)期中数学试卷
2018-2019学年山东省泰安市岱岳区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1．（4分）下列从左到右的变形，是因式分解的是( )A ．2(1)(1)1y y y -+=-B ．221()1x yx y x y x y +-=+-C ．(2)(3)(3)(2)xx x x --=--D ．221025(5)x x x -+=-2．（4分）分式12x x -+的值为0时，x 的值是()A ．0B ．1C ．1-D ．2-3．（4分）如果把3x x y+的x 与y 都扩大5倍，那么这个代数式的值()A ．不变B ．扩大3倍C ．扩大5倍D ．缩小到原来的154．（4分）测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是( )A ．方差B ．标准差C ．中位数D ．平均数5．（4分）把多项式2x a x b++分解因式，得(1)(3)xx +-，则a ，b 的值分别是( )A ．2a=-，3b=- B ．2a =，3b= C ．2a=-，3b= D ．2a=，3b=-6．（4分）化简2239mmm--的结果是( )A ．3m m + B ．3m m -+ C ．3m m - D ．3m m-7．（4分）某校四个绿化小组一天植树的棵树如下：10，x ，10，8．已知这组数据的众数与平均数相等，则这组数据的中位数是( )A ．8B ．9C ．10D ．128．（4分）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式1a+的是()A ．21a +B ．2a a+C ．221a a +-D ．2(2)2(2)1aa +-++9．（4分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数x 与方差2:s根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．（4分）已知1112a b -=，则a ba b-的值是()A ．12B ．12-C ．2D ．2-11．（4分）如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是()A ．极差是8C ︒B ．众数是28C ︒C ．中位数是24C ︒D ．平均数是26C ︒12．（4分）某市从今年1月1日起调整居民家用水价格，每立方米水费上涨13，小刚家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费是30元，已知小刚家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多35m ，若设去年居民用水价格为x 元/立方米，则根据题意可列方程为( )A ．301551(1)3xx-=+B ．3015513xx -=+C ．3015543xx-= D ．153051(1)3xx-=+二、填空题（只要求填写最后结果。
2019年山东省泰安市中考数学试卷 解析版
2019年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题(本大题共12小题,在每小题给出得四个选项中,只有一个就是正确得,请把正确得选项选出来,每小题选对得4分,选错、不选或选出得答案超过一个,均记零分)1.(4分)在实数|﹣3、14|,﹣3,﹣,π中,最小得数就是()A.﹣B.﹣3C.|﹣3、14|D.π2.(4分)下列运算正确得就是()A.a6÷a3＝a3B.a4•a2＝a8C.(2a2)3＝6a6D.a2+a2＝a43.(4分)2018年12月8日,我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器,“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里得地月转移轨道,将数据42万公里用科学记数法表示为()A.4、2×109米B.4、2×108米C.42×107米D.4、2×107米4.(4分)下列图形:就是轴对称图形且有两条对称轴得就是()A.①②B.②③C.②④D.③④5.(4分)如图,直线11∥12,∠1＝30°,则∠2+∠3＝()A.150°B.180°C.210°D.240°6.(4分)某射击运动员在训练中射击了10次,成绩如图所示:下列结论不正确得就是()A.众数就是8B.中位数就是8C.平均数就是8、2D.方差就是1、27.(4分)不等式组得解集就是()A.x≤2B.x≥﹣2C.﹣2＜x≤2D.﹣2≤x＜28.(4分)如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间得距离为()km.A.30+30B.30+10C.10+30D.309.(4分)如图,△ABC就是⊙O得内接三角形,∠A＝119°,过点C得圆得切线交BO于点P,则∠P得度数为()A.32°B.31°C.29°D.61°10.(4分)一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5得五个小球,这些球除标号外都相同,从中随机摸出两个小球,则摸出得小球标号之与大于5得概率为()A. B. C. D.11.(4分)如图,将⊙O沿弦AB折叠,恰好经过圆心O,若⊙O得半径为3,则得长为()A.πB.πC.2πD.3π12.(4分)如图,矩形ABCD中,AB＝4,AD＝2,E为AB得中点,F为EC上一动点,P为DF中点,连接PB,则PB得最小值就是()A.2B.4C.D.二、填空题(本大题共6小题,满分24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分)13.(4分)已知关于x得一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+3＝0有两个不相等得实数根,则实数k得取值范围就是.14.(4分)《九章算术》就是我国古代数学得经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金、银一枚各重几何？”意思就是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计),问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意可列方程组为.15.(4分)如图,∠AOB＝90°,∠B＝30°,以点O为圆心,OA为半径作弧交AB于点A、点C,交OB于点D,若OA＝3,则阴影都分得面积为.16.(4分)若二次函数y＝x2+bx﹣5得对称轴为直线x＝2,则关于x得方程x2+bx﹣5＝2x﹣13得解为.17.(4分)在平面直角坐标系中,直线l:y＝x+1与y轴交于点A1,如图所示,依次作正方形OA1B1C1,正方形C1A2B2C2,正方形C2A3B3C3,正方形C3A4B4C4,……,点A1,A2,A3,A4,……在直线l上,点C1,C2,C3,C4,……在x轴正半轴上,则前n个正方形对角线长得与就是.18.(4分)如图,矩形ABCD中,AB＝3,BC＝12,E为AD中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF折叠后,点A恰好落到CF上得点G处,则折痕EF得长就是.三、解答题(本大题共7小题,满分78分,解答应写出必要得文字说明、证明过程或推演步骤)19.(8分)先化简,再求值:(a﹣9+)÷(a﹣1﹣),其中a＝.20.(8分)为弘扬泰山文化,某校举办了“泰山诗文大赛”活动,从中随机抽取部分学生得比赛成绩,根据成绩(成绩都高于50分),绘制了如下得统计图表(不完整):组别分数人数第1组90＜x≤1008第2组80＜x≤90a第3组70＜x≤8010第4组60＜x≤70b第5组50＜x≤603请根据以上信息,解答下列问题:(1)求出a,b得值;(2)计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角得度数;(3)若该校共有1800名学生,那么成绩高于80分得共有多少人？21.(11分)已知一次函数y＝kx+b得图象与反比例函数y＝得图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB＝AB,且S△OAB＝.(1)求反比例函数与一次函数得表达式;(2)若点P为x轴上一点,△ABP就是等腰三角形,求点P得坐标.22.(11分)端午节就是我国得传统节日,人们素有吃粽子得习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个,购买A种粽子与购买B种粽子得费用相同.已知A种粽子得单价就是B种粽子单价得1、2倍.(1)求A、B两种粽子得单价各就是多少？(2)若计划用不超过7000元得资金再次购进A、B两种粽子共2600个,已知A、B两种粽子得进价不变.求A种粽子最多能购进多少个？23.(13分)在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,点P就是边AD上一点.(1)若BP平分∠ABD,交AE于点G,PF⊥BD于点F,如图①,证明四边形AGFP就是菱形;(2)若PE⊥EC,如图②,求证:AE•AB＝DE•AP;(3)在(2)得条件下,若AB＝1,BC＝2,求AP得长.24.(13分)若二次函数y＝ax2+bx+c得图象与x轴、y轴分别交于点A(3,0)、B(0,﹣2),且过点C(2,﹣2).(1)求二次函数表达式;(2)若点P为抛物线上第一象限内得点,且S△PBA＝4,求点P得坐标;(3)在抛物线上(AB下方)就是否存在点M,使∠ABO＝∠ABM？若存在,求出点M到y轴得距离;若不存在,请说明理由.25.(14分)如图,四边形ABCD就是正方形,△EFC就是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF＝90°,FG⊥AD,垂足为点C.(1)试判断AG与FG就是否相等？并给出证明;(2)若点H为CF得中点,GH与DH垂直吗？若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由.2019年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,在每小题给出得四个选项中,只有一个就是正确得,请把正确得选项选出来,每小题选对得4分,选错、不选或选出得答案超过一个,均记零分)1.(4分)在实数|﹣3、14|,﹣3,﹣,π中,最小得数就是()A.﹣B.﹣3C.|﹣3、14|D.π【分析】根据绝对值得大小进行比较即可,两负数比较大小,绝对值大得反尔小.【解答】解:∵||＝＜|﹣3|＝3∴﹣＜(﹣3)C、D项为正数,A、B项为负数,正数大于负数,故选:B.【点评】此题主要考查利用绝对值来比较实数得大小,此题要掌握性质”两负数比较大小,绝对值大得反尔小,正数大于负数,负数得绝对值为正数“.2.(4分)下列运算正确得就是()A.a6÷a3＝a3B.a4•a2＝a8C.(2a2)3＝6a6D.a2+a2＝a4【分析】直接利用合并同类项法则以及积得乘方运算法则、同底数幂得乘除运算法则分别计算得出答案.【解答】解:A、a6÷a3＝a3,故此选项正确;B、a4•a2＝a6,故此选项错误;C、(2a2)3＝8a6,故此选项错误;D、a2+a2＝2a2,故此选项错误;故选:A.【点评】此题主要考查了合并同类项以及积得乘方运算、同底数幂得乘除运算,正确掌握相关运算法则就是解题关键.3.(4分)2018年12月8日,我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器,“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里得地月转移轨道,将数据42万公里用科学记数法表示为()A.4、2×109米B.4、2×108米C.42×107米D.4、2×107米【分析】科学记数法得表示形式为a×10n得形式,其中1≤|a|＜10,n为整数.确定n得值时,要瞧把原数变成a时,小数点移动了多少位,n得绝对值与小数点移动得位数相同.当原数绝对值＞1时,n就是正数;当原数得绝对值＜1时,n就是负数.【解答】解:42万公里＝420000000m用科学记数法表示为:4、2×108米,故选:B.【点评】此题考查了科学记数法得表示方法.科学记数法得表示形式为a×10n得形式,其中1≤|a|＜10,n为整数,表示时关键要正确确定a得值以及n得值.4.(4分)下列图形:就是轴对称图形且有两条对称轴得就是()A.①②B.②③C.②④D.③④【分析】根据轴对称图形得概念分别确定出对称轴得条数,从而得解.【解答】解:①就是轴对称图形且有两条对称轴,故本选项正确;②就是轴对称图形且有两条对称轴,故本选项正确;③就是轴对称图形且有4条对称轴,故本选项错误;④不就是轴对称图形,故本选项错误.故选:A.【点评】本题考查了轴对称图形得概念,轴对称图形得关键就是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.5.(4分)如图,直线11∥12,∠1＝30°,则∠2+∠3＝()A.150°B.180°C.210°D.240°【分析】过点E作EF∥11,利用平行线得性质解答即可.【解答】解:过点E作EF∥11,∵11∥12,EF∥11,∴EF∥11∥12,∴∠1＝∠AEF＝30°,∠FEC+∠3＝180°,∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°,故选:C.【点评】此题考查平行线得性质,关键就是根据平行线得性质解答.6.(4分)某射击运动员在训练中射击了10次,成绩如图所示:下列结论不正确得就是()A.众数就是8B.中位数就是8C.平均数就是8、2D.方差就是1、2【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差得算法进行计算,即可得到不正确得选项.【解答】解:由图可得,数据8出现3次,次数最多,所以众数为8,故A选项正确;10次成绩排序后为:6,7,7,8,8,8,9,9,10,10,所以中位数就是(8+8)＝8,故B选项正确;平均数为(6+7×2+8×3+9×2+10×2)＝8、2,故C选项正确;方差为[(6﹣8、2)2+(7﹣8、2)2+(7﹣8、2)2+(8﹣8、2)2+(8﹣8、2)2+(8﹣8、2)2+(9﹣8、2)2+(9﹣8、2)2+(10﹣8、2)2+(10﹣8、2)2]＝1、56,故D选项错误;故选:D.【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差,用“先平均,再求差,然后平方,最后再平均”得到得结果表示一组数据偏离平均值得情况,这个结果叫方差.7.(4分)不等式组得解集就是()A.x≤2B.x≥﹣2C.﹣2＜x≤2D.﹣2≤x＜2【分析】先求出两个不等式得解集,再求其公共解.【解答】解:,由①得,x≥﹣2,由②得,x＜2,所以不等式组得解集就是﹣2≤x＜2.故选:D.【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集得求法,其简便求法就就是用口诀求解.求不等式组解集得口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解).8.(4分)如图,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间得距离为()km.A.30+30B.30+10C.10+30D.30【分析】根据题意得,∠CAB＝65°﹣20°,∠ACB＝40°+20°＝60°,AB＝30,过B作BE⊥AC于E,解直角三角形即可得到结论.【解答】解:根据题意得,∠CAB＝65°﹣20°,∠ACB＝40°+20°＝60°,AB＝30,过B作BE⊥AC于E,∴∠AEB＝∠CEB＝90°,在Rt△ABE中,∵∠ABE＝45°,AB＝30,∴AE＝BE＝AB＝30km,在Rt△CBE中,∵∠ACB＝60°,∴CE＝BE＝10km,∴AC＝AE+CE＝30+10,∴A,C两港之间得距离为(30+10)km,故选:B.【点评】本题考查了解直角三角形得应用,方向角问题,三角形得内角与,就是基础知识比较简单.9.(4分)如图,△ABC就是⊙O得内接三角形,∠A＝119°,过点C得圆得切线交BO于点P,则∠P得度数为()A.32°B.31°C.29°D.61°【分析】连接OC、CD,由切线得性质得出∠OCP＝90°,由圆内接四边形得性质得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°,由等腰三角形得性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°,求出∠DOC＝58°,由直角三角形得性质即可得出结果.【解答】解:如图所示:连接OC、CD,∵PC就是⊙O得切线,∴PC⊥OC,∴∠OCP＝90°,∵∠A＝119°,∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°,∵OC＝OD,∴∠OCD＝∠ODC＝61°,∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°,∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°;故选:A.【点评】本题考查了切线得性质、等腰三角形得性质、直角三角形得性质、三角形内角与定理;熟练掌握切线得性质就是解题得关键.10.(4分)一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5得五个小球,这些球除标号外都相同,从中随机摸出两个小球,则摸出得小球标号之与大于5得概率为()A. B. C. D.【分析】首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能得结果与两次摸出得小球得标号之与大于5得情况,再利用概率公式即可求得答案.【解答】解:画树状图如图所示:∵共有25种等可能得结果,两次摸出得小球得标号之与大于5得有15种结果,∴两次摸出得小球得标号之与大于5得概率为＝;故选:C.【点评】本题考查得就是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏得列出所有可能得结果,用到得知识点为:概率＝所求情况数与总情况数之比.11.(4分)如图,将⊙O沿弦AB折叠,恰好经过圆心O,若⊙O得半径为3,则得长为()A.πB.πC.2πD.3π【分析】连接OA、OB,作OC⊥AB于C,根据翻转变换得性质得到OC＝OA,根据等腰三角形得性质、三角形内角与定理求出∠AOB,根据弧长公式计算即可.【解答】解:连接OA、OB,作OC⊥AB于C,由题意得,OC＝OA,∴∠OAC＝30°,∵OA＝OB,∴∠OBA＝∠OAC＝30°,∴∠AOB＝120°,∴得长＝＝2π,故选:C.【点评】本题考查得就是弧长得计算、直角三角形得性质、翻转变换得性质,掌握弧长公式就是解题得关键.12.(4分)如图,矩形ABCD中,AB＝4,AD＝2,E为AB得中点,F为EC上一动点,P为DF中点,连接PB,则PB得最小值就是()A.2B.4C.D.【分析】根据中位线定理可得出点点P得运动轨迹就是线段P1P2,再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时,PB取得最小值;由矩形得性质以及已知得数据即可知BP1⊥P1P2,故BP得最小值为BP1得长,由勾股定理求解即可.【解答】解:如图:当点F与点C重合时,点P在P1处,CP1＝DP1,当点F与点E重合时,点P在P2处,EP2＝DP2,∴P1P2∥CE且P1P2＝CE当点F在EC上除点C、E得位置处时,有DP＝FP由中位线定理可知:P1P∥CE且P1P＝CF∴点P得运动轨迹就是线段P1P2,∴当BP⊥P1P2时,PB取得最小值∵矩形ABCD中,AB＝4,AD＝2,E为AB得中点,∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形,CP1＝2∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°,∠DEC＝90°∴∠DP2P1＝90°∴∠DP1P2＝45°∴∠P2P1B＝90°,即BP1⊥P1P2,∴BP得最小值为BP1得长在等腰直角BCP1中,CP1＝BC＝2∴BP1＝2∴PB得最小值就是2故选:D.【点评】本题考查轨迹问题、矩形得性质等知识,解题得关键就是学会利用特殊位置解决问题,有难度.二、填空题(本大题共6小题,满分24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分)13.(4分)已知关于x得一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+3＝0有两个不相等得实数根,则实数k得取值范围就是k.【分析】根据方程有两个不相等得实数根可得△＝(2k﹣1)2﹣4(k2+3)＞0,求出k得取值范围;【解答】解:∵原方程有两个不相等得实数根,∴△＝(2k﹣1)2﹣4(k2+3)＝﹣4k+1﹣12＞0,解得k;故答案为:k.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)得根与△＝b2﹣4ac有如下关系:①当△＞0时,方程有两个不相等得两个实数根;②当△＝0时,方程有两个相等得两个实数根;③当△＜0时,方程无实数根.14.(4分)《九章算术》就是我国古代数学得经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金、银一枚各重几何？”意思就是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计),问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,根据题意可列方程组为.【分析】根据题意可得等量关系:①9枚黄金得重量＝11枚白银得重量;②(10枚白银得重量+1枚黄金得重量)﹣(1枚白银得重量+8枚黄金得重量)＝13两,根据等量关系列出方程组即可.【解答】解:设每枚黄金重x两,每枚白银重y两,由题意得:,故答案为:.【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键就是正确理解题意,找出题目中得等量关系.15.(4分)如图,∠AOB＝90°,∠B＝30°,以点O为圆心,OA为半径作弧交AB于点A、点C,交OB于点D,若OA＝3,则阴影都分得面积为π.【分析】连接OC,作CH⊥OB于H,根据直角三角形得性质求出AB,根据勾股定理求出BD,证明△AOC为等边三角形,得到∠AOC＝60°,∠COB＝30°,根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可.【解答】解:连接OC,作CH⊥OB于H,∵∠AOB＝90°,∠B＝30°,∴∠OAB＝60°,AB＝2OA＝6,由勾股定理得,OB＝＝3,∵OA＝OC,∠OAB＝60°,∴△AOC为等边三角形,∴∠AOC＝60°,∴∠COB＝30°,∴CO＝CB,CH＝OC＝,∴阴影都分得面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π,故答案为:π.【点评】本题考查得就是扇形面积计算、等边三角形得判定与性质,掌握扇形面积公式、三角形得面积公式就是解题得关键.16.(4分)若二次函数y＝x2+bx﹣5得对称轴为直线x＝2,则关于x得方程x2+bx﹣5＝2x﹣13得解为x1＝2,x2＝4.【分析】根据对称轴方程求得b,再解一元二次方程得解.【解答】解:∵二次函数y＝x2+bx﹣5得对称轴为直线x＝2,∴,得b＝﹣4,则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为:x2﹣4x﹣5＝2x﹣13,解得,x1＝2,x2＝4.故意答案为:x1＝2,x2＝4.【点评】本题主要考查得就是抛物线与x轴得交点,利用抛物线得对称性求得b得值就是解题得关键.17.(4分)在平面直角坐标系中,直线l:y＝x+1与y轴交于点A1,如图所示,依次作正方形OA1B1C1,正方形C1A2B2C2,正方形C2A3B3C3,正方形C3A4B4C4,……,点A1,A2,A3,A4,……在直线l上,点C1,C2,C3,C4,……在x轴正半轴上,则前n个正方形对角线长得与就是(2n﹣1).【分析】根据题意与函数图象可以求得点A1,A2,A3,A4得坐标,从而可以得到前n个正方形对角线长得与,本题得以解决.【解答】解:由题意可得,点A1得坐标为(0,1),点A2得坐标为(1,2),点A3得坐标为(3,4),点A4得坐标为(7,8),……,∴OA1＝1,C1A2＝2,C2A3＝4,C3A4＝8,……,∴前n个正方形对角线长得与就是:(OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n)＝(1+2+4+8+…+2n﹣1),设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1,则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n,则2S﹣S＝2n﹣1,∴S＝2n﹣1,∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1,∴前n个正方形对角线长得与就是:×(2n﹣1),故答案为:(2n﹣1),【点评】本题考查一次函数图象上点得坐标特征、规律型:点得坐标,解答本题得关键就是明确题意,利用数形结合得思想解答.18.(4分)如图,矩形ABCD中,AB＝3,BC＝12,E为AD中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF折叠后,点A恰好落到CF上得点G处,则折痕EF得长就是2.【分析】连接EC,利用矩形得性质,求出EG,DE得长度,证明EC平分∠DCF,再证∠FEC＝90°,最后证△FEC∽△EDC,利用相似得性质即可求出EF得长度.【解答】解:如图,连接EC,∵四边形ABCD为矩形,∴∠A＝∠D＝90°,BC＝AD＝12,DC＝AB＝3,∵E为AD中点,∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知,△AEF≌△GEF,∴AE＝GE＝6,∠AEF＝∠GEF,∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D,∴GE＝DE,∴EC平分∠DCG,∴∠DCE＝∠GCE,∵∠GEC＝90°﹣∠GCE,∠DEC＝90°﹣∠DCE,∴∠GEC＝∠DEC,∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°,∴∠FEC＝∠D＝90°,又∵∠DCE＝∠GCE,∴△FEC∽△EDC,∴,∵EC＝＝＝3,∴,∴FE＝2,故答案为:2.【点评】本题考查了矩形得性质,轴对称得性质,相似三角形得判定与性质等,解题关键就是能够作出适当得辅助线,连接CE,构造相似三角形,最终利用相似得性质求出结果.三、解答题(本大题共7小题,满分78分,解答应写出必要得文字说明、证明过程或推演步骤)19.(8分)先化简,再求值:(a﹣9+)÷(a﹣1﹣),其中a＝.【分析】先根据分式得混合运算顺序与运算法则化简原式,再将a得值代入计算可得.【解答】解:原式＝(+)÷(﹣)＝÷＝•＝,当a＝时,原式＝＝1﹣2.【点评】本题主要考查分式得化简求值,解题得关键就是掌握分式得混合运算顺序与运算法则及二次根式得运算能力.20.(8分)为弘扬泰山文化,某校举办了“泰山诗文大赛”活动,从中随机抽取部分学生得比赛成绩,根据成绩(成绩都高于50分),绘制了如下得统计图表(不完整):组别分数人数第1组90＜x≤1008第2组80＜x≤90a第3组70＜x≤8010第4组60＜x≤70b第5组50＜x≤603请根据以上信息,解答下列问题:(1)求出a,b得值;(2)计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角得度数;(3)若该校共有1800名学生,那么成绩高于80分得共有多少人？【分析】(1)抽取学生人数10÷25%＝40(人),第2组人数40×50%﹣8＝12(人),第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7(人),所以a＝12,b＝7;(2)＝27°,所以“第5组”所在扇形圆心角得度数为27°;(3)成绩高于80分:1800×50%＝900(人),所以成绩高于80分得共有900人.【解答】解:(1)抽取学生人数10÷25%＝40(人),第2组人数40×50%﹣8＝12(人),第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7(人),∴a＝12,b＝7;(2)＝27°,∴“第5组”所在扇形圆心角得度数为27°;(3)成绩高于80分:1800×50%＝900(人),∴成绩高于80分得共有900人.【点评】本题考查了统计图,熟练掌握条形统计图与扇形统计图就是解题得关键.21.(11分)已知一次函数y＝kx+b得图象与反比例函数y＝得图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB＝AB,且S△OAB＝.(1)求反比例函数与一次函数得表达式;(2)若点P为x轴上一点,△ABP就是等腰三角形,求点P得坐标.【分析】(1)先求出OB,进而求出AD,得出点A坐标,最后用待定系数法即可得出结论;(2)分三种情况,①当AB＝PB时,得出PB＝5,即可得出结论;②当AB＝AP时,利用点P与点B关于AD对称,得出DP＝BD＝4,即可得出结论;③当PB＝AP时,先表示出AP2＝(9﹣a)2+9,BP2＝(5﹣a)2,进而建立方程求解即可得出结论.【解答】解:(1)如图1,过点A作AD⊥x轴于D,∵B(5,0),∴OB＝5,∵S△OAB＝,∴×5×AD＝,∴AD＝3,∵OB＝AB,∴AB＝5,在Rt△ADB中,BD＝＝4,∴OD＝OB+BD＝9,∴A(9,3),将点A坐标代入反比例函数y＝中得,m＝9×3＝27,∴反比例函数得解析式为y＝,将点A(9,3),B(5,0)代入直线y＝kx+b中,,∴,∴直线AB得解析式为y＝x﹣;(2)由(1)知,AB＝5,∵△ABP就是等腰三角形,∴①当AB＝PB时,∴PB＝5,∴P(0,0)或(10,0),②当AB＝AP时,如图2,由(1)知,BD＝4,易知,点P与点B关于AD对称,∴DP＝BD＝4,∴OP＝5+4+4＝13,∴P(13,0),③当PB＝AP时,设P(a,0),∵A(9,3),B(5,0),∴AP2＝(9﹣a)2+9,BP2＝(5﹣a)2,∴(9﹣a)2+9＝(5﹣a)2∴a＝,∴P(,0),即:满足条件得点P得坐标为(0,0)或(10,0)或(13,0)或(,0).【点评】此题就是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,勾股定理,三角形得面积,等腰三角形得性质,用分类讨论得思想解决问题就是解本题得关键.22.(11分)端午节就是我国得传统节日,人们素有吃粽子得习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个,购买A种粽子与购买B种粽子得费用相同.已知A种粽子得单价就是B种粽子单价得1、2倍.(1)求A、B两种粽子得单价各就是多少？(2)若计划用不超过7000元得资金再次购进A、B两种粽子共2600个,已知A、B两种粽子得进价不变.求A种粽子最多能购进多少个？【分析】(1)设B种粽子单价为x元/个,则A种粽子单价为1、2x元/个,根据数量＝总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个,即可得出关于x得分式方程,解之经检验后即可得出结论;(2)设购进A种粽子m个,则购进B种粽子(2600﹣m)个,根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000元,即可得出关于m得一元一次不等式,解之取其中得最大值即可得出结论.【解答】解:(1)设B种粽子单价为x元/个,则A种粽子单价为1、2x元/个,根据题意,得:+＝1100,解得:x＝2、5,经检验,x＝2、5就是原方程得解,且符合题意,∴1、2x＝3.答:A种粽子单价为3元/个,B种粽子单价为2、5元/个.(2)设购进A种粽子m个,则购进B种粽子(2600﹣m)个,依题意,得:3m+2、5(2600﹣m)≤7000,解得:m≤1000.答:A种粽子最多能购进1000个.【点评】本题考查了分式方程得应用以及一元一次不等式得应用,解题得关键就是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间得关系,正确列出一元一次不等式.23.(13分)在矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,点P就是边AD上一点.(1)若BP平分∠ABD,交AE于点G,PF⊥BD于点F,如图①,证明四边形AGFP就是菱形;(2)若PE⊥EC,如图②,求证:AE•AB＝DE•AP;(3)在(2)得条件下,若AB＝1,BC＝2,求AP得长.【分析】(1)想办法证明AG＝PF,AG∥PF,推出四边形AGFP就是平行四边形,再证明P A＝PF即可解决问题.(2)证明△AEP∽△DEC,可得＝,由此即可解决问题.(3)利用(2)中结论.求出DE,AE即可.【解答】(1)证明:如图①中,∵四边形ABCD就是矩形,∴∠BAD＝90°,∵AE⊥BD,∴∠AED＝90°,∴∠BAE+∠EAD＝90°,∠EAD+∠ADE＝90°,∴∠BAE＝∠ADE,∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG,∠APD＝∠ADE+∠PBD,∠ABG＝∠PBD,∴∠AGP＝∠APG,∴AP＝AG,∵P A⊥AB,PF⊥BD,BP平分∠ABD,∴P A＝PF,∴PF＝AG,∵AE⊥BD,PF⊥BD,∴PF∥AG,∴四边形AGFP就是平行四边形,∵P A＝PF,∴四边形AGFP就是菱形.(2)证明:如图②中,∵AE⊥BD,PE⊥EC,∴∠AED＝∠PEC＝90°,∴∠AEP＝∠DEC,∵∠EAD+∠ADE＝90°,∠ADE+∠CDE＝90°,∴∠EAP＝∠EDC,∴△AEP∽△DEC,∴＝,∵AB＝CD,∴AE•AB＝DE•AP;(3)解:∵四边形ABCD就是矩形,∴BC＝AD＝2,∠BAD＝90°,∴BD＝＝,∵AE⊥BD,∴S△ABD＝•BD•AE＝•AB•AD,∴AE＝,∴DE＝＝,∵AE•AB＝DE•AP;∴AP＝＝.【点评】本题属于相似形综合题,考查了相似三角形得判定与性质,矩形得性质,解直角三角形等知识,解题得关键就是正确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型.24.(13分)若二次函数y＝ax2+bx+c得图象与x轴、y轴分别交于点A(3,0)、B(0,﹣2),且过点C(2,﹣2).(1)求二次函数表达式;(2)若点P为抛物线上第一象限内得点,且S△PBA＝4,求点P得坐标;(3)在抛物线上(AB下方)就是否存在点M,使∠ABO＝∠ABM？若存在,求出点M到y轴得距离;若不存在,请说明理由.【分析】(1)用A、B、C三点坐标代入,用待定系数法求二次函数表达式.(2)设点P横坐标为t,用t代入二次函数表达式得其纵坐标.把t当常数求直线BP解析式,进而求直线BP与x轴交点C 坐标(用t表示),即能用t表示AC得长.把△PBA以x轴为界分成△ABC与△ACP,即得到S△PBA＝AC(OB+PD)＝4,用含t得式子代入即得到关于t得方程,解之即求得点P坐标.(3)作点O关于直线AB得对称点E,根据轴对称性质即有AB垂直平分OE,连接BE交抛物线于点M,即有BE＝OB,根据等腰三角形三线合一得∠ABO＝∠ABM,即在抛物线上(AB下方)存在点M使∠ABO＝∠ABM.设AB与OE交于点G,则G为OE中点且OG⊥AB,利用△OAB面积即求得OG进而得OE得长.易求得∠OAB＝∠BOG,求∠OAB得正弦与余弦值,应用到Rt△OEF即求得OF、EF得长,即得到点E坐标.求直线BE解析式,把BE解析式与抛物线解析式联立,求得x得解一个为点B横坐标,另一个即为点M横坐标,即求出点M到y轴得距离.【解答】解:(1)∵二次函数得图象经过点A(3,0)、B(0,﹣2)、C(2,﹣2)∴解得:∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2(2)如图1,设直线BP交x轴于点C,过点P作PD⊥x轴于点D设P(t,t2﹣t﹣2)(t＞3)∴OD＝t,PD＝t2﹣t﹣2设直线BP解析式为y＝kx﹣2把点P代入得:kt﹣2＝t2﹣t﹣2∴k＝t﹣∴直线BP:y＝(t﹣)x﹣2当y＝0时,(t﹣)x﹣2＝0,解得:x＝∴C(,0)∵t＞3∴t﹣2＞1∴,即点C一定在点A左侧∴AC＝3﹣∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC•OB+AC•PD＝AC(OB+PD)＝4∴＝4解得:t1＝4,t2＝﹣1(舍去)∴t2﹣t﹣2＝∴点P得坐标为(4,)(3)在抛物线上(AB下方)存在点M,使∠ABO＝∠ABM.如图2,作点O关于直线AB得对称点E,连接OE交AB于点G,连接BE交抛物线于点M,过点E作EF⊥y轴于点F ∴AB垂直平分OE∴BE＝OB,OG＝GE∴∠ABO＝∠ABM∵A(3,0)、B(0,﹣2),∠AOB＝90°∴OA＝3,OB＝2,AB＝∴sin∠OAB＝,cos∠OAB＝∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG∴OG＝∴OE＝2OG＝∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°∴∠OAB＝∠BOG∴Rt△OEF中,sin∠BOG＝,cos∠BOG＝∴EF＝OE＝,OF＝OE＝∴E(,﹣)设直线BE解析式为y＝ex﹣2把点E代入得:e﹣2＝﹣,解得:e＝﹣∴直线BE:y＝﹣x﹣2当﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2,解得:x1＝0(舍去),x2＝∴点M横坐标为,即点M到y轴得距离为.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式,一元二次方程得解法,轴对称得性质,等腰三角形性质,三角函数得应用.第(3)题点得存在性问题,可先通过画图确定满足∠ABO＝∠ABM得点M位置,通过相似三角形对应边成比例或三角函数为等量关系求线段得长.25.(14分)如图,四边形ABCD就是正方形,△EFC就是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF＝90°,FG⊥AD,垂足为点C.(1)试判断AG与FG就是否相等？并给出证明;(2)若点H为CF得中点,GH与DH垂直吗？若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由.【分析】(1)过点F作FM⊥AB交BA得延长线于点M,可证四边形AGFM就是矩形,可得AG＝MF,AM＝FG,由“AAS”可证△EFM≌△CEB,可得BE＝MF,ME＝BC＝AB,可得BE＝MA＝MF＝AG＝FG;(2)延长GH交CD于点N,由平行线分线段成比例可得,且CH＝FH,可得GH＝HN,NC＝FG,即可求DG＝DN,由等腰三角形得性质可得DH⊥HG.【解答】解:(1)AG＝FG,理由如下:如图,过点F作FM⊥AB交BA得延长线于点M∵四边形ABCD就是正方形∴AB＝BC,∠B＝90°＝∠BAD∵FM⊥AB,∠MAD＝90°,FG⊥AD∴四边形AGFM就是矩形∴AG＝MF,AM＝FG,∵∠CEF＝90°,∴∠FEM+∠BEC＝90°,∠BEC+∠BCE＝90°∴∠FEM＝∠BCE,且∠M＝∠B＝90°,EF＝EC ∴△EFM≌△CEB(AAS)∴BE＝MF,ME＝BC∴ME＝AB＝BC∴BE＝MA＝MF∴AG＝FG,(2)DH⊥HG理由如下:如图,延长GH交CD于点N,∵FG⊥AD,CD⊥AD∴FG∥CD∴,且CH＝FH,∴GH＝HN,NC＝FG∴AG＝FG＝NC。
山东省泰安市2019年中考试卷(数学解析版)
2019年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1．（4分）在实数| 3.14|-，3-，3-，π中，最小的数是( ) A ．3- B ．3-C ．| 3.14|-D ．π选B ．2．（4分）下列运算正确的是( ) A ．633a a a ÷=B ．428a a a =gC ．236(2)6a a =D ．224a a a +=【解析】A 、633a a a ÷=，故此选项正确；B 、426a a a =g ，故此选项错误；C 、236(2)8a a =，故此选项错误；D 、2222a a a +=，故此选项错误；选A ．3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为( ) A ．94.210⨯米B ．84.210⨯米C ．74210⨯米D ．74.210⨯米【解析】42万公里420000000m =用科学记数法表示为：84.210⨯米， 选B ．4．（4分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是( ) A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【解析】①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确； ②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确； ③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误； ④不是轴对称图形，故本选项错误．选A ．5．（4分）如图，直线121//1，130∠=︒，则23(∠+∠= )A ．150︒B ．180︒C ．210︒D ．240︒【解析】过点E 作1//1EF ， 121//1Q ，1//1EF ， 12//1//1EF ∴，130AEF ∴∠=∠=︒，3180FEC ∠+∠=︒，23330180210AEF FEC ∴∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒，选C ．6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是( ) A ．众数是8B ．中位数是8C ．平均数是8.2D ．方差是1.2【解析】由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A 选项正确；10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是1(88)82+=，故B 选项正确；平均数为1(6728392102)8.210+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 选项正确；方差为2222222222 1[(68.2)(78.2)(78.2)(88.2)(88.2)(88.2)(98.2)(98.2)(108.2)(108.2)] 1.56 10-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=，故D选项错误；选D．7．（4分）不等式组542(1),2532132x xx x+-⎧⎪+-⎨->⎪⎩…的解集是()A．2x„B．2x-…C．22x-<„D．22x-<„【解析】()54212532132x xx x⎧+-⎪⎨+-->⎪⎩①②…，由①得，2x-…，由②得，2x<，所以不等式组的解集是22x-<„．选D．8．（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65︒方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40︒方向航行至C 港，C港在A港北偏东20︒方向，则A，C两港之间的距离为()km．A．30303+B．303+C．10303+D．303【解析】根据题意得，6520CAB∠=︒-︒，402060ACB∠=︒+︒=︒，302AB=过B作BE AC⊥于E，90AEB CEB∴∠=∠=︒，在Rt ABE∆中，45ABE∠=︒Q，2AB=2302AE BE AB km∴===，在Rt CBE∆中，60ACB∠=︒Q，3103CE km∴==，30103AC AE CE ∴=+=+，A ∴，C 两港之间的距离为(30103)km +，选B ．9．（4分）如图，ABC ∆是O e 的内接三角形，119A ∠=︒，过点C 的圆的切线交BO 于点P ，则P ∠的度数为( )A ．32︒B ．31︒C ．29︒D ．61︒【解析】如图所示：连接OC 、CD ， PC Q 是O e 的切线， PC OC ∴⊥， 90OCP ∴∠=︒， 119A ∠=︒Q ，18061ODC A ∴∠=︒-∠=︒， OC OD =Q ，61OCD ODC ∴∠=∠=︒， 18026158DOC ∴∠=︒-⨯︒=︒， 9032P DOC ∴∠=︒-∠=︒；选A ．10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为()A．15B．25C．35D．45【解析】画树状图如图所示：Q共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为153 255=；选C．11．（4分）如图，将Oe沿弦AB折叠，¶AB恰好经过圆心O，若Oe的半径为3，则¶AB的长为()A．12πB．πC．2πD．3π【解析】连接OA、OB，作OC AB⊥于C，由题意得，12OC OA=，30OAC∴∠=︒，OA OB=Q，30OBA OAC∴∠=∠=︒，120AOB∴∠=︒，∴¶AB的长12032180ππ⨯==，选C．12．（4分）如图，矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是( )A ．2B ．4C ．2D ．22【解析】如图：当点F 与点C 重合时，点P 在1P 处，11CP DP =， 当点F 与点E 重合时，点P 在2P 处，22EP DP =， 12//PP CE ∴且1212PP CE =当点F 在EC 上除点C 、E 的位置处时，有DP FP = 由中位线定理可知：1//PP CE 且112PP CF = ∴点P 的运动轨迹是线段12P P ， ∴当12BP PP ⊥时，PB 取得最小值Q 矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为AB 的中点，CBE ∴∆、ADE ∆、1BCP ∆为等腰直角三角形，12CP = 145ADE CDE CPB ∴∠=∠=∠=︒，90DEC ∠=︒ 2190DP P ∴∠=︒ 1245DPP ∴∠=︒2190P PB ∴∠=︒，即112BP PP ⊥， BP ∴的最小值为1BP 的长在等腰直角1BCP 中，12CP BC ==1BP ∴=PB ∴的最小值是选D ．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x k x k --++=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 114k <-． 【解析】∴△22(21)4(3)41120k k k =--+=-+->， 解得114k <-； 答案：114k <-． 14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为 911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩．【解析】设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得： 911(10)(8)13x yy x x y =⎧⎨+-+=⎩， 答案：911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩．15．（4分）如图，90AOB ∠=︒，30B ∠=︒，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A 、点C ，交OB 于点D ，若3OA =，则阴影都分的面积为34π ．【解析】连接OC ，作CH OB ⊥于H ， 90AOB ∠=︒Q ，30B ∠=︒， 60OAB ∴∠=︒，26AB OA ==，由勾股定理得，2233OB AB OA =-=， OA OC =Q ，60OAB ∠=︒， AOC ∴∆为等边三角形， 60AOC ∴∠=︒， 30COB ∴∠=︒，CO CB ∴=，1322CH OC ==，∴阴影都分的面积226031313303333333602223604πππ⨯⨯=-⨯⨯⨯+⨯⨯-=，答案：34π．16．（4分）若二次函数25y x bx =+-的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程25213x bx x +-=-的解为 12x =，24x = ．【解析】Q 二次函数25y x bx =+-的对称轴为直线2x =，∴22b-=， 得4b =-，则25213x bx x +-=-可化为：245213x x x --=-， 解得，12x =，24x =． 故意答案为：12x =，24x =．17．（4分）在平面直角坐标系中，直线:1l y x =+与y 轴交于点1A ，如图所示，依次作正方形111OA B C ，正方形1222C A B C ，正方形2333C A B C ，正方形3444C A B C ，⋯⋯，点1A ，2A ，3A ，4A ，⋯⋯在直线l 上，点1C ，2C ，3C ，4C ，⋯⋯在x 轴正半轴上，则前n 个正方形对角线长的和是2(21)n - ．【解析】由题意可得，点1A 的坐标为(0,1)，点2A 的坐标为(1,2)，点3A 的坐标为(3,4)，点4A 的坐标为(7,8)，⋯⋯， 11OA ∴=，122C A =，234C A =，348C A =，⋯⋯，∴前n 个正方形对角线长的和是：1112233412()2(12482)n n n OA C A C A C A C A --++++⋯+=++++⋯+，设112482n S -=++++⋯+，则1224822n n S -=+++⋯++， 则221n S S -=-， 21n S ∴=-，11248221n n -∴++++⋯+=-，∴前n 个正方形对角线长的和是：2(21)n ⨯-，答案：2(21)n -，18．（4分）如图，矩形ABCD 中，36AB =，12BC =，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将AEF ∆沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是 215 ．【解析】如图，连接EC ， Q 四边形ABCD 为矩形，90A D ∴∠=∠=︒，12BC AD ==，36DC AB ==E Q 为AD 中点，162AE DE AD ∴=== 由翻折知，AEF GEF ∆≅∆，6AE GE ∴==，AEF GEF ∠=∠，90EGF EAF D ∠=∠=︒=∠， GE DE ∴=， EC ∴平分DCG ∠， DCE GCE ∴∠=∠，90GEC GCE ∠=︒-∠Q ，90DEC DCE ∠=︒-∠， GEC DEC ∴∠=∠，1180902FEC FEG GEC ∴∠=∠+∠=⨯︒=︒，90FEC D ∴∠=∠=︒，又DCE GCE ∠=∠Q ， FEC EDC ∴∆∆∽，∴FE ECDE DC=， 22226(36)310EC DE DC =+=+=Q ，∴310636FE =， 215FE ∴=，答案：215．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 19．（8分）先化简，再求值：2541(9)(1)11a a a a a --+÷--++，其中2a = 【解析】原式228925141()()1111a a a a a a a a ----=+÷-++++22816411a a a a a a -+-=÷++2(4)11(4)a a a a a -+=+-g 4a a-=， 当2a =时，原式241222-==-．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）:组别分数 人数 第1组90100x <„ 8 第2组8090x <„ a 第3组7080x <„ 10 第4组6070x <„ b 第5组5060x <„ 3请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a ，b 的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？【解析】（1）抽取学生人数1025%40÷=（人)，第2组人数4050%812⨯-=（人)，第4组人数4050%1037⨯--=（人)，12a ∴=，7b =；（2）33602740︒⨯=︒， ∴ “第5组”所在扇形圆心角的度数为27︒；（3）成绩高于80分：180050%900⨯=（人)，∴成绩高于80分的共有900人．21．（11分）已知一次函数y kx b=+的图象与反比例函数myx=的图象交于点A，与x轴交于点(5,0)B，若OB AB=，且152OABS∆=．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，ABP∆是等腰三角形，求点P的坐标．【解析】（1）如图1，过点A作AD x⊥轴于D，(5,0)BQ，5OB∴=，152OABS∆=Q，∴115522AD⨯⨯=，3AD∴=，OB AB=Q，5AB∴=，在Rt ADB∆中，224BD AB AD=-=，9OD OB BD∴=+=，(9,3)A∴，将点A坐标代入反比例函数myx=中得，9327m=⨯=，∴反比例函数的解析式为27yx=，将点(9,3)A，(5,0)B代入直线y kx b=+中，9350k bk b+=⎧⎨+=⎩，∴3434kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线AB 的解析式为3344y x =-； （2）由（1）知，5AB =，ABP ∆Q 是等腰三角形，∴①当AB PB =时，5PB ∴=，(0,0)P ∴或(10,0)，②当AB AP =时，如图2，由（1）知，4BD =，易知，点P 与点B 关于AD 对称，4DP BD ∴==，54413OP ∴=++=，(13,0)P ∴，③当PB AP =时，设(,0)P a ，(9,3)A Q ，(5,0)B ，22(9)9AP a ∴=-+，22(5)BP a =-，22(9)9(5)a a ∴-+=-658a ∴=， 65(8P ∴，0)， 即：满足条件的点P 的坐标为(0,0)或(10,0)或(13,0)或65(8，0)．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A 、B 两种粽子1100个，购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同．已知A 种粽子的单价是B 种粽子单价的1.2倍．（1）求A 、B 两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A 、B 两种粽子共2600个，已知A 、B 两种粽子的进价不变．求A 种粽子最多能购进多少个？【解析】（1）设B 种粽子单价为x 元/个，则A 种粽子单价为1.2x 元/个，根据题意，得：1500150011001.2x x+=， 解得： 2.5x =，经检验， 2.5x =是原方程的解，且符合题意，1.23x ∴=．答：A 种粽子单价为3元/个，B 种粽子单价为2.5元/个．（2）设购进A 种粽子m 个，则购进B 种粽子(2600)m -个，依题意，得：3 2.5(2600)7000m m +-„，解得：1000m „．答：A 种粽子最多能购进1000个．23．（13分）在矩形ABCD 中，AE BD ⊥于点E ，点P 是边AD 上一点．（1）若BP 平分ABD ∠，交AE 于点G ，PF BD ⊥于点F ，如图①，证明四边形AGFP 是菱形；（2）若PE EC ⊥，如图②，求证：AE AB DE AP =g g ；（3）在（2）的条件下，若1AB =，2BC =，求AP 的长．【解答】（1）证明：如图①中，Q 四边形ABCD 是矩形，90BAD ∴∠=︒，AE BD ⊥Q ，90AED ∴∠=︒，90BAE EAD ∴∠+∠=︒，90EAD ADE ∠+∠=︒，BAE ADE ∴∠=∠，AGP BAG ABG ∠=∠+∠Q ，APD ADE PBD ∠=∠+∠，ABG PBD ∠=∠， AGP APG ∴∠=∠，AP AG ∴=，PA AB ⊥Q ，PF BD ⊥，BP 平分ABD ∠，PA PF ∴=，PF AG ∴=，AE BD ⊥Q ，PF BD ⊥，//PF AG ∴，∴四边形AGFP 是平行四边形，PA PF =Q ，∴四边形AGFP 是菱形．（2）证明：如图②中，AE BD ⊥Q ，PE EC ⊥，90AED PEC ∴∠=∠=︒，AEP DEC ∴∠=∠，90EAD ADE ∠+∠=︒Q ，90ADE CDE ∠+∠=︒，EAP EDC ∴∠=∠，AEP DEC ∴∆∆∽， ∴AE AP DE DC=， AB CD =Q ，AE AB DE AP ∴=g g ；（3）解：Q 四边形ABCD 是矩形，2BC AD ∴==，90BAD ∠=︒，BD ∴=，AE BD ⊥Q ，1122ABD S BD AE AB AD ∆∴==g g g g ，AE ∴，DE ∴ AE AB DE AP =Q g g ；112AP ∴==． 24．（13分）若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴、y 轴分别交于点(3,0)A 、(0,2)B -，且过点(2,2)C -．（1）求二次函数表达式；（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且4PBA S ∆=，求点P 的坐标；（3）在抛物线上(AB 下方）是否存在点M ，使ABO ABM ∠=∠？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由．【解析】（1）Q 二次函数的图象经过点(3,0)A 、(0,2)B -、(2,2)C -∴930002422a b c c a b c ++=⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩ 解得：23432a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩∴二次函数表达式为224233y x x =-- （2）如图1，设直线BP 交x 轴于点C ，过点P 作PD x ⊥轴于点D设(P t ，2242)(3)33t t t --> OD t ∴=，224233PD t t =-- 设直线BP 解析式为2y kx =-把点P 代入得：2242233kt t t -=-- 2433k t ∴=- ∴直线24:()233BP y t x =-- 当0y =时，24()2033t x --=，解得：32x t =- 3(2C t ∴-，0) 3t >Q21t ∴->∴332t <-，即点C 一定在点A 左侧 33(3)322t AC t t -∴=-=-- 111()4222PBA ABC ACP S S S AC OB AC PD AC OB PD ∆∆∆=+=+=+=Q g g∴213(3)24(22)42233t t t t -+--=-g g 解得：14t =，21t =-（舍去） ∴2243216102233333t t --=--= ∴点P 的坐标为10(4,)3 （3）在抛物线上(AB 下方）存在点M ，使ABO ABM ∠=∠．如图2，作点O 关于直线AB 的对称点E ，连接OE 交AB 于点G ，连接BE 交抛物线于点M ，过点E 作EF y ⊥轴于点FAB ∴垂直平分OEBE OB ∴=，OG GE =ABO ABM ∴∠=∠(3,0)A Q 、(0,2)B -，90AOB ∠=︒3OA ∴=，2OB =，ABsin OB OAB AB ∴∠==，cos OA OAB AB ∠==1122AOB S OA OB AB OG ∆==Q g gOA OB OG AB ∴==g2OE OG ∴==90OAB AOG AOG BOG ∠+∠=∠+∠=︒QOAB BOG ∴∠=∠Rt OEF ∴∆中，sin EF BOG OE ∠==cos OF BOG OE ∠==2413EF ∴==，3613OF == 24(13E ∴，36)13- 设直线BE 解析式为2y ex =-把点E 代入得：243621313e -=-，解得：512e =- ∴直线5:212BE y x =-- 当2524221233x x x --=--，解得：10x =（舍去），2118x =∴点M横坐标为118，即点M到y轴的距离为118．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，EFC∆是等腰直角三角形，点E在AB上，且90CEF∠=︒，FG AD⊥，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．【解析】（1）AG FG=，理由如下：如图，过点F作FM AB⊥交BA的延长线于点MQ四边形ABCD是正方形∠=︒=∠B BAD∴=，90AB BCQ，90FM AB⊥⊥∠=︒，FG ADMAD∴四边形AGFM是矩形=，AG MF∴=，AM FGQ，∠=︒90CEF∠+∠=︒BEC BCE90∴∠+∠=︒，90 FEM BEC∠=∠=︒，EF EC=∴∠=∠，且90M BFEM BCE∴∆≅∆()EFM CEB AAS∴=，ME BCBE MF=∴==ME AB BC∴==BE MA MF∴=，AG FG（2）DH HG⊥理由如下：如图，延长GH交CD于点N，Q，CD AD⊥⊥FG AD∴//FG CD∴FG FH GHCN CH NH==，且CH FH=，GH HN∴=，NC FG=AG FG NC∴==又AD CD=Q，GD DN∴=，且GH HN=DH GH∴⊥21/ 21。