15.3.3 三数和的完全平方公式

15.3.3 三数和的完全平方公式

我们来计算2()a b c ++（教材184P 例5（2））。

222

()()()[()][()]()2()a b c a b c a b c a b c a b c a b a b c c ++=++++=++++=++++222222222222a ab b ac bc c a b c ab bc ca =+++++=+++++。 一般地，我们有

即三个数的和的平方，等于它们的平方和，再加上每两个数的积的2倍。 这个公式叫做（乘法的）三数和的完全平方公式。

练习

运用三数和的完全平方公式计算：

（1）2()a b c -+；

（2）2()a b c +-；

（3）2()a b c --；

（4）2()a b c --+。

例1 运用三个数的完全平方公式计算：

（1）2(2)x y z ++； （2）2(2)a b c -+； （3）2(3)m n --。 解：（1）2222

(2)(2)2(2)2(2)2x y z x y z x y y z z x ++=+++??+??+?? 2224442x y z xy yz xz =+++++； （2）2222

(2)(2)2(2)2(2)2a b c a b c a b b c c a -+=+-++??-+?-?+?? 2224442a b c ab bc ac =++--+； （3）2

(3)m n --

222()(3)2()2()(3)2(3)()m n m n n m =+-+-=??-+?-?-+?-? 22

9266m n mn n m =++-+-

222669m mn n m n =-+-++。

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．

例3 运用三数和的完全平方公式计算：

（1）2213； （2）2128。

解：（1）22222213(200103)200103220010210323200=++=+++??+??+?? 4000010094000601200=+++++

45369=；

（2）22128(100302)=+-

222

10030(2)210030230(2)2(2)100=++-+??+??-+?-?

1000090046000120400=+++--

16384=。 练习

1．运用三数和的完全平方公式计算：

（1）2(3)x y z --； （2）2(14)y z +-；

（3）2(32)a b c --+； （4）22(2)x x -+；

（5）2(234)x y z ++； （6）2(34)x y z --。

2．下面各式的计算错在哪里？应该怎样改正？

（1）2222()222a b c a b c ab bc ca ---=------；

（2）2222()222a b c a b c ab bc ca -++=-++-+-。

3．运用三数和的完全平方公式计算：

（1）2142； （2）2239。

4．已知1113,4,5201020a x b x c x =

+=+=+，求代数式22222a b c ab bc ac ++--+的值．

5．已知,,a b c 为三角形的三边，2228a b c ++=，4ab bc ac --=，求a b c +-的值．