精品解析：【全国百强校Word】河北省衡水中学2018届高三上学期九模考试数学(理)试题(原卷版)
2017~2018学年度上学期高三年级九模考试
数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.
若全集为实数集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.
已知是虚数单位，是的共轭复数，，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.
命题“且”的否定形式是（ ）
A. 或 B.
或
C. 或 D.
且
4.
阅读如图所示的程序框图，若输入的，则该算法的功能是（ ）
学|科|网...学|科|网
...
A. 计算数列的前10项和
B. 计算数列的前9项和
C. 计算数列的前10项和
D. 计算数列的前9项和
5.
直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为1，则（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
6.
已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则
（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D.
7.
“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流行多年的猜拳游戏.起源于中国，然后传到日本、朝鲜
等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世家.其游戏规则是：出拳之前双方齐
喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸
开代表“布”．“石头”胜“剪刀”， “剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，若所出的拳相同，则
为和局.小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大明比赛至第
四局小军胜出的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
9.
已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A.
的图象关于直线对称
B.
在区间上单调递减
C.
若，则
D.
的最小正周期为
10.
已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，
，则点的轨迹经过的（ ）
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
11.
已知函数，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12.
已知抛物线，圆.过点的直线交圆于两点，交抛物线于两
点，且满足的直线恰有三条，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.
一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；
生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨，现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基
础上生产这两种混合肥料。如果生产1车皮甲种肥料，产生的利润为12000元；生产1车皮乙种肥料，产
生的利润为7000元。那么可产生最大的利润是__________元．
14.
如图，为了测量河对岸两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点；找到一
个点，从点可以观察到点：找到一个点，从点可以观察到点；并测得到一些数据：，
，，，，，，则两点之间的距离为
__________．（其中取近似值）
15. 若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是__________
．
16.
如图，在矩形中，，.四边形为边长为2的正方形，现将矩形沿过点的
动直线翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上，若点在折痕上射影为，则的
最小值为 __________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.
已知是等比数列的前项和，成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，请说明理由.
18.
已知正三棱柱中，分别为的中点，设.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的平面角为，求实数的值，并判断此时二面角是否为直二面角，请说明
理由.
19.
某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为；若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其
进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为.每台仪器各项费用如表：
（1）求每台仪器能出厂的概率；
（2）求生存一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费）；
（3）假设每台仪器是否合格相互独立，记为生存两台仪器所获得的利润，求的分布列和数学期望.
20.
如图，椭圆的左右焦点分别为，离心率为；过抛物线焦点的
直线交抛物线于两点，当时，点在轴上的射影为，连结并延长分别交于两
点，连接；与的面积分别记为，设.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）求的取值范围.
21.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.
选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线过，倾斜角为，以为极点，轴在平面直角坐标系中，直线
，曲线（为参数），坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标
系.
（1）求的极坐标方程；
（2）若曲线的极坐标方程为，且曲线分别交于点两点，求的最大值.
23.
选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若函数的最小值为2，求实数的值；
（2）若命题“存在，满足不等式”为假命题，求实数的取值范围.
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试理数试题
2017-2018学年度上学期高三年级七调考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|||2}A x x =<，{|}B x x a =>，全集U R =，若U A B ⊆ð，则有（ ） A ．0a = B ．2a ≤ C ．2a ≥ D ．2a <2.若复数z 满足341z i +-=（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ） A ．-2 B ．4 C ．4i D ．-43.已知1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则122a ab +的值是（ ） A ．52 B ．52- C ． 52或52- D ． 124.如图，5个(,)x y 数据，去掉(3,10)D 后，下列说法错误的是（ ）A ．相关系数r 变大B ．残差平方和变大C.相关指数2R 变大 D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强5.已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ︒∠=，则该椭圆的离心率e 的取值范围为（ ） A ．2(0,]2B ．2[,1)2 C. 3(0,]2 D ．3[,1)2 6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，1(,1,0)2，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的侧（左）视图可以为（ ）A． B． C. D．7.函数1()sin(ln)1xf xx-=+的图像大致为（）A． B．C. D．8.更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”下图是该算法的程序框图，若输入102a=，238b=，则输出a的值是（）A． 68 B．17 C.34 D．369.已知e为自然对数的底数，若对任意的1[,1]xe∈，总存在唯一的(0,)y∈+∞，使得ln ln 1y yx x a y+++=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．(,0]-∞ C. 2(,]e eD ．(,1]-∞-10.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min ，广告的总播放时长不少于30min ，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ） A ．6，3 B ．5，2 C. 4，5 D ．2，711.已知在正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为（ ）A ．26 B ．23 C.24 D ．2512.已知(sin,sin )2a x x ωω=，1(sin,)22b x ω=，其中0ω>，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．1(0,]8B ． 5(0,]8C. 15(0,][,1]88⋃ D ．115(0,][,]848⋃二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图，在半径为2的扇形AOB 中，90AOB ︒∠=，P 为弧AB 上的一点，若2OP OA ⋅=，则OP AB ⋅的值为 ．14.若从区间(0,)e （e 为自然对数的底数， 2.71828e =）内随机选取两个数，则这两个数之积小于e 的概率为 ．15.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列四个论断中正确的是 ．（把你认为是正确论断的序号都写上） ①若sin cos A B a b =，则4B π=； ②若4B π=，2b =，3a =，则满足条件的三角形共有两个；③若a ，b ，c 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则ABC 为正三角形； ④若5a =，2c =，ABC 的面积4ABCS=，则3cos 5B =. 16.设椭圆C 的两个焦点是1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，若212||||PF F F =，且115||6||PF FQ =，则椭圆C 的离心率为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231()n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列21{}nn a -的前n 项和n T . 18.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，侧面11ABB A 为菱形，1DAB DAA ∠=∠.（1）求证：1A B AD ⊥.（2）若2AD AB BC ==，160A AB ︒∠=，D 在平面11ABB A 内的射影恰为线段1A B 的中点，求平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.19.某保险公司针对企业职工推出一款意外保险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元. 保险公司把职工从事的所有岗位共分为A ，B ，C 三类工种，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.（1）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每份保单保费的上限；（2）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图所示，老板准备为全体职工购买此种保险，并以（1）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润. 20.如图，已知椭圆的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F ，2F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且双曲线的实轴长等于虚轴长，设P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D ，且点,A C 在x 轴的同一侧.（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）是否存在题设中的点P ，使得3||||||||4AB CD AB CD +=⋅？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数1()x f x ea -=+，函数()ln g x ax x =+，a R ∈.（1）求函数()y g x =的单调区间；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若(1,)x ∈+∞，求证不等式12ln 1x ex x -->-+成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为(1,0)，若直线l 的极坐标方程为2cos()104πρθ+-=，曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩，(m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11||||MA MB +. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数2()4f x x ax =++，()|1||1|g x x x =++-. （1）求不等式()3g x ≥的解集；（2）若2[2,2]x ∀∈-，1[2,2]x ∃∈-，使得不等式12()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBABB 6-10:BBCBA 11、12：BD二、填空题13. 223-+ 14.2e 15. ①③ 16. 911三、解答题17.解：（1）当1n =时，11231S a =-，所以11a =；当2n ≥时，11231n n S a --=-，则1122233n n n n n a S S a a --=-=-，即13n n a a -=.又因为11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以1*3()n n a n N -=∈.（2）由（1）得121213n n n n a ---=，所以122135232113333n n n n n T ----=+++++， ① 3252321333333n n n n n T ----=+++++， ② ②-①，得221222212323333n n n n T ---=+++++-111112122332613313n n n n n -----+=+⨯-=--， 所以*113()3n n n T n N -+=-∈.18.（1）证明：如图，连接1AB ，1A D ，BD ，设1AB 交1A B 于点O ，连接OD . 由AD AD =，1AA AB =，1DAB DAA ∠=∠，得1AA D ABD ≅，所以1A D BD =.又O 是线段1A B 的中点，所以1OD A B ⊥，又根据菱形的性质得1AO A B ⊥，且AO OD O ⋂=， 所以1A B ⊥平面ADO ，从而1A B AD ⊥.（2）解：由题意知DO ⊥平面11ABB A ，又11AO A B ⊥，即1OB OB ⊥，所以OB ，1OB ，OD 两两垂直. 以OB ，1OB ，OD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.设22AD AB BC a ===，由160A AB ︒∠=，可知OB a =，13OA OB a ==， 所以22OD AD OA a =-=，从而(0,3,0)A a -，(,0,0)B a ，1(0,3,0)B a ，(0,0,)D a .所以11(,3,0)CC BB a a ==-.由12BC AD =，得31(,,)22C a a a ，所以31(,,)22DC a a a =-. 设平面11DCC D 的法向量为000(,,)m x y z =，由100m CC m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得000003031022ax ay ax ay az ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩， 令01y =，则03x =，033z =，所以(3,1,33)m =. 又平面11ABB A 的一个法向量为(0,0,)OD a =， 所以33393cos ,31||||31OD m a OD m OD m a⋅〈〉===. 故平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值为39331. 19.解：（1）设工种A 的每份保单保费为a 元，保险公司每单的收益为随机变量X 元，则X 的分布列为保险公司的期望收益为45511()(1)(5010)51010E X a a a =-+-⨯⨯=-（元）. 由题意得50.2a a -≤，解得 6.25a ≤(元).设工种B 的每份保单保费为b 元，赔付金期望值为45501021010⨯⨯=（元），则保险公司的期望利润为(10)b -元. 由题意得100.2b b -≤，解得12.5b ≤（元）.设工种C 的每份保单保费为c 元，赔付金期望值为4450105010⨯=（元）， 则保险公司的期望利润为(50)c -元. 由题意得500.2c c -≤，解得62.5c ≤（元）. 综上，工种,,A B C 的每份保单保费的上限分别为6.25元，12.5元，62.5元. （2）购买A 类产品的份数为2000060%12000⨯=（份）， 购买B 类产品的份数为2000030%6000⨯=（份）， 购买C 类产品的份数为2000010%2000⨯=（份），企业支付的总保费为12000 6.25600012.5200062.5275000⨯+⨯+⨯=（元）， 保险公司在这宗交易中的期望利润为27500020%55000⨯=（元）. 20.解：（1）由题意知，椭圆离心率22c e a ==，即2a c =，又224(21)a c +=+， 所以22a =，2c =，所以2224b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22184x y +=. 所以椭圆的焦点坐标为(2,0)±，又双曲线为等轴双曲线，且顶点是该圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144x y -=. （2）设000(,)(2)P x y x ≠±，则1002PF y k x =+，2002PF y k x =-， 因为点P 在双曲线22144x y -=上，所以121PF PF k k ⋅=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线1PF 的方程为(2)y k x =+，所以直线2PF 的方程为1(2)y x k=-， 联立22184(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2222(21)8880k x k x k +++-=， 所以2122821k x x k +=-+，21228821k x x k -⋅=-+，所以221212||1()4AB kx x x x =++-⋅=2222228881()42121k k k k k -+⋅--⨯++2242(1)21k k +=+. 同理可得22142[1()]||12()1k CD k+=+2242(1)2k k +=+.由题知124||||||||cos ()3AB CD AB CD F PF θθ+=⋅⋅=∠， 即411cos ()3||||CD AB θ=+=2243(1)23242(1)k k +⨯=+. 因为1212||||cos PF PF PF PF θ⋅=， 即0000(2)(2)()()x x y y ---+--=222200002(2)(2)2x y x y ++⋅-+⋅， 又因为22004x y -=，所以222220000022(4)(2)4(2)42x x x x x -=++-⋅-+-⋅=220000224242x x x x +⋅-⋅22002(4)x x =-，所以208x =，204y =.即存在满足题意的点P ，且点P 的坐标为(22,2)±±. 21.（1）解：函数()g x 的定义域为(0,)+∞， 因为()ln g x ax x =+，a R ∈，所以11()ax g x a x x+'=+=. 当0a ≥时，()0g x '>在区间(0,)+∞内恒成立，所以函数()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间； 当0a <时，令()0g x '>，得10x a <<-，令()0g x '<，得1x a>-， 所以函数()g x 的单调递增区间为1(0,)a-，单调递减区间为1(,)a-+∞.（2）解：()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立， 即1ln 10x ex a ax --+--≤在区间[1,)+∞内恒成立.设1()ln 1x F x e x a ax -=-+--，则(1)0F =，11x F e a x-'=--在区间[1,)+∞内单调递增，所以()(1)F x F a '≥'=-.当0a ≤时，()0F x '≥，()F x 在区间[1,)+∞内为增函数，所以()(1)0F x F ≥=恒成立；当0a >时，(1)0F '<，因为()F x '在区间[1,)+∞内单调递增，所以0(1,)x ∃∈+∞，在区间0(1,)x 内，有()0F x '<，所以()F x 在区间0(1,)x 内单调递减，所以()(1)0F x F <=，这时不合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(,0]-∞. （3）证明：要证明在区间(1,)+∞内，12ln 1x ex x -->-+，只需证明1(ln 1)(ln )0x e x x x ---+->，由（2）知，当0a =时，在区间(1,)+∞内，有1ln 10x e x --->恒成立.令()ln G x x x =-，在区间(1,)+∞内，11()10x G x x x-'=-=>， 所以函数()G x 在区间(1,)+∞内单调递增，所以()(1)10G x G >=>，即ln 0x x ->. 所以1(ln 1)(ln )0x ex x x ---+->，所以原不等式成立.22.解：（1）由2cos()104πρθ+-=，得cos sin 10ρθρθ--=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =. （2）点M 的直角坐标为(1,0)，点M 在直线l 上.设直线l 的参数方程为21222t x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以1212||11||||||t t MA MB t t -+==2121222()432321||8t t t t t t +-+==.23.解：（1）()3g x ≥，即|1||1|3x x ++-≥，此不等式等价于1(1)(1)3x x x ≤-⎧⎨-+--≥⎩或11(1)(1)3x x x -<<⎧⎨+--≥⎩或1113x x x ≥⎧⎨++-≥⎩，解得32x ≤-或32x ≥，所以()3g x ≥的解集为3{|2x x ≤-或3}2x ≥. （2）因为2[2,2]x ∀∈-，1[2,2]x ∃∈-，使得12()()f x g x ≤成立，所以()()([2,2])min min f x g x x ≤∈-.又()2min g x =，所以()2([2,2])min f x x ≤∈-. 当22a -≤-，即4a ≥时，()(2)424822min f x f a a =-=-+=-≤，解得3a ≥，所以4a ≥； 当22a -≥，即4a ≤-时，()(2)424822min f x f a a ==++=+≤，解得3a ≤-，所以4a ≤-； 当222a -<-<，即44a -<<时，22()()42242min a a a f x f =-=-+≤，解得22a ≥或22a ≤-， 所以422a -<≤-或224a ≤<.综上，实数a 的取值范围为(,22][22,)-∞-⋃+∞.。
河北省衡水中学2018-2019学年高三上学期一调考试数学(理)试题Word版含答案.pdf
A． 1 2
B． 2 2
3. 如图，网格纸上小正方形的边长为
积为（ ）
2
C．
4
D． 2 16
1 ，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体
A． 8
B． 12
C． 18
4. 已知 p ：方程 x2 2ax 1 0 有两个实数根； q ：函数 f x
下列： ① p q ；② p q ；③ p q ；④ p q ．
b
（ 1）若函数 y f x 存在极大值和极小值，求
的取值范围；
a
（ 2）设 m， n分别为 f x 的极大值和极小值，若存在实数 b
e
1 e2 a,
1 a
，使得
2 e 2e
m n 1，求 a 的取值范围．
21. （本小题满分 12 分）
已知函数 f x xln x ， g x
x ex ．
（ 1）记 F x f x g x ，判断 F x 在区间 1,2 内的零点个数并说明理由；
（ 2）记 F x 在 1,2 内的零点为 x0 ， m x min f x , g x ，若 m x n （ n R ）
在 1, 内有两个不等实根 x1， x2 （ x1 x2 ），判断 x1 x2 与 2x0 的大小，并给出对应的证
明．
请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
2018-2019 学年
数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共 60 分） 最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。
卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学(理)试题(原卷版)
2017—2018学年度第一学期高三十模考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 设集合）B. C. D.2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. ）C.4. 设为）C.5. 函数的图象大致是（）A. B. ......C. D.6. 已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为）B.D.7. ）B.8. 执行如下程序框图，则输出结果为（）C.9. 如图，：的右顶点为右焦点为，，若直线平分线段于，则椭圆）C.10. 设函数为定义域为的奇函数，且时，）B. C.11. 已知函数（）12. 已知直线：，若存在实数使得一条曲线与直线点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：；④的“绝对曲线”的条数为（）C.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 已知实数_______．14. 双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，的内心，，且__________．15. 若平面向量________．16. 观察下列各式：；；……__________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17. .（1）求数列的通项公式；（2.18. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1.（2）若从学习时间不少于人，设选到的男生人数为.（3.（只需写出结论）19. 如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知（1（2.20. 在平面直角坐标平面中，.（1）求顶点的轨迹的方程；（2）作两条互相垂直的直线，，，的中点分别为①求四边形②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.21. 已知函数（1，求函数（2）若函数上单调递增，求实数（3）已知请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，曲线中，曲线的参数方程为：.（1）求曲线（2后得到曲线的最小值.23. [选修4-5：不等式选讲]（1）当时，解不等式（2.。
河北省衡水中学2018届高三上学期五调考试数学(理)试题Word版含答案 教师版 答案
2017~2018学年度上学期高三年级五调考试数学(理科)试卷参考答案13．0 14．5- 15．1 16．1．答案：B解析： {}(){}2230{|13},ln 2{|2}A x x x x x B x y x x x =--<=-<<==-=<，所以{|12}A B x x =-<< 2．答案：A解析：z ==3．答案：C解析：cos 2y x =向左平移12个单位，得到1cos 2cos(21)2y x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图像 4．答案：C解析：()(1,2),(2,1)(1,2)2(1)1(2)0a b a a b -=--⋅-=-⋅--=-⨯-+⨯-=，()a ab ∴⊥-5．答案：D解析：选项A ，当0c =时不成立；选项B ，举反例，如2,1,2,1a b c d ===-=-，此时a b c d=， 选项C ，举反例，如2,1a c b d ====，此时a c b d -=-，选项D ，因为a b >，且0ab >，两边同时除以ab ，得11b a>，即11a b <6．答案：D解析：该几何体为四棱锥，直观图如图所示，底面是边长为21(22)33V =⨯⨯=7．答案：A解析：当1x =-时，得30123(54)1a a a a -+-=-+=-，即()()02131a a a a +-+=-8．答案：C解析：设首项为1a ，显然公比10,0a q >>，当1q =时显然成立，当1q >时，2111a a q a q +>，即210q q --<，解得：112q +<<，当01q <<时，2111a q a q a +>，即210q q +->，1q <<，综上可知，公比q的取值范围是11,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 9．答案：B解析：使得90APB ∠=︒的动点P 在以AB 为直径的圆上，即点P 的坐标满足222()x y a x a +=≠±，所以圆222()x y a x a +=≠±与圆22((1)1x y +-=有公共点，圆心距为2，所以121a a -+≤≤，所以13a ≤≤ 10．答案：C 解析：123,,222p p pAF x BF x CF x =+=+=+，因为,,AF BF CF 成等差数列，所以 2BF AF CF =+，所以2132222p p p x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得：2132x x x =+，即123,,x x x11．答案：A11122PF r -2ce a=≤12．答案：A解析：因为(f 又()f f x ⎡+⎢⎣3()log 4f b b b ∴=+=，显然3b =，故3()3log f x x =+，3()3log f x x -=，设32 ()6g x x x=-()0,()g x g x'>(1)f a=，个交点，只需满足13．答案：0解析：设圆心(1,2)1d∴==，解得0a=14．答案：5-解析：5,4,3a b c===，所以12(3,0),(3,0)F F-，122210PF a PF PF=-=-，所以12210105PM PF PM PF MF-=+--=-≥，当点P为椭圆与线段2MF的交点时，1PM PF-取得最小值．15．答案：1解析：如图，1,1AB AF CD DF=-=-，设1122(,),(,)A x y D x y，将(1)y k x=-代入24y x=，得2222(24)0k x k x k-++=，则21212224,1kx x x xk++==，则121,1AF x DF x=+=+，()()12111AB CD AF DF x x⋅=--==222cos4522AB AE BEBAE BAEAB BE+-∠===∴∠=︒⋅，过B作BG AE⊥于点G，则AG BG===AB中点F，连接FG并延长交直线l于点O，显然FG是线段AB的垂直平分线，所以点O即为球心，EO GE==AO===A CDBElABEFGO17．（1）由题意知26214a a a=，所以2111(5)()(13)a d a d a d+=++，化简得213a d d=．因为16,0a d=≠，所以2d=，（3分）所以24na n=+（6分）（2）由（1）得2111(1)(24)(1)(n 2)12n b n n n n n ===-++++++ （8分） 所以1231111111123344512n n S b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+? 11222(2)nn n =-=++ （12分） 18．（1）证明：由题意知：243ππω=，接的32ω=， （2分）由题意得sin sin 2cos cos sin cos B C B CA A+--=，所以sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin B A C A A B A C A +=--， 所以sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin B A B A C A C A A +++=，所以sin sin 2sin C B A +=，由正弦定理得2b c a += （5分）（2）因为2,b c a b c +==，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形，又21sin 24OAB ABC OACB S S S OA OB AB θ=+=⋅+△△四边形)22sin 2cos 2sin 434OA OB OA OB πθθθ⎛⎫=++-⋅=-+ ⎪⎝⎭， （8分） 因为(0,)θπ∈，所以2,233πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当且仅当32ππθ-=，即56πθ=时，OACB S 四边形取得最大值，且最大值为2+（12分） 19．（1）证明：取AP 的中点M ，连接,DM BM ，因为,DA DP BA BP ==，所以,PA DM PA BM ⊥⊥，因为DM BM M = ，所以PA ⊥平面DMB ，又因为BD ⊂平面DMB ，所以PA BD ⊥ （4分）（2）因为,,,60DA DP BA BP DA DP ABP ==⊥∠=︒，所以DAP △是等腰直角三角形，ABP △是等边三角形．因为2AB BP BD ===，所以1,DM BM =所以222BD MB MD =+，所以MD MB ⊥． （6分）如图，以M 为坐标原点，,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)A B P D -，从而得(1,0,1),(1DP DC AB =-==(1,BP = (1,0,1)BC AD ==．设平面DPC 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111110n DP x z n DC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取11y =，则11x z ==1(,n =．设平面PCB 的法向量2222(,,)n x y z =，由2221220n BC x z n BP x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取21y =，则22x z =2,n =．所以1212121cos ,7n n n n n n ⋅==⋅，设二面角D PC B --的大小为α，则sin 7α== （12分）20．解：（1）由4A P B P+=，得24a =，所以2a =．又椭圆过点1,2⎛ ⎝⎭，所以213144b +=，解得1b =．故椭圆C 得方程为2214x y += （2分） 设点0(,)P x y ，则由GPH APB △～△，得003GHy AB y -=003y y -=，则031GH y ⎫=-⎪⎭，由于001y <≤，得0314GH y ⎫=-⎪⎭≥01y =时取等号，所以线段GH的长度的最小值为 （5分） （2）由（1）可知，当线段GH 的长度取得最小值时，01y =，将点0(,1)x 代入2214x y +=，得00x =，故此时点(0,1)P ，则直线AP的方程为1y =+， 此时2AP =．当平行于AP 的直线l 与椭圆下方相切且T 为切点时，TPA △的面积取得最大值．设直线:3l y m =+，则由2214y m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22712120x m ++-=，所以2247(1212)0m ∆=-⨯-=，解得：m =或m =（舍去） （8分）由平行线间的距离公式，得此时点T 到直线AP的距离2d ==， 故()max 11222TPA S AP d =⋅=⨯=即TPA △（12分） 21．解：（1）因为()f x 的定义域为(0,)+∞，且()f x 在定义域内单调递增，所以2()20f x x m x '=+-≥，即22m x x +≤在区间(0,)+∞内恒成立，因为224x x+≥，所以4m ≤，即实数m 的取值范围是(,4]-∞ （4分）（2）由（1）知2222()2x mx f x x m x x-+'=+-=，当1752x <<时，()f x 有两个极值点，此时12120,12mx x x x +=>=，所以1201x x <<<，因为1111725,2m x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得 11142x <<， 由于211x x =，于是2212111222()()(2ln )(2ln )f x f x x mx x x mx x -=-+--+ 22221212121212121()()2(ln ln )()2()()4ln x x m x x x x x x x x x x x =---+-=--+-+222211112114ln 4ln x x x x x x =-+=-+． （8分） 令221()4ln h x x x x =-+，则2232(1)()0x h x x --'=<，所以()h x 在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，所以11()24h h x h ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即121144ln 2()()168ln 2416f x f x --<-<--，即12()()f x f x -的取值范围是152554ln 2,8ln 2416⎛⎫--⎪⎝⎭．22．解：（1）圆C 得普通放草为22(1)1x y -+=，即222x y x +=，又cos x ρθ=，222x y ρ+=，所以圆C 得极坐标方程为2cos ρθ= （4分） （2）设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos tan 2ρθθ=⎧⎨=⎩，解得11tan 2ρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则22222sin cos cos sin 44tan 2ππρθθθ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，解得22tan 2ρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 由于12θθ=，所以1215PQ ρρ=-=，所以线段PQ的长为15． 23．解：（1）()23f x x +≥，即23x a x ++≥，两边平方并整理得：223(122)90x a x a +-+-≤，所以3,1--是关于x 得方程223(122)90x a x a +-+-=的两根，由根与系数得关系得212243933aa -⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪⎩ ，解得0a =． （4分） （2）因为()()()2f x x a x a x a x a x a a +-=++-+--=≥，所以若不等式2()2f x x a a a +--≥恒成立，只需222a a a -≥．当0a ≥时，222a a a -≥，解得04a ≤≤；当0a <时，222a a a --≥，此时满足条件的a 不存在． 综上可得实数a 得取值范围是[0,4] （10分）。
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2017—2018学年度第一学期高三十模考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. ）B. C. D.【答案】B【解析】A={x|y=log2（2﹣x）}={x|x＜2}，B={x|x2﹣3x+2＜0}={x|1＜x＜2}，则∁B={x|x≤1}，A故选：B．2. ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】设∴故选：D．3. ）【答案】A化为B为锐角，C为钝角．，当且仅当∴tanA的最大值是故选A点睛：本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，属于综合题是三角和不等式的结合.4.）【答案】C【解析】由题意，∴，则A={（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}，画出A={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}表示的平面区域，任取（a，b）∈A，则满足ab＞1的平面区域为图中阴影部分，如图所示：计算阴影部分的面积为（x﹣lnx﹣1﹣lne+ln1=e﹣2．S阴影所求的概率为故选：C．5. ）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数B．当x=10时，y=1000，对应点在x轴上方，排除A，当x＞0时，y=x3lgx，y′=3x2lgx+x2lge，可知C．故选：D．6. ）【答案】D【解析】该几何体是一个棱锥与四分之一的圆锥的组合体，其表面积为D．7. 已知，，，则，，的大小关系为（）B. D.【答案】A故选：A点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．........................8. 执行如下程序框图，则输出结果为（）D.【答案】C则输出的故选：C9. 如图，：右焦点为，，若直线平分线段于）【答案】C【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB故答案为：点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10. 时，）B. D.【答案】A【解析】，期为4与两个函数的图象都关于直线6个，可得所有零点的和为6，故选A．点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11. 已知函数（）C.【答案】A的图象关于点中心对称，可得为奇函数，y轴对称，故选：A12. 已知直线使得一条曲线与直线点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：的“绝对曲线”的条数为（）B.【答案】C【解析】由y=ax+1﹣a=a（x﹣1）+1，可知直线l过点A（1，1）．对于①，y=﹣2|x﹣1|，图象是顶点为（1，0）的倒V型，而直线l过顶点A（1，1）．所以直线l不会与曲线y=﹣2|x﹣1|有两个交点，不是直线l的“绝对曲线”；对于②，（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是以A为圆心，半径为1的圆，所以直线l与圆总有两个交点，且距离为直径2，所以存在a=±2，使得圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|a|．所以圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是直线l的“绝对曲线”；对于③，将y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4，得（3a2+1）x2+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）2﹣4=0．x1+x21x2若直线l被椭圆截得的线段长度是|a|，令f（a）=f（1，f（3）．所以函数f（a）在（1，3而直线过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时满足直线与椭圆相交．故曲线x2+3y2=4是直线的“绝对曲线”．对于④将y=ax+1﹣a把直线y=ax+1-a代入y2=4x得a2x2+（2a-2a2-4）x+（1-a）2=0，∴x1+x2x1x2若直线l被椭圆截得的弦长是|a|，则a2=（1+a2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+a2化为a6-16a2+16a-16=0，令f（a）=a6-16a2+16a-16，而f（1）=-15<0，f（2）=16>0．∴函数f（a）在区间（1，2）内有零点，即方程f（a）=0有实数根，当a∈（1，2）时，直线满足条件，即此函数的图象是“绝对曲线”．综上可知：能满足题意的曲线有②③④．故选：C．点睛：本题以新定义“绝对曲线”为背景，重点考查了二次曲线弦长的度量问题，本题综合性较强，需要函数的零点存在定理作出判断.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 已知实数，则实数_______．【解析】如图，作出可行域：表示可行域上的动点与定点显然最大值为故答案为：点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 的左右焦点分别为，是双曲线右支上一点，的内心，，且__________．【解析】可设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，由I为△PF1F2的内心，可得，则|QF 1，若|F 1Q|=|PF 2，又PQ 为∠F 1PF 2的角平分线，则n=4c ﹣m ， 又m ﹣n=2a ，n=m ， 解得m=4a ，n=2a ，，即，则e= 故答案为：15. 若平面向量________．【解析】由16. 观察下列各式：……__________．【答案】【解析】由题意可得第n个式子的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n个式子的第一个数为an ，则有a2﹣a1=3﹣1=2，a 3﹣a2=7﹣3=4，…an﹣an﹣1=2（n﹣1），以上（n﹣1）个式子相加可得an ﹣a1故an =n2﹣n+1，可得a45=1981，a46=2071，故可知2017在第45个式子，故答案为：45三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17. .（1的通项公式；（2.【答案】 (2)【解析】试题分析：（1裂项相消求和，因为存在所以存在，使得成立，即存在，使得.的取值范围.试题解析：（1，所以所以.（2因为存在，使得成立，所以存在..所以，即实数的取值范围是18. 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1.（2）若从学习时间不少于人，设选到的男生人数为.（3.（只需写出结论）【答案】(1)240人(2)见解析（3）【解析】试题分析：（1）根据题意，由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，进而可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X的取值为0，1，2，3，4；由古典概型公式计算可得X=0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X的分布列；（3）根据题意，分析折线图，求出男生、女生的学习时间方差，比较可得答案．试题解析：（1人，其中男生中学习时间不足..（2本的学生共的所有可能取值为所以随机变量的分布列为（3）由折线图可得.19. 如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知于.（1（2.【答案】【解析】试题分析：（1（2）求出平面EAC的法向量和平面DAC的法向量，由此利用向量法能求出二面角面角的余弦值．试题解析：（1，因为，平面为的中点.（2）连接平面为原点，轴，过平行于的直线为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示）.，.显然，是平面的一个法向量.是平面的余弦值为点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m，n>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20..（1）求顶点的轨迹的方程；（2），，，的中点分别为②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）由则的外心，轴上，再由，可得即可求得顶点方程；（2的右焦点．当直线的斜率存在且不为0．联立直线方程与椭圆方程，化为关于标得到和与积．①根据焦半径公式得②根据中点坐标公式得值，可得直线，另一条直线的斜率为0，直线试题解析：（1）∵的重心轴上由③知（2恰为的斜率存且不为0时，设直线则，，即时取等号．②根据中点坐标公式得，同理可求得，恒过定点有一条直线斜率不存在时，另一条斜率一定为0点睛：（1）在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.（2）定点的探索与证明问题：①探索直线过定点时，需考虑斜率存在不存在，斜率存在可设出直线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；②从特殊情况入手，先探求定点再证明与变量无关.21. 已知函数（1（2）若函数上单调递增，求实数（3，求证【答案】见解析【解析】试题分析：1）求导函数，可得切线的斜率，求出切点的坐标，可得函数y=f（x）的图象在x=0处的切线方程；（2）先确定﹣1≤a＜0，再根据函数f（x）在（0，1）上单调递增，可得f′（x）≥0在（0，1（x+1）ln（x+1）﹣x，证明h（x）在（0，1）上的值域为（0，2ln2﹣1），即可求实数a的取值范围；（3）由（2）知，当a=﹣1时，（0，1）上单调递增，从而可得结论．试题解析：（1则，∴函数的图象在（2）∵函数上单调递增，∴在在上无解满足，时，只需∵函数在上单调递增，∴即上恒成立.上单调递增，在上的值域为.②（3）由（2时，时，，，即，三式相加得.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]，极轴为中，曲线的参数方程为：.（1（2的最小值.【答案】【解析】试题分析：（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求出C1，C2的直角坐标方程即可；（2）求的参数方程，根据点到直线的距离公式计算即可．出C3试题解析：（1（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为.的距离为当时，有最小值，所以的最小值为23. [选修4-5：不等式选讲]（1）当时，解不等式（2.【答案】 (2)【解析】试题分析：（1）把原不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集即可；（2. 试题解析：（1所以原不等式的解集为（2上是增函数，时，取最小值且最小值为的取值范围为点睛：|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．。
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期二调考试理数试题
2017—2018学年度上学期高三年级二调考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=2221|x x A ，1|ln()02B x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭，则()R A B =ð（ ） A ．∅B ．1(1,]2-C ．1[,1)2D ．(1,1]-2.已知i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数，若29z z i +=-，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -3.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n na a +<，若3520a a +=，3564a a =，则4S =（ ） A ．63或120B ．256C ．120D ．634.42()(1)x x x+-的展开式中x 的系数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．125.已知ABC ∆中，tan (sin sin )cos cos A C B B C -=-，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形B ．60A ∠=︒的三角形C ．等腰三角形或60A ∠=︒的三角形D ．等腰直角三角形6.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，15a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．232-D ．927.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．83B ．163C ．323D ．168.已知函数()sin cos f x a x x =+（a 为常数，x R ∈）的图像关于直线6x π=对称，则函数()sin cos g x x a x =+的图像（ ）A ．关于直线3x π=对称B ．关于点2(,0)3π对称 C ．关于点(,0)3π对称 D ．关于直线6x π=对称9.设0a >，若关于x ，y 的不等式组20,20,20,ax y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的可行域与圆22(2)9x y -+=存在公共点，则2z x y =+的最大值的取值范围为（ ）A ．[]8,10B ．(6,)+∞C ．(6,8]D ．[8,)+∞10.已知函数()2sin()1f x x ωϕ=++（1ω>，||2πϕ≤），其图像与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1f x >对于任意的(,)123x ππ∈-恒成立，则ϕ的取值范围是（ ）A ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(,]62ππ11.已知定义在R 上的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x <时，()f x 满足2()'()()f x xf x xf x +<，则()f x 在R 上的零点个数为（ ） A ．5B ．3C ．1或3D ．112.已知函数2ln 2,0,()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩ 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,1)2B ．13(,)24C ．1(,1)3D ．1(,2)2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知1211sin()2sin()0510πθπθ++-=，则2tan()5πθ+= ． 14.已知锐角ABC ∆的外接圆的半径为1，6B π∠=，则BA BC ⋅的取值范围为 ．15.数列{}n a 满足1(2|sin|1)22n n n a a n π+=-+，则数列{}n a 的前100项和为 ． 16.函数()y f x =图象上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y 处切线的斜率分别是A k ，B k ，规定||(,)||A B k k A B AB ϕ-=（||AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(,)3A B ϕ>；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A ，B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ≤；④设曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞．其中真命题的序号为 ．（将所有真命题的序号都填上）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在ABC ∆中，3B π∠=，D 为边BC 上的点，E 为AD 上的点，且8AE =，410AC =，4CED π∠=．（1）求CE 的长；（2）若5CD =，求cos DAB ∠的值．18.如图所示，A ，B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，AOP θ∠=（0θπ<<），C 点坐标为(2,0)-，平行四边形OAQP 的面积为S ．（1）求OA OP S ⋅+的最大值； （2）若//CB OP ，求sin(2)6πθ-的值．19.已知数列{}n a 满足对任意的*n N ∈都有0n a >，且33321212()n n a a a a a a +++=+++……．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，不等式1log (1)3na S a >-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围．20.已知函数21()ln 2f x x ax =-，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()(1)1f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值．21.已知函数2()(1)(1)xf x axe a x =--+（其中a R ∈，e 为自然对数的底数， 2.718281e =…）． （1）若函数()f x 仅有一个极值点，求a 的取值范围； （2）证明：当102a <<时，函数()f x 有两个零点1x ，2x ，且1232x x -<+<-． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程将圆2cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到曲线C ．（1）求曲线C 的普通方程；（2）设A ，B 是曲线C 上的任意两点，且OA OB ⊥，求2211||||OA OB +的值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||2|f x x x a =-++，a R ∈． （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足00()|2|3f x x +-<，求a 的取值范围．2017—2018学年度上学期高三年级二调考试数学（理科）试卷答案一、选择题1-5:BDCCC 6-10:BBADC 11、12：DA二、填空题13.2 14.3(3,3]2+ 15.5100 16.②③ 三、解答题17.解：（1）因为344AEC πππ∠=-=，在AEC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅∠，所以21606482CE CE =++， 所以282960CE CE +-=， 所以42CE =．（2）在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin CE CDCDE CED=∠∠， 所以25sin 422CDE ∠=⨯， 所以4sin 5CDE ∠=． 因为点D 在边BC 上，所以3CDE B π∠>∠=，而4352<， 所以CDE ∠只能为钝角， 所以3cos 5CDE ∠=-， 所以cos cos()cos cossin sin333DAB CDE CDE CDE πππ∠=∠-=∠+∠3143433525210-=-⨯+⨯=．18.解：（1）由已知得A ，B ，P 的坐标分别为(1,0)，(0,1)，(cos ,sin )θθ，因为四边形OAQP 是平行四边形，所以OQ OA OP =+(1,0)(cos ,sin )(1cos ,sin )θθθθ=+=+， 所以1cos OA OQ θ⋅=+，又因为平行四边形OAQP 的面积为||||sin sin S OA OP θθ=⋅=， 所以1cos sin 2sin()14OA OQ S πθθθ⋅+=++=++．又因为0θπ<<， 所以当4πθ=时，OA OQ S ⋅+的最大值为21+．（2）由题意知，(2,1)CB =，(cos ,sin )OP θθ=， 因为//CB OP ，所以1tan 2θ=， 因为0θπ<<，所以02πθ<<．由cos 2sin θθ=，22cos sin 1θθ+=，得5sin 5θ=，25cos 5θ=，所以4sin 22sin cos 5θθθ==，223cos 2cos sin 5θθθ=-=，所以sin(2)sin 2coscos 2sin666πππθθθ-=-4331433525210-=⨯-⨯=．19.解：（1）由于33321212()n n a a a a a a +++=+++……，① 则有33332121121()n n n n a a a a a a a a ++++++=++++……，② ②—①，得322112112()()n n n n a a a a a a a a ++=++++-+++……， 由于0n a >，所以211212()n n n a a a a a ++=++++…，③ 同样有21212()(2)n n n a a a a a n -=++++≥…，④③—④，得2211n n n n a a a a ++-=+，所以11n n a a +-=（2n ≥）．由3211a a =，3321212()a a a a +=+，得11a =，22a =．由于211a a -=，即当1n ≥时都有11n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，故n a n =． （2）由（1）知n a n =，则211(2)n n a a n n +=+111()22n n =-+，所以13243511211111n n n n n S a a a a a a a a a a -++=+++++ (11111111111111)(1)()()()()2322423521122n n n n =-+-+-++-+--++… 1111(1)2212n n =+--++3111()4212n n =-+++． 因为110(1)(3)n n S S n n +-=>++， 所以数列{}n S 单调递增，所以min 11()3n S S ==．要使不等式1log (1)3n a S a >-对任意正整数n 恒成立，只要11log (1)33a a >-．因为10a ->，所以01a <<，所以1a a ->，即102a <<．所以，实数a 的取值范围是1(0,)2．20.解：（1）211'()ax f x ax x x-=-=，函数()f x 的定义域为(0,)+∞．当0a ≤时，'()0f x >，则()f x 在区间(0,)+∞内单调递增； 当0a >时，令'()0f x =，则1x a =或1a-（舍去负值）， 当10x a<<时，'()0f x >，()f x 为增函数， 当1x a>时，'()0f x <，()f x 为减函数． 所以当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间； 当0a >时，()f x 的单调递增区间为1(0,)a ，单调递减区间为1(,)a+∞． （2）由21ln (1)12x ax a x -≤--，得22(ln 1)(2)x x a x x ++≤+， 因为0x >，所以原命题等价于22(ln 1)2x x a x x++≥+在区间(0,)+∞内恒成立．令22(ln 1)()2x x g x x x++=+，则222(1)(2ln )'()(2)x x x g x x x -++=+，令()2ln h x x x =+，则()h x 在区间(0,)+∞内单调递增， 由(1)10h =>，11()2ln 2022h =-+<， 所以存在唯一01(,1)2x ∈，使0()0h x =，即002ln 0x x +=， 所以当00x x <<时，'()0g x >，()g x 为增函数， 当0x x >时，'()0g x <，()g x 为减函数， 所以0x x =时，00max 2002(ln 1)()2x x g x x x ++=+0002(2)x x x +=+01x =，所以01a x ≥，又01(,1)2x ∈，则1(1,2)x ∈, 因为a Z ∈，所以2a ≥， 故整数a 的最小值为2．21.解：（1）'()2(1)(1)(1)(22)xxxf x ae axe a x x ae a =+--+=+-+， 由'()0f x =，得1x =-或220xae a -+=（*）．由于()f x 仅有一个极值点， 所以关于x 的方程（*）必无解． ①当0a =时，（*）无解，符合题意； ②当0a ≠时，由（*）得22xa e a-=， 故由220a a-≤，得01a <≤． 由于这两种情况都有当1x <-时，'()0f x <，于是()f x 为减函数，当1x >-时，'()0f x >，于是()f x 为增函数，所以仅1x =-为()f x 的极值点． 综上可得a 的取值范围是[]0,1． （2）证明：由（1）得，当102a <<时，1x =-为()f x 的极小值点， 又因为2222(2)(1)(1)10a f a a e e -=---=--+>对于102a <<恒成立， (1)0a f e -=-<对于102a <<恒成立， (0)(1)0f a =-->对于102a <<恒成立， 所以当21x -<<-时，()f x 有一个零点1x ， 当10x -<<时，()f x 有另一个零点2x ，即121x -<<-，210x -<<且12111()(1)(1)0xf x ax e a x =--+=，22222()(1)(1)0x f x ax e a x =--+=（**），所以1231x x -<+<-．下面再证明122x x +<-，即证122x x <--， 由210x -<<，得2221x -<--<-， 由于1x <-时，()f x 为减函数，于是只需证明12()(2)f x f x >--，也就是证明2(2)0f x --<，22222222222(2)(2)(1)(1)(2)(1)(1)x x f x a x e a x a x e a x ------=------=----+，借助（**）式代换可得222222(2)(2)x x f x a x e ax e ----=--⋅-22222(2)x x a x e x e --⎡⎤=---⎣⎦，令2()(2)(10)xx g x x e xe x --=----<<， 则2'()(1)()xx g x x ee --=+-，因为2()xx h x ee --=-在区间(1,0)-内为减函数，且(1)0h -=，所以2'()(1)()0xx g x x ee --=+-<在区间(1,0)-内恒成立，于是()g x 在区间(1,0)-内为减函数，即()(1)0g x g <-=，所以2(2)0f x --<，这就证明了122x x +<-． 综上所述，1232x x -<+<-．22.解：（1）设11(,)x y 为圆上的任意一点，在已知的变换下变为C 上的点(,)x y ，则有11,1.2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩因为112cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），所以2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），所以2214x y +=． （2）以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线C 的普通方程化为极坐标方程得2222cos sin 14ρθρθ+=．设1(,)A ρθ，2(,)2B πρθ+，则1||OA ρ=，2||OB ρ=，则2222222212cos ()1111cos 52sin sin ()||||4424OA OB πθθπθθρρ++=+=++++=． 23.解：（1）当1a =时，()|2||21|f x x x =-++． 由()5f x ≥，得|2||21|5x x -++≥．当2x ≥时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以2x ≥； 当122x -<<时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以x ∈∅； 当12x ≤-时，不等式等价于2215x x ---≥，解得43x ≤-，所以43x ≤-． 故原不等式的解集为4|23x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． （2）()|2|2|2||2||24||2|f x x x x a x x a +-=-++=-++|2(24)||4|x a x a ≥+--=+， 因为原命题等价于[]min ()|2|3f x x +-<， 所以|4|3a +<，所以71a -<<-．。
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期第三次月考 数学理pdf
已知函数 f (x) x 2 ax 2 ln x ．
（1）当 a =5 时，求 f (x) 的单调递增区间；
·4·
（2）若
f
(x)
有两个极值点
x1, x2
,且
1 3
x1
1 e
x2 ，求
f
(x1)
f
(x2 )
取值范围．（其中
e
为自然
对数的底数）．
·5·
高三理科数学答案
C．36
D．40
4. 设 R ，则“ | π | π ”是“ sin 1 ”的（ ）
12 12
2
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5. 若把函数 f x 3sin(2x ) 的图象向右平移 0 个单位后所得图象关于坐标原点对称，
3
则 的最小值为（ ）
三、解答题(本大题共 6 小题，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演 算步骤).
17.（本小题满分 10 分）
在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a, b, c，且b c, 2 sin B 3 sin A. （1）求 cos B 的值； （2）若 a 2，求ABC 的面积．
18.（本小题满分 12 分）
D．3Biblioteka 8. 在等比数列 an 中， a1 an 82, a3 an2 81 ，且前 n 项和 Sn 121 ，则此数列的项数 n 等于
（）
·1·
A．4
B．5
C．6
D． 7
9 设函数 f x 的导函数为 f x ，若 f x 为偶函数，且在 0,1 上存在极大值，则 f x 的图象
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期九模考试理科综合化学试题(解析版)
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期九模考试理科综合化学试题1. 化学与人类生活、生产和社会可持续发展密切相关，下列说法不正确的是A. 有机磷农药多为磷酸酯或硫代磷酸脂类物质，肥皂水等碱性物质有利其水解而解毒B. 使用国际通行的凯氏定氮法测定奶着中的蛋白质含量时，会把三聚氰胺当做蛋白质而导致测定结果偏高C. 石油催化裂化的主要目的是得到更多的乙烯、丙烯等气态短链烃；石油裂解的主要目的是提高汽油等轻质油的产量D. 《天工开物) 中有如下描述:“世间丝、麻、裘、揭皆具素质…...”文中的“袭”主要成分是蛋白质【答案】C【解析】磷酸酯或硫代磷酸脂类物质在碱性条件下能够发生水解反应，从而达到解毒的目的，A正确；三聚氰胺中含有氮元素，导致奶中氮元素含量增大，测定结果偏高，B正确。
石油催化裂化的主要目的是提高汽油等轻质油的产量，而石油裂解的主要目的是得到更多的乙烯、丙烯等气态短链烃，C错误；丝的主要成分为蛋白质，D正确；正确选项C。
2. 下列有关实验的描述正确的是A. 向碘化钠溶液中加入新制氯水可看到有紫黑色固体生成B. 向分别装有1gNa2CO3和NaHCO3固体的试管中滴入几滴水，温度高的为Na2CO3C. 将Fe(NO3)2样品溶于稀硫酸后，滴加KSCN溶液，变虹，说明样品变质D. 中和热器定时环形玻璃搅拌棒要不断顺时针搅拌，目的是为了混合均匀，充分反应【答案】B【解析】碘离子被氯气氧化为碘单质，碘单质溶在水中，溶液显紫色，不能有紫色固体析出，A错误；Na2CO3溶于水放热多，所以温度高，B正确；Fe2+、NO3-在酸性环境下发生氧化还原反应，Fe2+被氧化为Fe3+，滴加KSCN溶液，溶液变为红色，样品不一定变质，C错误；用环形玻璃搅拌棒要轻轻搅动，防止热量散失，D错误。
正确答案B。
3. 下列有关物质结构和性质的说法不正确的是A. 分子式为C5H10且与乙烯互为同系物的结构共有5种B. 可用燃烧法鉴别环乙烷、苯、CCl4C. 分子中所有碳原子不可能位于同一平面D. 三联苯与四联苯互为同系物【答案】D【解析】符合条件的烯烃有5种，分别为：CH2=CHCH2CH2CH3、CH3CH=CHCH2CH3、CH2=C(CH3)CH2CH3、CH3C(CH3)=CHCH3、CH3CH2CH(CH3)=CH2，A正确；CCl4不能够燃烧，苯含碳量高，燃烧有浓烈的黑烟，环乙烷含碳量相对苯较小一些，燃烧有黑烟生成，可以区分三种物质，B正确；该分子左上角的(CH3)2CH-基团中，至少有一个甲基不能和苯环共平面，C正确；三联苯分子式为C18H14，四联苯分子式为 C24H18，二者组成中相差C6H4，不是相差nCH2原子团，不是同系物，D错误；正确选项D。
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期九模考试数学(文)试题(解析版)
2017-2018学年度上学期高三年级九模考试（文科）数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. ）A. B. C. D.【答案】D故选：D2. ）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D故选：D3. ）A. 1B. 2C. 4D. 1或4【答案】D【解析】该程序框图表示的是分段函数，，输入的 D.4. ，时，（，（）A. 4B. -4C. 6D. -6【答案】B满足对B考点：奇函数的性质，对数的运算5. ）A. C. D.【答案】A【解析】试题分析：成立的充要条件不是成立而成立的充要条件不是R上有增函数，所以由，反过来，也成立，所以使的充要条件是D．考点：1、不等式的性质; 2、充要条件．6. 《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A. 18B. 17C. 16D. 15【答案】B【解析】由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25=17.故选：B.7. 如图，的长度超过的概率是（）【答案】D【解析】本题利用几何概型求解．测度是弧长．根据题意可得，满足条件：“弦MN其构成的区域是半圆，则弦MN的概率是故选：D．8. ）A. B.C. D.【答案】AB、D错误；A正确，故选A.学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...9. ）C. D.【答案】A【解析】作出可行域，如图：表示可行域上的动点与连线的斜率，，点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10. ）B.D.【答案】A【解析】∴ A. C满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，∴可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC；BA+BC>AC+>点睛：点睛:这个题目考查了向量加法的三角形法则,向量形式的三角形不等式法则,有一定的计算量.对于向量的小题常用的方法有:数形结合法,建系的方法,见模平方的意识,基底化的意识.11.，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C为直角三角形，在中，，则离心率 C.【方法点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据特殊直角三角12. ）【答案】C【解析】，四边形为矩形，，过的垂线，过矩，则，，，.选C.【点睛】求几何体的外接球的半径问题，常用方法有三种：（1）恢复长方体，（2）锥体或柱体“套”在球上，（3）过两个面的外心作垂线，垂线的交点即为球心.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 2．【答案】2【解析】抛物线的标准方程：y2=ax0），准线方程为x=由抛物线的焦半径公式|PF|=x0=，解得：a=2，故答案为：2．点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试理数试题
2017-2018学年度上学期高三年级七调考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|||2}A x x =<，{|}B x x a =>，全集U R =，若U A B ⊆ð，则有（ ） A ．0a = B ．2a ≤ C ．2a ≥ D ．2a <2.若复数z 满足341z i +-=（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ） A ．-2 B ．4 C ．4i D ．-43.已知1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则122a ab +的值是（ ） A ．52 B ．52- C ． 52或52- D ． 124.如图，5个(,)x y 数据，去掉(3,10)D 后，下列说法错误的是（ ）A ．相关系数r 变大B ．残差平方和变大C.相关指数2R 变大 D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强5.已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ︒∠=，则该椭圆的离心率e 的取值范围为（ ） A ．2(0,]2B ．2[,1)2 C. 3(0,]2 D ．3[,1)2 6.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，1(,1,0)2，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的侧（左）视图可以为（ ）A． B． C. D．7.函数1()sin(ln)1xf xx-=+的图像大致为（）A． B．C. D．8.更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.”下图是该算法的程序框图，若输入102a=，238b=，则输出a的值是（）A． 68 B．17 C.34 D．369.已知e为自然对数的底数，若对任意的1[,1]xe∈，总存在唯一的(0,)y∈+∞，使得ln ln 1y yx x a y+++=成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．(,0]-∞ C. 2(,]e eD ．(,1]-∞-10.电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600min ，广告的总播放时长不少于30min ，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为（ ） A ．6，3 B ．5，2 C. 4，5 D ．2，711.已知在正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值为（ ）A ．26 B ．23 C.24 D ．2512.已知(sin,sin )2a x x ωω=，1(sin,)22b x ω=，其中0ω>，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．1(0,]8B ． 5(0,]8C. 15(0,][,1]88⋃ D ．115(0,][,]848⋃二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图，在半径为2的扇形AOB 中，90AOB ︒∠=，P 为弧AB 上的一点，若2OP OA ⋅=，则OP AB ⋅的值为 ．14.若从区间(0,)e （e 为自然对数的底数， 2.71828e =）内随机选取两个数，则这两个数之积小于e 的概率为 ．15.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列四个论断中正确的是 ．（把你认为是正确论断的序号都写上） ①若sin cos A B a b =，则4B π=； ②若4B π=，2b =，3a =，则满足条件的三角形共有两个；③若a ，b ，c 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则ABC 为正三角形； ④若5a =，2c =，ABC 的面积4ABCS=，则3cos 5B =. 16.设椭圆C 的两个焦点是1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，若212||||PF F F =，且115||6||PF FQ =，则椭圆C 的离心率为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231()n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列21{}nn a -的前n 项和n T . 18.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，侧面11ABB A 为菱形，1DAB DAA ∠=∠.（1）求证：1A B AD ⊥.（2）若2AD AB BC ==，160A AB ︒∠=，D 在平面11ABB A 内的射影恰为线段1A B 的中点，求平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.19.某保险公司针对企业职工推出一款意外保险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元. 保险公司把职工从事的所有岗位共分为A ，B ，C 三类工种，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）.（1）根据规定，该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，试分别确定各类工种每份保单保费的上限；（2）某企业共有职工20000人，从事三类工种的人数分布比例如图所示，老板准备为全体职工购买此种保险，并以（1）中计算的各类保险上限购买，试估计保险公司在这宗交易中的期望利润. 20.如图，已知椭圆的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F ，2F 为顶点的三角形的周长为4(21)+.一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且双曲线的实轴长等于虚轴长，设P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D ，且点,A C 在x 轴的同一侧.（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）是否存在题设中的点P ，使得3||||||||4AB CD AB CD +=⋅？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数1()x f x ea -=+，函数()ln g x ax x =+，a R ∈.（1）求函数()y g x =的单调区间；（2）若不等式()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若(1,)x ∈+∞，求证不等式12ln 1x ex x -->-+成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为(1,0)，若直线l 的极坐标方程为2cos()104πρθ+-=，曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩，(m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11||||MA MB +. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数2()4f x x ax =++，()|1||1|g x x x =++-. （1）求不等式()3g x ≥的解集；（2）若2[2,2]x ∀∈-，1[2,2]x ∃∈-，使得不等式12()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBABB 6-10:BBCBA 11、12：BD二、填空题13. 223-+ 14.2e 15. ①③ 16. 911三、解答题17.解：（1）当1n =时，11231S a =-，所以11a =；当2n ≥时，11231n n S a --=-，则1122233n n n n n a S S a a --=-=-，即13n n a a -=.又因为11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以1*3()n n a n N -=∈.（2）由（1）得121213n n n n a ---=，所以122135232113333n n n n n T ----=+++++， ① 3252321333333n n n n n T ----=+++++， ② ②-①，得221222212323333n n n n T ---=+++++-111112122332613313n n n n n -----+=+⨯-=--， 所以*113()3n n n T n N -+=-∈. 18.（1）证明：如图，连接1AB ，1A D ，BD ，设1AB 交1A B 于点O ，连接OD .由AD AD =，1AA AB =，1DAB DAA ∠=∠，得1AA D ABD ≅，所以1A D BD =.又O 是线段1A B 的中点，所以1OD A B ⊥，又根据菱形的性质得1AO A B ⊥，且AO OD O ⋂=， 所以1A B ⊥平面ADO ，从而1A B AD ⊥.（2）解：由题意知DO ⊥平面11ABB A ，又11AO A B ⊥，即1OB OB ⊥，所以OB ，1OB ，OD 两两垂直. 以OB ，1OB ，OD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.设22AD AB BC a ===，由160A AB ︒∠=，可知OB a =，13OA OB a ==， 所以22OD AD OA a =-=，从而(0,3,0)A a -，(,0,0)B a ，1(0,3,0)B a ，(0,0,)D a .所以11(,3,0)CC BB a a ==-.由12BC AD =，得31(,,)22C a a a ，所以31(,,)22DC a a a =-. 设平面11DCC D 的法向量为000(,,)m x y z =，由100m CC m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得000003031022ax ay ax ay az ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩， 令01y =，则03x =，033z =，所以(3,1,33)m =. 又平面11ABB A 的一个法向量为(0,0,)OD a =， 所以33393cos ,31||||31OD m a OD m OD m a⋅〈〉===. 故平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值为39331. 19.解：（1）设工种A 的每份保单保费为a 元，保险公司每单的收益为随机变量X 元，则X 的分布列为保险公司的期望收益为45511()(1)(5010)51010E X a a a =-+-⨯⨯=-（元）. 由题意得50.2a a -≤，解得 6.25a ≤(元).设工种B 的每份保单保费为b 元，赔付金期望值为45501021010⨯⨯=（元）， 则保险公司的期望利润为(10)b -元. 由题意得100.2b b -≤，解得12.5b ≤（元）.设工种C 的每份保单保费为c 元，赔付金期望值为4450105010⨯=（元）， 则保险公司的期望利润为(50)c -元. 由题意得500.2c c -≤，解得62.5c ≤（元）. 综上，工种,,A B C 的每份保单保费的上限分别为6.25元，12.5元，62.5元. （2）购买A 类产品的份数为2000060%12000⨯=（份）， 购买B 类产品的份数为2000030%6000⨯=（份）， 购买C 类产品的份数为2000010%2000⨯=（份），企业支付的总保费为12000 6.25600012.5200062.5275000⨯+⨯+⨯=（元）， 保险公司在这宗交易中的期望利润为27500020%55000⨯=（元）. 20.解：（1）由题意知，椭圆离心率22c e a ==，即2a c =，又224(21)a c +=+， 所以22a =，2c =，所以2224b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22184x y +=. 所以椭圆的焦点坐标为(2,0)±，又双曲线为等轴双曲线，且顶点是该圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144x y -=. （2）设000(,)(2)P x y x ≠±，则1002PF y k x =+，2002PF y k x =-， 因为点P 在双曲线22144x y -=上，所以121PF PF k k ⋅=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线1PF 的方程为(2)y k x =+，所以直线2PF 的方程为1(2)y x k=-， 联立22184(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2222(21)8880k x k x k +++-=， 所以2122821k x x k +=-+，21228821k x x k -⋅=-+， 所以221212||1()4AB kx x x x =++-⋅=2222228881()42121k k k k k -+⋅--⨯++2242(1)21k k +=+. 同理可得22142[1()]||12()1k CD k+=+2242(1)2k k +=+.由题知124||||||||cos ()3AB CD AB CD F PF θθ+=⋅⋅=∠， 即411cos ()3||||CD AB θ=+=2243(1)23242(1)k k +⨯=+. 因为1212||||cos PF PF PF PF θ⋅=， 即0000(2)(2)()()x x y y ---+--=222200002(2)(2)2x y x y ++⋅-+⋅， 又因为22004x y -=，所以222220000022(4)(2)4(2)42x x x x x -=++-⋅-+-⋅=220000224242x x x x +⋅-⋅22002(4)x x =-，所以208x =，204y =.即存在满足题意的点P ，且点P 的坐标为(22,2)±±. 21.（1）解：函数()g x 的定义域为(0,)+∞， 因为()ln g x ax x =+，a R ∈，所以11()ax g x a x x+'=+=. 当0a ≥时，()0g x '>在区间(0,)+∞内恒成立，所以函数()g x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间； 当0a <时，令()0g x '>，得10x a <<-，令()0g x '<，得1x a>-， 所以函数()g x 的单调递增区间为1(0,)a-，单调递减区间为1(,)a-+∞.（2）解：()()1f x g x ≥+在区间[1,)+∞内恒成立， 即1ln 10x ex a ax --+--≤在区间[1,)+∞内恒成立.设1()ln 1x F x e x a ax -=-+--，则(1)0F =，11x F e a x-'=--在区间[1,)+∞内单调递增，所以()(1)F x F a '≥'=-.当0a ≤时，()0F x '≥，()F x 在区间[1,)+∞内为增函数，所以()(1)0F x F ≥=恒成立；当0a >时，(1)0F '<，因为()F x '在区间[1,)+∞内单调递增，所以0(1,)x ∃∈+∞，在区间0(1,)x 内，有()0F x '<，所以()F x 在区间0(1,)x 内单调递减，所以()(1)0F x F <=，这时不合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(,0]-∞. （3）证明：要证明在区间(1,)+∞内，12ln 1x ex x -->-+，只需证明1(ln 1)(ln )0x e x x x ---+->，由（2）知，当0a =时，在区间(1,)+∞内，有1ln 10x e x --->恒成立.令()ln G x x x =-，在区间(1,)+∞内，11()10x G x x x-'=-=>， 所以函数()G x 在区间(1,)+∞内单调递增，所以()(1)10G x G >=>，即ln 0x x ->. 所以1(ln 1)(ln )0x ex x x ---+->，所以原不等式成立.22.解：（1）由2cos()104πρθ+-=，得cos sin 10ρθρθ--=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =. （2）点M 的直角坐标为(1,0)，点M 在直线l 上.设直线l 的参数方程为21222t x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以1212||11||||||t t MA MB t t -+==2121222()432321||8t t t t t t +-+==.23.解：（1）()3g x ≥，即|1||1|3x x ++-≥，此不等式等价于1(1)(1)3x x x ≤-⎧⎨-+--≥⎩或11(1)(1)3x x x -<<⎧⎨+--≥⎩或1113x x x ≥⎧⎨++-≥⎩，解得32x ≤-或32x ≥，所以()3g x ≥的解集为3{|2x x ≤-或3}2x ≥. （2）因为2[2,2]x ∀∈-，1[2,2]x ∃∈-，使得12()()f x g x ≤成立，所以()()([2,2])min min f x g x x ≤∈-.又()2min g x =，所以()2([2,2])min f x x ≤∈-. 当22a -≤-，即4a ≥时，()(2)424822min f x f a a =-=-+=-≤，解得3a ≥，所以4a ≥； 当22a -≥，即4a ≤-时，()(2)424822min f x f a a ==++=+≤，解得3a ≤-，所以4a ≤-； 当222a -<-<，即44a -<<时，22()()42242min a a a f x f =-=-+≤，解得22a ≥或22a ≤-， 所以422a -<≤-或224a ≤<.综上，实数a 的取值范围为(,22][22,)-∞-⋃+∞.。