华师版八年级数学上册教案：第13章 全等三角形4 尺规作图(2课时)

13.4尺规作图
1～3作线段、角、角平分线(第1课时)
一、基本目标
使学生了解尺规作图的含义,学会用尺规作图作一条线段等于已知线段、一个角等于已知角、已知角的平分线．
二、重难点目标
【教学重点】
用尺规作图作一条线段等于已知线线、一个角等于已知角、已知角的平分线．
【教学难点】
用尺规作图作已知角的平分线．
环节1自学提纲,生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P85～P87的内容,完成下面练习．
【3 min反馈】
1．尺规作图是指(C)
A．用量角器和刻度尺作图
B．用圆规和有刻度的直尺作图
C．用圆规和无刻度的直尺作图
D．用量角器和无刻度的直尺作图
2．下列作图语句正确的是(B)
A．作射线AB,使AB＝a
B．作∠AOB＝∠α
C．延长直线AB到点C,使AC＝BC
D．以点O为圆心作弧
环节2合作探究,解决问题
活动1小组讨论(师生对学)
1．作一条线段等于已知线段
讨论1：已知MN为已知线段,你能用直尺和圆规准确地作一条与MN相等的线段吗？
作图步骤：
(1)画一条射线AC；
(2)以点A为端点,在射线上用圆规截取AC＝MN.
线段AC即为所求．
2．作一个角等于已知角
讨论2：这是我们在七年级已经学习过的作一个角等于已知角的方法,你能用所学的知识说明为什么∠A′O′B′＝∠AOB吗？
【教师点拨】因为OC＝OC′,OD＝OD′,CD＝C′D′,所以△ODC≌△O′D′C′(S.S.S.),所以∠A′O′B′＝∠AOB.
3．作已知角的平分线
讨论3：如图,∠AOB为已知角,试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出∠AOB的平分线．
作图步骤：
第一步：在射线OA、OB上,分别截取OD、OE,使OD＝OE；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长(大于线段DE长的一半)为半径作圆弧,在∠AOB内,两弧交于点C；
第三步：作射线OC.
射线OC就是所求作的∠AOB的平分线．
【教师点拨】OC就是所求作的∠AOB的平分线的证明过程见教材P87.
讨论4：想想看,如何将∠AOB四等分？
【教师点拨】在讨论3的基础上,再按上述作角平分线的方法分别作出∠COB、∠AOC 的平分线OG、OH,即可将∠AOB四等分．
活动2巩固练习(学生独学)
1．如图,在△ABC中,∠C＝90°,∠CAB＝60°,按以下步骤作图：
①以点A为圆心,小于AC长为半径画弧,分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E 、F 为圆心,大于1
2EF 长为半径画弧,两弧相交于点G ；
③作射线AG ,交BC 边于点D . 则∠ADC 的度数为( C )
A ．30°
B ．50°
C ．60°
D ．70°
2．如图,以∠AOB 的顶点为圆心,取适当长为半径画弧,交OA 于点C ,交OB 于点D ,再分别以点C 、D 为圆心,大于12CD 长为半径画弧,两弧在∠AOB 内部交于点E ,过点E 作射线OE ,
连结CD .下列说法错误的是( B )
A ．射线OE 是∠AO
B 的平分线 B ．O 、E 两点关于CD 所在直线对称
C ．△CO
D 是等腰三角形
D ．C 、D 两点关于O
E 所在直线对称 3．完成教材P86“练习”第1～2题． 略
4. 完成教材P88“练习”第1～2题． 略
环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)
请完成本课时对应练习！
4～5 作直线的垂线、线段的垂直平分线(第2课时)
一、基本目标
进一步了解尺规作图的含义,学会用尺规作图经过一已知点作已知直线的垂线、作已知线段的垂直平分线．
二、重难点目标 【教学重点】
用尺规作图作直线的垂线、线段的垂直平分线． 【教学难点】
用尺规作图作线段的垂直平分线．
环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】
阅读教材P88～P90的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】
1．下列作图语言规范的是( D ) A ．过点P 作线段AB 的中垂线 B ．过点P 作∠AOB 的平分线
C ．在直线AB 的延长线上取一点C ,使AB ＝AC
D ．过点P 作直线AB 的垂线 2．阅读下面材料：
数学课上,老师提出如下问题：
尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB 和AB 上一点C . 求作：AB 的垂线,使它经过点C .
小艾的作法如下：
如图,(1)在直线AB 上取一点D ,使点D 与点C 不重合,以点C 为圆心,CD 长为半径作弧,交AB 于D ,E 两点；
(2)分别以点D 和点E 为圆心,大于1
2DE 长为半径作弧,两弧相交于点F ；
(3)作直线CF .
直线CF就是所求作的垂线．
老师表扬了小艾的作法是对的．
请回答：小艾这样作图的依据是等腰三角形的“三线合一”．
环节2合作探究,解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
1．经过一已知点作已知直线的垂线
已知点与已知直线可以有两种不同的位置关系：点在直线上,点在直线外,因此要分别作这两种情况下已知直线的垂线．
(1)经过已知直线上一点作已知直线的垂线．
讨论1：已知直线AB和AB上一点C,试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线．
作图步骤：如图,由于点C在直线AB上,因此所作的垂线正好是平角ACB的平分线．第一步：作平角ACB的平分线；
第二步：反向延长射线CD.
直线CD就是要求作的垂线．
(2)经过已知直线外一点作已知直线的垂线．
讨论2：已知直线AB和AB外一点C,试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线．
作图步骤：如图,若以点C为圆心,作能与直线AB相交于D、E两点的弧,则△CDE为等腰三角形．由“等腰三角形顶角的平分线就是底边上的高”可知,只需作出∠DCE的平分线,则该平分线所在的直线就是要求作的垂线．
讨论3：你能说说讨论2中为什么“只需作出∠DCE的平分线,则该平分线所在的直线就是要求作的垂线”吗？
【教师点拨】等腰三角形“三线合一”的性质．
2．作已知线段的垂直平分线
讨论4：如图,已知直线l是线段AB的垂直平分线,则直线l是线段AB的对称轴,对l上的任意两点C、D,通过对折可以发现,总有CA＝CB,DA＝DB.由此,你能发现作垂直平分线的方法吗？
【教师点拨】见教材P90“试一试”．
活动2巩固练习(学生独学)
1．如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,依下列步骤尺规作图,并保留痕迹．
步骤1：以B为圆心,BA长为半径画弧；
步骤2：以C为圆心,CA为半径画弧,交前弧交于点D；
步骤3：连结AD,交BC于点E.
下列叙述不正确的是(B)
A．BC垂直平分AD B．AD平分∠BAC
C．∠B＝∠CAE D．∠C＝∠BAE
2．下列尺规作图,能判断AD是△ABC边上的高是(B)
3. 如图,AE∥BF,AC平分∠BAE,交BF于点C.
(1)尺规作图：过点B作AC的垂线,交AC于点O,交AE于点D：(保留作图痕迹,不写作法)
(2)求证：AD＝BC.
(1)解：如图,OB即为所求．
(2)证明：∵AE∥BF,
∴∠EAC＝∠BCA.
∵AC平分∠BAE,
∴∠EAC＝∠BAC,
∴∠BCA＝∠BAC,
∴BA＝BC.
∵BD⊥AO,AO平分∠BAD,
∴AB＝AD,
∴AD＝BC.
活动3拓展延伸(学生对学)
【例题】如图,在△ABC中,AB＝AC,D为AC上一点(不与A、C重合)．
(1)用直尺和圆规作DE⊥BC于点E,延长ED交BA的延长线于点F；(保留作图痕迹,不写画法)
(2)判断△ADF的形状并加以证明．
【互动探索】根据经过已知直线外一点作已知直线垂线的方法作图,再判断△ADF的形状．
【解答】(1)如图所示,点E、F即为所求．
(2)△ADF为等腰三角形．理由如下：
∵AB＝AC,
∴∠ABC＝∠ACB.
∵FE⊥BC,
∴∠FEC＝∠FEB＝90°,
∴∠BFE＋∠B＝90°,∠EDC＋∠ACB＝90°.
∵∠ADF＝∠EDC,∠ABC＝∠ACB,
∴∠AFD＝∠ADF,
∴AF＝AD,
∴△ADF为等腰三角形．
【互动总结】(学生总结,老师点评)解本题的关键是熟练掌握基本作图,灵活运用所学知识解决问题．
环节3课堂小结,当堂达标
(学生总结,老师点评)
请完成本课时对应练习！。