初中数学相似三角形专项练习题：X字型相似3(附答案)
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形(附答案) .解答题(共30小题)1.如图，在△A中Q DE// BC, EF // AB，求证：△ ADE EFC .2 .如图，梯形ABCD中，AB // CD, 点F在BC上，连 DF与AB的延长线交于点 G.(1 )求证：△CDFBGF;(2)当点F是BC的中点时，过 F作EF // CD交AD于点E,若AB=6cm , EF=4cm，求CD的长.3.如图，点 D , E在 BC 上，且 FD // AB, FE // AC.求证：△ ABC s\ FDE .4.如图，已知 E是矩形 ABCD的边CD上一点，BF丄AE于F,试说明：△ ABF s\ EAD .5.已知：如图①所示，在△和念BCD中，AB=AC , AD=AE，/ BAC= / DAE ,且点3, A , D在一条直线上，连接 BE, CD, M , N分别为BE, CD的中点.(1 )求证：①BE=CD :②厶 A是等腰三角形；(2 )在图①的基础上，将△绕点DE按顺时针方向旋转180。
，其他条件不变，得到图②所示的图形.请直接写出(1 )中的两个结论是否仍然成立；(3)在(2 )的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证：△ PBDAMN.图①6.如图，E是？ABCD的边BA延长线上一点，连接 EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明.7.如图，在4 X3的正方形方格中，△和A B CDE的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1 )填空：/ ABC=(2)判断△ ABC^ DE是否相似，并证明你的结论.8.如图，已知矩形 ABCD的边长AB=3cm , BC=6cm .某一时刻，动点M从A点出发沿 AB方向以1cm/s(1)经过多少时间，△的面积等于矩形ABCD面积的十的速度向B点匀速运动；同时，动点 N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：(2)是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△相似D若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.9 .如图，在梯形 ABCD中，若AB // DC, AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1 )列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；(注意：全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形，并给出证明.•4E10 .如图△ABC, D 为 AC 上一点，CD=2DA，/ BAC=45。
九年级数学相似证明题专项训练题练习题含答案.doc
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谢谢！】相似专项训练专训1 证比例式或等积式的技巧点拨：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．构造平行线法1．如图，在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ， 求证：AE·CF＝BF·E C.(第1题)2．如图，已知△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于点F ，试证明：AB·DF＝BC·EF.(第2题)三点找三角形相似法3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证：DC AE ＝CF AD.(第3题)4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E.求证：AM 2＝MD·ME.(第4题)构造相似三角形法5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.(第5题)等比过渡法6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF ＝∠ABE.求证：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.(第6题)7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP 于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·P E.(第7题)两次相似法8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.求证：BF BE ＝AB BC.(第8题)9．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证： (1)△AMB ∽△AND ； (2)AM AB ＝MN AC.(第9题)等积代换法10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. 求证：AE AF ＝AC AB.(第10题)等线段代换法11．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ，求证：BP 2＝PE·PF.(第11题)12．已知：如图，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.求证：PD2＝PB·PC.(第12题)专训2 巧用“基本图形”探索相似条件点拨几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．相似三角形的四类结构图：1.平行线型．2．相交线型．3．子母型．4．旋转型．平行线型1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.(1)求证：AE·BC＝BD·AC；(2)如果S△ADE ＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．(第1题)相交线型2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且EOBO＝DOCO，试问△ADE与△ABC相似吗？请说明理由．(第2题)子母型3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：ABAC＝DFAF.(第3题)旋转型4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC. 求证：(1)△ADE∽△ABC；(2)ADAE＝BDCE.(第4题)专训3 利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系点拨判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．证明两线段的数量关系类型1：证明两线段的相等关系1．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE 交于点N.求证：BM＝MC.(第1题)2．如图，一直线和△ABC的边AB，AC分别交于点D，E，和BC的延长线交于点F，且AE CE＝BF CF.求证：AD＝DB.(第2题)类型2：证明两线段的倍分关系3．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，∠A＝60°，求证：DE＝12 BC.(第3题)4．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E.求证：AC＝2CE.(第4题)证明两线段的位置关系类型1：证明两线段平行5．如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接CE，AE.求证：AE∥BC.(第5题)6．在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，EF∥BC，DF∥AB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M.(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？请证明你的结论；(2)如图②，若E不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并证明．(第6题)类型2：证明两线垂直7．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC 2＝AB·AD，BC 2＝BA·BD，求证：CD ⊥AB.(第7题)8．如图，已知矩形ABCD ，AD ＝13AB ，点E ，F 把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF.(第8题)专训4 相似三角形与函数的综合应用点拨解涉及相似三角形与函数的综合题时，由于这类题的综合性强，是中考压轴题重点命题形式之一，因此解题时常结合方程思想、分类讨论思想进行解答．相似三角形与一次函数1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53，点D 的坐标为(0，1)． (1)求直线AD 的解析式；(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．(第1题)相似三角形与二次函数2．如图，直线y＝－x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C(1，0)三点．(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)若点D的坐标为(－1，0)，在直线y＝－x＋3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标．(第2题)3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A 落到点C，过点B的抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线BC交于点D(3，－4)．(1)求直线BD和抛物线对应的函数解析式；(2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(第3题)相似三角形与反比例函数4．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y＝kx(x>0)经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.(1)求k的值及点E的坐标；(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB对应的函数解析式．(第4题)专训5 全章热门考点整合应用点拨本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．3个概念概念1：成比例线段1．下列各组线段，是成比例线段的是( )A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cmB．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cmC．3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cmD．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm2．有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长都为4 cm，则其他两边的实际长度都是________m.概念2：相似多边形3．如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．(第3题)概念3：位似图形4．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．(第4题)2个性质性质1：平行线分线段成比例的性质5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA 运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？(第5题)性质2：相似三角形的性质6．如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC与AD 相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；＝5，BC＝10，求DE的长．(2)若S△FCD(第6题)1个判定——相似三角形的判定7．如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE∽△OCD.8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，＝，求PD的长．(第8题)2个应用应用1：测高的应用9．如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树的高度是多少？(第9题)应用2：测宽的应用10．如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．1个作图——作一个图形的位似图形11．如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O 为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．(第11题)1个技巧——证明四条线段成比例的技巧12．如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q.(1)求∠PAQ的度数；(2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.(第12题)答案专训1(第1题)1．证明：如图，过点C作CM∥AB交DF于点M.∵CM∥AB，∴△CMF∽△BDF.∴BFCF＝BDCM.又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME.∴AEEC＝ADCM.∵D为AB的中点，∴BDCM＝ADCM.∴BFCF＝AEEC，即AE·CF＝BF·EC.2．证明：过点D作DG∥BC，交AC于点G，∴△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.∴EFDF＝CEDG，ABBC＝ADDG.∵AD＝CE，∴CEDG＝ADDG.∴ABBC＝EFDF，即AB·DF＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AE∥DC，∠A＝∠C.∴∠CDF＝∠E，∴△DAE∽△FCD，∴DCAE＝CFAD.4．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM. ∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D.又∵∠AME＝∠DMA.∴△AME∽△DMA.∴AMMD＝MEAM.∴AM2＝MD·ME.(第5题)5．证明：如图，连接PM，PN. ∵MN是AP的垂直平分线，∴MA＝MP，NA＝NP.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.∴∠2＋∠4＝60°.∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°.∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.∴BPCN＝BMCP，即BP·CP＝BM·CN.6．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠BDE＝180°，∠ACB＋∠CED＝180°，∴∠CED＝∠BDE.又∵∠EDF＝∠ABE，∴△DEF∽△BDE.(2)由△DEF∽△BDE得DEBD＝EFDE，∴DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠BED＝∠DFE.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.∴DGDE＝DEDF，∴DE2＝DG·DF，∴DG·DF＝DB·EF.7．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，∴∠AEP＝∠BED＝∠AGB＝90°.∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°.∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.∴AEDE＝PEBE，即AE·BE＝PE·DE.又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝∠BEC＝90°，∴∠CAB＋∠ACE＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°.∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.∴AECE＝CEBE，即CE2＝AE·BE.∴CE2＝DE·PE.8．证明：易得∠BAC＝∠BDF＝90°.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBF，∴△BDF∽△BAE，得BDAB＝BFBE.∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA.∴△ABC∽△DBA，得ABBC＝BDAB，∴BFBE＝ABBC.9．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形．∴∠B＝∠D. ∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°，∴△AMB∽△AND.(2)由△AMB∽△AND得AMAN＝ABAD，∠BAM＝∠DAN.又AD＝BC，∴AMAN＝ABBC.∵AM⊥BC，AD∥BC，∴∠AMB＝∠MAD＝90°.∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°，∴∠B＝∠MAN.∴△AMN∽△BAC，∴AMAB＝MNAC.10．证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠AED＝90°.又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ADE∽△ABD，得AD2＝AE·AB，同理可得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC，∴AEAF＝ACAB.11．证明：连接PC，如图．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB，∴BP ＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4.∵CF∥AB，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠F.又∵∠CPF＝∠CPE，∴△CPF∽△EPC，∴CPPE＝PFCP，即CP2＝PF·PE.∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF.(第11题)(第12题) 12．证明：如图，连接PA，则PA＝PD，∴∠PDA＝∠PAD.∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.又∵∠APC＝∠BPA，∴△PAC∽△PBA，∴PAPB＝PCPA，即PA2＝PB·PC，∴PD2＝PB·PC.专训21．(1)证明：∵ED∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴AEAC＝DEBC.∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC. ∵ED∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝BD.∴AEAC＝BDBC，即AE·BC＝BD·AC.(2)解：设h△ADE表示△ADE中DE边上的高，h△BDE表示△BDE中DE边上的高，h△ABC表示△ABC中BC边上的高．∵S△ADE ＝3，S△BDE＝2，∴S△ADES△BDE＝h△ADEh△BDE＝32.∴h△ADEh△ABC＝35.∵△ADE∽△ABC，∴DEBC＝h△ADEh△ABC＝35.∵DE＝6，∴BC＝10.2．解：相似．理由如下：因为EOBO＝DOCO，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB.所以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO.因为∠ADE＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO.所以∠ADE＝∠ABC.又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC.3．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∴∠BAC＝∠ADB＝90°.又∵∠CBA＝∠ABD(公共角)，∴△ABC∽△DBA.∴ABAC＝DBDA，∠BAD＝∠C.∵AD⊥BC于点D，E为AC的中点，∴DE＝EC. ∴∠BDF＝∠CDE＝∠C.∴∠BDF＝∠BAD.又∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF.∴DBAD＝DFAF.∴ABAC＝DFAF.(第3题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD 2，AF·AC＝AD 2，∴AE·AB＝AF·AC.4．证明：(1)∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠BAC. 又∵∠ADE ＝∠ABC ，∴△ADE ∽△ABC.(2)∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AE ＝AB AC. ∵∠DAB ＝∠EAC ，∴△ADB ∽△AEC.∴AD AE ＝BD CE.专训31．证明：∵DE ∥BC.∴△NEO ∽△MBO.∴NE MB ＝ON OM. 同理可得DN MC ＝ON OM .∴DN MC ＝NE BM .∴DN NE ＝MCBM .∵DE ∥BC ，∴△ANE ∽△AMC.∴AN AM ＝NEMC .同理可得AN AM ＝DN BM ，∴DN BM ＝NE MC .∴DN NE ＝BMMC .∴MC BM ＝BMMC.∴MC 2＝BM 2.∴BM ＝MC.(第2题)2．证明：如图，过C 作CG ∥AB 交DF 于G 点． ∵CG ∥AB ，∴AD CG ＝AE CE ，BD CG ＝BF CF， ∵AE CE ＝BF CF ，∴AD CG ＝BD CG，∴AD＝BD.3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∠ABD＝∠ACE＝30°，∴ADAB＝12，AEAC＝12，∴AD AB ＝AEAC.又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ADAB＝12，∴DE＝12BC.4．证明：如图，延长CE，交AM的延长线于 F.∵AB∥CF，∴∠BAM＝∠F，△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM，∴BDCE＝BMMC，BACF＝BMMC，∴BDCE＝BACF.又∵BA＝2BD，∴CF＝2CE.又AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM，∴∠CAM＝∠F，∴AC＝CF，∴AC＝2CE.(第4题)(第5题)5．证明：如图，过点C作CO⊥AB于点O.∵DE＝CD，DE⊥CD，∴∠ECD＝∠CED＝45°.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠B＝45°.∴∠CAB＝∠CED.又∵∠AOC＝∠EDC＝90°，∴△ACO∽△ECD.∴ACCO＝ECCD.又∵∠ACE＋∠ECO＝∠OCD＋∠ECO＝45°，∴∠ACE＝∠OCD.∴△ACE∽△OCD.∴∠CAE＝∠COD＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠ACB＝180°.∴AE∥BC.6．解：(1)MN∥AC∥ED.证明如下：∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，∴EM BD ＝AM AD ＝MFDC.∵E为AB的中点，EF∥BC，∴F为AC的中点．又∵DF∥AB，∴D为BC的中点，∴EM＝MF.∵F为AC的中点，FN∥AE，∴N为EC的中点，从而MN∥AC.又∵D为BC的中点，E为AB 的中点，∴ED∥AC，∴MN∥AC∥ED.(2)MN∥AC.证明如下：∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC，∴EMBD＝AMAD＝MFDC，∴EM MF ＝BD DC .又∵DF ∥AB ，∴BD DC ＝EN NC ，∴EM MF ＝EN NC ，∴EM EF ＝ENEC .又∵∠MEN ＝∠FEC ，∴△MEN ∽△FEC.∴∠EMN ＝∠EFC.∴MN ∥AC.7．证明：∵AC 2＝AB·AD，∴AC AD ＝ABAC.又∵∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC.∴∠ADC ＝∠ACB. 又∵BC 2＝BA·BD，∴BC BD ＝BABC.又∵∠B ＝∠B ， ∴△BCD ∽△BAC.∴∠BDC ＝∠BCA. ∴∠ADC ＝∠BDC.∵∠BDC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∴CD ⊥AB.8．证明：∵AD ＝13AB ，点E ，F 把AB 三等分，∴设AE ＝EF ＝FB ＝AD ＝k ，则AB ＝CD ＝3k. ∵CD ∥AB ，∴∠DCG ＝∠FAG ，∠CDG ＝∠AFG. ∴△AFG ∽△CDG ，∴FG DG ＝AF CD ＝23. 设FG ＝2m ，则DG ＝3m ，∴DF ＝FG ＋DG ＝2m ＋3m ＝5m. 在Rt △AFD 中，DF 2＝AD 2＋AF 2＝5k 2，∴DF ＝5k. ∴5m ＝5k.∴m ＝55k.∴FG ＝255k.∴AF FG ＝2k 255k ＝5，DF EF ＝5k k ＝ 5.∴AF FG ＝DFEF. 又∠AFD ＝∠GFE ，∴△AFD ∽△GFE. ∴∠EGF ＝∠DAF ＝90°.∴EG ⊥DF.专训41．解：(1)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0) 将D(0，1) A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53代入解析式得：⎩⎨⎧b ＝153＝43k ＋b 解得⎩⎨⎧b ＝1k ＝12∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.(2)直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.令y ＝0，得x ＝－2.得B(－2，0)，即OB ＝2. 直线AC 为y ＝－x ＋3. 令y ＝0，得∴x ＝3. 得C(3，0)，即BC ＝5 设E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ＋1①当E 1C ⊥BC 时，如图，∠BOD ＝∠BCE 1＝90°，∠DBO ＝∠E 1BC.∴△BOD ∽△BCE 1.此时点C 和点E 1的横坐标相同． 将x ＝3代入y ＝12x ＋1，解得y ＝52.∴E 1⎝⎛⎭⎪⎫3，52.②当CE 2⊥AD 时，如图，∠BOD ＝∠BE 2C ＝90°，∠DBO ＝∠CBE 2， ∴△BOD ∽△BE 2C.过点E 2作EF ⊥x 轴于点F ，则∠E 2FC ＝∠BFE 2＝90°. 又∵∠E 2BF ＋∠BE 2F ＝90°， ∠CE 2F ＋∠BE 2F ＝90°. ∴∠E 2BF ＝∠CE 2F. ∴△E 2BF ∽△CE 2F ，则E 2F BF ＝CF E 2F. 即E 2F 2＝CF·BF.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋12＝(3－x)(x ＋2)解得：x 1＝2，x 2＝－2(舍去)∴E 2(2，2)当∠EBC ＝90°时，此情况不存在． 综上所述：E 1⎝⎛⎭⎪⎫3，52或E 2(2，2)．(第1题)(第2题)2．解：(1)由题意得A(3，0)，B(0，3)，∵抛物线经过A ，B ，C 三点，∴把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得方程组⎩⎨⎧9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3，∴抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)如图，由题意可得△ABO 为等腰直角三角形．若△ABO ∽△AP 1D ，则AO AD ＝OBDP 1，∴DP 1＝AD ＝4，∴P 1(－1，4)；若△ABO ∽△ADP 2，过点P 2作P 2M ⊥x 轴于M ，∵△ABO 为等腰直角三角形，∴△ADP 2是等腰直角三角形，由三线合一可得DM ＝AM ＝2＝P 2M ，即点M 与点C 重合，∴P 2(1，2)，∴点P 的坐标为(－1，4)或(1，2)．3．解：(1)易得A(－1，0)，B(0，2)，C(1，0)． 设直线BD 对应的函数解析式为y ＝kx ＋m.把B(0，2)，C(1，0)的坐标分别代入y ＝kx ＋m ，得⎩⎨⎧m ＝2，k ＋m ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－2，m ＝2.∴直线BD 对应的函数解析式为y ＝－2x ＋2. ∵抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋bx ＋c.∴把B(0，2)，D(3，－4)的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ， 得⎩⎨⎧c ＝2，－9＋3b ＋c ＝－4，解得⎩⎨⎧b ＝1，c ＝2.∴抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋x ＋2. (2)存在，①如图①，当△MON ∽△BCO 时，ON CO ＝MN BO ，即ON 1＝MN2，∴MN ＝2ON.设ON ＝a ，则M(a ，2a)，∴－a 2＋a ＋2＝2a ，解得a 1＝－2(不合题意，舍去)，a 2＝1，∴M(1，2)；②如图②，当△MON ∽△CBO 时，ON BO ＝MN CO ，即ON 2＝MN 1，∴MN ＝12ON.设ON ＝n ，则M ⎝⎛⎭⎪⎫n ，12n ，∴－n 2＋n＋2＝n 2，解得n 1＝1－334(不合题意，舍去)，n 2＝1＋334，∴M(1＋334，1＋338)．∴存在这样的点M(1，2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋334，1＋338.(第3题)4．解：(1)在矩形OABC 中，∵点B 的坐标为(2，3)，∴BC 边的中点D 的坐标为(1，3)．∵双曲线y ＝k x 经过点D(1，3)，∴3＝k 1，∴k ＝3，∴y ＝3x .∵点E 在AB 上，∴点E 的横坐标为2.又∵双曲线y ＝3x 经过点E ，∴点E 的纵坐标为y ＝32，∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，32. (2)易得BD ＝1，BE ＝32，CB ＝2.∵△FBC ∽△DEB ，∴BD CF ＝BE CB ，即1CF ＝322，∴CF ＝43，∴OF＝53，即点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53.设直线FB 对应的函数解析式为y ＝k 1x ＋b ，而直线FB 经过B(2，3)，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，53，∴k 1＝23，b ＝53，∴直线FB 对应的函数解析式为y ＝23x ＋53.专训5 1．C2．203．解：四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．由已知条件知，∠DAB＝∠D′A′B′，∠B＝∠B′，∠BCD＝∠B′C′D′，∠D＝∠D′，且ABA′B′＝BCB′C′＝CDC′D′＝DA D′A′＝56，所以四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．4．解：如图，过点B作BM⊥x轴于点M，过点B′作B′N⊥x轴于点N，则△CBM∽△CB′N.所以MC NC＝BM B′N＝BC B′C.又由已知条件知NC＝a＋1，B′N＝－b，BCB′C＝12，所以MC(a＋1)＝BM(－b)＝1 2.所以MC＝12(a＋1)，BM＝－b2.所以MO＝1 2(a＋1)＋1＝a＋32.所以点B的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－a＋32，－b2.(第4题)5．解：(1)∵DE∥BC，∴ADAB＝AEAC，∴8－2x8＝y6，∴y＝－32x＋6(0≤x≤4)．(2)∵S△BDE＝12·2x·y＝12·2x·⎝⎛⎭⎪⎫6－32x＝－32(x－2)2＋6，∴当x＝2时，S△BDE有最大值，最大值为6.6．(1)证明：如图，∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC，∴∠B＝∠1.又∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠2，∴△ABC∽△FCD.(2)解：如图，过点A作AM⊥CB于点M.∵D是BC边上的中点，∴BC＝2CD.由(1)知△ABC∽△FCD，∴S△ABCS△FCD＝⎝⎛⎭⎪⎫BCCD2＝41.又∵S△FCD ＝5，∴S△ABC＝20.∵S△ABC ＝12BC·AM，∴AM＝2S△ABCBC＝2×2010＝4.∵DE⊥BC，AM⊥BC，∴DE∥AM，∴△BDE ∽△BMA.∴DE AM ＝BD BM. 由AD ＝AC ，AM ⊥BC ，知DM ＝12CD ＝14BC ＝52.∴DE 4＝55＋52，∴DE ＝83. 点拨：从复杂的图形中分析线段的特点和联系，找到切入点是解较复杂问题的关键．(第6题)7．证明：∵△ACB 为等腰直角三角形，AB 为斜边， ∴∠CAB ＝45°.∵CO ⊥AB.∴∠AOC ＝90°.又∵DE ⊥CD ，DE ＝CD ，∴∠CED ＝45°，∠CDE ＝90°. ∴∠CAO ＝∠CED ，∠AOC ＝∠EDC. ∴△ACO ∽△ECD.∴∠ACO ＝∠ECD ，AC CO ＝CE CD. ∴∠ACE ＝∠OCD.∴△ACE ∽△OCD.8．(1)证明：由四边形APCB 内接于圆O ，得∠FPC ＝∠B. 又∠B ＝∠ACE ＝90°－∠BCE ，∠ACE ＝∠APD ，所以∠APD ＝∠FPC ，所以∠APD ＋∠DPC ＝∠FPC ＋∠DPC ， 即∠APC ＝∠FPD. 又∠PAC ＝∠PDC ， 所以△PAC ∽△PDF.(2)解：由(1)知△PAC ∽△PDF ，所以∠PCA ＝∠PFD. 又∠PAC ＝∠CAF ，所以△PAC ∽△CAF ，所以△CAF ∽△PDF ， 所以PD AC ＝DFAF，则PD·AF＝AC·DF.由AB ＝5，AC ＝2BC ，∠ACB ＝90°，知BC ＝5，AC ＝2 5. 由OE ⊥CD ，∠ACB ＝90°知CB 2＝BE·AB，CE ＝DE. 所以BE ＝CB 2AB ＝55＝1.所以AE ＝4，CE ＝CB 2－BE 2＝5－1＝2，所以DE ＝2.又＝，∠AFD ＝∠PCA ，所以∠AFD ＝∠PCA ＝45°. 所以FE ＝AE ＝4，AF ＝42， 所以PD ＝AC ·DF AF ＝25×（4＋2）42＝3102. 9．解：(方法一：作延长线)延长AD ，与地面交于点M ，如图①.(第9题)由AM ∥FH 知∠AMB ＝∠FHG.又因为AB ⊥BG ，FG ⊥BG ，DC ⊥BG ， 所以△ABM ∽△DCM ∽△FGH ，所以AB BM ＝CD CM ＝FG GH. 因为CD ＝2 m ，FG ＝1.2 m ，GH ＝2 m ， 所以2CM ＝1.22，解得CM ＝103 m .因为BC ＝4 m ，所以BM ＝BC ＋CM ＝4＋103＝223(m )． 所以AB 223＝1.22，解得AB ＝4.4 m .故这棵树的高度是4.4 m .(方法二：作垂线)过点D 作DM ⊥AB 于点M ，如图②. 所以AM DM ＝FG GH.而DM ＝BC ＝4 m ，AM ＝AB －CD ＝AB －2(m )，FG ＝1.2 m ，GH ＝2 m ， 所以AB －24＝1.22，解得AB ＝4.4 m .故这棵树的高度是4.4 m .10．解：如图，过点A 作AF ⊥DE ，垂足为F ，并延长交BC 于点G. ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC. ∵AF ⊥DE ，DE ∥BC ，∴AG ⊥BC ，∴AF AG ＝DE BC ，∴30AG ＝2460.解得AG＝75，∴FG＝AG－AF＝75－30＝45，即河的宽度为45 m.(第10题)(第11题)11．思路导引：本题位似中心为O，先连接CO，因为要把原三角形缩小为原来的一半，可确定C′O＝12CO，由其确定出C′的位置，再根据同样的方法确定出另外两个点．解：画出图形，如图中的△A′B′C′即为所求作的图形．点拨：抓住位似图形的性质，根据位似中心与三角形对应点的关系及位似比的大小确定所画位似图形的对应点，再画出图形．12．思路导引：(1)由角平分线的定义及∠BAD为平角直接可得．(2)由于线段PM，CM，BM在同一条直线上，所以必须把某条线段转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此可证PM＝AM，从而证明△ACM与△ABM相似即可．(1)解：∵AP平分∠BAC，∴∠PAC＝12∠BAC.又∵AQ平分∠CAD，∴∠CAQ＝12∠CAD.∴∠PAC＋∠CAQ＝12∠BAC＋12∠CAD＝12(∠BAC＋∠CAD)．又∵∠BAC＋∠CAD＝180°，∴∠PAC＋∠CAQ＝90°，即∠PAQ＝90°.(2)证明：由(1)知∠PAQ＝90°，又∵M是线段PQ的中点，∴PM＝AM，∴∠APM＝∠PAM.∵∠APM＝∠B＋∠BAP，∠PAM＝∠CAM＋∠PAC，∠BAP＝∠PAC，∴∠B＝∠CAM.又∵∠AMC＝∠BMA，∴△ACM∽△BAM.∴CMAM＝AMBM，∴AM2＝CM·BM，即PM2＝CM·BM.点拨：本题运用了转化思想，在证明等积式时，常把它转化成比例式，寻找相似三角形进行求解．。
相似三角形几何题(含答案)
相似三角形几何题(WORD 版，有答案）1、如图，AD 是圆O 的直径，BC 切圆O 于点D ，AB 、AC 与圆O 相交于点E 、F 。
求证：AC AF AB AE ⋅=⋅；F O E DBA2为了加强视力保护意识，小明想在长为3.2米，宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、 丙位同学设计方案新颖，构思巧妙．(10分)（1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙ABEF 和墙ADGF 的夹角处，被测试人站立 在对角线AC 上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙CDGH 上，在墙ABEF 上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 米处．（3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m 的大视力表制作一个测试距离为3m 的小视 力表．如果大视力表中“E ”的长是3.5cm ，那么小视力表中相应“E ”的长是多少cm ？3、如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E ．(12分)（1）求证：AB ·AF ＝CB ·CD ；（2）已知AB ＝15 cm ，BC ＝9 cm ，P 是射线DE 上的动点．设DP ＝x cm （0x >），四边形BCDP 的面积为y cm 2．①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时y 的值．HH（图1）（图2） （图3）3.5㎝ACF3mB5mDA B CD EF P ·4已知，如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．(1)求证：△ABD∽△CBA；(2)作DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．5．已知：如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于D点，AD＝4cm，DB＝9cm，求CB的长．6．如图所示，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，试在这个网格上画一个与△ABC相似，且面积最大的△A1B1C1(A1，B1，C1三点都在格点上)，并求出这个三角形的面积．7．如图所示，在5×5的方格纸上建立直角坐标系，A(1，0)，B(0，2)，试以5×5的格点为顶点作△ABC 与△OAB相似(相似比不为1)，并写出C点的坐标．8．如图所示，⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝15°，AD∥OC并交BC的延长线于D点，OC 交AB 于E 点．(1)求∠D 的度数；(2)求证：AC 2＝AD ·CE ．9．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，点D 是BC 边上的一个动点(不与B ，C 点重合)，∠ADE ＝45°．(1)求证：△ABD ∽△DCE ；(2)设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； (3)当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．10．已知：如图，△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 边上的一个动点，DE ∥BC ，连结DC ，设△ABC 的面积为S ，△DCE 的面积为S ′．(1)当D 为AB 边的中点时，求S ′∶S 的值； (2)若设,,y SS x AD ='=试求y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围．11．已知：如图，抛物线y ＝x 2－x －1与y 轴交于C 点，以原点O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于另一点D ．设点P 为抛物线y ＝x 2－x －1上的一点，作PM ⊥x 轴于M 点，求使△PMB ∽△ADB 时的点P 的坐标．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知关于x 的二次函数y ＝x 2＋(k －1)x ＋2k －1的图象与x 轴交于A ，B两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，－3)． 求这个二次函数的解析式及A ，B 两点的坐标．13．如图所示，在平面直角坐标系xOy 内已知点A 和点B 的坐标分别为(0，6)，(8，0)，动点P 从点A开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P ，Q 移动的时间为t 秒．(1)求直线AB 的解析式；(2)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似? (3)当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位?14．已知：如图，□ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAD ＝120°，E 为BC 上一动点(不与B 点重合)，作EF ⊥AB 于F ，FE ，DC 的延长线交于点G ，设BE ＝x ，△DEF 的面积为S ．(1)求证：△BEF ∽△CEG ；(2)求用x 表示S 的函数表达式，并写出x 的取值范围； (3)当E 点运动到何处时，S 有最大值，最大值为多少?15、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC△是直角三角形，90ACB∠=，点A C，的坐标分别为(30)A-，，(10)C，，43=ACBC．(13分)（1）求过点A B，的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得ADB△与ABC△相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P Q，分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP DQ m==，问是否存在这样的m使得APQ△与ADB△相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．16．如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm．求梯子的长．17．如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO＝78cm，BO＝42cm，CD＝159cm，求CO和DO．18．如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝b，CB＝a，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，△ACB∽△CBD?A COBxy19．(本题10分)正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点， 当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．20．(本题10分)如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ．（1）求证：ABF COE △∽△；（2）当O 为AC 边中点，2ACAB=时，如图2，求OF OE 的值； （3）当O 为AC 边中点，ACn AB=时，请直接写出OF OE 的值．21（6分）一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为3.5cm ×3.5cm ，放映的银幕规格为2m ×2m ，若影机的光源距胶片20cm 时，问银幕应在离镜头多远的地方，放映的图像刚好布满整个银幕？DMA BCNBBA A C OE D DE C O F图1 图2 F22．（6分）如图13，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形. （1）⊿ACF 与⊿ACG 相似吗？说说你的理由. （2）求∠1+∠2的度数.23．（6分）如图13，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别是OA 、OB 的中点． （1）试问：△ADE 与△BCF 全等吗？请说明理由;（2）若AD = 4cm ，AB = 8cm ，求CF 的长．24（6分）已知：如图14，在△ABC 中，AB=AC=a ，M 为底边BC 上任意一点，过点M 分别作AB 、AC 的平行线交AC 于P ，交AB 于Q. （1）求四边形AQMP 的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；BACPQ MBCDOFF E O CBAAA A BBBCCCD DDOE FGPMN⑴⑵⑶25（6分）如图15，已知△ABC 、△DCE 、△FEG 是三个全等的等腰三角形，底边BC 、CE 、EG 在同一直线上，且AB=3，BC=1.连结BF ，分别交AC 、DC 、DE 于点P 、Q 、R.（1）求证：△BFG ∽△FEG ，并求出BF 的长； （2）观察图形，请你提出一个与点．．P ．相关．．的问题，并进行解答（根据提出问题的层次和解答过程评分）．26（6分）（1）如图16（1），在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，易知AC ⊥BD ，AC CO =21； （2）如图16（2），若点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，即21=DC DE ，过D 作DG ⊥AE ，分别交AC 、BC 于点F 、G.求证：31=AC CF ； （3）如图16（3），若点P 是正方形ABCD 的边CD 上的点，且nDC DP 1=（n 为正整数），过点D 作DN ⊥AP ，分别交AC 、BC 于点M 、N ，请你先猜想CM 与AC 的比值是多少？然后再证明你猜想的结论.27（8分）如图17，已知矩形ABCD 的边长3cm 6cm AB BC ==，．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm /s 的速度向A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN △的面积等于矩形ABCD 面积的19？ （2）是否存在时刻t ，使以A M N ，，为顶点的三角形与ACD △相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．28．如图，已知⊙O 的弦CD 垂直于直径AB ，点E 在CD 上，且EC = EB .（1）求证：△CEB ∽△CBD ；（2）若CE = 3，CB=5 ，求DE 的长.29．如图，把菱形ABCD 沿着BD 的方向平移到菱形A /B /C /D /′的位置， (1)求证：重叠部分的四边形B /EDF /是菱形(2)若重叠部分的四边形B /EDF /面积是把菱形ABCD 面积的一半,且BD=2，求则此菱形移动的距离．30．如图，在Rt ABC △中，90C =∠，12BC AC ==，，把边长分别为123n x x x x ，，，，的n 个正方形依次放入ABC △中，请回答下列问题：（1n1 2 3 n x（2）第n 个正方形的边长n = ；（3）若m n p q ，，，是正整数，且m n p q x x x x =，试判断m n p ，，，的关系．AB C DMF E /CB/A/DB BC A2x3x1x答案1．方法１：连接ＥＤ，ＤＦ，证⊿ＡＤＥ∽⊿ＡＢＤ，得AB AE AD •=2同理可证⊿ＡＤＦ∽⊿ＡＣＤ，得AC AF AF •=2故，ＡＥ·ＡＢ＝ＡＦ·ＡＣ方法２：连接ＥＦ，ED证⊿ＡＥＦ∽⊿ＡＣＢ2．⑴在Ｒt ⊿ＡＢＣ中，ＡＣ＝22CD AD +＝223.42.3+＞5故，可行；⑵ 1.8；⑶利用⊿ＡＥＤ∽⊿ＡＣＢ可求得ＦＤ＝2.1m3．(1)证⊿DA Ｆ∽⊿ＡBC(2) )0(273〉+=x x y(3)当点P 运动到点E 的位置,即x ＝12.5时,△PBC 的周长最小，此时y 的值为64.54．(1)4943+=x y（2）过点Ｂ作AB 的垂线交x 轴于点D ， D 点的坐标为（3.25,0） (3)存在,m ＝925或36125 5．(1),BABDCB AB =CBA ABD ∠=∠，得△HBD ∽△CBA ； (2)△ABC ∽△CDE ，DE ＝1.5．6．.cm 133提示：连结AC ．7．提示：.52,10,25111111===C B B A C A △A 1B 1C 1的面积为5． 8．C (4，4)或C (5，2)．9．提示：(1)连结OB ．∠D ＝45°．(2)由∠BAC ＝∠D ，∠ACE ＝∠DAC 得△ACE ∽△DAC ．A C OBxyD10．(1)提示：除∠B ＝∠C 外，证∠ADB ＝∠DEC ．(2)提示：由已知及△ABD ∽△DCE 可得.22x x CE -=从而y ＝AC －CE ＝x 2－ .12+x (其中20<<x )．(3)当∠ADE 为顶角时：.22-=AE 提示：当△ADE 是等腰三角形时，△ABD ≌△DCE ．可得.12-=x当∠ADE 为底角时：⋅=21AE 11．(1)S ＇∶S ＝1∶4； (2)).40(41162<<+-=x x x y 12．提示：设P 点的横坐标x P ＝a ，则P 点的纵坐标y P ＝a 2－a －1．则PM ＝｜a 2－a －1｜，BM ＝｜a －1｜．因为△ADB 为等腰直角三角形，所以欲使△PMB ∽△ADB ，只要使PM ＝BM .即｜a 2－a －1｜＝｜a －1｜．不难得a 1＝0．.2.2.2432-===a a a∴P 点坐标分别为P 1(0，－1)．P 2(2，1)．).21,2().21,2(43+--P P13．(1)y ＝x 2－2x －3，A (－1，0)，B (3，0)； (2))49,43(-D 或D (1，－2)．14．(1);643+-=x y (2)1130=t 或;1350 (3)t ＝2或3．15．(1)略； (2));30(8311832≤<+-=x x x S 16.梯子长为cm 440 17.cm DO cm CO 65.55,35.103==（提示：设xcm DO =，则()cm x CO -=159，因为AB BD AB AC ⊥⊥,，︒=∠=∠90B A ，BOD AOC ∠=∠，所以△AOC ∽△BDO ，所以DO CO BO AO =即x x -=1594278，所以65.55=x ） 18.b a BD 2=（提示：由△ACB ∽△CBD ，得BC a a b BD CB CD AC ==,，所以b a BD 2=） (3)当x ＝3时，S 最大值33=．19．解：（1）在正方形ABCD 中，490AB BC CD B C ===∠=∠=，°，AM MN ⊥，90AMN ∴∠=°，90CMN AMB ∴∠+∠=°，在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°，CMN MAB ∴∠=∠，Rt Rt ABM MCN ∴△∽△，（2）Rt Rt ABM MCN △∽△，44AB BM x MC CN x CN∴=∴=-，，244x x CN -+∴=， ()222141144282102422ABCN x x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭梯形·，当2x =时，y 取最大值，最大值为10．（3）90B AMN ∠=∠=°，∴要使ABM AMN △∽△，必须有AM AB MN BM=，由（1）知AM AB MN MC=，BM MC ∴=， ∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =．20．解：（1）AD BC ⊥，90DAC C ∴∠+∠=°．90BAC BAF C ∠=∴∠=∠°，．90OE OB BOA COE ∴∠+∠=⊥，°，90BOA ABF ∠+∠=°，ABF COE ∴∠=∠．ABF COE ∴△∽△；（2）解法一：作OG AC ⊥，交AD 的延长线于G ．2AC AB =，O 是AC 边的中点，AB OC OA ∴==．由（1）有ABF COE △∽△，ABF COE ∴△≌△，BF OE ∴=．90BAD DAC ∠+∠=°，90DAB ABD DAC ABD ∠+∠=∴∠=∠°，，又90BAC AOG ∠=∠=°，AB OA =．ABC OAG ∴△≌△，2OG AC AB ∴==．OG OA ⊥，AB OG ∴∥，ABF GOF ∴△∽△，OF OG BF AB ∴=，2OF OF OG OE BF AB ===． 解法二：902BAC AC AB AD BC ∠==°，，⊥于D ， Rt Rt BAD BCA ∴△∽△．2AD AC BD AB ∴==． 设1AB =，则2AC BC BO ===，12AD BD AD ∴=== 90BDF BOE BDF BOE ∠=∠=∴°，△∽△，BD BO DF OE∴=． 由（1）知BF OE =，设OE BF x ==， BA D E C O FGB ADE C O F5DF x=，x ∴=．在DFB △中2211510x x =+，3x ∴=．OF OB BF ∴=-==322OF OE ∴==． （3）OF n OE=． 21807cm 22．相似，450 23．（1）全等，略；（2）CF ==cm 24．（1） 2a ；（2）△ABC ∽△QBM ∽△PMC ； 25．（1）BF=BG=3；（2）略 26．（1）略；（2）猜想11+=n AC CM ，证明略 27．（1）经过1秒或2秒后；（2）经过32秒或125秒时 28．（1）证明：∵弦CD 垂直于直径AB ∴BC=BD ∴∠C =∠D 又∵EC = EB∴∠C =∠CBE ∴∠D =∠CBE 又∵∠C =∠C ∴△CEB ∽△CBD（2）解：∵△CEB ∽△CBD ∴CE CB CB CD= ∴CD=2252533CB CE == ∴DE = CD －CE =253－3 =163 29．(1)有平移的特征知A ´B ´∥AB,又CD ∥AB ∴A ´B ´∥CD,同理B ´C ´∥AD ∴四边形BEDF 为平行四边形∵四边形ABCD 是菱形 ∴AB=AD ∴∠ABD=∠ADB 又∠A ´B ´D=∠ABD ∴∠A ´B ´D=∠ADB ∴FB ´=FD∴四边形B ´EDF 为菱形.(2)∵菱形B ´EDF 与菱形ABCD 有一个公共角 ∴此两个菱形对应角相等 又对应边成比例 ∴此两个菱形相似∴B D BD '=,∴12B D '== ∴平移的距离BB ´=BD –B ´1 30．（1）2483927，， （2）23n ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）m n p q x x x x = 22223333m n p q⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2233m n p q ++⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．m n p q ∴+=+。
经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形（附答案）一．解答题（共30 小题）1 ．如图，在△ABC中，DE∥ BC， EF ∥ AB，求证：△ADE∽△EFC ．2 ．如图，梯形ABCD 中，AB∥ CD，点F 在 BC 上，连 DF 与 AB 的延长线交于点G．（ 1 ）求证：△CDF∽△BGF；（ 2 ）当点 F 是 BC 的中点时，过 F 作 EF ∥ CD交 AD 于点 E，若 AB=6cm ， EF=4cm ，求 CD 的长．3．如图，点 D ， E 在 BC 上，且 FD∥ AB， FE∥ AC．求证：△ABC∽△FDE ．4 ．如图，已知 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点，BF ⊥ AE于 F，试说明：△ABF ∽△EAD．5 ．已知：如图①所示，在△和△ABCADE中， AB=AC ， AD=AE ，∠ BAC= ∠ DAE，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接 BE ，CD ， M ， N 分别为 BE， CD 的中点．（ 1）求证：①BE=CD ；②△AMN是等腰三角形；（ 2）在图①的基础上，将△绕点ADE 按顺时针方向旋转 180 °，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（ 1）中的两个结论是否仍然成立；（ 3）在（ 2 ）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段 BC 于点 P．求证：△PBD∽△ AMN．6 ．如图， E 是? ABCD 的边 BA 延长线上一点，连接EC，交 AD 于点 F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7 ．如图，在 4 ×3的正方形方格中，△和ABC△ DEF的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上．（1 ）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；（2 ）判断△ ABC与△ DEC是否相似，并证明你的结论．8 ．如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s的速度向 A 点匀速运动，问：（ 1）经过多少时间，△的AMN面积等于矩形 ABCD 面积的？（ 2）是否存在时刻 t ，使以 A ，M ， N 为顶点的三角形与△相ACD似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．9 ．如图，在梯形ABCD 中，若 AB∥ DC，AD=BC ，对角线BD 、 AC 把梯形分成了四个小三角形．（ 1 ）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（ 2 ）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10 ．如图△ABC中， D 为 AC 上一点， CD=2DA，∠BAC=45 °，∠BDC=60 °，CE于⊥E，BD连接 AE．（ 1 ）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（ 2 ）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（ 3 ）求△BEC与△BEA的面积之比．11 ．如图，在△ABC中， AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M 分别作 AB 、 AC 的平行线交AC于P，交 AB 于 Q．（1 ）求四边形 AQMP 的周长；（2 ）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（ 3 ） M 位于 BC 的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12 ．已知： P 是正方形ABCD 的边 BC 上的点，且BP=3PC ， M 是 CD 的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13 ．如图，已知梯形ABCD 中，AD∥ BC，AD=2 ，AB=BC=8，CD=10．（ 1 ）求梯形ABCD 的面积 S；（ 2 ）动点 P 从点 B 出发，以 1cm/s的速度，沿B? A ?D ? C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s 的速度，沿C? D? A 方向，向点 A 运动，过点Q 作 QE⊥ BC 于点 E．若 P、Q 两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t 秒．问：①当点 P 在 B?A 上运动时，是否存在这样的t ，使得直线PQ 将梯形 ABCD 的周长平分？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t ，使得以 P、 A 、D 为顶点的三角形与△相CQE似？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t ，使得以 P、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．14 ．已知矩形ABCD ，长 BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P 自点 A 出发，以 1cm/s的速度沿AB 方向运动，同时，Q 自点 B 出发以 2cm/s的速度沿BC 方向运动，问经过几秒，以 P 、B、 Q 为顶点的三角形与△相BDC似？15 ．如图，在△ABC中， AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 4cm/s的速度移动，如果P、 Q 分别从 A 、B 同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ ABC相似．16 ．如图，∠ACB= ∠ ADC=90 AC=°，，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17 ．已知，如图，在边长为 a 的正方形ABCD 中，M 是 AD 的中点，能否在边AB 上找一点N（不含 A 、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．C=90°BC=8cm，， AC=6cm，点Q 从 B 出发，沿BC 方向以2cm/s的速度移动，18 ．如图在△ABC中，∠点 P 从 C 出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q 、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、 P、Q为顶点的三角形与△相CBA似？19 ．如图所示，梯形ABCD 中，AD∥ BC，∠A=90 °AB=7，， AD=2 ， BC=3 ，试在腰AB 上确定点 P 的位置，使得以P ，A ，D 为顶点的三角形与以P， B，C 为顶点的三角形相似．20 ．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A= ∠ D=90 °的，顶△点 DEF位于边 BC 的中点上．（ 1）如图 1，设 DE 与 AB 交于点 M ， EF 与 AC 交于点 N ，求证：△BEM∽△ CNE；（ 2）如图 2，将△ DEF绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的延长线交于点M ，EF 与 AC 交于点 N ，于是，除（ 1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21 ．如图，在矩形 ABCD 中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s的速度移动．如果P、Q 同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当 t 为何值时，以点Q、 A 、P 为顶点的三角形与△相ABC似．22 ．如图，路灯（P 点）距地面8 米，身高 1.6 米的小明从距路灯的底部（O 点） 20 米的 A 点，沿 OA 所在的直线行走14 米到 B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23 ．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1 ）所需的测量工具是：_________ ；（2 ）请在下图中画出测量示意图；（ 3 ）设树高AB 的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24 ．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为 60cm ．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为 900cm ．丙组：如图 3 ，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm ，影长为156cm ．任务要求：（ 1 ）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（ 2 ）如图 3，设太阳光线NH 与⊙O 相切于点M ．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图 3 ，景灯的影长等于线段NG 的影长；需要时可采用等式156 2+2082=2602）25 ．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 2.7m 宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m ，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26 ．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h ，灯柱的高 OP=O′ P′ =l两灯，柱之间的距离 OO′ =m．（ 1）若李华距灯柱 OP 的水平距离 OA=a ，求他影子 AC 的长；（ 2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC ）是否是定值请说明理由；（ 3）若李华在点 A 朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27 ．如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1， S2， S3表示，则不难证明 S1=S 2+S 3．（ 1 ）如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1， S2， S3表示，那么S1， S2， S3之间有什么关系；（不必证明）（ 2 ）如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、 S2、 S3表示，请你确定 S1，S2， S3之间的关系并加以证明；（ 3 ）若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2， S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（ 4 ）类比（ 1 ），（ 2 ），（ 3 ）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28 ．已知：如图，△ABC∽△ AB=15ADE，， AC=9 ， BD=5 ．求 AE ．29 ．已知：如图Rt △ ABC∽ Rt △ BDC，AB=3若， AC=4 ．（1）求 BD 、CD 的长；（2）过 B 作 BE⊥ DC于 E，求 BE 的长．30 ．（ 1 ）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（ 2 ）已知：两相似三角形对应高的比为3：10 ，且这两个三角形的周长差为560cm ，求它们的周长．参考答案与试题解析一．解答题（共30 小题）1 ．如图，在△ABC中，DE∥ BC， EF ∥ AB，求证：△ADE∽△EFC ．考点：相似三角形的判定；平行线的性质。
相似三角形几何模型-X型图(知识讲解)九年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题4.34 相似三角形几何模型-X 型图（知识讲解） 0//A AOBO AB A B DC B CO DO CD ∆⇔==模型一：平行X 字型如图一，在中，D 、C 分别是AO 、BO 延长线上的点，AO BO AB AOB A D DO CO DC∆∠=∠⇔==模型二：非平行X 字型（也称为反X 字型）如图二，在中，DC 分别为AOBO 延长线上的点，AE BF ED FC ⇔=模型三：双（多）X 字型如图三，AD//BC ，AB 、CD 相交于点O ，过点O 的线段EF 交AD 、BC 于E 、F图一 图二 图三类型一、平行X 字型（也称为8字型）1．如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边AB 、AC 上，DC 与BE 相交于点O ，且2DO =，6BO DC ==，3OE =．求证：DOE COB △∽△．【分析】利用比例线段来证明相似三角形即可．解：2DO =，6DC =，624OC CD DO ∴=-=-=，2142OD OC ∴==，3162OE OB ==， OD OE OC OB∴=， DOE BOC ∠=∠，DOE COB ∴∆∆∽．【点拨】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．举一反三【变式1】如图，∠1=∠2=∠3,试找出图中两对相似三角形，并说明为什么?【答案】∠AFD∠∠EFB，∠ABC∠∠ADE；理由见分析.【分析】根据两个三角形的两组角对应相等，那么这两个三角形互为相似三角形证明即可．解：∠AFD∠∠EFB，∠ABC∠∠ADE．理由如下：∠∠2＝∠3，∠AFD＝∠EFB∠∠AFD∠∠EFB，∠∠B＝∠D．∠∠1＝∠2，∠12＝，∠+∠∠+∠EAF EAF∠∠BAC＝∠DAE，∠∠ABC∠∠ADE．【点拨】本题考查相似三角形的判定定理，熟记判定定理，本题用到了两组角对应相等的两个三角形互为相似三角形．【变式2】如图，直线a∥b，点M、N分别为直线a和直线b上的点，连接M，N，∠1＝70°，点P是线段MN上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D、E，设∠NPE＝α．（1）证明∠MPD∠∠NPE．（2）当∠MPD与∠NPE全等时，直接写出点P的位置．（3）当∠NPE是等腰三角形时，求α的值．【答案】（1）见分析；（2）点P是MN的中点；（3）40° 或70° 或55°【分析】(1)利用相似三角形的判定定理证明即可；(2)根据全等三角形对应边相等得到MP ＝NP ，即点P 是MN 的中点；(3)需要分类讨论：PN ＝PE 、PE ＝NE 、PN ＝NE ，再根据三角形内角和计算即可．(1)证明：∠a∥b ，∠∠MPD ∠∠NPE ．(2)∠a∥b ，∠∠MDP ＝∠NEP ，∠当∠MPD 与∠NPE 全等时， MP ＝NP ，即点P 是MN 的中点；(3)∠a∥b ，∠∠1＝∠PNE ＝70°，∠若PN ＝PE 时，∠∠PNE ＝∠PEN ＝70°．∠a ＝180°﹣∠PNE ﹣∠PEN ＝180°﹣70°﹣70°＝40°．∠∠a ＝40°；∠若EP ＝EN 时，则a ＝∠PNE ＝70°；∠若NP ＝NE 时，则∠PEN ＝α，此时2α＝180°﹣∠PNE ＝110°，∠α＝∠PEN ═55°；综上所述，α的值是40° 或70° 或55°．【点拨】本题考查了相似三角形的判定、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟知相关性质，会根据等腰三角形底边不同进行分类讨论．类型二、非平行X 字型（也称为反8字型）2．在∠DP PB CP PA ⋅=⋅，∠BAP CDP ∠=∠，∠DP AB CD PB ⋅=⋅这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明．问题：如图，四边形ABCD 的两条对角线交于P 点，若 （填序号）求证：ABP DCP △△．【答案】∠，证明见分析或∠，证明见分析．【分析】若选择条件∠，可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；若选择条件∠，可利用两角相等的两个三角形相似．解：选择条件∠的证明为：∠DP PB CP PA ⋅=⋅， ∠=PA PB DP CP， 又∠APB DPC ∠=∠，∠ABP DCP ∽△△；选择条件∠的证明为：∠APB DPC ∠=∠，BAP CDP ∠=∠∠ABP DCP ∽△△．【点拨】本题考查相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理，并正确识图是解题关键．举一反三【变式1】如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是边AB 上的中线，EF 垂直平分CD ，分别交AC ，BC 于E ，F ，连接DE ，DF ．(1)求证：OCE OFD ∽△△．(2)当7AE =，24BF =时，求线段EF 的长．【答案】(1)见分析 (2)25EF =【分析】（1）如图（见分析），先根据线段垂直平分线的性质可得90EOC DOF ∠=∠=︒，ED EC =，FD FC =，再根据三角形全等的判定定理证出EDF ECF ≅，根据全等三角形的性质可得12∠=∠，从而可得421∠=∠=∠，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）如图（见分析），延长FD 至G ，使DG DF =，连接AG ，EG ，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得EG EF =，再根据三角形全等的判定定理证出ADG BDF ≅△△，根据全等三角形的性质可得24AG BF ==，7B ∠=∠，然后根据平行线的判定与性质可得90EAG ∠=︒，最后在Rt AEG △中，利用勾股定理即可得．(1)证明：∠EF 垂直平分CD ，∠90EOC DOF ∠=∠=︒，ED EC =，FD FC =，在EDF 和ECF △中，ED EC FD FC EF EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∠()EDF ECF SSS ≅，∠12∠=∠，∠90ACB ∠=︒，90EOC ∠=︒，∠233490∠+∠=∠+∠=︒，∠421∠=∠=∠，在OCE △和OFD △中，9014EOC DOF ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， ∠OCE OFD ．(2)解：如图，延长FD 至G ，使DG DF =，连接AG ，EG ．则ED 垂直平分FG ，EG EF ∴=， CD 是边AB 上的中线，∠AD BD =，在ADG 和BDF 中，65DG DF AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()ADG BDF SAS ≅△△，∠24AG BF ==，7B ∠=∠，∠AG BC ，∠18090EAG ACB ∠=︒-∠=︒，∠25EG =，∠25EF =．【点拨】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键．【变式2】如图，AC ，BD 相交于的点O ，且∠ABO ＝∠C ．求证：∠AOB ∠∠DOC ．【分析】利用对顶角相等得到∠AOB =∠COD ，再结合已知条件及相似三角形的判定定理即可求解．证明：∠AC ，BD 相交于的点O ，∠∠AOB ＝∠DOC ，又∠∠ABO ＝∠C ，∠∠AOB ∠∠DOC ．【点拨】本题考查了相似三角形的判定定理：若一对三角形的两组对应角相等，则这两个三角形相似，由此即可求解．类型三、A、X字型综合3．如图，在∠ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD 于点N，ON＝1．(1)求证：∠DMN∠∠BCN；(2)求BD的长；(3)若∠DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积．【答案】(1)见分析(2) 6 (3) 5【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，从而证明8字模型相似三角形△DMN∠∠BCN；（2）由△DMN∠∠BCN，可得到DN：BN=1：2，设OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；（3）根据△MND∠∠CNB且相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四边形ABNM=S△ABD-S△MND求解．（1）证明：∠四边形ABCD是平行四边形，∠AD∥BC，∠∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∠∠DMN∠∠BCN；（2）解：∠四边形ABCD是平行四边形，∠AD=BC，OB=OD＝12BD，∠∠DMN∠∠BCN，∠DM DN BC BN，∠M为AD中点，∠AD=2DM，∠BC=2DM，∠BN=2DN，设OB=OD=x，∠BD=2x，∠BN=OB+ON=x+1，DN=OD-ON=x-1，∠x+1=2（x-1），解得：x=3，∠BD=2x=6，∠BD的长为6；（3）解：∠∠MND∠∠CNB，∠DM：BC=MN：CN=DN：BN=1：2，∠∠DCN的面积为2，∠S∠MND=12S∠CND=1，S∠BNC=2S∠CND=4，∠S∠ABD=S∠BCD=S∠BCN+S∠CND=4+2=6，∠S四边形ABNM=S∠ABD-S∠MND=6-1=5，∠四边形ABNM的面积为5．【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，等高三角形面积的比等于其对应底的比是解题的关键．举一反三【变式1】如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF∠EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：∠AEF∠∠DCE；(2)∠AEF与∠ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设ABkBC=，是否存在这样的k值，使得∠AEF与∠BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见分析(2)相似，证明见分析(3)存在，k【分析】(1)由题意可得∠AEF＋∠DEC＝90°，又由∠AEF＋∠AFE＝90°，可得∠DEC＝∠AFE，据此证得结论；(2)根据题意可证得Rt∠AEF∠Rt∠DEG(ASA)，可得EF＝EG，∠AFE＝∠EGC，可得CE 垂直平分FG，∠CGF是等腰三角形，据此即可证得∠AEF与∠ECF相似；(3)假设∠AEF与∠BFC相似，存在两种情况：∠当∠AFE＝∠BCF，可得∠EFC＝90°，根据题意可知此种情况不成立；∠当∠AFE＝∠BFC，使得∠AEF与∠BFC相似，设BC＝a，则AB＝ka，可得AF＝13ka，BF＝23ka，再由∠AEF∠∠DCE，即可求得k值．（1）证明：∠EF∠EC，∠∠FEC＝90°，∠∠AEF＋∠DEC＝90°，∠∠AEF＋∠AFE＝90°，∠∠DEC＝∠AFE，又∠∠A＝∠EDC＝90°，∠∠AEF∠∠DCE；（2）解：∠AEF∠∠ECF．理由：∠E为AD的中点，∠AE＝DE，∠∠AEF＝∠DEG，∠A＝∠EDG，∠∠AEF∠∠DEG(ASA)，∠EF＝EG，∠AFE＝∠EGC．又∠EF∠CE，∠CE垂直平分FG，∠∠CGF是等腰三角形．∠∠AFE＝∠EGC＝∠EFC．又∠∠A＝∠FEC＝90°，∠∠AEF∠∠ECF；（3）解：存在k∠AEF与∠BFC相似．理由：假设∠AEF与∠BFC相似，存在两种情况：∠当∠AFE＝∠BCF，则有∠AFE与∠BFC互余，于是∠EFC＝90°，因此此种情况不成立；∠当∠AFE＝∠BFC，使得∠AEF与∠BFC相似，设BC＝a，则AB ＝ka，∠∠AEF∠∠BCF，∠12AFAE BF BC ， ∠AF ＝13ka ，BF ＝23ka ， ∠∠AEF ∠∠DCE ， ∠AE AF DC DE =，即113212ka a ka a =，解得，k =．∠存在k 使得∠AEF 与∠BFC 相似． 【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性质，等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．【变式2】如图，四边形ABCD 为正方形，且E 是边BC 延长线上一点，过点B 作BF ∠DE 于F 点，交AC 于H 点，交CD 于G 点．(1)求证：∠BGC ∠∠DGF ；(2)求证：GD AB DF BG ⋅=⋅；(3)若点G 是DC 中点，求GF CE的值．【答案】(1) 见分析 (2) 见分析(3)GF CE =【分析】 （1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到∠BGC ∠∠DCF ．（2）由第一问的结论可得到相似比，既有DG BC DF BG ⋅=⋅，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论．（3）通过ASA 判定出∠BGC ∠∠DEC ，进而根据第一问结论可得∠BGC ∠∠DGF ，然后通过相似比设未知数，赋值CG x =，即可求出GF CE的值． （1）证明：∠四边形ABCD 是正方形∠90BCD ADC ∠=∠=︒∠BF DE ⊥∠90GFD ∠=︒∠BCD GFD ∠=∠，又∠BGC DGF ∠=∠，∠∠BGC∠∠DCF ．（2）证明：由（1）知∠BGC ∠∠DGF ， ∠BG BC DG DF=， ∠DG BC DF BG ⋅=⋅∠四边形ABCD 是正方形，∠AB BC =∠DG AB DF BG ⋅=⋅．（3）解：由（1）知∠BCC ∠∠DGF ，∠FDG CBG ∠=∠，在∠BGC 与∠DEC 中，,{,=,CBG CDE BCG DCE BC CD ∠=∠∠=∠∠∠BGC∠∠DEC （ASA ）∠CG EC =∠G 是CD 中点∠CG DG =∠::GF CE CF DC =∠∠BGC∠∠DGF∠::GF DG CG BG =在Rt∠BGC 中，设CG x =，则2BC x =，BC =∠CG BG =∠GF CE =【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键．【变式3】已知：如图，两个DAB 和EBC 中，DA DB =，EB EC =，ADB BEC ∠=∠，且点A 、B 、C 在一条直线上．联结AE 、ED ，AE 与BD 交于点F ．(1) 求证：DF AB BF BC=； (2) 如果2BE BF BD =⋅，求证：DF BE =．【分析】（1）利用等腰三角形的性质，证DAB DBA EBC ECB ∠=∠=∠=∠，从而证得AD BE ，BD CE ∥，再利用平行线分线段成比例即可得出结论．（2）证明EBF DBE △△∽，得DEB BFE ∠=∠，继而利用DAF BDE ≌△△，即可得出结论．(1)证明：DA DB =，EB EC =，DAB DBA ∴∠=∠，EBC ECB ∠=∠，ADB BEC ∠=∠，DAB DBA EBC ECB ∴∠=∠=∠=∠，AD BE ∴∥，BD CE ∥，DF AF BF EF ∴=，AF AB EF BC =， DF AB BF BC∴=． (2)证明：2BE BF BD =⋅，BE BD BF BE∴=， EBF DBE ∠=∠，EBF DBE ∴△△∽，DEB BFE ∴∠=∠，AFD BFE ∠=∠，AFD DEB ∴∠=∠，AD BE ，ADF DBE ∴∠=∠又AD BD =，DAF BDE ∴≌△△，DF BE ∴=．【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握三角形相似的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．。
相似三角形练习题(超经典含答案)
1．如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k（k≠1），则k的值是A．∠A︰∠A′B．A′B′︰ABC．∠B︰∠B′D．BC︰B′C′2．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，下列比例式不成立的是A．AD AEDB EC=BAD DEDB BC=．CAD AEAB AC=．DAB ACDB CE=．3．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E，B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=A．7 B．7.5 C．8 D．8.54．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD︰DB=3︰5，那么CF︰CB等于A．5︰8 B．3︰8 C．3︰5 D．2︰55．如图，已知在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，则一定相似的三角形是A．△ABC和△BAD B．△ABD和△BDCC．△BDC和△ABC D．△ABD和△BDC和△ABC6．在相同时刻的物高与影长成正比例，如果高为1.6米的竹竿的影长为2.0米，那么影长为30米的旗杆的高是A．25米B．24米C．20米D．18米7．△ABC和△A′B′C′相似，记作__________，相似三角形__________的比叫__________，当相似比为1时，两个三角形__________.8．如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=60°，∠B=40°，∠A′=60°，当∠C′=__________时，则△ABC∽△A′B′C′.9．若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=6cm，A′B′=8cm，那么△ABC与△A′B′C′的相似比为__________．10．如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，则AFE△与BCF△的面积比等于__________．11．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且14FC BC．图中相似三角形共有__________对．12．如图，要使△ABC 与△DBA 相似，则只需添加一个适当的条件是________．（填一个即可）13．如图，要测量池塘两端A 、B 的距离，可先取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC并延长到D ，使12CD CA =，连接BC 并延长到E ，使12CE CB =，连接ED ，如果量出DE 的长为25米，那么池塘宽AB 为________米．14．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，在AB 边上取一点D ，使BD BC =，过D 作DE AB ⊥交AC 于E ，86AC BC ==，．求DE 的长．15．如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3.(1)求ADAB的值；(2)求BC的长．16．如图，△ABC∽△DEC，CA=CB，且点E在AB的延长线上．（1）求证：AE=BD；（2）求证：△BOE∽△COD；（3）已知CD=10，BE=5，OD=6，求OC的长．17．如图，甲、乙两人分别从A（1）、B（6，0）两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向，乙沿BO方向均以4的速度行走．t h后，甲到达M点，乙到达N点．（1）请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？18．如图，点F是ABCD的边AD上的三等分点（靠近A点），BF交AC于点E，如果△AEF的面积为2，那么四边形CDFE的面积等于A．18 B．22C．24 D．4619．在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且∠BEF=90°，则三角形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ一定相似的是A．Ⅰ和ⅡB．Ⅰ和ⅢC．Ⅰ和ⅣD．Ⅲ和Ⅳ20．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点共有A．1个B．2个C．3个D．4个21．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则DE：EC=__________．22．如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置在在BC中点E处，三角板绕点E旋转，三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F．（1）求证：△GBE∽△GEF．（2）设AG=x，GF=y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量取值范围．（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P．当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长．23．（2018•绥化）两个相似三角形的最短边分别为5cm 和3cm ，它们的周长之差为12cm ，那么大三角形的周长为 A ．14cm B ．16cm C ．18cmD ．30cm24．（2018•毕节市）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是DC 上的点，DE ：EC =3：2，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 与△BAF 的面积之比为A ．2：5B ．3：5C ．9：25D ．4：2525．（2018•巴中）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，连接DE ．下列结论：①OE OB =OD OC ；②DE BC =12；③DOE BOC S S △△=12；④DOE DBES S △△=13．其中正确的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个26．（2018•阜新）如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 中点，BD 和CE 相交于点F ，如果DF =2，那么线段BF 的长度为__________．27．（2018•吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=___________m．28．（2018•陕西）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）29．（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE–BE；（2）连接BF，如果AFBF=DFAD．求证：EF=EP．1．【答案】D【解析】对应边的比是相似比，且有顺序性，故△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比k 的值为BC ︰B ′C ′． 2．【答案】B【解析】∵DE ∥BC ，,,AD AE AD AE AB ACDB EC AB AC DB CE∴===，∴选项A ，C ，D 均正确；故选B ． 3．【答案】B【解析】∵a ∥b ∥c ，∴AC BD CE DF =，即436DF =．∴364.54DF ⨯==．∴BF =BD +DF =3+4.5=7.5．4．【答案】A【解析】∵DE ∥BC ，∴AE ︰EC =AD ︰DB =3︰5， ∵EF ∥AB ，∴BF ︰FC =AE ︰EC =3︰5， 故CF ︰CB =5︰8．故选A ． 5．【答案】C6．【答案】B【解析】设旗杆的高是x 米，则1.6230x=，解得x =24． 7．【答案】△ABC ∽△A ′B ′C ′；对应边；相似比；全等【解析】ABC △和'''A B C △相似，记作ABC A'B'C'△∽△，相似三角形对应边的比叫相似比，当相似比为1时，两个三角形全等.故答案为：ABC A'B'C'△∽△，对应边，相似比，全等. 8．【答案】80°【解析】60,40A B ∠=︒∠=︒，180604080C ∴∠=︒-︒-︒=︒，,ABC A'B'C'△∽△80C C'∴∠=∠=︒，∴当80C'∠=︒时 ，△ABC ∽△A ′B ′C ′.故答案为：80.︒ 9．【答案】34【解析】相似三角形的对应边的比叫做相似比，即相似比为6384AB A B ==''．故答案为：34． 10．【答案】14【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，∵E 为AD 的中点，四边形ABCD 为矩形，∴12AE BC =，∴21124AEF BCFS S⎛⎫== ⎪⎝⎭．故答案为：1:4.11．【答案】312．【答案】∠ADB =∠BAC （或∠BAD =∠C 或BD BABA BC=） 【解析】∵∠B 是△ABC 与△DBA 的公共角，∴添加∠ADB =∠BAC 或∠BAD =∠C 都可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得证；也可添加BD BABA BC=，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得证． 13．【答案】50【解析】∵12CD CA =，12CE CB =，∴12CD CE AC CB ==．∵∠ACB =∠DCE ，∴△ACB ∽△DCE ．∴12DE CD AB AC ==． ∵DE =25米，∴AB =50米．故答案为：50． 14．【答案】3【解析】在ABC △中，9086C AC BC ∠===，，，10AB ∴==．又6BD BC ==，4AD AB BD ∴=-=．DE AB ⊥，90ADE C ∴∠=∠=︒．又A A ∠=∠，AED ABC ∴△∽△．DE ADBC AC∴=． ∴4638AD DE BC AC =⋅=⨯=． 15．【解析】(1)48,AD DB ==，4812.AB AD DB ∴=+=+=41.123AD AB ∴== (2)DE ∥BC ，,ADE ABC ∴△∽△1,3DE AD BC AB ∴==3,DE =31,3BC ∴=9.BC ∴=16．【解析】（1）∵△ABC ∽△DEC ，CA =CB ，17．【解析】（1）因为A点坐标为（1），所以OA=2，由题意知OM=2－4t，ON=6－4t，若246426t t--=，解得t=0．即在甲、乙两人到达O点前，只有当t=0时，△OMN∽△OAB，所以MN与AB不可能平行．（2）因为甲到达O点的时间为21h42t==，乙到达O点的时间为63h42t==，所以12t=或32时，O、M、N三点不能连接成三角形．①当12t<时，如果△OMN∽△OBA，则有246462t t--=，解得122t=>（舍去）；②当1322t<<时，∠MON>∠OAB，显然△OMN不可能相似于△OBA；③当32t>时，424662t t--=，解得322t=>．所以当t=2时，△OMN∽△OBA．18．【答案】B【解析】∵AD∥BC，∴∠EAF=∠ACB，∠AFE=∠FBC；∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴AFBC=AEEC=13，∵△AEF与△EFC高相等，∴S△EFC=3S△AEF，∵点F是ABCD的边AD上的三等分点，∴S△FCD=2S△AFC，∵△AEF的面积为2，∴四边形CDFE的面积=S△FCD+S△EFC=16+6=22.故选B．19．【答案】B20．【答案】C【解析】若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴AD APBP BC=，∴273APAP=-，∴AP2−7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴AP AD BC BP=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴AP ADBP BC=，∴273APAP=-，∴AP=145．检验：当AP=145时，BP=215，AD=2，BC=3，∴AP ADBP BC=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，故选C．21．【答案】3【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DE∥AB，DC=AB，∴△DEF∽△BAF．∵△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，∴3=4 DEBA，∵3=343DE DEEC CD DE==--．故答案为：3：1．22．【解析】（1）如图1，延长FE交AB的延长线于F'，∵AG=x，∴BG=4–x，∴242xCF-=，∴CF=44x-，由（1）知，BF'=CF=44x-，由（1）知，GF'=GF=y，∴y=GF'=BG+BF'=4–x+44x-，当CF=4时，即：44x-=4，∴x=3，（0≤x≤3），即：y关于x的函数表达式为y=4–x+44x-（0≤x≤3）；。
完整版相似三角形性质与判定专项练习30题有答案
相似三角形性质和判定专项练习30题(有答案) 1 已知：如图，在△ ABC中，点D在边BC上，且/ BAC= / DAG , / CDG= / BAD2.如图，已知在△ ABC中，/ ACB=90 °点D在边BC上，CE丄AB , CF丄AD , E、 (1)求证：AC2=AF?AD；F分别是垂足.(1)求证：丄丄厶；AB AC(2)当GC丄BC 时，求证：/ BAC=90 °4. 如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE丄CD，垂足为点E,连接AE , F为AE上一点，且 / BFE= / C.(1)求证：△ ABF EAD ;(2)若AB=4 , / BAE=30 ° 求AE 的长.E5. 已知：如图，△ ABC 中，/ ABC=2 / C, BD 平分/ABC . 求证：AB?BC=AC?CD .6. 已知△ ABC , / ACB=90 ° AC=BC，点E、F 在AB 上，/ ECF=45 ° 设厶ABC 的面积为S,说明AF?BE=2S7 •等边三角形 ABC 的边长为6,在AC , BC 边上各取一点 E , F ,连接AF ,BE 相交于点P . (1) 若 AE=CF ;① 求证：AF=BE ，并求/ APB 的度数； ② 若AE=2，试求 AP?AF 的值；(2) 若AF=BE ，当点E 从点A 运动到点C 时，试求点P 经过的路径长.9. 已知：如图，在 △ ABC 中，AB=AC , DE // BC ,点F 在边AC 上, DF 与BE 相交于点 G ,且/ EDF= / ABE . 求证：(1) △ DEFBDE ； (2) DG?DF=DB?EF .&如图所示，AD , BE 是钝角△ ABC 的边BC , AC 上的高，求证:AD =AC BE =BC3 C10. 如图，△ ABC 、△ DEF 都是等边三角形，点 D 为AB 的中点，E 在BC 上运动，DF 和EF 分别交AC 于G 、H 两点，BC=2，问E 在何处时CH 的长度最大？12 .如图，已知等边三角形 △ AEC ，以AC 为对角线做正方形 ABCD (点B 在厶AEC 内，点D 在厶AEC 夕卜).连接 EB ,过E 作EF 丄AB ，交AB 的延长线为 F .(1) 猜测直线BE 和直线AC 的位置关系，并证明你的猜想. (2) 证明：△ BEF ABC ，并求出相似比.OA?OB=OC?OD .13. 已知：如图， △ ABC 中，点D 、E 是边AB 上的点,(1)求证：△ CEDACD ; 2CD 平分 / ECB ，且 BC =BD ?BA .O ,当/ A= / C 时，求证: A D14. 如图，△ ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且 / BAD= / BGD= / C,联结AG .(1)求证：BD?BC=BG ?BE ;(2)求证：/ BGA= / BAC .15. 已知：如图，在△ ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD丄BC, BE丄AC , BE, AD相交于点G , 过点B 作BF // AC交AD的延长线于点F, DF=6 .(1)求AE的长；(2)求邑匹的值.^AFBG16 .如图，△ ABC 中，/ ACB=90 ° D 是AB 上一点，M 是CD 中点，且/ AMD= / BMD , AP // CD 交BC 延长线于P 点，延长BM交PA于N点，且PN=AN .(1)求证：MN=MA ;(2)求证：/ CDA=2 / ACD .连接AE ，若AB=6 , AE=5时，求线段 AG 的长.17. 已知：如图，在 △ ABC 中，已知点 D 在BC 上，联结 AD ，使得/ CAD= / B , DC=3且S A ACD : S A ADB = 1 : 2. (1)求AC 的值；(2) 若将△ ADC 沿着直线AD 翻折，使点 C 落点E 处，AE 交边BC 于点F ，且AB // DE ，求18. 在△ ABC 中，D 是BC 的中点，且 AD=AC , DE 丄BC ,与AB 相交于点E , EC 与AD 相交于点F . (1)求证：△ ABC FCD ;(2) 若 DE=3 , BC=8，求△ FCD 的面积.19 .如图，△ ABC 为等边三角形， D 为BC 边上一点，以 AD 为边作/ ADE=60 ° DE 与厶ABC 的外角平分线 交于点E . (1)求证：/ BAD= / FDE ;CE的20. 如图所示，△ ABC 中，/ B=90 °点P 从点A 开始沿AB 边向B 以1cm/s 的速度移动，点 Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.(1)如果P , Q 分别从A , B 同时出发，经几秒，使 △ PBQ 的面积等于8cm 2?21. 已知：如图，△ ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的点，将 DB 绕点D 顺时针旋转60。
华师大版初中数学九年级上册《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷(含答案解析
华师大新版九年级上学期《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷一．解答题（共50小题）1．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．2．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G．（1）求证：PB=PD．（2）若DF：FA=1：2①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．3．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．4．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．5．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，过点C作直线MC使得∠BCM=∠BAC，求点B到直线MC的距离．7．如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）求证：△CDE∽△CAB；（2）求证：DE=BD；（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．8．如图1，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB=3，AD=4，点M在线段BC上运动，连接MO．①当MO⊥AC时，求BM的值；②当BM为多少时，△BMO是等腰三角形？（只写出结论，不要求写过程）9．已知两个以O为顶点且不全等的直角三角形△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）如图1，设∠BOD=α（0°＜α＜60°），点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点．连接FM、EM．请问：随着α的变化，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；（2）如图2，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最大值是；最小值是．10．两个全等的Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，M、N分别是BD、CE的中点，连接MN，（1）若AB=ED，且B、A、D 三点在一条直线上（如图1），猜想MN与BD的关系，并加以证明；（2）若AB=AD，sin∠BAC=，且B、A、D 三点不在一条直线上（如图2），求的值．11．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．13．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF=CB•CD；（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点．设DP=x cm（x＞0），四边形BCDP的面积为y cm2．求y关于x的函数关系式．14．如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点．过点B作BE ∥AD，交⊙O于点E，连接ED（1）求证：ED∥AC；（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12﹣16S2+4=0，求△ABC的面积．15．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O 于D、C两点．（1）求证：PA•PB=PD•PC；（2）若PA=，AB=，PD=DC+2，求点O到PC的距离．16．已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．17．腰长为6的等腰直角△ABC中，D是BC上的一动点（不与BC重合），过点D作AB，AC的垂线，垂足为E，F．（1）证明：△BDE∽△CDF；（2）设BD=x，四边形AEDF的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时y最大？y的最大值是多少？18．已知：Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，AC，如图1，延长CD交AE于K（1）求证：AE=CD，AE⊥CD．（2）类比：如图2所示，将（1）中的Rt△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，问（1）中线段AE，CD之间数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改为“BC=kAB，DB=kEB，k＞1”其它条件均不变，如图3所示，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系怎样？请直接写出线段AE，CD间的数量关系和位置关系．19．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：AP=PD；（2）若⊙O的半径为5，AF=7，求的值．20．如图，点D为线段AB延长线上一点，△ABC和△BDE分别是以AB，BD为斜边的等腰直角三角形．连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆圆O交CF与点M．若AB=6，BD=2．（1）求CE长度；（2）证明：AC2=CM•CF；（3）求CM长度．21．如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．（1）求证：△ABD∽△AHG．（2）若4AB=5AC，且点H是AC的中点，求的值．22．如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB=13，AC=5，（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PB的长；（2）如图（2），过点P作PD⊥BC于点E，交AB于点D，若=，求PC的长．23．如图，△ABC为一锐角三角形，BC=12，BC边上的高AD=8．点Q，M在边BC上，P，N分别在边AB，AC上，且PNMQ为矩形．（1）设MN=x，用x表示PN的长度；（2）当MN长度为多少时，矩形PNMQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当MN长度为多少时，△APN的面积等于△BPQ与△CMN之和？24．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s 的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．25．如图，分别延长平行四边形ABCD的边CD、AB到E、F，使DE=BF=CD，连接EF，分别交AD，BC于G，H，连接CG，AH（1）求证：四边形AGCH为平行四边形；（2）求△DEG和△CGH的面积比．26．如图，△ABC中，D，E分别为BC，AB中点，连接EC，AD，且AD与EC交于点F，延长AD至点G使GD=AD，连结CG．（1）请在图中找出一对全等三角形，并证明．（2）若AB=x，EB：DF=3：2，试用含x的代数式表示线段AG的长．27．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，点E、F是线段AD上的三等分点，连接BE、CE、BF、CF，若，且BC=4a．（1）求四边形ABEC的面积；（2）写出与△CEF相似但不全等的三角形，并证明其中的一对．28．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6，AC=4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：AD的取值范围是．参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC 于点D．求证：PA•CD=PC•BD．29．如图，△ABC中，BC=2AB，点D、E分别是BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线于点F，取AF的中点G，联结DG，GD与AE交于点H．（1）求证：四边形ABDF是菱形；（2）求证：DH2=HE•HC．30．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，以B，M，E为顶点的三角形与以C，E，N为顶点的三角形相似？31．如本题图①，在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB=α．过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．（1）求∠ACD的大小；（2）在线段CD的延长线上取一点F，以FD为角的一边作∠DFE=α，另一边交BD延长线于点E，若FD﹣kAD（如本题图②所示），试求的值（用含k 的代数式表示）．32．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC延长线上一点，联结AE，交BC边于点F，联结BE．（1）求证：AB•AD=BF•ED；（2）若CD=CA，且∠DAE=90°，求证：四边形ABEC是菱形．33．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4．（1）判断△ABE与△ADB是否相似，并说明理由；（2）求∠C的度数．34．如图，AD是△ABC的高，点Q、M在BC边上，点N在AC边上，点P在AB 边上，AD=60cm，BC=40cm，四边形PQMN是矩形．（1）求证：△APN∽△ABC；（2）若PQ：PN=3：2，求矩形PQMN的长和宽．35．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，矩形DEFG的四个顶点都在△ABC 的边上，已知：AC=8，BC=6．（1）当四边形DEFG为正方形时，求EF的长；（2）△BEF与△FCG能全等吗？若能，请你求出EF的长；若不能，请说明理由；（3）△BEF与△ADG能全等吗？若能，请你求出EF的长；若不能，请说明理由．36．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交BD于点F．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，判断AF与BE的数量关系；明明发现，AF与BE分别在△AOF和△BOE中，可以通过证明△AOF和△BOE全等，得到AF与BE的数量关系；请回答：AF与BE的数量关系是．（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，请参考明明思考问题的方法，求的值．37．如图所示，D是以AB为直径的半圆O上的一点，C是弧AD的中点，点M 在AB上，AD与CM交于点N，CN=AN．（1）求证：CM⊥AB；（2）若AC=；，BD=2，求半圆的直径．38．在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任一点，PE∥AB交AC 于E，PF∥AC交AB于F．用x表示；（1）设BP=x，将S△PEF（2）当P在BC边上什么位置时，S值最大．39．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD，点E在边AB上，且DE⊥CD，DF平分∠EDC，交BC于点F，联结CE、EF．（1）求证：DE=DC；（2）如果BE2=BF•BC，求证：∠BEF=∠CEF．40．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9cm，BC=2cm，点M，N分别从A，B 同时出发，M在AB边上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，N在BC边上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动（当点N运动到点C时，两点同时停止运动）．设运动时间为x秒，△MBN的面积为ycm2．（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）求△MBN的面积的最大值．41．如图，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，AD=3，DC=4，点M在线段AC上运动，ME⊥AD于点E，连结BE并延长交AC于点F，连结BM．设=m （0＜m＜1），△BEM的面积为S．（1）当m=时，求的值．（2）求S关于m（0＜m＜1）的函数解析式并求出S的最大值．（3）设=k，猜想k与m的数量关系并证明．42．以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，在点C运动过程中：（1）如图1，当点E与点O重合时，连接OC，试判断△COB的形状，并证明你的结论；（2）如图2，当DE=8时，求线段EF的长．43．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB 的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．根据上面的信息，解答下面的问题：（1）当t为何值时，PQ⊥AB？（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t 之间的函数表达式．44．如图，已知AB是⊙O的直径，点E在线段AB上，CD⊥AB于G，连接DE 交⊙O于F，连接CF交AB延长线于P．求证：OF2=OE•OP．45．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．小明发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．（1）请回答：∠ACE的度数为，AC的长为．（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求AC的长．46．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，CD是斜边AB上的高，点E 为边AC上一点（点E不与点A、C重合），连接DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE分别交于点F，G；（1）求线段CD、AD的长；（2）设CE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．47．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，BE、AD相交于点G，EF ∥AD交BC于点F，且BF2=BD•BC，联结FG．（1）求证：FG∥CE；（2）设∠BAD=∠C，求证：四边形AGFE是菱形．48．在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在BC边的延长线上，且BE=CF．（1）求证：MA=MF；（2）连接AF，分别交DE、CD于M、N，若∠B=∠AME，求证：ND•ME=AD•MN．49．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，E是CD的中点，BE交AC于F，过点F作FG∥AB，交AE于点G．（1）求证：AG=BF；（2）当AD2=CA•CF时，求证：AB•AD=AG•AC．50．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是对角线AC上一点，∠DEC=∠ABC，且CD2=CE•CA．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）分别过点E、B作AB和AC的平行线交于点F，联结CF，若∠FCE=∠DCE，求证：四边形EFCD是菱形．华师大新版九年级上学期《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．（1）如图1，连结AE．先由DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，由∠ADF+∠DEC=180°，【分析】得出∠ADF=∠DEB．由∠AFE=∠BDE，得出∠AFE+∠ADE=180°，那么A、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，则∠AEB=∠DEF=∠BAE，根据等角对等边得出AB=BE；（2）如图2，连结AE．由A、D、E、F四点共圆，得出∠ADF=∠AEF，由∠DAF=90°，得出∠DEF=90°，再证明∠DEB=∠AEF．又∠AFE=∠BDE，根据两角对应相等的两三角形相似得出△BDE∽△AFE，利用相似三角形对应边成比例得到=．在直角△DEF中，利用勾股定理求出EF==DF，然后将AF=m，DE=kDF代入，计算即可求解．【解答】解：（1）如图1，连结AE．∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，∴∠AEB=∠DEF=∠DFE=∠BAE，∴AB=BE；（2）如图2，连结AE．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠ADF=∠AEF，∵∠DAF=90°，∴∠DEF=90°，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠ADF=∠AEF，∴∠DEB=∠AEF．在△BDE与△AFE中，，∴△BDE∽△AFE，∴=．在直角△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=kDF，∴EF==DF，∴==，∴BD=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理等知识，有一定难度．连结AE，证明A、D、E、F四点共圆是解题的关键．2．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G．（1）求证：PB=PD．（2）若DF：FA=1：2①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．【分析】（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；（2）①首先证明△DFP≌△BEP，进而得出，，进而得出即，即可得出答案；②由（1）证得△APB≌△APD，得到∠ABP=∠ADP，根据平行线的性质，得到∠G=∠ABP，（Ⅰ）若DG=PG根据△DGP∽△EBP，得DG=a，由勾股定理得到FH=，于是得到结论；（Ⅱ）若DG=DP，设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，设AH=x，求得FH=，得到tan∠DAB= =．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠DAB，∴∠DAP=∠BAP，在△APB和△APD中，，∴△APB≌△APD，∴PB=PD；（2）解：①∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△AFP∽△CBP，∴，∵，∴，∴，由（1）知PB=PD，∴，∴PF=PD．②由（1）证得△APB≌△APD，∴∠ABP=∠ADP，∵GC∥AB，∴∠G=∠ABP，∴∠ADP=∠G，∴∠GDP＞∠G，∴PD≠PG．（Ⅰ），若DG=PG，∵DG∥AB，∴△DGP∽△EBP，∴PB=EB，由（2）知，设PF=2a，则PB=BE=PD=3a，PE=PF=2a，BF=5a，由△DGP∽△EBP，得DG=a，∴AB=AD=2DG=9a，∴AF=6a，如图1，作FH⊥AB于H，设AH=x，则（6a）2﹣x2=（5a）2﹣（9a﹣x）2，解得x=a，∴FH=，∴tan∠DAB=；（Ⅱ）若DG=DP，如图2，设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，∴（4m）2﹣x2=（5m）2﹣（6m﹣x）2，解得x=m，∴FH=，∴tan∠DAB==．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质，菱形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．【分析】（1）根据圆周角定理求得AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；（2）先求得∠E=∠C，根据等角对等边求得BD=DC=DE=3，进而求得AD=1，然后根据勾股定理求得AB，即可求得圆的半径；（3）根据题意得到AC=，BC=6，DC=3，然后根据割线定理即可求得EC，进而求得AE．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）解：∵AB=AC，∵∠B=∠E，∴∠E=∠C，∴BD=DC=DE=3，∵BD﹣AD=2，∴AD=1，在RT△ABD中，AB==，∴⊙O的半径为；（3）解：∵AB=AC=，BD=DC=3，∴BC=6，∵∠B=∠E，∠C=∠C，∴△EDC∽△BAC，∵AC•EC=DC•BC，∴•EC=3×6，∴EC=，∴AE=EC﹣AC=﹣=．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及割线定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．4．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．【分析】（1）易证DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；（2）分三种情况讨论：①若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线；②若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线；③当CD 为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴，∵，AE=2，∴EC=6；（2）①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，又∵∠CFG=∠ECD，∴∠CGF=∠PCG，∴CP=PG，∵∠CFG=∠ECD，∴CP=FP，∴PF=PG=CP，∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．证明：∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠ECD=90°，∵∠CFG=∠EDC，∴∠CFG+∠ECD=90°，∴∠CPF=90°，∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．③如图3，当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念，分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键．5．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，【分析】由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．【解答】（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，过点C作直线MC使得∠BCM=∠BAC，求点B到直线MC的距离．【分析】利用勾股定理求出BC，过B向MC作垂线，利用三角形相似求BE．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，BC==3，作BE⊥MC，垂足是E，∵∠ACB=∠BEC=90°，∴△ACB∽△BCE，∴，∴，∴BE=，∴点B到直线MC的距离．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理作辅助线构造相似三角形是解题的关键．7．如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）求证：△CDE∽△CAB；（2）求证：DE=BD；（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．【分析】（1）由圆内接四边形的性质得出∠CED=∠CBA，再由公共角相等，即可证出△CDE∽△CAB；（2）由等腰三角形的性质得出∠C=∠CBA，证出∠C=∠CED，得出DE=CD，再由圆周角定理和三线合一性质得出CD=BD，即可得出DE=BD；（3）由割线定理求出CE，由圆周角定理得出∠AEB=∠BEC=90°，根据勾股定理即可求出BE的长．【解答】（1）证明：连接AD，如图所示：∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠CED=∠CBA，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB；（2）证明：∵AB=AC，∴∠C=∠CBA，∴∠C=∠CED，∴DE=CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴CD=BD，∴DE=BD；（3）解：由割线定理得：CE•AC=CD•BC，∵CD=BD=BC=3，AC=AB=5，∴CE===，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°，∴BE===．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、割线定理、勾股定理；本题有一定难度，特别是（2）（3）中，需要运用圆周角定理、割线定理和勾股定理才能得出结果．8．如图1，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB=3，AD=4，点M在线段BC上运动，连接MO．①当MO⊥AC时，求BM的值；②当BM为多少时，△BMO是等腰三角形？（只写出结论，不要求写过程）【分析】（1）根据矩形的性质易证，OA=OC，AB∥CD，根据AB∥CD，得到∠EAO=∠FCO，满足ASA可证；（2）①先证△MOC∽△ACB，得MC：AC=OC：BC，计算MC，即可求出BM；②若△BMO是等腰三角形，则可能BM=OM，OB=BM，OB=OM，分类讨论即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（AAS）；（2）①解：如图1，∵MO⊥AC，∴∠MOC=90°，∵∠ABC=90°，∴∠MOC=∠ABC，又∵∠MCO=∠MCO，∴△MOC∽△ACB，∴MC：AC=OC：BC，∵AB=3，BC=4，∴AC=5，∴OC=2.5，∴MC：5=2.5：4，∴MC=，∴BM=；②如图2，△BMO是等腰三角形时，有三种情况：（Ⅰ）OB=OM，此时M与C重合，BM=4；（Ⅱ）OB=BM，BM=OB=BD=2.5；（Ⅲ）BM=OM，作MN⊥BD，∴BN=B0=；∵△BMN∽△BDC∴，∴BM===，∴BM=2.5或4或．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，第3小题考查学生思维的全面性，恰当分类讨论是解决问题的关键．9．已知两个以O为顶点且不全等的直角三角形△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）如图1，设∠BOD=α（0°＜α＜60°），点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点．连接FM、EM．请问：随着α的变化，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；（2）如图2，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最大值是4；最小值是．【分析】（1）连接AD、BC，由∠AOB=∠COD=90°∠ABO=∠DCO=30°，得到，∠AOD=∠BOC，推出△AOD∽△BOC，求得∠OAD=∠CBO，，证得AD⊥BC由于点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，根据三角形的中位线的性质得到EF∥AD，EF=AD，于是得到MF∥AD，MF=AD，在Rt△EFM中，=；（2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON=；当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=4．【解答】解：（1）不变；=，如图1，连接AD、BC交于一点Q，AD交BO于P，∵∠AOB=∠COD=90°，∠ABO=∠DCO=30°，∵，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴∠OAD=∠CBO，，∵∠APO=∠BPQ，∴∠BQP=∠AOB=90°，∴AD⊥BC，∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，∴EF∥AD，EF=AD，∴MF∥BC，MF=BC，在Rt△EFM中，=；（2）如图2，过O作OE⊥AB于E，∵BO=3，∠ABO=30°，∴AO=，AB=，∴AB•OE=OA•OB，∴OE=，∴当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON=；如图4，当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3+1=4，∴线段PN长度的最小值为，最大值为4．故答案为：4，．【点评】此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定和性质三角形的中位线的判定和性质、三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．10．两个全等的Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，M、N分别是BD、CE的中点，连接MN，（1）若AB=ED，且B、A、D 三点在一条直线上（如图1），猜想MN与BD的关系，并加以证明；（2）若AB=AD，sin∠BAC=，且B、A、D 三点不在一条直线上（如图2），求的值．【分析】（1）如图1，连接BN并延长，与DE的延长线相交于点F，由∠ABC+∠ADE=180°，得到BC∥DE，得到∠CBN=∠EFN，∠BCN=∠FEN，证出△CBN ≌△EFN，得到BN=FN，EF=CB=AD，于是得到DF=DE+EF=AB+BC=AB+AD=BD，根据三角形的中位线的性质即可得到结论；（2）过点E做BC的平行线，与BN的延长线相交于点F，连接DF，由（1）可知，△CBN≌△EFN，MN=DF，证得△DEF∽△DAB，得到．由sin∠BAC=，得到tan∠BAC=，即DF=BD，得到MN=DF=BD即可得到结论．【解答】解：（1）MN⊥BD，MN=BD；如图1，连接BN并延长，与DE的延长线相交于点F，∵∠ABC+∠ADE=180°，∴BC∥DE，∴∠CBN=∠EFN，∠BCN=∠FEN，∵CN=EN，在△CBN与△EFN中，，∴△CBN≌△EFN，∴BN=FN，EF=CB=AD，∴DF=DE+EF=AB+BC=AB+AD=BD，又∵BM=MD，∴MN=DF=BD，MN∥DF，∴∠BMN=∠BDE=90°，∴MN⊥BD；（2）过点E做BC的平行线，与BN的延长线相交于点F，连接DF，由（1）可知，△CBN≌△EFN，MN=DF，∴EF=CB=DE，∠BCE=∠CEF，∵∠ABC+∠ADE=180°，∴∠BAD+∠BCE+∠CED=540°﹣180°=360°，∵∠DEF+∠CEF+∠CED=360°，∴∠BAD=∠DEF，∵，∴△DEF∽△DAB，∴．∵sin∠BAC=，∴tan∠BAC=，即DF=BD，∴MN=DF=BD．即．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．11．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．【分析】（1）由三角形ABC与三角形CDE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，一对角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 即可得证；（2）由（1）得出的三角形全等得到对应角相等，再由一对角相等，且夹边相等，利用ASA得到三角形GCD与三角形FCE全等，利用全等三角形对应边相等得到CG=CF，进而确定出三角形CFG为等边三角形，确定出一对内错角相等，进而得到GF与CE平行，利用平行线等分线段成比例即可得证．【解答】证明：（1）∵△ABC与△CDE都为等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），（2）∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC=∠AEC，在△GCD和△FCE中，，∴△GCD≌△FCE（ASA），∴CG=CF，∴△CFG为等边三角形，∴∠CGF=∠ACB=60°，∴GF∥CE，∴=．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，【分析】然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．【解答】（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．13．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF=CB•CD；（2）已知AB=15cm ，BC=9cm ，P 是射线DE 上的动点．设DP=x cm （x ＞0），四边形BCDP 的面积为y cm 2．求y 关于x 的函数关系式．【分析】（1）先利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC ，则可判断Rt △DFA ∽Rt △ACB ，根据相似三角形的性质得AB•AF=BC•AD ，然后利用AD=CD 代换即可得到结论；（2）连结PC ，如图，先在Rt △ACB 中利用勾股定理计算出AC=12，再利用等腰三角形的性质AF=FC=AC=6，接着证明DE ∥BC ，则P 点到BC 的距离等于CF ，然后根据三角形面积公式和y=S △CPD +S △BCP 即可得到y 与x 的函数解析式．【解答】（1）证明：∵∠DAB=∠ACB=90°，∴∠DAC +∠BAC=90°，∠BAC +∠B=90°，∴∠B=∠DAC ，∵DF ⊥AC ，∴∠DFC=90°，∴Rt △DFA ∽Rt △ACB ，∴=，即AB•AF=BC•AD ，而AD=CD ，∴AB•AF=CB•CD ；（2）解：连结PC ，如图，在Rt △ACB 中，∵AB=15，BC=9，∴AC==12，∵DF ⊥AC ，DA=DC ，∴AF=FC=AC=6，∵∠DFC=∠ACB=90°，∴DE ∥BC ，∴P 点到BC 的距离等于CF ，∴y=S △CPD +S △BCP=•x•6+•9•6=3x +27（x ＞0）．【点评】本题考查了相似三角形的判断与性质：在判定两个三角形相似时，合理利用直角的作用．也考查了利用三角形面积公式列函数关系式．把四边形的面积化为两三角形面积的和是求函数关系式的关键．14．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D 三点．过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED（1）求证：ED ∥AC ；（2）若BD=2CD ，设△EBD 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，且S 12﹣16S 2+4=0，求△ABC 的面积．【分析】（1）由AD 是△ABC 的角平分线，得到∠BAD=∠DAC ，由于∠E=∠BAD ，等量代换得到∠E=∠DAC ，根据平行线的性质和判定即可得到结果；（2）由BE ∥AD ，得到∠EBD=∠ADC ，由于∠E=∠DAC ，得到△EBD ∽△ADC ，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结果．【解答】（1）证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD=∠DAC ，∵∠E=∠BAD ，。
经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：_________ ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=135°°，BC= ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．BC==22、，可得BC=∵BC=EC=；∴，∴8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．面积的面积的则有：（×3×6，即面积的因此有①，或t=（t=t=都符合题意，同时出发后，经过秒或9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．P=，即相似三角形的证明．还考查了相似三角形的判定．10．附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．CE=．AE=∴sin∠AEF=，∴AF=AE•sin∠AEF=∴．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．∴QM=PM=AB=12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．∴CM=MD=∴PC=BC=AD=∴．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．（AB=∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=∴t=t=时，△PAD∴PD=∵CE=t QE=t∴QH=BE=8﹣t t∴PH=t﹣t=t∴PQ=，，，＞∴t=t=14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？时，有：；时，有：∴经过15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．=，即=，解得对应时，有=，即=，解得16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．解：∵AC=∴CD==时，有=，∴AB=时，有=，∴AB==3317．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．a①若△CDM∽△MAN，则=．∴AN=②若△CDM∽△NAM，则AN=18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？或时，两三角形相似．）当时，，∴x=；）当时，，∴x=．所以，经过秒或秒后，两三角形相似．19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．∴=，∴=，∴=，∴=，∴=，∴AP=．AP=时，由BP=，∴=，、20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．∴．∴，中有21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．，所以，所以；=，即，；=，即，t=时，以点22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？∴，，23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．∴，∴，∴．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）∴，即，与①类似得：，即∴（∴，与①类似得：，∴，，∴MN=r（25．（2007•白银）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．AE∥BD，所以△ECA∽△DCB，则有∴．∴，26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．∵，∴，∴解得：∴，，即．∴．同理可得：，∴=是定值．）可知，即，∴同理可得：∴，由等比性质得：∴，所以人影顶端在地面上移动的速度为．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）。