2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高二下学期期末考试数学试题(解析版)
1 湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 一、选择题 1．已知复数z满足12ziii，则z（ ） A．1i B．12i C．2i D．2i
2．已知集合220Axxx，12log1Bxx，则 RAB（ ）
A．1,2 B．11,2 C．11,2 D．1,22 3．消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重.它是目标市场宏观经济的一个重要特征，能够反映一国的文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件 B．2019年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大 C．2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大 D．2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10% 4．已知向量1,2a，2,1b，若b与abR垂直，则（ ） A．54 B．54 C．12 D．12
5．已知双曲线22221xyab的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点（ ） A．1,3 B．1,2 C．1,2 D．31,2 6．已知为锐角，3sin33，则cos（ ） 2
A．6362 B．6362 C．1626 D．6162 7．已知ABC△的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，若tantan1tantanBCBC，且2bc，则ABC△的面积为（ ）
A．22 B．2 C．24 D．22 8．新课程改革把劳动与技术课程作为7~9年级每个学生必须接受的课程，并写人新课程标准.某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（ ）
A．325659AAA B．325659CAA C．325659CCC D．325659CCA 二、多项选择题 9．关于二项式622xx的展开式，下列结论错误的是（ ） A．展开式所有的系数和为1 B．展开式二项式的系数和为32 C．展开式中不含3x项 D．常数项为120 10．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（0k且1k）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知0,0O，3,0A，圆C：22220xyrr上有且仅有一个点P满足2PAPO，则r的取值可以为（ ） A．1 B．2 C．3 D．5
11．已知函数cos0,0fxx的部分图象与y轴交于点30,2，与x轴的一个交点为1,0，如图所示，则下列说法正确的是（ ） 3
A．6 B．fx的最小正周期为6 C．yfx的图像关于直线52x对称 D．fx在50,2单调递减 12．已知偶函数fx对任意xR都有12120fxfx，当0,12x时，
22,02lg2,212xxxfxxx
，实数ix是关于x的方程1,2,3,...fxmi的解，且ix互不相等.则
下列说法正确的是（ ） A．fx的最小正周期是12 B．yfx图象的对称轴方程为12xk，kZ C．当1m时，关于x的方程fxm在0,12x上有唯一解 D．当0m时，存在1x，2x，3x，4x，使得1234xxxx的最小值为0 三、填空题 13．曲线sinxxye在点0,0处的切线方程为______. 14．已知等差数列na的前n项和为nS，若636S，2014126SS，则数列na的公差d______. 15．某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，______（填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.
（参考公式与数据：22nadbcKabcdacbd，其中nabcd） 2
0PKk
0.05 0.01 0.005 0.001
0k 3.841 6.635 7.879 10.828
16．如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为2，P是1AA的中点，Q是侧面正方形11BBCC内的动点， 4
当1DQ平面PBD时，点Q的轨迹长度为______，若点Q轨迹的两端点和点1C，1D在球O的球面上，则球O的体积为______.
四、解答题 17．在①3sin3sinsinBCA，②23aabbc，③33bca，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题. 已知ABC△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，______，43a，角B的平分线交AC于点D，求BD的长. 18．已知数列1na是首项为2，公比为2的等比数列. （1）求数列na的通项公式； （2）设nS是数列na的前n项和，2nnbnSn，求数列nb的前n项和nT. 19．在如图所示的多面体中，平面ABCD平面PDC，ABCD为正方形，E，F分别为AD，BP的中点，且2AD，22AP，23PC. （1）证明：EF平面PBC； （2）求二面角BPDC的余弦值.
20．已知椭圆C：22211xyaa的离心率为22，直线l：63xtytR与x轴的交点为P， 5
与椭圆C交于M、N两点. （1）求椭圆C的标准方程；
（2）证明：2211PMPN是定值.
21．国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制.双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军（决赛只赛一场）.以八支战队的比赛为例（如图所示），第一轮比赛，由8支战队抽签后交战，获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉人失败组，进人下一轮比赛.失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军. 某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加，比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5. （1）求甲获得冠军的概率； （2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为X，求随机变量X的分布列和期望.
22．已知函数lnsinfxxaxaR. （1）证明：当0a时，fx在0,2上单调递增；
（2）当1a时，不等式lnxkxxfxe对任意的0,2x恒成立，求实数k的取值范围. 三湘名校教育联盟·2020年上学期高二期末考试 数学参考答案 一、选择题 6
1．B【解析】方法一：因为12ziii，所以2121111iiiziiiii，所以12zi.故选B. 方法二：设zabi，所以1ziabi，因为12ziii，所以12zi.故选B.
2．C【解析】因为22012Axxxxx，121log12Bxxxx，所以 112RABxx
，故选C.
3．B【解析】根据全国人均消费支出结构饼图，可知2019年内人均食品、烟酒消费占居民人均消费支出的28.2%，比重最大，居住条件上的消费支出占人均消费支出的23.4%，远远小于人均消费支出的一半，用于文化娱乐的比重大于衣着消费，用于医疗保健的消费支出占人均消费支出的8.8%，不超过10%，故选B. 4．A【解析】依题意，2,21ab，又b与abR垂直， 所以2,212,10abb，即540，所以54.故选A. 5．A【解析】依题意，双曲线的离心率为2，所以3ba，即渐近线方程为3yx，结合选项可知，渐近线经过点1,3，故选A.
6．C【解析】方法一：因为为锐角，3sin33，所以6cos33， 所以16coscoscoscossinsin33333326，故选C. 方法二：提示也可以把3sin33展开，结合同角三角函数基本关系式来求解. 7．D【解析】因为tantan1tantanBCBC，即tan1BC，在ABC△中，所以tan1A，所以2sin2A，所以22ABCS△.故选D. 8．A【解析】由题意可知，7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和同三下午的6节课中的两节课，所以7年级在周五也排3个班的劳动与技术课程的概率325659AAPA.故选A. 二、多项选择题
湖南省岳阳市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 含答案
目要求的.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错或不选的得 0 分.
11.右侧的图表展示了 2 月 14 日至 29 日肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）
A.16 天中每日新增确诊病例数量在下降且 19 日的降幅最大 B.16 天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数 C.16 天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于 2000 D.21 日至 29 日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和
A. a b c
B. b a c
C. a c b
D. c a b
3.对于任意实数 a ， b ，若 a b ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. 1 1 ab
B. a2 b2
C. a3 b3
D. a b ba
4.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录
湖南省岳阳市 2019-2020 学年高二下学期高中教学质监测
数学试卷
注意事项：
考试时量：120 分钟
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡的指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.
，求 cos 2x0
的值.
18.（12 分） 2020 年是全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.某乡镇在 2014 年通过精准 识别确立建档立卡的贫困户共有 500 户，结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施，每年新脱贫户数如下 表：
2019-2020学年湖南省衡阳市数学高二(下)期末联考试题含解析
2019-2020学年湖南省衡阳市数学高二(下)期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”,某高中学校为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识竞赛，现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐,规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为,,a b c ()a b c >>且,,a b c N *∈；选手最后得分为各场得分之和，在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都是11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，下列说法正确的是( ) A ．乙有四场比赛获得第三名 B ．每场比赛第一名得分a 为4 C ．甲可能有一场比赛获得第二名 D ．丙可能有一场比赛获得第一名 【答案】A 【解析】 【分析】先计算总分，推断出5a =，再根据正整数把,,a b c 计算出来，最后推断出每个人的得分情况，得到答案. 【详解】由题可知()626111148a b c ++⨯=++=,且,,a b c 都是正整数=8a b c ++当4a ≤时，甲最多可以得到24分，不符合题意 当6a ≥时，2b c +≤，不满足 推断出，a=5, b=2, c=1 最后得出结论:甲5个项目得第一,1个项目得第三乙1个项目得第一,1个项目得第二，4个项目得第三 丙5个项目得第二,1个项目得第三, 所以A 选项是正确的. 【点睛】本题考查了逻辑推理,通过大小关系首先确定a 的值是解题的关键,意在考查学生的逻辑推断能力. 2．有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数()f x ，若()0'0f x =，则0x x =是函数()f x 的极值点,因为函数()3f x x =满足()'00f =，所以0x =是函数()3f x x =的极值点”，结论以上推理()A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．没有错误【答案】A 【解析】 【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析其大前提的形式：“对于可导函数f （x ），如果f'（x 0）＝0，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点”，不难得到结论． 【详解】对于可导函数f （x ），如果f'（x 0）＝0，且满足当x ＞x 0时和当x ＜x 0时的导函数值异号时，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点，而大前提是：“对于可导函数f （x ），如果f'（x 0）＝0，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点”，不是真命题，∴大前提错误， 故选A ． 【点睛】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．3．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产品x （吨）与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.80.9y x =+$，那么表中t 的值为（ ）A ．4.5B ．3.75C ．4D ．4.1【答案】C 【解析】 【分析】根据回归直线必过(),x y ，求出,x y 代入回归直线可构造出方程求得结果. 【详解】由数据表可知：3456 4.54x +++==， 3.55 5.51444t ty ++++==由回归直线可知：0.80.9y x =+，即：140.8 4.50.94t+=⨯+，解得：4t = 本题正确选项：C【点睛】本题考查利用回归直线求解实际数据点的问题，关键是能够明确回归直线必过点(),x y ，属于基础题.4．若12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为 A ．132B ．164C ．1-64D ．1128【答案】B 【解析】 由题意知：2n (1)C 152n n -==，所以6n =，故611()()22n x x -=-，令1x =得所有项系数之和为611()264=. 5．如图所示，程序框图输出的某一实数y 中，若32y =，则菱形框中应填入( )A ．11i ≤B ．11i ≥C ．13i ≥D ．13i ≤【答案】B 【解析】分析：由已知中的程序语句可知，该程序功能是利用循环结构计算并输出实数对(,)x y ，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量的变化情况，可得答案． 详解：由题意，当1,1i y ==时， 第1次循环，不满足条件，3,2i y ==； 第2次循环，不满足条件，5,4i y ==； 第3次循环，不满足条件，7,8i y ==； 第4次循环，不满足条件，9,16i y ==；第5次循环，不满足条件，11,32i y ==，此时输出结果32y =， 所以判断框填写的条件应为11i ≥，故选B ．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的判断条件的添加问题，其中极大中应模拟程序框图的运行过程，把握程序框图的运算功能是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．6．如图，可导函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为()y g x =，设()()()h x g x f x =-，)'(h x 为()h x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极大值点B ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极小值点C ．0'()0h x ≠，0x 不是()h x 的极值点D ．0'()0h x ≠，0x 是()h x 是的极值点 【答案】B 【解析】 【分析】由图判断函数()h x 的单调性，结合()y g x =为()y f x =在点P 处的切线方程，则有'0()0h x =，由此可判断极值情况. 【详解】由题得，当0(,)x x ∈-∞时，()h x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()h x 单调递增，又''000()()()'0h x g x f x =-=，则有0x 是()h x 的极小值点，故选B . 【点睛】本题通过图象考查导数的几何意义、函数的单调性与极值，分析图象不难求解. 7．设集合12345{(,,,,)|{1,0,1},1,2,3,4,5}i A x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件12345"1||||||||||3"x x x x x ≤++++≤的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．130【答案】D 【解析】 【分析】从12345"1||||||||||3"x x x x x ≤++++≤，且{1,0,1},1,2,3,4,5i x i ∈-=入手，12345||||||||||x x x x x ++++可能取1,2,3，分3种情况讨论i x 种1,0,1-的个数，再求5个元素的排列个数，相加即可得到答案. 【详解】因为12345"1||||||||||3"x x x x x ≤++++≤，且{1,0,1},1,2,3,4,5i x i ∈-=， 所以12345||||||||||x x x x x ++++可能取1,2,3， 当12345||||||||||x x x x x ++++1=时，12345,,,,x x x x x 中有1个1或1-，4四个0, 所以元素个数为115510C C +=；当12345||||||||||x x x x x ++++2=时，12345,,,,x x x x x 中有2个1，3个0，或1个1,1个1-，3个0，或2个1-，3个0，所以元素个数为22255510102040C C A ++=++=，当12345||||||||||x x x x x ++++3=时，12345,,,,x x x x x 中有3个1,2个0，或2个1,1个1-，2个0，或2个1-，1个1,2个0，或3个1- ，2个0，元素个数为3121235545451030301080C C C C C C +++=+++=，故满足条件的元素个数为104080130++=， 故选：D 【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了求排列数，对12345||||||||||x x x x x ++++的值和对i x 中1,0,1-的个数进行分类讨论是解题关键，属于难题.8．椭圆22145x y +=的焦点坐标是（ ）A ．()1,0±B ．()3,0±C ．()0,1±D ．()0,3±【答案】C 【解析】 【分析】从椭圆方程确定焦点所在坐标轴，然后根据222c a b =-求c 的值. 【详解】由椭圆方程得：225,4a b ==，所以21c =，又椭圆的焦点在y 上，所以焦点坐标是()0,1±. 【点睛】求椭圆的焦点坐标时，要先确定椭圆是x 轴型还是y 轴型，防止坐标写错.9．已知函数()()sin 21f x k x x k R =++∈，当k ∈(,2)(2,)-∞-+∞U 时，()f x 在()0,2π内的极值点的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】求导令导函数等于0，得出2cos x k =-，将问题转化为函数()cos g x x =，()0,2p ，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞的交点问题，画出图象即可判断.【详解】令()cos 20f x k x '=+=得出2cos x k =- 令函数()cos g x x =，()0,2p ，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞它们的图象如下图所示由图可知，函数()cos g x x =，()0,2p ，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞有两个不同的交点，则()f x 在()0,2p 内的极值点的个数为2个 故选：C 【点睛】本题主要考查了求函数零点或方程的根的个数，属于中档题.10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，动点E ，F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上．若 2E F =，1 A E m =， D Q n =， D P p =（,,m n p 大于零），则四面体PEFQ 的体积A ．与,,m n p 都有关B ．与m 有关，与,n p 无关C ．与p 有关，与,m n 无关D ．与π有关，与,m p 无关【答案】C 【解析】 【分析】连接1AD 、1A D 交于点O ，作1//PM AD ，证明1AD ⊥平面11A B CD ，可得出PM ⊥平面EFQ ，于此得出三棱锥P EFQ -的高为2PM p =，再由四边形11A B CD 为矩形知，点Q 到EF 的距离为142A D =，于此可计算出EFQ ∆的面积为42，最后利用锥体的体积公式可得出四面体PEFQ 的体积的表达式，于此可得出结论． 【详解】如下图所示，连接1AD 、1A D 交于点O ，作1//PM AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11AA D D ，且1A D ⊂平面11AA D D ，1AD CD ∴⊥，又Q 四边形11AA D D 为正方形，则11AD A D ⊥，且1CD A D D =I ， 1AD ∴⊥平面11A B CD ，即1AD ⊥平面EFQ ，1//PM AD Q ，PM ∴⊥平面EFQ ，且12sin PM PD ADA p =⋅∠=， 易知四边形11A B CD 是矩形，且142AD =∴点Q 到直线EF 的距离为1AD ，EFQ ∴∆的面积为1112424222EFQ S EF AD ∆=⋅=⨯⨯=所以，四面体PEFQ 的体积为1124423323P EFQ EFQ pV S PM p -∆=⋅=⨯⨯=， 因此，四面体PEFQ 的体积与p 有关，与m 、n 无关，故选C. 【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，解题的关键在于寻找底面和高，要充分结合题中已知的线面垂直的条件，找三棱锥的高时，只需过点作垂线的平行线可得出高，考查逻辑推理能力，属于难题． 11．已知函数()21cos 4f x x x =+，()f x '是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】首先求得导函数解析式，根据导函数的奇偶性可排除,B D ，再根据02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，可排除C ，从而得到结果. 【详解】由题意得：()1sin 2f x x x '=- ()()1sin 2f x x x f x ''-=-+=-Q ()f x ∴为奇函数，图象关于原点对称可排除,B D又当2x π=时，1024f ππ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，可排除C 本题正确选项：A 【点睛】此题考查函数图象的识别，考查对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，关键是能够利用奇偶性和特殊位置的符号来排除错误选项，属于中档题．12．在空间中，设α，β表示平面，m ，n 表示直线.则下列命题正确的是（ ）A ．若m∥n，n⊥α，则m⊥αB ．若m 上有无数个点不在α内，则m∥αC ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥D ．若m∥α，那么m 与α内的任何直线平行【答案】A 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定定理与性质定理，逐一判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于A 中，若//,m n n α⊥，则m α⊥，根据线面垂直的判定定理，可知是正确的； 对于B 中，若直线与平面相交，则除了交点以外的无数个点都不在平面内，所以不正确； 对于C 中，若,m αβα⊥⊂，则m β⊥或//m β或m 与β相交，所以不正确； 对于D 中，若//m α，则m 与平面α内的直线平行或异面，所以不正确， 故选A. 【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知复数21iz i=-，则复数z 的实部和虚部之和为______. 【答案】0 【解析】 【分析】先化简求得z 再计算实部和虚部的和即可. 【详解】()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+,故实部和虚部之和为110-=. 故答案为：0 【点睛】本题主要考查复数的基本运算与实部虚部的概念,属于基础题型.14．为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况,现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本.其中大一年级抽取200人,大二年级抽取100人.若其他年级共有学生2000人,则该校学生总人数是_______.. 【答案】5000 【解析】 【分析】由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生2000人，根据题意列出等式，即可求出该校学生总人数. 【详解】由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生2000人， 则该校学生总人数为20005005000200⨯=人，故答案是：5000. 【点睛】该题考查的是有关分层抽样的问题，涉及到的知识点有分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，属于简单题目.15．如图，矩形OABC 的四个顶点坐标依次为(0,0),(,0),(0,1)2O A C π，记线段,OC CB 以及sin (0)2y x x π=≤≤的图象围成的区域（图中阴影部分）为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，则点M 落在区域Ω的概率为__________．【答案】12π-【解析】因空白处的面积220sin cos |1S xdx x ππ==-=⎰，故阴影部分的面积为1122S ππΩ=⨯-=-，故由几何概型的计算公式可得所求概率12212d P D πππ-===-，应填答案21π-． 16．设实数3AD =满足101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，则2x y -的最小值为______【答案】-3 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，设2z x y =-，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最小值，得到答案． 【详解】由题意，画出约束条件所对应的平面区域，如图所示，设2z x y =-，则2y x z =-，当直线2y x z =-过点A 时，直线2y x z =-在y 轴上的截距最大，此时目标函数2z x y =-取得最小值，由1010x y y -+=⎧⎨+=⎩ ，解得(2,1)A --， 所以目标函数的最小值为min 2(2)(1)3z =⨯---=-．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．定义：在等式202121(1)n n n n n x x D x D x -++=++222n n D x -++L 212n n n n D x D -++()n N ∈中，把0n D ，1n D ，2n D ， (2)n D 叫做三项式的n 次系数列(如三项式的1次系数列是1，1，1).(1)填空：三项式的2次系数列是_______________； 三项式的3次系数列是_______________；(2)由杨辉三角数阵表可以得到二项式系数的性质11k k k n n n C C C -+=+,类似的请用三项式n 次系数列中的系数表示11(121,)k n D k n k N ++≤≤-∈(无须证明)；(3)求36D 的值.【答案】（1）1,2,3,2,1;1,3,6,7,6,3,1（2）1111(121,)k k k k n n n n D D D D k n k N +-++=++≤≤-∈（3）50【解析】【试题分析】（1）分别将2,3n 代入=，把()21nx x ++展开进行计算即可求得三项式的2次系数列是1,2,3,2,1;三项式的3次系数列是1,3,6,7,6,3,1；（2）运用类比思维的思想可得()1111121,k k k k n n n n D D D D k n k N +-++=++≤≤-∈；（3）由题设中的定义可知36D 表示()621x x ++展开式中9x 的系数，因此可求出341336626350D C C C C =+=．解：（1）三项式的2次系数列是1,2,3,2,1; 三项式的3次系数列是1,3,6,7,6,3,1； （2）()1111121,k k k k n nn n D D D D k n k N +-++=++≤≤-∈；（3）36D 表示()621x x ++展开式中9x 的系数，所以341336626350D C C C C =+=．18．已知函数()()ln 1f x mx x m R =-+∈.（1）若函数()f x 存在不小于3的极小值，求实数m 的取值范围； （2）当1m =-时，若对[)1,x ∀∈+∞，不等式()()110x x e af x --+≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[),e +∞；（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数()y f x =的单调性，求出函数()y f x =的极值，然后令极值大于等于3，解出不等式可得出实数m 的取值范围； （2）构造函数()()()11 ln 1x h x x ea x x -=--+-，问题等价于()()10h x h ≥=，对实数a 进行分类讨论，分析函数()y h x =在区间[)1,+∞上的单调性，结合条件()()10h x h ≥=可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()11mx f x m x x-'=-=. 当0m ≤时，()0f x '<，函数()y f x =在区间()0,∞+上单调递减， 此时，函数()y f x =无极值； 当0m >时，令()0f x '=，得1x m=， 又当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在1x m=时取得极小值，且极小值为112ln f m m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令12 ln3m-≥，即2ln 3m +≥，得m e ≥. 综上所述，实数m 的取值范围为[),e +∞； （2）当1m =-时，问题等价于()()11ln 10x x ea x x ---+-≥，记()()()11 1x h x x ea lnx x -=--+-，由（1）知，()ln 1f x x x =--+在区间[)1,+∞上单调递减，所以ln 1y x x =+-在区间[)1,+∞上单调递增，所以ln 11ln110x x +-≥+-=， ①当1a ≤时，由1x ≥可知，所以()0h x ≥成立；②当102a <≤时，()111x h x xe a x -⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭的导函数为()121+1+0x h x x e a x -''=>（）恒成立，所以()h x '在区间[)1,+∞上单调递增， 所以()()1120h x h a ''≥=-≥.所以，函数()y h x =在区间[)1,+∞上单调递增，从而()()10h x h ≥=，命题成立. ③当12a >时，显然()111x h x xe a x -⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭在区间[)1,+∞上单调递增， 记()1x m x ex -=-，则()11x m x e -'=-，当1x >时，()'0m x >，所以，函数()y m x =在区间()1,+∞上为增函数，即当1x ≥时，1x e x -≥.()1120h a '=-<Q ，()()2111122222120222a h a ae a a a a a a -⎛⎫'=--≥⋅--=-+> ⎪⎝⎭， 所以在区间()1,2a 内，存在唯一的()01,2x a ∈，使得()00h x '=，且当01x x <<时，()'0h x <，即当01x x <<时，()()10h x h <=，不符合题意，舍去. 综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，以及利用导数研究函数不等式恒成立问题，常利用分类讨论法，利用导数分析函数的单调性，转化为函数的最值来求解，考查分类讨论思想的应用，属于难题.19．某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x （单位：万元）和收益y （单位：万元）的数据如下表：他们分别用两种模型①y bx a =+，②bxy ae =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：x y61i iix y=∑621iix=∑7301464.24364（Ⅰ）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（Ⅱ）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：（ⅰ）剔除异常数据后求出（Ⅰ）中所选模型的回归方程；（ⅱ）若广告投入量18x=时，该模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据11(,)x y，22(,)x y，……，(,)n nx y，其回归直线y bx a=+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()()ni iiniix x y ybx x==--=-∑∑$1221ni iiniix y nx yx nx==-=-∑∑，a y bx=-$$.【答案】（1）应该选择模型①，理由见解析（2）（ⅰ）$38.04y x=+（ⅱ）62.04【解析】【分析】（1）结合题意可知模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，即可。
高中数学练习题 2023年湖南省三湘名校教育联盟高考数学第二次联考试卷
（VIP&校本题库）2023年湖南省三湘名校教育联盟高考数学第二次联一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）A ．a =30，b =25，A =150°有一解B ．a =9，c =10，B =60°无解C ．a =6，b =9，A =45°有两解D ．a =7，b =14，A =30°有两解1．（3分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ,则下列判断中正确的是（ ）A ．ab >ab 2>aB ．ab 2>ab >aC ．ab >a >ab 2D ．a >ab >ab2．（3分）已知a <0，-1<b <0，则有（ ）A ．-3B ．−33C ．33D ．33．（3分）在等比数列{a n }中，a 4a 1=5π6，则tan （a 2a 3）=（ ）√√√√A ．第10项B ．第11项C ．第10项或11项D ．第12项4．（3分）设a n =-2n +21，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（ ）A ．18B ．6C ．23D ．2435．（3分）若a ,b 为实数，且a +b =2，则3a +3b 的最小值为（ ）√A ．是等差数列但不是等比数列6．（3分）设x ∈R ，记不超过x 的最大整数为[x ]，令{x }=x -[x ]，则{5+12}，[5+12]，5+12（ ）√√√二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列A ．（-∞，-1]B ．（-∞，0）∪（1，+∞）C ．[3，+∞）D ．（-∞，-1]∪[3，+∞）7．（3分）已知等比数列{a n }中，a 2=1，则其前3项的和S 3的取值范围是（ ）A ．n (n +1)2B ．2n (n +1)C ．2n n +1D ．n2(n +1)8．（3分）已知数列{a n }，a 1=1，前n 项和为S n ，且点P （a n ，a n +1）（n ∈N *）在直线x -y +1=0上，则1S 1+1S 2（ ）A ．217-2B ．216-2C ．216-1D ．215-19．（3分）计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制数，将它转是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数(111 (1)16个1)2转换成十进制形式是（ ）A ．①②B ．①②③C ．③④D ．①④10．（3分）锐角三角形△ABC 中，若A =2B ，则下列叙述正确的是（ ）①sin 3B =sinC ；②tan 3B 2tan C 2=1；③π6<B <π4；④ab ∈[2，3]．√√11．（3分）不等式5x +2≥2的解集是 ．12．（3分）△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC =2：3：4，则cos 2C = ．三、解答题（共5小题，满分49分）13．（3分）设等比数列{a n }的前n 项和S n =2n +a ,等差数列{b n }的前n 项和T n =n 2-2n +b ,则a +b =．14．（3分）如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ，AB 为直径，DO 平分∠ADC ，则∠DAO 的度数是 ．15．（3分）设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a +1b的最小值是．√16．（3分）一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上．继续航行半小时后，看见南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行海里．17．（3分）不等式|x +3|-|x -1|≤a 2-3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为．18．（8分）比较下列各组中两个代数式的大小： （1）x 2+3与3x ；（2）已知a ,b 为正数，且a ≠b ,比较a 3+b 3与a 2b +ab 2．19．（9分）某林场为了保护生态环境，制定了植树造林的两个五年计划，第一年植树16a 亩，以后每年植树面积都0%，但从第六年开始，每年植树面积都比上一年减少a 亩． （1）求该林场第6年植树的面积；（2）设前n （1≤n ≤10且n ∈N ）年林场植树的总面积为S n 亩，求S n 的表达式．20．（10分）建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为63平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段BC 与两腰长的和）要最小． （1）求外周长的最小值，此时防洪堤高h 为多少米？（2）如防洪堤的高限制在[3，23]的范围内，外周长最小为多少米？√√21．（10分）在△ABC中，a,b,c分别为角A、B、C的对边，且满足b2+c2-a2=bc.（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若a=3，设角B的大小为x,△ABC的周长为y,求y=f（x）的最大值．√22．（12分）已知数列{a n}是首项为a1=14，公比q=14的等比数列，设b n+2=3log14a n（n∈N*），数列{c n}满足（1）求证：{b n}是等差数列；（2）求数列{c n}的前n项和S n；（3）若c n≤14m2+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．。
湖南省株洲市2019-2020学年数学高二下期末考试试题含解析
湖南省株洲市2019-2020学年数学高二下期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数()f x 与()x g x a =（0a >且1a ≠）的图象关于直线y x =对称，则“()f x 是增函数”的一个充分不必要条件是( )A ．102a <<B ．01a <<C ．23a <<D ．1a >【答案】C【解析】分析：先求出()log a f x x =，再利用充分不必要条件的定义得到充分不必要条件.详解：因为函数()f x 与()x g x a =（0a >且1a ≠）的图象关于直线y x =对称， 所以()log a f x x =.选项A,1 02a <<是“()f x 是增函数”的非充分非必要条件，所以是错误的. 选项B, 01a <<是“()f x 是增函数”的非充分非必要条件，所以是错误的.选项C, 23a <<是“()f x 是增函数”的充分非必要条件，所以是正确的.选项D, 1a >是“()f x 是增函数”的充分必要条件，所以是错误的.故答案为C.点睛：（1）本题主要考查充分条件必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 已知命题p 是条件，命题q 是结论,充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.2．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为R ，则（ ）A ．00a >⎧⎨∆>⎩B ．00a >⎧⎨∆<⎩C ．00a <⎧⎨∆>⎩D ．00a <⎧⎨∆<⎩ 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式与二次函数之间的关系，可得出一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为R 的等价条件.【详解】由于关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为R ，则二次函数2y ax bx c =++的图象恒在x 轴的下方，所以其开口向下，且图象与x 轴无公共点，所以00a <⎧⎨∆<⎩，故选：D. 【点睛】本题考查一元不等式在实数集上恒成立，要充分利用二次函数的开口方向和与x 轴的位置关系进行分析，考查推理能力，属于中等题.3．复数()21z i =+在复平面内对应的点在（ ）A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限 【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法法则将复数z 表示为一般形式，即可得出复数z 在复平面内对应的点的位置．【详解】 ()221122z i i i i =+=++=Q ，对应的点的坐标为()0,2，所对应的点在虚轴上，故选B ． 【点睛】本题考查复数对应的点，考查复数的乘法法则，关于复数问题，一般要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行解答，考查计算能力，属于基础题．4．如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，已知小正方形的外接圆恰好是大正方形的内切圆，现在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．212π-B ．24π- C ．12π- D ．14π- 【答案】B【解析】分析：设大正方形的边长为1，其内切圆的直径为12，从而阴影部分的面积为2142S π=-，由此利用几何概型能求出在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率. 详解：设大正方形的边长为1，其内切圆的直径为12， 所以大正方形的面积为1，圆的面积为21()24S ππ=⨯=，小正方形的面积为212122S ==，则阴影部分的面积为2112424S S S ππ-=-=-=， 所以在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率22114S P π-==⨯. 点睛：本题主要考查了面积比的几何概型及其概率的计算问题，其中根据题意，准确求解阴影部分的面积是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及函数与方程思想的应用，属于基础题.5．椭圆2214x y +=的长轴长为（ ）A ．1B ．2C ．D ．4 【答案】D【解析】【分析】由椭圆方程得出2a =即可【详解】 由2214x y +=可得24a =，即2a =所以长轴长为24a =故选：D【点睛】本题考查的是由椭圆的方程得长轴长，较简单6．若22199x x C C --= ，则x =( )A ．1-B ．4C ．1-或4D ．1或5【答案】B【解析】【分析】根据组合数的公式，列出方程，求出x 的值即可．【详解】∵22199x x C C --＝，∴221x x -=-，或2219x x -+-＝，解得1x =-（不合题意，舍去），或4x =；∴x 的值是1．故选：B ．【点睛】本题考查了组合数公式的应用问题，是基础题目．7．若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =.则（）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小.【详解】 Q 23a =，12232<<，∴12a <<，Q 22log 5log 4b =>，∴2b >，Q 32c =，01323<<，∴01c <<，∴c a b <<，故选：A.【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力和推理能力，属于基础题.8．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）A ．有最小值32 B ．有最大值52 C ．为定值3 D ．为定值2【答案】D【解析】【分析】 分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．【详解】依题意，设四边形D 1FBE 的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D 1FBE 在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S 后=1×1=1，在上面的投影面积S 上=D'E'×1=DE×1=DE ，在左面的投影面积S 左=B'E'×1=CE×1=CE ，所以四边形D 1FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S 后+S 上+S 左=1+DE+CE=1+CD=1．故选D ．【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．9．已知点()()3,0,3,0,4A B AC BC --=，则点C 轨迹方程是（ ）A ．()221045x y x -=< B ．22145x y -=C ．()221045x y x -=> D ．()220045x y x -=< 【答案】A【解析】 由双曲线的定义可知：点C 位于以()()3,0,3,0A B -为焦点的双曲线的左支上，且23,25c a b ==⇒=，故其轨迹方程为()221045x y x -=<，应选答案A 。
2019-2020学年湖南省湘潭市数学高二下期末教学质量检测试题含解析
2019-2020学年湖南省湘潭市数学高二(下)期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知1(5,)3X B :，则37()22P X ≤≤=（ ） A ．80243B ．40243C ．4081D ．80812．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，公元五世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A ，B 为两个同高的几何体，:p A ，B 的体积不相等，:q A ，B 在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 与()x g x a =（0a >且1a ≠）的图象关于直线y x =对称，则“()f x 是增函数”的一个充分不必要条件是( ) A ．102a <<B ．01a <<C ．23a <<D ．1a >4．已知点P 的极坐标是π2,6⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 且平行极轴的直线方程是( ) A ．ρ1=B ．ρsin θ=C ．1ρsin θ=-D ．1ρsin θ=5．直线l ：210mx y m +--=与圆C ：22(2)4x y +-=交于A ，B 两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为A ．2430x y -+=B ．430x y -+=C ．2430x y ++=D ．2410x y ++=6．若()21001121002a a x a x a x x +++=+-L ，则0123102310a a a a a ++++⋅⋅⋅+=（ ） A ．10B ．-10C ．1014D ．10347．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) A ．22y x =-B ．1()2xy =C ．2y log x =D ．()2112y x =- 8．给出以下四个说法：①残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好；③在回归直线方程0.212ˆy x =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量2K 的观测值k 越小，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确的说法是()A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③9．已知4324355210(2)(1)x x a x a x a x a x a +=++++++，则40a a +=（ ）A ．36B ．40C ．45D ．5210．同时具有性质“①最小正周期是π”②图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是增函数的一个函数可以是（ ）A ．4sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．2cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭11．函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]0,2x ∈时，()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( ) A ．()1,3B ．()1,1-C ．()()1,01,3-UD ．()()1,00,1-U12．用数学归纳法证明“533*1232n n n n N +++++=∈L ，”，则当1n k =+时，应当在n k =时对应的等式的左边加上（ ） A ．3k 1+B ．()31k +C ．()()()333k 1k 21k ++++++LD ．54二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．23228log 6log 3+-=__________．14．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．15．设函数32()2f x x ax x =++, (1)f '= 9,则a = 16．已知函数()3222,1,1x x f x x ax a x ⎧+-≤-=⎨-+>-⎩，若函数()1y f x a =-+恰有2个零点，则实数a 的取值范围是______.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．如图，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，//,22DE AP AP AD DE ===.(Ⅰ)证明：平面//DCE 平面ABP ； (Ⅱ)求直线CP 与平面DCE 所成角的余弦值. 18．已知：22()nx x-(n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1. （1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中含32x 的项.19．（6分）电视传媒公司为了解世界杯期间某地区电视观众对《战斗吧足球》节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该节目时间的频率分布直方图：(注：频率分布直方图中纵轴i i f x ∆表示频率组距，例如，收看时间在[]10,20分钟的频率是0.01810⨯)将日均收看该足球节目时间不低于40分钟的观众称为“足球迷”．（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料判断是否可以认为“足球迷”与性别有关？如果有关，有多大把握？ 非足球迷 足球迷 合计 男 女 10 55 合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“足球迷”人数为X ．若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、均值EX 和方差DX ． 附：()()()()()22n ad bc a b a d b c c d χ-=++++，()2P K k ≥0.1000.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.82820．（6分）已知函数()ln f x x a =+，()(),g x x a b R x=-∈. (1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在点()()1,1f 处的切线方程相同，求实数,a b 的值； (2)若()()f x g x ≥恒成立，求证：当2a ≤-时，1b ≤-.21．（6分）已知二次函数2()f x ax bx c =++（,,a b c 均为实数），满足0a b c -+=，对于任意实数x 都有()0f x x -≥，并且当(0,2)x ∈时，有21()()2x f x +≤. （1）求(1)f 的值；并证明：116ac ≥； （2）当[2,2]x ∈-且a c +取得最小值时，函数()()F x f x mx =-（m 为实数）单调递增，求证：12m ≤-. 22．（8分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点． （1）证明：//PB 平面AEC ; （2）设1AP =，3AD =，三棱锥P ABD -的体积 3V =，求A 到平面PBC 的距离．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】根据二项分布求对应概率 【详解】()()372322P X P X P X ⎛⎫≤≤==+= ⎪⎝⎭23322355121240C C 333381⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以选C. 【点睛】本题考查二项分布，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．A 【解析】分析：利用祖暅原理分析判断即可. 详解：设A ，B 为两个同高的几何体，:p A ，B 的体积不相等，:q A ，B 在等高处的截面积不恒相等．Q 如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等，∴根据祖暅原理可知，p 是q 的充分不必要条件.故选：A.点睛：本题考查满足祖暅原理的几何体的判断，是基础题，解题时要认真审查，注意空间思维能力的培养. 3．C 【解析】分析：先求出()log a f x x =，再利用充分不必要条件的定义得到充分不必要条件. 详解：因为函数()f x 与()xg x a =（0a >且1a ≠）的图象关于直线y x =对称，所以()log a f x x =.选项A,102a <<是“()f x 是增函数”的非充分非必要条件，所以是错误的. 选项B, 01a <<是“()f x 是增函数”的非充分非必要条件，所以是错误的. 选项C, 23a <<是“()f x 是增函数”的充分非必要条件，所以是正确的. 选项D, 1a >是“()f x 是增函数”的充分必要条件，所以是错误的. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查充分条件必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 已知命题p 是条件，命题q 是结论,充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件. 4．D 【解析】分析：把点P 的极坐标化为直角坐标，求出过点P 且平行极轴的直线直角坐标方程，再把它化为极坐标方程．详解：把点P 的极坐标π2,6⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标为）， 故过点P 且平行极轴的直线方程是1y = ， 化为极坐标方程为1sin ρθ=， 故选D ．点睛：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，把直角坐标方程化为即坐标方程的方法，属于基础题． 5．A 【解析】 【分析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB 最短时直线l 的方程. 【详解】由题得1210(21)(1)0,,2101x x m x y y y ⎧-==⎧⎪-+-=∴∴⎨⎨-=⎩⎪=⎩，所以直线l 过定点P112（，）. 当CP ⊥l 时，弦AB 最短. 由题得2112,1202CP l k k -==-∴=-, 所以112,24m m -=∴=-. 所以直线l 的方程为2430x y -+=. 故选：A 【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6．C 【解析】 【分析】先求出0a ，对等式两边求导，代入数据1得到答案. 【详解】()21001121002a a x a x a x x +++=+-L取10.002x a =⇒=对等式两边求导1231902923110(2)0a a a x x x x a +++⋅⋅⋅+⇒--=取1x =1231001231023102310140110a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=⇒-=⇒ 故答案为C 【点睛】本题考查了二项式定理，对两边求导是解题的关键. 7．D 【解析】 【分析】根据,x y 的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系. 【详解】根据实验数据可以得出，x 近似增加一个单位时，y 的增量近似为2.5，3.5，4.5，6，比较接近()2112y x =-，故选D. 【点睛】本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养. 8．D 【解析】 【分析】根据残差点分布和相关指数的关系判断①是否正确，根据相关指数2R 判断②是否正确，根据回归直线的知识判断③是否正确，根据22⨯联表独立性检验的知识判断④是否正确. 【详解】残差点分布宽度越窄，相关指数越大，故①错误.相关指数越大，拟合效果越好，故②正确.回归直线方程斜率为0.2故解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy平均增加0.2个单位，即③正确.2K 越大，有把握程度越大，故④错误.故正确的是②③，故选D. 【点睛】本小题主要考查残差分析、相关指数、回归直线方程和独立性检验等知识，属于基础题. 9．A 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，分别计算4a 和0a ，相加得到答案. 【详解】4324355210(2)(1)x x a x a x a x a x a +=++++++14115525a C C =⨯-=502131a =-=4036a a +=故答案选A 【点睛】本题考查了二项式的计算，意在考查学生的计算能力. 10．B 【解析】 【分析】利用所给条件逐条验证，最小正周期是π得出2ω=，把②③分别代入选项验证可得. 【详解】 把6x π=代入A 选项可得sin()0y π=-=，符合；把6x π=代入B 选项可得sin 00y ==，符合；把6x π=代入C 选项可得cos 1y π==-，不符合，排除C ；把6x π=代入D 选项可得sin12y π==，不符合，排除D ；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，4452[,]336x πππ-∈--，此时为减函数；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,]336x -∈-，此时为增函数；故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养. 11．C 【解析】若[20]x ∈-，，则[02]x -∈，，此时1f x x f x -=--Q （），（）是偶函数，1f x x f x ∴-=--=（）（）， 即1[20]f x x x =--∈-（），，， 若[24]x ∈， ，则4[20]x -∈-，， ∵函数的周期是4，4413f x f x x x ∴=-=---=-（）（）（），即120102324x x f x x x x x ---≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≤≤⎩，（），， ，作出函数f x （）在[13]-， 上图象如图，若03x ≤＜，则不等式0xf x （）＞ 等价为0f x （）＞ ，此时13x ＜＜， 若10x -≤≤ ，则不等式0xf x （）＞等价为0f x （）＜ ，此时1x -＜＜0 ， 综上不等式0xf x （）＞ 在[13]-， 上的解集为1310.⋃-（，）（，）故选C.【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用数形结合是解决本题的关键． 12．C 【解析】 【分析】由数学归纳法可知n k =时，左端3123k ++++L ，当1n k =+时，3123k ++++L33(1)(1)k k +++++L ，即可得到答案.【详解】由题意，用数学归纳法法证明等式5331232n n n +++++=L 时，假设n k =时，左端3123k ++++L ，当1n k =+时，3123k ++++L 33(1)(1)k k +++++L ，所以由n k =到1n k =+时需要添加的项数是33(1)(1)k k ++++L ， 故选C. 【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用，着重考查了理解与观察能力，以及推理与论证能力，属于基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．5 【解析】 【分析】利用指数和对数的运算即可求解. 【详解】()2233322268log 6log 32log 4153+-=+=+= 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算，属于基础题.14．56【解析】试题分析：根据题意，记白球为A ，红球为B ，黄球为12,C C ，则一次取出2只球，基本事件为AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 、12C C 共6种， 其中2只球的颜色不同的是AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 共5种； 所以所求的概率是56P =． 考点：古典概型概率 15．1 【解析】试题分析：因为，32()2f x x ax x =++，所以，2'()621f x x ax =++，而，(1)f '=9，所以，6+2a+1=9,a=1。
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟2018级高二5月联考数学试卷参考答案
或 sinx＝－1，即 x＝π或 x＝7π.当 x∈（0，π）时，f′（x）<0；当 x∈（π，7π）时，f′（x）>0；
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6
当 x∈（7π，3π]时，f′（x）<0，∴x0＝π，∴tan（2x0－π）＝ 3 .
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16．64 解析：由已知可得球的半径 r=3，设球心到四棱锥底面的距离为 x，棱锥的高为 h＝3＋x， 3
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟2018级高二5月联考数学试卷
高二数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 A
D
B
A
A
D
C
B
B
D
C
B
1.A 解析：A＝[－1，1]，∴A∩B＝[0，1]．
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2．D 解析：∵y＝ln|x|－1x2 是偶函数，∴图像关于 y 轴对称．又 x>0 时，f′(x)＝1－x＝1－x2，∴f(x) f(1)
4 有一个极值点为零点，只能是 x＝a 处，∴f (a)＝0，解得 a＝2，∴f (x)在 x＝0 处取得极大值为 .又
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f (3)＝4，∴f (x)在[-3,3]上的最大值为4，故选 C．
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12.B 解析：由已知可得点 F 在以 AB 为直径的圆上， AF BF , AB 2MF 4, AF 2 BF 2 16,
a＋b＝－2.
9.B 解析：EX＝6×2＝4，DX＝6×2×（1－2）＝4，EY＝3×4－3＝3，DY＝（3）2×4＝3，∴EY
湖南省益阳市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题含解析
湖南省益阳市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平面内，点到直线的距离公式为，通过类比的方法，可求得在空间中，点到平面的距离为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】类比得到在空间，点到直线的距离公式,再求解.【详解】类比得到在空间，点到直线的距离公式为，所以点到平面的距离为.故选：B 【点睛】本题主要考查类比推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2．若二项式22)nx x-（的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为 A ．-240 B ．-160 C ．160 D ．240【答案】D 【解析】 【分析】由二项式定义得到二项展开式的二项式系数和为2n ，由此得到n ，然后求通项，化简得到常数项，即可得到答案. 【详解】由已知得到264n =，所以6n =， 所以展开式的通项为261231662()()(2)rrr r r r r T C x C x x--+=-=-， 令1230r -=，得到4r =，所以展开式的常数项为4456(2)240T C =-=，故选D.【点睛】本题主要考查了二项展开式的二项式系数以及特征项的求法，其中熟记二项展开式的系数问题和二项展开式的通项是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等比数列，则212a ab -等于（ ）A ．14B ．12C ．12-D ．12或12-【答案】B 【解析】试题分析：因为122,,,8a a --成等差数列，所以()21822,3a a ----==-因为1232,,,,8b b b --成等比数列，所以()()222816b =--=，由21220b b =->得24b =-，2122142a ab --==-，故选B. 考点：1、等差数列的性质；2、等比数列的性质.4．已知集合{}{}21,2,4,8,|log ,A B y y x x A ===∈，则AB =（ ）A ．{}12， B ．{}0123，，， C ．{}123，， D ．{}03，【答案】A 【解析】 【分析】先求得集合B 的元素，由此求得两个集合的交集. 【详解】依题意{}0123B =，，，，故{}1,2A B =,故选A.【点睛】本小题主要考查两个集合的交集的求法，考查对数运算，属于基础题. 5．若220a x dx =⎰，230b x dx =⎰，2sin c xdx =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】A 【解析】分析：利用定积分，将已知,,a b c 化简，即可比较大小．详解：由题意，可得22320018|33a x dx x ===⎰，2342001|44b x dx x ===⎰，2200sin cos |cos 21c xdx x ==-=-+⎰，则23,3,12a b c <<<，所以c a b <<，故选A ．点睛：本题主要考查了定积分的运算，其中根据微积分基本定理，求解,,a b c 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．6．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2019，则输出的y 值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1【答案】C 【解析】 【分析】读懂流程图，可知每循环一次，x 的值减少4，当0x <时，得到2xy =的值.【详解】根据流程图，可知每循环一次，x 的值减少4，输入2019x =，因为2019除以4余3，经过多次循环后3x =，再经过一次循环后1x =-满足0x <的条件， 输出11222xy -===【点睛】流程图的简单问题，找到循环规律，得到x 的值，得到输出值.属于简单题. 7．通过随机询问111名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n adbc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过1．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过1．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】由27.8 6.635K ≈>，而()26.6350.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A8．把18个人平均分成两组，每组任意指定正副组长各1人，则甲被指定为正组长的概率为（ ） A ．118B ．19C ．16D ．13【答案】B 【解析】 【分析】把18个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人，即从9人中选一个正组长，甲被选定为正组长的概率，与组里每个人被选中的概率相等．【详解】由题意知，把18个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人，即从9个人中选一个正组长，∴甲被选定为正组长的概率是19．故选B．【点睛】本题考查了等可能事件的概率应用问题，是基础题目．9．设随机变量服从正态分布，若，则实数的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的特征，可得，求解即可得出结果.【详解】因为随机变量服从正态分布，，根据正态分布的特征，可得，解得.故选D【点睛】本题主要考查正态分布的特征，熟记正态分布的特征即可，属于基础题型.10．复数z满足，则复数z＝( )A．1－i B．1＋2i C．1＋i D．－1－i【答案】D【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，，故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．11．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB ∆23-P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ）A ．[1,2]B ．2,3]C ．2,4]D ．[1,4]【答案】D 【解析】分析： 由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2，()112322F AB S a c b ∆-=-=可得，2,3a c ==，1PF x =可得()21211442PF PF x +=--，从而可得结果. 详解：由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为22,1b b ==，()11232F AB S a c b ∆-=-=解得23,2,3a c a c -=∴==1224PF PF a +==，设1PF x =，则24PF x =-，[],x a c a c ∈-+，即23,23x ⎡⎤∈⎣⎦，()[]212111141,4442PF PF x x x ∴+=+=∈---，故选D. 点睛：本题考查题意的简单性质，题意的定义的有意义，属于中档题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 12．已知某随机变量X 的概率密度函数为0,0,(),0,xx P x e x -≤⎧=⎨>⎩则随机变量X 落在区间(1,3)内在概率为( )A ．21e e+B ．231e e-C ．2e e -D ．2e e +【答案】B【解析】【分析】求概率密度函数在（1，3）的积分，求得概率．【详解】由随机变量X的概率密度函数的意义得3233111d x xeP e x ee---==-=⎰，故选B．【点睛】随机变量X的概率密度函数在某区间上的定积分就是随机变量X在这一区间上概率．二、填空题：本题共4小题13．数列{}n a 的通项公式是1nan n=++，若前n项和为20，则项数n为__________.【答案】440【解析】【详解】由数列的通项公式可得：()1111nn na n nn nn n-+===+--+++,则：()()()()213243111nS n n n=-+-+-+++-=+-，结合前n项和的结果有：1120n+-=，解得：440n=.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．14．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图), 45ABC∠=，2AB=，1AD=，DC BC⊥，则这块菜地的面积为______．【答案】32【解析】【分析】首先由斜二测图形还原平面图形，然后求解其面积即可.【详解】由几何关系可得，斜二测图形中：2sin4512BC=+=，由斜二测图形还原平面图形，则原图是一个直角梯形，其中上下底的长度分别为1,2，高为，其面积()1122S =⨯+⨯=【点睛】本题主要考查斜二测画法，梯形的面积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．用0，1，3，5，7这五个数字可以组成______个无重复数字的五位数. 【答案】96 【解析】 【分析】先排无重复数字的五位数的万位数，再排其余四个数位，运算即可得解. 【详解】解：先排无重复数字的五位数的万位数，有4种选择，再排其余四位，有44A 种选择，故无重复数字的五位数的个数为44496N A ==，故答案为：96. 【点睛】本题考查了排列组合中的特殊位置优先处理法，属基础题.16．已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：千克)服从正态分布(100,64)N .现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，则其中质量在区间(92,100)内的产品估计有________件. 附：若2(,)XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈.【答案】3413 【解析】 【分析】可以根据X 服从正态分布(100,64)N ，可以知道100,8μσ==，根据()0.6826P X μσμσ-<<+≈，可以求出(92108)0.6826P X <<=，再根据对称性可以求出(92100)P X <<，最后可以估计出质量在区间(92,100)内的产品的数量. 【详解】 解:100,8μσ==，0.6826(92100)0.34132P X ∴<<==， ∴质量在区间(92,100)内的产品估计有100000.34133413⨯=件.【点睛】本题考查了正态分布，正确熟悉掌握正态分布的特点以及,2σσ原则是解题的关键. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
湖南省永州市重点名校2019-2020学年高二下学期期末统考数学试题含解析
根据题意，对于 ， 分别为某三角形的三边长，由三角形性质可知需满足 ：
对于①， ，如当 时不能构成三角形，所以①不是“三角形函数”；
对于②， ，则 ，满足 ，所以②是“三角形函数”；
对于③， ，则 ，当 时不能构成三角形，所以③不是“三角形函数”；
对于④， ，由指数函数性质可得 ，满足 ，所以④是“三角形函数”；
详解：将 人分成满足题意的 组有 与 两种，
分成 时，有 种分法；
分成 时，有 种分法,
由分类计数原理得，共有 种不同的分法，故选D．
点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．
【详解】
根据题意， 为奇函数，则 ，
又由 ，
又由 在 上是增函数，
则有 ，
故选：D.
【点睛】
比较指数值或对数值时可以跟1或0进行比较再排列出大小顺序.
8．设随机变量 服从二项分布 ，则函数 存在零点的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
因为函数 存在零点，所以 . .
【详解】
∵函数 存在零点，
5．已知 ， R，且 ，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
取特殊值排除ACD选项，由指数函数 的单调性证明不等式，即可得出正确答案.
三湘名校联盟高二12月联考数学答案
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2019-2020学年湖南省湘西土家族苗族自治州数学高二(下)期末质量检测试题含解析
2019-2020学年湖南省湘西土家族苗族自治州数学高二(下)期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．复数z 满足，则复数z ＝( )A ．1－iB ．1＋2iC ．1＋iD ．－1－i【答案】D 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】，，故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2． “5n =”是“*3,2nx n N x ⎛ ∈⎝的展开式中含有常数项”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项可知当5n =时，只需3r =即可得到常数项，可知充分条件成立；当()*5n k k N =∈时，展开式均含有常数项，可知必要条件不成立，从而得到结果.【详解】32nx x ⎛ ⎝展开式的通项公式为：(()3563221rn rn rr rn r rn n C x C x x ---⎛⋅⋅=⋅- ⎝当5n =时，通项公式为：()15556521r rrrC x--⋅-令1550r -=，解得：3r =，此时为展开式的常数项，可知充分条件成立 令350n r -=，解得：35n r =∴当()*5n k k N =∈时，展开式均含有常数项，可知必要条件不成立∴“5n =”是“*3,2nx n N x ⎛ ∈⎝的展开式中含有常数项”的充分不必要条件 本题正确选项：A【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到二项式定理的应用；关键是能够熟练掌握二项展开式通项公式的形式，进而确定当x 幂指数为零时所需要的条件，从而确定是否含有常数项.3．已知函数()2()ln f x a x x =+-的定义域是()1,2-，则6⎛ ⎝的展开式中2x 的系数是（ ）A ．192-B ．192C ．230-D ．230【答案】A 【解析】 【分析】函数()2()ln f x a x x=+-的定义域是()1,2-可知，-1和2是方程20a x x +-=的两根，代入可求得a 值，再根据二项式定理的通项公式进行求解即可 【详解】因为()2()ln f x a x x=+-的定义域()1,2x ∈-，所以-1和2是方程20a x x+-=的两根，将-1代入方程20a x x +-=可得2a =，则二项式定理为6⎛⎝根据二项式定理的通项公式61122162rrr r T C x x --+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，62,122r r r --=∴=， 2x 的系数161162(1)192C --=-答案选A 【点睛】本题考察了一元二次方程根与系数的关系，二项式定理通项公式的求法及二项式系数的求法，难度不大，但综合性强4．下列四个推理中，属于类比推理的是（ ）A ．因为铜、铁、铝、金、银等金属能导电，所以一切金属都能导电B ．一切奇数都不能被2整除，()5021+是奇数，所以()5021+不能被2 整除 C ．在数列{}n a 中，111,1n n n a a a a +==+，可以计算出234111,,234a a a ===，所以推出1n a n= D ．若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2，类似的，若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为12【答案】D 【解析】由推理的定义可得A,C 为归纳推理，B 为演绎推理，D 为类比推理. 本题选择D 选项.点睛：一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误． 5．(2)(3)1i i i++=+（ ）A ．5B ．5iC ．6D ．6i【答案】A 【解析】 【分析】由题，先根据复数的四则运算直接求出结果即可 【详解】 由题()()()2351 5.11i i i ii+++==++故选A 【点睛】本题考查了复数的运算，属于基础题.6．空间直角坐标系中，点(10,4,2)A -关于点(0,3,5)M -的对称点的坐标是 A ．(－10,2,8) B ．(－10,2,－8)C ．(5,2,－8)D ．(－10,3,－8)【答案】B 【解析】 【分析】直接利用中点坐标公式求解即可. 【详解】设点()10,4,2A -关于点()0,3,5M -的对称点的坐标是(),,x y z ,根据中点坐标公式可得1002432252x yz+⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪-+⎪=-⎪⎩，解得1028x y z =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩， 所以点()10,4,2A -关于点()0,3,5M -的对称点的坐标是(－10,2,－8)，故选B.【点睛】本题主要考查中点坐标公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.7．袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C【解析】试题分析：因为第一次摸到红球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出红球的概率为，所以所求概率为，故选C ．考点：1、条件概率；2、独立事件．8．已知线性回归方程ˆˆ0.6y bx=+相应于点()3,6.5的残差为0.1-，则ˆb 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．0.5-D ．3-【答案】B 【解析】 【分析】根据线性回归方程估计y ，再根据残差定义列方程，解得结果 【详解】因为相对于点()3,6.5的残差为0.1-，所以ˆ6.50.1y-=-，所以6.50.130.6b +=+$，解得2b =$，故选B 【点睛】本题考查利用线性回归方程估值以及残差概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．若复数z 满足(2)12i z i -=+，则z 的虚部为A 5B 5C ．1D ．i【答案】A 【解析】125(2)5(2)2552(2)(2)555i i i z ii i +++=====+--+5．【考点】复数的运算与复数的定义．10．已知集合{1,2,3}A =，{}3,4B =，则从A 到B 的映射f 满足(3)3f =，则这样的映射共有（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】B【解析】分析：根据映射的定义，结合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有两种不同情况，进而根据分步乘法原理得到答案详解：：若f（3）=3，则f（1）=3或f（1）=4；f（2）=3或f（2）=4；故这样的映射的个数是2×2=4个，故选：B．点睛：本题考查的知识点是映射的定义，分步乘法原理，考查了逻辑推理能力，属于基础题11．已知函数，若函数与函数有相同的值域，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题意首先确定函数的单调性和值域，然后结合题意确定实数的取值范围即可.【详解】由函数的解析式可得：，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，易知当时，，且，故函数的值域为，函数与函数有相同的值域，则函数在区间上的值域为，结合函数的定义域和函数的单调性可得：，解得：.故实数的取值范围是.本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的值域，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．一只袋内装有m 个白球，n m -个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，则下列概率等于23)mnn m A A -（的是（ ） A ．(3)P X = B ．(X 2)P ≥ C ．(3)P X ≤ D ．(2)P X =【答案】D 【解析】 【分析】当2X =时，前2个拿出白球的取法有2m A 种，再任意拿出1个黑球即可，有1n m C -种取法，在这3次拿球中可以认为按顺序排列，由此能求出结果． 【详解】当2X =时，即前2个拿出的是白球，第3个是黑球，前2个拿出白球，有2m A 种取法，再任意拿出1个黑球即可，有1n m C -种取法， 而在这3次拿球中可以认为按顺序排列，此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即3n A ，21233()(2)m n m mn nA C n m A P X A A --===． 故选：D ． 【点睛】本题考查超几何分布概率模型，考查运算求解能力，属于基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．关于x 的方程240(16)x x m m -+=-≤≤有两个正实根的概率是______； 【答案】47【解析】 【分析】由题意求出方程有两个正实根的m 的取值范围，再根据几何概型的概率计算公式即可求解. 【详解】关于x 的方程240(16)x x m m -+=-≤≤有两个正实根，设两个正实根为12,x x ，则1212401640x x x x m m +=⎧⎪⋅=>⎨⎪∆=-≥⎩，解得04m <≤，又16m -≤≤，由几何概型的概率计算公式可得()404617P -==--.故答案为：47【点睛】本题考查了几何概型（长度型）的概率计算公式，属于基础题.14．已知a R ∈，函数()()2f x x x a =-，若()f x 在区间[]1,2上单调递减，则a 的取值范围是____．【答案】23a 剟【解析】 【分析】根据已知可得()0f x '≤，[]1,2x ∈恒成立，根据二次函数的图像，列不等式组解决问题. 【详解】()()()222234f x x a x x a x ax a =-+⋅-=-+',()f x Q 在区间[]1,2上单调递减，()()1020f f ⎧≤⎪∴⎨≤''⎪⎩，解得23a ≤≤.故填：23a ≤≤. 【点睛】本题考查了已知函数在某区间的单调性求参数的取值范围，根据函数是单调递减，转化为()0f x '≤恒成立，根据二次函数的图像列不等式组，得到参数的取值范围，一般恒成立的问题也可转化为参变分离的方法，转化为求函数的最值问题.15．已知数列{2n －1·a n }的前n 项和S n ＝9－6n ，则数列{a n }的通项公式是________．【答案】a n ＝23,1{3,22n n n -=-≥ 【解析】当n ＝1时，20·a 1＝S 1＝3，∴a 1＝3. 当n≥2时，2n －1·a n ＝S n －S n －1＝－6.∴a n ＝－232n -.∴数列{a n}的通项公式为a n ＝23,1{3,22n n n -=-≥.16．已知三棱锥A ﹣BCD 的顶点都在球O 的表面上，且AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB ⊥CD ，若AB ＝1，BC 2=，CD 3=，则球O 的表面积为_____． 【答案】6π． 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形把三棱锥A BCD -补充为长方体，则该长方体的外接球为三棱锥的外接球，计算长方体的对角线长，求出外接球的直径，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，以,AB BC 和CD 为棱，把三棱锥A BCD -补成一个长方体， 则该长方体的长宽高分别为1,2,3，此时长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 且长方体的对角线长为2221(2)(3)6l =++=， 即26R =，即62R =， 所以外接球的表面积为22644()6S R πππ==⨯=.【点睛】本题主要考查了多面体的外接球的表面积的计算，其中解答中以,AB BC 和CD 为棱，把三棱锥A BCD -补成一个长方体，此时长方体的外接球即为三棱锥的外接球是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某种儿童型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成，（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形ABCD ，其外周长为100毫米.防蚊液所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设AD 的长为2x 毫米.（注：34,3k V R V Sh π==柱，其中R 为球半径，S 为圆柱底面积，h 为圆柱的高）（1）求容器中防蚊液的体积y 关于x 的函数关系式； （2）如何设计AD 与AB 的长度，使得y 最大？【答案】（1）y 2322503x x πππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，500,x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）当AD 为20032π-毫米，AB 为5010032ππ--毫米时，防蚊液的体积有最大值. 【解析】 【分析】（1）由矩形ABCD 其外周长为100毫米，设AD 的长为2x 毫米，可得AB 的长度，再根据圆柱和球的体积公式即可求得防蚊液的体积y 关于x 的函数关系式；（2）对（1）求得的函数关系式求导得22223100y x x x πππ'=-+，据此讨论函数单调性，根据函数单调性即可确定防毒液体积最大值．【详解】解：（1）由22100AB x π+=得50AB x π=-， 由A B>0得，500,x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以防蚊液体积3214(50)23y x x x πππ=⨯+-2322503x x πππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，500,x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）求导得22223100y x x x πππ'=-+， 令0y '≥得10032x π≤-；令0y '≤得10032x π≥-，所以y 在1000,32π⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调增，在10050,32ππ⎛⎫⎪-⎝⎭上单调减， 所以当10032x π=-时，y 有最大值，此时200232AD x π==-，5010032AB ππ-=-，答：当AD 为20032π-毫米，AB 为5010032ππ--毫米时，防蚊液的体积有最大值.【点睛】本题是考查关于函数及其导数的一道应用题，难度不大．18．已知双曲线22:14x C y -=，P 为C 上的任意点．（1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点A 的坐标为(3,0)，求||PA 的最小值. 【答案】（1）证明见解析．（2）PA 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，设点利用点到直线的距离公式，即可得到结论，写出距离的乘积，再利用点在双曲线上得出定值；（2）用点点距公式表示出|PA|，利用配方法，求得函数的最值，即可求得结论．（1）设点()00,P x y ，由题意知双曲线的两条渐近线方程分别为20x y -=和+20x y =， 则点()00,P x y ， 2200|4|455x y -=，得证； （2）设点()00,P x y ，则()2222220000005124||=(3)(3)124455x PA x y x x x ⎛⎫-+=-+-=-+≥∴ ⎪⎝⎭当125x =时，PA .19．已知函数()()2log 3a f x x =-++（0a >且1a ≠），()112x g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）函数()y f x =的图象恒过定点A ，求A 点坐标；（2）若函数()()()F x f x g x =-的图象过点()1,5--，证明：方程()0F x =在()1,5x ∈上有唯一解. 【答案】 (1)()2,2A --；(2)证明见解析. 【解析】 试题分析：(1)结合对数函数的性质可得函数()y f x =的图象恒过定点()2,2A --； (2)由题意结合函数的单调性和函数的值域即可证得题中的结论. 试题解析：（1）解：∵当2x =-时，()22f -=-，说明()y f x =的图象恒过点()2,2A --.。