第三章 函数的概念与性质单元测试卷 - 新人教A版高中数学必修第一册
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新人教A版必修第一册单元测试卷
第三章 函数的概念与性质
本试卷共6页, 22小题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1. 答题前, 先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的
指定位置。
2. 选择题的作答：每小题选出答案后, 用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上
的非答题区域均无效。
4. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题, 每小题5分, 共40分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题
目要求的。
1. 如图所示的4个图象中, 与所给3个事件最吻合的顺序为
(1)我离开家后, 心情愉悦, 缓慢行进, 但最后发现上学快迟到了, 加速前进；
(2)我骑着自行车上学, 但中途车坏了, 我修理好又以原来的速度前进；
(3)我快速地骑着自行车去上学, 最后发现时间充足, 又减缓了速度.
① ② ③ ④
A. ③①② B. ③④② C. ②①③ D. ②④③
2. 下列函数是奇函数的是
A. 35()fxxxx B. 2()1fxx C. ()1fxx D. 2(),[1,3]fxxx
3. 函数1()12fxxx的定义域为
A. [1,2)(2,+) B. (1,) C. [1,2) D. [1,)
离开家的距离
时间
O
离开家的距离时间O离开家的距离时间O离开家的距离
时间
O
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4. 已知幂函数()fxx的图象过点(2,2), 则下列说法正确的是
A. ()fx是奇函数, 且在区间(0,)上单调递增
B. ()fx是偶函数, 且在区间(0,)上单调递减
C. ()fx既不是奇函数也不是偶函数, 且在区间(0,)上单调递增
D. ()fx既不是奇函数也不是偶函数, 且在区间(0,)上单调递减
5. 若偶函数()fx在区间(,1]上是增函数, 则
A. 3()(1)(2)2fff＜＜ B. 3(1)()(2)2fff＜＜
C. 3(2)(1)()2fff＜＜ D. 3(2)()(1)2fff＜＜
6. 函数2()fxxx在区间[1,1]上的最小值是
A. 14 B. 0 C. 14 D. 2
7. 已知()fx是奇函数, 在区间(0,)上是增函数. 又(3)0f, 则不等式()0xfx＜的解集是
A. 303xxx＜＜＞或 B. 303xxx＜＜＜或
C. 33xxx＜＞或 D. 3003xxx＜＜＜＜或
8. 已知函数()fx是定义在R上的偶函数, 且在区间[0,)上是增函数. 若对任意[1,)x, 都有
()(21)fxafx≤
恒成立, 则实数a的取值范围是
A. [2,0] B. (,8] C. [2,) D. (,0]
二、多项选择题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分。在每小题给出的四个选项中, 有多个选项是符合
题目要求的。全部选对的得5分, 选对但不全的得3分, 有选错的得0分。
9. 已知幂函数()nmfxx(,,,)mnmn互为质数*N, 下列关于()fx的结论正确的是
A. 当m, n是奇数时, 幂函数()fx是奇函数
B. 点m是偶数, n是奇数时, 幂函数()fx是偶函数
C. 点m是奇数, n是偶数时, 幂函数()fx是偶函数
D. 当01mn＜＜时, 幂函数()fx在区间(0,)上是减函数
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10. 符号[]x表示不超过x的最大整数, 如[3.14]3, [1.6]2, 定义函数: ()[]fxxx, 则下列说法正
确的是
A. (0.8)0.2f B. 当12x≤＜时, ()1fxx
C. 函数()fx的定义域为R, 值域为[0,1) D. 函数()fx是增函数、奇函数
11. 已知定义在R上的函数()fx的图象是连续的, 且满足以下条件: ①,()()xfxfxR;
②12,(0,)xx, 当12xx时,都有2121()()0fxfxxx＞; ③(1)0f. 则下列说法正确的是
A. (3)(4)ff＞ B. 若(1)(2)fmf＜，则(,3)m
C. 若()0fxx＞, 则(1,0)(1,+)x D. ,xMRR, 使得()fxM≥
12. 下列命题为真命题的是
A. 函数1yx既是偶函数又在区间[1,)上单调递增
B. 函数221()99fxxx的最小值为2
C. “2x”是“22xx”的充要条件
D. 1,1xxxR
三、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分。
13. 下列各组函数中, ()fx与()gx是同一函数的是______(填序号).
①()1fxx, 2()1xgxx; ②2()fxx, 4()()gxx; ③()fxx, 33()gxx.
14. 已知函数
32
()(1)fxaxbx
是定义在区间[,2]bb上的偶函数，则ab的值为______.
15. 已知函数()fx的定义域为[0,2], 则函数(2)fx的定义域为______.
16. 已知函数
5
3
()8afxxbxx
(,)abR
, 且(2)10f, 则()()fxfx______, (2)f______.
四、解答题：本题共6小题, 共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10分)
已知函数1()1fxxx.
(1)求()fx的定义域;
(2)求(8)f的值;
(3)当1a≥时, 求()fa的值.
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18. (12分)
已知幂函数()fx的图象过点(2,4).
(1)求()fx的解析式;
(2)若关于x的不等式()0fxaxb≤的解集为[1,2], 求关于x的不等式2()25fxbxax≤的解集.
19. (12分)
已知函数2()22fxxax, [5,5]x, aR.
(1)若()fx在区间[5,5]上是单调函数, 求实数a的取值范围;
(2)求()fx的最小值.
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20. (12分)
某蔬菜基地种植西红柿, 由历年市场行情得知, 从2月1日起的300天内, 西红柿的市场售价P(单位:
元/10
2
kg)与上市时间t(单位: 天)的关系符合图①中的折线表示的函数关系, 西红柿种植成本Q(单位:
元/10
2
kg)与上市时间t(单位: 天)的关系符合图②中的抛物线表示的函数关系.
① ②
(1)写出图①表示的西红柿的市场售价与上市时间的函数关系式()Pft, 图②表示的西红柿种植成本
与上市时间的函数关系式()Qgt;
(2)若西红柿的市场售价减去其种植成本为西红柿的纯收益, 问何时上市西红柿的纯收益最大?
t
P
100
200
300
100200300
O
t
Q
300200100
50
150
250
300
25020015010050
O
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21. (12分)
已知奇函数222,0,()0,0,,0.xxxfxxxmxx＞＝＝＜
(1)求实数m的值, 并画出函数()fx的图象;
(2)若函数()fx在区间[1,2]a上是增函数, 结合函数()fx的图象, 求实数a的取值范围;
(3)结合图象, 求函数()fx在区间[2,2]上的最大值和最小值.
22. (12分)
已知函数()fx对任意的实数m, n都有()()()1fmnfmfn, 且当0x＞时, ()1fx＞.
(1)求(0)f；
(2)证明：()fx在R上为增函数；
(3)若(1)2f, 且不等式2(2)()3faxfxx＜对任意的[1,+)x恒成立, 求实数a的取值范围.
第三章 《函数的概念与性质(单元复习课件)》高一数学(人教A版2019必修第一册)
数的定义域为 −, ，
，可得函
程为 = ∈ , +∞ ，
可知当 = 时，函数 = − + + 取到最大值
= ，
所以原函数的值域为 −∞, ．
典型例题
题型四：函数的单调性
【例4】（2023·山东·高一山东省实验中学校考阶段练习）函数 =
+ ，
当 ≥ 时， ≤ ，即函数的值域为 −∞, ．
（3）易知需满足− + ≥ �� ，即 ≤ ≤ ，即
= ，
典型例题
题型三：求函数的值域
【对点训练6】求下列函数的值域：
（1） =
（3） =
+
，
−
（2） = +
−
> ，
（4） = + −
（3）因为 是二次函数，所以设 = + +
( ≠ )．由 = ，得c＝1．
+ + +=
整理得 − + + = ，所以
− =
，所
+=
由 + = + ，得 +
以
+ + + ，
．∴ () = − + ．
．
（3）因为() − (−) = + ①，所以
由题意可知： + −
(−) − () = − + ②，
= +
2022秋新教材高中数学第三章函数的概念与性质3-3幂函数课后提能训练新人教A版必修第一册
第三章 3.3A级——基础过关练1．下列函数：①y＝x3；②y＝4x2；③y＝x5＋1；④y＝(x－1)2；⑤y＝x.其中幂函数的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B 【解析】②中系数不是1，③中解析式为多项式，④中底数不是自变量本身，所以只有①⑤是幂函数．故选B．2．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝x m和y＝x n在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A．n<m<0B．m<n<0C．n>m>0D．m>n>0【答案】A 【解析】由图象可知两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.由曲线C1，C2的图象可知n<m.3．(2020年郑州月考)已知幂函数f(x)＝2kx m的图象过点(，4)，则k＋m＝( )A．4 B． C．5 D．【答案】B 【解析】因为幂函数f(x)＝2kx m，所以2k＝1，解得k＝.又因为图象过点(，4)，所以( )m＝4，m＝4，则k＋m＝.故选B．4．函数y＝x－的图象大致是( )A BC D【答案】D 【解析】由幂函数的性质知函数y＝x－在第一象限为减函数，且它的定义域为{x|x＞0}．5．(2021年沈阳期末)已知幂函数f(x)＝xα，当x＞1时，恒有f(x)＜x，则α的取值范围是( )A．(0，1)B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D．(－∞，0)【答案】B 【解析】当x＞1时，恒有f(x)＜x，即当x＞1时，函数f(x)＝xα的图象在y ＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象．由图象可知α＜1时满足题意．故选B．6．(2020年朔州高一期中)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(3)＝________．【答案】 【解析】设幂函数为f(x)＝xα，因为过，所以f＝，所以＝⇒2－＝⇒α＝，所以f(3)＝3＝.7．已知幂函数f(x)＝xα图象经过点P(2，)，则α＝________，函数y＝f(x2)－2f(x)的最小值等于________．【答案】 －1 【解析】幂函数f(x)＝xα图象经过点P(2，)，则2α＝，解得α＝.所以f(x)＝x，所以函数y＝f(x2)－2f(x)＝(x2)－2x＝x－2＝(－1)2－1.当x＝1时，函数y的最小值为－1.8．(2020年武汉高一期中)已知幂函数f(x)＝(2m－1)x－2n2＋n＋3(n∈Z)为偶函数，且满足f(3)＜f(5)，则m＋n＝________．【答案】2 【解析】因为幂函数f(x)＝(2m－1)x－2n2＋n＋3(n∈Z)为偶函数，所以解得m ＝1，且n＝1，3，5，….因为满足f(3)＜f(5)，即 3－2n2＋n＋3＜5－2n2＋n＋3，故－2n2＋n＋3为正偶数，所以n＝1.则m＋n＝1＋1＝2.9．比较下列各组数的大小．(1)3－和3.2－；(2)4.1和3.8－.解：(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数．又3＜3.2，所以3－＞3.2－.(2)4.1＞1＝1，0＜3.8－＜1－＝1，所以4.1＞3.8－.B级——能力提升练10．(2020年武汉高一期中)若幂函数f(x)＝(m2＋m－5)x m2－2m－3的图象不经过原点，则m的值为( )A．2B．－3C．3D．－3或2【答案】A 【解析】由幂函数定义得m2＋m－5＝1，解得m＝－3或m＝2.当m＝－3时，m2－2m－3＝12，f(x)＝x12，过原点，不符合题意，故m＝－3舍去；当m＝2时，m2－2m－3＝－3，f(x)＝x－3，显然不过原点，符合条件．故选A．11．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则函数g(x)＝(x－2)f(x)在区间上的最小值是( )A．－1B．－2C．－3D．－4【答案】C 【解析】由已知得2α＝，解得α＝－1，所以g(x)＝＝1－在区间上单调递增，则g(x)min＝g＝－3.故选C．12．(多选)(2021年德州期末)已知实数a，b满足等式a＝b，则下列式子可能成立的是( )A．0<b<a<1B．－1<a<b<0C．1<a<b D．a＝b【答案】ACD 【解析】首先画出y1＝x与y2＝x的图象(如图)，已知a＝b＝m，作直线y＝m.若m＝0或m＝1，则a＝b；若0<m<1，则0<b<a<1；若m>1，则1<a<b.从图象知，可能成立的是ACD．13．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．【答案】(－∞，0) 【解析】因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α＜0.14．(2021年南昌模拟)已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表：x1f(x)1则不等式f(|x|)≤3的解集是________．【答案】{x|－9≤x≤9} 【解析】由表中数据知＝，∴α＝，∴f(x)＝x，∴|x|≤3，即|x|≤9，故－9≤x≤9.15．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为偶函数．(1)求f的值；(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．解：(1)由m2－5m＋7＝1，得m＝2或m＝3.当m＝2时，f(x)＝x－3是奇函数，所以不满足题意，所以m＝2舍去；当m＝3时，f(x)＝x－4，满足题意，所以f(x)＝x－4，所以f＝＝16.(2)由f(x)＝x－4为偶函数且f(2a＋1)＝f(a)，得|2a＋1|＝|a|，即2a＋1＝a或2a＋1＝－a，解得a＝－1或a＝－.C级——探究创新练16．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a＋1)－＜(3－2a)－时a的取值范围．解：因为函数在(0，＋∞)上递减，所以3m－9＜0，解得m＜3.因为m∈N*，所以m＝1，2.又函数图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1.所以(a＋1)－＜(3－2a)－.又因为y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，所以a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a，解得＜a＜或a＜－1.故a的取值范围是.。
2023版新教材高中数学第三章函数的概念与性质-函数的概念课时作业新人教A版必修第一册
3．1.1 函数的概念必备知识基础练1．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是( )2．已知函数f(x)＝＋，则f(3)＝( )A．1 B．2C．3 D．43．已知函数f(x)＝x，则下列函数与f(x)表示同一函数的是( )A．y＝B．y＝C．y＝()2D．y＝4．函数y＝f(x)与y轴的交点个数为( )A．至少1个 B．至多一个C．有且只有一个 D．与f(x)有关，不能确定5．[2022·广东深圳高一期末]函数f(x)＝的定义域为( )A．[1，2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)C．[1，2) D．[1，＋∞)6．[2022·山东青岛高一期末](多选)下面选项中，变量y是变量x的函数的是( ) A．x表示某一天中的时刻，y表示对应的某地区的气温B．x表示年份，y表示对应的某地区的GDP (国内生产总值)C．x表示某地区的学生某次数学考试成绩，y表示该地区学生对应的考试号D．x表示某人的月收入，y表示对应的个税7．函数f(x)＝的定义域是________．8．已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝________．关键能力综合练1．[2022·安徽歙县高一期末]∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，十八世纪，函数y＝[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则[4.8]－[－3.5]＝( )A．0 B．1 C．7 D．82．学习了函数的概念后，对于构成函数的要素：定义域、对应关系和值域，甲、乙、丙三个同学得出了各自的判断：甲：存在函数f(x)，g(x)，它们的定义域相同，值域相同，但对应关系不同；乙：存在函数f(x)，g(x)，它们的定义域相同，对应关系相同，但值域不同；丙：存在函数f(x)，g(x)，它们的对应关系相同，值域相同，但定义域不同．上述三个判断中，正确的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．03．函数f(x)＝－(x＋3)0的定义域是( )A．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B. (－∞，－3)∪(－3，3)C．(－∞，－3)D．(－∞，3)4．若函数f(x)＝3x－1，则f(f(1))的值为( )A．2 B．4C．5 D．145．已知函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围是( )A．[0，1] B．(0，＋∞)C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)6．(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )A．f(x)＝·与g(x)＝B．f(x)＝ 与g(x)＝xC．f(x)＝与g(x)＝D．f(x)＝与g(x)＝7．[2022·江苏盐城高一期末]函数f(x)＝的定义域为________．8．[2022·辽宁营口高一期末][x]为不超过x的最大整数，若函数f(x)＝[x]，x∈(a，b)，f(x)的值域为{－1，0，1，2}，则b－a的最大值为________．9．求下列函数的定义域：(1)y＝·；(2)y＝.10．已知定义域为R的函数f(x)＝2x2－3和g(x)＝4x，求f(g(－1))，g(f(－1))，f(f(－2))，g(g(－2))的值．核心素养升级练1．已知函数f(x)的定义域为(0，4)，则函数g(x)＝的定义域为( )A．(0，16) B．(－1，2)C．(－1，0)∪(0，2) D．(－2，0)∪(0，2)2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{0，1}的“同族函数”共有________个．3．已知函数f(x)＝.(1)求f(2)＋f()，f(3)＋f()的值；(2)求证：f(x)＋f()是定值；(3)求f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＋f()＋f()＋…＋f()的值．3．1.1 函数的概念必备知识基础练1．答案：C解析：由函数定义：定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的函数值与之对应，不符合函数定义．2．答案：C解析：f(3)＝＋＝3.3．答案：A解析：f(x)＝x的定义域是R，四个选项中，B选项定义域是{x|x≠0}，C选项定义域是{x|x≥0}，不是同一函数，AD选项定义域都是R，D选项对应法则是y＝|x|，不是同一函数，A选项化简后为y＝x，是同一函数．4．答案：B解析：由函数定义可知，定义域包含x＝0时，则与y轴有1个交点，当定义域不包含x＝0时，则与y轴无交点，所以函数y＝f(x)与y轴的交点个数最多为1个．5．答案：A解析：函数f(x)＝有意义，则有，解得x≥1且x≠2，所以原函数的定义域是[1，2)∪(2，＋∞).6．答案：ABD解析：ABD均满足函数的定义，C选项，同一个分数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x，都有唯一的y与其对应，故C选项错误．7．答案：(－2，＋∞)解析：x＋2>0，x>－2，所以f(x)的定义域为(－2，＋∞).8．答案：16解析：因为f(x)＝－1，f(a)＝3，所以－1＝3，解得：a＝16.关键能力综合练1．答案：D解析：由题意可知[4.8]－[－3.5]＝4－(－4)＝8.2．答案：B解析：甲：f(x)＝x2，g(x)＝|x|，两个函数的定义域和值域相同，但对应关系不同，故甲正确；乙：根据函数相等的定义可知，若两个函数的定义域相同，对应关系相同，值域一定相同，故乙错误；丙：f(x)＝x2，x∈(1，2)，g(x)＝x2，x∈(－2，－1)，两个函数的对应关系相同，值域相同，但定义域不同，故丙正确．3．答案：B解析：由f(x)＝－(x＋3)0，则，解得x<3且x≠－3，所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，3).4．答案：C解析：由f(x)＝3x－1，所以f(1)＝2，所以f(f(1))＝f(2)＝5.5．答案：D解析：由题意，函数f(x)＝有意义，则满足ax2＋1≥0，因为函数f(x)的定义域为R，即不等式ax2＋1≥0在R上恒成立，当a＝0时，1≥0恒成立，符合题意；当a>0时，ax2＋1≥0恒成立，符合题意．当a<0时，不符合题意，综上可得，实数a的取值范围是[0，＋∞).6．答案：CD解析：A选项，f(x)的定义域为{x|x≥1}，g(x)的定义域为{x|x≤－1或x≥1}，不是同一个函数．B选项，f(x)＝，x≤0，f(x)＝＝－x≠g(x)，不是同一个函数．C选项，f(x)＝＝＝g(x)，是同一个函数．D选项，f(x)＝＝1(x>0)，g(x)＝＝1(x>0)，是同一个函数．7．答案：[1，5]解析：由－x2＋6x－5≥0，得x2－6x＋5≤0，(x－1)(x－5)≤0，解得1≤x≤5，所以函数的定义域为[1，5].8．答案：4解析：因为函数f(x)＝[x]，x∈(a，b)，f(x)的值域为{－1，0，1，2}，所以b最大取到3，a最小取到－1，所以b－a的最大值为3－(－1)＝4.9．解析：(1)依题意⇒2≤x≤3，所以函数的定义域为[2，3].(2)依题意，解得－2≤x<2且x≠－.所以函数的定义域为[－2，－)∪(－，2).10．解析：由已知g(－1)＝4×(－1)＝－4，f(－1)＝2×(－1)2－3＝－1，同理g(－2)＝－8，f(－2)＝5，所以f(g(－1))＝f(－4)＝29，g(f(－1))＝g(－1)＝－4，f(f(－2))＝f(5)＝47，g(g(－2))＝g(－8)＝－32.核心素养升级练1．答案：C解析：因为f(x)的定义域为(0，4)，所以0<x2<4，解得－2<x<0或0<x<2.又因为x＋1>0，解得x>－1，所以g(x)的定义域为(－1，0)∪(0，2).2．答案：3解析：已知函数解析式为f(x)＝x2，值域为{0，1}的“同族函数”的定义域可以为：{0，1}，{0，－1}，{0，－1，1}，所以“同族函数”共有3个．3．解析：(1)f(x)＝，f(2)＋f()＝＋＝1，f(3)＋f()＝＋＝1.(2)f(x)＋f()＝＋＝＋＝1.(3)f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＋f()＋f()＋…＋f()＝[f(2)＋f()]＋[f(3)＋f()]＋…＋[f(2 022)＋f()]＝2 021×1＝2 021.。
第三章-3.3-幂函数高中数学必修第一册人教A版
<<
3
或
2
< −1.
故实数的取值范围为 −∞, −1 ∪
2 3
,
3 2
.
题型4 幂函数的奇偶性
例15 (2024·江苏省镇江市期末)幂函数 满足下列性质：（1）对定义域中任意的,
有 = − ；（2）对 0, +∞ 中任意的1 ，2 1 ≠ 2 ，都有
(2 − 1 )[ 2 − 1 ] < 0，请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式
例11 比较下列各题中两个数的大小：
3
4
3
4
（1）2.3 ，2.4 ；
3
4
【解析】∵ = 为[0, +∞)上的增函数，且2.3 < 2.4，
3
4
3
4
∴ 2.3 < 2.4 .
（2）
2
3
2
−
，
3
−2
3
3
2
−
；
【解析】∵ = 为 0, +∞ 上的减函数，且 2 < 3，
3
∴
2
−2
3
>
3
= − （答案不唯一）
__________________________．
【解析】由题意知幂函数 满足性质：对定义域中任意的,有 = − ，则
为偶函数， 又函数 满足对 0, +∞ 中任意的1 ，2 1 ≠ 2 ，
都有 2 − 1 [ 2 − 1 ] < 0，
D.1 ，4 ，2 ，3
)
图3.3-5
【解析】由于在第一象限内直线 = 1的右侧，幂函数 = 的图
高中数学的概念与性质3-1函数的概念及其表示3-1-2函数的表示法课时作业新人教A版必修第一册
3．1.2 函数的表示法必备知识基础练1．函数y ＝x －1(x ≥0)的图象是( ) A ．一条射线 B ．一条线段 C ．两条射线 D ．一条直线2．已知函数f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ，其中A (1，3)，B (2，1)，C (3，2)，则f (g (2))＝( )A ．3B ．2C ．1D ．03．已知f (x )是反比例函数，且f (－3)＝－1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝－3x B. f (x )＝3xC ．f (x )＝3xD ．f (x )＝－3x4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，1x，x >1，则f (f (－1))＝( )A ．2B ．12C ．1D ．－15．已知函数f (x )和g (x )的定义域为{2，3，4，5}，其对应关系如下表，则g (f (x ))的值域为( )A.{2，3} B ．{2，C ．{3，4} D ．{2，3，4}6．(多选)下列给出的式子是分段函数的是( )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤52x ，x <1B ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R x 2，x ≥2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5x 2，x ≤1D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0x －1，x ≥57．已知二次函数f (x )的图象经过点(－3，2)，顶点是(－2，3)，则函数f (x )的解析式为________．8．[2022·广东梅州高一期末]已知f (2x －1)＝x 2－2x ，则f (0)＝________．关键能力综合练1．某学生离家去上学，一开始岀发，心情轻松，缓慢行进，后来发现时间比较紧，为了赶时间开始加速，走完余下的路程．下列图形中，纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0－2x ，x >0，若f (x )＝5，则x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－523．函数y ＝x ＋|x |x的图象是( )4．已知函数f (x ＋1)＝x 2－2x ＋3，则函数y ＝f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－6x ＋4 B ．f (x )＝x 2－4x ＋6 C ．f (x )＝x 2－4x －4 D ．f (x )＝x 2－6x ＋115．已知函数f (x )是一次函数，且f [f (x )－4x ]＝5恒成立，则f (2)＝( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．96．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5，x ≤0，x ＋1x ，x >0，若f (f (a ))＝2，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－43C ．－1D ．17．[2022·广东深圳高一期末]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <3f （x －2），x ≥3，则f (f (5))＝________．8．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (－x )＝2x ＋3，则f (x )＝________．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －1，x ≥01x，x <0且f (2)＝0.(1)求f (f (1))；(2)若f (m )＝－m ，求实数m 的值．10．求下列函数的解析式．(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )； (2)若函数f (x ＋1)＝x －1，求f (x ).核心素养升级练1．(多选)具有性质f (1x)＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数，其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝x ＋1xC ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <10，x ＝1－1x ，x >1D ．f (x )＝x 2－1x2．对于任意的实数x 1、x 2，min{x 1，x 2}表示x 1、x 2中较小的那个数．若函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝x ，记h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则h (x )的解析式为________________．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x >02，x ＝01－2x ，x <0(1)画出函数f (x )的图象；(2)求f (f (3))，f (a 2＋1)(a ∈R )的值；(3)当f (x )≥2时，求x 的取值范围．3．1.2 函数的表示法必备知识基础练1．答案：A解析：函数y ＝x －1为一次函数，图象为直线，但是当x ≥0时，所得到的图象为一条射线．2．答案：B解析：观察函数y ＝g (x )的图象得：g (2)＝1，由表格知：f (1)＝2，所以f (g (2))＝2. 3．答案：B解析：设f (x )＝k x(k ≠0)， ∵f (－3)＝k－3＝－1，∴k ＝3， ∴f (x )＝3x.4．答案：B解析：根据题意，因为f (－1)＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝12.5．答案：B解析：g (f (2))＝g (4)＝2，g (f (3))＝g (2)＝4，g (f (4))＝g (5)＝4，g (f (5))＝g (2)＝4，所以所求值域是{2，4}．6．答案：AD解析：对于A ：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤52x ，x <1，定义域为[1，5]∪(－∞，1)＝(－∞，5]，且[1，5]∩(－∞，1)＝∅，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故A 正确；对于B ：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈Rx 2，x ≥2，定义域为R ∪[2，＋∞)＝R ，但R ∩[2，＋∞)＝[2，＋∞)≠∅不满足函数的定义，如当x ＝2时，f (2)＝3和4，故不是函数，故B 错误；对于C ：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5x 2，x ≤1，定义域为[1，5]∪(－∞，1]＝(－∞，5]，且[1，5]∩(－∞，1)＝{1}，且f (1)＝5和1，故不是函数，故C 错误；对于D ：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0x －1，x ≥5，定义域为(－∞，0)∪[5，＋∞)，且(－∞，0)∩[5，＋∞)＝∅，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故D 正确．7．答案：f (x )＝－x 2－4x －1解析：根据顶点为(－2，3)，设f (x )＝a (x ＋2)2＋3(a ≠0)， 由f (x )过点(－3，2)，得2＝a ×1＋3， 解得a ＝－1，所以f (x )＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1. 8．答案：－34解析：令x ＝12，则2x －1＝0，所以f (0)＝f (2×12－1)＝(12)2－2×12＝－34.关键能力综合练1．答案：C解析：由题意知：一开始岀发，心情轻松，缓慢行进，所以开始曲线比较平缓，后来发现时间比较紧，为了赶时间开始加速，所以曲线变得越来越陡峭，又因为纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，所以开始距离最大，最后距离为0，故选C.2．答案：A解析：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋1＝5，解得：x ＝－2或x ＝2(舍)，∴x ＝－2； 当x >0时，f (x )＝－2x ＝5，解得：x ＝－52(舍)；综上所述：x 的值是－2. 3．答案：C解析：对于y ＝x ＋|x |x，当x >0时，y ＝x ＋1；当x <0时，y ＝x －1.即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0x －1，x <0，故其图象应为C.4．答案：B解析：因为f (x ＋1)＝x 2－2x ＋3， 令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，则f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＋3＝t 2－4t ＋6，所以f (x )＝x 2－4x ＋6. 5．答案：D解析：因为函数f (x )是一次函数，且f [f (x )－4x ]＝5恒成立， 令f (x )－4x ＝t ，则f (x )＝4x ＋t ， 所以f (t )＝4t ＋t ＝5，解得t ＝1， 所以f (x )＝4x ＋1，f (2)＝2×4＋1＝9. 6．答案：AB解析：令f (a )＝t ，故f (t )＝2，进而得t ＝－1或t ＝1， 所以f (a )＝－1或f (a )＝1， 由于x >0时，f (x )≥2，所以3a ＋5＝－1或3a ＋5＝1，解得a ＝－2或a ＝－43.7．答案：1解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <3f （x －2），x ≥3，所以f (5)＝f (3)＝f (1)＝12＝1， 所以f (f (5))＝f (1)＝12＝1. 8．答案：－2x ＋1解析：因为f (x )＋2f (－x )＝2x ＋3，① 所以f (－x )＋2f (x )＝2·(－x )＋3，② ②×2－①得，f (x )＝－2x ＋1.9．解析：(1)∵f (2)＝2a －1＝0得a ＝12，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x ≥01x ，x <0，∴f (1)＝－12，∴f (f (1))＝f (－12)＝－2.(2)当m ≥0时，由f (m )＝－m 得12m －1＝－m 解得m ＝23；当m ＜0时，由f (m )＝－m 得1m＝－m ，无实数解，综上所述，m ＝23.10．解析：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b ，(a ≠0)， 则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ，f (x －1)＝a (x －1)＋b ， 所以3f (x ＋1)－2f (x －1)＝ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝7， 所以f (x )＝2x ＋7.(2)由函数f (x ＋1)＝x －1， 令x ＋1＝t ≥0，则x ＝t 2－1， 所以f (t )＝t 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ∈[0，＋∞).核心素养升级练1．答案：AC解析：对于选项A ，f (1x )＝1x －x ，－f (x )＝1x－x ，故满足“倒负”变换；对于选项B ，f (1x )＝1x ＋x ，－f (x )＝－1x－x ，故不满足“倒负”变换；对于选项C ，当0＜x ＜1时，f (1x)＝－x ，－f (x )＝－x ，当x ＝1时，f (1)＝0，成立，当x ＞1时，f (1x )＝1x ，－f (x )＝1x，故满足“倒负”变换；对于选项D ，f (1x )＝1－x 3x 2，－f (x )＝1－x3x，故不满足“倒负”变换．2．答案：h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤－2或x ≥1x ，－2<x <1解析：当f (x )≤g (x )时，即2－x 2≤x ，即x 2＋x －2≥0，解得x ≤－2或x ≥1， 此时，h (x )＝min{f (x )，g (x )}＝f (x )＝2－x 2； 当f (x )>g (x )时，即2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0， 解得－2<x <1.此时，h (x )＝min{f (x )，g (x )}＝g (x )＝x .综上所述，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤－2或x ≥1x ，－2<x <1.3．解析：(1)函数f (x )的图象如图所示：(2)f (f (3))＝f (3－32)＝f (－6)＝1－2×(－6)＝13，f (a 2＋1)＝3－(a 2＋1)2＝－a 4－2a 2＋2；(3)当x >0时，f (x )≥2⇒3－x 2≥2⇒－1≤x ≤1，∴0<x ≤1； 当x ＝0时，f (x )＝2，符合题意； 当x <0时，f (x )≥2⇒1－2x ≥2⇒x ≤－12，综上所述：x 的取值范围为：(－∞，－12]∪[0，1].。
高中数学第三章函数概念与性质3.1.1函数的概念教师用书新人教A版必修第一册
3．1.1 函数的概念考点学习目标核心素养函数的概念理解函数的概念，了解构成函数的三要素数学抽象求函数的定义域会求一些简单函数的定义域，并会用区间表示数学运算同一个函数掌握同一个函数，并会判断数学抽象求函数值和值域会求简单函数的函数值和值域，并会用区间表示值域数学运算问题导学预习教材P60－P66，并思考以下问题：1．函数的定义是什么？2．函数的自变量、定义域是如何定义的？3．函数的值域是如何定义的？4．区间的概念是什么？如何用区间表示数集？1．函数的有关概念■名师点拨对函数概念的3点说明(1)当A，B为非空数集时，符号f：A→B表示从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．2．区间的概念及表示(1)区间定义及表示设a，b是两个实数，而且a<b.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b} 闭区间[a，b]{x|a<x<b} 开区间(a，b){x|a≤x<b} 半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b} 半开半闭区间(a，b](2)无穷概念及无穷区间表示定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a} 符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a) ■名师点拨关于无穷大的2点说明(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．( )(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y.( )(4)区间可以表示任何集合．( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×已知函数g(x)＝2x2－1，则g(1)＝( )A．－1 B．0C．1 D．2解析：选C.因为g(x)＝2x2－1，所以g(1)＝2－1＝1.函数f(x)＝14－x的定义域是( )A．(－∞，4) B．(－∞，4]C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)解析：选A.由4－x>0，解得x<4，所以此函数的定义域为(－∞，4)．已知全集U＝R，A＝{x|1<x≤3}，则∁U A用区间表示为________．解析：∁U A＝{x|x≤1或x>3}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪(3，＋∞)下图中能表示函数关系的是________．解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数． 答案：①②④函数的概念(1)如图可作为函数y ＝f (x )的图象的是( )(2)下列三个说法：①若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素； ②若f (x )＝5(x ∈R )，则f (π)＝5一定成立； ③函数就是两个集合之间的对应关系． 其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(3)已知集合A ＝[0，8]，集合B ＝[0，4]，则下列对应关系中，不能看作是从A 到B 的函数关系的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x【解析】 (1)观察图象可知，A ，B ，C 中任取一个x 的值，y 有可能有多个值与之对应，所以不是函数图象．D 中图象是函数图象．(2)①错误．若函数的值域只含有一个元素，则定义域不一定只含有一个元素； ②正确．因为f (x )＝5，这个数值不随x 的变化而变化，所以f (π)＝5； ③错误．函数就是两个非空数集之间的对应关系．(3)对于A 中的任意一个元素，在对应关系f ：x →y ＝18x ；f ：x →y ＝14x ；f ：x →y ＝12x 下，在B 中都有唯一的元素与之对应，故能构成函数关系．对于A 中的元素8，在对应关系f ：x →y＝x 下，在B 中没有元素与之对应，故不能构成函数关系．【答案】 (1)D (2)B (3)D(1)判断所给对应关系是否为函数的方法 ①先观察两个数集A ，B 是否非空；②验证对应关系下，集合A 中x 的任意性，集合B 中y 的唯一性． (2)根据图形判断对应关系是否为函数的步骤 ①任取一条垂直于x 轴的直线l ； ②在定义域内平行移动直线l ；③若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．1．下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )解析：选C.由函数的定义知选C.2．下列对应关系是集合P 上的函数的是________．①P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应； ②P ＝{－1，1，－2，2}，Q ＝{1，4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；③P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对P 中的三角形求面积与集合Q 中的元素对应．解析：②显然正确，由于①中的集合P 中的元素0在集合Q 中没有对应元素，并且③中的集合P 不是数集，从而①③不正确．答案：②求函数的定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝（x ＋1）2x ＋1－1－x ；(2)y ＝3－x |x |－5.【解】 (1)要使函数式有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1，且x ≠－1，即函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．(2)要使函数式有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，|x |－5≠0，解得x ≤3，且x ≠－5，即函数的定义域为{x |x ≤3，且x ≠－5}．(1)求函数定义域的常用方法①若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； ②若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；③若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合； ④若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集； ⑤若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．(2)第(1)题易出现化简y ＝x ＋1－1－x ，错求定义域为{x |x ≤1}，在求函数定义域时，不能盲目对函数式变形．求下列函数的定义域．(1)f (x )＝x －1·4－x ＋2； (2)y ＝（x ＋1）|x |－x ；(3)f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. 解：(1)要使此函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，4－x ≥0，解得1≤x ≤4，所以此函数的定义域是{x |1≤x ≤4}． (2)因为00无意义，所以x ＋1≠0， 即x ≠－1.①作为分母不能为0，二次根式的被开方数不能为负， 所以|x |－x >0，即x <0.②由①②可得函数y ＝（x ＋1）|x |－x 的定义域是{x |x <0且x ≠－1}．(3)要使此函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋2≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－3，x ≠－2⇒x ≥－3且x ≠－2.所以f (x )的定义域为{x |x ≥－3且x ≠－2}．同一个函数(1)给出下列三个说法：①f (x )＝x 0与g (x )＝1是同一个函数；②y ＝f (x )，x ∈R 与y ＝f (x ＋1)，x ∈R 可能是同一个函数；③y ＝f (x )，x ∈R 与y ＝f (t )，t ∈R 是同一个函数．其中正确说法的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)下列各组函数：①f (x )＝x 2－xx，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x； ③f (x )＝x ＋1·1－x ，g (x )＝1－x 2； ④f (x )＝（x ＋3）2，g (x )＝x ＋3.其中表示同一个函数的是________(填上所有同一个函数的序号)．【解析】 (1)①错误．函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}，函数g (x )＝1的定义域是R ，不是同一个函数；②正确．y ＝f (x )，x ∈R 与y ＝f (x ＋1)，x ∈R 两函数定义域相同，对应关系可能相同，所以可能是同一个函数；③正确．两个函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一个函数．所以正确的个数有2个．(2)①定义域不同，f (x )的定义域为{x |x ≠0}，g (x )的定义域为R .不相等． ②对应关系不同，f (x )＝1x，g (x )＝x .不是同一个函数．③定义域、对应关系都相同．同一个函数．④对应关系不同，f (x )＝|x ＋3|，g (x )＝x ＋3.不是同一个函数． 【答案】 (1)B (2)③判断两个函数为同一个函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．(2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．(3)在化简解析式时，必须是等价变形．下列各组函数表示同一个函数的是( )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0与g (x )＝|x |B ．f (x )＝1与g (x )＝(x ＋1)0C ．f (x )＝x 2与g (x )＝(x )2D ．f (x )＝x ＋1与g (x )＝x 2－1x －1解析：选A.A 项中两函数的定义域和对应关系相同，为同一个函数；B 项中，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)；C 项中f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为[0，＋∞)；D 项中，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．B ，C ，D 三项中两个函数的定义域都不相同，所以不是相等函数．故选A.求函数值和值域已知f (x )＝12－x (x ∈R ，x ≠2)，g (x )＝x ＋4(x ∈R )．(1)求f (1)，g (1)的值； (2)求f (g (x ))．【解】 (1)f (1)＝12－1＝1，g (1)＝1＋4＝5.(2)f (g (x ))＝f (x ＋4)＝12－（x ＋4）＝1－2－x ＝－1x ＋2(x ∈R ，且x ≠－2)．1．(变设问)在本例条件下，求g (f (1))的值及f (2x ＋1)的表达式． 解：g (f (1))＝g (1)＝1＋4＝5.f (2x ＋1)＝12－（2x ＋1）＝－12x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，且x ≠12. 2．(变条件)若将本例g (x )的定义域改为{0，1，2，3}，求g (x )的值域．解：因为g (x )＝x ＋4，x ∈{0，1，2，3}，所以g (0)＝4，g (1)＝5，g (2)＝6，g (3)＝7.所以g (x )的值域为{4，5，6，7}．(1)求函数值的方法①先要确定出函数的对应关系f 的具体含义；②然后将变量取值代入解析式计算，对于f (g (x ))型函数的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f (g (x ))与g (f (x ))的区别．(2)求函数值域的常用方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．1．已知函数f (x )＝x －1，且f (a )＝3，则a ＝________． 解析：因为f (x )＝x －1， 所以f (a )＝a －1. 又因为f (a )＝3， 所以a －1＝3，a ＝16. 答案：162．求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1，5)； (3)y ＝3x －1x ＋1；(4)y ＝x ＋x .解：(1)因为x ∈R ，所以2x ＋1∈R ， 即函数的值域为R .(2)配方：y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2，因为x ∈[1，5)，如图所示．所以所求函数的值域为[2，11)． (3)借助反比例函数的特征求．y ＝3（x ＋1）－4x ＋1＝3－4x ＋1(x ≠－1)， 显然4x ＋1可取0以外的一切实数， 即所求函数的值域为{y |y ≠3}． (4)设u ＝x (x ≥0)，则x ＝u 2(u ≥0)，y ＝u 2＋u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u ＋122－14(u ≥0)．由u ≥0，可知⎝ ⎛⎭⎪⎫u ＋122≥14，所以y ≥0.所以函数y ＝x ＋x 的值域为[0，＋∞)．1．若f (x )＝x ＋1，则f (3)＝( ) A ．2 B ．4 C ．2 2D ．10解析：选A.因为f (x )＝x ＋1，所以f (3)＝3＋1＝2. 2．对于函数f ：A →B ，若a ∈A ，则下列说法错误的是( ) A ．f (a )∈BB ．f (a )有且只有一个C ．若f (a )＝f (b )，则a ＝bD ．若a ＝b ，则f (a )＝f (b )解析：选C.根据函数的定义可知，A ，B ，D 正确；C 错误． 3．若[0，3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析：根据区间表示数集的方法原则可知，3a －1>0，解得a >13，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞4．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝________； (2){x |2＜x ≤4}＝________； (3){x |x ＞－1且x ≠2}＝________．答案：(1)[1，＋∞) (2)(2，4] (3)(－1，2)∪(2，＋∞) 5．已知函数f (x )＝6x －1－x ＋4.(1)求函数f (x )的定义域(用区间表示)； (2)求f (－1)，f (12)的值．解：(1)根据题意知x －1≠0且x ＋4≥0，所以x ≥－4且x ≠1， 即函数f (x )的定义域为[－4，1)∪(1，＋∞)． (2)f (－1)＝6－2－－1＋4＝－3－ 3.f (12)＝612－1－12＋4＝611－4＝－3811.[A 基础达标]1．下列对应关系是从集合M 到集合N 的函数的是( ) A ．M ＝R ，N ＝{x ∈R |x >0}，f ：x →|x | B ．M ＝N ，N ＝N *，f ：x →|x －1| C ．M ＝{x ∈R |x >0}，N ＝R ，f ：x →x 2D ．M ＝R ，N ＝{x ∈R |x ≥0}，f ：x →x解析：选C.对于A ，集合M 中x ＝0时，|x |＝0，但集合N 中没有0；对于B ，集合M 中x ＝1时，|x －1|＝0，但集合N 中没有0；对于D ，集合M 中x 为负数时，集合N 中没有元素与之对应；分析知C 中对应是集合M 到集合N 的函数．2．下列四个图中，不是以x 为自变量的函数的图象是( )解析：选C.根据函数定义，可知对自变量x 的任意一个值，都有唯一确定的实数(函数值)与之对应，显然选项A ，B ，D 满足函数的定义，而选项C 不满足，故选C.3．区间(－3，2]用集合可表示为( ) A ．{－2，－1，0，1，2} B ．{x |－3<x <2} C ．{x |－3<x ≤2}D ．{x |－3≤x ≤2}解析：选C.由区间和集合的关系，可得区间(－3，2]可表示为{x |－3<x ≤2}，故选C.4．已知函数f (x )＝x 21＋|x －1|，则f (－2)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.由题意知f (－2)＝（－2）21＋|－2－1|＝44＝1.故选C.5．若函数y ＝x 2－3x 的定义域为{－1，0，2，3}，则其值域为( )A ．{－2，0，4}B ．{－2，0，2，4}C ．{y |y ≤－94}D ．{y |0≤y ≤3} 解析：选A.依题意，当x ＝－1时，y ＝4；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝－2；当x ＝3时，y ＝0，所以函数y ＝x 2－3x 的值域为{－2，0，4}．6．将函数y ＝31－1－x 的定义域用区间表示为________． 解析：由⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0解得x ≤1且x ≠0， 用区间表示为(－∞，0)∪(0，1]．答案：(－∞，0)∪(0，1]7．若f (x )＝5x x 2＋1，且f (a )＝2，且a ＝________． 解析：令5a a 2＋1＝2，即2a 2－5a ＋2＝0，解得a ＝12或a ＝2，故a 的值为12或2. 答案：12或2 8．如果函数f ：A →B ，其中A ＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，对于任意a ∈A ，在B 中都有唯一确定的|a |和它对应，则函数的值域为________．解析：由题意知，对a ∈A ，|a |∈B ，故函数值域为{1，2，3，4}．答案：{1，2，3，4}9．已知f (x )＝1－x 1＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2－1(x ∈R )． (1)求f (2)，g (3)的值；(2)求f (g (3))的值及f (g (x ))．解：(1)因为f (x )＝1－x 1＋x ，所以f (2)＝1－21＋2＝－13. 因为g (x )＝x 2－1，所以g (3)＝32－1＝8.(2)依题意，知f (g (3))＝f (8)＝1－81＋8＝－79， f (g (x ))＝1－g （x ）1＋g （x ）＝1－（x 2－1）1＋（x 2－1）＝2－x 2x2(x ≠0)． 10．已知函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1的定义域为R ，求实数k 的值． 解：函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1的定义域即使k 2x 2＋3kx ＋1≠0的实数x 的集合．由函数的定义域为R ，得方程k 2x 2＋3kx ＋1＝0无解．当k ＝0时，函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1＝1，函数定义域为R ， 因此k ＝0符合题意；当k ≠0时，k 2x 2＋3kx ＋1＝0无解，即Δ＝9k 2－4k 2＝5k 2<0，不等式不成立．所以实数k 的值为0.[B 能力提升]11．已知f (x )满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，那么f (72)等于( )A ．p ＋qB ．3p ＋2qC ．2p ＋3qD ．p 3＋q 2 解析：选B.因为f (ab )＝f (a )＋f (b )，所以f (9)＝f (3)＋f (3)＝2q ， f (8)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3p ，所以f (72)＝f (8×9)＝f (8)＋f (9)＝3p ＋2q .12．若函数f (x )的定义域为[－2，1]，则g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，－2≤－x ≤1，即－1≤x ≤1. 故g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为[－1，1]．答案：[－1，1]13．求下列函数的值域．(1)y ＝x －1(x ≥4)；(2)y ＝2x ＋1，x ∈{1，2，3，4，5}；(3)y ＝x ＋2x －1；(4)y ＝x 2－2x －3(x ∈[－1，2])．解：(1)因为x ≥4，所以x ≥2，所以x －1≥1，所以y ∈[1，＋∞)．(2)y ＝{3，5，7，9，11}．(3)设u ＝2x －1，则u ≥0，且x ＝1＋u 22， 于是，y ＝1＋u 22＋u ＝12(u ＋1)2≥12， 所以y ＝x ＋2x －1的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (4)y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，因为x ∈[－1，2]，作出其图象(图略)可得值域为[－4，0]．14．已知函数f (x )＝x 2－mx ＋n ，且f (1)＝－1，f (n )＝m ，求f (－1)，f (f (－1))的值及f (f (x ))的表达式．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＋n ＝－1，n 2－mn ＋n ＝m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－1，所以f (x )＝x 2－x －1，故f (－1)＝1，f (f (－1))＝－1，f (f (x ))＝f (x 2－x －1)＝(x 2－x －1)2－(x 2－x －1)－1＝x 4－2x 3－2x 2＋3x ＋1.[C 拓展探究]15．(2019·石家庄检测)已知函数f (x )＝x 21＋x 2. (1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值； (2)由(1)中求得的结果，你发现f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 有什么关系？并证明你的发现． (3)求2f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 017)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f (2 018)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018的值．解：(1)因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1， f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)由(1)可发现f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1.证明如下： f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1，是定值．(3)由(2)知，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1， 因为f (1)＋f (1)＝1，f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1， f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1， … f (2 018)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018＝1， 所以2f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 017)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f (2 018)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018＝2 018.。
部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案重点易错题
(名师选题)部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案重点易错题单选题1、若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是（）A．[−1,1]∪[3,+∞)B．[−3,−1]∪[0,1]C．[−1,0]∪[1,+∞)D．[−1,0]∪[1,3]2、设a为实数，定义在R上的偶函数f(x)满足：①f(x)在[0,+∞)上为增函数；②f(2a)<f(a+1)，则实数a 的取值范围为（）A．(−∞,1)B．(−13,1)C．(−1,13)D．(−∞,−13)∪(1,+∞)3、设函数f(x)=x3−1x3,则f(x)（）A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减4、已知f(x)是一次函数，2f(2)−3f(1)=5，2f(0)−f(−1)=−1，则f(x)=（）A．3x+2B．3x−2C．2x+3D．2x−35、设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则A．f(log314)>f(2−32)>f(2−23)B．f(log314)>f(2−23)>f(2−32)C．f(2−32)>f(2−23)>f(log314)D．f(2−23)>f(2−32)>f(log314)6、已知函数f(1x+1)=2x+3．则f(2)的值为（）A．6B．5C．4D．37、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x+4)，且f(x+1)是奇函数，则（）A．f(x)是偶函数B．f(x)的图象关于直线x=12对称C．f(x)是奇函数D．f(x)的图象关于点(12,0)对称8、下列四个函数在(−∞,0)是增函数的为（）A．f(x)=x2+4B．f(x)=1−2xC．f(x)=−x2−x+1D．f(x)=2−3x多选题9、已知函数f(x)是一次函数，满足f(f(x))=9x+8，则f(x)的解析式可能为（）A．f(x)=3x+2B．f(x)=3x−2C．f(x)=−3x+4D．f(x)=−3x−410、已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，且f(xy)=f(x)+f(y)，当x>1时，f(x)<0，f(2)=−1，则下列说法正确的是（）A．f(1)=0B．函数f(x)在(0,+∞)上是减函数C．f(12022)+f(12021)+⋅⋅⋅+f(13)+f(12)+f(2)+f(3)+⋅⋅⋅+f(2021)+f(2022)=2022D．不等式f(1x)−f(x−3)≥2的解集为[4,+∞)11、已知函数f(x)={−x 2−2x,x≤mx−4,x>m，如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m的取值范围可以是（）A．m<−2B．−2≤m<0C．0≤m<4D．m≥4.填空题12、若函数y=2x+3x+2的值域是____.13、（1）函数y=x45的定义域是________，值域是________；（2）函数y=x−25的定义域是________，值域是________；（3）函数y=x 32的定义域是________，值域是________；（4）函数y=x−34的定义域是________，值域是________．部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案(三)参考答案1、答案：D分析：首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数f(x)在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.因为定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(2)=0，所以f(x)在(0,+∞)上也是单调递减，且f(−2)=0，f(0)=0，所以当x∈(−∞,−2)∪(0,2)时，f(x)>0，当x∈(−2,0)∪(2,+∞)时，f(x)<0，所以由xf(x−1)≥0可得：{x<0−2≤x−1≤0或{x>00≤x−1≤2或x=0解得−1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是[−1,0]∪[1,3]，故选：D.小提示：本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.2、答案：B分析：利用函数的奇偶性及单调性可得|2a|<|a+1|，进而即得.因为f(x)为定义在R上的偶函数，在[0,+∞)上为增函数，由f(2a)<f(a+1)可得f(|2a|)<f(|a+1|)，∴|2a|<|a+1|，解得−13<a<1.故选：B.3、答案：A分析：根据函数的解析式可知函数的定义域为{x|x≠0}，利用定义可得出函数f(x)为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．因为函数f(x)=x3−1x3定义域为{x|x≠0}，其关于原点对称，而f(−x)=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数．又因为函数y =x 3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增， 而y =1x 3=x −3在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递减， 所以函数f(x)=x 3−1x 3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增．故选：A ．小提示：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 4、答案：D分析：设出函数f(x)的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.依题意，设f(x)=kx +b,k ≠0，则有{2(2k +b)−3(k +b)=52b −(−k +b)=−1，解得k =2,b =−3，所以f(x)=2x −3. 故选：D 5、答案：C解析：由已知函数为偶函数，把f (log 314) , f (2−32) , f (2−23)，转化为同一个单调区间上，再比较大小．∵f (x )是R 的偶函数，∴f (log 314)=f (log 34)．∵log 34>log 33=1,1=20>2−23>2−32,∴log 34>2−23>2−32， 又f (x )在(0，+∞)单调递减， ∴f (log 34)<f (2−23)<f (2−32)，∴f (2−32)>f (2−23)>f (log 314)，故选C ．小提示：本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 6、答案：B分析：根据题意，令1x +1=2可得x 的值，将x 的值代入f(1x +1)=2x +3，即可得答案． 解：根据题意，函数f(1x +1)=2x +3，若1x +1=2，解可得x =1， 将x =1代入f (1x +1)=2x +3，可得f (2)=5， 故选：B ．7、答案：C分析：由周期函数的概念易知函数f (x )的周期为2，根据图象平移可得f (x )的图象关于点(1,0)对称，进而可得奇偶性.由f (x +2)=f (x +4)可得2是函数f (x )的周期，因为f (x +1)是奇函数，所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称， 所以f (x )=−f (2−x )，f (x )=−f (−x )，所以f (x )是奇函数， 故选：C. 8、答案：D分析：根据各个函数的性质逐个判断即可对A ，f (x )=x 2+4二次函数开口向上，对称轴为y 轴，在(−∞,0)是减函数，故A 不对． 对B ，f (x )=1−2x 为一次函数，k <0，在(−∞,0)是减函数，故B 不对．对C ，f (x )=−x 2−x +1，二次函数，开口向下，对称轴为x =−12，在(−∞,−12)是增函数，故C 不对．对D ，f (x )=2−3x 为反比例类型，k <0，在(−∞,0)是增函数，故D 对． 故选：D 9、答案：AD分析：设f (x )=kx +b ，代入f(f (x ))=9x +8列方程组求解即可. 设f (x )=kx +b ，由题意可知f(f (x ))=k (kx +b )+b =k 2x +kb +b =9x +8，所以{k 2=9kb +b =8，解得{k =3b =2 或{k =−3b =−4 ， 所以f (x )=3x +2或f (x )=−3x −4. 故选：AD. 10、答案：ABD分析：利用赋值法求得f (1)=0，判断A ；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用f (xy )=f (x )+f (y )，可求得C 中式子的值，判断C ；求出f (14)=f (12)+f (12)=2，将f (1x )−f (x −3)≥2转化为f (1x )+f (1x−3)≥f (14)，即可解不等式组求出其解集，判断D. 对于A ，令x =y =1 ，得f (1)=f (1)+f (1)=2f (1)，所以f (1)=0，故A 正确； 对于B ，令y =1x >0，得f (1)=f (x )+f (1x )=0，所以f (1x )=−f (x )， 任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)−f (x 1)=f (x 2)+f (1x 1)=f (x2x1)，因为x 2x 1>1，所以f (x2x1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)，所以f (x )在(0,+∞)上是减函数，故B 正确；对于C ，f (12022)+f (12021)+⋅⋅⋅+f (13)+f (12)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2021)+f (2022)=f (12022×2022)+f (12021×2021)+⋅⋅⋅+f (13×3)+f (12×2)=f (1)+f (1)+⋅⋅⋅+f (1)+f (1)=0，故C 错误；对于D ，因为f (2)=−1，且f (1x )=−f (x )，所以f (12)=−f (2)=1， 所以f (14)=f (12)+f (12)=2，所以f (1x )−f (x −3)≥2等价于f (1x )+f (1x−3)≥f (14)，又f (x )在(0,+∞)上是减函数，且f (xy )=f (x )+f (y )，所以{1x (x−3)≤141x >01x−3>0 ，解得x ≥4，故D 正确, 故选:ABD ． 11、答案：BD解析：在同一平面直角坐标系中，作出函数y =−x 2−2x,y =x −4的图象，观察函数图象即可得出答案. 在同一平面直角坐标系中，作出函数y =−x 2−2x,y =x −4的图象，如图，由图象可知，当−2≤m<0时，函数f (x)有两个零点−2和4，当m≥4时，函数f(x）有两个零点−2和0. 故选：BD12、答案：(－∞，2)∪(2，+∞)分析：利用分离常数法去求函数y=2x+3x+2的值域即可∵y=2−1x+2，∴y≠2，∴函数的值域是：(－∞，2)∪(2，+∞).所以答案是：(－∞，2)∪(2，+∞)13、答案：R[0,+∞)(−∞,0)∪(0,+∞)(0,+∞)[0,+∞)[0,+∞)(0,+∞)(0,+∞)分析：画出对应幂函数的图像，结合幂函数的图像特征，写出定义域与值域（1）幂函数y=x 45图像如图所示，定义域为R，值域为[0,+∞),（2）幂函数y=x−25图像如图所示，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，值域为(0,+∞),（3）幂函数y=x 32图像如图所示，定义域为[0,+∞)，值域为[0,+∞),（4）幂函数y=x−34图像如图所示，定义域为(0,+∞)，值域为(0,+∞),所以答案是：（1）R;[0,+∞), （2）(−∞,0)∪(0,+∞);(0,+∞), （3）[0,+∞);[0,+∞),（4）(0,+∞);(0,+∞).。
2020_2021学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3.3幂函数同步刷题课件新人教A版必修第一
3.3 幂函数
刷能力
1．[四川蓉城名校联盟2019高一期末]若幂函数的图像过点(2，8)，则它的单调递增区间是( D )
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，＋∞)
解析
∵幂函数y＝xa的图像过点(2，8)，∴2a＝8，解得a＝3，∴y＝x3，它的单调递增区 间是(－∞，＋∞)．故选D.
3.3 幂函数
刷基础
1 3．[山东曲阜一中2019高一月考]函数y＝(m2＋2m－2)x m－1 是幂函数，则m＝( B)
A．1
B．－3
C．－3或1
D．2
解析
由题意，得
m2＋2m－2＝1， m－1≠0，
解得m＝－3.
3.3 幂函数
刷基础
4．[湖北重点中学协作体2019高一期中]已知幂函数f(x)＝kxα的图像过点 则k＋α等于( A )
所以满足不等式f(a－3)＞f(1－a)的实数a的取值范围是(2，＋∞)．
3.3 幂函数
刷基础
17．已知幂函数f(x)＝xm－3(m∈N*)的图像关于 y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递
减．求满足
a
1
m 3
3
2a
m 3
的实数a的取值范围．
解
因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以m－3<0，解得m<3.
是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是( B )
A．①
B. ②
C. ③
D. ④
解析
①f(x)＝x－1只满足值域是{y|y∈R，且y≠0}；③f(x)＝x3只满足在(－∞，0)上
1
是增函数；④f(x)＝x 3 只满足在(－∞，0)上是增函数；②f(x)＝x－2是偶函数， 在(－∞，0)上是增函数，但其值域是{y|y>0}．故选B.
部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案解题方法技巧
(名师选题)部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案解题方法技巧单选题1、下列图形能表示函数图象的是（）A．B．C．D．的图象大致为（）2、函数f(x)=e x−e−xx2A．B．C．D．3、已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(−3)=0，则xf(x−2)>0的解集是（）A．{x|−3<x<3}B．{x|−1<x<0或x>5}C ．{x|0<x <5}D ．{x|x <−5或x >1}4、已知函数f (x )=2x 2−6x +3，x ∈[−1，2]，则函数的值域是（ ）A ．[−32，11）B ．[32，11）C ．[ −1，11]D ．[−32，11] 5、下列函数中，在区间(1,+∞)上为增函数的是（ ）A ．y =−3x +1B ．y =2xC ．y =x 2−4x +5D ．y =|x −1|+26、已知f(x)是一次函数，2f(2)−3f(1)=5，2f (0)−f (−1)=−1，则f(x)=（ ）A ．3x +2B ．3x −2C ．2x +3D ．2x −37、若函数f (x )=2x+m x+1在区间[0,1]上的最大值为52，则实数m =（ ） A ．3B ．52C ．2D ．52或38、设函数f (x )={x −3,x ≥10f(f (x +4)),x <10，则f (9)=（ ） A ．6B ．7C ．9D ．10多选题9、下列给出的式子是分段函数的是（ ）A ．f （x ）＝{x 2+1,1≤x ≤52x,x <1B ．f （x ）＝{x +1,x ∈R x 2,x ≥2C ．f （x ）＝{2x +3,1≤x ≤5x 2,x ≤1D ．f （x ）＝{x 2+3,x <0x −1,x ≥510、已知f(x)是定义在区间[−1，1]上的奇函数，且f （1）=1，若a ，b ∈[−1，1]，a +b ≠0时，有f(a)+f(b)a+b >0．若f(x)≤m 2−5mt −5对所有x ∈[−1，1]，t ∈[−1，1]恒成立，则实数m 的取值范围可能是（ ）A ．(－∞，－6]B ．(－6，6)C ．(－3，5]D ．[6，＋∞)11、下列函数中，满足f (2x )=2f (x )的是（ ）A ．f (x )=|x|B ．f (x )=x-|x|C ．f (x )=x+1D ．f (x )=-x填空题12、已知函数f(x)=2x−3，x∈[−1,2]，实数a，b满足f(a)+f(b−1)=0，则a(b−1)的最大值为______.13、函数f(x)=√4−3x−x2的单调增区间是______．部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案(十一)参考答案1、答案：D分析：根据函数的定义，判断任意垂直于x轴的直线与函数的图象的交点个数，即可得答案.由函数的定义：任意垂直于x轴的直线与函数的图象至多有一个交点，所以A、B显然不符合，C在x=0与函数图象有两个交点，不符合，只有D符合要求.故选：D2、答案：B分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由f(1)=e−e−1>0排除不正确的选项，从而得出答案..详解：∵x≠0,f(−x)=e−x−e xx2=−f(x)∴f(x)为奇函数，排除A,∵f(1)=e−e−1>0，故排除D.∵f′(x)=(e x+e−x)x2−(e x−e−x)2xx4=(x−2)e x+(x+2)e−xx3,，当x>2时，f′(x)>0，所以f(x)在(2，+∞)单调递增，所以排除C；故选：B.3、答案：B分析：根据函数的性质推得其函数值的正负情况，由xf(x−2)>0可得到相应的不等式组，即可求得答案. 因为f(x)是偶函数且在[0,+∞)上单调递增，f(−3)=0，故f(3)=0，所以当x<−3或x>3时，f(x)>0，当−3<x<3时，f(x)<0．所以xf(x−2)>0等价于{x>0x−2>3或x−2<−3或{x<0−3<x−2<3，解得x>5或−1<x<0，所以不等式的解集为{x|−1<x<0或x>5}，故选：B．4、答案：D分析：根据二次函数的对称轴和端点处的值即可求解值域.∵f(x)=2x2−6x+3=2(x−32)2-32,对称轴x=32,当x∈[−1，2],f(x)min=f(32)=−32,又因为f(−1)=11,f(2)=1,∴f(x)max=f(−1)=11,所以函数的值域为[−32，11].故选:D5、答案：D分析：根据一次函数、反比例函数和二次函数单调性直接判断可得结果.对于A ，y =−3x +1为R 上的减函数，A 错误；对于B ，y =2x 在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递减，B 错误； 对于C ，y =x 2−4x +5在(−∞,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，C 错误；对于D ，y =|x −1|+2={x +1,x ≥13−x,x <1，则y =|x −1|+2在(1,+∞)上为增函数，D 正确. 故选：D.6、答案：D分析：设出函数f(x)的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.依题意，设f(x)=kx +b,k ≠0，则有{2(2k +b)−3(k +b)=52b −(−k +b)=−1，解得k =2,b =−3， 所以f(x)=2x −3.故选：D7、答案：B分析：函数f (x )化为f (x )=2+m−2x+1，讨论m =2，m >2和m <2时函数的单调性，运用单调性可得最小值，解方程即可得到所求值．函数f (x )=2x+m x+1，即f (x )=2+m−2x+1，x ∈[0,1]，当m =2时，f (x )=2不成立；当m −2>0，即m >2时，f (x )在[0,1]递减，可得f (0)为最大值，即f (0)=0+m 1=52，解得m =52成立； 当m −2<0，即m <2时，f (x )在[0,1]递增，可得f (1)为最大值，即f (1)=2+m 2=52，解得m =3不成立；综上可得m =52． 故选：B ．8、答案：B分析：根据分段函数的特征，首先把f (9)=f(f (13))，由f(13)=10−3=10，代入即可求解.f (9)=f(f (9+4))=f(f (13))=f(10)=10−3=7故选：B9、答案：AD分析：根据函数的定义一一判断即可；解：对于A ：f (x )={x 2+1,1≤x ≤52x,x <1，定义域为[1,5]∪(−∞,1)=(−∞,5]，且[1,5]∩(−∞,1)=∅，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故A 正确；对于B ：f (x )={x +1,x ∈R x 2,x ≥2，定义域为R ∪[2,+∞)=R ，但R ∩[2,+∞)=[2,+∞)≠∅不满足函数的定义，如当x =2时，f (2)=3和4，故不是函数，故B 错误；对于C ：f (x )={2x +3,1≤x ≤5x 2,x ≤1，定义域为[1,5]∪(−∞,1]=(−∞,5]，且[1,5]∩(−∞,1)={1}，且f (1)=5和1，故不是函数，故C 错误；对于D ：f (x )={x 2+3,x <0x −1,x ≥5，定义域为(−∞,0)∪[5,+∞)，且(−∞,0)∩[5,+∞)=∅，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故D 正确；故选：AD10、答案：AD分析：先判断f (x )的单调性，求得f (x )的最大值，化简不等式f (x )≤m 2−5mt −5，利用构造函数法，结合一次函数的性质列不等式组，由此求得m 的取值范围.任取−1≤x 1<x 2≤1，f (x 2)−f (x 1)=f (x 2)+f (−x 1)，由于x 2+(−x 1)>0，结合f (x 2)+f (−x 1)x 2+(−x 1)>0可知f (x 2)+f (−x 1)>0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在[−1,1]上递增.所以f (x )max =f (1)=1.由f (x )≤m 2−5mt −5可得m 2−5mt −5≥1，即m 2−5mt −6≥0对任意t ∈[−1,1]恒成立.构造函数g (t )=−5mt +m 2−6，则{g (−1)≥0g (1)≥0， 即{5m +m 2−6≥0−5m +m 2−6≥0，解得m ≤−6或m ≥6. 故选：AD小提示：求解多变量的不等式恒成立问题，可考虑减少变量来进行求解.11、答案：ABD解析：根据题意满足f (2x )=2f (x )，依次验证即可.在A 中，f (2x )=|2x|=2|x|，2f (x )=2|x|，满足f (2x )=2f (x )；在B 中，f (2x )=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f (x )，满足f (2x )=2f (x )；在C 中，f (2x )=2x+1，2f (x )=2(x+1)=2x+2，不满足f (2x )=2f (x )；在D 中，f (2x )=-2x=2(-x )=2f (x )，满足f (2x )=2f (x ).故选：ABD.小提示：本题考查函数的表示法，属于基础题.12、答案：94##214##2.25分析：依题意可得a +b =4，再根据函数的定义域求出a ，b 的取值范围，则a (b −1)=−(a −32)2+94，a ∈[1,2]，根据二次函数的性质计算可得.解：∵函数f (x )=2x −3，x ∈[−1,2]，实数a ，b 满足f (a )+f (b −1)=0，∴2a −3+2(b −1)−3=0，可得a +b =4，a ∈[−1,2]，b ∈[0,3]，又b =4−a ， ∴a ∈[1,2]，则a (b −1)=a (3−a )=−(a −32)2+94，a ∈[1,2]，所以当a =32时，[a (b −1)]max =94，即a =32，b =52时，a (b −1)取得最大值94.所以答案是：9413、答案：[−4,−3]2分析：先求得函数的定义域，结合复合函数单调性同增异减来求得f(x)的单调递增区间. 4−3x−x2≥0,x2+3x−4≤0,(x+4)(x−1)≤0，解得−4≤x≤1，所以f(x)的定义域为[−4,1].，开口向下，y=−x2−3x+4的对称轴为x=−32y=√x在[0,+∞)上递增，].根据复合函数单调性同增异减可知f(x)的单调递增区间是[−4,−32]所以答案是：[−4,−32。
部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案考点题型与解题方法
(名师选题)部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案考点题型与解题方法单选题1、下列函数中，在区间(1,+∞)上为增函数的是（ ） A ．y =−3x +1B ．y =2xC ．y =x 2−4x +5D ．y =|x −1|+22、已知f(x)是一次函数，2f(2)−3f(1)=5，2f (0)−f (−1)=−1，则f(x)=（ ） A ．3x +2B ．3x −2C ．2x +3D ．2x −33、若函数f (x +1x )=x 2+1x 2，且f (m )=4，则实数m 的值为（ ） A ．√6B ．√6或−√6C ．−√6D ．34、已知函数f (1x +1)=2x +3．则f (2)的值为（ ） A ．6B ．5C ．4D ．35、定义在R 上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=0，则不等式x ⋅f(x)>0的解集为（ ） A ．(−∞,−2)∪(2,+∞)B ．(−2,0)∪(0,2) C ．(−2,0)∪(2,+∞)D ．(−∞,−2)∪(0,2)6、已知f (2x +1)=4x 2+3，则f (x )=（ ）． A ．x 2−2x +4B ．x 2+2x C ．x 2−2x −1D ．x 2+2x +37、设函数f (x )的定义域为R ，f (x +1)为奇函数，f (x +2)为偶函数，当x ∈[1,2]时，f(x)=ax 2+b ．若f (0)+f (3)=6，则f (92)=（ ）A ．−94B ．−32C ．74D ．528、已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且x >1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x ∈(0,1]时，f(x)=x 2，则f(−2021)+f(2022)=（ ） A ．−4B ．4C ．−1D ．1 多选题9、已知函数f (x )的定义域是(0,+∞)，且f (xy )=f (x )+f (y )，当x >1时，f (x )<0，f (2)=−1，则下列说法正确的是（ ） A ．f (1)=0B ．函数f (x )在(0,+∞)上是减函数C ．f (12022)+f (12021)+⋅⋅⋅+f (13)+f (12)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2021)+f (2022)=2022 D ．不等式f (1x)−f (x −3)≥2的解集为[4,+∞)10、定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )，当x <0时，f (x )>0，则下列说法正确的是（ ） A ．f (0)=0 B ．f (x )为奇函数C ．f (x )在区间[m,n ]上有最大值f (n )D ．f (x −1)+f (x 2−1)>0的解集为{x |−2<x <1 }11、已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x +1)为奇函数，f(x +2)为偶函数，且对任意的x 1,x 2∈(1,2)，且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，则下列结论正确的是（ ）A ．f(x)是奇函数B ．f(1023)=0C ．f(x)的图像关于(1,0)对称D ．f(−74)>f(198) 填空题12、函数y =√3−x −√2x +4的值域为_______________．13、幂函数y =(m 2−m +1)x m 的图象与y 轴没有交点，则m =___________.部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案(四)参考答案1、答案：D分析：根据一次函数、反比例函数和二次函数单调性直接判断可得结果. 对于A ，y =−3x +1为R 上的减函数，A 错误； 对于B ，y =2x 在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递减，B 错误；对于C ，y =x 2−4x +5在(−∞,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，C 错误；对于D ，y =|x −1|+2={x +1,x ≥13−x,x <1，则y =|x −1|+2在(1,+∞)上为增函数，D 正确.故选：D. 2、答案：D分析：设出函数f(x)的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.依题意，设f(x)=kx +b,k ≠0，则有{2(2k +b)−3(k +b)=52b −(−k +b)=−1，解得k =2,b =−3，所以f(x)=2x −3. 故选：D 3、答案：B分析：令x +1x =t ，配凑可得f (t )=t 2−2，再根据f (m )=4求解即可令x +1x =t （t ≥2或t ≤−2），x 2+1x 2=(x +1x )2−2=t 2−2，∴f (t )=t 2−2，f (m )=m 2−2=4，∴m =±√6. 故选；B 4、答案：B分析：根据题意，令1x+1=2可得x 的值，将x 的值代入f(1x+1)=2x +3，即可得答案．解：根据题意，函数f(1x+1)=2x +3，若1x+1=2，解可得x =1，将x =1代入f (1x +1)=2x +3，可得f (2)=5， 故选：B ． 5、答案：C分析：结合函数的单调性与奇偶性解不等式即可.义在R 上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(2)=0， 所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(−2)=0， x ⋅f(x)>0⇒{x >0f (x )>0 或{x <0f (x )<0，故x >2或−2<x <0， 故选：C 6、答案：A分析：利用配凑法直接得出函数的解析式.因为f (2x +1)=4x 2+3=(2x +1)2−2(2x +1)+4， 所以f (x )=x 2−2x +4． 故选：A 7、答案：D分析：通过f (x +1)是奇函数和f (x +2)是偶函数条件，可以确定出函数解析式f (x )=−2x 2+2，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． [方法一]：因为f (x +1)是奇函数，所以f (−x +1)=−f (x +1)①； 因为f (x +2)是偶函数，所以f (x +2)=f (−x +2)②．令x =1，由①得：f (0)=−f (2)=−(4a +b )，由②得：f (3)=f (1)=a +b ， 因为f (0)+f (3)=6，所以−(4a +b )+a +b =6⇒a =−2，令x =0，由①得：f (1)=−f (1)⇒f (1)=0⇒b =2，所以f (x )=−2x 2+2． 思路一：从定义入手．f (92)=f (52+2)=f (−52+2)=f (−12) f (−12)=f (−32+1)=−f (32+1)=−f (52)−f (52)=−f (12+2)=−f (−12+2)=−f (32)所以f (92)=−f (32)=52． [方法二]：因为f (x +1)是奇函数，所以f (−x +1)=−f (x +1)①； 因为f (x +2)是偶函数，所以f (x +2)=f (−x +2)②．令x =1，由①得：f (0)=−f (2)=−(4a +b )，由②得：f (3)=f (1)=a +b ， 因为f (0)+f (3)=6，所以−(4a +b )+a +b =6⇒a =−2，令x =0，由①得：f (1)=−f (1)⇒f (1)=0⇒b =2，所以f (x )=−2x 2+2． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数f (x )的周期T =4． 所以f (92)=f (12)=−f (32)=52． 故选：D ．小提示：在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 8、答案：C分析：由已知条件可得x >1时f(x +2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)= −f(1)+f(0)求解即可. 因为函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且x >1时，满足f(2−x)=−f(x)， 所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x >1时f(x +2)=f(x)， 因为当x ∈(0,1]时，f(x)=x 2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1， 故选：C 9、答案：ABD分析：利用赋值法求得f (1)=0，判断A ；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用f (xy )=f (x )+f (y )，可求得C 中式子的值，判断C ；求出f (14)=f (12)+f (12)=2，将f (1x )−f (x −3)≥2转化为f (1x )+f (1x−3)≥f (14)，即可解不等式组求出其解集，判断D. 对于A ，令x =y =1 ，得f (1)=f (1)+f (1)=2f (1)，所以f (1)=0，故A 正确； 对于B ，令y =1x >0，得f (1)=f (x )+f (1x )=0，所以f (1x )=−f (x )， 任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)−f (x 1)=f (x 2)+f (1x 1)=f (x2x1)，因为x 2x 1>1，所以f (x2x1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)，所以f (x )在(0,+∞)上是减函数，故B 正确；对于C ，f (12022)+f (12021)+⋅⋅⋅+f (13)+f (12)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2021)+f (2022)=f (12022×2022)+f (12021×2021)+⋅⋅⋅+f (13×3)+f (12×2)=f (1)+f (1)+⋅⋅⋅+f (1)+f (1)=0，故C 错误；对于D ，因为f (2)=−1，且f (1x )=−f (x )，所以f (12)=−f (2)=1， 所以f (14)=f (12)+f (12)=2，所以f (1x )−f (x −3)≥2等价于f (1x )+f (1x−3)≥f (14)，又f (x )在(0,+∞)上是减函数，且f (xy )=f (x )+f (y )，所以{1x (x−3)≤141x >01x−3>0 ，解得x ≥4，故D 正确, 故选:ABD ． 10、答案：ABD分析：令x =y =0可判断A 选项；令y =−x ，可得f (x )+f (−x )=f (0)=0，得到f (−x )=−f (x )可判断B 选项；任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 1−x 2<0，f (x 1−x 2)>0，根据单调性的定义得到函数f (x )在R 上的单调性，可判断C 选项；由f (x −1)+f (x 2−1)>0可得f (x 2−1)>−f (x −1)=f (1−x )，结合函数f (x )在R 上的单调性可判断D 选项.对于A 选项，在f (x +y )=f (x )+f (y )中，令x =y =0，可得f (0)=2f (0)，解得f (0)=0，A 选项正确； 对于B 选项，由于函数f (x )的定义域为R ，在f (x +y )=f (x )+f (y )中，令y =−x ，可得f (x )+f (−x )=f(0)=0，所以f(−x)=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，B选项正确；对于C选项，任取x1，x2∈R，且x1<x2，则x1−x2<0，f(x1−x2)>0，所以f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1−x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在R上为减函数，所以f(x)在区间[m,n]上有最小值f(n)，C选项错误；对于D选项，由f(x−1)+f(x2−1)>0可得f(x2−1)>−f(x−1)=f(1−x)，又函数f(x)在R上为减函数，则x2−1<1−x，整理得x2+x−2<0，解得−2<x<1，D选项正确.故选：ABD．11、答案：BCD分析：根据题设有f(x)=−f(2−x)、f(−x)=f(x+4)，进而可得f(x)=f(x+4)=f(−x)，即可判断f(x)的对称性、奇偶性，再由周期性、奇偶性求f(1023)，最后结合f(x)在(1,2)上的单调性及对称性和周期性判断(2,4)上的单调性，比较函数值大小.由题设，f(−x+1)=−f(x+1)，即f(x)=−f(2−x)，则f(x)关于(1,0)对称，C正确；f(−x+2)=f(x+2)，即f(−x)=f(x+4)，f(x)关于x=2对称，所以f(x)=−f(x+2)=f(x+4)，即f(x)周期为4，且f(x)=f(−x)，即f(x)为偶函数，A错误；则f(1023)=f(4×256−1)=f(−1)=f(1)=0，B正确；又x1,x2∈(1,2)，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，即f(x)在(1,2)上递增，综上，f(x)在(0,1)上递增，则(2,4)上递减，故f(−74)=f(74)>f(198)，D正确.故选：BCD12、答案：[−√10，√5]分析：根据函数的单调性确定最值即可.解：因为{3−x≥02x+4≥0所以−2≤x≤3，所以此函数的定义域为[−2，3]，又因为y=√3−x−√2x+4是减函数，当x=−2时y=√3−x−√2x+4取得最大值√5，当x=3时y=√3−x−√2x+4取得最小值−√10，所以值域为[−√10，√5]所以答案是：[−√10，√5]．13、答案：0分析：根据幂函数的定义求出m，在验证，求解即可根据幂函数的定义得m2−m+1=1，解得m=1或m=0；当m=1时，y=x，图象与y轴有交点，不满足题意；当m=0时，y=x0，图象与y轴没有交点，满足题意；综上，m=0，所以答案是：0。