排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一.mnmnA有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从

1.公式：1.!!121mnnmnnnnAmn…… 2. 规定：0!1

(1)!(1)!,(1)!(1)!nnnnnn (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!nnnnnnnnn； %

(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!nnnnnnnnn



三．组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： CAAnnnmmnmnmnmnmmm11……!!!! 10nC规定：组合数性质：.2 nnnnnmnmnmnmnnmnCCCCCCCC21011……，，

①；②；③；④ 11112111212211rrrrrrrrrrrrrrrrrrnnrrrnnrrnnnCCCCCCCCCCCCCCC注：

若12mm1212m=mm+mnnnCC则或 ? 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

2．解排列、组合题的基本策略（1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。、 3．排列应用题：

（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；

（3）．相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。（4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。（5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。 ( 解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右

到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法；（6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。

（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。（8）．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数； ③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 " ⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。

4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题：均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4．分配问题：》定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。

随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。 5．隔板法：不可分辨的球即相同元素分组问题例1.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）. 解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填 A22·A44＝48. 从而应填48．

例人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法解一：间接法：即65546554720212024504AAAA 《解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.

(1) 甲排在最右端时,有55A种排法； (2) 甲不排在最右端（甲不排在最左端）时，则甲有14A种排法，乙有14A种排法，其他人有44A种排法，共

有14A14A44A种排法，分类相加得共有55A+14A14A44A=504种排法例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法分析一：先在7个位置上任取4个位置排男生，有A47种排法.剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有1种排法，故共有A47·1=840种. 1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有

解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有33394570CCC种,选.C

解析2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有2112545470CCCC台,选C. ； 2．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛（1）如果4人中男生和女生各选2人，有种选法；（2）如果男生中的甲与女生中的

乙必须在内，有种选法；（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有种选法；（4）如果4人中必须既有男生又有女生，有种选法分析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问题.

解：（1）先从男生中选2人，有25C种选法，再从女生中选2人，有24C种选法，所以共有2254CC=60（种）；

（2）除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有2227CC=21（种）；（3）在9人选4人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，得到符合条件的选法数：4497CC=91（种）；直接法，则可分为3类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数131322332171727777CCCCCCCCC=91（种）. （4）在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数444954CCC=120（种）.

} 直接法：分别按照含男生1、2、3人分类，得到符合条件的选法为132231545454CCCCCC=120（种）.

1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( ) A．40 B．50 C．60 D．70

[解析] 先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B. 2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) A．36种 B．48种 C．72种 D．96种 [解析] 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选C. }

3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( ) A．6个 B．9个 C．18个 D．36个 [解析] 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C23＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个． 4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( ) A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人 [解析] 设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2nC18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人． 5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( ) —

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排列组合专题复习及经典例题详解

排列组合专题复习及经典例题详解1.学习目标掌握排列、组合问题的解题策略2.重点（1）特殊元素优先安排的策略：（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题捆绑处理的策略；（6）不相邻问题插空处理的策略．3.难点综合运用解题策略解决问题．4.学习过程:(1)知识梳理m种不完成一件事，有几类办法，在第一类办法中有1．分类计数原理（加法原理）：1mm种不同的方法，类型办法中有种不同的方法……在第n同的方法，在第2类办法中有n2N?m?m?...?m 种不同的方法．那么完成这件事共有n12m种不步有个步骤，做第12．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n1mm种不同的方法；那么完成这步有种不同的方法……，做第同的方法，做第2步有n n2N?m?m?...?m种不同的方法．件事共有n12特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏．3．排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n m?nm?n 时叫做全排列. 时叫做选排列，排列个不同元素中取出m个元素的一个，4．排列数：从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同m P. 个元素的排列数，用符号表示元素中取出m n n!?m）?Nmn（m?)...()(1n?2n?m1)??,n、?(?Pnn5．排列数公式：n(n?m)!1mmm?mPPP??排列数具有的性质：nn1?n特别提醒：规定0!=116．组合：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合.7．组合数：从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n个m C. 个不同元素的组合数，用符号表示不同元素中取出m nm Pn(n?1)(n?2)...(n?m?1)n!mn???C．组合数公式：8nm)!m!(n?m!mP mmn?mmmm?1C?CC?C?C；②组合数的两个性质：①nnnnn?1特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.(2)典型例题考点一:排列问题例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.1P种1个，有【解析】：(1)方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选45P种站法，根据分步乘法计数原理，共个位置上作全排列有站法，然后其余5人在另外5551)种?PP480(有站法：542P种有5个人中选2个人站，方法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5424480?P（种）PP站法，然后中间4人有种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：45465PP2种站法，从总方法三：若对甲没有限制条件共有种站法，甲在两端共有5656)(种?2P?480P数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：565P种人进行全排列有2（）方法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余45252)种?240(PPP共有有种站法，根据分步乘法计数原理，乙进行全排列，站法，再把甲、2524P个空档中选出一个供甲、种站法，再在个人作全排列，有方法二：先把甲、乙以外的45424112)种(?PPPP240P种方法，最后让甲、乙全排列，有乙放入，有种方法，共有25452 2（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人24PP 种站个空档（含两端）中，有种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5站队，有5424480P?（种）P法，故共有站法为546P）知甲、乙相邻有2种站法，由（此外，也可用“间接法”，6个人全排列有652652?720?240?480?240P(?P种PPP).种站法，所以不相邻的站法有226554P乙按条件插入站队，种，4个人作全排列，有然后将甲、（4）方法一：先将甲、乙以外的4242?（种）3PP（3P）?144.有站法种，故共有4222P种，乙之间的两个位置上，有方法二：先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、43P最后对甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有种方法，然后把甲、32322144P（种）PP?P.站法乙进行排列，有种方法，故共有24322P人在中间位置作）方法一：首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有4种，再让其他（5242448?P（种）PP.种，根据分步乘法计数原理，共有站法全排列，有4422P个位种站法，然后考虑中间方法二：首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有4242448?（种）PPP.置，由剩下的4人去站，有站法种站法，由分步乘法计数原理共有44255PP种，甲在左端而且乙在右端（6）方法一：甲在左端的站法有种，乙在右端的站法有556544PPPP. =504的站法有+种，故甲不站左端、乙不站右端共有-2（种）站法56445P个位置之一，种站法，②甲在中间方法二：以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有451141145PPPPPPP. 而乙又不在右端有=504种，故共有+（种）站法5444444组合问题:考点二例2. 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.32（种）CC?120.1【解析】：（）选法为46 3（2）方法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男. 14233241（种）CC?CC?CC?CC?246.由分类计数原理可得总选法数为66664444方法二：因“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，故可用间接法求解.55CC.5人有种种选法，其中全是男运动员的选法有从10人中任选10655246??（种）CC.名女运动员”的选法所以“至少有1610（3）方法一：可分类求解：44CC；“男、女队长都入选”的选；“只有女队长”的选法为“只有男队长”的选法为88334CCC. ；所以共有2法为=196+（种）选法88855CC.种种选法.其中不选队长的方法有方法二：间接法：从10人中任选5人有10855CC.=196名队长”的选法为所以“至少1种-1084C种选法；（4）当有女队长时，其他人任意选，共有944CC种，共有而且其中不含女运动员的选法有种选法，不选女队长时，必选男队长，5844C?C. 种选法所以不选女队长时的选法共有58444191C)?C?(C?.所以既有队长又有女运动员的选法共有种598考点三:综合问题例3.4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？【解析】：（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步1212CCCP?144种；乘法计数原理，共有2443（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也就是说另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.2C）两类：2，2，个球放进个空盒有种方法；42个盒子可分成（31）、（23（）确定42138?PCC第一类有序不均匀分组有种方法；214 422CC224?P?6种方法第二类有序均匀分组有. 22P222CC212232484?CP??P）C（C. 故共有种当堂测试女医生都有，要求其中男、名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，224412P21.从5名男医生、4 ）则不同的组队方案共有（种 D.140 C.100 种 B.80A.70 种种212170?CCCC?种．【解析】：分为2男1女，和1男2女两大类，共有4554合理分类与准确分步的策略．解题策略：年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分20202.别从事司机、导游、翻译、礼仪四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其）（余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 D.36种 C.18种 A.48 种 B.12种人，人入选，先从两人中选1【解析】：合理分类，通过分析分为（1）小张和小赵恰有131124P?CC 种选然后把这个人在前两项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有32222?P种方法，然后在剩）小张和小赵都入选，首先安排这两个人做前两项工作有法．（2232113336PP?PP?6CC?故共有种选法．人做后两项工作，有种方法．余的3人中选2332322特殊元素优先安排的策略．：①.解题策略合理分类与准确分步的策略．②. 排列、组合混合问题先选后排的策略．③.这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位54，21，，3，3.从0，）数的个数为（D.162 C.180 A.48 B.121C种方法，）含有0，分步：①从另外两个偶数中选一个，有1【解析】：分为两大类：（22C百位上选，安排一个位置，只能在个、十、有③种方法；.给0.②从3个奇数中选两个，331PC种排法，根据乘法原理共有个数字进行全排列，有.其他的3有种方法；④3323121C?108CCCP种不2）不含0，分步：①偶数必然是2和4 ；②奇数有种方法．（3233342472?CPP种．根的排法有同的选法，③然后把4个元素全排列，共种排法，不含0 434108+72=180个据加法原理把两部分加一块得名女同学．若从甲、乙两组中各26名男同学，名女同学；乙组有甲组有4.5名男同学，3 ） 142选出名同学，则选出的人中恰有名女同学的不同选法共有（5A.150种B.180种C.300种D.345种【解析】：4人中恰有1名女同学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙112211CCC?CCC?345种选法．组，则所有不同的选法共有265356解题策略：合理分类与准确分步的策略．5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）A.6B.12C.30D.36【解析】：法一：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：⑴．甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有22CC?6种．24⑵．甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的14?C门，门中任选1乙从最后剩余的门中任选课程，有1门，2种选法，②甲从剩余的341111124C??6CCCC种．有种选法，由分步计数原理此时共有22433最后由分类计数原理，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种．故选C．2236?CC种方法，然后再把两个人法二：可以先让甲、乙任意选择两门，有44门中任选两门有4全相同的情况去掉，两个人全相同，可以将甲与乙看成为同一个人，从22226?C30CC??C种不同的选法．种选法，所以至少有一门不相同的选法为4444解题策略：正难则反，等价转化的策略．6.用0 到9 这10 个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324B.328C.360D.6482111CCPC种不同的种不同的排法；第二类个位不是0，共【解析】：第一类个位是0，共89481211CCPC（个）．解法．故共有=328+8498.解题策略：合理分类与准确分步的策略人入选，而丙没有入选的3人担任村长助理，则甲、乙至少有17.从10名大学毕业生中选）不同选法的总数为（D.28B.56 A.85C.492121CCCC种乙有一个被选中，有有甲、：【解析】合理分类，乙全被选中，甲、种选法，72272211CCCC=49种不同的选法．不同的选法，共+72721（解题策略：）合理分类与准确分步的策略2）特殊元素优先安排的策略；（. 68.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（）A.4 B.18 C.24D.302C种不同的分法，然后三组进行【解析】：将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有433PP种不同的排种不同的方法；最后再把甲、乙分到同一个班的情况排除掉，共全排列共33332PPC=30法．所以总的排法为种．-334注意:这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题．解题策略：⑴.正难则反、等价转化的策略⑵.相邻问题捆绑处理的策略⑶.排列、组合混合问题先选后排的策略；解排列组合的应用题要注意以下几点：仔细审题，判断是排列还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步．深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑．对限制条件较复杂的排列组合问题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决．由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用不同的方法求解．看看结果是否相同，在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏和重复．7。

高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(生)

排列组合复习巩固1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n Nm m m L种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n Nm m m L 种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为nm种一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m nAn一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11m n C十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______十三. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法练习题：十四.构造模型策略例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法十六. 分解与合成策略例16. 30030能被多少个不同的偶数整除十七.化归策略例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？十八.数字排序问题查字典策略例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？十九.树图策略例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______二十.复杂分类问题表格策略例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n nA(n 为均分的组数)避免重复计数。

排列组合知识总结+经典题型

(1)知识梳理1．分类计数原理（加法原理）:完成一件事,有几类办法,在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法……在第n类型有m3种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。

2．分步计数原理（乘法原理）:完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法。

特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类"与“类"之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步"有关，要注意“步"与“步"之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏.3．排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 4．排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示.5．排列数公式：特别提醒：（1）规定0！= 1（2)含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,….。

.an其中限重复数为n1、n2……nk，且n =n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于。

例如:已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数.6．组合:从n个不同的元素中任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

7．组合数公式：8．两个公式：①②特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素。

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组"，前者有顺序关系，后者无顺序关系。

（2）典型例题考点一：排列问题例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1）甲不站两端；（2)甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；(4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；(6）甲不站左端，乙不站右端。

排列组合学习知识点学习总结计划典型例题及答案解析

摆列组合知识点总结+典型例题及答案分析一．基来源理1．加法原理：做一件事有n类方法，则达成这件事的方法数等于各种方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n步达成，则达成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或地点同意重复使用，求方法数经常用基来源理求解。

二．摆列：从n个不一样元素中，任取 m（m≤n）个元素，依据必定的次序排成一列，叫做从n个不一样元素中拿出m个元素的一个摆列，所有摆列的个数A n m.1.公式：1.A n m nn1n2⋯⋯nm1n !m !2. 规定：0! 1(1)n! n (n 1)!,(n 1) n! (n 1)! (2) n n! [(n 1) 1] n! (n 1) n! n! (n 1)! n!；(3)n n 11n1111(n1)!(n1)!(n1)!(n1)!n!(n1)!三．组合：从n个不一样元素中任取m（m≤n）个元素并构成一组，叫做从n个不一样的m 元素中任取m个元素的组合数，记作Cn。

1.公式：m A n m nn1⋯⋯nm1n!01 C n mm!m!n定：C nA m m!2.合数性：C n m C n nm，C n m C n m1C n m1，C n0C1n⋯⋯C n n2n①；②；③；④注：C r r C r r1C r r2C n r1C n r C r r11C r r1C r r2C n r1C n rC r r12C r r2C n r1C n r C n r11若C n m1C n m2m1=m2或m1+m2n四．办理摆列组合应用题 1.①明确要达成的是一件什么事（审题）②有序仍是无序③分步仍是分类。

2．解摆列、组合题的基本策略（1）两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从整体考虑，再把不切合条件的所有状况去掉。

这是解决摆列组合应用题时一种常用的解题方法。

（2）分类办理：当问题整体不好解决时，常分红若干类，再由分类计数原理得出结论。

排列组合典型题大全含答案

排列组合典型题大全一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38B、83C、38A D、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。

所以选A1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、（全国II文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共(A)10种(B)20种(C)25种(D)32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有【例1】,,,,A 种【解析】：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

排列组合知识总结+经典题型汇编

排列组合典型例题(带详细答案)

例1用O到9这10个数字•可组成多少个没有重复数字的四位偶数?例2三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法?（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？例3排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法.例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种?例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表•如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择•若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？例7 7名同学排队照相.（1）若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法?（2）若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？（3）若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？（4）若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？例8计算下列各题:(1) A15 ；⑵A6；例9 a,b,c,d,e,f六人排一列纵队，限定a要排在b的前面（a与b可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法.例10八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？例11计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有例12由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（）•例13用1,2,3,4,5 ,这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）•例14用0、1、2、3、4、5共六个数字，组成无重复数字的自然数，（1）可以组成多少个无重复数字的3位偶数？（2）可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数？1、解法1当个位数上排“ O”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有A个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有A4 A A I（个）•「•没有重复数字的四位偶数有Ag + A；.A；'A2 =504 + 1792 =22962、解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有A6种不同排法•对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有A对种不同的排法，因此共有A（6 Aa =4320种不同的排法.（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档.这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻•由于五个男生排成一排有A5种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中3 5 3选出三个来让三个女生插入都有A6种方法，因此共有A A6 = 14400种不同的排法.（3）解法1:（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有As种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有Af种排法，所以共有A A=14400种不同的排法... 8 2 6（4）3个女生和5个男生排成一排有A种排法，从中扣去两端都是女生排法 A A种，就能得到两端不都是女生的排法种数•因此共有A； - A；∙A65 = 36000种不同的排法.3、解：（1）先排歌唱节目有A）种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有A64中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有： A A = 43200.（2）先排舞蹈节目有A：中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=…… 2. 规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

完整版)高考排列组合知识点归纳

完整版)高考排列组合知识点归纳第四讲：排列组合一、分类计数原理与分步计数原理1.分类加法计数原理：对于一件事情，有两种不同的方案，第一类方案有m种不同的方法，第二类方案有n种不同的方法，那么完成这件事情共有m+n种不同的方法。

2.分步乘法计数原理：完成一件事情需要两个步骤，第一步有m种不同的方法，第二步有n种不同的方法，那么完成这件事情共有m×n种不同的方法。

二、排列数1.组合：从n个元素中取出m个元素，记作Cnmn!/m!(n-m)!2.排列：1）全排列：将n个元素全排列，记作Ann!2）从n个元素中取出m个元素，并将这m个元素全排列，记作Anmn!/ (n-m)!三、二项式定理a+b)nC n 0 a n b 0C n 1 a n-1 b 1 C n n abn1.二次项系数之和：Cnr2.展开式的第r项：Tr+1Cnr例题1：(x-1)4的展开式中的常数项是（）A、6.B、4.C、-4.D、-6例题2：在二项式(x-2y) 5的展开式中，含x2y3的项的系数是（）A、-20.B、-3.C、6.D、20 随堂训练：1、在二项式(x21)5的展开式中，含x4的项的系数是（）A、-10.B、10.C、-5.D、52、(1/x-2x25的展开式中的常数项是（）A、5.B、-5.C、10.D、-103、在二项式(x+3y)6的展开式中，含x2y4的项的系数是（）A、45.B、90.C、135.D、2704、已知关于x的二项式(x+3an的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为（）A、1.B、±1.C、2.D、±25、(1-2x)(1-3x)4的展开式中，x2的系数等于？6、(ax21/2x-2)7的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中常数项为？7、(x22)2x的展开式中常数项是70，则n=？若展开式(ax+)(2x+)5中常数项为-40，则a=？四、排列组合题型总结解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题，弄清要做什么事；2.确定采取分步还是分类，或分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类；3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序），元素总数是多少及取出多少个元素；4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。

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