圆的垂径定理
圆中垂径定理
)
解决求赵州桥拱半径的问题 ⌒ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为 ， ⌒ 所在圆的圆心为O， 如图， ＡＢ所在圆的圆心为 如图，用 ＡＢ 表示主桥拱，
A B
半径为R．经过圆心 作弦AB 的垂线 的垂线OC，D为垂足，OC 为垂足， 半径为 ．经过圆心O 作弦 ， 为垂足 相交于点D，根据前面的结论， 的中点， 是 与AB 相交于点 ，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 ⌒ 的中点， 就是拱高． ＡＢ 的中点，CD 就是拱高．
B
R O
练习
如图， 的长为8cm 8cm， 1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB 的距离为3cm 3cm， 的半径． 的距离为3cm，求⊙O的半径1 ∴AE = AB = ×8 = 4 2 2
在Rt △ AOE 中
O
·
AO = OE + AE
24.1垂径定理 24.1垂径定理
赵州桥主桥拱的半径是多少？
你知道赵州桥吗?它是1300 1300多年前我国隋代建造的石 问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶． 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 它的跨度(弧所对的弦的长) 拱高( 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离) 7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
2 2
2 2
2
AO = O + AE = 3 +4 =5cm E
2 2
的半径为5cm. 答：⊙O的半径为 的半径为
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 ．如图， 中 、 为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 两条弦， ⊥ 于 ， ⊥ 于 ， ADOE是正方形． 是正方形． 是正方形 证明： E 证明： O ⊥ AC O ⊥ AB AB ⊥ AC ∵ D
3.3 垂径定理
垂径定理的应用
练习
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
O
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm 。 A E B
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
O
距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。 A E B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
作业：
P76 习题3.3
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
⌒⌒
⌒⌒
弧：ＡＣ＝ＢＣ ，ＡＤ＝ＢＤ
A
C
·O
E B
D
总结： 条件
结论
CD为⊙O的直径 C CD⊥AB
AE=BE ⌒⌒ AC=BC
⌒⌒ AD=BD
.O
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，
A
E
B
并且平分弦所对的两条弧。
D
应用垂径定理的书写步骤
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D
⌒
=BD.
D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三
种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
引申定理
• 定理中的径可以是直径、半径、弦心距等 过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理 的变式：
B D O
C
O A CB
新课讲解
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平 分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真 命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第1节的内容，本节课主要介绍圆中的垂径定理。
垂径定理是指：圆中，如果一条直线垂直于直径，那么这条直线平分这条直径，并且平分直径所对的圆周角。
教材通过生活中的实例引入垂径定理的概念，然后通过证明和应用来巩固这个定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径、半径等。
同时，学生也掌握了平行线和相交线的性质。
但是，学生对于圆中的垂径定理可能比较难以理解和证明，因此需要通过生活中的实例和图形的直观展示，帮助学生理解和掌握这个定理。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握圆中的垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、证明等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.教学难点：垂径定理的证明和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入垂径定理，激发学生的学习兴趣。
2.演示法：通过图形的直观展示，帮助学生理解和证明垂径定理。
3.问题驱动法：通过提出问题和解决问题，引导学生主动探索和学习。
4.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体教学设备、圆规、直尺、黑板等。
2.教学素材：教材、课件、练习题等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的实例，如自行车轮子、时钟等，引导学生观察和思考圆中的垂径定理。
让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示垂径定理的定义和性质，通过图形的直观展示，让学生理解和掌握垂径定理。
同时，引导学生思考如何证明这个定理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论和合作，尝试证明垂径定理。
圆的基本概念和垂径定理
【练】某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为 7.2 米，拱顶高出水面 2.4 米。现有一艘宽 3 米、船舱顶部为方形并高出水面 2 米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？ M C N
A
3
E
D
B F
【作业】 1、一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径 OB=10，截面圆圆心 O 到水面的 距离 OC 是 6，则水面宽 AB 是（ ） A、16 B、10 C、8 D、6 2、如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，若 AB= 6，则⊙O 的半径为（ A、 2 的弦，半径 OC、OD 分别交 AB 于点 E、F，且 AE=BF，请 你找出线段 OE 与 OF 的数量关系，并给予证明．
【练】如图，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OA=20cm，∠AOB=120° ，求△AOB 的面积．
【例 4】如图所示，⊙O 表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，并且 MB:MA＝1:4，求 工件的半径的长。
A
中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD ∴弧 AC 弧 BD
C O A B
C B
D
O E D
【例题解析】 【例 1】 如图所示， P 为弦 AB 上一点， CP⊥OP 交⊙O 于点 C， AB＝8， AP:PB＝1:3，求 PC 的长。 P O B
4
10、 如图， ⊙O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 E， AE=5， BE=1， CD=4 2， 则∠AED=
_________ ．
11、如图，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OA=6cm，∠AOB=120° ，则 AB= _________ cm．
圆及垂径定理
第一讲圆及垂径定理知识点一：圆1、在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫，线段OA叫做。
（圆心决定圆的，半径决定圆的。
）2、圆是到定点的距离等于的点的集合。
知识点二：点和圆的位置关系点在圆内；点在圆上；点在圆外知识点三：弦、弧、同心圆、等圆和等弧1、连接圆上任意两点的线段叫做，经过圆心的弦叫做；（直径是最长的弦）2、圆上任意两点间的部分叫做，大于半圆的弧叫做，小于半圆的弧叫做，直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做。
3、圆心相同，半径不等的两个圆叫做。
4、能够完全重合的两个圆叫做，的两个圆是等圆。
5、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做。
知识点四：圆的对称性圆既是轴对称图形，有条对称轴；也是中心对称图形，对称中心是。
【典型例题】例1．下列结论正确的是（ )A.弦是直径B.弧是半圆C.半圆是弧D.过圆心的线段是直径例2. 一个点到定圆上最近点的距离为3，最远点的距离为8，则此圆的半径是 .例3．如图，AB, CD为⊙O的两条直径，E, F分别为OA, OB的中点，求证：四边形CEDF是平行四边形．例4．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B，且AB=OC，求∠A的度数．A BCDEFO第 1 页共 3 页第 2 页 共 3 页知识点四：垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
弦心距：圆心到弦的距离叫弦心距。
【典型例题】例1. 如图,DE 是⊙O 的直径,弦AB ⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则OC=_____,CD=_____.例2．（2010年河北）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ） A ．点P B ．点Q C ．点RD ．点M 例3．如图，半径为10的⊙O 中，弦AB 的长为16，则这条弦的弦心距为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12例4．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得ODDE = 1213．（1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【课上练习】如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．82.如图，MN 是⊙O 的直径，弦 AB ⊥MN ，垂足为C ，则下列结论中错误的是（ ）A ． ＝B .AN ＝BNC .AC ＝CBD .OC ＝CM3．在直径为10cm 的圆中，圆心到弦AB 的距离为4cm ，则弦AB 的长为 . 4．若AB 是⊙O 的一条弦，AB=8cm ，AB 的弦心距为3cm ，则⊙O 的半径为_____cm..5.⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，点M 在线段AB （包括端点A B ，）上移动，则OM 的取值范围是（ ）Ａ．35OM ≤≤Ｂ．35OM <≤Ｃ．45OM ≤≤Ｄ．45OM <≤6、如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm ，其中有油部分油面宽AB 为24cm ，则截面上有油部分油面高CD （单位：cm ）为 .7、如图，已知在⊙O 中，直径10MN =，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM ，OP 以及⊙O 上，并且45POM = ∠，则AB 的长为OENN第 3 页 共 3 页8、如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB 于E 点， ⑴若AB ＝8，OE ＝3，求⊙O 的半径； ⑵若CD ＝10，DE ＝2，求AB 的长： ⑶若⊙O 的半径为13，AB ＝24，求DE 的长.9.如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm ，∠CEA=30°, 求CD 的长.10．半径为5cm 的⊙O 中，两条平行弦的长度分别为6cm 和8cm .则这两条弦的距离为多少?DD。
圆的性质2----垂径定理
解：连结OA
OC 2 AC 2 OA2
OC AB AC 1 AB 4
2
OC 2 16 25 OC 3
a
A 2C
B
R
d O
弦长a，半径R，弦心距d这三个量中，只要知道其中的两个量 就可以求出第三个量.
变式1.如图，已知 O的半径为5cm,OC AB于点C A OC =4cm,求弦AB的长.
复习回顾
1.圆是怎样形成的？ 2.圆上的点有何特征？
合作交流
1.在一张薄纸上画一个圆和一条直径，沿着 直径将圆对折，你发现了什么？
O
圆是轴对称图形. 2.圆有几条对称轴？有何共同点？
圆有无数条对称轴.
圆的对称轴都经过圆心.
合作探究
1.在一张薄纸上画一个 O和一条直径AB.
A
在直径AB上任取一点E，过E作弦CD AB. C E
D
CO的直径
CD于点E
AC
=
AD
B
BC =BD
连结OC,OD, 则OC=OD C、D关于AB对称
AB CD RtCEO RtDEO
AC AD, BC BD.
CE DE
例1.如图，已知 O的半径为5cm,弦AB 8cm,
OC AB于点C，求OC的长.
R d
弦长a，半径R，弦心距d这三个量中， O 只要知道其中的两个量就可以求出第三个
量.
aB 2
2.证明 证明弧相等，线 段线段 .
D
将 O沿着直径AB对折,观察线段CE
O
与ED，AC与AD, BC与BD之间有何关系？
B
CE=ED，AC=AD, BC=BD. 由垂此直你于能弦提的出直一径个平什分么弦问且题平？分弦所对的两条弧.
圆 垂径定理课件
解决求赵州桥拱半径的问题 ⌒ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O， ⌒ 如图，用 ＡＢ
B A
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC 与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 ⌒ ＡＢ 的中点，CD 就是拱高． 如右图 AB=37.4，CD=7.2， 1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2
AB
A
E
B
1 1 AE AB 8 4 2 2
在Rt △ AOE 中
O
·
AO OE AE
2 2
2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm . 2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 8cm . 3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 2 3cm .
O A E B A
E
O
B
A
E
B
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７.2 m ， 过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘 宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过 拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧．
Ｃ
Ｏ Ａ M Ｂ
垂径定理：
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
推论：
③AM=BM,
可推得
初中圆垂径定理技巧
需要注意的是，应用圆垂径定理时要注意题目中给出的条件和要求，灵活运用相关的几何 定理和性质，合理推理和证明结论。在解题过程中，可以画图、标注角度和线段长度等，以 帮助理解和推导。
初中圆垂径定理技巧
初中圆垂径定理是指在一个圆中，如果一条直径垂直于一条弦，那么这条直径就被称为这 条弦的垂径，且垂径把弦分成两段，其中一段是另一段的两倍。
下面是一些应用初中圆垂径定理的技巧：
1. 判断垂直关系：当给出一个圆和一条弦时，如果题目中明确指出这条直径垂直于这条弦 ，那么可以直接应用圆垂径定理来解题。
2. 利用比例关系：根据圆垂径定理，垂径把弦分成两段，其中一段是另一段的两倍。如果 已知一段弦的长度，可以通过比例关系计算另一段弦的长度。
初中圆垂径定理技巧
3. 解决几何问题：圆垂径定理可以应用于解决一些几何问题，如证明两条线段垂直、证明 四边形是矩形等。在这些问题中，通过应用圆垂径定理可以得到所需的垂直关系或长度比例 关系，从而推导
圆的垂径定理的应用
圆的垂径定理的应用嘿，朋友！想象一下，你正在一个热闹非凡的集市上闲逛。
人群熙熙攘攘，各种声音交织在一起，就像一场热闹的交响乐。
突然，你看到一个卖糖葫芦的小贩，他的摊位前竖着一根圆形的杆子，上面插满了诱人的糖葫芦。
这根杆子引起了你的注意，你发现它的形状是如此的规整，这不正是一个圆嘛！而这里面，可就隐藏着我们今天要说的圆的垂径定理的应用。
话说回来，啥是圆的垂径定理呢？简单来说，就是垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
这听起来有点复杂，对吧？但其实在我们的日常生活中，它的应用可广泛着呢！比如说，建筑工人在建造圆形的拱门时，就得用到这个定理。
他们要确保拱门的形状对称、美观，这时候垂径定理就派上用场啦。
想象一下，如果没有这个定理的指导，那拱门可能就歪歪扭扭，像个喝醉了的大汉，多难看呀！再看看我们身边的车轮，那也是个圆。
制造车轮的时候，工人们就得依靠垂径定理来保证车轮的均匀和平衡。
不然，你骑着一辆轮子歪七扭八的自行车，那不得颠簸得像在坐过山车？还有那美丽的圆形花坛，园丁们在规划和修建的时候，也得遵循这个定理。
不然，这花坛一边大一边小，就像个被压扁的气球，哪还有美感可言？“哎呀，这垂径定理真有这么重要？”你可能会这样问。
那当然啦！你想想，如果没有它，我们生活中的很多圆形的东西都会变得奇奇怪怪，不伦不类。
这就好比做饭没有盐，画画没有笔，那能行吗？就拿我们刚刚看到的糖葫芦杆子来说，小贩在制作这个杆子的时候，肯定也考虑到了垂径定理。
只有杆子的形状规整，糖葫芦才能插得整整齐齐，吸引更多的顾客。
在数学的世界里，圆的垂径定理就像是一把神奇的钥匙，能打开许多难题的大门。
它不仅帮助我们解决数学问题，还在实际生活中发挥着巨大的作用，让我们的世界变得更加有序和美好。
所以，别小看这圆的垂径定理，它可真是我们生活中的一位默默无闻的大功臣呢！。
3.3垂径定理
3.3 垂径定理
课前引入
某公园中央地上有一个大理石球，小明想测 量球的半径，于是找了两块厚10cm的砖塞在球的 两侧（如图所示），他量了下两砖之间的距离刚 好是60cm，你也能算出这个大石球的半径吗？
做一做
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂 足为M.
A⌒C =⌒BC, A⌒D=⌒BD.
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
C
A M└
B
●O
D
垂径定理的证明
已知：如图, AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条
求证：直AM径=,B并M且，CDA⌒C⊥=AB⌒BC,垂，A足⌒D为=B⌒MD..
C
A M└
B
●O
D
AE=EB吗？
注意：直径，垂直于弦，缺一不可！
D O
已知，在⊙O内，AB=CD，M，N分别是AB，CD 的中点，AB不行于CD。求证∠ＡＭＮ＝ ∠CＮＭ
M
C
D
A
B
A
B
.
O
O.
E AC
DB
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心 作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结 半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E， 连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD。 （1）请证明：E是OB的中点； （2）若AE=8，求CD的长。
若它的形状是以O为圆的圆的一部分，路面AB=10
米，净高CD =7米，求此圆的半径
C
37
7
O
A
D
B
3.如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
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圆的垂径定理
1、（2013年潍坊市）如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，
且BP：AP=1:5,则CD的长为（ ）.
A.24 B.28 C.52 D.54
2、(2013年黄石)如右图，在RtABC中，90ACB，3AC，4BC，以点C为
圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为
A. 95 B. 245 C. 185 D. 52
4、（2013•泸州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，
AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ）
A． cm B． cm C． cm或cm D．
cm或cm
5、（2013•广安）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，
则圆O的半径为（ ）
A． cm B． 5cm C． 4cm D．
cm
6、（2013•绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半
径OC为5m，则水面宽AB为（ ）
A． 4m B． 5m C． 6m D．
8m
C
A
D
B
7、（2013•温州）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（ ）
A． B． C． D．
10、（2013•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则
⊙O的半径为（ ）
A． 10 B． 8 C． 5 D．
3
11、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，
则截面圆心O到水面的距离OC是
A. 4 B. 5 C6 D. 8
12、（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错
误的是（ ）
A． B． AF=BF C． OF=CF D．
∠DBC=90°
13、（2013•毕节地区）如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O
的半径（ ）
A． 5 B． 10 C． 8 D．
6
15、（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.7
16、（2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，
如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
20、（2013•宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕
AB的长为 cm．
22、（2013•株洲）如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC
的度数是 度．
23、（2013•黄冈）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半
径为 ．
24、（2013•绥化）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为
2，则弦AB的长为 ．
26、（2013•张家界）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= ．
27、（2013•遵义）如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，
则∠BOC= 度．
29、（2013年广州市）如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P
在第一象限，
P与x轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），P
的半径为
13
，则点P的坐标为
____________.
30、(2013年深圳市)如图5所示，该小组发现8米高旗杆DE的
影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测
算小桥所在图的半径的活动。小刚身高1.6米，测得其影长为2.4
米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧
GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径。
31、（2013•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB
与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P=35，求⊙O的直径．
33、（2013•资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于
点D，连结CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．