随机变量的期望
随机变量的期望值与方差
随机变量的期望值与方差随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，它描述了在随机事件中可能出现的不同结果。
期望值和方差是衡量随机变量性质的两个重要指标，它们可以帮助我们更好地理解和解释随机现象。
1.期望值（Expectation）在概率论中，期望值是对随机变量取值的平均值的度量。
以离散型随机变量为例，假设X是一个随机变量，它可能取得的值分别为x1、x2、x3…xn，对应的概率分别为P(X=x1)、P(X=x2)、P(X=x3)…P(X=xn)。
那么X的期望值E(X)可以通过以下公式计算：E(X)=x1*P(X=x1)+x2*P(X=x2)+…+xn*P(X=xn)期望值可以理解为长期重复进行随机实验时，实验结果的平均值。
它反映了这个随机变量的平均水平，是一个重要的统计量。
2.方差（Variance）方差是衡量随机变量取值分散程度的度量。
方差告诉我们随机变量取值的离散程度有多大，如果方差较大，则随机变量的取值相对分散；如果方差较小，则随机变量的取值相对集中。
以离散型随机变量为例，假设X是一个随机变量，它可能取得的值分别为x1、x2、x3…xn，对应的概率分别为P(X=x1)、P(X=x2)、P(X=x3)…P(X=xn)。
那么X的方差Var(X)可以通过以下公式计算：Var(X)=(x1-E(X))^2*P(X=x1)+(x2-E(X))^2*P(X=x2)+…+(xn-E(X))^2*P(X=xn)方差的计算过程中，使用了期望值。
方差反映了随机变量取值的离散程度，是评估其变异程度的重要指标。
3.期望值和方差的应用期望值和方差在概率论、数理统计以及其他许多领域中都有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景：3.1投资回报率的评估假设我们面临一个投资决策，我们希望通过投资获得最大的回报率。
在评估不同投资方案时，我们可以利用期望值和方差来计算不同方案的预期回报率和风险程度，从而选择最合适的投资方案。
3.2质量控制在质量控制领域，我们经常需要对产品进行测试，并通过统计方法来评估产品的质量。
随机变量的数学期望解读
离散、连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
N
证明: E
n
k nk
C C M M N M
k C C n
C C k0
N
n
n N k 1
k 1 (n1)(k 1) M 1 ( N 1)(M 1)
M CNn
C n1 N量X的概率密度为f(x)，如
果积分 xf (x)dx 绝对收敛，则称该积分的值
为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即
即
E( X ) xk pk
k 1
若级数发散 xk pk ，则称X的数学期望不存在。
k 1
例1 谁的技术比较好? 甲、乙两个射手 , 他们射击的分布律分别为
甲射手
击中环数 8 9 10
概率
0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 8 9 10
概率
0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲、乙射手击中的环数分别为 X1, X2 . E( X1) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E( X2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
E(X ) x f (x)dx
如果积分 x f (x)dx 发散，则称X的数学期
望不存在。
注： E(X)是一个实数而非变量, 并非所有的随机变 量都存在数学期望。
随机变量的条件分布与条件期望
随机变量的条件分布与条件期望随机变量是概率论中十分重要的概念之一，它描述了在概率模型中可能出现的各种结果。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
在概率论中，我们经常关注的是随机变量的分布以及其与其他变量之间的关系。
本文将重点讨论条件分布与条件期望。
一、条件分布条件分布是指在给定某些条件下，随机变量满足的分布。
对于离散型随机变量，条件分布的计算可以通过条件概率来进行。
假设X和Y是两个离散型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的取值为y的概率。
可以表示为P(Y=y|X=x)。
这个概率可以通过联合概率分布和边缘概率分布来计算。
具体计算方法为：P(Y=y|X=x) = P(X=x,Y=y) / P(X=x)对于连续型随机变量，条件分布的计算可以通过条件密度函数来进行。
假设X和Y是两个连续型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的取值在a到b之间的概率。
可以表示为P(a <= Y <= b | X = x)。
这个概率可以通过联合概率密度函数和边缘概率密度函数来计算。
具体计算方法为：P(a <= Y <= b | X = x) = ∫[a, b] f(x, y) dy / f_X(x)二、条件期望条件期望是指在给定某些条件下，随机变量的期望值。
对于离散型随机变量，条件期望的计算可以通过条件概率和随机变量的取值来进行。
假设X和Y是两个离散型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的期望值E(Y|X=x)。
可以表示为：E(Y|X=x) = Σy y * P(Y=y|X=x)其中Σ为求和符号，y为随机变量Y的取值。
对于连续型随机变量，条件期望的计算可以通过条件密度函数和随机变量的取值来进行。
假设X和Y是两个连续型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的期望值E(Y|X=x)。
可以表示为：E(Y|X=x) = ∫y y * f(y|x) dy其中∫为积分符号，f(y|x)为在给定X=x的条件下，Y的概率密度函数。
随机变量的期望和方差公式
随机变量的期望和方差公式随机变量的期望与方差是数学统计分析中经常被研究和使用的重要概念，它们是描述随机变量分布特性和表示它们在统计分析中的重要指标。
在本文中，我们将介绍随机变量期望和方差的概念及其相关数学公式，并举例说明。
首先，让我们来看一下随机变量的定义。
随机变量是一个描述某个系统性质的变量，它的取值在进行抽样的时候是未知的，而且每次抽样的结果都是不同的，因此它是一种随机的变量。
例如，我们可以通过抽样来表示某种游戏中获胜者的人数，这就是一个随机变量。
其次，让我们来讨论随机变量的期望和方差。
期望是指一个随机变量的期待值，它是描述一个随机变量的核心概念。
它可以用来表示随机变量的整体行为特征，以及可能出现的结果在一定范围内的可能性大小。
期望的数学表示形式为：E(X)=∑XiP(Xi)其中，E(X)为期望，X表示随机变量的取值，P(Xi)表示X取值Xi的概率。
方差是指随机变量的波动程度，它可以用来描述随机变量的取值与已知期望之间的偏差程度。
方差的数学表示形式为：Var(X)=E[(X-E(X))^2]其中，Var(X)表示方差，E(X)表示期望，X表示随机变量的取值。
现在让我们来举个例子，来说明这两个公式。
假设我们有一个抛硬币的实验，抛出正面的概率为0.5，反面的概率也为0.5。
那么，这个实验的期望值可以由以下公式得到：E(X)=0.5*1+0.5*(-1)=0这表示，我们预期在这个实验中获得正面和反面的概率是一样的，所以期望的最终结果是0。
同样，我们可以用方差的公式来计算这个实验的方差：Var(X)=E[(X-E(X))^2]=0.5*(1-0)^2+0.5*(-1-0)^2=1 这表示，我们预期在这个实验中获得正面和反面的结果有一定的差异，所以方差的最终结果是1。
总之，本文介绍了随机变量的期望和方差的概念以及其相关的数学公式，并举例说明了它们的用法。
我们可以利用它们来更好地描述随机变量，从而更全面地理解和掌握它们。
3.2 概率论——随机变量的期望
a 3
b 2
7 12
(2)
2
例(分赌本问题) :17世纪中叶,一位赌徒向法国数学家 Pascal提出一个使他苦恼许久的问题:甲,乙两赌徒赌技 相同,各出50法朗,每局中无平局.他们约定, 谁先赢三局,则
得全部赌本。 当甲赢两局， 乙赢一局时， 赌博被迫中断 。 现问100法朗 如何分配才算公平 ？
,n
1,2
, 其中C
(
i 1
1 n2
)1
.
证明:EX不存在.
证明:
C C
1
xn
pn
n
1
n2
1
n
级
数
1发散,
1n
故级数 xn pn也发散, 由定义知期望EX不存在. 1
例6： 证明:Cauchy分布的期望不存在。
证明:
X
~
f
(
x）
1
（1
x
2
)
xR
x
f
( x)dx
x
1
(1
x2 ) dx
即Cauchy分布的期望不存在.
0 32 1 30 2 17 3 21 1.27 100 100 100 100
概率论
可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品， 出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般 不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不 一定是1.27.
一般来说, 若统计n天 ,
(假定小张每天至多出 三件废品)
解：
X0 1
P 1 p p
EX 显然存在
EX 0 (1 p) 1 p p
例 2：设r.v. X服从几何分布，即X～ g(k, p), 求 EX
第三章 数学期望
r ( x ) f ( x)(离散变量)
r
r ( x ) r f ( x)dx(连续变量)
X关于原点的r阶矩也称为r阶原点矩，定义为 ‘r = E(Xr)
矩母函数
X的矩母函数定义为： MX(t)=E(etX) 在假设收敛的条件下，它是
M X (t ) e tX f ( x)(离散的变量) M X (t )
数学期望
数学期望的定义
数学期望就是一个随机变量的期望值或简称期望。 离散随机变量的期望定义： E(X)=x1P(X=x1)+x2P(X=x2)+…+xnP(X=xn) =xjP(X=xj) = xjf(xj) 如果随机变量取值概率都是相等的，那么我们就可 以得到一个特殊的期望，算术平均： E(X)=(x1+x2+…+xn)/n
对联合分布的方差和协方差
若X和Y是有联合密度函数f(x,y)的两个连续随机变 量，则X和Y的均值或期望是
X E( X ) Y E (Y )
xf ( x, y)dxdy
yf ( x, y)dxdy
方差是
2 X E[( X X ) 2 ]
标准化随机变量
令X是带均值和标准差的随机变量，则我 们用下式定义标准化的随机变量 X*=(X-)/ X*的一个重要性质是均值为0且方差为1，标 准化的变量对比较不同分布是有好处的。
矩
随机变量X关于均值的r阶中心矩，定义为： r=E((X-)r) 这里r=0,1,2,…。由此得到0=1 1=0 2=2
相关系数
若X和Y是独立的，则Cov(X,Y)=0。另一方面，若X 和Y是完全相关的。例如，当X=Y，则 Cov(X,Y)=XY=XY。由此我们引入变量X和Y相互 依赖的测度： ＝ XY/XY 根据定理四，我们知道－1<=<=1。在＝0时，我 们称X和Y是不相关的。然而在这些情况下，变量可 以是独立的，也可以是不独立的。我们将在后面的 章节中会进一步讨论相关性。
概率论中的随机变量和期望
概率论中的随机变量和期望随机变量和期望是概率论中的两个重要概念。
随机变量是一个数值型函数，它为每个可能的结果分配了一个值。
例如，当抛掷一枚硬币时，正反面可能是结果之一。
可以定义一个随机变量X，它的取值为0或1，0表示结果为反面，1表示结果为正面。
期望是随机变量的平均值，它反映了随机变量的中心位置。
随机变量的不同类型随机变量可以是离散的或连续的。
离散随机变量取有限或可数个离散值。
例如，掷骰子是一个离散随机变量，因为可能的结果是1、2、3、4、5或6。
连续随机变量可以取无数个可能的数值。
例如，人的身高是一个连续随机变量，因为可能的数值可以在任何两个整数之间取值。
离散随机变量的期望离散随机变量的期望可以通过对随机变量的每种可能结果乘以其概率，并将每个乘积相加而得到。
例如，如果一个掷骰子，可以定义一个随机变量X来表示投掷的结果。
每个结果出现的概率是1/6，因此X的期望等于：E(X) = (1/6) × 1 + (1/6) × 2 + (1/6) × 3 + (1/6) × 4 + (1/6) × 5 + (1/6) × 6E(X) = 3.5这意味着，在长时间内多次投掷骰子的情况下，结果的平均值将接近3.5。
连续随机变量的期望对于连续随机变量，可以使用积分来计算期望。
假设一个连续的随机变量X，其概率密度函数为f(x)。
它的期望计算公式如下：E(X) = ∫xf(x)dx例如，人的身高可以视为一个连续随机变量。
如果其概率密度函数是f(x) = 0.4e^(-0.4x)，其中x是身高（单位为米），可以计算其期望为：E(X) = ∫x(0.4e^(-0.4x))dx (从0到无穷大）E(X) = 2.5这意味着，在一群人中，平均身高为2.5米（这显然是不现实的，这只是一个计算例子）。
期望的性质期望具有以下性质：1. 常数的期望等于该常数本身，即E(c) = c。
第十二讲：随机变量的数学期望
前面已经讲授了有关随机变量及其分布的相关概念和相关 概率计算问题。
我们知道：随机变量的取值不止一个，且取某个值
（或某范围的值）都有相应的概率，但实际中经常要 考察随机变量取值趋势问题，如取值的平均值问题、 取值的集中性问题等等。
某年级学生《 概率统计》 考试成绩X的分布如下， 例1： 设某班40名学生的《概率统计》成绩及 求该年级《 概率统计》 的平均成绩 . X表示从该班任取一人的 成绩 得分人数如下表所示
1
0.8
i 1
Xi
2
0.2 0.8 0.16
9
3
0.22 0.04
P
E X i 1.24 EX EX i 9 1.24 11.16
i 1
再多准备10%至15%，大约需为他们准备13发子弹。
例14：甲、乙两名射手在一次射击中得分（分别用X、Y表示） 的分布律如下表所示：
E ( X ) xk pk . E ( X ) xf ( x)dx.
g ( x) f ( x)dx.
设随机变量 Z是随机变量 X , Y的函数，Z g ( X , Y )， 这里z g ( x, y)是连续函数
且 g ( xi , y j ) pij绝对收敛， 则Z g ( X , Y )的数学期望为:
r k
P77
前面讲的数学期望 EX就是“一阶原点矩”
例12：设随机变量X的分布律为 求X的一阶原点矩和二阶中心矩 解: X的一阶原点矩为： 1 1 1 E ( X ) (1) 0 1 0 3 3 3 X的二阶中心矩为：
2 EX E ( X EX )
X Pk
随机变量的数学期望
设X服从N(0，1)分布，求E(X2), E(X3), E(X4)
解:
f ( x)
2
1 e 2
x2 2
x2 2
,
E( X 3 )
x e 2
3
x2 2
dx 0
x2 2
E( X )
x e 2
x2 2
2
dx
E( X 4 ) 3
x e 2
推论 若(X, Y) ~f (x, y), -<x<, -<y<, 则 Z=g(X, Y)的期望
E ( Z ) E[ g( X , Y )]
g( x , y ) f ( x , y )dxdy.
例5 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车 ，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地 到达车站，求乘客的平均候车时间
分数
人数
40
1
60
6
70
9
80
15
90
7
100
2
则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即
1 40 6 60 9 70 15 80 7 90 2 100 76.5(分) 1 6 9 15 7 2
定义 1. 若X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…n, 则称
x2 2
4
dx
1 e 2
dx 1
x e 2
2
dx 3
四.数学期望的性质(P73)
1. E(c)=c,c为常数;
随机变量的数学期望
思考 谁的技术比较好?
甲、 乙两个射手, 他们射击的分布律分别 为
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10
0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10
乙射手
0 .2 0 .5 0 .3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲、乙射手击中的环 数分别为 X 1 , X 2 .
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E ( X 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 .
在这些数字特征中，最常用的是
数学期望、方差、协方差和相关系数
一、数学期望的概念 定义1 设X是离散型随机变量，它的分布率是: P{X=xk}=pk , k=1,2,… 若级数
xk pk k 1
绝对收敛，则称级数
xk pk k 1
例8 设风速V在(0, a )上服从均匀分布,即具有概率
密度
1 0va f (v ) a 0 其它
2
又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数 : W kV ( k 0, 常数), 求W的数学期望.
解：由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
为随机变量X的数学期望或者均值，记为EX，即
如果积分 望不存在。
x f ( x)dx 发散，则称X的数学期
关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加
权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.