多复变函数的隐函数定理
§8.4 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式
M
26
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定理2 若函数 F (x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0 , y0, z0) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x) 两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
8
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例3 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解 dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
x y
解 z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
7
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例2 u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
多元复合函数与隐函数的求导法则(2)
F(0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x 2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1的 函数 y f ( x)．
函数的一阶和二阶导数为
dy Fx x , dx Fy y
多元复合函数的求导法则简言之即：
“分道相加，连线相乘”
类似地再推广，设u ( x, y)、v ( x, y) 、
w w( x, y)都在点( x, y)具有对x 和y 的偏导数，复合
函数z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点( x, y) 的
两个偏导数存在，且可用下列公式计算
yz f2; z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
f2 z
f2 u f2 v u z v z
f21 xyf22;
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2 yz( f21 xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
称为标准法则或 2 2 法则
这个公式的特征：
⑴函数 z f [u(x, y),v(x, y)]有两个自变量 x 和 y
故法则中包含 z , z 两个公式； x y
⑵由于在复合过程中有两个中间变量 u 和 v
故法则中每一个公式都是两项之和，这两
项分别含有 z , z u v
⑶每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似， 即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对 自变量的导数”
且作微分运算的结果对自变量的微分
dx,dy,dz, 来说是线性的
从而为解题带来很多方便，而且也不易出错
多元复合函数与隐函数微分法
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
z f (u) u (1 2xy2 ) f ( x x2 y2 ),
x
x
z f (u) u 2x2 y f ( x x2 y2 ).
z f u f v x u x v x
f1( x y, xy) y f2( x y, xy), z f u f v y u y v y
f1( x y, xy) x f2( x y, xy).
例2 设 z f ( x x2 y2 ), 且 f (u) 可微, 求 z 与 z . x y
x 0 时, u 0, v 0, 从而 0.
由 7 11 可得
z z u z v ( ) x u x v x x
(7 12)
在 (7 12)中
lim u u , lim v v x0 x x x0 x x
z xz
z
u z
u
x u
z
v z
v
x v
y u y v y
(7 10)
证明 我们只证 (7 10) 中的第一个等式，第二个 等式可类似地证明.
对于任意固定的 y , 给 x 一个改变量 x , 则得到u 和 v 的改变量 u 和 v , u u( x x, y) u( x, y), v v( x x, y) v( x, y), 从而得到 z f (u,v) 的改变量
z z u z v . x u x v x
同理可证
u
x
z
z z u z v .
高等数学(微积分)课件--84多元复合微分法隐函数微分法
u ( x 2 y 2 ) (e xy ) f 1 f 2 y y y
2 y f1 xe xy f 2
21
z 1 f 1 f 2. 解 x y 2 z ( f 1) 1 v 1 ( f 2 ) f 12 ) 2 ( f 2 ) ( f 11 x x y x y x x 2 1 1 1 1 f 12 2 f 22 f 12 ( f 21 1 f 22 ) f 11 f 11 y y y y y 2 z z 1 ( ) ( f 1) ( f 2 ) xy y x y y y x 1 1 x ( 2 ) ( 2 ) f 2 [ f 22 ( 2 )] f 12 y y y y x 1 1 x 2 f 2 f 22 3 f 22 . 2 f 12 y y y y 22
§8.4复合微分法/隐函数微分法
一、多元复合函数微分法 二、隐函数微分法
1
只依赖于一个自变量的二元复合函数 函数的求导法
定理：如果函数u=(t)及v=(t)都在点t可导,函 数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有可微,则复合函数 z=f((t), (t))在对应点t可导，且其导数可表示 dz z du z dv 为： dt u dt v dt
14
t2
课堂练习 答案
1： 0 2： 0
1 3 : f (2te 1) f ( cos t ) t 2 t
' u t2 ' v
1
15
全微分形式不变性
设函数z=f(x,y)可微,当x,y为自变量时,有全微分 z z 公式 dz dx dy 当x=x(s,t),y=y(s,t)为可微函 数时,对复合函数z=f(x(s,t),y(s,t)),仍有全微分：
多元复合函数求导和隐函数求导
多元复合函数求导和隐函数求导这节内容比较难，听课要认真。
要搞清我们学什么，要弄清复合函数、隐函数、显函数等基本概念。
一.显函数及复合函数1.显函数：)(x f y =（显现出来y ） ),(y x f z =（显现出z ）2，二元显函数求偏导：将一个固定，对另一变量求导。
3，复合函数：（复合函数是显函数） 一元：))(()()(x f y x u u f y ϕϕ=→== 作图：x u y -- ))(),(()()(),(x x f y x v x u v u f y φϕφϕ=→=== 作图： 二元： )],(),,([y x v y x u f z = （如),(),(y x v y x u z =） 作图：三元：如),,()(z y x u u f w ϕ== 作图：4，链式：x u y 环环 → 一条链两条链二、复合函数的求导： 链式法则： 一元：))(()()(x f y x u u f y ϕϕ=→==dxdudu dy dx dy =))(),(()()(),(x x f y x v x u v u f y φϕφϕ=→===“一条链”＋“另一条链”dx dv dv dy dx du du dy dx dy ＋=同理写出下列链式公式：x v v z x u u z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂＋yv v z y u u z y z ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂＋ u —— xyv —— xu —— x zv —— yx w ——u —— y zu —— x yv —— x u —— x yv —— xu —— x zv —— yxuu w x w ∂∂∂∂=∂∂ yuu w yw ∂∂∂∂=∂∂zuu w z w ∂∂∂∂=∂∂ 例1 yz x z y x v y x u v u z ∂∂∂∂-===,,23,.ln 2求 解：方法一： 把v u ,代入直接求； 方法二：用链式法则31ln 22⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂vu y v u x v v z x u u z x z ＝＋)2()(ln 222-⋅+-⋅=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂v u yx v u y v v z y u u z y z ＋ 例2 对抽象函数),,(xyz xy x f u =，求zuy u x u ∂∂∂∂∂∂,, 解：令xyz xy x ===3,2,1')('')(''321x x xyz f xy f f xu⋅+⋅+∂∂＝ ')('')('32y y xyz f xy f yu⋅+⋅∂∂＝ ')('3z xyz f zu⋅∂∂＝ x w ——u —— y zu —— xzv —— y1——xu —— 2——y3——z隐函数的求导上节我们学了复合函数的求导法则：链式法则。
6-5多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
z z x z y
v x v y v
y x2 y2
1
x x2 y2
(1)
y x x2 y2 ,
∴
z z
u v
2y x2 y2
2(u v) (u v)2 (u v)2
uv
.
u2 v2
例3 设 z u2v 3uv4 , u et ,v sin t, 求 dz .
情形(1) z f (u,v, w), u (x, y),v (x, y), w (x, y),
则
z
z u z v z w
ux
x u x v x w x z
v
z z u z v z w
wy
y u y v y w y
1. 一个方程的情形
定理6.5.2(隐函数存在定理) 设函数F(x , y) 在点(x0 , y0 ) 的某一 邻域内有连续的偏导数，且 F( x0 , y0 ) 0, Fy( x0 , y0 ) 0, 则方程
F(x , y) = 0 在点 (x0 , y0 )的某一邻域内总能唯一确定一个连续且 有连续导数的函数 y = f (x), 使得 y0 = f ( x0 ), 并且
u x
z v
v x
dx
z u
u y
z v
v y
dy
z
u
u dx x
u y
dy
z v
v x
dx
v y
dy
z du z dv. u v
多元函数的全微分和隐函数定理
多元函数的全微分和隐函数定理多元函数的全微分和隐函数定理是微积分中的重要概念。
它们发掘出了函数的内在规律，帮助我们理解函数的变化过程。
在本文中，我们将分别介绍多元函数的全微分和隐函数定理。
全微分多元函数中的全微分可以理解为，如果将函数的自变量沿着某一方向微小的变化一个量，那么函数的因变量也会微小变化一个量。
全微分的表达式如下：df = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy其中，∂f/∂x和∂f/∂y是函数f对自变量x和y的偏导数，dx和dy是自变量x和y的微小变化量。
函数的全微分可以近似地用梯度向量表示，即：df = grad(f)*dP其中，grad(f)表示函数f的梯度向量，dP表示自变量P的微小变化量。
函数的全微分可以帮助我们更好地理解函数在某一点的变化趋势，从而更好地优化函数的性能。
隐函数定理隐函数定理是数学中的一个重要定理，它帮助我们将一个关于多个变量的方程组转化为一个只与一个变量有关的方程。
隐函数定理的表述如下：设函数F(x,y)在点(x0, y0)处连续可微，且F(x0, y0) = 0，那么在点(x0, y0)的某一邻域内，方程F(x,y) = 0能够确定唯一的函数y = f(x)，它在点x = x0处的导数为：dy/dx = - ∂F/∂x / ∂F/∂y其中，∂F/∂x和∂F/∂y分别表示函数F对自变量x和y的偏导数。
隐函数定理的表述较为复杂，但它却是解决复杂多变量问题的有力工具。
总结在多元函数的研究中，全微分和隐函数定理是非常重要的概念。
全微分可以帮助我们更好地理解函数在某一点的变化趋势，从而更好地优化函数的性能；而隐函数定理则可以帮助我们将一个关于多个变量的方程组转化为一个只与一个变量有关的方程，从而更好地解决复杂的多变量问题。
在实际应用中，我们可以将它们用于优化算法、建模分析等方面，以便更好地理解和解决问题。
多元复合函数求导法和隐函数求导公式
通过练习和案例分析，提 高解决多元复合函数和隐 函数求导问题的能力。
THANKS
感谢观看
通过对方程两边求导，得到隐函数的导数表 达式。
高阶偏导数的计算方法
利用低阶偏导数的计算结果，逐步推导高阶 偏导数的表达式。
学习建议
熟练掌握多元复合函数的 求导法则，能够灵活运用 链式法则、乘积法则等解 决实际问题。
理解偏导数的概念及其性 质，能够正确计算偏导数 并解释其物理意义。
ABCDBiblioteka 学会利用隐函数求导公式， 解决涉及方程组的导数问 题。
04
多元复合函数和隐函数的实际应用
几何应用
曲线和曲面求导
通过多元复合函数求导法，可以求出曲 线和曲面的导数，进而研究它们的几何 性质，如曲线的斜率、曲面的法线等。
VS
参数方程的应用
在几何中，参数方程常常用来描述曲线和 曲面，通过隐函数求导公式，可以方便地 求出参数方程的导数，进而研究曲线的切 线和曲面的法线。
导数
表示函数在某一点附近的变化率，是函数的局部性质。对于隐函数，其导数表示其在某点处的切线斜率。
一阶隐函数求导公式
求导法则
利用链式法则对隐函数进行求导，即对$y$的求导数等于$frac{partial F}{partial x} cdot frac{dx}{dy}$。
举例
若$F(x, y) = 0$，则$frac{dy}{dx} = -frac{frac{partial F}{partial x}}{frac{partial F}{partial y}}$。
全导数的应用
全导数在研究多元函数的性质、优化问题以及偏微分方程等 领域中都有广泛的应用。通过全导数，我们可以更全面地了 解多元复合函数在不同自变量变化情况下的整体行为。
9-3多元复合函数及隐函数求导法则
z u
3
f x( x,
y)
4
f y(x,
y)
或记为 dy dy du dx du dx
问题：
设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的 函数，即 u ( x, y),v ( x, y) ，如果能构成 z 是x ,y 的
二元复合函数 z f [( x, y), ( x, y)],
如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？
= esin2tcost( 2sintcos2t - sin3t )
设zf(u v w) u(t) v(t) ww(t) 则
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
例 3 设 zuvsin t 而 uet vcos t 求全导数 dz
因为f1' (0, 0)=a,
f
' 2
(0,
0)
b,
所以 ' (0) a+b (a b).
一元函数具有微分形式不变性，多元 函数的全微分形式也有类似的性质。
设z f (u, v)具有连续偏导数，则有全微分
dz z du z dv.
u
v
如果z f (u,v)具有连续偏导数，u (x, y),v (x, y)
(1)公式(*)的项数，等于结构图中z到达自变量x 路径的个数.函数结构中z到达自变量x的路径有两条.
第一条是 z u x，第二条是 z v x，所以公
式(*)由两项组成.
(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路 径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 z u x, 有一个函数z和一个中间变量u，因此，第一项就是两 个偏导数z 与u 的乘积.
多元函数隐函数定理
多元函数隐函数定理多元函数隐函数定理是微积分学中的一个重要定理，它不仅是高等数学中的基础知识，也是其他学科中的重要工具。
本文将分几个步骤来阐述这个定理。
一、定义多元函数隐函数定理是指，在一定条件下，可以用偏导数来表示一组多元函数中的一个变量，而不必显式地表示出来。
具体而言，如果给定一个由n个自变量和m个因变量组成的方程组f1(x1,x2,...,xn,y1,y2,...,ym)=0，其中yi是第i个因变量，那么只要一些条件被满足，就可以用偏导数来表示这些因变量中的一个或几个。
二、条件多元函数隐函数定理有两个条件，它们是：1. 方程组必须具有连续的二阶偏导数；2. 在某个点处，所有因变量对应的偏导数不为0。
如果这两个条件都被满足，那么在该点处，可以用偏导数来解出一些因变量中的一个或几个。
三、应用多元函数隐函数定理有很多应用，下面介绍其中的两个：1. 求极值在求多元函数的极值时，可以利用多元函数隐函数定理来减少变量的数量。
具体来说，如果要求一个函数f(x,y,z)的极值，并且f(x,y,z)=0表示一个曲面S，那么可以将S表示成一个因变量z的函数，比如z=g(x,y)，那么f(x,y,z)可以表示成f(x,y,g(x,y))。
然后再对这个函数求偏导数，最后解出极值点。
2. 解方程组在解方程组时，如果方程组中有一些变量无法显式表示，那么可以利用多元函数隐函数定理将这些变量用其他变量表示出来，然后代入原来的方程组中。
这样可以减少等式的数量，方便计算。
四、总结多元函数隐函数定理是微积分学中的一个重要定理，它可以用来表示一个多元函数中的一个或几个因变量，从而减少变量的数量，方便计算。
在求极值和解方程组时，也可以使用这个定理，从而简化计算过程。
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多复变函数的隐函数定理
多复变函数的隐函数定理是多复变函数理论中的一个重要定理。
它揭示了在某些条件下，多复变函数的隐函数存在性和可微性的问题。
本文将介绍隐函数定理的基本概念、假设条件以及定理的证明思路。
隐函数定理是由数学家柯西于19世纪提出的，它在多复变函数理论中具有重要的地位。
在单变量函数中，我们可以通过求导来判断一个函数是否存在隐函数。
然而，在多复变函数中，情况变得更加复杂。
因此，隐函数定理的提出为解决这一问题提供了有效的方法。
我们来看一下多复变函数的隐函数定理的基本概念。
设有一个复变量函数f(z,w)，其中z和w分别是复变量。
若存在一个函数g(z)，使得对于任意的z和w，都有f(z,w)=0成立，那么我们称g(z)是f(z,w)=0的隐函数。
隐函数定理研究的就是这种隐函数的存在性和可微性。
接下来，我们来看一下隐函数定理的假设条件。
隐函数定理的假设条件是多复变函数f(z,w)在某个复数点(z0,w0)附近连续可微。
具体来说，就是f(z,w)在(z0,w0)的一个邻域内连续，并且对于z和w 的偏导数也连续存在。
这个条件确保了函数f(z,w)的光滑性，从而保证了隐函数定理的成立。
我们来看一下隐函数定理的证明思路。
首先，我们可以通过对
f(z,w)在(z0,w0)附近进行泰勒展开，得到一个多项式表达式。
然后，
我们可以将这个多项式表达式中的高阶项去掉，从而得到一个更简单的表达式。
接下来，我们可以通过求导的方式，将这个简化后的表达式转化为一个关于z和w的线性方程组。
多复变函数的隐函数定理是关于多复变函数隐函数存在性和可微性的一个重要定理。
它为解决多复变函数中的隐函数问题提供了有效的方法。
通过对隐函数定理的学习和理解，我们可以更好地理解和应用多复变函数的相关理论和方法，为解决实际问题提供了有力的工具。