2020江苏省中考数学选择填空压轴题专题：《三角形综合问题》(含答案)
专题: 三角形综合问题例1．如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝4 3 ，点E 是折线ADC 上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，使△PCB 为等腰三角形的点E 的位置共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个同类题型1.1 如图，在钝角△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边向△ABC 的外侧作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACF ，EM 平分∠AEB 交AB 于点M ，取BC 中点D ，AC 中点N ，连接DN 、DE 、DF ．下列结论：①EM ＝DN ；②S △CDN ＝13S 四边形ABDN ；③DE ＝DF ；④DE ⊥DF ．其中正确的结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个同类题型1.2 如图，D ，E 分别是△ABC 的边BC ，AC 上的点，若∠B ＝∠C ，∠ADE ＝∠AED ，则（ ）A ．当∠B 为定值时，∠CDE 为定值 B ．当∠1为定值时，∠CDE 为定值C ．当∠2为定值时，∠CDE 为定值D ．当∠3为定值时，∠CDE 为定值同类题型1.3 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2 3 ，∠BAC ＝120°，点D 、E 都在边BC 上，∠DAE ＝60°．若BD ＝2CE ，则DE 的长为______________．例2．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，E 为AB 边上一点，∠BCE ＝15°，且AE ＝A D ．连接DE 交对角线AC 于H ，连接BH ．下列结论： ①ACD ≌△ACE ；②△CDE 为等边三角形；③EH ＝2EB ；④S △AEH S △CEH ＝ EHCD．其中正确的结论是________．同类题型2.1 如图所示，已知：点A（0，0），B（ 3 ，0），C（0，1）在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于____________．同类题型2.2 如图，点P在等边△ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为_________．例3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°＋12∠A；②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③EF是△ABC的中位线；④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S△AEF＝12mn．其中正确的结论是（）A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④同类题型3.1 如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD的长为（）A．14 B．15 C．3 2 D．2 3同类题型3.2 如图，在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠BAC ＝30°，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线OM 、ON 上滑动，下列结论：①若C 、O 两点关于AB 对称，则OA ＝23；②C 、O 两点距离的最大值为4； ③若AB 平分CO ，则AB ⊥CO ；④斜边AB 的中点D 运动路径的长为π2 ；其中正确的是______________（把你认为正确结论的序号都填上）．同类题型3.3 如图，直角△ABC 中，∠B ＝30°，点O 是△ABC 的重心，连接CO 并延长交AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交BC 于点F ，连接AF 交CE 于点M ，则MOMF的值为（ ）A ．12B ．54C ．23D ．33例4．如图，在△ABC 中，4AB ＝5AC ，AD 为△ABC 的角平分线，点E 在BC 的延长线上，EF ⊥AD 于点F ，点G 在AF 上，FG ＝FD ，连接EG 交AC 于点H ．若点H 是AC 的中点，则AGFD的值为________．同类题型4.1 如图，已知CO 1 是△ABC 的中线，过点O 1 作O 1E 1 ∥AC 交BC 于点E 1 ，连接AE 1 交CO 1 于点O 2 ；过点O 2 作O 2E 2 ∥AC 交BC 于点E 2 ，连接AE 2 交CO 1 于点O 3 ；过点O 3 作O 3E 3 ∥AC 交BC 于点E 3 ，…，如此继续，可以依次得到点O 4 ，O 5 ，…，O n 和点E 4 ，E 5 ，…，E n ，则O 2016E 2016 ＝_________A C ．同类题型4.2 如图，过锐角△ABC 的顶点A 作DE ∥BC ，AB 恰好平分∠DAC ，AF 平分∠EAC 交BC 的延长线于点F ．在AF 上取点M ，使得AM ＝ 13 AF ，连接CM 并延长交直线DE 于点H ．若AC ＝2，△AMH 的面积是112，则1tan ∠ACH的值是___________．例5． 如图，△ABC 的面积为S ．点P 1 ，P 2 ，P 3 ，…，P n －1 是边BC 的n 等分点（n ≥3，且n 为整数），点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且AM AB＝ AN AC ＝ 1n，连接MP 1 ，MP 2 ，MP 3 ，…，MP n －1 ，连接NB ，NP 1 ，NP 2 ，…，NP n －1 ，线段MP 1 与NB 相交于点D 1 ，线段MP 2 与NP 1 相交于点D 2 ，线段MP 3 与NP 2 相交于点D 3 ，…，线段MP n －1 与NP n －2 相交于点D n －1 ，则△ND 1P 1 ，△ND 2P 2 ，△ND 3P 3 ，…，△ND n －1P n －1 的面积和是 ____________．（用含有S 与n 的式子表示）同类题型5.1如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B ′处，点A 对应点为A ′，且B ′C ＝3，则AM 的长是 （ ）A ．1.5B ．2C ．2.25D ．2.5同类题型5.2 如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于 （ ）A ．2B ．54C ．53D ．75同类题型5.3 如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝ 2 ＋1，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B ′始终落在边AC 上，若△MB ′C 为直角三角形，则BM 的长为____________．同类题型5.4 如图，在矩形ABCD 中，∠B 的平分线BE 与AD 交于点E ，∠BED 的平分线EF 与DC 交于点F ，若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝_________________．（结果保留根号）参考答案例1．如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4 3 ，点E是折线ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个解：①BP为等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P；②BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P；③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC 为半径的圆没有交点．选C．同类题型1.1 如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM＝DN；②S△CDN＝13S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：∵D是BC中点，N是AC中点，∴DN 是△ABC 的中位线， ∴DN ∥AB ，且DN ＝12AB ；∵三角形ABE 是等腰直角三角形，EM 平分∠AEB 交AB 于点M ， ∴M 是AB 的中点， ∴EM ＝12 AB ，又∵DN ＝12 AB ，∴EM ＝DN ， ∴结论①正确；∵DN ∥AB ， ∴△CDN ∽ABC ， ∵DN ＝12 AB ，∴S △CDN ＝14S △ABC ，∴S △CDN ＝13 S _(四边形ABDN )，∴结论②正确；如图1，连接MD 、FN ，∵D 是BC 中点，M 是AB 中点， ∴DM 是△AB C 的中位线， ∴DM ∥AC ，且DM ＝12AC ；∵三角形ACF 是等腰直角三角形，N 是AC 的中点， ∴FN ＝12 AC ，又∵DM ＝12AC ，∴DM ＝FN ，∵DM ∥AC ，DN ∥AB ，∴四边形AMDN 是平行四边形， ∴∠AMD ＝∠AND ，又∵∠EMA ＝∠FNA ＝90°， ∴∠EMD ＝∠DNF ， 在△EMD 和△DNF 中，⎩⎪⎨⎪⎧EM ＝DN∠EMD ＝∠DNF MD ＝NF ，∴△EMD ≌△DNF ， ∴DE ＝DF ， ∴结论③正确；如图2，连接MD ，EF ，NF ，∵三角形ABE 是等腰直角三角形，EM 平分∠AEB ， ∴M 是AB 的中点，EM ⊥AB ，∴EM ＝MA ，∠EMA ＝90°，∠AEM ＝∠EAM ＝45°，∴EM EA ＝sin45°＝22， ∵D 是BC 中点，M 是AB 中点， ∴DM 是△ABC 的中位线，∴DM ∥AC ，且DM ＝12AC ；∵三角形ACF 是等腰直角三角形，N 是AC 的中点， ∴FN ＝12 AC ，∠FNA ＝90°，∠FAN ＝∠AFN ＝45°，又∵DM ＝12 AC ，∴DM ＝FN ＝22FA ， ∵∠EMD ＝∠EMA ＋∠AMD ＝90°＋∠AMD ， ∠EAF ＝360°－∠EAM －∠FAN －∠BAC ＝360°－45°－45°－（180°－∠AMD ） ＝90°＋∠AMD ∴∠EMD ＝∠EAF ，在△EMD 和△∠EAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧EM EA ＝DM FA ＝22∠EMD ＝∠EAF∴△EMD ∽△∠EAF ， ∴∠MED ＝∠AEF ，∵∠MED ＋∠AED ＝45°， ∴∠AED ＋∠AEF ＝45°， 即∠DEF ＝45°， 又∵DE ＝DF ， ∴∠DFE ＝45°，∴∠EDF ＝180°－45°－45°＝90°， ∴DE ⊥DF ， ∴结论④正确．∴正确的结论有4个：①②③④． 选D ．同类题型1.2 如图，D ，E 分别是△ABC 的边BC ，AC 上的点，若∠B ＝∠C ，∠ADE ＝∠AED ，则（ ） A ．当∠B 为定值时，∠CDE 为定值 B ．当∠1为定值时，∠CDE 为定值 C ．当∠2为定值时，∠CDE 为定值 D ．当∠3为定值时，∠CDE 为定值解：在△CDE 中，由三角形的外角性质得，∠AED ＝∠CDE ＋∠C ，在△ABD 中，由三角形的外角性质得，∠B ＋∠1＝∠ADC ＝∠ADE ＋∠CDE ， ∵∠B ＝∠C ，∠ADE ＝∠AED ，∴∠B ＋∠1＝∠CDE ＋∠C ＋∠CDE ＝2∠CDE ＋∠B ， ∴∠1＝2∠CDE ，∴当∠1为定值时，∠CDE 为定值． 选B ．同类题型1.3 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2 3 ，∠BAC ＝120°，点D 、E 都在边BC 上，∠DAE ＝60°．若BD ＝2CE ，则DE 的长为______________．解：将△ABD 绕点A 逆时针旋转120°得到△ACF ，取CF 的中点G ，连接EF 、EG ，如图所示．∵AB ＝AC ＝2 3 ，∠BAC ＝120°， ∴∠ACB ＝∠B ＝∠ACF ＝30°， ∴∠ECG ＝60°． ∵CF ＝BD ＝2CE ， ∴CG ＝CE ，∴△CEG 为等边三角形， ∴EG ＝CG ＝FG ，∴∠EFG ＝∠FEG ＝12∠CGE ＝30°，∴△CEF 为直角三角形．∵∠BAC ＝120°，∠DAE ＝60°， ∴∠BAD ＋∠CAE ＝60°，∴∠FAE ＝∠FAC ＋∠CAE ＝∠BAD ＋∠CAE ＝60°．在△ADE 和△AFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF∠DAE ＝∠FAE ＝60°AE ＝AE，∴△ADE ≌△AFE （SAS ），∴DE ＝FE ．设EC ＝x ，则BD ＝CD ＝2x ，DE ＝FE ＝6－3x ， 在Rt △CEF 中，∠CEF ＝90°，CF ＝2x ，EC ＝x ，EF ＝CF 2－EC 2＝ 3 x ，∴6－3x ＝ 3 x ， x ＝3－ 3 ，∴DE ＝3x ＝3 3 －3．例2．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，E 为AB 边上一点，∠BCE ＝15°，且AE ＝A D ．连接DE 交对角线AC 于H ，连接BH ．下列结论： ①ACD ≌△ACE ；②△CDE 为等边三角形；③EH ＝2EB ；④S △AEH S △CEH ＝ EHCD．其中正确的结论是________．解：①∵∠ABC ＝90°，AB ＝BC ， ∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°， 又∵∠BAD ＝90°， ∴∠BAC ＝∠DAC ， 在△ACD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AE∠EAC ＝∠DAC AC ＝AC ，∴△ACD ≌△ACE （SAS ）；故①正确；②同理∠AED ＝45°，∠BEC ＝90°－∠BCE ＝90°－15°＝75°， ∴∠DEC ＝60°， ∵△ACD ≌△ACE ， ∴CD ＝CE ，∴△CDE 为等边三角形．故②正确．③∵△CHE 为直角三角形，且∠HEC ＝60° ∴EC ＝2EH∵∠ECB ＝15°， ∴EC ≠4EB ，∴EH ≠2EB ；故③错误． ④∵AE ＝AD ，CE ＝CD ，∴点A 与C 在DE 的垂直平分线上， ∴AC 是DE 的垂直平分线， 即AC ⊥DE ， ∴CE ＞CH ， ∵CD ＝CE ， ∴CD ＞CH ，∵∠BAC ＝45°， ∴AH ＝EH ，∵S △AEH S △CEH ＝AH CH ＝EH CH， ∴S △AEH S △CEH ＞EHCD，故④错误． 答案为：①②．同类题型2.1 如图所示，已知：点A （0，0），B （ 3 ，0），C （0，1）在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1 ，第2个△B 1A 2B 2 ，第3个△B 2A 3B 3 ，…，则第n 个等边三角形的边长等于____________．解：∵OB ＝ 3 ，OC ＝1， ∴BC ＝2，∴∠OBC ＝30°，∠OCB ＝60°．而△AA 1B 1 为等边三角形，∠A 1AB 1 ＝60°， ∴∠COA 1 ＝30°，则∠CA 1 O ＝90°． 在Rt △CAA 1 中，AA 1＝32OC ＝32， 同理得：B 1A 2＝12A 1B 1＝322，依此类推，第n 个等边三角形的边长等于32n．同类题型2.2 如图，点P 在等边△ABC 的内部，且PC ＝6，PA ＝8，PB ＝10，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P 'C ，连接AP '，则sin ∠PAP '的值为_________．解：连接PP ′，如图，∵线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P 'C ，∴CP ＝CP ′＝6，∠PCP ′＝60°，∴△CPP ′为等边三角形，∴PP ′＝PC ＝6，∵△ABC 为等边三角形，∴CB ＝CA ，∠ACB ＝60°，∴∠PCB ＝∠P ′CA ，在△PCB 和△P ′CA 中⎩⎪⎨⎪⎧PC ＝P ′C∠PCB ＝∠P ′CA CB ＝CA， ∴△PCB ≌△P ′CA ，∴PB ＝P ′A ＝10，∵62＋82＝102 ，∴PP ′2＋AP 2＝P ′A 2 ，∴△APP ′为直角三角形，∠APP ′＝90°，∴sin ∠PAP ′＝PP ′P ′A ＝610＝35．同类题型2.4例3．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ．下列四个结论：①∠BOC ＝90°＋ 12∠A ； ②以E 为圆心、BE 为半径的圆与以F 为圆心、CF 为半径的圆外切；③EF 是△ABC 的中位线；④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝ 12mn ． 其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④解：∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠OBC ＝12 ∠ABC ，∠OCB ＝12 ∠ACB ，∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，∴∠OBC ＋∠OCB ＝90°－12 ∠A ，∴∠BOC ＝180°－（∠OBC ＋∠OCB ）＝90°＋12 ∠A ；故①正确；过点O 作OM ⊥AB 于M ，作ON ⊥BC 于N ，连接OA ，∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴ON ＝OD ＝OM ＝m ，∴S △AEF ＝S △AOE ＋S △AOF ＝12AE ﹒OM ＋12AF ﹒OD ＝12OD ﹒（AE ＋AF ）＝12 mn ；故④正确；∵在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，∴∠EBO ＝∠OBC ，∠FCO ＝∠OCB ，∵EF ∥BC ，∴∠EOB ＝∠OBC ，∠FOC ＝∠OCB ，∴∠EBO ＝∠EOB ，∠FOC ＝∠FCO ，∴EB ＝EO ，FO ＝FC ，∴EF ＝EO ＋FO ＝BE ＋CF ，∴以E 为圆心、BE 为半径的圆与以F 为圆心、CF 为半径的圆外切，故②正确，根据已知不能推出E 、F 分别是AB 、AC 的中点，故③正确，∴其中正确的结论是①②④选D ．同类题型3.1 如图所示，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC ＝1，AB ＝AC ＝AD ＝2．则BD 的长为（）A ．14B ．15C ．3 2D ．2 3解：以A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长BA 交⊙A 于F ，连接DF ．∵DC ∥AB ，∴⌒DF ＝⌒BC ，∴DF ＝CB ＝1，BF ＝2＋2＝4，∵FB 是⊙A 的直径，∴∠FDB ＝90°，∴BD ＝BF 2－DF 2＝15 ． 选B ．同类题型3.2 如图，在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠BAC ＝30°，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线OM 、ON 上滑动，下列结论：①若C 、O 两点关于AB 对称，则OA ＝2 3 ；②C 、O 两点距离的最大值为4；③若AB 平分CO ，则AB ⊥CO ；④斜边AB 的中点D 运动路径的长为π2； 其中正确的是______________（把你认为正确结论的序号都填上）．解：在Rt △ABC 中，∵BC ＝2，∠BAC ＝30°，∴AB ＝4，AC ＝42－22＝2 3 ，①若C 、O 两点关于AB 对称，如图1，∴AB 是OC 的垂直平分线， 则OA ＝AC ＝2 3 ；所以①正确；②如图1，取AB 的中点为E ，连接OE 、CE ，∵∠AOB ＝∠ACB ＝90°，∴OE=CE=12AB ＝2， 当OC 经过点E 时，OC 最大，则C 、O 两点距离的最大值为4；所以②正确；③如图2，当∠ABO ＝30°时，∠OBC ＝∠AOB ＝∠ACB ＝90°，∴四边形AOBC 是矩形，∴AB 与OC 互相平分，但AB 与OC 的夹角为60°、120°，不垂直，所以③不正确；④如图3，斜边AB 的中点D 运动路径是：以O 为圆心，以2为半径的圆周的14，则：90π×2180 ＝π， 所以④不正确；综上所述，本题正确的有：①②．同类题型3.3 如图，直角△ABC 中，∠B ＝30°，点O 是△ABC 的重心，连接CO 并延长交AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交BC 于点F ，连接AF 交CE 于点M ，则MO MF的值为（ ） A ．12 B ．54 C ．23 D ．33解：∵点O 是△ABC 的重心，∴OC ＝23CE ， ∵△ABC 是直角三角形，∴CE ＝BE ＝AE ，∵∠B ＝30°，∴∠FAE ＝∠B ＝30°，∠BAC ＝60°，∴∠FAE ＝∠CAF ＝30°，△ACE 是等边三角形，∴CM ＝12CE ， ∴OM ＝23CE －12CE ＝16 CE ，即OM ＝16AE ， ∵BE ＝AE ，∴EF ＝33AE ， ∵EF ⊥AB ，∴∠AFE ＝60°，∴∠FEM ＝30°，∴MF＝36AE，∴MOMF＝16AE36AE＝33．选D．例4．如图，在△ABC中，4AB＝5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则AGFD的值为________．解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h．∵BDCD＝S△ABDS△ACD＝12AB﹒h12AC﹒h＝ABAC＝54，∴BD＝54C D．如右图，延长AC，在AC的延长线上截取AM＝AB，则有AC＝4CM．连接DM．在△ABD与△AMD中，⎩⎪⎨⎪⎧AB＝AM∠BAD＝∠MADAD＝AD∴△ABD≌△AMD（SAS），∴MD＝BD＝54C D．过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．∵MN∥AD，∴CK ＝14CD ， ∴KD ＝54C D ． ∴MD ＝KD ，即△DMK 为等腰三角形，∴∠DMK ＝∠DKM ．由题意，易知△EDG 为等腰三角形，且∠1＝∠2；∵MN ∥AD ， ∴∠3＝∠4＝∠1＝∠2，又∵∠DKM ＝∠3（对顶角）∴∠DMK ＝∠4，∴DM ∥GN ，∴四边形DMNG 为平行四边形，∴MN ＝DG ＝2F D ．∵点H 为AC 中点，AC ＝4CM ，∴AH MH ＝23． ∵MN ∥AD ， ∴AG MN ＝AH MH ，即AG 2FD ＝23， ∴AG FD ＝43 ．同类题型4.1 如图，已知CO 1 是△ABC 的中线，过点O 1 作O 1E 1 ∥AC 交BC 于点E 1 ，连接AE 1 交CO 1 于点O 2 ；过点O 2 作O 2E 2 ∥AC 交BC 于点E 2 ，连接AE 2 交CO 1 于点O 3 ；过点O 3 作O 3E 3 ∥AC 交BC 于点E 3 ，…，如此继续，可以依次得到点O 4 ，O 5 ，…，O n 和点E 4 ，E 5 ，…，E n ，则O 2016E 2016 ＝_________A C ．解：∵O 1E 1 ∥AC ，∴∠BO 1E 1 ＝∠BAC ，∠BE 1O 1 ＝∠BCA ，∴△BO 1E 1 ∽△BAC ，∴BO 1BA ＝O 1E 1AC．∵CO 1 是△ABC 的中线， ∴BO 1BA ＝O 1E 1AC ＝12 ． ∵O 1E 1 ∥AC ，∴∠O 1E 1O 2＝∠CAO 2 ，∠E 1O 1O 2＝∠ACO 2 ，∴△E 1O 1O 2∽△ACO 2 ，∴E 1O 1AC ＝E 1O 2AO 2＝12． ∵O 2E 2 ∥AC ，∴E 1O 2E 1A ＝O 2E 2AC ＝13， ∴O 2E 2＝13A C ． 同理：O n E n ＝1n ＋1A C ． ∴O 2016E 2016＝12016＋1＝12017．同类题型4.2 如图，过锐角△ABC 的顶点A 作DE ∥BC ，AB 恰好平分∠DAC ，AF 平分∠EAC 交BC 的延长线于点F ．在AF 上取点M ，使得AM ＝ 13 AF ，连接CM 并延长交直线DE 于点H ．若AC ＝2，△AMH 的面积是112，则1tan ∠ACH的值是___________．解：过点H 作HG ⊥AC 于点G ，∵AF 平分∠CAE ，DE ∥BF ，∴∠HAF ＝∠AFC ＝∠CAF ，∴AC ＝CF ＝2，∵AM ＝13AF ，∴AM MF ＝12， ∵DE ∥CF ，∴△AHM ∽△FCM ，∴AM MF ＝AH CF， ∴AH ＝1，设△AHM 中，AH 边上的高为m ，△FCM 中CF 边上的高为n ，∴m n ＝AM MF ＝12， ∵△AMH 的面积为：112， ∴112＝12AH ﹒m ∴m ＝16， ∴n ＝13， 设△AHC 的面积为S ，∴S S △AHM ＝m ＋n m＝3， ∴S ＝3S △AHM ＝14， ∴12AC ﹒HG ＝14， ∴HG ＝14， ∴由勾股定理可知：AG ＝154 ， ∴CG ＝AC －AG ＝2－154 ∴1tan ∠ACH ＝CG HG＝8－15 ．例5． 如图，△ABC 的面积为S ．点P 1 ，P 2 ，P 3 ，…，P n －1 是边BC 的n 等分点（n ≥3，且n 为整数），点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且AM AB ＝ AN AC ＝ 1n，连接MP 1 ，MP 2 ，MP 3 ，…，MP n －1 ，连接NB ，NP 1 ，NP 2 ，…，NP n －1 ，线段MP 1 与NB 相交于点D 1 ，线段MP 2 与NP 1 相交于点D 2 ，线段MP 3 与NP 2 相交于点D 3 ，…，线段MP n －1 与NP n －2 相交于点D n －1 ，则△ND 1P 1 ，△ND 2P 2 ，△ND 3P 3 ，…，△ND n －1P n －1 的面积和是 ____________．（用含有S 与n 的式子表示）解：连接MN ，设BN 交MP 1 于O 1 ，MP 2 交NP 1 于O 2 ，MP 3 交NP 2 于O 3 ．∵AM AB ＝AN AC ＝1n， ∴MN ∥BC ， ∴MN BC ＝AM AB ＝1n ， ∵点P 1 ，P 2 ，P 3 ，…，P n －1 是边BC 的n 等分点，∴MN ＝BP 1＝P 1P 2＝P 2P 3 ，∴四边形MNP 1 B ，四边形MNP 2P 1 ，四边形MNP 3P 2 都是平行四边形，易知S △ABN ＝1n ﹒S ，S △BCN ＝n －1n ﹒S ，S △MNB ＝n －1n 2 ﹒S ， ∴S △BP 1O 1＝S △P 1P 2O 2＝S △P 3P 2O 3＝n －12n 2 ﹒S ，∴S 阴＝S △NBC －（n －1）﹒S △BP 1O 1－S △NPn －1C ＝n －1n ﹒S －（n －1）﹒n －12n 2﹒S －n －1 n 2S ＝(n －1)22n 2 ﹒S ．同类题型5.1如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B ′处，点A 对应点为A ′，且B ′C ＝3，则AM 的长是（ ）A ．1.5B ．2C ．2.25D ．2.5解：设AM ＝x ，连接BM ，MB ′，在Rt △ABM 中，AB 2＋AM 2＝BM 2 ，在Rt △MDB ′中，B ′M 2＝MD 2＋DB ′2 ，∵MB ＝MB ′，∴AB 2＋AM 2＝BM 2＝B ′M 2＝MD 2＋DB ′2 ，即92＋x 2＝（9－x ）2＋（9－3）2 ，解得x ＝2，即AM ＝2，故选B ．同类题型5.2 如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．2B ．54C ．53D ．75解：如图连接BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∵AC ＝4，AB ＝3，∴BC ＝32＋42 ＝5，∵CD ＝DB ，∴AD ＝DC ＝DB ＝52 ， ∵12﹒BC ﹒AH ＝12﹒AB ﹒AC ， ∴AH ＝125， ∵AE ＝AB ，∴点A 在BE 的垂直平分线上．∵DE ＝DB ＝DC ，∴点D 在BE 使得垂直平分线上，△BCE 是直角三角形， ∴AD 垂直平分线段BE ，∵12﹒AD ﹒BO ＝12﹒BD ﹒AH ， ∴OB ＝125， ∴BE ＝2OB ＝245， 在Rt △BCE 中，EC ＝BC 2－BE 2＝52－(245)2＝75， 选D ．同类题型5.3 如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝ 2 ＋1，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B ′始终落在边AC 上，若△MB ′C 为直角三角形，则BM 的长为____________．解：①如图1，当∠B ′MC ＝90°，B ′与A 重合，M 是BC 的中点，∴BM ＝12BC ＝122＋12； ②如图2，当∠MB ′C ＝90°，∵∠A ＝90°，AB ＝AC ，∴∠C ＝45°，∴△CMB ′是等腰直角三角形， ∴CM ＝ 2 MB ′，∵沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B ′，∴BM ＝B ′M ，∴CM ＝ 2 BM ，∵BC ＝ 2 ＋1，∴CM ＋BM ＝2BM ＋BM ＝ 2 ＋1，∴BM ＝1，综上所述，若△MB ′C 为直角三角形，则BM 的长为122＋12或1．同类题型5.4 如图，在矩形ABCD 中，∠B 的平分线BE 与AD 交于点E ，∠BED 的平分线EF 与DC 交于点F ，若AB ＝9，DF ＝2FC ，则BC ＝_________________．（结果保留根号）解：延长EF 和BC ，交于点G∵矩形ABCD 中，∠B 的角平分线BE 与AD 交于点E ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝45°，∴AB ＝AE ＝9，∴直角三角形ABE 中，BE ＝92＋92＝9 2 ，又∵∠BED 的角平分线EF 与DC 交于点F ，∴∠BEG ＝∠DEF∵AD∥BC∴∠G＝∠DEF∴∠BEG＝∠G∴BG＝BE＝9 2由∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，可得△EFD∽△GFC∴CGDE＝CFDF＝CF2CF＝12设CG＝x，DE＝2x，则AD＝9＋2x＝BC ∵BG＝BC＋CG∴92＝9＋2x＋x解得x＝3 2 －3∴BC＝9＋2（32－3）＝6 2 ＋3．。
【中考押题】2020中考数学经典压轴专项突破 -三角形存在性问题
y =-y =-2020中考数学经典压轴专项突破 -三角形存在性问题板块一、等腰三角形存在性1. 如图，已知一次函数7y x =-+与正比例函数34y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．（备用图）2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21410189y x x =--与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B ，过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连结AC ．现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动，点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动，线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t (单位：秒)(1)求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；(2)当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；(3)当902t <<时，△PQF 的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；(4)当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形？请写出解答过程．板块二、直角三角形3.如图，已知直线112y x=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当△P AE是直角三角形时，求点P的坐标．4.如图所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M 可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线上时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N 运动的时间为x秒．试解答下列问题：（1）说明△FMN∽△QWP；（2）设04x≤≤（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ 为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．WQPNMFDBA板块三、相似三角形存在性 5. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+3+与x 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （1，0），过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H ．（1）直接填写：a = ，b = ，顶点C 的坐标为 ； （2）在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标．FP WQN A B（备用图）三、测试提高1. 如图，已知抛物线234y x bx c =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点， A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且01t <<．（1）填空：点C 的坐标是_____，b ＝_____，c ＝_____； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．。
2020-2021学年江苏省中考选择填空压轴题专题10：选择填空方法综述-(数学)
专题10 选择填空方法综述例1．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE－ED－DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②S△ABE＝48cm2；③当14＜t＜22时，y ＝110－5t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤△BPQ与△ABE相似时，t＝14.5．其中正确结论的序号是___________．同类题型1.1 如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝5，CD＝3，sinA＝sinB＝13，动点P自A点出发，沿着边AB向点B匀速运动，同时动点Q自点A出发，沿着边AD－DC－CB匀速运动，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（秒）时，△APQ的面积为s，则s关于t的函数图象是（）A．B．C．D．同类题型1.2 如图1．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，动点P从点B出发，沿B→C→D→A的方向运动，到达点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y与x的函数图象如图2所示，那么AB边的长度为____________．同类题型1.3 如图1，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行道路，⌒BD 表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x（m）时，相应影子的长度为y（m），根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是（）A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C例2．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB＋PM的值最小时，PM的长是（）A．72B．2 73C．3 55D．264同类题型2.1 如图，已知菱形OABC的边OA在x轴上，点B的坐标为（8，4），点P是对角线OB上的一个动点，点D（0，2）在y轴上，当CP＋DP最短时，点P的坐标为____________．同类题型2.2 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝kx（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM＋PN的最小值是（）A．6 2 B．10 C．2 26 D．2 29同类题型2.3例3．如图，正方形ABCD中．点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形．连接AC交EF于点G．过点G作GH⊥CE于点H，若S△EGH ＝3，则S△ADF＝（）A．6 B．4 C．3 D．2同类题型3.1如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是___________（用含m的代数式表示）．同类题型3.2 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2 2 ，点E是CD的中点，连接AE，将△ADE 沿直线AE折叠，使点D落在点F处，则线段CF的长度是（）A．1 B．22C．23D．23同类题型3.3如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC分别交AC、AD于点F、E，若AD＝1，AB＝CF，则AE＝__________．同类题型3.4 如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝56，则CE＝_________．例4．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动．连接BE、AF相交于点G，连接CG．有下列结论：①AF⊥BE；②点G随着点E、F的运动而运动，且点G的运动路径的长度为π；③线段DG的最小值为2 5 －2；④当线段DG最小时，△BCG的面积S＝8＋855 ．其中正确的命题有____________．（填序号）同类题型4.1 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD＝ 2 ；③DF＝DC；④CF＝2AF，正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④同类题型4.2 点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，BE＝DF，点P在边AB上，AP：PB＝1：n（n＞1），过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S1、S2的两部分，将△CDF分成面积为S3、S4的两部分（如图），下列四个等式：①S1：S3＝1：n②S1：S4＝1：（2n＋1）③（S1＋S4）：（S2＋S3）＝1：n④（S3－S1）：（S2－S4）＝n：（n＋1）其中成立的有（）A．①②④B．②③C．②③④D．③④同类题型4.3 如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D 重合）．点P为DE上一动点，PE＜PD，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：①DH＝DE；②DP＝DG；③DG＋DF＝ 2 DP；④DP﹒DE＝DH﹒DC，其中一定正确的是（）A．①②B．②③C．①④D．③④例5．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝kx（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为 2 ，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为______________．同类题型5.1 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝1x和y＝9x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝1x的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是________．专题10 选择填空方法综述例1．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE－ED－DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②S△ABE＝48cm2；③当14＜t＜22时，y ＝110－5t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤△BPQ与△ABE相似时，t＝14.5．其中正确结论的序号是___________．解：由图象可以判定：BE＝BC＝10 cm．DE＝4 cm，当点P在ED上运动时，S△BPQ ＝12BC﹒AB＝40cm2，∴AB＝8 cm，∴AE＝6 cm，∴当0＜t≤10时，点P在BE上运动，BP＝BQ，∴△BPQ是等腰三角形，故①正确；S△ABE ＝12AB﹒AE＝24 cm2，故②错误；当14＜t＜22时，点P在CD上运动，该段函数图象经过（14，40）和（22，0）两点，解析式为y ＝110－5t，故③正确；△ABP为等腰三角形需要分类讨论：当AB＝AP时，ED上存在一个符号题意的P点，当BA＝BO时，BE上存在一个符合同意的P点，当PA＝PB时，点P在AB垂直平分线上，所以BE和CD上各存在一个符号题意的P点，共有4个点满足题意，故④错误；⑤△BPQ 与△ABE 相似时，只有；△BPQ ∽△BEA 这种情况，此时点Q 与点C 重合，即PC BC ＝AE AB ＝34 ，∴PC ＝7.5，即t ＝14.5． 故⑤正确．综上所述，正确的结论的序号是①③⑤．同类题型1.1 如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝5，CD ＝3，sinA ＝sinB ＝ 13 ，动点P 自A点出发，沿着边AB 向点B 匀速运动，同时动点Q 自点A 出发，沿着边AD －DC －CB 匀速运动，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P 运动t （秒）时，△APQ 的面积为s ，则s 关于t 的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．解：过点Q 做QM ⊥AB 于点M ． 当点Q 在线段AD 上时，如图1所示，∵AP ＝AQ ＝t （0≤t ≤5），sinA ＝13，∴QM ＝13t ，∴s ＝12AP ﹒QM ＝16t 2；当点Q 在线段CD 上时，如图2所示，∵AP ＝t （5≤t ≤8），QM ＝AD ﹒sinA ＝53 ，∴s ＝12AP ﹒QM ＝56t ；当点Q 在线段CB 上时，如图3所示，∵AP ＝t （8≤t ≤2023 ＋3（利用解直角三角形求出AB ＝2023 ＋3），BQ ＝5＋3＋5－t ＝13－t ，sinB ＝13，∴QM ＝13（13－t ），∴s ＝12AP ﹒QM ＝－16（t 2－13t ），∴s ＝－16（t 2 －13t ）的对称轴为直线x ＝132 ．∵t ＜13， ∴s ＞0．综上观察函数图象可知B选项中的图象符合题意．选B．同类题型1.2 如图1．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，动点P从点B出发，沿B→C→D→A 的方向运动，到达点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y与x的函数图象如图2所示，那么AB边的长度为____________．解：根据题意，当P在BC上时，三角形面积增大，结合图2可得，BC＝4；当P在CD上时，三角形面积不变，结合图2可得，CD＝3；当P在DA上时，三角形面积变小，结合图2可得，DA＝5；过D作DE⊥AB于E，∵AB∥CD，AB⊥BC，∴四边形DEBC是矩形，∴EB＝CD＝3，DE＝BC＝4，AE＝AD2－DE2＝52－42＝3，∴AB＝AE＋EB＝3＋3＝6．同类题型1.3 如图1，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行道路，⌒BD 表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x（m）时，相应影子的长度为y（m），根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是（）A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C解：根据图3可得，函数图象的中间一部分为水平方向的线段，故影子的长度不变，即沿着弧形道路步行，因为函数图象中第一段和第三段图象对应的x的范围相等，且均小于中间一段图象对应的x的范围，故中间一段图象对应的路径为⌒BD ，又因为第一段和第三段图象都从左往右上升，所以第一段函数图象对应的路径为正方形的边AB或AD，第三段函数图象对应的路径为BC或DC，故行走的路线是A→B→D→C（或A→D→B→C），选D．同类题型1.4例2．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当PB＋PM的值最小时，PM的长是（）A．72B．2 73C．3 55D．264解：如图，连接DP ，BD ，作DH ⊥BC 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，B 、D 关于AC 对称，∴PB ＋PM ＝PD ＋PM ，∴当D 、P 、M 共线时，P ′B ＋P ′M ＝DM 的值最小，∵CM ＝13BC ＝2， ∵∠ABC ＝120°，∴∠DBC ＝∠ABD ＝60°，∴△DBC 是等边三角形，∵BC ＝6，∴CM ＝2，HM ＝1，DH ＝3 3 ，在Rt △DMH 中，DM ＝DH 2＋HM 2＝(33)2＋12＝27 ， ∵CM ∥AD ，∴P ′M DP ′＝CM AD ＝26＝13 ，∴P ′M ＝14DM ＝72． 选A ．同类题型2.1 如图，已知菱形OABC 的边OA 在x 轴上，点B 的坐标为（8，4），点P 是对角线OB 上的一个动点，点D （0，2）在y 轴上，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为____________．解：如图连接AC ，AD ，分别交OB 于G 、P ，作BK ⊥OA 于K ．在Rt △OBK 中，OB ＝BK 2＋OK 2＝82＋42＝4 5 ，∵四边形OABC 是菱形，∴AC ⊥OB ，GC ＝AG ，OG ＝BG ＝2 5 ，设OA ＝AB ＝x ，在Rt △ABK 中，∵AB 2＝AK 2＋BK 2 ，∴x 2＝（8－x ）2＋42 ，∴x ＝5，∴A （5，0），∵A 、C 关于直线OB 对称，∴PC ＋PD ＝PA ＋PD ＝DA ，∴此时PC ＋PD 最短，∵直线OB 解析式为y ＝12 x ，直线AD 解析式为y ＝－25x ＋2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x y ＝－25x ＋2 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝209y ＝109， ∴点P 坐标（209 ，109）．同类题型2.2 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝ k x（x ＞0）的图象与边长是6的正方形OABC 的两边AB ，BC 分别相交于M ，N 两点．△OMN 的面积为10．若动点P 在x 轴上，则PM ＋PN 的最小值是（ ）A ．6 2B ．10C ．2 26D ．2 29解：∵正方形OABC 的边长是6，∴点M 的横坐标和点N 的纵坐标为6，∴M （6，k 6 ），N （k 6，6）， ∴BN ＝6－k 6 ，BM ＝6－k 6，∵△OMN 的面积为10，∴6×6－12×6×k 6－12×6×k 6－12×（6－k 6）2 ＝10， ∴k ＝24，∴M （6，4），N （4，6），作M 关于x 轴的对称点M ′，连接NM ′交x 轴于P ，则NM ′的长＝PM ＋PN 的最小值，∵AM ＝AM ′＝4，∴BM ′＝10，BN ＝2，∴NM ′＝BM ′2＋BN 2＝102＋22＝226 ，选C ．同类题型2.3例3．如图，正方形ABCD 中．点E ，F 分别在BC ，CD 上，△AEF 是等边三角形．连接AC 交EF 于点G ．过点G 作GH ⊥CE 于点H ，若S △EGH ＝3，则S △ADF ＝（ ）A ．6B ．4C ．3D ．2解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝∠BAD ＝90°．∵△AEF 等边三角形，∴AE ＝EF ＝AF ，∠EAF ＝60°．∴∠BAE ＋∠DAF ＝30°．在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF AB ＝AD， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE ＝DF ，∵BC ＝CD ，∴BC －BE ＝CD －DF ，即CE ＝CF ，∴△CEF 是等腰直角三角形，∵AE ＝AF ，∴AC 垂直平分EF ，∴EG ＝GF ，∵GH⊥CE，∴GH∥CF，∴△EGH∽△EFC，∵S△EGH＝3，∴S△EFC＝12，∴CF＝2 6 ，EF＝4 3 ，∴AF＝4 3 ，设AD＝x，则DF＝x－2 6 ，∵AF2＝AD2＋DF2，∴（43）2＝x2＋（x－26）2，∴x＝6＋3 2 ，∴AD＝6＋3 2 ，DF＝32－ 6 ，∴S△ADF ＝12AD﹒DF＝6．选A．同类题型3.1如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是___________（用含m的代数式表示）．解：如图，连接BD ，在等腰Rt △ABC 中，点D 是AC 的中点，∴BD ⊥AC ，∴BD ＝AD ＝CD ，∠DBC ＝∠A ＝45°，∠ADB ＝90°，∵∠EDF ＝90°，∴∠ADE ＝∠BDF ，在△ADE 和△BDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠DBFAD ＝BD ∠ADE ＝∠BDF， ∴△ADE ≌△BDF （ASA ），∴AE ＝BF ，DE ＝DF ，在Rt △DEF 中，DF ＝DE ＝m ．∴EF ＝2DE ＝ 2 m ，∴△BEF 的周长为BE ＋BF ＋EF ＝BE ＋AE ＋EF ＝AB ＋EF ＝2＋ 2 m ．同类题型3.2 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝2 2 ，点E 是CD 的中点，连接AE ，将△ADE 沿直线AE 折叠，使点D 落在点F 处，则线段CF 的长度是（ ）A ．1B ．22C ．23D ．23解：过点E 作EM ⊥CF 于点M ，如图所示．在Rt △ADE 中，AD ＝2 2 ，DE ＝12AB ＝1， ∴AE ＝AD 2＋DE 2 ＝3．根据折叠的性质可知：ED ＝EF ，∠AED ＝∠AEF ．∵点E 是CD 的中点，∴CE ＝DE ＝FE ，∴∠FEM ＝∠CEM ，CM ＝FM ．∵∠DEA ＋∠AEF ＋∠FEM ＋∠MEC ＝180°，∴∠AEF ＋∠FEM ＝12×180°＝90°． 又∵∠EAF ＋∠AEF ＝90°，∴∠EAF ＝∠FEM ．∵∠AFE ＝∠EMF ＝90°，∴△AFE ∽△EMF ，∴MF FE ＝FE EA ，即MF 1＝13 ， ∴MF ＝13 ，CF ＝2MF ＝23． 选C ．同类题型3.3如图，在矩形ABCD 中，BE ⊥AC 分别交AC 、AD 于点F 、E ，若AD ＝1，AB ＝CF ，则AE ＝__________．解：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝1，∠BAF ＝∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＋∠CBF ＝90°，∵BE ⊥AC ，∴∠BFC ＝90°，∴∠BCF ＋∠CBF ＝90°，∴∠ABE ＝∠FCB ，在△ABE 和△FCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAB ＝∠BFC ＝90°AB ＝CF ∠ABE ＝∠FCB， ∴△ABE ≌△FCB ，∴BF ＝AE ，BE ＝BC ＝1，∵BE ⊥AC ，∴∠BAF ＋∠ABF ＝90°，∵∠ABF ＋∠AEB ＝90°，∴∠BAF ＝∠AEB ，∵∠BAE ＝∠AFB ，∴△ABE ∽△FBA ，∴AB BF ＝BE AB ，∴ABAE＝1AB，∴AE＝AB2，在Rt△ABE中，BE＝1，根据勾股定理得，AB2＋AE2＝BE2＝1，∴AE＋AE2＝1，∵AE＞0，∴AE＝5－12．同类题型3.4 如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝56，则CE＝_________．解：如图，连接EF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB＝90°，∠DCP＝45°，∴AM＝BM＝1，在Rt △ADM 中，DM ＝AD 2＋AM 2＝22＋12＝ 5 ，∵AM ∥CD ，∴AM DC ＝MP PD ＝12 ， ∴DP ＝253 ，∵PF ＝56， ∴DF ＝DP －PF ＝52 ， ∵∠EDF ＝∠PDC ，∠DFE ＝∠DCP ，∴△DEF ∽△DPC ，∴DF DC ＝DE DP， ∴522＝DE253 ， ∴DE ＝56， ∴CE ＝CD －DE ＝2－56＝76．例4．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别从点A 、点D 以相同速度同时出发，点E 从点A 向点D 运动，点F 从点D 向点C 运动，点E 运动到D 点时，E 、F 停止运动．连接BE 、AF 相交于点G ，连接CG ．有下列结论：①AF ⊥BE ；②点G 随着点E 、F 的运动而运动，且点G 的运动路径的长度为π；③线段DG 的最小值为2 5 －2；④当线段DG 最小时，△BCG 的面积S ＝8＋85 5 ．其中正确的命题有____________．（填序号）解：∵点E 、F 分别同时从A 、D 出发以相同的速度运动，∴AE ＝DF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝DA ，∠BAE ＝∠D ＝90°，在△BAE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝DE∠BAE ＝∠ADF ＝90°AB ＝AD， ∴△BAE ≌△ADF （SAS ），∴∠ABE ＝∠DAF ，∵∠DAF ＋∠BAG ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAG ＝90°，即∠AGB ＝90°，∴AF ⊥BE ．故①正确；∵∠AGB ＝90°，∴点G 的运动路径是以AB 为直径的圆所在的圆弧的一部分，由运动知，点E 运动到点D 时停止，同时点F 运动到点C ，∴点G 的运动路径是以AB 为直径的圆所在的圆弧所对的圆心角为90°，∴长度为90π×2180＝π，故命题②正确；如图，设AB 的中点为点P ，连接PD ，∵点G 是以点P 为圆心AB 为直径的圆弧上一点，∴当点G 在PD 上时，DG 有最小值，在Rt △ADP 中，AP ＝12AB ＝2，AD ＝4，根据勾股定理得，PD ＝2 5 ， ∴DG 的最小值为2gh(5) －2，故③正确；过点G 作BC 的垂线与AD 相交于点M ，与BC 相交于N ，∴GM ∥PA ，∴△DMG ∽△DAP ，∴GM AP ＝DG DP ， ∴GM ＝10－255， ∴△BCG 的高GN ＝4－GM ＝10＋255， ∴S △BCG ＝12×4×10＋255＝4＋455，故④错误， ∴正确的有①②③．同类题型4.1 如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为F ，连结DF ，下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②tan ∠CAD ＝2 ；③DF ＝DC ；④CF ＝2AF ，正确的是（ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②④解：如图，过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝BC ，∵BE ⊥AC 于点F ， ∴∠EAC ＝∠ACB ，∠ABC ＝∠AFE ＝90°，∴△AEF ∽△CAB ，故①正确； ∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ， ∴AE BC ＝AF CF ， ∵AE ＝12AD ＝12BC ， ∴AF CF ＝12， ∴CF ＝2AF ，故④正确；∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形BMDE 是平行四边形，∴BM ＝DE ＝12BC ， ∴BM ＝CM ，∴CN ＝NF ，∵BE ⊥AC 于点F ，DM ∥BE ，∴DN ⊥CF ，∴DM 垂直平分CF ，∴DF ＝DC ，故③正确；设AE ＝a ，AB ＝b ，则AD ＝2a ，由△BAE ∽△ADC ，有b a ＝2a b，即b ＝ 2 a ， ∴tan ∠CAD ＝DC AD ＝b 2a ＝22．故②不正确； 正确的有①③④，选C ．同类题型4.2 点E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边BC 、AD 上，BE ＝DF ，点P 在边AB 上，AP ：PB ＝1：n （n ＞1），过点P 且平行于AD 的直线l 将△ABE 分成面积为S 1 、S 2的两部分，将△CDF 分成面积为S 3 、S 4的两部分（如图），下列四个等式： ①S 1 ：S 3＝1：n ②S 1 ：S 4＝1：（2n ＋1） ③（S 1＋S 4 ）：（S 2＋S 3）＝1：n④（S 3－S 1 ）：（S 2－S 4）＝n ：（n ＋1） 其中成立的有（ ）A ．①②④B ．②③C ．②③④D ．③④解：由题意∵AP ：PB ＝1：n （n ＞1），AD ∥l ∥BC ， ∴S 1S 1＋S 2＝（1n ＋1）2 ，S 3＝n 2S 1，S 3S 3＋S 4＝（n n ＋1）2， 整理得：S 2＝n （n ＋2）S 1 ，S 4＝（2n ＋1）S 1， ∴S 1 ：S 4＝1：（2n ＋1），故①错误，②正确， ∴（S 1＋S 4 ）：（S 2＋S 3）＝[S 1＋（2n ＋1）S 1]：[n （n ＋2）S 1＋n 2S 1]＝1：n ，故③正确， ∴（S 3－S 1 ）：（S 2－S 4）＝[n 2S 1－S 1]：[n （n ＋2）S 1－（2n ＋1）S 1]＝1：1，故④错误， 选B ．同类题型4.3 如图，在矩形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，点F 是CD 边上一点（不与点D 重合）．点P 为DE 上一动点，PE ＜PD ，将∠DPF 绕点P 逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA 于H ，G 两点，有下列结论：①DH ＝DE ；②DP ＝DG ；③DG ＋DF ＝2 DP ；④DP ﹒DE ＝DH ﹒DC ，其中一定正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④解：∵∠GPF ＝∠HPD ＝90°，∠ADC ＝90°，∴∠GPH ＝∠FPD ，∵DE 平分∠ADC ，∴∠PDF ＝∠ADP ＝45°，∴△HPD 为等腰直角三角形，∴∠DHP ＝∠PDF ＝45°，在△HPG 和△DPF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠PHG ＝∠PDFPH ＝PD ∠GPH ＝∠FPD， ∴△HPG ≌△DPF （ASA ），∴PG ＝PF ；∵△HPD 为等腰直角三角形，∴HD ＝ 2 DP ，HG ＝DF ，∴HD ＝HG ＋DG ＝DF ＋DG ，∴DG ＋DF ＝ 2 DP ；故③正确，∵DP ﹒DE ＝22 DH ﹒DE ，DC ＝22 DE ， ∴DP ﹒DE ＝DH ﹒DC ，故④正确，由此即可判断选项D 正确，选D ．例5．如图，在平面直角坐标系中，经过点A 的双曲线y ＝ k x（x ＞0）同时经过点B ，且点A 在点B 的左侧，点A 的横坐标为 2 ，∠AOB ＝∠OBA ＝45°，则k 的值为______________．解：过A 作AM ⊥y 轴于M ，过B 作BD 选择x 轴于D ，直线BD 与AM 交于点N ，如图所示：则OD ＝MN ，DN ＝OM ，∠AMO ＝∠BNA ＝90°，∴∠AOM ＋∠OAM ＝90°，∵∠AOB ＝∠OBA ＝45°，∴OA ＝BA ，∠OAB ＝90°，∴∠OAM ＋∠BAN ＝90°，∴∠AOM ＝∠BAN ，在△AOM 和△BAN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOM ＝∠BAN∠AMO ＝∠BNA OA ＝BA， ∴△AOM ≌△BAN （AAS ），∴AM ＝BN ＝ 2 ，OM ＝AN ＝k 2 ， ∴OD ＝k2＋ 2 ，BD ＝k 2－ 2 ， ∴B （k2＋ 2 ，k2－ 2 ），∴双曲线y ＝k x（x ＞0）同时经过点A 和B ， ∴（k2＋2）﹒（k 2－ 2 ）＝k ， 整理得：k 2－2k －4＝0，解得：k ＝1± 5 （负值舍去），∴k ＝1＋ 5 ．同类题型5.1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx （k ＞0）分别交反比例函数y ＝ 1x和y ＝ 9x 在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作 BD ⊥x 轴于点D ，交y ＝ 1x的图象于点C ，连结AC ．若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是________．解：∵点B 是y ＝kx 和y ＝9x 的交点，y ＝kx ＝9x，解得：x ＝3k ，y ＝3k ，∴点B 坐标为（3k，3gh(k) ）， 点A 是y ＝kx 和y ＝1x 的交点，y ＝kx ＝1x， 解得：x ＝1k ，y ＝k ，∴点A 坐标为（1k，k ）， ∵BD ⊥x 轴，∴点C 横坐标为3k ，纵坐标为13k ＝k 3， ∴点C 坐标为（3k ，k 3 ）， ∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①AB ＝BC ，则(3k －1k )2＋(3k －k)2＝3k －k 3 ， 解得：k ＝377； ②AC ＝BC ，则(3k －1k )2＋(k －k 3)2＝3k －k 3 ， 解得：k ＝155； 故k ＝377 或155．。
中考数学压轴题模拟试题(2020江苏版)专题12 压轴大题突破培优练2
中考数学压轴题模拟试题（2020江苏版）专题12压轴大题突破培优练（二）【题型说明】本专题题型包括：新定义与材料阅读创新题、一次函数的实际问题、最优方案设计问题、一次函数与几何综合问题、反比例函数与一次函数综合问题、反比例函数与几何综合问题、二次函数的应用、二次函数综合问题、三角形综合题、四边形综合题、圆综合题、几何综合探究题、几何动点问题、几何变换综合题等题型，共计20道大题.【培优提升】1．（2020•常熟市校级模拟）如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，连接DE ．过点A 作AF ⊥DE ，垂足为F ，⊙O 经过点C 、D 、F ，与AD 相交于点G ．（1）求证：△AFG ∽△DFC ；（2）若正方形ABCD 的边长为8，AE ＝2，求⊙O 的半径．2．（2020•张家港市模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，CE 是∠DCB 的角平分线，且交AB 于点E ，DB与CE 相交于点O ，（1）求证：△EBC 是等腰三角形；（2）已知：AB ＝7，BC ＝5，求OBDB 的值．3．（2019•镇江一模）某旗舰网店用8000元购进甲、乙两种口罩，全部销售完后一共获利2800元，进价和售价如下表：品名 甲种口罩 乙种口罩价格进价（元/袋）2025售价（元/袋）2635（1）该店购进甲、乙两种口罩各多少袋？（2）该店再次以原价购进甲、乙两种口罩，购进乙种口罩袋数不变，而购进甲种口罩袋数是第一次的2倍，甲种口罩按原售价出售，而乙种口罩让利销售．若这次购进的两种口罩均销售完毕，且本次销售一共获利不少于3680元，那么乙种口罩每袋最多让利多少元？4．（2020•黄岩区模拟）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟米，乙在A地时距地面的高度b为米．（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y （米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？5．（2019•宿迁三模）某厂计划生产A、B两种产品共100件，已知A产品每件可获利润400元，B产品每件可获利润500元，其中规定生产B产品的数量不超过A产品数量的2倍，设生产A产品的数量为x（件），生产两种产品的获利总额为y（元）（1）写出y与x之间的函数表达式；（2）该厂生产A、B两种产品各多少台，才能使获利总额最大？最大利润是多少？（3）在实际生产过程中，A产品生产成本下降了m（0＜m＜200）元且最多生产60件，B产品生产成本不变，请根据以上信息，设计出该厂生产100件A、B两种产品获利最多的生产方案．6．（2020•济宁模拟）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2=√(x1−x2)2+(y1−y2)2，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；（3）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由；（4）在（3）的条件下，平面直角坐标中，在x轴上找一点P，使PD+PF的长度最短，求出点P的坐标以及PD+PF的最短长度．7．（2019•高邮市二模）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．【理解应用】（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，试求m的值；（2）若一次函数y＝2kx+1﹣4k的图象经过某个定点，则该定点坐标为；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b．按照图2方式不重叠地放在大矩形ABCD内，大矩形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变．求a与b的等量关系．8．（2020•顺德区模拟）如图，双曲线y1=k1x与直线y2=xk2的图象交于A、B两点．已知点A的坐标为（4，1），点P（a，b）是双曲线y1=k1x上的任意一点，且0＜a＜4．（1）分别求出y1、y2的函数表达式；（2）连接P A、PB，得到△P AB，若4a＝b，求三角形ABP的面积；（3）当点P 在双曲线y 1=k1x 上运动时，设PB 交x 轴于点E ，延长P A 交x 轴于点F ，判断PE 与PF 的大小关系，并说明理由．9．（2020•玉泉区模拟）2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a 元（a 为常数，且40＜a ＜100），每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x 万件乙产品时需上交0.5x 2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y 1（万元）、y 2（万元）与相应生产件数x （万件）（x 为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？10．（2019•慈溪市模拟）定义：在一个三角形中，若存在两条边x 和y ，使得y ＝x 2，则称此三角形为“平方三角形”，x 称为平方边．（1）“若等边三角形为平方三角形，则面积为√34是 命题；“有一个角为30°且有一条直角边为2的直角三角形是平方三角形”是 命题；（填“真”或“假”）（2）若a ，b ，c 是平方三角形的三条边，平方边a ＝2，若三角形中存在一个角为60°，求c 的值；（3）如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点．①若∠CAD ＝∠B ，CD ＝1，求证，△ABC 是平方三角形；②若∠C ＝90°，BD ＝1，AC ＝m ，CD ＝n ，求tan ∠DAB ．（用含m ，n 的代数式表示）11．（2019•太仓市模拟）如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P ，Q 运动的时间为t 秒．（1）当t ＝2.5时，PQ ＝ ；（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．12．（2019•工业园区校级二模）如图1，DE 是⊙O 的直径，点A 、C 是直径DE 上方半圆上的两点，且AO⊥CO ．连接AE ，CD 相交于点F ，点B 是直径DE 下方半圆上的任意一点，连接AB 交CD 于点G ，连接CB 交AE 于点H ．（1）∠ABC ＝ ；（2）证明：△CFH ∽△CBG ；（3）若弧DB 为半圆的三分之一，把∠AOC 绕着点O 旋转，使点C 、O 、B 在一直线上时，如图2，求FH BG的值．13．（2019•镇江一模）如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，点P在边AC上运动（点P与点A、C不重合）．以P为圆心，P A为半径作⊙P交边AB于点D、过点D作⊙P的切线交射线BC于点E（点E与点B不重合）．（1）求证：BE＝DE；（2）若P A＝1．求BE的长；（3）在P点的运动过程中．（BE+P A）•P A的值是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．14．（2020•长春模拟）如图1，等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝8，AB＝20，请直接写出△PMN面积的最大值．15．（2020•项城市三模）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC 的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．（1）问题发现当α＝0°时，CEBD=；β＝°．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，CEBD和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．16．（2019•江都区三模）如图1，有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝5，AD＝6，现将纸片进行如下操作：首先将纸片沿折痕BF进行折叠，使点A落在BC边上的点E处，点F在AD上（如图2）；然后将纸片沿折痕DH进行第二次折叠，使点C落在第一次的折痕BF上的点G处，点H在BC上（如图3）．（1）如图2，判断四边形ABEF的形状，并说明理由；（2）如图3，求BG的长．17．（2020•萧山区一模）如图，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C直线y＝﹣x+4经过点B、C．（1）求抛物线的表达式；（2）过点A的直线交抛物线于点M，交直线BC于点N．①点N位于x轴上方时，是否存在这样的点M，使得AM：NM＝5：3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时，请求出点M的横坐标．18．（2019•亭湖区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−14x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，8），与x轴交于B、C两点，其中点C的坐标为（4，0）．点P（m，n）为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D的坐标为（0，4），连接BD．（1）求该二次函数的表达式及点B的坐标；（2）连接OP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，当以O、P、Q为顶点的三角形与△OBD相似时，求m的值；（3）连接BP，以BD、BP为邻边作▱BDEP，直线PE交y轴于点T．①当点E落在该二次函数图象上时，求点E的坐标；②在点P从点A到点B运动过程中（点P与点A不重合），直接写出点T运动的路径长．19．（2019•秦淮区一模）数学概念在两个等腰三角形中，如果其中一个三角形的底边长和底角的度数分别等于另一个三角形的腰长和顶角的度数，那么称这两个等腰三角形互为姊妹三角形．概念理解（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，请用直尺和圆规作出它的姊妹三角形（保留作图痕迹，不写作法）．特例分析（2）①在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，BC=√6−√2，求它的姊妹三角形的顶角的度数和腰长；②如图②，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，连接BD．若△ABC与△ABD互为姊妹三角形，且△ABC∽△BCD，则∠A＝°．深入研究（3）下列关于姊妹三角形的结论：①每一个等腰三角形都有姊妹三角形；②等腰三角形的姊妹三角形是锐角三角形；③如果两个等腰三角形互为姊妹三角形，那么这两个三角形可能全等；④如果一个等腰三角形存在两个不同的姊妹三角形，那么这两个三角形也一定互为姊妹三角形．其中所有正确结论的序号是．20．（2019•淮阴区一模）在解决数学问题时，我们常常从特殊入手，猜想结论，并尝试发现解决问题的策略与方法．【问题提出】求证：如果一个定圆的内接四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形的对边的平方和是一个定值．【从特殊入手】我们不妨设定圆O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．请你在图①中补全特殊位置时的图形，并借助所画图形探究问题的结论．【问题解决】已知：如图②，定圆O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．求证：．证明：。
中考数学压轴题分类试题（2020江苏版）
中考数学压轴题分类试题（2020江苏版）专题1新定义材料阅读类创新题【真题再现】1．（2019年南京第27题）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平⾏的，因此，往往不能沿直线⾏⾛到达⽬的地，只能按直⾓拐弯的⽅式⾏⾛．可以按照街道的垂直和平⾏⽅向建⽴平⾯直⾓坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），⽤以下⽅式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．【数学理解】（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝．②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所⽰，B是图象上⼀点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是．（2）函数y=4x（x＞0）的图象如图②所⽰．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所⽰，D是图象上⼀点，求d（O，D）的最⼩值及对应的点D的坐标．【问题解决】（4）某市要修建⼀条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN⽅向到某处，再在该处拐⼀次直⾓弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建⽴适当的平⾯直⾓坐标系，画出⽰意图并简要说明理由）2．（2019年南通第28题）定义：若实数x，y满⾜x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y，t为常数，则称点M（x，y）为“线点”．例如，点（0，﹣2）和（﹣2，0）是“线点”．已知：在直⾓坐标系xOy中，点P（m，n）．（1）P1（3，1）和P2（﹣3，1）两点中，点是“线点”；（2）若点P是“线点”，⽤含t的代数式表⽰mn，并求t的取值范围；（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|∠POQ﹣∠AOB|＝30°时，直接写出t的值．3．（2019年常州第26题）【阅读】数学中，常对同⼀个量（图形的⾯积、点的个数、三⾓形的内⾓和等）⽤两种不同的⽅法计算，从⽽建⽴相等关系，我们把这⼀思想称为“算两次”．“算两次”也称做富⽐尼原理，是⼀种重要的数学思想．【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直⾓三⾓形和⼀个两条直⾓边都是c的直⾓三⾓形拼成⼀个梯形．⽤两种不同的⽅法计算梯形的⾯积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n⾏n列的棋⼦排成⼀个正⽅形，⽤两种不同的⽅法计算棋⼦的个数，可得等式：n2＝；【运⽤】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若⼲个三⾓形，设最多可以剪得y个这样的三⾓形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三⾓形，所以y＝7．①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝；当n＝5，m＝时，y＝9；②对于⼀般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝（⽤含m、n的代数式表⽰）．请对同⼀个量⽤算两次的⽅法说明你的猜想成⽴．4．（2019年镇江第26题）【材料阅读】地球是⼀个球体，任意两条相对的⼦午线都组成⼀个经线圈（如图1中的⊙O）．⼈们在北半球可观测到北极星，我国古⼈在观测北极星的过程中发明了如图2所⽰的⼯具尺（古⼈称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，⾓顶系有⼀段棉线，棉线末端系⼀个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当⼯具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹⾓α的⼤⼩是变化的．【实际应⽤】观测点A在图1所⽰的⊙O上，现在利⽤这个⼯具尺在点A处测得α为31°，在点A所在⼦午线往北的另⼀个观测点B，⽤同样的⼯具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ⊥ON．（1）求∠POB的度数；（2）已知OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上AB的长．（π取 3.1）5．（2018年南京第27题）结果如此巧合!下⾯是⼩颖对⼀道题⽬的解答．题⽬：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，BD＝4，求△ABC的⾯积．解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x．根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2＝（3+4）2．整理，得x2+7x＝12．所以S△ABC=12AC?BC=12（x+3）（x+4）=12（x2+7x+12）=12×（12+12）＝12．⼩颖发现12恰好就是3×4，即△ABC 的⾯积等于AD 与BD 的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下⾯的探索．已知：△ABC 的内切圆与AB 相切于点D ，AD ＝m ，BD ＝n ．可以⼀般化吗？（1）若∠C ＝90°，求证：△ABC 的⾯积等于mn ．倒过来思考呢？（2）若AC ?BC ＝2mn ，求证∠C ＝90°．改变⼀下条件……（3）若∠C ＝60°，⽤m 、n 表⽰△ABC 的⾯积．6．（2018年南通第28题）【定义】如图1，A ，B 为直线l 同侧的两点，过点A 作直线1的对称点A ′，连接A ′B交直线l 于点P ，连接AP ，则称点P 为点A ，B 关于直线l 的“等⾓点”．【运⽤】如图2，在平⾯直坐标系xOy 中，已知A （2，√3），B （﹣2，?√3）两点．（1）C （4，√32），D （4，√22），E （4，12）三点中，点是点A ，B 关于直线x ＝4的等⾓点；（2）若直线l 垂直于x 轴，点P （m ，n ）是点A ，B 关于直线l 的等⾓点，其中m ＞2，∠APB ＝α，求证：tan α2=n 2；（3）若点P 是点A ，B 关于直线y ＝ax +b （a ≠0）的等⾓点，且点P 位于直线AB 的右下⽅，当∠APB ＝60°时，求b 的取值范围（直接写出结果）．【专项突破】【题组⼀】1．（2019?⿎楼区⼀模）把⼀个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另⼀个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．例如：如图，将y＝x的图象经过倒数变换后可得到y=1x的图象．特别地，因为y＝x图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此y=1x的图象上也没有纵坐标为0的点．（1）请在下⾯的平⾯直⾓坐标系中画出y＝﹣x+1的图象和它经过倒数变换后的图象．（2）观察上述图象，结合学过的关于函数图象与性质的知识，①猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系？写出两个即可．②说理：请简要解释你其中⼀个猜想．（3）请画出函数y=1x2+c（c为常数）的⼤致图象．2．（2019?⿎楼区⼆模）提出问题：⽤⼀张等边三⾓形纸⽚剪⼀个直⾓边长分别为2cm和3cm的直⾓三⾓形纸⽚，等边三⾓形纸⽚的边最⼩值是多少？探究思考：⼏位同学画出了以下情况，其中∠C＝90°，BC＝2cm，△ADE为等边三⾓形．（1）同学们对图1，图2中的等边三⾓形展开了讨论：①图⼀中AD的长度图②中AD的长度（填“＞”，“＜”或“＝”）②等边三⾓形ADE经过图形变化．AD可以更⼩．请描述图形变化的过程．（2）有同学画出了图3，但⽼师指出这种情况不存在，请说明理由．（3）在图4中画出边长最⼩的等边三⾓形，并写出它的边长．经验运⽤：（4）⽤⼀张等边三⾓形纸⽚剪⼀个直⾓边长为1cm和3cm的直⾓三⾓形纸⽚，等边三⾓形纸⽚的边长最⼩是多少？画出⽰意图并写出这个最⼩值．3．（2019?建邺区⼀模）我们定义：有⼀组对⾓相等的四边形叫做“等对⾓四边形”．（1）如图①，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上，且AE＝AD．证明：四边形ABCE是“等对⾓四边形”．（2）如图②，在“等对⾓四边形”ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝53°，∠B＝90°，AB＝17，BC＝18，求CD的长．（sin53°≈45，cos53°≈343）（3）如图③，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，CD＝4，若四边形ABCD是“等对⾓边形”，且∠B＝∠D，则BD 的最⼤值是．（直接写出结果）4．（2020?河南⼀模）【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC ＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）【特例探究】⼩聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利⽤轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利⽤α＝90°，β＝30°以及等边三⾓形等相关知识便可解决这个问题．请结合⼩聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三⾓形；∠ADB的度数为．【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应⽤】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为【题组⼆】5．（2019?溧⽔区⼀模）（1）发现：如图1，点A为线段BC外⼀动点，且BC＝a，AB＝b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最⼤值，且最⼤值为（⽤含a，b的式⼦表⽰）（2）应⽤：点A为线段BC外⼀动点，且BC＝4，AB＝1，如图2所⽰，分别以AB，AC为边，作等边三⾓形ABD和等边三⾓形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最⼤值．（3）拓展：如图3，在平⾯直⾓坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），点P为线段AB外⼀动点，且P A ＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最⼤值及此时点P的坐标．6．（2019?淮阴区⼀模）在解决数学问题时，我们常常从特殊⼊⼿，猜想结论，并尝试发现解决问题的策略与⽅法．【问题提出】求证：如果⼀个定圆的内接四边形的对⾓线互相垂直，那么这个四边形的对边的平⽅和是⼀个定值．【从特殊⼊⼿】我们不妨设定圆O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．请你在图①中补全特殊位置时的图形，并借助所画图形探究问题的结论．【问题解决】已知：如图②，定圆O 的半径是R ，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AC ⊥BD ．求证：．证明：7．（2018?秦淮区⼀模）【数学概念】若四边形ABCD 的四条边满⾜AB ?CD ＝AD ?BC ，则称四边形ABCD 是和谐四边形．【特例辨别】（1）下列四边形：①平⾏四边形，②矩形，③菱形，④正⽅形．其中⼀定是和谐四边形的是．（2）如图①，过⊙O 外⼀点P 引圆的两条切线PS 、PT ，切点分别为A 、C ，过点P 作⼀条射线PM ，分别交⊙O 于点B 、D ，连接AB 、BC 、CD 、DA ．求证：四边形ABCD 是和谐四边形．【知识应⽤】（3）如图②，CD 是⊙O 的直径，和谐四边形ABCD 内接于⊙O ，且BC ＝AD ．请直接写出AB 与CD 的关系．8．（2020?丰台区模拟）在平⾯直⾓坐标系xOy 中，对于两个点P ，Q 和图形W ，如果在图形W 上存在点M ，N （M ，N 可以重合）使得PM ＝QN ，那么称点P 与点Q 是图形W 的⼀对平衡点．（1）如图1，已知点A （0，3），B （2，3）．①设点O 与线段AB 上⼀点的距离为d ，则d 的最⼩值是，最⼤值是；②在P 1（32，0），P 2（1，4），P 3（﹣3，0）这三个点中，与点O 是线段AB 的⼀对平衡点的是（2）如图2，已知圆O的半径为1，点D的坐标为（5，0），若点E（x，2）在第⼀象限，且点D与点E是圆O 的⼀对平衡点，求x的取值范围．（3）如图3，已知点H（﹣3，0），以点O为圆⼼，OH长为半径画弧交x轴的正半轴于点K，点C（a，b）（其中b≥0）是坐标平⾯内⼀个动点，且OC＝5，圆C是以点C为圆⼼，半径为2的圆，若弧HK上的任意两个点都是圆C的⼀对平衡点，直接写出b 的取值范围．【题组三】9．（2019?邗江区⼀模）【操作体验】如图①，已知线段AB和直线l，⽤直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°，如图②，⼩明的作图⽅法如下：第⼀步：分别以点A，B为圆⼼，AB长为半径作弧，两弧在AB上⽅交于点O；第⼆步：连接OA，OB；第三步：以O为圆⼼，OA长为半径作⊙O，交l于P1，P2；所以图中P1，P2即为所求的点．（1）在图②中，连接P1A，P1B，说明∠AP1B＝30°；【⽅法迁移】（2）如图③，⽤直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC＝45°，（不写做法，保留作图痕迹）．【深⼊探究】（3）已知矩形ABCD，BC＝2．AB＝m，P为AD边上的点，若满⾜∠BPC＝45°的点P恰有两个，则m的取值范围为．（4）已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝2，P为矩形ABCD内⼀点，且∠BPC＝135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最⼩值为．10．（2019?如皋市⼀模）定义：把函数y=m|x|（m＞0）的图象叫做正值双曲线．把函数y=m|x|（m＜0）的图象叫做负值双曲线．（1）请写出正值双曲线的两条性质；（2）如图，直线l经过点A（﹣1，0），与负值双曲线y=m|x|（m＜0）交于点B（﹣2，﹣1）．P是射线AB上的⼀点，过点P作x轴的平⾏线分别交该负值双曲线于M，N两点（点M在点N的左边）．①求直线l的解析式和m的值；②是否存在点P，使得S△AMN＝4S△APM？若存在，请求出所有满⾜条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019?通州区⼀模）平⾯直⾓坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何⼀条边均与某条坐标轴平⾏，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在⾯积最⼩的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．如图2，已知M（4，1），N（﹣2，3），点P（m，n）．（1）①若m＝1，n＝4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为，⾯积为；②若m＝1，点M，N，P的“最佳三点矩形”的⾯积为24，求n的值；（2）若点P在直线y＝﹣2x+4上．①求点M，N，P的“最佳三点矩形”⾯积的最⼩值及此时m的取值范围；②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正⽅形时，求点P的坐标；（3）若点P（m，n）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且当点M，N，P的“最佳三点矩形”⾯积为12时，﹣2≤m≤﹣1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．12．（2019?顺义区⼀模）在平⾯直⾓坐标系xOy中，A、B为平⾯内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q 是线段AB的“似中点”．（1）已知A（1，0），B（3，2），在点C（1，3）、D（2，1）、E（4，﹣2）、F（3，0）中，线段AB的“似中点”是点；（2）直线y=√3x+√3与x轴交于点M，与y轴交于点N．①若点H是线段MN的“似中点”，且在坐标轴上，求H点的坐标；②若⊙P的半径为2，圆⼼P为（t，0），若⊙P上存在线段MN的“似中点”，请直接写出t的取值范围．【题组四】13．（2019?海门市⼀模）定义：在平⾯直⾓坐标系xOy中，对于点P和图形M，如果线段OP与图形M有公共点时，就称点P 为关于图形M的“亲近点”．已知平⾯直⾓坐标系xOy中，点A（1，√3），B（5，√3），连接AB．（1）在P1（1，2），P2（3，2），P3（5，2）这三个点中，关于线段AB的“亲近点”是；（2）若线段CD上的所有点都是关于线段AB的“亲近点”，点C（t，2√3t?3√3）、D（t+6，2√3t?3√3），求实数t的取值范围；（3）若⊙A与y轴相切，直线l：y=?√3x+b过点B，点E是直线l上的动点，⊙E半径为2，当⊙E上所有点都是关于⊙A的“亲近点”时，直接写出点E横坐标n的取值范围．14．（2019?海门市⼆模）如图，在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（2，1），B（2，4），连结AB．若对于平⾯内⼀点P，线段AB上只要存在点Q，使得PQ≤13AB，则称点P是线段AB的“卫星点”．（1）在点C（4，2），D（2，?16），E（43，2）中，线段AB的“卫星点”是点；（2）若点P1，P2是线段AB的“卫星点”（点P1在点P2的左侧），且P1P2＝1，P1P2∥x轴，点F坐标为（0，2）．①若将△P1P2F的⾯积记为S，当S最⼤时，求点P1的坐标；②直线FP1的解析式y＝mx+2（m≠0），直线FP2的解析式y＝nx+2（n≠0），求mn的取值范围．15．（2019?朝阳区⼀模）在平⾯直⾓坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），称d（P1，P2）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为P1、P2两点的直⾓距离．（1）已知：点A（1，2），直接写出d（O，A）＝；（2）已知：B是直线y=?34x+3上的⼀个动点．①如图1，求d（O，B）的最⼩值；②如图2，C是以原点O为圆⼼，1为半径的圆上的⼀个动点，求d（B，C）的最⼩值．16．（2019?建湖县⼆模）【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M．①AC与BD之间的数量关系为；②∠AMB的度数为；【类⽐探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算ACBD的值及∠AMB的度数；【实际应⽤】如图（3），是⼀个由两个都含有30°⾓的⼤⼩不同的直⾓三⾓板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE ＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同⼀直线上，CE＝1，BC=√21，求点A、D之间的距离．【题组五】17．（2018?咸宁）定义：我们知道，四边形的⼀条对⾓线把这个四边形分成了两个三⾓形，如果这两个三⾓形相似（不全等），我们就把这条对⾓线叫做这个四边形的“相似对⾓线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正⽅形⽹格中，请你只⽤⽆刻度的直尺在⽹格中找到⼀点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对⾓线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对⾓线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对⾓线”；（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对⾓线”，∠EFH＝∠HFG＝30°，连接EG，若△EFG的⾯积为2√3，求FH的长．18．（2019?梁溪区⼀模）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝5．请⽤尺规作图画出符合要求的图形，并标注必要的字母及结论（保留作图痕迹，不要求写作法）．（1）在图1的矩形ABCD中画出⼀个⾯积最⼤的菱形．（2）我们通常把长与宽之⽐为√2：1的矩形称为标准矩形，请你在图2的矩形ABCD中画出⼀个⾯积最⼤的标准矩形．19．（2019?东城区⼀模）在平⾯直⾓坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最⼤值等于点Q到x、y轴的距离中的最⼤值，则称P、Q两点为“等距点”，如图中的P、Q两点即为“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）①在点E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是；②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为；（2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在⼀点M，线段CD上存在⼀点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．20．（2018?南通三模）从三⾓形⼀个顶点引出⼀条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三⾓形分割成两个⼩三⾓形，如果分得的两个⼩三⾓形中⼀个为等腰三⾓形，另⼀个与原三⾓形相似，我们把这条线段叫做这个三⾓形的优美线．（1）如图，在△ABC中，AD为⾓平分线，∠B＝50°，∠C＝30°，求证：AD为△ABC的优美线．（2）在△ABC中，∠B＝46°，AD是△ABC的优美线，且△ABD是以AB为腰的等腰三⾓形，求∠BAC的度数．（3）在△ABC 中，AB＝4，AC＝2，AD是△ABC的优美线，且△ABD是等腰三⾓形，求优美线AD的长．【题组六】21．（2019?常州⼆模）⼩韦同学⼗分崇拜科学家，⽴志成为有所发现、有所创造的⼈，他组建了三⼈探究⼩组，探究⼩组对以下问题有了发现：如图b，已知⼀次函数y＝x+1的图象分别与x轴和y轴相交于点E、F．过⼀次函数y＝x+1的图象上的动点P作PB⊥x轴，垂⾜是B，直线BP交反⽐例函数y=?12x的图象于点Q．过点Q作QC⊥y轴，垂⾜是C，直线QC交⼀次函数y＝x+1的图象于点A．当点P与点E重合时（如图a），∠POA的度数是⼀个确定的值．请你加⼊该⼩组，继续探究：（1）当点P与点E重合时，∠POA＝°；（2）当点P不与点E重合时，（1）中的结论还成⽴吗？如果成⽴说明理由；如果不成⽴，说明理由并求出∠POA 的度数．22．（2018?溧⽔区⼀模）我们知道，平⾯内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平⾯直⾓坐标系，如果两条数轴不垂直，⽽是相交成任意的⾓ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平⾯斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平⾯内⼀点P作坐标轴的平⾏线PM 和PN，分别交x轴和y轴于点M，N．点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标，有序实数对（x，y）称为点P的斜坐标，记为P（x，y）．（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC中的⼀边OA在x轴上，BC与y轴交于点D，OA＝2，OC＝l．①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A，B，C．②设点P（x，y）在经过O、B两点的直线上，则y与x之间满⾜的关系为．③设点Q（x，y）在经过A、D两点的直线上，则y与x之间满⾜的关系为．（2）若ω＝120°，O为坐标原点．①如图3，圆M与y轴相切原点O，被x轴截得的弦长OA＝4√3，求圆M的半径及圆⼼M的斜坐标．②如图4，圆M的圆⼼斜坐标为M（2，2），若圆上恰有两个点到y轴的距离为1，则圆M的半径r的取值范围是．23．（2019?常州⼀模）我们定义：有⼀组对⾓为直⾓的四边形叫做“对直⾓四边形”．如图1，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“对直⾓四边形”．（1）“对⾓线相等的对直⾓四边形是矩形”是命题；（填“真”或“假”）（2）如图2，在对直⾓四边形ABCD中，∠DAB＜90°，AD+CD＝AB+BC．试说明△ADC的⾯积与△ABC的⾯积相等；（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，过AB的中点D作射线DP∥AC，交BC于点O，∠BDP与∠ADP的⾓平分线分别交BC，AC于点E、F．①图中是“对直⾓四边形”的是；②当OP的长是时，四边形DEPF为对直⾓四边形．24．（2019?常州模拟）阅读理解：给定⼀个矩形，如果存在另⼀个矩形，它的周长和⾯积分别是已知矩形的周长和⾯积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“加倍”矩形．解决问题：（1）当矩形的长和宽分别为3，2时，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形的长与宽，若不存在，请说明理由．（2）边长为a的正⽅形存在“加倍”正⽅形吗？请做出判断，并说明理由专题02 ⼆次函数与⾯积的最值定值问题【真题再现】1．（2019年常州27题）如图，⼆次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b＝；（2）若点P在第⼀象限，过点P作PH⊥x轴，垂⾜为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标⼩于3，过点P作PQ⊥BD，垂⾜为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．2．（2018年徐州27题）如图，在平⾯直⾓坐标系中，⼆次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，其顶点为P，连接P A、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．（1）求点P，C的坐标；（2）直线l 上是否存在点Q ，使△PBQ 的⾯积等于△P AC 的⾯积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019年淮安26题）如图，已知⼆次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，D 为顶点，其中点B 的坐标为（5，0），点D 的坐标为（1，3）．（1）求该⼆次函数的表达式；（2）点E 是线段BD 上的⼀点，过点E 作x 轴的垂线，垂⾜为F ，且ED ＝EF ，求点E 的坐标．（3）试问在该⼆次函数图象上是否存在点G ，使得△ADG 的⾯积是△BDG 的⾯积的35？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2019年⽆锡27题）已知⼆次函数y ＝ax 2+bx ﹣4（a ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，（A 在B 左侧，且OA＜OB ），与y 轴交于点C ．（1）求C 点坐标，并判断b 的正负性；（2）设这个⼆次函数的图象的对称轴与直线AC 相交于点D ，已知DC ：CA ＝1：2，直线BD 与y 轴交于点E ，连接BC ．①若△BCE 的⾯积为8，求⼆次函数的解析式；②若△BCD 为锐⾓三⾓形，请直接写出OA 的取值范围．。
2020年中考数学5.几何综合选择填空压轴题(含解析)
几何综合-填空选择压轴题51、以正方形ABCD勺边AD作等边△ ADE则/ BEC勺度数是 __________2、如图.在厶ABC中, / ACB=60 , AC=1, D是边AB的中点，E是边BC上一点.若DE平分△ ABC的周长，则DE的长是 ____ .3、已知CD是△ ABC的边AB上的高，若CD・3,AD=1AB=2AC则BC的长为__4、如图，将面积为32V2的矩形ABCC沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P,连接AP交BC于点E.若BE=J，贝U AP的长为____ .p5、如图，△ ABC是等边三角形，△ ABD是等腰直角三角形，/ BAD=90 , AE L BD 于点E,连CD分别交AE AB于点F, G过点A作AH L CD交BD于点H.则下列结论：①/ ADC=15 :② AF=AG ③ AH=DF ④厶AF3A CBQ ⑤AF= (V3 - 1)EF.其中正确结论的个数为（）A. 5 B . 4 C . 3 D . 26 已知O 0的半径为10cm AB CD是O O的两条弦，AB// CD AB=16cm CD=12cm则弦AB和CD之间的距离是cm513 13 13 7 77、如图，将矩形ABCD 沿 EF 折叠，使点B 落在AD 边上的点G 处，点C 落在点H 处，已知/ DGH=30，连接BG 则/ AGB ________ .8、如图，？ABCD 勺对角线相交于点 0,且A 》CD 过点0作OM L AC,交AD 于点 M.如果△ CDM 勺周长为8,那么？ABCD 勺周长是 _____ .9、如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为 49，则 sin a - COS a =( ) A 13 B10、如图，P是厶ABC的内心，连接PA PB PC, △ PAB △ PBG △ PAC的面积分别为S、S、S.则Si ____ S2+S3.（填“v” 或“二”或“〉”）11、如图，△ ABC中, AB=AC AD L BC 于D点，DEL AB 于点E, BF 丄AC 于点F,DE=3cryi 则BF= ______ cm12、如图，已知半圆O与四边形ABCD勺边AD AB BC都相切，切点分别为DE、C,半径OC=1 则AE?BE=_.13、《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，冋该直角二角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是____________ 步.14、如图，以AB为直径的。
2020中考数学 几何压轴题汇编：三角形与平行四边形(含答案)
.2020 中考数学 几何压轴题汇编：三角形与平行四边形（含答案）1. 如图，设 E 、F 分别为正方形 ABCD 边 BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，过 E 、F 分别作 AC 的垂线，垂足分别为 P 、Q .(1)试找出图中相似三角形(至少 3 对，全等除外)；(2)求证：AB 2＝AP ·AQ ；(3) 设正方形的边长为 4，当 P 、Q 重合时，求 BE 的长．第 1 题图(1)解：图中相似三角形有：△ABC ∽△CQF ，△EPC ∽△ADC ，△CPE∽△CQF ，△CQF ∽△ADC ，△ABE ∽△AQF ，△APE ∽△ADF 等(写出任意 3对，即可得分)．(2)证明：∵∠BAE ＋∠EAP ＝∠EAP ＋∠QAF ＝45°，∴∠BAE ＝∠QAF在△ABE 与△AQF 中，⎧∠BAE ＝∠QAF⎨⎩∠B ＝∠AQF ＝90°，∴△ABE ∽△AQF ，AQ AF ＝ ∴ ABAE∴AP AQ AD ，.同理，在△AEP 与△AFD 中，⎧∠EAP ＝∠FAD⎨，⎩∠EPA ＝∠D ＝90°∴△AEP ∽△AFD .∴ AP ＝AE ， AD AFAB ＝∵AB ＝AD ，∴AB 2＝AP ·AQ .(3)解：如解图，当 P 、Q 重合时，∵∠EPC ＝∠FQC ＝90°，∴E 、P 、F 在同一直线上．∴∠ECP ＝∠FCQ ＝45°，∴EP ＝FQ ，在△AEP 和△AFP 中，⎧⎪AP ＝AQ⎨∠APE ＝∠AQF ，⎪⎩EP ＝FQ∴△AEP ≌△AFP (SAS)，1∴∠EAP＝×45°＝22.5°，2∴∠BAE＝45°－∠EAP＝22.5°，∴△AEB≌△AEP(AAS)，∴EB＝EP，AB＝AP＝4，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ACB＝45°，AC＝42，又∵EP＝PC，∴BE＝PC＝AC－AP＝42－4.第1题解图2.已知：在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转α与过点A且平行于BC 边的直线交于点E.(1)如图①，当α＝60°时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系；(2)如图②，当α＝45°时，判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；(3)如图③，当α为任意锐角时，依题意补全图形，判断线段BD 与AE之间的数量关系，并进行证明．(用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°)第2题图解：(1)BD＝AE；【解法提示】如解图①，连接EC，当△α＝60°时，ABC、△DCE 均为等边三角形，∴EC＝DC，AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，⎧⎪CD＝EC⎨∠BCD＝∠ACE，⎪⎩BC＝AC∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴BD＝AE；第2题解图①(2)BD＝2AE；证明：如解图②，过点D作DF∥AC，交BC于点F.第2题解图②∵DF∥AC，∴∠ACB＝∠DFB，∵∠ABC＝∠ACB＝α，α＝45°，∴∠ABC＝∠ACB＝∠DFB＝45°.∴△DFB是等腰直角三角形，∴BD＝DF＝22 BF.∵AE∥BC，∴∠ABC＋∠BAE＝180°，∵∠DFB＋∠DFC＝180°，∴AE AD DF CF.∴BD AD∴AE BDDF BF＝，∴∠BAE＝∠DFC，∵∠ABC＋∠BCD＝∠ADC，∠CDE＋∠ADE＝∠ADC，∠ABC＝∠CDE＝α，∴∠ADE＝∠BCD，∴△ADE∽△FCD，＝∵DF∥AC，BF＝CF，2＝2∴BD＝DF＝2AE；(3)补全图形如解图③，BD＝2cosα·AE.第2题解图③证明：连接EC，设AC与DE交于点O，∴AE∥BC，∠EAC＝∠ACB＝α，又∵∠EDC＝α，DO OC ＝ ∴AO OE∴BD BCAE AC ，又∵BC∴∠EAC ＝∠EDC ＝α，∵∠AOE ＝∠DOC ，∴△AOE ∽△DOC ，，∵∠AOD ＝∠EOC ，∴△AOD ∽△EOC ，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝180°－α－∠3(A 、D 、B 三点共线)，∠4＝180°－α－∠3(三角形内角和为 180°)，∴∠1＝∠4， ∴∠2＝∠1＝∠4.又∵∠EAC ＝∠ABC ＝α，∴△BDC ∽△AEC ，＝AC ＝2cos α，∴BD ＝2 cos α·AE .3. 在△ABC 中，点 D 在直线 AB 上，在直线 BC 上取一点 E ，连接 AE ，DE ，使得 AE ＝DE ，DE 交 AC 于点 G ，过点 D 作 DF∥AC ，交直线 BC 于点 F ，∠EAC ＝∠DEF ..(1)如图①，当点 E 在 BC 的延长线上，求证：∠EGC ＝∠AEC ；(2)如图①，当点 E 在 BC 的延长线上，D 为 AB 的中点，若 DF＝3，求 BE 的长度；(3)当点 E 在 BC 上，点 D 在 AB 的延长线上时，如图②所示，若CE ＝10，5EG ＝2DE ，求 AG 的长度．第 3 题图(1)证明：∵DF ∥AC ，∴∠DFE ＝∠ACE在△ACE 和△EFD 中，⎧⎪∠EAC ＝∠DEF⎨∠ACE ＝∠EFD ，⎪⎩AE ＝ED∴△ACE ≌△EFD (AAS)，∴∠AEC ＝∠EDF .∵DF ∥AC ，∴∠EGC ＝∠EDF ，∴∠EGC ＝∠AEC ；(2)解：∵DF ∥AC ，BC AC BA ＝∴ BF DF BD∴△BDF ∽△BAC ，＝ .∵D 为 AB 的中点，BD 1 1 1∴ ＝ ，∴BF ＝ BC ，DF ＝ AC . BA 2 2 2∴BF ＝CF ，AC ＝2DF ＝6，由(1)可知△ACE ≌△EFD ，∴AC ＝EF ＝6，CE ＝FD ＝3.∴BF ＝FC ＝EF －CE ＝3，∴BE ＝BF ＋FE ＝9；(3)解：∵DF ∥AC ，∴∠ACE ＝∠EFD .在△ACE 和△EFD 中，⎧⎪∠EAC ＝∠DEF⎨∠ACE ＝∠EFD ，⎪⎩AE ＝ED∴△ACE ≌△EFD (AAS)，∴CE ＝FD ＝10，AC ＝EF .∵DF ∥AC ，∴△DEF ∽△GEC ，EC GC GE ＝DF DE(3)在(2)的条件下，若BD＝2DC，求BE∴EF＝.∵5EG＝2DE，CE＝FD＝10，∴EF＝25，GC＝4，∴AG＝AC－GC＝EF－GC＝25－4＝21.4.(1)如图①，在ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，点D，E分别在AB，BC上，且∠CDE＝90°，EF⊥AB于点F，BE＝2AD，求证：DE＝CD；(2)如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，连接AD，E为AD上一点，过点E作BC的平行线分别交AB，AC 于点F，G，连接BE，CE，若∠BEC＝135°，求证：△BFE∽△EGC；CE的值.第4题图(1)证明：由题意可得，∠BFE＝∠DFE＝90°＝∠A＝∠CDE，∵∠ADC＋∠EDF＝∠FED＋∠EDF＝180°－90°＝90°，∴∠ADC＝∠FED.∵∠BFE＝90°，∠B＝30°，CE EG GC ＝ ∴BE BF ＝ FE∴BE ＝2FE .∵BE ＝2AD ，∴FE ＝AD ，在△FED 和△ADC 中，⎧⎪∠FED ＝∠ADC⎨FE ＝AD，⎪⎩∠DFE ＝∠CAD∴△FED ≌△ADC (ASA)，∴DE ＝CD ；(2)证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∵FG ∥BC ，∴∠AFG ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠AGF ＝45°，∴∠BFE ＝∠EGC ＝135°＝∠BEC ，∴AF ＝AG ，BF ＝GC ，∵∠GEC ＋∠BEC ＝∠GEB ＝∠BFE ＋∠FBE ，∴∠FBE ＝∠GEC ，∴△BFE ∽△EGC ；(3)解：由(2)知，△BFE ∽△EGC ，，∵FG ∥BC ，EG∴ EG BD DC ，EG GC ＝FE CE EG ＝∴△AFE ∽△ABD ，△AEG ∽△ADC ，∴ FE ＝ AE ， AE＝ EG， BD AD AD DCFE ＝∵BD ＝2DC ，∴FE ＝2EG ，又∵ BF，BF ＝GC ，∴ BF ＝2EG ， EG BFBF∴ ＝ 2，BE BF ∴ ＝ 2.5. 在矩形 ABCD 中，AD ＝4，M 是 AD 的中点，点 E 是线段 AB上一动点，连接 EM 并延长交线段 CD 的延长线于点 F .(1)如图①，求证：△AEM ≌△DFM ；(2)如图②，若 AB ＝2，过点 M 作 MG ⊥EF 交线段 BC 于点 G ，求证：△GEF 是等腰直角三角形；(3)如图③，若 AB ＝2 3，过点 M 作 MG ⊥EF 交线段 BC 的延长线于点 G ，求MGME 的值.第 5 题图(1)证明∵ABCD 是矩形，∴∠EAM ＝∠FDM ＝90°，∵M 是 AD 的中点，∴AM ＝DM ，⎧⎪∠A ＝∠FDB在△AME 和△DMF 中，⎨AM ＝DM，⎪⎩∠AME ＝∠DMF∴△AME ≌△DMF (ASA)；(2)证明：过点 G 作 GH ⊥AD 于 H ，如解图①，∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°，∴四边形 ABGH 是矩形．∴GH ＝AB ＝2，∵M 是 AD 的中点，1∴AM ＝ AD ＝2，∴AM ＝GH ，2∵MG ⊥EF ，∴∠GME ＝90°∴∠AME ＋∠GMH ＝90°.∵∠AME ＋∠AEM ＝90°，∴∠AEM ＝∠GMH ，⎧⎪AM ＝GH在△AEM 和△HMG 中，⎨∠AEM ＝∠GMH ，⎪⎩∠A ＝∠AHG∴△AEM ≌△HMG ，∴ME ＝MG ，∴∠EGM ＝45°，由(1)得△AEM ≌△DFM ，∴ME ＝MF ，∵MG ⊥EF ，∴GE ＝GF ，∴∠EGF ＝2∠EGM ＝90°，∴△GEF 是等腰直角三角形．第 5 题解图①(3)解：过点 G 作 GH ⊥AD 交 AD 延长线于点 H ，如解图②，∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°，∴四边形 ABGH 是矩形，∴GH ＝AB ＝2 3，∵MG ⊥EF ，∴∠GME ＝90°，∴EM AMMG GH，在Rt△GME中，∴tan∠MEG＝MG∴∠AME＋∠GMH＝90°，∵∠AME＋∠AEM＝90°，∴∠AEM＝∠GMH，又∵∠A＝∠GHM＝90°，∴△AEM∽△HMG，＝EM＝ 3.第5题解图②6.已知D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB于点E、DF⊥AC于点F，且BE＝CF，点M、N分别是AE、DE上的点，AN⊥FM于点G.(1)如图①，当∠BAC＝90°时；①求证：四边形AEDF是正方形；②试问AN与FM之间的数量关系与四边形AEDF的两对角线的数量关系相同吗？请证明你的结论；(2)如图②，当AF∶DF＝2∶1时，求AN∶FM的值．第6题图(1)①证明：∵∠BAC＝90°，∠AED＝∠AFD＝90°，∴四边形AEDF是矩形，∵BD＝DC，∠DEB＝∠DFC＝90°，BE＝CF，∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴DE＝DF，∴矩形AEDF是正方形；②解：AN与FM之间的数量关系与四边形AEDF的两条对角线的数量关系相同；理由：在正方形AEDF中，AF＝AE，又∵AN⊥FM于G，∠AMF＝∠ANE，∠AEN＝∠MAF＝90°，∴Rt△AEN≌△Rt△FAM(AAS)，∴AN＝FM，又∵正方形AEDF的对角线相等，∴AN与FM之间的数量关系与四边形AEDF的两对角线的数量关系相同；∴AN AD 5FM ＝ EF 4(2)解：如解图，连接 AD 、EF ，且 AD 与 EF 相交于点 O ，设 AF ＝2k ，DF ＝k ，在 Rt△ADF 中，AD ＝ （2k ）2＋k 2＝ 5k ，∵Rt△BED ≌Rt△CFD (HL)，∴∠B ＝∠C ，DE ＝DF ，∴AB ＝AC ，AE ＝AF ，1∴AD 垂直平分 EF ，则 OF ＝ EF ，DF ⊥AC 于点 F ，21 ×2 1 2 55k ·OF ＝2k ·k · ，∴OF ＝ k ， 2 54 5∴EF ＝ k ，5又∵∠NEM ＝∠MGN ＝90°，∠GME ＋∠ E NG ＝∠ D NG ＋∠ E NG ＝180°，∠ AEO ＋∠ E AO ＝∠ADE ＋∠EAD ＝180°，∴∠EMF ＝∠DNA ，∠AEO ＝∠NDA ，∴△FME ∽△AND ，＝ .第6题解图7.已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交CD于点F.第7题图(1)如图①，连接AF，若AB＝4，BE＝1，求AF的长；(2)如图②，连接BD，交AE于点N，连接AC，分别交BD、BF 于点O、M，连接GO，求证：GO平分∠AGF；(3)如图③，在第(2)问的条件下，连接CG，若CG⊥GO，求证：AG＝2CG.(1)解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AD＝AB＝4，∠ABE＝∠C＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠CBF＝90°，∵BF⊥AE，∴∠ABG＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，⎧⎪∠C ＝∠ABE在△BCF 和△ABE 中，⎨BC ＝AB，⎪⎩∠CBF ＝∠BAE∴△BCF ≌△ABE (ASA)，∴CF ＝BE ＝1，∴DF ＝CD －CF ＝3，∴AF ＝ AD 2＋DF 2＝ 42＋32＝5；(2)证明：∵AC ⊥BD ，BF ⊥AE ，∴∠AOB ＝∠AGB ＝∠AGF ＝90°，∴A 、B 、G 、O 四点共圆，∴∠AGO ＝∠ABO ＝45°，∴∠FGO ＝90°－45°＝45°＝∠AGO ，∴GO 平分∠AGF ；(3)证明：连接 EF ，如解图所示：∵CG ⊥GO ，∴∠OGC ＝90°，∵∠EGF ＝∠BCD ＝90°，∴∠EGF ＋∠BCD ＝180°，∴C 、E 、G 、F 四点共圆，∴∠EFC ＝∠EGC ＝180°－90°－45°＝45°，∴△CEF 是等腰直角三角形，∴CE ＝△CF ，同(1)得： BCF ≌△ABE ，1∴CF ＝BE ，∴CE ＝BE ＝ BC ，2222CE，∴AG OA(3)如图②，当α＝90°时，请写出BD12∴OA＝AC＝BC＝由(1)得：A、B、G、O四点共圆，∴∠BOG＝∠BAE，∵∠GEC＝90°＋∠BAE，∠GOA＝90°＋∠BOG，∴∠GOA＝∠GEC，又∵∠EGC＝∠AGO＝45°，∴△AOG∽△CEG，CG＝CE＝2，∴AG＝2CG.第7题解图8.已知点E在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°.(1)如图①，当△α＝60°，求证：ABE≌△CBD；(2)在(1)的条件下，连接CD，若AE＝1，试求BD的长；AE的值．第 8 题图(1)证明：如解图①，连接 DC ，∵∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．同理△EBD 也是等边三角形，∴AB ＝BC ，BE ＝BD ，∠ABE ＝60°－∠EBC ＝∠CBD ，⎧⎪AB ＝BC在△ABE 与△CBD 中，⎨∠ABE ＝∠CBD ，⎪⎩BE ＝BD∴△ABE ≌△CBD ；第 8 题解图①(2)证明：∵△ABE ≌△CBD ，∴AE ＝CD ，∠AEB ＝∠CDB ＝150°，∴∠EDC ＝150°－∠BDE ＝90°，3，∴AEED＝tan30°＝3BD＝33，EB BD，即AB EB∴AB＝BCBC BD＝CD BD＝BE∠CED＝∠BEC－∠BED＝90°－60°＝30°.CD在Rt△EDC中，∴BD＝3AE＝3；(3)解：如解图②，连接DC，∵∠ABC＝∠EBD＝90°，∠ACB＝∠EDB＝60°，∴△ABC∽△EBD，，又∵∠ABE＝90°－∠EBC＝∠CBD，∴△ABE∽△CBD，∠AEB＝∠CDB＝150°，∴AE，∴∠E DC＝150°－∠B DE＝90°，∠C ED＝∠B EC－∠B ED＝90°－(90°－∠BDE)＝60°，设BD＝x，则在Rt△EBD中，DE＝2x，BE＝在Rt△EDC中，CD＝DE·tan60°＝23x，3x，∴AE ＝CD·BE23x·3x BD＝x＝6x＝6BD，即BD＝1. AE6第 8 题解图②9. 在锐角△ABC 中，AB ＝6，BC ＝11，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转，得到 △A 1BC 1.(1) 如图①，当点 C 1 在线段 CA 的延长线上时，∠ CC 1A 1 ＝________°；(2)如图②，连接 AA 1，CC 1. 若△ABA 1 的面积为 24，求△CBC 1的面积；(3)如图③，点 E 为线段 AB 中点，点 P 是线段 AC 上的动点，在△ABC 绕点 B 逆时针旋转过程中，点 P 的对应点是 P 1，求在旋转过程中，线段 EP 1 长度的最大值与最小值的差.第 9 题图(1)解：60；【解法提示】由旋转得：∠A 1C 1B ＝∠C ＝30°，BC ＝BC 1，∴∠C ＝∠BC 1C ＝30°，BC BC 1＝＝( AB△SBC11 121 ∴ CBC 1＝ ；∴∠CC 1A 1＝60°.(2)解：∵△ABC ≌ △A 1BC 1，∴BA ＝BA 1，BC ＝BC 1，∠ABC ＝∠A 1BC 1，∴BA BA 1，∵∠ABA 1＝∠CBC 1，∴△ABA 1∽△CBC 1，△SABA 1636∴)2＝( )2＝，CBC 1∵△S ABA 124，2423(3)解：如解图，过点 B 作 BD ⊥AC ，D 为垂足，∵△ABC 为锐角三角形，∴点 D 在线段 AC 上，在 Rt△BCD 中，BD ＝BC ·sin30°＝5.5，以 B 为圆心，BD 长为半径画圆交 AB 于点 P 1′，BP 1 有最小值 BP 1′.∴EP 1 的最小值为 5.5－3＝2.5，以 B 为圆心，BC 长为半径画圆交 AB 的延长线于点 P 1″，BP 1 有最大值 BP 1″.于点H，I，求AH此时EP1的最大值为11＋3＝14，∴线段EP1的最大值与最小值的差为14－2.5＝11.5.第9题解图10.如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE与AD相交于F.过F作FG⊥BE，过A作AG⊥AB，AG与FG相交于G.(1)如图①，若AC＝5，DF＝3，求AB的长；(2)证明：△BFG是等腰直角三角形；(3)如图②，当BD＝2CD时，连接CF并延长，分别交AB，BGHI的值．第10题图(1)解：在△ABD中，∠ABD＝45°，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠ABD＝45°，∴BD＝AD，∵BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠BDA＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠FAE＝∠FBD，在△BFD和△ACD中，⎧⎪∠FBD＝∠CAD⎨∠FDB＝∠CDA，⎪⎩BD＝AD∴△BFD≌△ACD，∴BF＝AC＝5，在Rt△BDF中，由勾股定理得BD＝BF2－DF2＝52－32＝4，BD42；在Rt△ABD中，AB＝＝＝4cos∠ABD cos45°第10题解图(2)如解图，过F作FP∥BC交AB于点P，则∠AFP＝∠ADB＝90°，∠APF＝∠ABD＝45°，∴∠BAD＝45°，∴∠FPA＝∠FAP，∴PF＝AF.∵∠BFG＝90°，∴∠AFP＝∠BFG，∴∠AFG＋∠GFP＝∠GFP＋∠PFB，∴∠AFG＝∠PFB，设FG交AB于Q，∵∠GAB＝∠GFB＝90°，∠AQG＝∠FQB，∴∠AGQ＝∠FBQ，在△AFG和△PFB中，⎧⎪∠AFG＝∠PFB⎨∠AGF＝∠PBF，⎪⎩AF＝PF∴△AFG≌△PFB(AAS)，∴GF＝BF，∵BF⊥GF，∴△BFG是等腰直角三角形；(3)解：∵三角形的三条高交于一点，AD⊥BC，BE⊥AC，∴CH⊥AB，∴AH ＝AB －BH ＝2 3 2HI∵∠ABD ＝45°，∴BH ＝CH .∵BD ＝2CD ，设 CD ＝m ，则 BC ＝3m ，∴BH ＝CH ＝ 322m ，在 Rt△ABD 中，BD ＝AD ＝2m ，∴AB ＝2 2m ，2 m ＝由(2)知△BFG 是等腰直角三角形，∴∠GBF ＝45°＝∠ABD ，∴∠IBH ＝∠EBC ，∵∠BHI ＝∠BDF ＝90°，∴△BIH ∽△BFD ，∴BH＝ IH， BD FD22 m .即 3 2m2 IH 2m ＝ m ，解得 HI ＝ 342m ，∴AH ＝3 2 m 2 2＝ .2 3m 4。
2020年江苏省中考数学试题汇编之压轴题精选(教师版)
2020年江苏省中考数学压轴题精选精析1（2020江苏常州28题）（答案暂缺）如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O ,它的顶点为A ,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l ,设P 是直线l 上一动点.(1) 求点A 的坐标;(2) 以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;(3) 设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,点P 的横坐标为x,当462682S +≤≤+时,求x 的取值范围.2（2020江苏淮安28题）（答案暂缺）28．(本小题14分)如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P ，与x 轴交点为 A 、B ，与y 轴交点为C ．连结BP 并延长交y 轴于点D. (1)写出点P 的坐标；(2)连结AP ，如果△APB 为等腰直角三角形，求a 的值及点C 、D 的坐标；(3)在(2)的条件下，连结BC 、AC 、AD ，点E(0，b)在线段CD(端点C 、D 除外)上,将△BCD 绕点E 逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S ，根据不同情况，分别用含b 的代数式表示S ．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b 为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．(第28题）ly x-1-2-4-3-1-2-4-312435123（第24题图）3（2020江苏连云港24题）（本小题满分14分）如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的AOB △，COD △处，直角边OB OD ，在x 轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至PEF △处时，设PE PF ，与OC 分别交于点M N ，，与x 轴分别交于点G H ，．（1）求直线AC 所对应的函数关系式；（2）当点P 是线段AC （端点除外）上的动点时，试探究：①点M 到x 轴的距离h 与线段BH 的长是否总相等？请说明理由；②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S 取最大值时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2020江苏连云港24题解析）解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2， 知A C ，两点的坐标分别为(12)(21)，，，． 设直线AC 所对应的函数关系式为y kx b =+． ················ 2分有221k b k b +=⎧⎨+=⎩，．解得13k b =-⎧⎨=⎩，．所以，直线AC 所对应的函数关系式为3y x =-+． ·············· 4分 （2）①点M 到x 轴距离h 与线段BH 的长总相等． 因为点C 的坐标为(21)，，所以，直线OC 所对应的函数关系式为12y x =． 又因为点P 在直线AC 上，所以可设点P 的坐标为(3)a a -，． 过点M 作x 轴的垂线，设垂足为点K ，则有MK h =．因为点M 在直线OC 上，所以有(2)M h h ，． ······ 6分 因为纸板为平行移动，故有EF OB ∥，即EF GH ∥．又EF PF ⊥，所以PH GH ⊥．法一：故Rt Rt Rt MKG PHG PFE △∽△∽△，（第24题答图）从而有12GK GH EF MK PH PF ===． 得1122GK MK h ==，11(3)22GH PH a ==-．所以13222OG OK GK h h h =-=-=．又有13(3)(1)22OG OH GH a a a =-=--=-． ··············· 8分所以33(1)22h a =-，得1h a =-，而1BH OH OB a =-=-，从而总有h BH =． ··························· 10分法二：故Rt Rt PHG PFE △∽△，可得12GH EF PH PF =-．故11(3)22GH PH a ==-．所以13(3)(1)22OG OH GH a a a =-=--=-．故G 点坐标为3(1)02a ⎛⎫-⎪⎝⎭，． 设直线PG 所对应的函数关系式为y cx d =+，则有330(1)2a ca d c a d -=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，．解得233c d a =⎧⎨=-⎩ 所以，直线PG 所对的函数关系式为2(33)y x a =+-． ············ 8分 将点M 的坐标代入，可得4(33)h h a =+-．解得1h a =-．而1BH OH OB a --=-，从而总有h BH =． ··············· 10分 ②由①知，点M 的坐标为(221)a a --，，点N 的坐标为12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．ONH ONG S S S =-△△1111133(1)222222a NH OH OG h a a a -=⨯-⨯=⨯⨯-⨯⨯- 22133133224228a a a ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭． ·················· 12分当32a =时，S 有最大值，最大值为38． S 取最大值时点P 的坐标为3322⎛⎫⎪⎝⎭，．···················· 14分4（2020江苏南京28题）（10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)x ，两车之间的距离．．．．．．．为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系． 根据图象进行以下探究： 信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km ； （2）请解释图中点B 的实际意义； 图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；问题解决 （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？（2020江苏南京28题解析）28．（本题10分） 解：（1）900； ······························· 1分 （2）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇． ······· 2分 （3）由图象可知，慢车12h 行驶的路程为900km ， 所以慢车的速度为90075(km /h)12=； ···················· 3分 当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为900225(km /h)4=，所以快车的速度为150km/h ． ··············· 4分 （4）根据题意，快车行驶900km 到达乙地，所以快车行驶9006(h)150=到达乙地，此时两车之间的距离为675450(km)⨯=，所以点C 的坐标为(6450)，．设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，把(40)，，(6450)，代入得044506.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得225900.k b =⎧⎨=-⎩，所以，线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为225900y x =-． ······ 6分 自变量x 的取值范围是46x ≤≤． ····················· 7分 （5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h ． 把 4.5x =代入225900y x =-，得112.5y =．此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km ，所以两列快车出发的间隔时间是112.51500.75(h)÷=，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h ． ······ 10分（第28题）y5（2020江苏南通28题）（14分）已知双曲线k y x =与直线14y x =相交于A 、B 两点．第一象限上的点M （m ，n ）（在A 点左侧）是双曲线ky x=上的动点．过点B 作BD ∥y 轴交x 轴于点D ．过N （0，－n ）作NC ∥x 轴交双曲线ky x=于点E ，交BD 于点C ． （1）若点D 坐标是（－8，0），求A 、B 两点坐标及k 的值．（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式．（3）设直线AM 、BM 分别与y 轴相交于P 、Q 两点，且MA =pMP ，MB =qMQ ，求p －q 的值．（2020江苏南通28题解析）解：（1）∵D （－8，0），∴B 点的横坐标为－8，代入14y x =中，得y =－2． ∴B 点坐标为（－8，－2）．而A 、B 两点关于原点对称，∴A （8，2）．从而8216k =⨯=．……………………………………………………………………3分 （2）∵N （0，－n ），B 是CD 的中点，A 、B 、M 、E 四点均在双曲线上，∴mn k =，B （－2m ，－2n），C （－2m ，－n ），E （－m ，－n ）． ……………4分 S 矩形DCNO 22mn k ==，S △DBO =1122mn k =，S △OEN =1122mn k =， ………………7分∴S 四边形OBCE = S 矩形DCNO －S △DBO － S △OEN =k ．∴4k =． …………………………8分由直线14y x =及双曲线4y x=，得A （4，1），B （－4，－1）， ∴C （－4，－2），M （2，2）．………………………………………………………9分 设直线CM 的解析式是y ax b =+，由C 、M 两点在这条直线上，得 42,2 2.a b a b -+=-⎧⎨+=⎩ 解得23a b ==． ∴直线CM 的解析式是2233y x =+．………………………………………………11分 （3）如图，分别作AA 1⊥x 轴，MM 1⊥x 轴，垂足分别为A 1、M 1．（第28题）设A 点的横坐标为a ，则B 点的横坐标为－a ．于是 111A M MA a mp MP M O m-===． 同理MB m aq MQ m+==，……………………………13分 ∴2a m m ap q m m-+-=-=-．……………………14分6(08江苏苏州28题)(答案暂缺)28．(本题9分) 课堂上，老师将图①中△AOB 绕O 点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化当△AOB 旋转90°时，得到△A 1OB 1．已知A(4，2)、B(3，0)．（1）△A 1OB 1的面积是 ；A 1点的坐标为（ ， ；B 1点的坐标为( ， )； （2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中△AOB 绕AO 的中点C(2，1)逆时针旋转90°得到△A′O ′B ′，设O ′B ′交OA 于D ，O ′A ′交x 轴于E ．此时A ′、O ′和B ′的坐标分别为(1，3)、(3，－1)和(3，2)，且O ′B ′ 经过B 点．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与△AOB 重叠部分的面积不断变小，旋转到90°时重叠部分的面积(即四边形CEBD 的面积)最小，求四边形CFBD 的面积；（3）在（2)的条件一下，△AOB 外接圆的半径等于 ．7（2020江苏宿迁27题）（本题满分12分）如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为)0,5(，顶点D 在⊙O 上运动．(1)当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时,试证明直线CD 与⊙O 相切； (2)当直线CD 与⊙O 相切时，求CD 所在直线对应的函数关系式；(3)设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．（第28题）第27题（2020江苏宿迁27题解析）解：(1) ∵四边形ABCD 为正方形 ∴CD AD ⊥ ∵A 、O 、D 在同一条直线上 ∴︒=∠90ODC ∴直线CD 与⊙O 相切； (2)直线CD 与⊙O 相切分两种情况:①如图1, 设1D 点在第二象限时,过1D 作x E D ⊥11轴于点1E ,设此时的正方形的边长为a ,则2225)1(=+-a a ,解得4=a 或3-=a (舍去)．由BOA Rt ∆∽11OE D Rt ∆ 得OBOD BA E D OA OE 1111== ∴54,53111==E D OE ∴)54,53(1-D ，故直线OD 的函数关系式为x y 34-=；②如图2, 设2D 点在第四象限时,过2D 作x E D ⊥22轴于点2E ,设此时的正方形的边长为b ,则2225)1(=++b b ,解得3=b 或4-=b (舍去)．由BOA Rt ∆∽22OE D Rt ∆得OBOD BA E D OA OE 2222== ∴53,54222==E D OE ∴)53,54(2-D ，故直线OD 的函数关系式为x y 43-=. (3)设),(0y x D ,则201x y -±=,由)0,5(B 得x x x DB 1026)1()5(22-=-+-=∴x x BD S 513)1026(21212-=-==∵11≤≤-x∴851318513=-==+=最小值最大值，SS .第27题图1第27题图28（2020江苏泰州29题）已知二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，23-）。
2020-2021中考数学——直角三角形的边角关系的综合压轴题专题复习及答案解析
2020-2021中考数学——直角三角形的边角关系的综合压轴题专题复习及答案解析一、直角三角形的边角关系1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】6.4米【解析】解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°．∴DC=BC•cos30°=36392==米，∵CF=1米，∴DC=9+1=10米，∴GE=10米，∵∠AEG=45°，∴AG=EG=10米，在直角三角形BGF中，BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米，∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，答：树高约为6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高2．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=12∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量、猜想：BFPE=，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE的值．（用含α的式子表示）【答案】（1）证明见解析（2）12BFPE=（3）1tan2BFPEα=【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．（2）BF1PE2=．证明如下：如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．∴NB=NP．∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE．∵∠BPE=12∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900．又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF="MF" ，即BF=12 BM．∴BF=12PE，即BF1PE2=．（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．由（2）同理可得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ．∴BM BNPE PN=． 在Rt △BNP 中，BN tan =PN α， ∴BM =tan PE α，即2BF=tan PEα． ∴BF 1=tan PE 2α． （1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出BF 1PE 2=的结论． （3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BNtan =PNα即可求得BF 1=tan PE 2α．3．如图，在⊙O 的内接三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E.设P 是上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G. (1)求证：△PAC ∽△PDF ； (2)若AB ＝5，，求PD 的长；(3)在点P 运动过程中，设＝x ，tan ∠AFD ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式．(不要求写出x 的取值范围)【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论.（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.∵AB⊥CD，∴.如图，连接BP，∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.由（1）△PAC∽△PDF得，即.∴PD的长为.（3）如图，连接BP，BD，AD，∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.∵，∴.∵△AGP∽△DGB，∴.∵△AGD∽△PGB，∴.∴，即.∵，∴.∴与之间的函数关系式为.考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.4．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．(1)求证：PA是☉O的切线；(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.【解析】试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.易证，所以,解得，则，在中，.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M 同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D 时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？【答案】（1）3；（2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.【解析】试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm∴t=s=3s．（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1∴BM=cm.∴t=s.当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，∵AD=AH+DH=x+x=x=4，∴x=3．当≤t≤4时，S MNGN=1cm2．当4＜t≤6时，S MNGH=（t﹣3）2cm2∴S关于t的函数关系式为：.（3）分两种情况：①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，∴MN=6cm∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；②当DC=PC时，DC=PC=12cm∴NC=6cm∴EN=16cm﹣1cm﹣6cm=（15﹣6）cm∴t=（15﹣6）s故当t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．综上所述，当t=9s或t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.6．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，动点D从点A出发，在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动，连结CD，作点A关于直线CD的对称点E，设点D运动时间为t（s）．（1）若△BDE是以BE为底的等腰三角形，求t的值；（2）若△BDE为直角三角形，求t的值；（3）当S△BCE≤92时，所有满足条件的t的取值范围（所有数据请保留准确值，参考数据：tan15°=2【答案】（1；（2秒或3秒；（3）6﹣【解析】【分析】（1）如图1，先由勾股定理求得AB的长，根据点A、E关于直线CD的对称，得CD垂直平分AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE，所以AD=DE=BD，由，可得t 的值；（2）分两种情况：①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，根据t的值；②当∠EDB=90°时，如图3，根据△AGC≌△EGD，得AC=DE，由AC∥ED，得四边形CAED 是平行四边形，所以AD=CE=3，即t=3；（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，①当△BCE在BC的下方时，②当△BCE在BC的上方时，分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论．【详解】解：（1）如图1，连接AE，由题意得：AD=t，∵∠CAB=90°，∠CBA=30°，∴BC=2AC=6，∴∵点A、E关于直线CD的对称，∴CD垂直平分AE，∴AD=DE，∵△BDE是以BE为底的等腰三角形，∴DE=BD，∴AD=BD，∴；（2）△BDE为直角三角形时，分两种情况：①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，∵CD垂直平分AE，∴AD=DE=t，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2t，∴AB=3t=33，∴t=3；②当∠EDB=90°时，如图3，连接CE，∵CD垂直平分AE，∴CE=CA=3，∵∠CAD=∠EDB=90°，∴AC∥ED，∴∠CAG=∠GED，∵AG=EG，∠CGA=∠EGD，∴△AGC≌△EGD，∴AC=DE，∵AC∥ED，∴四边形CAED是平行四边形，∴AD=CE=3，即t=3；综上所述，△BDE为直角三角形时，t的值为3秒或3秒；（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，①当△BCE在BC的下方时，过B作BH⊥CE，交CE的延长线于H，如图4，当AC=BH=3时，此时S△BCE=12AE•BH=12×3×3=92，易得△ACG≌△HBG，∴CG=BG，∴∠ABC=∠BCG=30°，∴∠ACE=60°﹣30°=30°，∵AC=CE，AD=DE，DC=DC，∴△ACD≌△ECD，∴∠ACD=∠DCE=15°，tan∠ACD=tan15°=t3=23，∴t=6﹣3由图形可知：0＜t＜6﹣3时，△BCE的BH越来越小，则面积越来越小，②当△BCE在BC的上方时，如图3，CE=ED=3，且CE⊥ED，此时S△BCE=12CE•DE=12×3×3=92，此时t=3，综上所述，当S△BCE≤92时，t的取值范围是6﹣33≤t≤3．【点睛】本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．7．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，40），直线AB：y＝13x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH．（1）求边EF的长；（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）．①当点F1移动到点B时，求t的值；②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积．【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；【解析】【分析】（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-43x+40，可求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，t=1010÷10=10；②F点移动到F'的距离是10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在Rt△F'NF中，NFNF'=13，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，43MHEM'=，t=4，S=12×(12+454)×11=10238；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，PKF K'=13，PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，PKKG'＝31539tt--+＝43，t=7，S=15×（15-7）=120.【详解】（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），∴30040k bb+=⎧⎨=⎩，∴4340kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y＝﹣43x+40，直线AB与直线DE的交点P（21，12），由题意知F（30，15），∴EF＝15；（2）①易求B（0，5），∴BF＝1010，∴当点F1移动到点B时，t＝101010÷＝10；②当点H运动到直线DE上时，F 点移动到F'的距离是10t ， 在Rt △F'NF 中，NF NF '=13， ∴FN ＝t ，F'N ＝3t ，∵MH'＝FN ＝t ，EM ＝NG'＝15﹣F'N ＝15﹣3t ，在Rt △DMH'中，43MH EM '=， ∴41533t t =-， ∴t ＝4， ∴EM ＝3，MH'＝4，∴S ＝1451023(12)11248⨯+⨯=； 当点G 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'10，∵PF ＝10∴PF'10t ﹣10，在Rt △F'PK 中，13PK F K ='， ∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9，在Rt △PKG'中，PK KG '＝31539t t --+＝43， ∴t ＝7，∴S ＝15×（15﹣7）＝120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．8．如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；（2）连接FC ，观察并直接写出∠FCN 的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB ＝6，BC ＝8，E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请求出tan ∠FCN 的值．若∠FCN 的大小发生改变，请举例说明．【答案】（1）见解析；（2）∠FCN ＝45°，理由见解析；（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43．理由见解析. 【解析】【分析】（1）根据三角形判定方法进行证明即可．（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°，∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ，∴∠BAE ＝∠DAG ，在△ADG 和△ABE 中， ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△ABE （AAS ）．（2）解：∠FCN ＝45°，理由如下：作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：则∠EHF ＝90°＝∠ABE ，∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°，∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EFH ≌△ABE （AAS ），∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ，∴CH ＝BE ＝FH ，∵∠FHC ＝90°，∴∠FCN ＝45°．（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下：作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90°，结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，∴EH ＝AD ＝BC ＝8，∴CH ＝BE ， ∴EH FH FH AB BE CH==； 在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝8463FH EH CH AB ===， ∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．9．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，AC⊥BC于点C，将△ABC沿AC翻折得到△AEC，连接DE．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）若AC＝4，BC＝3，求sin∠ABD的值．【答案】（1）证明见解析（2）613【解析】【分析】（1）根据▱ABCD中，AC⊥BC，而△ABC≌△AEC，不难证明；（2）依据已知条件，在△ABD或△AOC作垂线AF或OF，求出相应边的长度，即可求出∠ABD的正弦值．【详解】（1）证明：∵将△ABC沿AC翻折得到△AEC，∴BC＝CE，AC⊥CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AD＝CE，AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∵AC⊥CE，∴四边形ACED是矩形．（2）解：方法一、如图1所示，过点A作AF⊥BD于点F，∵BE＝2BC＝2×3＝6，DE＝AC＝4，∴在Rt△BDE中，2222BD BE DE64213=+=+=∵S△BDE＝12×DE•AD＝12AF•BD，∴AF613213=，∵Rt△ABC中，AB2234+5，∴Rt△ABF中，sin ∠ABF ＝sin ∠ABD ＝61361313655AF AB ==．方法二、如图2所示，过点O 作OF ⊥AB 于点F ，同理可得，OB ＝1132BD =， ∵S △AOB ＝11OF AB OA BC 22⋅=⋅， ∴OF ＝23655⨯=， ∵在Rt △BOF 中，sin ∠FBO ＝0613513F OB ==， ∴sin ∠ABD ＝613．【点睛】本题考查直角三角形翻折变化后所得图形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质和解直角三角形求线段的长度，关键是正确添加辅助线和三角形面积的计算公式求出sin ∠ABD ．10．如图①,在菱形ABCD 中,60B ︒∠= ，4AB =.点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿边AD 向终点D 运动，过点P 作PQ AC ⊥交边AB 于点Q ，过点P 向上作//PN AC ，且32PN PQ =，以PN 、PQ 为边作矩形PQMN .设点P 的运动时间为t （秒），矩形PQMN 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S .（1）用含t 的代数式表示线段PQ 的长.（2）当点M 落在边BC 上时，求t 的值.（3）当0t 1<<时，求S 与t 之间的函数关系式，（4）如图②,若点O 是AC 的中点，作直线OM .当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为12：时，直接写出t 的值【答案】（1）23PQ t =；（2）45；（3）2193403163t t -+-；（4） 23t = 或87t = ． 【解析】【分析】（1）由菱形性质得∠D=∠B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD 是等边三角形，证出△APQ 是等腰三角形，得出PF=QF ，3，即可得出结果；（2）当点M 落在边BC 上时，由题意得：△PDN 是等边三角形，得出PD=PN ，由已知得3，得出PD=3t ，由题意得出方程，解方程即可； （3）当0＜t≤45时，3t ，PN=32PQ=3t ，S=矩形PQMN 的面积=PQ×PN ，即可得出结果；当45＜t ＜1时，△PDN 是等边三角形，得出PE=PD=AD-PA=4-2t ，∠FEN=∠PED=60°，得出NE=PN-PE=5t-4，33（5t-4），S=矩形PQMN 的面积-2△EFN 的面积，即可得出结果；（4）分两种情况：当0＜t≤45时，△ACD 是等边三角形，AC=AD=4，得出OA=2，OG 是△MNH 的中位线，得出OG=4t-2，NH=2OG=8t-4，由面积关系得出方程，解方程即可； 当45＜t≤2时，由平行线得出△OEF ∽△MEQ ，得出EF OF EQ MQ =233t t EF t -=+，解得EF=243232t t t -，得出2332234t t t t -+，由三角形面积关系得出方程，解方程即可．【详解】（1）∵在菱形ABCD 中，∠B=60°，∴∠D=∠B=60°，AD=AB=CD=4，△ACD是等边三角形，∴∠CAD=60°，∵PQ⊥AC，∴△APQ是等腰三角形，∴PF=QF，PF=PA•sin60°=2t×32=3t，∴PQ=23t；（2）当点M落在边BC上时，如图2所示：由题意得：△PDN是等边三角形，∴PD=PN，∵PN=3PQ=3×23t=3t，∴PD=3t，∵PA+PD=AD，即2t+3t=4，解得：t=45．（3）当0＜t≤45时，如图1所示：3，PN=32PQ=323t=3t，S=矩形PQMN的面积33t2；当45＜t＜1时，如图3所示：∵△PDN是等边三角形，∴PE=PD=AD-PA=4-2t，∠FEN=∠PED=60°，∴NE=PN-PE=3t-（4-2t）=5t-4，∴FN=3NE=3（5t-4），∴S=矩形PQMN的面积-2△EFN的面积=63t2-2×12×3（5t-4）2=-19t2+403t-163，即S=-19t2+403t-163；（4）分两种情况：当0＜t≤45时，如图4所示：∵△ACD是等边三角形，∴AC=AD=4，∵O是AC的中点，∴OA=2，OG是△MNH的中位线，∴OG=3t-（2-t）=4t-2，NH=2OG=8t-4，∴△MNH的面积=12MN×NH=12×23t×（8t-4）=13×63t2，解得：t=23；当45＜t≤2时，如图5所示：∵AC∥QM，∴△OEF ∽△MEQ ， ∴EF OF EQ MQ =，即233t t EF t-=+， 解得：EF=243232t t t --， ∴EQ=2332234t t t t --+， ∴△MEQ 的面积=12×3t×（23323t t t -+）=13×63t 2， 解得：t=87； 综上所述，当直线OM 将矩形PQMN 分成两部分图形的面积比为1：2时，t 的值为23或87． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握菱形和矩形的性质，综合运用知识，进行分类讨论是解题的关键．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣14x 2+bx +c 与直线y ＝12x ﹣3分别交x 轴、y 轴上的B 、C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点为点D ，连接CD 交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）求∠DCB 的正切值；（3）如果点F 在y 轴上，且∠FBC ＝∠DBA +∠DCB ，求点F 的坐标．【答案】（1）21y 234x x =-+-，D （4，1）；（2）13；（3）点F 坐标为（0，1）或（0，﹣18）．【解析】【分析】（1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3，求出点B 、C 的坐标，将点B 、C坐标代入抛物线y＝﹣14x2+bx+c，即可求解；（2）求出则点E（3，0），EH＝EB•sin∠OBC＝5，CE＝32，则CH＝5，即可求解；（3）分点F在y轴负半轴和在y轴正半轴两种情况，分别求解即可．【详解】（1）y＝12x﹣3，令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝﹣3，则点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，﹣3），则c＝﹣3，将点B坐标代入抛物线y＝﹣14x2+bx﹣3得：0＝﹣14×36+6b﹣3，解得：b＝2，故抛物线的表达式为：y＝﹣14x2+2x﹣3，令y＝0，则x＝6或2，即点A（2，0），则点D（4，1）；（2）过点E作EH⊥BC交于点H，C、D的坐标分别为：（0，﹣3）、（4，1），直线CD的表达式为：y＝x﹣3，则点E（3，0），tan∠OBC＝3162OCOB==，则sin∠OBC5，则EH＝EB•sin∠OBC5CE＝2CH5则tan∠DCB＝13 EHCH=；（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），则BC＝5∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，tan∠DBE＝164-＝12，故：∠DBE＝∠OBC，则∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，①当点F在y轴负半轴时，过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G，则∠GFC＝∠OBC＝α，设：GF＝2m，则CG＝GFtanα＝m，∵∠CBF＝45°，∴BG＝GF，即：35+m＝2m，解得：m＝35，CF＝22GF CG＝5m＝15，故点F（0，﹣18）；②当点F在y轴正半轴时，同理可得：点F（0，1）；故：点F坐标为（0，1）或（0，﹣18）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3），确定∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，是本题的突破口．12．近几年，我国国家海洋局高度重视海上巡逻．如图，上午9时，巡逻船位于A处，观测到某港口城市P位于巡逻船的北偏西67.5°，巡逻船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时巡逻船到达B处，这时观测到城市P位于巡逻船的南偏西36.9°方向，求此时巡逻船所在B处与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125）【答案】100海里【解析】【分析】过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，设PC=x海里，用含有x的式子表示AC，BC的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答．【详解】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里．在Rt△APC中，∵tan∠A=，∴AC=，在Rt△PCB中，∵tan∠B=，∴BC=，∵AC+BC=AB=21×5，∴，解得x=60，∵，∴（海里）．∴巡逻船所在B处与城市P的距离为100海里．【点睛】本题考查了方向角问题，注意结合实际问题，利用解直角三角形的相关知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用.。
2020年中考数学4.几何综合选择填空压轴题(含解析)
几何综合-填空选择压轴题41、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为．2、如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．√6cm C．2.5cm D．√5cm3、定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ（a，θ）变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上．△A1B1C1就是△ABC经γ（1，180°）变换后所得的图形．若△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2，△A2B2C2经γ（3，180°）变换后得△A3B3C3，依此类推……△An﹣1Bn﹣1Cn﹣1经γ（n，180°）变换后得△AnBnCn，则点A1的坐标是，点A2018的坐标是．4、我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A．20 B．24 C．994D．5325、如图，直线y=﹣√33x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D 是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为．6、小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为49√3cm2，则该圆的半径为cm．27、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是．8、如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（）A．√15 B．2√5 C．2√15 D．89、如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE 的值是（）A．√24 B．14C．13D．√2310、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．32B．43C．53D．8511、如图，在正方形ABCD中，AD=2√3，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为．12、如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（）A．9+25√34 B．9+25√32C．18+25√3 D．18+25√3213、如图，点O 是▱ABCD 的对称中心，AD ＞AB ，E 、F 是AB 边上的点，且EF=12AB ；G 、H 是BC 边上的点，且GH=13BC ，若S 1，S 2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则S 1与S 2之间的等量关系是 ．14、如图，已知∠POQ=30°，点A 、B 在射线OQ 上（点A 在点O 、B 之间），半径长为2的⊙A 与直线OP 相切，半径长为3的⊙B 与⊙A 相交，那么OB 的取值范围是（ ）A ．5＜OB ＜9 B ．4＜OB ＜9C ．3＜OB ＜7D ．2＜OB ＜715、如图，在矩形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交CD 于点E ．若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC 的长为 ．16、如图，在菱形ABCD中，tanA=43，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，BNCN的值为．17、如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）A．32B．2 C．52D．318、如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=14AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则S△ADGS△BGH的值为（）A．12B．23C．34D．119、如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2√3）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为．20、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为．21、如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r 1：r2= ．22、对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为（）A．7 B．6 C．5 D．423、如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达．（结果保留根号）24、如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y=√3x于点B 1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则A2019B2018̂的长是．25、如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP 的长为．26、如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为．27、如图，在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，点D为边AB的中点，连结CD，过点A作AE⊥CD于点E，将△ACE沿直线AC翻折到△ACE′的位置．若CE′∥AB，则CE′＝．。
2020年中考数学2几何综合选择填空压轴题（含解析）
几何综合-填空选择压轴题21、矩形ABCD中，AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC±,满足△PBE s^DBC,若AAPD是等腰三角形，则PE的长为.2、如图，CE是q ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点0,CE与DA的延长线交于点E.连接AC,BE,DO,DO与AC交于点F,则下列结论:四边形ACBE是菱形;①②ZACD=ZBAE；③AF：BE=2：3；④S四边形AFOE：S a C0D=2： 3.其中正确的结论有..（填写所有正确结论的序号）3、如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A-B-C—D路径匀速运动到点D,设APAD的面积为y,P点的运动时间为x,则y关于x的函数)图象大致为（4、如图，在菱形ABCD中，AC=6很，BD=6,E是BC边的中点，P,M分别是AC, AB上的动点，连接PE,PM,则PE+PM的最小值是（）A.6B.3V3C.2V6D. 4.55、如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AB=4,BC=2,将AABC绕点B顺时针方向旋转到AA，BJ的位置，此时点A，恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为.（结果保留丸）.6、如图，ZA0B=60°,OA=OB,动点C从点0出发，沿射线OB方向移动，以AC 为边在右侧作等边AACD,连接BD,则BD所在直线与0A所在直线的位置关系是()A.平行B,相交C,垂直 D.平行、相交或垂直7、如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4扼，点0”0?分别是^ABF,ACDE的内心，贝I0i02=.8、已知。
0的直径CD=10cm,AB是。
0的弦，AB±CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为()A.2V5cmB.4V5cmC.2-\/5cm或4扼cmD.2-\/3cm或4V3cm9、正方形AiBCO,A2B2C2G,A3B3C3C2,…按如图的方式放置,点A”A2,A3…和点G，C2,C3…分别在直线y=x+l和x轴上，则点辟的坐标为10、如图,C为半圆内一点,0为圆心,直径AB长为2cm,ZB0C=60°,NBC0=90°,将△BOC绕圆心0逆时针旋转至AB，0C'，点C'在0A上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2.A C O B11、如图，已知在AABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F,且/ BAC=45°,BD=6,CD=4,则AABC的面积为.12、如图，四边形ABCD中,AD〃BC,ZABC=90°,AB=5,BC=10,连接AC、BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD的长为（）C.3V5A.5B.4 D.2V513、如图，在菱形ABCD中，ZABC=120°,将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF,若DG=2,BG=6,则BE的长为.14、如图，已知口AOBC的顶点0(0,0), A (-1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点0为圆心，适当长度为半径作孤，分别交边0A,0B于点D, E；②分别以点D,E为圆心，大于fDE的长为半径作弧，两孤在ZA0B内交于点F；③作射线0F,交边AC于点G,则点G的坐标为()A.(V5-1,2)B.(V5,2)C.(3-扃2)D,(扼-2,2)15、如图，ZMAN=90°,点C在边AM上，AC=4,点B为边AN上一动点，连接BC,AA Z BC与AABC关于BC所在直线对称，点D,E分别为AC,BC的中点，连接DE并延长交A'B所在直线于点F,连接A' E.当△▲'EF为直角三角形时, AB的长为.16、如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,将AABC绕AC的中点D逆时针旋转90。