九年级数学上册复习资料《圆》
《圆》复习知识回顾： 1、圆的定义：（1）在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段OA 叫做半径； （2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
2、点和圆的位置关系：如果圆的半径是r ，点到圆心的距离为d ，那么： （1）点在圆外d r ⇔>；（2）点在圆上d r ⇔=；（3）点在圆内d r ⇔<。
3、与圆有关的概念：（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧。
优弧：大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。
半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧．都叫做半圆。
（4）同心圆：圆心相同，半径不相等．．．．．的两个圆叫做同心圆。
（5）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
（圆心不同）（6）等弧．．：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。
4、同圆或等圆的半径相等。
基础练习：1、填空题（1）到定点O 的距离为2cm 的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆。
（2）正方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上。
2、选择题（1）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（ ）A 、2a b +B 、 2a b -C 、 2a b +或2a b - D 、 a +b 或a -b（2）下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有（ ）A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、解答题：判断矩形的四个顶点是否在同一个圆上？2 圆的对称性（1）知识回顾：1、圆是以圆心对称中心的中心对称图形。
2、圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。
3、圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4、圆心角定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
（与半径无关） 基础练习：1、填空题（1）如图1，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，∠C 度数是（2）如图2，AB 是直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，∠AOE 的度数是 （3）如图，AB 、CD 是⊙O 的直径，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，则EB ︵＝ ， ED ︵＝ 。
2、选择题:在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA=2∠COD ，则下列式子中能成立的是( ) (A)AB ＝2CD ； (B)AB ＜2CD (C) AB ︵＜2CD ︵； (D) AB ︵＞2CD ︵；2 圆的对称性（2）知识回顾：1、圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴。
2、分析定理的题设和结论。
题设 结论()⎧⎫⎪⇒⎬⎨⎭⎪⎩直线直径平分弦直线过圆心（直径）直线平分弦所对优弧直线垂直于弦直线平分弦所对劣弧注意：题设中的两个条件缺一不可。
3、垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧4、推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 基础练习：1、填空题（1）已知⊙O 的半径为R ，弦AB 的长也为R ，则∠AOB＝ ； （2）已知：⊙O 的半径为2cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的13，则弦AB 的长为 cm ，圆心到弦AB 的距离为 cm ； 2、选择题:（1）在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为( )(A)42； (B) 82； (C)24； (D)16；（2）下列语句中，正确的有( )⑴相等的圆心角所对的弧相等； ⑵平分弦的直径垂直于弦；⑶长度相等两条弧是等弧； ⑷经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；(A)1个； (B)2个； (C)3个； (D)4个；3、解答题：（1）已知如图1，直线AB 与⊙O 交于C ，D ，且OA=OB 。
求证：AC=BD 。
（2）如图2，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=1cm ，EB=5cm ，∠DEB=600，求CD 的长。
3 圆周角（1）知识回顾：1、顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。
2、在一个圆中，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
3、在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
相等的圆周角所对的弧相等。
基础练习：1、填空题:（1）如图四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOC ＝100°，则∠A ＝ °（2）如图，A 、B 、C 是⊙O 上三点，D 是AB 延长线上一点，∠CBD ＝65°，则∠AOC ＝ ° （3）如图，已知⊙O 的弦AD 、CB 交于点E ，AC ︵的度数为60°，BD ︵的度 数为100°，则∠AEC ＝ 。
2、选择题（1）半径为4cm ，120°的圆心角所对的弦长为( )(A) 5cm ；(B) 43cm ； (C) 6cm ； (D) 33cm ；（2）中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分．然后连结五等分点而得（如图）．五角星的每一个角的度（ ）（A ）30°（B ）35°（C ）36°（D ）37° 3、解答题：1）在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x ＋100）°和（5x －30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.2）如图5，OA 、OB 、OC 都是⊙O 的半径，∠AOB=2∠BOC ， 求证：∠ACB=2∠BAC 。
3 圆周角（2）知识回顾：1、半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
2、90°的圆周角所对的弦是圆的直径。
3、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 基础练习：1、填空题:1）如图1，CD 是半圆的直径，O 是圆心，E 是半圆上一点且∠EOD ＝45°， A 是DC 延长线上一点，AE 交半圆于B ，如果AB ＝OC ，则∠EAD ＝D O CBA图1 D O CBA 图2E DOCB A 第3题2）圆中一弦的长恰好是半径的2倍，则这条弦所对的圆周角的度数是 。
2、选择题:（1）在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为( )(A) 42；(B) 82； (C) 24； (D) 16；（2）如图2，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠BAC ＝20°，CD ︵＝AD ︵，则∠DAC 的度数是( )(A)30° ； (B) 35°； (C) 45°； (D) 70°；3、解答题：如图3，BC 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB ︵= AF ︵,BF 和AD 交于点E 。
（1）说明AE 与BE 的大小关系，并证明这一结论。
（2）AB 2＝2AD ·AE ，这个结论能否成立，为什么？ （3）若A 、F 是半圆的三等分点，BC ＝12，求AE 的长。
4 确定圆的条件知识回顾：1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆2、经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．3、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．4、三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
基础练习：1、填空题（1）已知△ABC 中，∠Ａ＝800，若点Ｏ是△ABC 的外心，则∠BOC ＝ ；（2）一个直角三角形斜边长为10cm ，内切圆半径为1cm ，则这个三角形周长是 ； 2、选择题（1）下列命题正确的是（ ）（A ）三点确定一个圆 （B ）三角形的外心是三角形三个角的平分线的交点（C ）圆有且只有一个内接三角形（D ）三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点。
（2）下列四边形中，一定有外接圆的是（ ） （A ）平行四边形 （B ）菱形 （C ）矩形 （D ）梯形 3、解答题：（1）⊙O 的半径5r cm =，圆心O 到直线的AB 距离3d OD cm ==。
在直线AB 上有P 、Q 、R 三点，且有4PD cm =，4QD cm >，4RD cm <。
P 、Q 、R 三点对于⊙O 的位置各是怎么样的？（2）如图1，已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，若5AC cm =，12BC cm =，求△ABC 的外接圆半径。
5 直线和圆的位置关系（1）知识回顾：直线与圆的位置关系只有以下三种：设⊙O的半径为r，圆心O 到直线l 的距离为d，若d r>直线l与⊙O相离；若d r=直线l与⊙O相切；若d r<直线l与⊙O相交；基础练习：1、填空题（1）已知圆的半径为10厘米，直线和圆只有一个公共点，圆心到直线的距离是（2）如果⊙O的直径为10厘米，圆心O到直线AB的距离为10厘米，那么⊙O 与直线AB的位置关系是 .2、选择题（1）直线l上的一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线l与⊙O的位置关系是（）（A）相切（B）相交（C）相离（D）相切或相交（2）已知等腰梯形ABCD上底AD长为3，下底BC长为11，一腰AB长为5，以A为圆心，AD为半径的圆与底BC的位置关系是（）（A）相切（B）相交（C）相离（D）以上都不对3、解答题：（1）已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米.直线l和圆分别有几个公共点？分别说出直线l与圆的位置关系。
（2）图1，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB交小圆于点C、D，大圆的弦EF与小圆相切于点C，ED交小圆于点G，设大圆的半径为10cm，8EF cm=，求小圆的半径r和EG的的长度。
5 直线和圆的位置关系（2）知识回顾：1、经过圆的半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。
2、证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线.若直线过圆上某一点，则连半径，证垂直；若直线与圆的公共点没有确定，则作垂直，证半径.3、直径垂直于经过切点的切线。
基础练习：1、填空题：⊙O的半径为6,⊙O的一条弦AB长63,以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是______.2、解答题：（1）如图P是圆O外一点，连PO交圆O于C，弦AB⊥OP于D，若CAPDAC∠=∠求证：PA是圆O的切线。
初中数学人教版九年级上册《圆》课件
C
跟踪训练
下列条件中，可以确定一个圆的是( D )
A.半径为1 cm
C.半径是1 cm，且经过点P
cm
B.圆心在点O处
D.圆心在点O处，且直径是2
知识点2
连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦.
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
A
C
·
O
B
1.弦和直径都是线段.
2.直径是弦，是经过圆心的
④长度相等的两条弧是等弧；×
⑤半圆是弧，弧不一定是半圆. √
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
如何在操场上画一个半径是5 m 的圆？说出你的理由.
找一个钉子，钉在地上作为圆心，再找个5 m的软绳，绳子一端固定在钉
子上，另一端固定一支粉笔，将绳子拉直绕钉子旋转一周粉笔画出的图形
就是圆．
在△ABC中，∠C=90°，求证：A，B，C三点在同一个圆上.
解：取AB 边的中点O，连接点OC，如图，
∵在△ABC 中，∠ACB=90°，
A
O
1
2
∴OC=OA=OB= AB，
∴A、B、C 在同一个圆上．
C
B
同心圆
旋转定义
要画一个确定的圆，关
键是确定圆心和半径
集合定义
同圆半径相等
定义
圆
弦(直径)
有关
概念
劣 弧
弧
等圆
同圆
等弧
直径是圆中最长的弦
半 圆
优 弧
能够互相重合的两段弧
同心圆
圆心相同，半径不同
等圆
半径相同，圆心不同
知识点1
例 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O.
(人教版)九年级上册数学《圆》知识小结
一、基础知识圆的基本性质：1．理解弧、弦、半圆、半径、直径等有关概念。
2．了解圆心角、圆周角的概念及其所对弦、弧的关系，了解直径所对的圆周角的特征；3．理解圆周角定理及其推论，理解垂径定理，会用其进行有关计算和证明；4．了解圆内接四边形对角互补。
与圆有关的位置关系：1．会判断点与圆的，直线和圆，圆与圆的位置关系；2．了解切线的相关概念及性质，掌握切线的判定方法，理解切线长定理，会过圆上一点画圆的切线；3．了解三角形的内心、外心正多边形与圆：1．了解正多边形及其相关概念，2．了解正多边形与圆的关系，并会进行中心角、边心距等的有关计算；有关圆的计算：1．会计算圆的弧长、扇形的面积；2．会计算圆锥的侧面积及全面积；二、重难点分析本课教学重点：有关圆的综合计算和证明。
本课教学难点：圆的综合运用以及利用圆全面积解决实际问题。
三、典例精析：例1：（20XX•北京）如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD 的长为（）∵圆O的直径AB垂直于弦CD，2、如图,CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，切点分别为点A、B.（1）连接AC,若∠APO＝300，试证明△ACP是等腰三角形；（2）填空：①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形；②当DP= cm时，四边形AOBP是正方形．【解答】：因为OA ⊥PA 所以∠OAP=90° 所以∠APO=∠AOP=45° PA=OA=1在Rt △OAP 中，根据勾股定理得：PO=21122=+=+PA OA因为OD=OA=1 所以PD=PO-OD=12-【点评】：本题考查了圆的切线性质、等腰三角形判定、勾股定理应用等知识。
熟记定理内容、熟练运用性质是解本题的关键。
四、感悟中考1、（20XX •鄂州）如图，正方形ABCD 的边长为2，四条弧分别以相应顶点为圆心，正方形ABCD 的边长为半径．求阴影部分的面积 ．【点评】本题考查了扇形的面积公式和正方形性质的+应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度不大．2、（20XX•张家界）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为．【点评】正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．五、专项训练。
最新人教版初中九年级上册数学《圆》精品课件
7.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°， 求证：A、B、C三点在同一个圆上.
证明：作AB的中点O，连接OC.
∵△ABC是直角三角形.
∴OA=OB=OC=
AB.
1 2
∴A、B、C三点在同一个圆上.
拓展延伸
8.求证：直径是圆中最长的弦. 证明：如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，半径是r. CD是不同于AB的任意一条弦. 连接OC、OD， 则OA+OB=OC+OD=2r,即AB=OC+OD. 在△OCD中，OC+OD＞CD， ∴AB＞CD.即直径是圆中最长的弦.
知识点2 与圆有关的概念
弦和直径的定义 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的 AC． 经过圆心的弦叫做直径，如图中的 AB．
B
O
A
C
半径是弦吗？
弧
圆上任意两点间的部分叫
B
做圆弧，简称弧．以 A、B 为
端点的弧记作AB，读作“圆
O
弧 AB”或“弧 AB”．
圆的任意一条直径的两个 A
C
端点把圆分成两条弧，每一条
∴OA=OC=1 AC,OB=OD=1 BD.
又∵AC=BD2，
2
∴OA=OC=OB=OD.
∴A、B、C、D四个点在以点O为
圆心，OA为半径的圆上.
随堂演练
基础巩固
1.下列说法正确的是( ) D A.直径是弦，弦是直径 B.半圆是弧，弧是半圆 C.弦是圆上两点之间的部分 D.半径不是弦，直径是最长的弦
形成性定义(动态)：在一个平面内，线段 OA 绕它 固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图 形叫做圆．
集合性定义(静态)：圆心为 O、 半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合．
人教版九年级上册数学教案：第24章《圆的复习》优秀教学案例
（四）反思与评价
1.自我反思：引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习方法和学习经验，提高学生的我管理能力。
2.同伴评价：组织学生互相评价，给予同伴肯定和鼓励，培养学生的评价能力和良好的人际关系。
3.探究情境：组织学生进行小组讨论，探讨圆的性质和公式，引导学生主动参与学习，培养学生的发现问题、分析和解决问题的能力。
（二）问题导向
1.设计问题链：围绕圆的知识，设计一系列由浅入深的问题，引导学生层层递进地思考，如“圆是什么形状？”“圆有哪些性质？”“圆的周长和面积如何计算？”等。
2.问题导向教学：在教学过程中，以问题为导向，引导学生自主学习、合作交流，使学生在解决问题的过程中，掌握圆的相关知识。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：以日常生活中常见的圆形物品为例，如硬币、圆桌、车轮等，创设情境，引导学生关注圆的形状和特征，激发学生的学习兴趣。
2.问题情境：设计一些与圆相关的问题，如“圆形草坪的面积是多少？”“自行车轮子的周长是多少？”等，让学生在解决问题的过程中，自然地引入圆的相关知识。
2.问题导向的教学策略：本案例中，教师以问题为导向，设计了一系列由浅入深的问题，引导学生层层递进地思考。这种问题导向的教学策略，不仅有助于激发学生的思维，培养学生的批判性思维和问题解决能力，还能够帮助学生建立起知识之间的联系，形成系统化的知识结构。
3.小组合作的学习方式：通过组织学生进行小组讨论和合作交流，本案例充分调动了学生的学习主动性，培养了学生的合作能力和团队意识。在小组合作的过程中，学生不仅能够互相学习、互相帮助，还能够提高自己的表达能力和沟通技巧，培养良好的人际关系。
九年级上册数学复习圆的知识点归纳
九年级上册数学复习圆的知识点归纳人教版九年级上册数学复习圆的知识点归纳数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。
以下是店铺整理的人教版九年级上册数学复习圆的知识点归纳，仅供参考，大家一起来看看吧。
1、圆的有关概念：（1）、确定一个圆的要素是圆心和半径。
（2）①连结圆上任意两点的线段叫做弦。
②经过圆心的弦叫做直径。
③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
④小于半圆周的圆弧叫做劣弧。
⑤大于半圆周的圆弧叫做优弧。
⑥在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
⑦顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。
⑧经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点；直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。
⑨与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。
2、圆的有关性质（1）定理在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
推论1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。
(完整版)初三数学圆知识点复习专题经典
A
D
E
O
C
B
线长是这点到割
（ 4 ）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线， 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
（如上图） 。
即：在⊙ O 中，∵ PB 、 PE 是割线
∴PC PB PD PE
例 1. 如图 1，正方形 ABCD的边长为 1，以 BC为直径。在正方形内作半圆 于 E，求 DE： AE的值。
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称 1
推 3 定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，
即：① AOB DOE ；② AB DE ； ③ OC OF ；④ 弧 BA 弧 BD
O A
C
E F D
∴C D
推论 2 ：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧
C
是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙ O 中，∵ AB 是直径
或∵ C 90
B
A
O
∴ C 90
∴AB 是直径
推论 3 ：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是
C
直角三角形。
即：在△ ABC 中，∵ OC OA OB
B
A
推论 1：（ 1 ）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2 ）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3 ）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结
《常考题》初中九年级数学上册第二十四章《圆》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．如图，在平行四边形ABCO 中，45C ∠=︒，点A ，B 在⊙O 上，点D 在优弧ADB 上，DA DB =，则AOD ∠的度数为（ ）A ．165°B ．155°C ．145°D ．135° 2．如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A 、B 、C 是圆上的点，则此圆的面积为（ ）A ．72πB ．85πC ．100πD ．104π 3．如图，分别以AB,AC 为直径的两个半圆，其中AC 是半圆O 的一条弦，E 是弧AEC 中点，D 是半圆ADC 中点.若DE=2,AB=12，且AC˃6，则AC 长为（ ）A ．6+2B ．8+2C ． 6+22D ．8+22 4．在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连结CD ．如图，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC ＝25°，则∠BDC 的度数（ ）A ．45°B ．55°C ．65°D ．70° 5．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中6AB =，120AOC ∠=︒，P 为O 上的动点，连AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为（ ）A ．37B ．3272+C ．237+D ．33722+ 6．下列事件属于确定事件的为（ ）A ．氧化物中一定含有氧元素B ．弦相等，则所对的圆周角也相等C ．戴了口罩一定不会感染新冠肺炎D ．物体不受任何力的时候保持静止状态 7．如图，已知AB 是O 的直径，AD 切O 于点A ，CE CB =．则下列结论中不一定正确的是（ ）A ．OC BE ⊥B ．//OC AE C ．2COE BAC ∠=∠D ．OD AC ⊥ 8．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，7AB =，4AC =，以点C 为圆心、CA 为半径的圆交AB 于点D ，求弦AD 的长为（ ）A 433B ．327C 233D ．1679．如图，正方形ABCD 内接于O ，直径//MN AD ，则阴影部分的面积占圆面积的（ ）A ．12B ．16C ．13D ．1410．《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，同勾中 容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步？”该问题的答案是（ ） A ．8.5 B ．17 C ．3 D ．611．如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，点B 为劣弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．2D ．22 12．如图，AB 是⊙的直径，DB 、DE 分别切⊙O 于点B 、C ，若∠ACE ＝35°，则∠D 的度数是（ ）A ．65°B ．55°C ．60°D ．70°13．如图，四边形ABCD 内接于O ，若108B ∠=︒，则D ∠的大小为（ ）A ．36°B ．54°C ．62°D ．72° 14．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，若∠OCA =50°，OB =2，则弧BC 的长为（ ）A ．103πB ．59πC ．109πD ．518π 15．在△ABC 中，∠ACB 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作弧BAC ，如图所示．若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S 1，S 2，两个弓形面积分别为S 3，S 4，S 1-S 2=14π，则S 3-S 4的值是( )A ．294πB ．234πC ．114πD ．54π 二、填空题16．已知扇形的圆心角为120︒，面积为π，则扇形的半径是___________． 17．如图，在半径为3的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是AC 的中点，AC 与BD 交于点E ．若E 是BD 的中点，则AC 的长是____________．18．如图，已知O 是以数轴上原点O 为圆心，半径为2的圆，45AOB ∠=︒，点P 在x正半轴上运动，若过点P 与OA 平行的直线与O 有公共点，设P 点对应的数为x ，则x 的取值范围是______．19．如图，直线AB 、CD 相交于点,30O AOC ∠=︒，半径为1cm 的⊙P 的圆心在直线AB 上，且与点O 的距离为8cm ，如果⊙P 以2cm/s 的速度，由A 向B 的方向运动，那么_________秒后⊙P 与直线CD 相切.20．已知一个圆锥形纸帽的底面半径为5cm，母线长为10cm，则该圆锥的侧面积为_____cm2（结果保留π）21．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，以点C为圆心，2.5为半径作圆，那么直线AB与这个圆的位置关系分别是_________．22．如图，若∠BOD＝140°，则∠BCD=___________ ．，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧23．小红在手工制作课上，用面积为215cm面，则这个圆锥的底面半径为_______cm．24．如图，半径为3的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则OC＝_____．25．扇形的半径为6cm，弧长为10cm，则扇形面积是________．26．湖州南浔镇河流密如蛛网，民间有“千步一桥”之说．如图，某圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则该拱桥的半径为____米．三、解答题27．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．（1）如图1，若点E在AB上，F是DE上的一点，DF＝BE．①求证：ADF≌ABE；②求证：DE﹣BE2AE．（2）如图2，若点E在AD上，直接写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．28．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠CAE=∠ADC ．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为2，∠B=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和π） 29．如图，O 的直径AB 为10，弦BC 为6，D 是AC 的中点，弦BD 和CE 交于点F ，且DF DC =．（1）求证：EB EF =；（2）求CE 的长．30．已知PA 、PB 分别与O 相切于点A ，B 两点，76APB ∠=︒ ，C 为O 上一点． （1）如图，求ACB ∠的大小； （2）如图，AE 为O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB AD =，求EAC ∠的大小．。
(必考题)初中九年级数学上册第二十四章《圆》复习题(提高培优)(1)
一、选择题1．2020年温州市实验中学数学文化节征稿文化节LOGO ，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图ABC 内接于一个半径为5的半圆，90ACB ∠=︒，分别以AB ，BC ，AC 为直径向外作半圆．若阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，则ABC 的面积为（ ）A ．5πB ．7.5πC ．253πD ．10π 2．如图，ABC 为O 的一个内接三角形，过点B 作O 的切线PB 与OA 的延长线交于点P ．已知34ACB ∠=︒，则P ∠等于（ ）A ．17°B ．27°C ．32°D ．22°3．如图，一条公路的拐弯处是一段圆弧AB ，点O 是这段弧所在的圆的圆心，20cm AB =，点C 是AB 的中点，点D 是AB 的中点，且5cm CD =，则这段弯路所在圆的半径为（ ）A ．10cmB ．12.5cmC ．15cmD ．17cm 4．为落实好扶贫工作，某村驻村干部帮助村民修建了一个粮仓，该粮仓的屋顶是一个圆锥，为了合理购买、不浪费原材料，需要进行计算1个屋顶的侧面积大小，该圆锥母线长为5m ，底面圆周长为8m π，则1个屋顶的侧面积等于（ ）2m ．（结果保留π）A ．40πB ．20πC ．16πD ．80π 5．已知正方形的边长a ，其内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，则::R r a =（ ）A ．2:1:2B ．2:1:1C ．2:1:1D ．2:2:4 6．已知⊙O ，如图， （1）作⊙O 的直径AB ； （2）以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点；（3）连接CD 交AB 于点E ，连接AC ，BC ．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE DE =；②3BE AE =；③2BC CE =．其中正确的推断的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 7．如图，正方形ABCD 内接于O ，直径//MN AD ，则阴影部分的面积占圆面积的（ ）A ．12B ．16C ．13D ．148．如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，过点O 作OM ⊥弦BC 于点M ，若O 的半径为4，则弦心距OM 的长为（ ）A ．23B ．3C ．2D ．22 9．已知O 的半径为5，若4PO =，则点P 与O 的位置关系是（ ）A ．点P 在O 内B ．点P 在O 上C ．点P 在O 外D ．无法判断10．如图，PA 切O 于点,A PB 切O 于点B PO ，交O 于点C ，下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．AB OP ⊥D ．2PAB APO ∠=∠11．《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，同勾中 容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步？”该问题的答案是（ ）A ．8.5B ．17C ．3D ．6 12．如图，AB 是⊙的直径，DB 、DE 分别切⊙O 于点B 、C ，若∠ACE ＝35°，则∠D 的度数是（ ）A ．65°B ．55°C ．60°D ．70°13．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，∠CAB =20°，则∠BOD 等于（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．60° 14．已知圆锥的底面半径为3cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积是（ ）A ．18cm 2B ．218cm πC ．27cm 2D ．227cm π15．如图，点M 是矩形ABCD 的边BC 、CD 上的点，过点B 作BN ⊥AM 于点P ，交矩形ABCD 的边于点N ，连接DP ，若AB=6，AD=4，则DP 的长的最小值为（ ）A ．2B ．121313C ．4D ．5二、填空题 16．已知正方形MNKO 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK 边与AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B 顺时针旋转，使KN 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使NM 边与CD 边重合，完成第二次旋转；…在这样连续的旋转过程中，第一次点M 在图中直角坐标系中的坐标是_______，第6次点M 的坐标是_______．17．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，对角线AC 是O 的直径，2AB =，45ADB ∠=︒，则O 的半径长为_______．18．一排水管截面如图所示，截面半径13dm OA =，水面宽10dm AB =，则圆心O 到水面的距离OC =______dm ．19．如图，⊙O 是ABC 的外接圆，64A ∠=︒，则OBC ∠=______°．20．如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，分别以点A ，D 为圆心，以AB ，DC 为半径作扇形ABF ，扇形DCE ．则图中阴影部分的面积是______．21．半径为5的⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，AB=BC ，连结OB 、OC ，延长CO 交弦AB 于D ，若△OBD 是直角三角形，则弦BC 的长为______________．22．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动．连接AM ，BN 交于点P ，则PC 长的最小值为____________．23．在ABC 中，90,3,4C AC BC ∠===，则ABC 的内切圆的周长为___________．24．如图，△ABC 中，∠A=60°，若O 为△ABC 的内心，则∠BOC 的度数为______度．25．如图，已知点,,A B C 在O 上，若50ACB ∠=，则AOB ∠=_____________________度．26．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，已知2AB DE =，若COD ∆为直角三角形，则E ∠的度数为______︒．三、解答题27．如图，已知AB 为O 的直径，点C 、D 在O 上，CD BD =，E 、F 是线段AC 、AB 的延长线上的点，并且EF 与O 相切于点D ．（1）求证：2A BDF ∠=∠；（2）若3AC =，5AB =，求CE 的长．28．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC 的顶点均在格点上，点C 的坐标为()2,1-．（1）画出将ABC 关于y 轴对称的111A B C △；（2）画出ABC 绕点O 的逆时针旋转90°得到的图形222A B C △，并求出在此旋转过程中点A 运动到点2A 所经过路径的长．29．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的斜边AB 在y 轴上，∠C=90°，边AC 与x 轴交于点D ，AE 平分∠BAC 交边BC 于点E ，经过点A 、D 、E 的圆的圆心F 恰好在y 轴上，⊙F 与y 轴相交于另一点G ．(1)求证：BC 是⊙F 的切线；(2)若点A 、D 的坐标分别为A(0,−1)，D(2,0)，求⊙F 的半径；(3)请直接写出线段AG 、AD 、CD 三者之间满足的数量关系：___________________．30．如图，已知直线l 与⊙O 相离，过圆心O 画OA ⊥l 于点A ，交⊙O 于点P 且OA =5，点B 为⊙O 上一点BP 的延长线交直线l 于点C 且AB=AC .（1）判断AB 与⊙O 有怎样的位置关系，并说明理由；（2）若25PC ，求⊙O 的半径.。
人教版九年级数学上册《24圆复习(1)》课件
5．点和圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？ 圆和圆呢？怎样判断这些位置关系？ 6．圆的切线有什么性质？如何判断一条直线 是圆的切线？ 7．正多边形和圆有什么关系？ 8．如何计算弧长、扇形面积、圆锥的侧面积 和全面积？
知识结构
圆的对称性
圆的有关性质
弧、弦、圆心角之间的关系
同弧上的圆周角和圆心角的关系
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例2、 如图，C是⊙O外一点，BC是⊙O 的切线，B是切点，作OA⊥OC,交⊙O于 A，连接AB交OC于D,试判断△BCD 的形 状,并说明理由。
思路分析：
△BCD是等腰三角形。 理由：连接OB，则∠OBA=∠A。 因BC是⊙O的切线，所以∠OBA 与∠2互余。 又因OA⊥OC，所以∠A与 ∠3互余,即∠A与∠1互余。
作∠ABC的平分线BD交半圆于D，连接AC交BD于E，
过D作PD⊥AB, PD交AC于F.
求证：F是AE的中点
思路分析：
连接AD 因AB是半圆，所以∠ADB=900。因此要证F是AE的 中点，可证DF是直角三角形斜边上的中线，于是 问题就转化为证∠1=∠2和∠3=∠4 。 将半圆补成圆,延长DP交⊙O于 G，由垂径定理及DB平分 ∠ABC,易证 ,所以∠1=∠2， 根据等角的余角相等可得 ∠3=∠4.
XUEXISHUXUEHUIRANGNIBIANDEGENGCHONGMING
学习数学，会让你变得更聪明
《圆》单元复习 （一）
一、本章知识回顾
知识梳理
1．圆是如何定义的？ 2．同圆或等圆中的弧、弦、圆心角有什么关系？ 3.垂直于弦的直径有什么性质？有哪些推论？ 4.一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关 系？
思路分析：
要求∠AEO的度数，从图中 容易发现∠AEO是△DEO的一 个外角，这样就把问题转化 为求∠COD和∠D的度数了， 而∠COD的度数很明显， ∠D=∠A也是很明显的。
九年级上册数学《圆》点、线和圆的位置关系_知识点整理
点、线和圆的位置关系一、本节学习指导和圆相关的概念比较多，一下全都记住是比较困难的，我们可以采取一些方法，我们可以归类似、联想记忆，当然最好是能先理解再记忆。
本节有配套学习视频。
二、知识要点1、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d＜r ＜====＞点P在⊙O内；d＝r ＜====＞点P在⊙O上；d＞r ＜====＞点P在⊙O外。
注：点和圆的位置关系只有：在圆上如图点P2，在圆内如图点P1，在圆外P3三种。
2、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交＜====＞ d<r；直线l与⊙O相切＜====＞ d=r；直线l与⊙O相离＜====＞ d>r；3、切线的判定和性质（1）、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。
如右图中，OD垂直于切线。
4、切线长定理（1）、切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
（2）、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
如右图中：圆外一点P与圆O相切与D，E两点，所以有PD=PE，可以通过连接OP来证明。
5、过三点的圆（1）、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。
（2）、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
如图圆O是△ABC的外接圆（3）、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
（4）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。