中国人口增长预测模型研究

中国人口增长预测模型研究

中国人口增长预测模型研究

摘要

本文对我国人口的现状进行分析，并对中国人口增长趋势进行了中短期和长期预测。

首先，利用Excel软件对我国的人口现状进行统计分析，从中可以看出人口老龄化进程加速，出生人口性别比例呈上升趋势，乡村人口城镇化明显。其次，对附件中的原始数据进行预处理，剔除异常数据并利用插值方法补全数据，以使所得数据能尽可能地反映客观实际。进而对数据进行归一化处理，以消除量纲不同的影响，便于后面的分析。

接着，对我国人口增长趋势进行中短期预测，建立了逻辑斯蒂（logistic）回归预测模型，利用SPSS软件进行曲线拟合和参数求解，计算结果表明此模型能够较精确地进行中短期的各地区人口比率、老龄化程度及全国人口增长率的预测。在回归模型预测误差较大的情况下，建立了时间序列AR(p)模型，利用Eviews时间序列分析软件确定模型的参数及阶数，进而对其它影响因素进行中短期预测。此外，考虑到样本信息缺乏、数据较少，建立了灰色系统GM(1,1)模型，利用Matlab软件编程求解部分影响因素的中短期预测值，并与前面的模型进行分析比较，验证了预测的合理性。

最后，对我国人口增长趋势进行长期预测，将人口控制模型进行逐步修正，建立了偏微分方程模型，经离散化得到人口发展的差分方程。并利用C++程序设计语言编程

β（每位妇女一生中平均生育的婴儿数）进行人口增长的长求得数值解。针对不同的)

(t

β时，模型预测出我国总人口到2030年增长到最高值期预测，结果表明当() 2.0

=

t

β时，我国总人口将会持续增长。由此可见，要将人口控制在15 15.4252亿；当() 2.1

t

≥

β≤。

亿左右，必须严格控制生育胎次，即() 2.0

t

本文主要采用统计的方法，利用Excel、SPSS、Eviews、Matlab等软件进行数据处理、参数估计及模型计算。在样本足够大的前提下，本文建立的模型具有很强的普适性，且在对预处理后的数据做分析时，具有误差小、精度高等优点。

本文在结尾部分根据人口增长长期预测的结果为国家的人口战略提出了具体建议，并指出了需要进一步研究的问题。

关键词：人口预测；回归分析；时间序列；灰色预测；控制论

一、问题重述

人口数量、质量和年龄分布等因素直接影响一个国家或地区的经济发展、资源分配、社会保障、社会稳定和城市活力。对此，单纯的人口数量控制(如已实施多年的计划生育)不能体现人口规划的科学性。政府决策部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。

随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制与人口预测。准确的人口预测为制定合理的社会经济发展规划提供了科学依据。例如，要制定生育计划，就必须知道未来妇女的生育率；要制定社会保障体系，就必须知道未来老年人口动态变化量。这些都离不开人口预测。政府可以根据这些未来人口信息状况，结合社会经济发展，在制定国民经济发展决策时，通过调控人口的方法对未来社会经济发展中的产业结构进行相应的调整，使劳动力资源得到充分地开发和利用，社会资源得到合理分配，并采取措施提前应对由老龄化，低生育率等人口因素而可能产生的社会经济问题，从而使社会经济协调发展。

目前，我国正面临着比20世纪更为复杂的人口发展形势。人口数量问题仍然是全面建设小康社会面临的重大问题。我国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》还做出了进一步的分析。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；要求特别指出模型中的优点与不足之处。

二、模型假设

1.题中所给数据是在年终统计的；

2.假设中短期预测是10年，长期预测是50年；

3.假设短期内社会状况没有大的波动；

4.在长期预测时，把研究的社会人口当作一个整体，当作一个系统考虑；

5. 把时间的流逝，婴儿的出生，人口的死亡和居民的迁移看成是人口状态变化的全部

因素；

三、符号说明

t ——年份；

α——人口增长率； r ——人口年龄；

m r ——人的最高寿命；

()N t ——第t 年该地区人口的总数；

(,)F r t ——人口函数，该函数表示在t 时刻该地区一切年龄小于r 的比率； (,)P r t ——人口年龄分布密度函数， 该函数表示在t 时刻，年龄为r 的比率； (,)M r t ——人口死亡分布函数，表示在t 时刻该地区年龄为r 的人的死亡数比率；

(,)r t μ——相对死亡率，(,)

(,)(,)

M r t r t P r t μ=

； (,)k r t ——女性在人口中所占的比例；

(,)b r t ——第t 年平均每个r 岁的女性的生育数； ()i x t ——人口比率； )(t d i ——人口平均死亡率； i h (t)——i 岁女性总生育率；

)(t k i ——第t 年i 岁人口的女性比（占全部i 岁人口数）；

)(t b i ——第t 年i 岁女性的生育率，即每位女性平均生育婴儿数；

四、问题分析

2.1 问题背景的理解

本问题是在我国人口老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等实际情况下提出的，这就要求我们必须充分考虑各因素对人口增长率的影响，然后建立综合预测模型对我国人口国情进行刻画。 2.1 对我国人口现状的分析

通过对人口现状的分析，可以为下一步的人口增长预测提供一定的事实依据。一、人口老龄化现状分析

随着社会发展进步和医疗水平的提高，目前我国的人口死亡率呈现逐渐下降趋势，这很大程度上加速了人口老龄化进程。如何准确地预测人口老龄化指标，对于政府相关政策的实施，有着重要的指导意义。图1所示为过去五年内我国65岁以上居民的人口密度走势图。

从图1可以看出，65岁以上的市人口密度在5年中略有波动；镇人口密度和乡人口密度都有比较明显的上升趋势；综合起来年全国的人口密度也呈上升趋势。并且各指标值都已超过7%，已经出现老龄化现象，从趋势图还可看出，短期内65岁以上的人口密度还将增大。

图1 65岁以上居民的人口密度走势图

二、出生人口性别比现状分析

图2所示为过去四年间市镇乡男女出生比例条形图，该图反映出目前我国出生人口性别比总体上呈现上升趋势。

图2 过去四年间市镇乡男女出生比例条形图

从图2可以看出，市、镇、乡男性的出生比例都大于女性，而且这种现象在镇和乡中更为明显。从短期看，乡男女出生比例比较稳定，但市和村的男女出生比例均有上升趋势，全国男女出生比例也会在短期内上升。

三、乡村人口城镇化现状分析

图3所示为过去五年内城镇乡人口比例的走势图，该图反映出目前我国乡村人口正在向城镇迁移，导致我国的乡村人口城镇化，这势必会对整个社会经济的发展造成一定影响。

从图3可见，乡村人口所占比例逐渐减少，而市和镇的人口比例逐渐上升，并且这种趋势会持续一段时间，直到城乡比例均衡。

图3 过去五年内城镇乡人口比例的走势图

2.3 对建立人口预测模型的分析

由于受疾病、事故、自然灾害，国家计划生育政策以及传统思想等不确定性因素的综合影响，人口增长率变化错综复杂，呈现出一定的非线性特征，人口增长的预测也就变得复杂困难。而预测的可靠性在很大程度上取决于正确地选择预测方法和模型。关于人口增长的预测方法虽然很多，比如回归分析预测、时间序列分解和平滑预测、自适应过滤、灰色预测、人工神经网络预测、系统动力学等方法。但目前为止，还没有一个统一的、完整的、普遍适用的预测方法可供使用。

出于以上考虑，本文分别对中短期预测与长期趋势预测建立不同的数学模型：

1）针对人口增长的中短期趋势预测，分别建立logistic（逻辑斯蒂）回归预测模型、时间序列AR(p)模型以及灰色预测GM(1,1)模型进行求解；

2）针对人口增长的长期趋势预测，建立人口控制论模型，综合考虑各因素对人口增长的长期影响。

五、模型建立与求解

5.1 中短期人口预测模型

5.1.1 数据的预处理

1）剔除缺省值及特殊值

用SPSS软件对附件所给数据做描述性统计，发现2003年出生率，死亡率与其它几组数据有明显差异，即数据由于某特殊因素奇异（可能是由于数量级不同造成的），所以我们先将这部分数据剔除。由于数据较少，剔除后对数据进行了插值补充。

2）数据的归一化处理

由于定量因素赋值单位（或数量级）不统一，且可能数值大小会差别很大，需要对

其进行无量纲化处理，使所得数据具有可比性。根据模糊数学隶属函数的处理原则，对于数据越大越好的效益型指标，可用式（5.1）进行处理：对于数据越小越好的成本型指标，可用式（5.2）进行处理。此方法即是常用的一种归一化方法——极差变换法。

min max min ij j

ij j j

v v u v v -=

- （5.1）

max max min j

ij ij j j

v v u v v -=

- （5.2）

其中ij v ——原始数据，ij u ——归一化后所得数据。

对数据进行处理的意义在于：科学地量化了各因素指标，使得每组数据达到了建模

所需的标准，预处理后的数据详见附录一。 5.1.2回归预测模型 5.1.2.1回归预测模型的建立

利用处理后的数据，我们首先用SPSS 软件进行曲线拟合与参数估计，通过对各统计量的分析和比较，最终得出回归预测方程。

市、镇、乡人口比率，65岁、60岁以上的人口比率，全国人口增长率适合用逻辑函数（Logistic ）来拟合。在曲线拟合中2R 和F 统计量对拟合效果有重要意义，2R 表示自变量所能解释的方差在总方差中所占的百分比，其取值越接近于1说明模型的效果越好；F 统计量表示因变量与自变量之间的线性关系是否显著，它越大说明越显著，比较模型时两个因素要综合考虑。2R 和F 统计量都比较大，且比较符合实际情况，故建立逻辑函数（Logistic ）模型进行预测。

现以镇人口比率为例，比较几种拟合程度较好的曲线模型。

表一 曲线拟合对照表

三次曲线(Cubic) 指数曲线(Exponential) 逻辑函数(Logistic)

2R 统计量

0.904 0.862 0.874 F 统计量 3.127 18.814 19.1 综合考虑2R 和F 统计量，选择逻辑函数(Logistic)最为理想，其它几组拟合同理可得。

市人口比率模型：

1

1 3.1650.966t

y =

+? （5.3）

镇人口比率模型：

1

17.6610.915

t

y =

+? （5.4） 乡人口比率模型：

1

10.548 1.077

t

y =

+? （5.5）

65岁以上人口比率模型：

1

0.0330.1060.940

t

y =

+? （5.6） 60岁以上人口比率模型：

1

0.020.0740.953t

y =

+? （5.7）

全国人口增长率模型：

1

10.686 1.222

t

y =

+? （5.8） 5.1.2.1 回归预测模型的求解

根据以上模型对以上项目进行之后五年的预测，结果如下表1：

表二 2006年—2010年的预测数据表

从预测结果来看，市和镇的人口比率逐渐上升，乡人口比率逐渐下降。这正反映现在乡村人口城市化的趋势。从比率变化的速度来看，市增加较慢，镇增加较快，这说明乡村人口首先向镇转移，且转移速度较快，符合实际情况。全国人口增长率逐渐变缓，这是受我国计划生育政策和国人思想的影响结果。人口老龄化现象越来越严重，这与现在医疗水平的提高相对应。 5.1.3 时间序列AR(p) 模型 5.1.3.1 AR(p)模型的建立

由于人口模型是与时间相关的，我们选择时间序列自回归AR(p)模型。在这个模型中，时间序列的现在值是用该序列过去数值的线性组合加上一个白噪声扰动项来表示。

对于时间序列{}t Y ，如果满足

1122t t t p t p t y y y y φφφε---=++???++ ， 1,2,,t p p n =++??? （5.9）

称模型（5.9）为p 阶自回归模型，或者p 阶自回归，表示为：

()p t t L y φε= （5.10）

式中：1()1p p p L L L φφφ=--???- 称作滞后算子L 的p 阶AR 多项式。()0p L φ=称为模型的特征方程。

AR(p)的模型阶数p 的确定

时间序列AR(p)模型阶的确定的主要准则包括FPE ，AIC ，CAT 等。

计算中从低到高估计模型参数，采用AIC 准则判断最优阶次。AIC 准则(Akaike Information Criterion )，又称信息准则，是利用最大似然法推导出来的一个准则。AIC 准则的计算公式定义为：

2

()ln 2n C k N k σ=+ （5.11）

其中

2n

S

N k σ=

-，211221

()N

l l l k l k l k S x a x a x a x ---=+=---???-∑ 这里，C 是AIC(k)准则，k 是模型的阶次，N 为数据个数，2n σ为残差方差，S 为残差平方和，要求AIC(k)越小越好。

参数估计是在给定阶次的情况下进行的。由于事先无法判断模型的阶次，因此在建模过程中，首先给定模型的阶次，然后再按上面所述的最小二乘法估计出AR 模型的参数，得到各阶模型。最后取()C k 值最小的阶次作为模型的最佳阶次，同时也确定了AR 模型参数。

通过对数据进行分析，以下项目在5年中的数据呈现较明显的波动性，与前阶段时间有较大关系，所以采用时间序列自回归模型。采用上述自回归阶数判断准则，得出以下模型： AR(1)模型：

1t t t Y Y ?ε-=+ （5.12）

可用来预测人口出生率、人口死亡率、人口增长率、65岁及60岁以上市、镇、乡人口比率； AR(2)模型：

1122t t t t Y c Y Y ??ε--=+++ （5.13）

可用来预测市、镇、乡及全国男女出生比率。 AR(3)模型：

112233t t t t t Y c Y Y Y ???ε---=++++ （5.14）

用来预测市男女出生比率。

下面以市男女出生比率为例，说明AR 阶次的判断：

指标AR(1)AR(2)AR(3)AR(4)

C k-5.152180 -4.995868 -5.217684 -4.738871

()

AR(3)的()

C k最小，故选用AR(3)模型，其它项目分析与此相同。

5.1.3.2 AR(p)模型的求解

为了使数据更适合AR(P)模型，需对数据要进行一阶差分，以使数据零均值。通过Eviews软件对以上类别进行之后五年的预测，结果如下：

表三 2006年—2010年的人口出生率预测表

年份市人口出生率镇人口出生率乡人口出生率全国人口出生率2006 0.222870.1567460.618633 1.001708

2007 0.221820.1557930.5863150.971088

2008 0.2223390.1522680.6031630.986749

2009 0.2220820.1499770.5942070.978647

2010 0.2222090.1471950.598920.982814

从表三可以看出，市人口出生率处于波动之中，镇人口出生率呈下降趋势，乡人口出生率呈下降趋势，全国人中出生率有下降趋势。这与近20年来国家实施的计划生育政策密不可分。

表四 2006年—2010年的人口死亡率预测表

年份市人口死亡率镇人口死亡率乡人口死亡率全国人口死亡率2006 0.120084 0.102594 0.422319 0.620405

2007 0.12287 0.116043 0.405175 0.619396

2008 0.121124 0.131244 0.420435 0.61991

2009 0.12221 0.148423 0.406794 0.619648

2010 0.121532 0.167834 0.418942 0.619781

表四中显示各项目城、乡死亡率没有明显的上升和下降趋势，死亡率比较稳定，而镇有上升趋势。从全国范围看，不存在严重的政治军事等外部环境对死亡率有显著影响。

表五 2006年—2010年的人口增长率预测表

年份市人口增长率镇人口增长率乡人口增长率

2006 0.1011760.0739730.111087

2007 0.0988850.0736840.087789

2008 0.0999130.0737570.074505

2009 0.0994470.0737390.066454

2010 0.0996570.0737430.061362表五所示，市与镇的人口增长率已经趋于稳定，而乡村有比较明显的下降趋势，这说明最近几年乡村在人口控制方面的工作成效显著。

表六 2006年—2010年的65岁以上人口比率预测表

年份 65岁以上市人口比率

65岁以上镇人口比率

65岁以上乡人口比率

2006 8.62282 8.088286 10.20954 2007 8.608639 8.089427 10.94903 2008 8.606022 8.089584 11.74208 2009 8.605539 8.089605 12.59258 2010

8.60545

8.089608

13.50467

表七 2006年—2010年的60岁以上人口比率预测表

年份 60岁以上市人口比率（%）

60岁以上镇人口比率（%） 60岁以上乡人口比率（%）

2006 12.28182 11.69537 14.61896 2007 12.29832 11.69594 15.61097 2008 12.29266 11.69601 16.67028 2009 12.2946 11.69601 17.80148 2010

12.29393

11.69601

19.00944

有表六、七可知，市和镇的老龄化现象不及乡村，且乡村的老龄化现象还有增加趋

势，说明乡村生活环境的改善与医疗卫生水平的提高。

表八 2006年—2010年的男女出生比例预测表

年份 市男女出生比例

镇男女出生比例

乡男女出生比例

全国男女出生比例

2006 114.912 117.825 121.3578 120.3193 2007 114.3796 124.6629 121.4288 118.9519 2008 114.9037 114.5596 121.527 119.9788 2009 114.5368 123.4778 121.4342 119.2057 2010

114.8442

118.7821

121.4221

119.7866

从表八中数据可以看出，全国范围内男女出生比例变化并不大，但乡男女出生比例高于市和镇，这可能与旧的社会观念对乡村生育模式的影响有关。 5.1.4 灰色系统GM(1,1)预测模型 5.1.4.1 GM(1,1)模型的建立

由于统计数据偏少，信息不完整，故用曲线拟合法、多元回归模型等皆不能得到令人十分满意的结果，所以我们考虑用对信息质量要求不高的灰色系统分析法进行预测，建立GM(1,1)模型。

记)),(),...2(),1((n x x x x =其中)(i x 表示第i 年数值。 1．令)0(x 为GM （1，1）建模序列，表示灰导数

)),(),...,2(),1(()0()0()0()0(n x x x x =

其中

)()()0(k x k x =，...3,2,1=k

2．令)1(x 为)0(x 的AGO 序列，

)),(),...,2(),1(()1()1()1()1(n x x x x =

);1()1()0()1(x x =

∑==k

m m x k x 1

)0()

1(),()(

3．令)1(z 为)1(x 的均值（MEAN ）序列，表示白化背景值

),1(5.0)(5.0)()1()1()1(-+=k x k x k z （5.15） )),(),...,3(),2(()1()1()1()1(n z z z z =

则得到GM(1,1)的灰微分方程模型为

b k az k x =+)()()1()0( （5.16）

其中，

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===========---=

----=

n k n

k n

k n k n k n

k n

k n

k n

k n

k n k k z k z n k x k z k z k z k z

b k z k z n k x k z n k x k z

a 2

2

2

)1(2)1(2

2

)0(2

2

)1()1(2)1()

1(2

2

2

)1(2)1(2)0()1(22

)0()

1())(()()1()

()()()()(;

))(()()1()

()()1()()(

经变换后得到

)()()1()0(k az b k x -= （5.17）

5.1.4.2 GM(1,1)模型的求解

在（5.16）两端同时乘以ak e 得，

(0)(1)()()ak ak ak e x k e az k e b +=

即

(1)()()ak ak t z k e be d C -=+?

()ak ak b

e e C a -=+

ak b

Ce a

-=+

将代入上式中，可得

0(1)b C x a

=-

于是得出时间函数(1)(1)x k +的估计值

(1)0?(1)[(1)]ak b b

x

k x e a a

-+=-+ （5.18） 我们把上式（5.17）作为预测方程。利用Matlab 软件编程求解出各因素的预测值。

表九 2006年—2010年的男女出生比例预测表

年份

市男女出生比例

镇男女出生比例

乡男女出生比例

全国男女出生比例

2006

113.2812 120.0596 122.2308 119.2460 2007 113.5796 120.5297 122.614 119.3543 2008 113.8687 121.0015 122.9983 119.4626 2009 114.1585 121.4752 123.3839 119.5711 2010

114.4491

121.9508

123.7706

119.6796

从表九可以看出，镇和乡的男女出生比例高于城市，各项目的男女出生比例均有微小增长趋势。

5.2 长期趋势预测模型 5.2.1人口控制论模型

为对我国人口数目进行长期趋势预测，本文利用宋健【8】提出的人口控制论模型，并针对具体因素的影响对方程加以补充。该模型通过详细的数学推导，得到一个偏微分方程，通过此方程可以综合考虑各因素对人口增长的影响。 5.2.2模型的建立

设(,)F r t 为人口函数，该函数表示在t 时刻该地区一切年龄小于r 的人数，显然有，当

21r r >时，21(,)(,)F r t F r t ≥。设(,)P r t 为人口年龄分布密度函数，(,)F

P r t r

?=

?，该函数表示在t 时刻，年龄为r 的人数。显然有：

(,)0P r t ≥ (,)0m P r t =

(,)(,)r

F r t P t d ξξ=?

(,)(,)(,)()m

r m F r t P t d P t d N t ξξξξ∞

===??

t 时刻年龄在1r 到2r 之间的人口为：

2

1

21(,)(,)(,)r r F r t F r t P t d ξξ-?

t 时刻年龄在[,]r r r +?的人数为(,)P r t r ?

过了t ?时间后，死亡人数为：(,)(,)r t P r t r t μ??

另一部分没有死，他们活到了t t +?时刻，此时他们的年龄处于区间

[,]r r r r r ''+?+?+?，显然有r t '?=?

即在t t +?时刻，年龄在[,]r r r r r ''+?+?+?中的人口数为：

(,)P r r t t r '+?+??

于是有下式成立：

(,)(,)(,)(,)P r t r P r r t t r r t P r t r t μ'?-+?+??=??

可写成：

(,)(,)(,)(,)(,)(,)P r r t t r P r t t r P r t t r P r t r r t P r t r t μ'+?+??-+??++??-?=-??

两边同除以r t ??，于是：

(,)(,)(,)(,)

(,)(,)P r r t t P r t t P r t t P r t r t P r t r t

μ'+?+?-+?+?-+=-'??

取极限：

(,)(,)

(,)(,)P r t P r t r t P r t r t

μ??+=-?? （5.19） 初始条件：

0(,0)()P r P r = 0()P r 为初始时刻的人口密度

边界条件：

(0,)()()()P t t t N t ?μ== ()t μ为相对出生率 综上便得到了人口增长的微分方程模型：

0(,)(,)

(,)(,)(,0)()(0,)()()()P r t P r t r t P r t r t P r P r P t t t N t μ?μ???+=-????=??==??

（5.20） 现在对(,0)P r 和(,)r t μ进行拟合，以2001年为第0年，将2001年0岁到90+的人口分布为样本数据，用SPSS 软件进行数据分析和曲线拟合，发现三次曲线比其它曲线拟合优度高，所以用三次曲线作为(,0)P r 的拟合曲线，结果为：

2

5

3

(,0)0.4670.060.002 1.510P r r r r -=-+-? （5.21）

考虑在一个稳定的社会中，与年龄有关的死亡率可以认为与时间无关，同上，将2001

年0岁到90+的死亡率为样本数据，用SPSS 软件进行数据分析和曲线拟合，发现指数曲线拟合效果比较好，分析参数得到：

0.071()0.039r r e μ=? （5.22）

同时，对原始数据进行处理得到：()(0,) 1.066t P t ?== 将以上三式代入（5.21）式，得到人口分布函数为：

0.0710.07100.039253

0.039(0.4670.060.002 1.510)0(,) 1.066r

r t

r

e d e d r r r e t r P r t e r t

ρρρρ

----??-+-?<

（5.23）

则人口分布函数：

0(,)(,)r

F r t P t d ξξ=?

取6560r =或时，即可看出中国老龄化情况。

实际上，若要通过解析解进行预测是不易实现的，所以可以选择采用数值解法。 5.2.3具体影响因素的补充方程 1．流动人口迁移问题

(,)m r t r t ??表示年龄在[,]r r r +?中的人，在[,]t t t +?得移入数，则：

(,)(,)

(,)(,)(,)P r t P r t r t P r t m r t r t

μ??+=-+?? （5.24） 2．人口老龄化问题

社会人口的平均年龄：0

(,)()()

m

r rP r t dr A t N t =

?

定义老龄化指数：()

()()

A t t D t ω= 3．生育模式问题

首先设12[,]r r 为妇女育龄年龄区，那么在t 时刻，出生的婴儿总数为：

2

1

()(,)(,)(,)r r f t b r t k r t P r t dr =?

令：(,)()(,)b r t t h r t β= （5.25） 其中，2

1(,)1r r h r t dr =?

由（5.25）式有：

2

22

1

1

1

(,)()(,)()(,)()r r r r r r b r t dr t h r t dr t h r t dr t βββ===?

??

其中， )(t β表示每位妇女一生中平均生育的婴儿数，称之为总和生育率（可控变量）。

它反映了人口变化的基本因素； (,)h r t 表示一个女性在r 岁时的生育概率。 如果()t β，k(r,t )，(,)h r t 都与时间无关，则：

22

1

1

()()(,)(,)(,)()()(,)r r r r f t t h r t k r t P r t dr h r k r P r t dr ββ==?? （5.26）

以2001年为第0年，将2001年15岁到49的人口分布为样本数据，用SPSS 软件进行数据分析和曲线拟合，h(r )用分段函数拟合，k(r )用三次曲线拟合，得到：

16.5110.8469.9930.2761524

()2549r r

e r h r e r -+-?≤≤=?≤≤?

（5.27） 263()0.4190.0410.001 5.8710k r r r r -=+-+? （5.28）

结合（5.23），（5.26），（5.27），（5.28）可求出()f t 。

5.2.4 长期趋势预测模型的求解

用解析方法求出该模型的解比较复杂，一般情况下，先将数据离散化，化为差分方程再用计算机循环迭代求出数值解。具体做法如下： （1） 设这个地区最大年龄为m 岁，

（2） 第t 年为i 岁的人数比率为(),0,1,2....;0,1,2,......i x t i m t ==，

（3） 设第t 年为i 岁的人口平均死亡率为)(t d i ，即这一年中i 岁人口中死亡数与基数

之比：)

()

1()()(1t x t x t x t d i i i i +-=

+

即：1(1)(1())(),0,1,2,...,1;0,1,2,...i i i x t d t x t i m t ++=-=-=

（4） 设第t 年i 岁女性的生育率：即每位女性平均生育婴儿数为)(t b i ，12[r ,r ]为生育

区间。)(t k i 为第t 年i 岁人口的女性比（占全部i 岁人口数） 由此可知：第t 年出生的人数为：

2

1

r i i i i r f (t)b (t)k (t)x (t)==∑

（5） 记第t 年婴儿的死亡率为)(00t d ，则

)())(1()(000t f t d t x -=

（6） 设2

1

i i i r i i r b (t)

b (t)

h (t)(t)

b (t)

==

=

β∑，它表示i 岁女性总生育率，则)()()(t h t t b i i β=， 如果假设t 年后女性出生率保持不变，则

)(...)()()(2

1

1

1t b t b t b t i i i +++=+β

)(...)1()(121211i i t b t b t b i i i -+++++=+ 得出差分方程

2

12

1

2

1

100000i 000i i i i i i 000i i i i i i /i i i i x (t 1)(1d (t))x (t)(1d (t))(1d (t))f (t)(1d (t))(1d (t))b (t)k (t)x (t)

(1d (t))(1d (t))(t)h (t)k (t)x (t)

(t)b (t)x (t)

===+=-=--=--=--β=β∑∑∑

)())(1()1(122t x t d t x -=+

……

)())(1()1(11t x t d t x m m m ---=+

为了全面系统地反映一个时期内人口数量的状况，

令 /012()[(),(),(),...,()]m x t x t x t x t x t =

0110

00 0

01()00...00()01()0...

0.....

0

0...1()0m m m d t A t d t d t -???

??-?

???=-?

?

????-?? 1200()...() (000)

0...0...0()000...0...

000

0...0...0000...0...0????

?????=?

???????r r m m

b t b t B t 则此向量)(t x 满足方程：

)()()()()()1(t x t B t t x t A t x β+=+

即： x(t+1)=(A(t)+b(t)B(t))x(t) （5.29）

这是一阶差分方程其中)(t β是可控变量，在稳定的社会环境下，死亡率 、生育模式、女性比例、婴儿存活率是可以假设为不变的，故B t B A t A ==)(,)(为常数矩阵。

根据以上分析，我们以2001年到2005年为样本数据，绘制每年各年龄死亡率曲线图，如下：

图4 每年各年龄死亡率曲线图

由图可知，每年死亡率趋势基本一致，可取这5年趋势的平均值作为固定的死亡率

()i d t ，然后计算出1()i d t -，即可得到A 矩阵：

00000

00.986219100000

00.9986037

00

00000000000.993241400000

00.99431140A ?

?

??????

??=?

???

?

?

??

???

?

同理，作出5年不同育龄期妇女生育婴儿率曲线图：

图5 五年不同育龄期妇女生育婴儿率曲线图

取5年趋势的平均值作为固定的育龄期妇女生育婴儿率，得到B 矩阵

00.0001074780.00055779900000

0000000000000000000B ??????

?

?=????????

然后根据式（5.29），用C++编程迭代求得数值解，程序详见附录三。 程序预测的是未来N 年的()i t x ，利用公式

90

65

()()i i x t y t ==∑

可求出第t 年全国总人口率； 利用公式

90

60

()()i i x t y t ==∑

可求出第t 年大于60岁的人口比率； 利用公式

90

65

()()i i x t y t ==∑

可求出第t 年大于65岁的人口比率。 模型的预测结果：

当() 2.0=t β时，利用人口基数数据（来源：《人口统计年鉴》，见附录四），通过模型解得出未来45年的全国总人口数，见表十：

表十 模型预测数据整理表

通过上表可以看出，未来我国的人口总数将随着时间的推移，呈现一个先增后减的趋势，并将在2030年达到人口总量最高峰。

同时预测出60岁与65岁人口数（见附录四），绘制出老龄人口数量走势图：

图6 老龄人口数量走势图

从图中可以看出未来我国的老龄化进程加速，并将持续很长一段时间。

六、模型检验与结果分析

6.1 中短期人口预测模型结果分析

6.1.1logistic（逻辑斯蒂）回归预测模型结果分析

通过分析可以看出，Logistic模型所预测出的人口还是比较精确的，可以比较准确的预测未来若干年的人口。

但是，Logistic回归模型有着根本上的缺点：它将群体中的每一个个体都视为同等

地位来对待，没有考虑到个体之间存在着差异，以及年龄因素的影响。事实上，人口的数量不仅和时间有关，还应和年龄有关，而且出生率和死亡率也都和年龄有关。不考虑年龄因素，就不能很好地把握人口的发展动态。因此，这种模型在对短期内的人口进行预测时是比较有用的，可是在进行几十年甚至上百年的人口预测时，精度往往不高。

6.1.2时间序列AR(p) 模型结果分析

AR模型的估计与实际数据比较接近,模型能很好地描述人口总体的波动情况，并且可以平稳预测，这一优点体现得十分明显。

人口预测模型表明，用AR(p)模型预测时相关非线性系统或物理过程，可以获得令人满意的结果。但是，它也存在如下的问题，对于个别参数计算过程会出现“病态”矩阵，将影响计算精度。为保证精度，建模时有必要建立辅助的模型进行验证。

6.1.3灰色系统GM(1,1)预测模型结果分析

与AR(p)模型不同的是，GM(1,1)模型主要反映的是人口发展的短期趋势。通过与其它模型的对比分析中可以看出：GM(1,1)模型也是一种比较有效的预测方法。

以对全国男女出生比例预测为例，下表10列出了分别运用GM(1,1)与AR(2)模型求得的预测值对比：

表10 GM(1,1)与AR(2)模型预测值对照表

年份

GM(1,1)AR(2)

相对

误差全国男女出生

比例

全国男女出生比例

2 006 120.319

3 119.246

0.00

9

2 007 118.9519 119.3543

0.00

337

2 008 119.9788 119.4626

0.00

432

2 009 119.2057 119.5711

0.00

306

2 010 119.7866 119.6796

0.00

09

通过上表不难看出，应用GM(1,1)与AR(p)模型求得的预测值的相对误差非常小（均小于0.01），起到了相互验证的作用。

6.2 长期趋势预测模型结果分析

根据预测的数据，绘制出人口总量走势图，如下图7所示