上海建平中学2019-2020学年高三上学期第一次月考数学卷

上海建平中学2019-2020学年高三上学期第一次月考数学卷

一、填空题

1．（5分）已知集合A={x|x ＜1}，B={x|x ≥0}，则A ∩B= ．

2．（5分）函数f （x ）=log 2（x ﹣1）的定义域为 ．

3．（5分）当x ＞0时，函数f （x ）=x+x ﹣1的值域为 ．

4．（5分）“x ＞1”是“x ＞a ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．

5．（5分）若函数f （x ）是奇函数，且x ＜0时，f （x ）=x ﹣2，则f ﹣1（3）= ．

6．（5分）已知集合A={x|x 2﹣3x+2≤0，x ∈Z}，B={t|at ﹣1=0}，若A ∪B=A ，则实数a 的取值集合为 ．

7．（5分）已知函数f （x ）=lg （ax 2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，则实数a 的取值集合为 ．

8．（5分）已知不等式≤1的解集为A ，若1?A ，则实数a 的取值范围是 ． 9．（5分）设函数f （x ）=ln （1+|x|）﹣

，若f （a ）＞f （2a ﹣1），则实数a 的取值范围是 ． 10．（5分）若集合A={x|x 2+4x+a=0}，集合B={t|函数f （x ）=4x 2﹣8x+t （4﹣t ）至多有一个零点}，则A ∪B 的元素之和的函数关系式f （a ）= ．

11．（5分）当m ＞0时，方程（mx ﹣1）2﹣

=m 在x ∈[0，1]上有且只有一个实根，则实数m 的取值范围是 ．

12．（5分）已知函数f （x ）=，记函数g （x ）=f （x ）﹣t ，若存在实数t ，使得函数g （x ）有四个零点，则实数a 的取值范围是 ．

二、选择题

13.关于的二元一次方程组，其中行列式为（ ） A ． B ． C ． D ． 14.“要使函数成立，只要不在区间内就可以了”等价于（ ） x y 、50234

x y x y +=??+=?x D 0543-102405430543

-()0f x ≥x [],a b

A.如果，则

B.如果，则

C.如果，则

D.如果，则

15.参数方程 （为参数）所表示的函数是（ ） A.图像关于原点对称 B.图像关于直线对称

C.周期为的周期函数

D.周期为

的周期函数 16.已知椭圆，直线，点，直线交椭圆于两点，则的值为( )

A ．

B ．

C ．

D ． 三、解答题

17.如图，在长方体中，.

（1）证明直线平行于平面；

（2）求直线到平面的距离.

18.的内角的对边分别为，已知的面积为. （1）求；

（2）若，求的周长

19. （1）请根据对数函数来指出函数的基本性质（结论不要求证明），并画出图像；

（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍増”的发明.对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算，请证明：；

（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能.围棋复杂度的上限约为，而根据有()0f x ≥[],x a b ?[],x a b ∈()0f x <()0f x <[],x a b ∈[],x a b ?()0f x ≥()()sin 1cos x a t t y a t ?=-??=-??

0,a t >()y f x =x π=2a π2a π22:143

x y C +=:1l y x =-()1,0P l C A B 、22PA PB +32149324493274933049

1111ABCD A B C D -12,1,1AB AD A A ==

=1BC 1D AC 1BC 1D AC ABC ?,,A B C ,,a b c ABC ?2

3sin a A

sin sin B C ?6cos cos 1,3B C a ?==ABC ?()()1a x log x a f >=((1))x g x log a a >=0,1,,0()()a a a log x y log x log a a x y y +>≠>=?3613M =

关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.甲、乙两个同学都估算了

的近似值，甲认为是,乙认为是.现有两种定义：

①若实数满足，则称比接近； ②若实数，且，满足，则称比接近；请你任选取其中一种定义来判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由.

20.已知数列和的通项公式分别为，将集合 中的元素从小到大依次排列，构成数列；将集合

中的元素从小到大依次排列，构成数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的通项公式；

（3）设数列的前项和为，求数列的通项公式.

21.如图，已知曲线，曲线，是平面上一点，若存在过点的直线与都有公共点，则称为“型点”.

（1）证明：的左焦点是“型点”；

8010N =M N

73109310x y 、x m y m ->-y x m x y m 、、10,10,10s t u x y m ===s u t u ->-y x m M

N

{}n a {}n b ()*36,27n n a n b n n N =+=+∈{}*,n x x a n N =∈?{}*

,n x x b n N =∈123,,,,,n c c c c {}*,n x x a n N =∈?{}*

,n x x b n N =∈123,,,,,n d d d d {}n d ()h n {}n c ()f n {}n c n n S {}n S ()g n 2

21:12

x C y -=2:1C y x =+P P 12C C 、P 12C C

-1C 12C C -

（2）设直线与有公共点，求证：，进而证明原点不是“型点”；

（3）求证：内的点都不是“型点”.

上海建平中学2019-2020学年高三上学期第一次月考数学卷

试卷答案

一、填空题

1．（5分）已知集合A={x|x ＜1}，B={x|x ≥0}，则A ∩B= [0，1） ．

【分析】根据交集的定义写出A ∩B ．

【解答】解：集合A={x|x ＜1}，

B={x|x ≥0}，

则A ∩B={x|0≤x ＜1}=[0，1）．

故答案为：[0，1）．

2．（5分）函数f （x ）=log 2（x ﹣1）的定义域为 （1，+∞） ．

【分析】根据对数函数的真数大于0，列出不等式求解集即可．

【解答】解：对数函数f （x ）=log 2（x ﹣1）中，

x ﹣1＞0，

解得x ＞1；

∴f （x ）的定义域为（1，+∞）．

故答案为：（1，+∞）．

3．（5分）当x ＞0时，函数f （x ）=x+x ﹣1的值域为 [2，+∞） ．

【分析】直接利用基本不等式求得函数f （x ）=x+x ﹣1的最小值得答案．

【解答】解：∵x ＞0，

∴f （x ）=x+x ﹣1=x+．

当且仅当x=1时，上式“=”成立．

∴函数f （x ）=x+x ﹣1的值域为[2，+∞）．

故答案为：[2，+∞）．

4．（5分）“x ＞1”是“x ＞a ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 a ＜1 ． y kx =2C 1k >12C C -(){},1x y x y +<12C C -

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．

【解答】解：若“x＞1”是“x＞a”的充分不必要条件，

则a＜1，

故答案为：a＜1．

5．（5分）若函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x﹣2，则f﹣1（3）= 1 ．

【分析】由已知可得x＞0时，f（x）=x+2，若f﹣1（3）=a，则f（a）=3，进而得到答案．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x﹣2，

故x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=﹣x﹣2=﹣f（x），

即f（x）=x+2，

若f﹣1（3）=a，

则f（a）=3，

当a＜0时，f（a）=a﹣2=3，即a=5（舍去）

当a＞0时，f（a）=a+2=3，即a=1，

故f﹣1（3）=1

故答案为：1

6．（5分）已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0，x∈Z}，B={t|at﹣1=0}，若A∪B=A，则实数a的取值集合为{0，，1} ．

【分析】求出集合A={1，2}，B={t|at﹣1=0}，A∪B=A，从而B?A，当a=0时，B=?，成立；

当a≠0时，B={}，由B?A，得=1或，由此能求出实数a的取值集合．

【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+2≤0，x∈Z}={x|1≤x≤2}={1，2}，

B={t|at﹣1=0}，A∪B=A，

∴B?A，

当a=0时，B=?，成立；

当a≠0时，B={}，

∵B?A，∴=1或，解得a=1或a=，

∴实数a的取值集合为{0，，1}．

故答案为：{0，，1}．

7．（5分）已知函数f（x）=lg（ax2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，则实数a的取值集合