2020年广州市天河区高三二模理科数学试卷(含答案及解析)
6. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是说两个同高的几何体，如在等高处的截面积暅相
等，则体积相等．设 ， 为两个同高的几何体， ： ， 的体积不相等， ： ， 在等高
处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知， 是 的（ ）．
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7.
/
设
，
是（ ）． A.
，且 B.
，
，
C.
，则 、 、 的大小关系 D.
8. 甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获
胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率
为（ ）．
A.
B.
C.
D.
9. 函数 A.
在区间
上的大致图象为（ ）． B.
．
（ 1 ）求角 的大小．
（ 2 ）若向量
与
共线，求
，且 的周长．
18. 如图，在四面体
中， ， 分别是线段 ， 的中点，
，
，
．
（ 1 ）证明：平面 （ 2 ）若二面角
平面 为
． ，求二面角
的余弦值．
19. 设椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，为短轴端点，且，离心率为，为坐标原点． （ 1 ）求椭圆的方程． （ 2 ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点、，且满足，若 存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．
的焦点， 是 上一点， ．
的延长线交 轴于点 ．若 为
【答案】
【解析】 方法一：由
可得
，焦点为
，准线
，
如图，
为 中点，故易知线段
∵
，
，∴
又有定义
，且
∴
方法二：
为梯形
中位线，
，
，
．
/
抛物线 ：
的焦点
， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 ，
若 为 中点，
可知 的横坐标为： ，则 的纵坐标为： ，
，
故答案为： ．
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 根据祖暅原理， ∵若非 ，则非 ， ∴它的逆否命题成立， 则若 ，则 ， 则 可以推导出 ， 即 是 的充分条件． 由图所示，
几何体 和几何体 在等高处的截面积不恒相等， ， ， ，
故 不可以推导出 ， 故 是 的不必要条件． 故选 ．
20. 已知函数． （ 1 ）讨论函数的单调性． （ 2 ）若关于的方程存在个不相等的实数根，求实数的取值范围．
21. 某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：① 逐份检验，则需要检验次；②混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验．若 检验结果为阴性，这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果
C.
D.
10. 以双曲线 一个焦点 A.
上一点 为圆心作圆，该圆与 轴相切于双曲线 的
，与 轴交于 ， 两点，若
B.
C.
，则双曲线 的离心率是（ ）． D.
11. 如图，点 在正方体
①三棱锥
的体积不变；
②
平面
；
③
；
④平面
平面
．
其中正确的结论的个数是（ ）．
的面对角线 上运动，则下列四个结论：
/
A. 个
2020年广东广州天河区高三二模理科数学试卷
一、选择题
（本大题共12小题，每题5分，共60分）
1. 设集合 A.
， B.
，则
等于（ ）．
C.
D.
2. 瑞士数学家欧拉在 年得到复数的三角形式：
该式，计算
的值为（ ）．
A.
B.
C.
，（ 为虚数单位），根据 D.
3. 已知等差数列 的前 项和为 ，若
，
，则 等于（ ）．
15. 已知四棱锥 的表面积等于
的三视图如右图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球 的球面上，则球 ．
正视图
【答案】 【解析】 由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，
俯视图
侧视图
因为平面 过三角形 令为
∴
可得 计算得， 所以 故答案为
平面
，连接 ， 交于 ，过 作面
的垂线与
的外心作面
的垂线交于 ，即为球心，连接 即为半径，
为锐角，
19. 设椭圆
， ， 分别为椭圆 的左右焦点， 为短轴端点，且
的两射线，相互垂直，与曲线分别相交于，两点（不同于点），且的倾斜角为锐角． （ 1 ）求曲线和射线的极坐标方程． （ 2 ）求的面积的最小值，并求此时的值．
选修4-5：不等式选讲 23. 已知函数，．
（ 1 ）若，求的取值范围． （ 2 ）若，，关于的不等式的解集为，求，的值．
/
2020年广东广州天河区高三二模理科数学试卷 答案及解析
，
从而由面面垂直的判定知平面
故选： ．
平面
，故正确，
12. 若 ， ， 均为任意实数，且
（ ）．
A.
B.
，则 C.
的最小值为 D.
【答案】 D
【解析】 方法一：由于 ， 均为任意实数，且
，
所以动点
到定点
的距离为定值 ，
亦即动点
的轨迹是以
为圆心，半径
的圆，
又
表示
与动点
的距离，
而
的轨迹是曲线
，
/
如图，
所以以 为顶点，
为底面的三棱锥条件不变，
则三棱锥
的体积不变，故正确，
对于②，连接 ， ， ， ，
，，
且相等，
由①知：
，
所以平面
平面
，
因为
平面
，
/
所以
平面
对于③，连接 ，
，故正确， ，
由于
平面
，
所以
，
若
，则
平面
，
，
则 为中点，与 为动点矛盾，故错误，
对于④，连接 ， ， ， ， ， ，
由
且
，
可得
平面
与直线
在第一象限所
，
则
展开式的通项公式为
，
由
，解得
，
则展开式中的系数为
，
故选 ．
6.
/
祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是说两个同高的几何体，如在等高处的截面积暅相
等，则体积相等．设 ， 为两个同高的几何体， ： ， 的体积不相等， ： ， 在等高
处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知， 是 的（ ）．
/
为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次 数总共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的， 且每份样本是阳性结果的概率为． （ 1 ）假设有份血液样本，其中只有份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过次检验就
能把阳性样本全部检验出来的概率． （ 2 ）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合
检验方式，样本需要检验的总次数为． 1 若，试求关于的函数关系式． 2 若，试讨论采用何种检验方式更好？
参考数据：，，，，，．
四、选做题
（本大题共2小题，每题10分，选做一题） 选修4-4：坐标系与参数方程 22. 已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点
为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 由题意，甲获得冠军的概率为
其中比赛进行了 局的概率
∴所以概率为
．
故选 ．
， ，
9. 函数 A.
在区间
上的大致图象为（ ）． B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】
，
/
，
又∵
，
∴ 为偶函数，
∴ 关于 轴对称，
∴ ， 排除，
当
时，
，
当
而
时，
，
故 错，
故选 ．
10. 以双曲线 一个焦点 A.
图象与 轴交点的横坐标构成一个公
差为 的等差数列，可知周期
，
那么：
．
则
，
要得到
，
即
，
由题意：可得： 向左平移 可得 ．
故选 ．
5. 已知直线
与曲线
中， 的系数为（ ）．
A.
B.
在第一象限围成的封闭图形的面积为 ，则
C.
D.
的展开式
【答案】 C
【解析】 两个图形在第一象限的交点为 围成的图形的面积是
，所以曲线 ，而
，
，则 等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 ∵
，
∴
，
由等差中项的性质得：
，
/
∴
．
4. 函数
的图象与 轴的两个相邻交点间的距离为 ，要得到函数
的图象，只需将 的图象（ ）．
A. 向左平移 个单 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单
位
位
【答案】 A
【解析】 由题意，函数
，
故只需
，
故实数 的最小值为 ．
故答案为： ．
三、解答题
（本大题共5小题，每题12分，共60分）
广东省2020版高考数学二模试卷(理科)B卷
广东省2020版高考数学二模试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设为虚数单位，则复数的虚部为（）A . －4B . －4iC . 4D . 4i2. （2分）设集合，则等于（）A . RB .C . {0}D .3. （2分）已知单位向量满足，其中k>0，记函数f（）=，，当f（）取得最小值时，与向量垂直的向量可以是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高三上·汕头模拟) 下列函数中既是偶函数又在上单调递增的函数是（）A .B .C .D .5. （2分）如果执行框图，输入N=12，则输出的数等于（）A . 156B . 182C . 132D . 786. （2分）设锐角α终边上一点P的坐标是（3cosθ，sinθ），则函数y=θ﹣α（0＜θ＜）的最大值是（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·诸暨模拟) 二项式（x+ ）8展开式的常数项等于（）A . CB . CC . 24CD . 22C8. （2分） (2016高三上·安徽期中) 设x，y满足约束条件，若z= 的最小值为，则a的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分） (2017高三下·上高开学考) 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A . 2cm2B . cm3C . 3 cm3D . 3cm310. （2分）已知双曲线方程:的离心率为，其实轴与虚轴的四个顶点和椭圆G的四个顶点重合，椭圆G的离心率为，一定有（）A .B .C .D . e1+e2=e1e2+211. （2分）(2017·上饶模拟) 老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生的回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．成绩出来后发现，四名学生中有且只有两人说对了，他们是（）A . 甲、丙B . 乙、丁C . 丙、丁D . 乙、丙12. （2分） (2017高二下·西安期中) 已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A . y=2x﹣1B . y=xC . y=3x﹣2D . y=﹣2x+3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高三上·贵阳期末) 图中阴影部分的面积等于________．14. （1分） (2018高三上·长春期中) 在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________15. （1分） (2016高一下·和平期末) 如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（2，0）且点C 与点D在函数f（x）= 的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．16. （1分）(2019·榆林模拟) 已知三棱锥中，面，且，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (共7题；共65分)17. （10分） (2018高二上·莆田月考) 在等差数列中，，（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前项和18. （5分）在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；19. （10分） (2015高三上·大庆期末) 已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=PC=2，．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．20. （10分）(2017·上海模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，设点M（x0 ， y0）是椭圆C： +y2=1上一点，从原点O向圆M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=r2作两条切线分别与椭圆C交于点P，Q．直线OP，OQ的斜率分别记为k1 ， k2（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程；（2）若r= ，①求证：k1k2=﹣；②求OP•OQ的最大值．21. （10分）(2020·海南模拟) 已知函数 .（1）讨论函数的极值；（2）当时，记函数的最小值为，求的最大值.22. （10分）(2018·银川模拟) 选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数）.（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（2）已知，圆C上任意一点，求面积的最大值.23. （10分）(2017·万载模拟) 设函数f（x）=|x﹣4|，g（x）=|2x+1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
【教师版】广州市2023届高三二模数学试题
2023年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a 为实数，且7i2i 3ia +=-+，则a = （ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-1．【答案】C【解析】由题意得，(2i)(3i)7i1i ia -+--===-，故选：C ．2．已知集合*{|32,}A x x n n ==-∈N ，{6,7,10,11}B ，则集合A B 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．【答案】B【解析】因为*{|32,}A x x n n ==-∈N ，{6,7,10,11}B ，则{7,10}A B = ，故集合A B 的元素个数为2．故选：B ．3．已知两个非零向量a ，b满足3a b = ，()a b b +⊥ ，则cos ,a b 〈〉=（ ）A ．12B ．12-C ．13D ．13-3．【答案】D【解析】因为()a b b +⊥ ，所以()0a b b +⋅= ，所以20a b b ⋅+= ，所以2a b b ⋅=- ，221cos ,33b b a b a b a b a b b b--⋅〈〉====-⋅⋅⋅，故选D ．4．已知233a =，342b =，134c =，则（ ）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<4．【答案】D【解析】由213339a ==，314428b ==，134c =，则111334889b a =<<<，c a <，又14223log log 84b ==，13222log log 43c ==，则22log log c b <，即c b <，所以c b a <<．故选：D ．5．木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40 cm的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50 cm 的球O 的球面上，且一个底面的中心与球O 的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为 （ ）AB ．23CD ．255．【答案】A【解析】如图：正四棱台，由题意可知：O 是底面正方形的中心也是球O 的球心，且50R OB ==，40OO '=，所以BC =， 30O B ''===，进而可得B C ''=取BC 的中点为N ，过B C ''的中点P 作PM ON ⊥，连接PN ，所以12OM O P B A '''===，12ON BA ==，故MN ON OM =-=在直角三角形PMN 中，tanPM PNM MN ∠===， 故sin PNM ∠=，由于PN BC ⊥，ON BC ⊥，所以PNM ∠，故选：A6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过点(),0a -且方向向量为(1,1)n =- 的光线，经直线y b =-反射后过C 的右焦点，则C 的离心率为 （ ）A ．35B ．23C ．34D ．456．【答案】A【解析】设过点,()0A a -且方向向量为(1,1)n =-的光线，经直线y b =-的点为B ，右焦点为C ． 因为方向向量(1,1)n =-的直线斜率为1-，则45CAB ∠=︒，1AB k =-，又由反射光的性质可得1BC k =，故AB BC ⊥，所以ABC △为等腰直角三角形，且B 到AC 的距离为b ，又AC c a =+，故2a c b +=，22222244()a c ac b a c ++==-，则(35)()0a c a c -+=，故35a c =，离心率35c e a ==．故选：A7．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，若()π3f x f ⎛⎫⎪⎝⎭≤恒成立，且π(π)4f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦∈Z B ．πππ,π()63k k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣∈⎦Z C ．πππ,π()36k k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣∈⎦ZD ．2πππ,π()36k k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∈Z 7．【答案】D【解析】因为π()3f x f ⎛⎫⎪⎝⎭≤恒成立，所以max π()13f f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即2πsin 13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭， 所以2ππ2π32k ϕ+=+或2π3π2π,32k k ϕ+=+∈Z ，所以π2π6k ϕ=-+或5π2π,6k k ϕ=+∈Z ， 当π2π,6k k ϕ=-+∈Z 时，π1()sin 2π2π62f k π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，ππππsin 2πsin 4263f k ⎛⎫⎛⎫=+-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π()4f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，与题意矛盾，当5π2π,6k k ϕ=+∈Z 时，5π1()sin 2π2π62f k π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，ππ5π5πsin 2πcos 4266f k ⎛⎫⎛⎫=++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以5π2π,6k k =+∈Z ，所以5π5π()sin 22πsin 266f x x k x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令ππ2π5π22π226k k x +-++≤≤，得2ππππ,36Z x k k k --++∈≤≤， 所以()f x 的单调递增区间为2πππ,π()36Z k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦．故选：D ． 8．已知偶函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()e x f x x -++'也是偶函数，若(21)(1)f a f a -<+，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(2),-∞ B ．(0,2) C ．(2,)+∞ D ．(,0)(2,)-∞+∞8．【答案】B【解析】因为()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，等式两边求导可得()()f x f x ''=--，① 因为函数()e x f x x -++'为偶函数，则()e ()e x x f x x f x x -'++=-+-'，②联立①②可得e e ()2x x f x x --'=-，令()()g x f x '=，则e e()1102x xg x -+'=-=≥，且()g x '不恒为零，所以，函数()g x 在R 上为增函数，即函数()f x '在R 上为增函数， 故当0x >时，()(0)0f x f ''>=，所以，函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，由(21)(1)f a f a -<+可得()()211fa f a -<+，所以，211a a -<+，整理可得220a a -<，解得02a <<．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是 （ ） A ．该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08 B ．该零件是次品的概率为0.03C ．如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98D ．如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为139．【答案】BC【解析】记事件A ：车床加工的零件为次品，记事件i B ：第i 台车床加工的零件，则1(|)8%P A B =，2(|)3%P A B =，3(|)2%P A B =，1()10%P B =，2()40%P B =，3()50%P B =， 对于A ，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为111()(|)()8%10%0.008P AB P A B P B ==⨯=，故A 错误；对于B ，任取一个零件是次品的概率为123()()()()8%10%3%40%2%50%0.03P A P AB P AB P AB =++=⨯+⨯+⨯=，故B 正确； 对于C ，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为33()1()12%0.98P A B P A B =-=-=，故C 正确；对于D ，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为3333()(|)()2%50%21(|)11()()0.033P AB P A B P B P B A P A P A ⨯-=-==-=，故D 错误．故选：BC ．10．已知函数24()14xf x x =-+的定义域是[,](,)Z a b a b ∈，值域为[0,1]，则满足条件的整数对(,)a b 可以是（ ）A ．(2,0)-B ．()1,1-C ．(0,2)D ．()1,210．【答案】ACD【解析】显然24()14x f x x =-+是偶函数，其图像如下图所示：要使值域为[0,1]，且a ，b ∈Z ，则2a =-，0,1,2b =；1a =-，2b =；0a =，2b =．故选：ACD ． 11．已知双曲线222:(0)x y a a Γ-=>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线l 与双曲线Γ的右支交于点B 、C ，与双曲线Γ的渐近线交于点A 、D （A 、B 在第一象限，C 、D 在第四象限），O 为坐标原点，则下列结论正确的是 （ ） A ．若BC x ⊥轴，则1BCF △的周长为6a B ．若直线OB 交双曲线Γ的左支于点E ，则1//BC EF C ．AOD △面积的最小值为24a D ．1AB BF +的取值范围为(3,)a +∞11．【答案】BD【解析】双曲线Γ的标准方程为22221x y a a-=，则c ==，易知点1(,0)F 、2,0)F ，双曲线Γ的渐近线方程为y x =±．对于A 选项，当BC x ⊥轴，直线BC 的方程为x =，联立222x x y a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，可得x y a⎧=⎪⎨=±⎪⎩，此时，2BC a =， 则()()11222246BF CF BF a CF a BC a a +=+++=+=，此时，1BCF △的周长为118BC BF CF a ++=，A 错；对于B 选项，因为双曲线Γ关于原点对称，则点B 关于原点O 的对称点也在双曲线Γ上，因为若直线OB 交双曲线Γ的左支于点E ，则点B 、E 关于原点对称，即BE 、12F F 的中点均为原点，故四边形12BF EF 为平行四边形，所以，12//EF BF ，即1//EF BC ，B 对；对于C 选项，易知OA 的方程为y x =，OD 的方程为y x =-，所以，OA OD ⊥， 因为直线l 与双曲线Γ的右支交于点B 、C ，则直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为x my =+，则11m -<<，设点11(,)B x y 、22(,)C x y ，联立x my y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得x y ==，即点A ⎝⎭，联立x my y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得x =y =D ⎝⎭，所以，21A a OA x m =⋅=-，21Da OD x m=⋅+， 所以，222221222211AODa a S OA OD a m m=⋅==--△≥，当且仅当0m =时，等号成立，C 错； 对于D 选项，12222AB BF AB BF a AF a +=++=+，2AF 的最小值为点2F 到渐近线的距离，为a ， 当2AF 与渐近线垂直时，直线2AF 与双曲线只有一个交点，所以不能取等号，所以13AB BF a +>，D 正确．12．已知正四面体A BCD -的棱长为2，点M ，N 分别为ABC △和ABD △的重心，P 为线段CN 上一点，则下列结论正确的是 （ ）A ．若AP BP +取得最小值，则CP PN =B ．若3CP PN =，则DP ⊥平面ABC C ．若DP ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为27π2D ．直线MN 到平面ACD12．【答案】BCD【解析】选项A ，因为CN ⊥平面ABD ，且,AN BN ⊂平面ABD ，所以CN AN ⊥，CN BN ⊥， 所以当点P 与点N 重合时，AP BP +取得最小值，A 错误；若3CP PN =，则点P 为正四面体的中心，此时必有DP ⊥平面ABC ，B 正确；若DP ⊥平面ABC，则是外接球的圆锥模型，圆锥底面半径r =，高h =，设外接球半径为R ，则222()h R r R -+=，代入并解得：222h r R h +==，外接球的表面积2247π2S R π==，C 正确；1133MN ACD N ACD B ACD d d d ---====，D 正确．A三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某班有48名学生，一次考试的数学成绩X （单位：分）服从正态分布2(80,)N σ，且成绩在[80,90]上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________． 13．【答案】8 【解析】由X （单位：分）服从正态分布2(80,)N σ，知正态密度曲线的对称轴为80x =，成绩在[80,90]上的学生人数为16，由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为24168-=．14．已知*n ∈N ，21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，写出n 的一个值为____________．14．【答案】3或者*3()k k ∈N【解析】二项式21n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为3121C (1)C ,0,1,2,,rr n r r r n r r n n T x x r n x --+⎛⎫=-=-⋅= ⎪⎝⎭ ，因为二项式21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，所以30n r -=有解，即3n r =，可得n 的一个值为3．故答案为：3（答案不唯一）15．在数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=+，若1440k k a a +=，则正整数k =____________． 15．【答案】10【解析】由12a =，m n m n a a a +=+，令1m =，则112n n a a a +-==，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，即2(1)22n a n n =+-⨯=，又k 为正整数，所以122(1)440k k a a k k +=⨯+=，即(1)110k k +=，解得10k =或11k =-（舍去）．故答案为：10．16．在平面直角坐标系xOy 中，定义1212(,)d A B x x y y =-+-为11(,)A x y ，22(,)B x y 两点之间的“折线距离”．已知点(1,0)Q ，动点P 满足1(,)2d Q P =，点M 是曲线21y x=上任意一点，则点P 的轨迹所围成图形的面积为___________，(,)d P M 的最小值为___________16．【答案】①．12##0.5 ②．133212⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】设(,)P x y ，1(,)12d Q P x y =-+=，当1,0x y ≥≥时，则112x y -+=，即302x y +-=，当1,0x y <≥时，则112x y --=，即302x y --=，当1,0x y <<时，则112x y --=，即102x y +-=当1,0x y <≥时，则112x y -+=，即102x y --=，故点P 的轨迹所围成图形如图阴影部分四边形ABCD 的面积：则111142222S =⨯⨯⨯=． 如下图，设00(,)P x y ，11(,)M x y ，显然10x x >，10y y >，101010101100(,)()d P M x x y y x x y y x y x y =-+-=-+-=+-+，求(,)d P M 的最小值，即11x y +的最小值，00x y +的最大值，又00max ()32x y +=，下面求11x y +的最小值， 令111211y x y x x =+=+，3133112210x y x x -'=-==，即1312x =， 令0y '>，解得：1312x >，令0y '<，解得：1312x <，所以y 在13,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在132,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1312x =时，y 有最小值，且min2332y =， 所以13min 23333(,)21222d P M ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．故答案为：12；133212⎛⎫- ⎪⎝⎭． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知30a =，1(1)2n nn n a S ++-=．（1）求1a ，2a ；（2）令12n n n b a a +=+，求2462n b b b b ++++ ． 17．【答案】（1）11a =，23a =；（2）2122n +-【解析】（1）由1(1)2n n n n a S ++-=得212a a -=，即212a a =+，····································1分23242a S +==，即1324a a a +=+，··········································································3分 又30a =，所以11a =，23a =．·················································································5分（2）当2n k =时，22122kk k a S ++=， ①······························································6分 当21n k =-时，221212k k k a S --=-， ②······························································7分两式相加可得22121221222kk k k k k a S a S +--=+-++，得2212121222322k k k k k a a --++=⨯+=，···8分由于12n n n b a a +=+，所以3254724622126(2)(2)(22)()n n n a a a a a a b b b b a a +=++++++++++++135213(2222)n -=⨯++++ ·····················································································9分 212(14)32214n n +-=⨯=--．·························································································10分18．一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入x （单位：千万元）对每件产品成本y （单位：元）的影响，对近10年的年技术创新投入i x 和每件产品成本(1,2,3,,10)i y i = 的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得： 6.8x =，70y =，10113i ix ==∑，102111.6i i x ==∑，101350i i i y x ==∑．（1）根据散点图可知，可用函数模型by a x=+拟合y 与x 的关系，试建立y 关于x 的回归方程； （2）已知该产品的年销售额m （单位：千万元）与每件产品成本y 的关系为222001005002510y y m y =-+++-．该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入x 为何值时，年利润的预报值最大？ （注：年利润=年销售额一年投入成本）参考公式：对于一组数据11(,)u v 、22(,)u v 、 、(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小乘估计分别为： 121ni i i nii u v nuvunuβ==-=-∑∑， ˆv u αβ=-．18．【答案】（1）20010y x=+；（2）当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值 【解析】（1）令1u x=，则y 关于u 的线性回归方程为y u αβ=+，···································1分 由题意可得 1221103502102001.60.910ni ni i i iu y u yu uβ==--===--∑∑，·······················································3分702000.310y x αβ=-=-⨯=，···············································································4分 则10200y u =+，·····································································································5分所以y 关于x 的回归方程为20010y x =+．·····································································6分（2）由20010y x=+可得20010x y =-，·········································································7分年利润10M m x =--································································································8分2220020010010500251010y y y y =-+++----······································································9分21(20)90.8500y =--+，··························································································10分当20y =时，年利润M 取得最大值，此时20020020102010x y ===--，·······························11分 所以，当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值．··································12分 19．记ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos cos b A a B b c -=-． （1）求A ；（2）若点D 在BC 边上，且2CD BD =，cos B =，求tan BAD ∠． 19．【答案】（1）π3A =；（2）tan BAD ∠= 【解析】（1）因为cos cos b A a B b c -=-，由余弦定理可得22222222b c a a c b b a b c bc ac+-+-⋅-⋅=-，·················································2分化简可得222b c a bc +-=，························································································3分由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，····································································4分因为0πA <<，所以π3A =．·····················································································5分（2）因为cos B =，则B为锐角，所以sin B ===，···········6分 因为πA B C ++=，所以，2π3C B =-， 所以2π2π2πsin sin sin cos cos sin 333C B B B ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭1122==，(7分)设BAD θ∠=，则π3CAD θ∠=-， 在ABD △和ACD △中，由正弦定理得sin sin BD AD B θ==，·········································8分πsin sin 3CD AD C θ==⎛⎫- ⎪⎝⎭··················································································9分 因为2CD BD =π(33θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，·························10分1sin (32θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2θθ=，·························11分所以tan tan BAD θ∠===································································12分20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB AC AA ===，点D 是BC 的中点，点E 在1AA 上，//AD 平面1BC E ．（1）求证：平面1BC E ⊥平面11BB C C ；（2）当三棱锥11B BC E -的体积最大时，求直线AC 与平面1BC E 所成角的正弦值．20．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）证明：取1BC 的中点M ，连接DM ，EM ，因为点D 是BC 的中点，所以11////DM CC AA ，则A ，E ，M ，D 四点共面．····················································································1分 因为//AD 平面1BC E ，平面AEMD 平面1BC E EM =，所以//AD EM ．······················2分 因为AB AC =，所以AD BC ⊥．···············································································3分 在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，则1AD CC ⊥．又1BC CC C = ，BC ⊂平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，所以AD ⊥平面11BB C C ．····························································4分 所以EM ⊥平面11BB C C ．又EM ⊂平面1BC E ，所以平面1BC E ⊥平面11BB C C ．··············5分（2）由（1）知ME ⊥平面11BB C C ，则111113B BC E B BC V S ME -=⋅⋅△， 设2BC a =，则BD a =，AD =，1112332B BC S a a =⨯⋅=△，11221993322B BC E a a V a -+-∴=⋅=，······························································7分由基本不等式知，当且仅当a =时等号成立，即三棱锥11B BC E -的体积最大，此时，a =．·····································································································8分 以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴， DM 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则有A ⎫⎪⎪⎝⎭，0,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，32E ⎫⎪⎪⎝⎭，10,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，AC ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，13)C B =-，32BE ⎫=⎪⎪⎝⎭ ，·····························································9分设平面1BC E 的一个法向量为111(,,)x n y z =，则有11111130302n C B z n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =2)n = ，·····················10分 设直线AC 与平面1BC E 所成的角为θ，sin cos ,n AC θ∴=== ，·············11分 故直线AC 与平面1BC E．····························································12分 21．已知点(1,0)F ，P 为平面内一动点，以PF 为直径的圆与y 轴相切，点P 的轨迹记为C ． （1）求C 的方程；（2）过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，过点A 且垂直于l 的直线交x 轴于点M ，过点B 且垂直于l 的直线交x 轴于点N ．当四边形MANB 的面积最小时，求l 的方程． 21．【答案】（1）24y x =；（20y -=0y +=【解析】（1）设(,)P x y ，则以PF 为直径的圆的圆心为1,02x +⎛⎫⎪⎝⎭，···································1分 根据圆与y轴相切，可得1122x PF +==，············································2分 化简得24y x =，所以C 的方程为24y x =．···································································4分 （2）由题意可知：直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：:(1)l y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22222(1)2(2)04y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩，所以21222(2)k x x k++=，121x x =，·············································································5分 设直线l 的倾斜角为θ，则tan AM AF θ=⋅，tan BN BF θ=⋅，································6分 所以tan tan tan AM BN AF BF AB AB k θθθ+=⋅+⋅=⋅=⋅，······························7分 所以2212222(2)4422k k AB AF BF x x k k ++=+=++=+=，········································8分 由题意可知四边形为梯形， 所以()222318(1)22AMF BMF AB k k S S S AB AM BN k +=+=⋅+==△△······························9分 4238(21)k k k ++=，···································································································10分 设0t k =>，则42338(21)21()8t t S t t t t t ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 所以422442323()818t t S t t t t ⎛⎫--⎛⎫'=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，当t >，()0S t '>，()S t 单调递增，当0t <<，()0S t '<，()S t 单调递减，所以当t =时，即k =········11分此时k =，故直线的方程为：1)y x =-0y -=0y +-=．·12分 22．已知函数()ln(1)f x x =+，2()g x ax x =+．（1）当1x >-时，()()f x g x ≤，求实数a 的取值范围；（2）已知*n ∈N ，证明：111sin sin sin ln2122n n n+++<++ ． 22．【答案】（1）0a ≥；（2）证明见解析． 【解析】（2）令()ln(1)(1)h x x x x =+->-，则1()111x h x x x '=-=-++， 当10x -<<时，()0h x '>，则函数()h x 在()1,0-上单调递增，当0x >时，()0h x '<，则函数()h x 在(0,)+∞上单调递减，所以max ()(0)0h x h ==，即ln(1)x x +≤，···································································1分 所以当0a ≥时，2ln(1)x x ax x ++≤≤，即()()f x g x ≤，··········································2分当0a <时，取010x a =->，由于0ln(1)ln10x +>=，而2200110ax x a a a⎛⎫+=⋅--= ⎪⎝⎭，得2000ln(1)x ax x +>+，故00()()f x g x >，不符合题意．····················································3分综上所述，0a ≥．···································································································4分 （2）证明：当0a =时，由（1）可得ln(1)x x +≤，则ln 1x x -≤， 可得11ln 1x x -≤，即1ln 1x x --≤，即1ln 1(1)x x x->≥，··········································5分 令111t x =-，则1t x t =-，所以1ln 1t t t -≥，即1ln ln(1)(1)t t t t-->≥，························6分 所以1ln()ln(1)n k n k n k+-+-+≤，(0,1,2,,)k n ∈ ，················································7分。
【答案】广州市2023届高三二模数学试题
17．（1）1，2；（2）2122n +-18．（1）20010y x =+；（2）当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值． 19．（1）π3A =；（2）tan BAD ∠=20．（1）证明见解析；（2．21．（1）24y x =；（20y -=0y += 22．（1）0a ≥；（2）证明见解析．1．【答案】C 【解析】由题意得，(2i)(3i)7i1i ia -+--===-，故选：C ． 2．【答案】B 【解析】因为*{|32,}A x x n n ==-∈N ，{6,7,10,11}B ，则{7,10}A B = ，故集合A B 的元素个数为2．故选：B ．3．【答案】D 【解析】因为()a b b +⊥ ，所以()0a b b +⋅= ，所以20a b b ⋅+= ，所以2a b b ⋅=- ，221cos ,33b b ab a b a b a b b b--⋅〈〉====-⋅⋅⋅，故选D ．4．【答案】D 【解析】由213339a ==，314428b ==，134c =，则111334889b a =<<<，ca <，又14223log log 84b ==，13222log log 43c ==，则22log log cb <，即c b<，所以c b a <<．故选：D ．5．【答案】A【解析】如图：正四棱台，由题意可知：O 是底面正方形的中心也是球O的球心，且50R OB ==，40OO '=，所以BC =， 30O B ''===，进而可得B C ''=取BC 的中点为N ，过B C ''的中点P 作PM ON ⊥，连接PN ， 所以12OM O P B A '''===，12ON BA ==，故MN ON OM =-= 在直角三角形PMN 中，tan PM PNM MN ∠===， 故sin PNM ∠=，由于PN BC ⊥，ON BC ⊥， 所以PNM ∠即为正四棱台的侧面与底面所成二面角， ，故选：A 6．【答案】A【解析】设过点,()0A a -且方向向量为(1,1)n =-的光线，经直线y b =-的点为B ，右焦点为C ．因为方向向量(1,1)n =-的直线斜率为1-，则45CAB ∠=︒，1AB k =-，又由反射光的性质可得1BC k =，故AB BC ⊥，所以ABC △为等腰直角三角形，且B 到AC 的距离为b ，又AC c a =+，故2a c b +=，22222244()a c ac b a c ++==-，则(35)()0a c a c -+=，故35a c =，离心率35c e a ==．故选：A7．【答案】D 【解析】因为π()3f x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤恒成立，所以max π()13f f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即2πsin 13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭， 所以2ππ2π32k ϕ+=+或2π3π2π,32k k ϕ+=+∈Z ，所以π2π6k ϕ=-+或5π2π,6k k ϕ=+∈Z ， 当π2π,6k k ϕ=-+∈Z 时，π1()sin 2π2π62f k π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，ππππsin 2πsin 4263f k ⎛⎫⎛⎫=+-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π()4f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，与题意矛盾，当5π2π,6k k ϕ=+∈Z 时，5π1()sin 2π2π62f k π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，ππ5π5πsin 2πcos 4266f k ⎛⎫⎛⎫=++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以5π2π,6k k ϕ=+∈Z ，所以5π5π()sin 22πsin 266f x x k x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令ππ2π5π22π226k k x +-++≤≤，得2ππππ,36Z x k k k --++∈≤≤， 所以()f x 的单调递增区间为2πππ,π()36Z k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦．故选：D ． 8．【答案】B 【解析】因为()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，等式两边求导可得()()f x f x ''=--，① 因为函数()e x f x x -++'为偶函数，则()e ()e x x f x x f x x -'++=-+-'，②联立①②可得e e ()2x x f x x --'=-，令()()g x f x '=，则e e()1102x xg x -+'=-=≥，且()g x '不恒为零，所以，函数()g x 在R 上为增函数，即函数()f x '在R 上为增函数，故当0x >时，()(0)0f x f ''>=，所以，函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，由(21)(1)f a f a -<+可得()()211f a f a -<+，所以，211a a -<+，整理可得220a a -<，解得02a <<．故选：B ．9．【答案】BC 【解析】记事件A ：车床加工的零件为次品，记事件i B ：第i 台车床加工的零件， 则1(|)8%P A B =，2(|)3%P A B =，3(|)2%P A B =，1()10%P B =，2()40%P B =，3()50%P B =， 对于A ，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为111()(|)()8%10%0.008P AB P A B P B ==⨯=，故A 错误； 对于B ，任取一个零件是次品的概率为123()()()()8%10%3%40%2%50%0.03P A P AB P AB P AB =++=⨯+⨯+⨯=，故B 正确；对于C ，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为33()1()12%0.98P A B P A B =-=-=，故C 正确；对于D ，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为3333()(|)()2%50%21(|)11()()0.033P AB P A B P B P B A P A P A ⨯-=-==-=，故D 错误．故选：BC ．10．【答案】ACD 【解析】显然24()14xf x x =-+是偶函数，其图像如下图所示：要使值域为[0,1]，且a ，b ∈Z ， 则2a =-，0,1,2b =；1a =-，2b =；0a =，2b =． 故选：ACD ． 11．【答案】BD【解析】双曲线Γ的标准方程为22221x y a a-=，则c ==，易知点1(,0)F、2,0)F ， 双曲线Γ的渐近线方程为y x =±．对于A 选项，当BC x ⊥轴，直线BC的方程为x =，联立222x x y a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，可得x y a⎧=⎪⎨=±⎪⎩，此时，2BC a =，则()()11222246BF CF BF a CF a BC a a +=+++=+=，此时，1BCF △的周长为118BC BF CF a ++=，A 错；对于B 选项，因为双曲线Γ关于原点对称，则点B 关于原点O 的对称点也在双曲线Γ上，因为若直线OB 交双曲线Γ的左支于点E ，则点B 、E 关于原点对称，即BE 、12F F 的中点均为原点，故四边形12BF EF 为平行四边形，所以，12//EF BF ，即1//EF BC ，B 对；对于C 选项，易知OA 的方程为y x =，OD 的方程为y x =-，所以，OA OD ⊥， 因为直线l 与双曲线Γ的右支交于点B 、C ，则直线l 不与x 轴重合，设直线l的方程为x my =+，则11m -<<，设点11(,)B x y 、22(,)C x y ，联立x my y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得x y ==，即点A ⎝⎭，联立x my y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得x =y =D ⎝⎭，所以，21A a OA x m =⋅=-，21Da OD x m=⋅+， 所以，222221222211AODa a S OA OD a m m=⋅==--△≥，当且仅当0m =时，等号成立，C 错； 对于D 选项，12222AB BF AB BF a AF a +=++=+，2AF 的最小值为点2F 到渐近线的距离，为a ， 当2AF 与渐近线垂直时，直线2AF 与双曲线只有一个交点，所以不能取等号，所以13AB BF a +>，D 正确．12．【答案】BCD【解析】选项A ，因为CN ⊥平面ABD ，且,AN BN ⊂平面ABD ，所以CN AN ⊥，CN BN ⊥， 所以当点P 与点N 重合时，AP BP +取得最小值，A 错误；若3CP PN =，则点P 为正四面体的中心，此时必有DP ⊥平面ABC ，B 正确； 若DP ⊥平面ABC ，则是外接球的圆锥模型，圆锥底面半径r =高h =，设外接球半径为R ，则222()h R r R -+=， 代入并解得：222h r R h +==， 外接球的表面积2247π2S R π==，C 正确；1133MN ACD N ACD B ACD d d d ---====，D 正确． 13．【答案】8【解析】由X （单位：分）服从正态分布2(80,)N σ，知正态密度曲线的对称轴为80x =，成绩在[80,90]A上的学生人数为16，由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为24168-=．14．【答案】3或者*3()k k ∈N【解析】二项式21n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为3121C (1)C ,0,1,2,,rr n r r r n r r n n T x x r n x --+⎛⎫=-=-⋅= ⎪⎝⎭ ，因为二项式21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，所以30n r -=有解，即3n r =，可得n 的一个值为3．故答案为：3（答案不唯一）15．【答案】10【解析】由12a =，m n m n a a a +=+，令1m =，则112n n a a a +-==，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，即2(1)22n a n n =+-⨯=，又k 为正整数，所以122(1)440k k a a k k +=⨯+=，即(1)110k k +=，解得10k =或11k =-（舍去）．故答案为：10．16．【答案】①．12##0.5 ②．133212⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】设(,)P x y ，1(,)12d Q P x y =-+=，当1,0x y ≥≥时，则112x y -+=，即302x y +-=，当1,0x y <≥时，则112x y --=，即302x y --=，当1,0x y <<时，则112x y --=，即102x y +-=当1,0x y <≥时，则112x y -+=，即102x y --=，故点P 的轨迹所围成图形如图阴影部分四边形ABCD 的面积：则111142222S =⨯⨯⨯=． 如下图，设00(,)P x y ，11(,)M x y ，显然10x x >，10y y >，101010101100(,)()d P M x x y y x x y y x y x y =-+-=-+-=+-+，求(,)d P M 的最小值，即11x y +的最小值，00x y +的最大值，又00max ()32x y +=，下面求11x y +的最小值， 令111211y x y x x =+=+，3133112210x y x x -'=-==，即1312x =， 令0y '>，解得：1312x >，令0y '<，解得：1312x <，所以y 在13,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在132,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1312x =时，y 有最小值，且min2332y =， 所以13min 23333(,)21222d P M ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．故答案为：12；133212⎛⎫- ⎪⎝⎭．17．【答案】（1）11a =，23a =；（2）2122n +-【解析】（1）由1(1)2n nn n a S ++-=得212a a -=，即212a a =+，····································1分23242a S +==，即1324a a a +=+，··········································································3分又30a =，所以11a =，23a =．·················································································5分（2）当2n k =时，22122kk k a S ++=， ①······························································6分 当21n k =-时，221212k k k a S --=-， ②······························································7分两式相加可得22121221222kk k k k k a S a S +--=+-++，得2212121222322k k k k k a a --++=⨯+=，···8分由于12n n n b a a +=+，所以3254724622126(2)(2)(22)()n n n a a a a a a b b b b a a +=++++++++++++135213(2222)n -=⨯++++ ·····················································································9分 212(14)32214n n +-=⨯=--．·························································································10分18．【答案】（1）20010y x =+；（2）当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值．【解析】（1）令1u x =，则y 关于u 的线性回归方程为y u αβ=+，···································1分由题意可得 1221103502102001.60.910ni ni i i iu y u yu uβ==--===--∑∑，·······················································3分702000.310y x αβ=-=-⨯=，···············································································4分 则10200y u =+，·····································································································5分所以y 关于x 的回归方程为20010y x =+．·····································································6分（2）由20010y x=+可得20010x y =-，·········································································7分年利润10M m x =--································································································8分2220020010010500251010y y y y =-+++----······································································9分21(20)90.8500y =--+，··························································································10分当20y =时，年利润M 取得最大值，此时20020020102010x y ===--，·······························11分 所以，当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值．··································12分19．【答案】（1）π3A =；（2）tan BAD ∠= 【解析】（1）因为cos cos b A a B b c -=-，由余弦定理可得22222222b c a a c b b a b c bc ac+-+-⋅-⋅=-，·················································2分化简可得222b c a bc +-=，························································································3分由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，····································································4分因为0πA <<，所以π3A =．·····················································································5分（2）因为cos B =，则B为锐角，所以sin B ===，···········6分因为πA B C ++=，所以，2π3C B =-， 所以2π2π2πsin sin sin cos cos sin 333C B B B ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭1122==，(7分) 设BAD θ∠=，则π3CAD θ∠=-，在ABD △和ACD △中，由正弦定理得sin sin BD AD B θ==，······························································································································8分πsin sin 3CD AD C θ==⎛⎫- ⎪⎝⎭··················································································9分 因为2CD BD =π(33θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，·························10分1sin (32θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2θθ=，·························11分所以tan tan BAD θ∠===································································12分20．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）证明：取1BC 的中点M ，连接DM ，EM ，因为点D 是BC 的中点，所以11////DM CC AA ，则A ，E ，M ，D 四点共面．····················································································1分 因为//AD 平面1BC E ，平面AEMD 平面1BC E EM =，所以//AD EM ．······················2分 因为AB AC =，所以AD BC ⊥．···············································································3分 在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，则1AD CC ⊥．又1BC CC C = ，BC ⊂平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，所以AD ⊥平面11BB C C ．····························································4分 所以EM ⊥平面11BB C C ．又EM ⊂平面1BC E ，所以平面1BC E ⊥平面11BB C C ．··············5分（2）由（1）知ME ⊥平面11BB C C ，则111113B BC E B BC V S ME -=⋅⋅△， 设2BC a =，则BD a =，AD =，1112332B BC S a a =⨯⋅=△，11221993322B BC E a a V a -+-∴=⋅=，······························································7分由基本不等式知，当且仅当a =时等号成立，即三棱锥11B BC E -的体积最大，此时，a =．·····································································································8分 以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，DM 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则有A ⎫⎪⎪⎝⎭，0,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，32E ⎫⎪⎪⎝⎭，10,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，AC ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，13)C B =-，32BE ⎫=⎪⎪⎝⎭，····················9分设平面1BC E 的一个法向量为111(,,)x n y z =，则有11111130302n C B z n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =2)n = ，·····················10分 设直线AC 与平面1BC E 所成的角为θ，sin cos ,n AC θ∴===，·············11分 故直线AC 与平面1BC E．····························································12分 21．【答案】（1）24y x =；（20y -=0y +=【解析】（1）设(,)P x y ，则以PF 为直径的圆的圆心为1,02x +⎛⎫⎪⎝⎭，···································1分 根据圆与y 轴相切，可得1122x PF +==，············································2分 化简得24y x =，所以C 的方程为24y x =．···································································4分 （2）由题意可知：直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：:(1)l y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22222(1)2(2)04y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩， 所以21222(2)k x x k++=，121x x =，·············································································5分 设直线l 的倾斜角为θ，则tan AM AF θ=⋅，tan BN BF θ=⋅，································6分所以tan tan tan AM BN AF BF AB AB k θθθ+=⋅+⋅=⋅=⋅，······························7分所以2212222(2)4422k k AB AF BF x x k k++=+=++=+=，········································8分 由题意可知四边形为梯形， 所以()222318(1)22AMF BMFAB k k S S S AB AM BN k+=+=⋅+==△△······························9分 4238(21)k k k++=，(10分)设0t k =>，则42338(21)21()8t t S t t t t t ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 所以422442323()818t t S t t t t ⎛⎫--⎛⎫'=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，当t >，()0S t '>，()S t 单调递增，当0t <<，()0S t '<，()S t 单调递减，所以当t =时，即k =········11分此时k =，故直线的方程为：1)y x =-0y -=0y +-=．·12分 22．【答案】（1）0a ≥；（2）证明见解析． 【解析】（2）令()ln(1)(1)h x x x x =+->-，则1()111xh x x x '=-=-++， 当10x -<<时，()0h x '>，则函数()h x 在()1,0-上单调递增，当0x >时，()0h x '<，则函数()h x 在(0,)+∞上单调递减，所以max ()(0)0h x h ==，即ln(1)x x +≤，···································································1分 所以当0a ≥时，2ln(1)x x ax x ++≤≤，即()()f x g x ≤，··········································2分当0a <时，取010x a =->，由于0ln(1)ln10x +>=，而2200110ax x a a a ⎛⎫+=⋅--= ⎪⎝⎭，得2000ln(1)x ax x +>+，故00()()f x g x >，不符合题意．····················································3分 综上所述，0a ≥．···································································································4分 （2）证明：当0a =时，由（1）可得ln(1)x x +≤，则ln 1x x -≤，可得11ln 1x x -≤，即1ln 1x x --≤，即1ln 1(1)x x x ->≥，··········································5分令111t x =-，则1t x t =-，所以1ln1t t t -≥，即1ln ln(1)(1)t t t t-->≥，························6分 所以1ln()ln(1)n k n k n k+-+-+≤，(0,1,2,,)k n ∈ ，················································7分 令()sin (0)g x x x x =->，则()1cos 0g x x '=-≥，且()g x '不恒为零，所以，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0g x g >=，············································8分 则sin (0)x x x <>，··································································································9分所以11sinln()ln(1)n k n k n k n k <+-+-++≤，{0,1,2,,}k n ∈ ，·································10分 所以111sinsin sin 122n n n+++++ [][][]ln(1)ln ln(2)ln(1)ln(2)ln(21)n n n n n n <+-++-+++-- ···································11分 2ln(2)ln ln2nn n n=-==．·······················································································12分。
(含答案解析)2023广州高三二模-数学
2023年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学本试卷共5页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1若a 为实数，且7+ai3+i=2-i ，则a =()A.2B.1C.-1D.-22已知集合A =x ∣x =3n -2,n ∈N * ，B ={6,7,10,11}，则集合A ∩B 的元素个数为()A.1B.2C.3D.43已知两个非零向量a ，b 满足a =3b ，a +b ⊥b ，则cos ⟨a ，b ⟩=()A.12B.-12C.13D.-134已知a =323，b =234，c =413，则()A.c <a <bB.b <c <aC.b <a <cD.c <b <a5木升在古代多用来盛装稂食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升．某同学制作了一个高为40 cm 的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50 cm 的球O 的球面上，且一个底面的中心与球O 的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为()A.223 B.23C.255D.256已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，过点-a ,0 且方向向量为n =1,-1 的光线，经直线y =-b 反射后过C 的右焦点，则C 的离心率为()A.35B.23C.34D.457已知函数f x =sin 2x +φ ，若f x ≤f π3恒成立，且f π >f π4 ，则f x 的单调递增区间为()A.k π+π6,k π+2π3 k ∈ZB.k π-π6,k π+π3k ∈Z C.k π-π3,k π+π6k ∈Z D.k π-2π3,k π-π6k ∈Z 8已知偶函数f x 与其导函数f x 的定义域均为R ，且f x +e -x +x 也是偶函数，若f 2a -1 <f a +1 ，则实数a 的取值范围是()A.-∞,2B.0,2C.2,+∞D.-∞,0 ∪2,+∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床．加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是()A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08B.该零件是次品的概率为0.03C.如果该零件是第3台轪床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98D.如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为1310已知函数f x =1-4xx 2+4的定义域是a ,b a ,b ∈Z ，值域为0,1 ，则满足条件的整数对a ,b 可以是()A.-2,0B.-1,1C.0,2D.-1,211已知双曲线Γ:x 2-y 2=a 2a >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与双曲线Γ的右支交于点B ，C ，与双曲线Γ的渐近线交于点A ，D (A ，B 在第一象限，C ，D 在第四象限)，O 为坐标原点，则下列结论正确的是()A.若BC ⊥x 轴，则△BCF 1的周长为6aB.若直线OB 交双曲线Γ的左支于点E ，则BC ⎳EF 1C.△AOD 面积的最小值为4a 2D.AB +BF 1 的取值范围为3a ,+∞12已知正四面体A -BCD 的棱长为2，点M ，N 分别为△ABC 和△ABD 的重心，P 为线段CN 上一点，则下列结论正确的是()A.若AP +BP 取得最小值，则CP =PNB.若CP =3PN ，则DP ⊥平面ABCC.若DP ⊥平面ABC ，则三棱雉P -ABC 外接球的表面积为27π2D.直线MN 到平面ACD 的距离为269三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13某班有48名学生，一次考试的数学成绩X (单位：分)服从正态分布N 80,σ2 ，且成绩在80,90 上的学生人数为16，则成缋在90分以上的学生人数为。
广东省广州市天河区2023届高三二模数学试题(解析版)
【小问1详解】
连接 交 于 ，连接 ，
因为四边形 是菱形，所以 是 的中点，
又 是 的中点，所以 ，
因为 平面 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
取 的中点 ，连接 ，则 ，
因为平面 平面 且交线为 ， 平面 ，
A.圆 关于直线 对称
B.圆 被直线 截得的弦长为
C.圆 关于直线 对称的圆为
D.若点 在圆 上，则 的最小值为5
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用圆的方程可求得圆心 与半径 ，由直线 不过圆心 即可判断A；求出圆心到直线的距离，进而求得弦长，即可判断B；设圆 关于直线 对称的圆的圆心为 ，列方程组求出 ，由此可得所求圆的方程，即可判断C； 表示 与点 的距离，求得 ，进而可得所求的最小值，即可判断D．
所以 平面 .
设 ，则 ，解得 .
因为底面 是菱形， ，所以 ，且 .
以 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
故可设 ，
则 ，
所以直线EC与平面PAB所成角的正弦值为 .
20.某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图．
2023届高三天河区二模数学模拟测试（答案在最后）