2015-2016学年北京市门头沟区初三上学期期末数学试题
2015-2016学年北京市门头沟八年级下学期期末数学试题(含答案)
门头沟区2015—2016学年第二学期初二期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1．若(3)1y m x =-+是一次函数，则( )A. 3m =B. 3m =-C. 3m ≠D. 3m ≠- 2．若一个多边形的内角和是它的外角和的二倍，则这个多边形是( ) A ．三角形 B ．四边形 C ．六边形 D ．八边形 3．一元二次方程(2)0x x -=的解是( )A ．0x = B. 2x = C. 02x x ==或 D. 02x x ==且 4. 下列条件中，不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是( ) A. AB ∥CD ，AD ∥BC B. AB =CD ， AD ∥BC C. AB ∥CD ，AB =CD D. ∠A =∠C ，∠B =∠D 5. 函数y =x 的取值范围是( ) A ．2x >- B ．2x ≠- C ．2x ≤- D ． 2x ≥-6. 某校组织数学学科竞赛为参加区级比赛做选手选拔工作，经过多次测试后，有四位同学成为晋级的候选人，你会推荐( )A ． 甲B ．乙C ．丙D ．丁7. 在等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形六个几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的一共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．若关于x 的一元二次的方程2320kx x --=有实数根， 则实数k 的取值范围是( )A ．98k ≥-B ．98k ≤-C ．98k ≥-且0k ≠D ．98k ≤-且0k ≠ 9．为落实“阳光体育”健身行动，本区将开展一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．若应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（ ）【来源：21cnj*y.co*m 】 A ．1(1)282x x -= B ． 1(1)282x x += C ． (1)28x x += D ．(1)28x x -=10. 如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A →D →C →B →A ，设P 点经过的路线为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y ．则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ）二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．点B （2，-3）关于x 轴对称的点'B 的坐标是_________________. 12．若一元二次方程204cx bx -+=有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的的b 、c 的取值，则b=________；c =_____________.13. 如图，菱形ABCD 的周长为16，∠ABC =120°，则AC 的长为____________.14．将一次函数2y x =的图象沿y 轴向上平移三个单位，则平移后的的表达式为________. 15. 如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，H 是AF 的中点， 那么CH 的长是_____________.16.在学习完一次函数的图象一课后，老师布置了一道作业题，要求作出21y x =-的图像，小明完成后说出了自己的做法：“我按照做函数图像的步骤，分别列出了x 、y 的五个以上的对应值，然后描点、连线就完成了此图像……”；小亮听后说：“小明，你的做法太繁琐了，老师刚才已经讲过了，只要找到x 、y 的两个对应值，描点、连线即可……”请你结合小亮说的话分析一下作一次函数图像蕴含的道理： _____________________________________三、解答题（本题共72分，14道小题，17题3分，18~27小题各5分，28题4分，29题8分，30题7分）17．点(42,5)M a a -+在第二象限，求出a 的取值范围.18. 用配方法解方程：22310x x +-= .19. 用求根公式法解方程：2314x x += .20. 用适当的方法解方程：2280x x --= .21. 如图是某种蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的图像，由图像解答下列问题： （1）求蜡烛在燃烧过程中高度y 与时间x 之间的函数表达式； （2）经过多少小时蜡烛燃烧完毕？小时）22.如图，在菱形ABCD 中，∠B =60°，AB=1，延长AD 到点E ，使DE =AD ，延长CD 到点F ，使DF =CD ，连接AC 、CE 、EF 、AF .(1)求证：四边形ACEF 是矩形； （2）求四边形ACEF 的周长.EFBCDA23.为了了解某中学初中二年级150名男学生的身体发育情况，从中对20名男学生的身高进行了测量，结果如下：（单位：厘米）图1是根据上述数据填写的频率分布表的一部分： （1）请填写表中未完成的部分；（2）样本数据中，男生身高的中位数是 厘米；（3） 该校初中二年级男学生身高在171.5---176.5（厘米）范围内的人数为 人；请在右面的坐标系用频数分布直方图的形式将此范围内的学生人数表示出来.24. 已知关于x 的方程220x ax a ++-= （1）若该方程的一个根为1，求a 的值；（2）求证：不论a 取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根．25. 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，P 、Q 是对角线BD 上的两个点，请在题目中添加合适的条件，就可以证明：AP=CQ （1）你添加的条件是 ；（2）请你根据题目中的条件和你添加的条件证明AP=CQ ．A26. 在平面直角坐标系内有一平行四边形点O （0，0)，A （4，0) ，B （5，2)，C （1，2)，有一次函数y kx b =+的图象过点P （6，1).（1） 若此一次函数图象经过平行四边形OA 边的中点，求k 的值；（2） 若此一次函数图象与平行四边形OABC 始终有两个交点，请求出k 的取值范围.27.某商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 由于换季问题，需要尽快．．减少库存，该商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？28.在学习完一次函数的图像及其性质后，我们可以利用图像上“数对”的一些特殊情况，来重新看待和它相关的一元一次方程、二元一次方程组的解，一元一次不等式（不等式组）的解集问题，下面是有关的描述：图1是一次函数112y x =+的图象，由于当2x =-时，0y =，所以我们可以知道二元一次方程112y x =+一组解是2x y =-⎧⎨=⎩；也可以得到一元一次方程1102x +=的解是，2x =-；同时还可以得到不等式1102x +<的解集是2x <-. 请尝试用以上的内在联系通过观察图像解决如下问题： （1）观察图1请直接写出10112x <+<时，x 的取值范围___________；(2) 请通过观察图2直接写出11222x x +>-+的解集 ______________； (3) 图3给出了1112y x =+以及2321y x x =-++的图象，请直接写出2121102x x x -++--<的解集_________________________.29. 已知在四边形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的一点.（1）如图1:当四边形ABCD是正方形时,作出将ΔA DF绕点A顺时针旋转90度后的图形ΔABM；并判断点M、B、C三点是否在同一条直线上___________(填是或否)；(2)如图1：当四边形ABCD是正方形时,且∠EAF＝45°，请直接写出线段EF、BE、DF三者之间的数量关系___________________ ；(3) 如图2：当AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠EAF是∠BAD的一半，问：（2）中的数量关系是否还存在，并说明理由；（4）在（3）的条件下，将点E平移到BC的延长线上，请在图3中补全图形，并写出EF、BE、DF的关系.30.如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论：设其中一根为t ，则另一个根为2t ，因此222()(2)32ax bx c a x t x t ax atx t a ++=--=-+，所以有2902b ac -=；我们记“292K b ac =-”即0K =时，方程20ax bx c ++=为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：（1）方程① 220x x --=；方程②2680x x -+=这两个方程中，是倍根方程的是 ______________（填序号即可）；（2）若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，求2245m mn n ++的值；（3）关于x 的一元二次方程2203x n +=（0m ≥）是倍根方程，且点(,)A m n 在一次函数38y x =-的图像上，求此倍根方程的表达式.2222223103122331924216317416344344x x x x x x x x x +-=+=⎛⎫++=+⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭+=±=±-门头沟区2015——2016第二学期期末八年级数学调研评分参考一、选择题（本题共30分，每小题3分）三、解答题（本题共72分，14道小题，17题3分，18~27小题各5分，28题4分，29题8分，30题7分） 17．解：根据题意列不等式组得： 42050a a -<⎧⎨+>⎩………………………………………………………………………2分解得：2a > ………………………………………………………………………3分18.解：……………………………………………1分……………………………………………2分……………………………………………3分……………………………………………4分∴此方程的解为：1233,4444x x =-=-- . …………………………5分 19.原方程整理得：23410x x -+= ∵ 3,4,1a b c ==-=∴2(4)43140∆=--⨯⨯=> ……………………………2分∴44266x ±== ……………………………4分 ∴原方程的解为：1211,3x x ==……………………………5分 20.解：2280x x --= (4)(2)0x x -+= ……………………………2分∴40x -=或20x += ……………………………4分∴原方程的解为：124,2x x ==-. ……………………………5分21.解：（1）由图象可知过(0,15),(1,7)两点 ……………………………1分设一次函数表达式为y kx b =+∴157b k b =⎧⎨+=⎩……………………………2分 解得158b k =⎧⎨=-⎩ ∴此一次函数表达式为：815y x =-+. ……………………………3分（2）令0y =∴8150x -+= ……………………………4分 解得：158x =答：经过158小时蜡烛燃烧完毕. ……………………………5分 22. 解：(1)∵DE=AD ，DF =CD ，∴四边形ACEF 是平行四边形，[………………………………………………………………1分∵四边形ABCD 为菱形，∴AD =CD ，∴AE =CF ，∴四边形ACEF 是矩形， [………………………………………………………………2分(2)∵△ACD 是等边三角形，∴AC =1，[∴EF =AC =1， [……………………………………………………………3分x (身高/厘米）y （人数）156.545过点D 作DG ⊥AF 于点G ，则AG =FG =AD ×cos30°=，∴AF =CE =2AG =，[ ………………………………………………………………4分∴四边形ACEF 的周长为：AC +CE +EF +AF =1++1+=2+2. ………………5分23.解：（1）每答对两空得1分，共2分………………………………………2分（2）172.5 ………………………………………3分（3）45人 ………………………………………4分……………………………………5分分组频数 频率 156.5～161.53 0.15 161.5～166.52 0.10 166.5～171.54 0.2 171.5～176.56 0.30 176.5～181.55 0.25 合计20 1.0024.解（1）：x 2+ax +a ﹣2=02120a a ++-= ………………………………………1分 解得：12a =………………………………………2分 （2）证明：2224(2)48(2)4a a a a a ∆=--=-+=-+ …………………3分 ∵2(2)0a -≥∴2(2)40a -+>∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 ………5分25.（1）添加条件正确： ………………………………1分（2）证明全等的过程正确 ………………………………4分∴AP=CQ ． ………………………………5分26.解：（1）设OA 的中点为M∵O （0，0)，A （4，0)∴OA =4∴OM =2∴(2,0)M ……………………1分∵图像过M 、P 两点∴6120k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：14k =……………………2分 （2）当图象过B 、P 两点时，代入表达式y kx b =+得到：6152k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：1k =- ……………………3分 当图象过A 、P 两点时，代入表达式y kx b =+得到：6140k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：12k =……………………4分 所以112k -<< 由于要满足一次函数的存在性，所以112k -<<且0k ≠ …………………5分27. 设每件商品降价x 元,根据题意得： ………………………………………1分（50－x ）（30＋2x ）=2100 ………………………………………3分化简得：x 2－35x +300=0解得：x 1=15， x 2=20 ………………………………………4分 ∵该商场为了尽快减少库存，则x =15不合题意，舍去. ∴x =20答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元. ……………………5分28.（1）20x -<< ……………………1分（2）0.4x > ……………………2分（3）0x <或 1.5x > ……………………4分29.(1)作图正确 …………………………………………………………………………1分 是 …………………………………………………………………………2分（2）EF BE DF =+ …………………………………………………………3分(3)存在理由如下：延长CB 到P 使BP DF =证明ABP ADF ∆≅∆的过程正确 …………………………………………………4分 ∵∠EAF=∴∠BAE ＋∠DAF ＝∠EAF∵∠BAP ＝∠FAD∴∠BAP+∠FAD=∠EAF即：∠EAP ＝∠FAE ………………………………………………………5分 证明APE AFE ∆≅∆得到 PE FE =∴EF BE DF =+ ………………………………………………………6分（4）补全图形正确 ………………………………………………………7分………………………………………………………8分 30.（1）答案： ② ……………………………………2分（2）整理 (2)()0x mx n -+=得：2(2)20mx n m x n +--=∵(2)()0x mx n -+=是倍根方程29K (2)(2)02n m m n ∴=---= ………………………………………………3分∴22450m mn n ++= …………………………………………………4分（3）∵ 2203x n +=是倍根方程∴292K (023n =-⨯= ………………………………………………5分整理得：3m n =∵(,)A m n 在一次函数38y x =-的图像上∴38n m =- …………………………………………………6分∴1,3n m ==∴此方程的表达式为2203x -+= …………………………………………7分说明：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分.。
北京市北京市海淀区2015-2016学年九年级上学期期末数学试卷及参考答案
北京市北京市海淀区2015-2016学年九年级上学期期末数学试卷一、单选题1. 在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA 的值是（ ） A . B . C . D .2. 如图，⊙O是△ABC 的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB 的度数是（ ）A . 40°B . 50°C . 60°D . 80°3. 抛物线y=（x ﹣2）+1的顶点坐标是（ ）A . （﹣2，﹣1）B . （﹣2，1）C . （2，﹣1）D . （2，1）4. 若点A （a ，b ）在双曲线y=上，则代数式ab ﹣4的值为（ ）A . -12B . -7C . -1D . 15. 如图，在▱ABCD 中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F ，则△BEF 与△DCF 的面积比为（ ）A .B .C .D .6. 抛物线y=2x 向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）A . y=2（x+1）+3B . y=2（x+1）﹣3C . y=2（x ﹣1）﹣3D . y=2（x ﹣1）+37. 已知点（x ， y ）、（x ， y ）、（x ， y ）在双曲线y=上，当x ＜0＜x ＜x 时，y 、y 、y 的大小关系是（ ）A . y ＜y ＜yB . y ＜y ＜yC . y ＜y ＜yD . y ＜y ＜y 8.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆上的两点．若BC=8，cosD= ， 则AB 的长为（ ）A .B .C .D . 129. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为双曲线y=-上一点，点B 的坐标为（4，0）．若△AOB 的面积为6，则点A 的坐标为222222112233123123123132312231A . （﹣4，） B . （4，-） C . （﹣2，3）或（2，﹣3） D . （﹣3，2）或（3，﹣2）10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x +bx+c 与x 轴只有一个交点M ，与平行于x 轴的直线l 交于A 、B 两点，若AB=3，则点M 到直线l 的距离为（ ）A . B . C . 2 D .二、填空题11. 请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：________12. 已知关于x 的方程x ﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 与△A′B′C′顶点的横、纵坐标都是整数．若△ABC 与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是________ ．14. 如图，正比例函数y=mx （m≠0）与反比例函数y=的图象交于A 、B 两点，若点A 的坐标为（1，2），则点B 的坐标是________15. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x 尺，则可列方程为________．16. 正方形CEDF 的顶点D 、E 、F 分别在△ABC 的边AB 、BC 、AC 上．（1）如图，若tanB=2，则的值为________（2）将△ABC 绕点D 旋转得到△A′B′C′，连接BB′、CC′．若 ， 则tanB 的值为________22三、解答题17. 计算：sin30°+3tan60°﹣cos 45°18. 解方程：x +2x ﹣5=019. 如图，D 是AC 上一点，DE ∥AB ，∠B=∠DAE ．求证：△ABC ∽△DAE．20. 已知m 是方程x +x ﹣1=0的一个根，求代数式（m+1）+（m+1）（m ﹣1）的值．21. 已知二次函数y=x +bx+8的图象与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为（﹣2，0），求点B 的坐标．22. 如图，矩形ABCD 为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设AB 边的长度为x 米，矩形ABCD 的面积为y 平方米．（1）求y 与x 之间的函数关系式?（不要求写自变量的取值范围）；（2）求矩形ABCD的最大面积．23. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，AC=12，BC=5．（1）求cos ∠ADE 的值；（2）当DE=DC 时，求AD的长．24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线y=与直线y=kx ﹣2交于点A （3，1）．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）直线y=kx ﹣2与x 轴交于点B ，点P 是双曲线y=上一点，过点P 作直线PC ∥x 轴，交y 轴于点C ，交直线y=kx ﹣2于2222225.如图，小嘉利用测角仪测量塔高，他分别站在、两点测得塔顶的仰角为10米．已知小嘉的眼睛距地面的高度 为1．5米，计算塔的高度．（参考数据： 取0．8，取0．6， 取1．2）26. 如图，△ABC 内接于⊙O ，过点B 作⊙O 的切线DE ，F 为射线BD 上一点，连接CF ．（1）求证：∠CBE=∠A ；（2）若⊙O 的直径为5，BF=2，tanA=2，求CF 的长．27. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，定义直线x=m 与双曲线y =的交点A （m 、n 为正整数）为“双曲格点”，双曲线y =在第一象限内的部分沿着竖直方向平移或以平行于x 轴的直线为对称轴进行翻折之后得到的函数图象为其“派生曲线”．（1）①“双曲格点”A 的坐标为 ；②若线段A A 的长为1个单位长度，则n= ；（2）图中的曲线f 是双曲线y =的一条“派生曲线”，且经过点A ，则f 的解析式为y=n m ， n n 2，14，34，n 12，328. （1）如图1，△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，连接BD ．若AC=2，BC=1，求△BCD 的周长为；（2）O 为正方形ABCD 的中心，E 为CD 边上一点，F 为AD 边上一点，且△EDF 的周长等于AD 的长．①在图2中求作△EDF （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；②在图3中补全图形，求∠EOF 的度数；③若 ， 求的值四、综合题29. 在平面直角坐标系xOy 中，定义直线y=ax+b 为抛物线y=ax +bx 的特征直线，C （a ，b ）为其特征点．设抛物线y=ax +bx 与其特征直线交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧）．（1）当点A 的坐标为（0，0），点B 的坐标为（1，3）时，特征点C 的坐标为．（2）若抛物线y=ax +bx 如图所示，请在所给图中标出点A 、点B 的位置；（3）设抛物线y=ax +bx 的对称轴与x 轴交于点D ，其特征直线交y 轴于点E ，点F 的坐标为（1，0），DE ∥CF ．①若特征点C 为直线y=﹣4x 上一点，求点D 及点C 的坐标 ；②若＜tan ∠ODE ＜2，则b 的取值范围是．参考答案1.2.3.4.5.22227.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.22.23.24.25.26.27.28.29.。
2015-2016年北京市通州区初三上学期期末数学试卷含答案解析
2015-2016学年北京市通州区初三上学期期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知点（﹣2，2）在二次函数y=ax2上，那么a的值是（）A．1 B．2 C．D．﹣2．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．13．（3分）如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．圆柱C．球D．圆锥4．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）A．8 B．6 C．4 D．105．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“祝”字所在的面相对的面上标的字是（）A．考B．试C．顺D．利6．（3分）如果点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2）在抛物线y=﹣x2+2x上，那么下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y27．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m8．（3分）如果弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所在的圆的半径是（）A．18 B．12 C．36 D．69．（3分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A=30°，AB=2，则AC等于（）A．4 B．6 C．D．10．（3分）如图1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式．12．（3分）把二次函数的表达式y=x2﹣4x+6化为y=a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k=．13．（3分）如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．14．（3分）学习相似三角形和解直角三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相似？”．那么你认为△A1B1C1和△A2B2C2．（填相似或不相似）；理由是．15．（3分）小明四等分弧AB，他的作法如下：（1）连接AB（如图）；（2）作AB的垂直平分线CD交弧AB于点M，交AB于点T；（3）分别作AT，TB的垂直平分线EF，GH，交弧AB于N，P两点，则N，M，P 三点把弧AB四等分．你认为小明的作法是否正确：，理由是．16．（3分）如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是．三、解答题（共13小题，满分72分）17．（5分）如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，求证：△ABC∽△ADE．18．（5分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过（2，﹣1）和（4，3）两点，求二次函数y=x2+bx+c的表达式．19．（5分）已知：如图，A，B，C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45°，求AB的长．20．（5分）如果三角形有一个边上的中线长恰好等于这个边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣中线”．如图，在△ABC中，∠C=90°，较短的一条直角边BC=1，且△ABC是“有趣三角形”，求△ABC的“有趣中线”的长．21．（5分）如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，判断弧EF和EG是否相等，并说明理由．22．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，求DE：EC的值．23．（5分）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，点A到地面的距离AD=8cm，旅行箱与水平面AE成60°角，求拉杆把手处C到地面的距离（精确到1cm）．（参考数据：）24．（5分）（1）抛物线m1：y1=a1x2+b1x+c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如表：x…﹣2﹣11245…y1…﹣5043﹣5﹣12…设抛物线m1的顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为，点C的坐标为．（2）将设抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2=a2x2+b2x+c2，则当x=﹣3时，y2=．（3）在（1）的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3．设抛物线m1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m3与x轴交于M，N 两点（点M在点N的左侧）．过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K．问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A与y轴相切于点，与x轴相交于M、N两点．如果点M的坐标为，求点N的坐标．26．（5分）根据下列要求，解答相关问题．（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集的过程．①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象（只画出图象即可）．②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y＞0的部分．③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集为﹣2＜x＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集．27．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D．（1）动手操作：利用尺规作圆O，使圆O经过点A、D，且圆心O在AB上；并标出圆O与AB的另一个交点E，与AC的另一个交点F（保留作图痕迹，不写作法）（2）综合应用：在你所作的图中．①判断直线BC与圆O的位置关系，并说明理由；②如果∠BAC=60°，CD=，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积（结果保留根号和π）．28．（7分）王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是，或．请回答：（1）王华补充的条件是，或．（2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：如图2，在△ABC中，∠A=30°，AC2=AB2+AB•BC．求∠C的度数．29．（8分）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m 的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京市通州区初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知点（﹣2，2）在二次函数y=ax2上，那么a的值是（）A．1 B．2 C．D．﹣【解答】解：∵点（﹣2，2）在二次函数y=ax2上，∴4a=2，解得a=．故选：C．2．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．1【解答】解：∵∠C=90°，AB=2BC，∴sinA==，故选：A．3．（3分）如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．圆柱C．球D．圆锥【解答】解：∵几何体的主视图和俯视图都是三角形，∴该几何体是一个锥体，∵俯视图是一个圆，∴该几何体是一个圆锥；故选：D．4．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）A．8 B．6 C．4 D．10【解答】解：连接OA，∵OA=5，OC=3，OC⊥AB，∴AC===4，∵OC⊥AB，∴AB=2AC=2×4=8．故选：A．5．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“祝”字所在的面相对的面上标的字是（）A．考B．试C．顺D．利【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“祝”与“利”是相对面，“你”与“试”是相对面，“考”与“顺”是相对面．故选：D．6．（3分）如果点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2）在抛物线y=﹣x2+2x上，那么下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2【解答】解：抛物线y=﹣x2+2x的对称轴是x=﹣=1，∵a=﹣1＜0，抛物线开口向下，﹣2＜﹣1＜1，∴y1＜y2．故选：A．7．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m【解答】解：如图；AD=6m，AB=21m，DE=2m；由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：，即，解得：BC=7m，故树的高度为7m．故选：A．8．（3分）如果弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所在的圆的半径是（）A．18 B．12 C．36 D．6【解答】解：∵l=，∴r===18，故选：A．9．（3分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A=30°，AB=2，则AC等于（）A．4 B．6 C．D．【解答】解：连接OB．∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，在直角△OAB中，OB=AB•tanA=2×=2，则OA=2OB=4，∴AC=4+2=6．故选：B．10．（3分）如图1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O【解答】解：当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，y由45°逐渐增加到90°．故点P的运动路线可能为O→C→D→O．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式y=x2﹣1（答案不唯一）．【解答】解：抛物线的解析式为y=x2﹣1．故答案为：y=x2﹣1（答案不唯一）．12．（3分）把二次函数的表达式y=x2﹣4x+6化为y=a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k=4．【解答】解：∵y=x2﹣4x+6=x2﹣4x+4﹣4+6=（x﹣2）2+2，∴h=2，k=2，∴h+k=2+2=4．故答案为4．13．（3分）如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．【解答】解：由题意得，∠B=60°，在Rt△ABC中，∠B=60°，∴h=AC=ABsin∠B=a，∴k==．故答案为：．14．（3分）学习相似三角形和解直角三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相似？”．那么你认为△A1B1C1和△A2B2C2相似．（填相似或不相似）；理由是==．【解答】解：由题意得：A1C1=4，A2C2=2，由勾股定理得：A1B1==2，B1C1==2，A2B2==，B2C2==，∴==2，==2，==2，∴===2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2．故答案为：相似，==．15．（3分）小明四等分弧AB，他的作法如下：（1）连接AB（如图）；（2）作AB的垂直平分线CD交弧AB于点M，交AB于点T；（3）分别作AT，TB的垂直平分线EF，GH，交弧AB于N，P两点，则N，M，P 三点把弧AB四等分．你认为小明的作法是否正确：不正确，理由是弦AN与MN不相等，则≠．【解答】解：小明的作法不正确．理由是：如图，连结AN并延长，交CD于J，连结MN，设EF与AB交于I．由作法可知，EF∥CD，AI=IT，∴AN=NJ，∵∠NMJ＞∠NJM，∴NJ＞MN，∴AN＞MN，∴弦AN与MN不相等，则≠．故答案为不正确；弦AN与MN不相等，则≠．16．（3分）如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是30°或150°．【解答】解：在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，∵弦AB的长等于⊙O的半径，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=30°，∴∠ADB=180°﹣∠ACB=150°，∴弦AB所对的圆周角的度数是：30°或150°．故答案为：30°或150°．三、解答题（共13小题，满分72分）17．（5分）如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，求证：△ABC∽△ADE．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∵∠AED=∠C，∴△ABC∽△ADE．18．（5分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过（2，﹣1）和（4，3）两点，求二次函数y=x2+bx+c的表达式．【解答】解：把（2，﹣1）和（4，3）代入y=x2+bx+c得，解得，所以二次函数解析式为y=x2﹣4x+3．19．（5分）已知：如图，A，B，C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45°，求AB的长．【解答】解：连接OA，OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=90°，∵⊙O的直径为4cm，∴OA=OB=2cm，∴AB==2（cm）．20．（5分）如果三角形有一个边上的中线长恰好等于这个边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣中线”．如图，在△ABC中，∠C=90°，较短的一条直角边BC=1，且△ABC是“有趣三角形”，求△ABC的“有趣中线”的长．【解答】解：“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不合题意；若“有趣中线”为BC边上的中线，根据垂线段最短，可知不成立；若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线，如图所示，BC=1，设BD=2x，则CD=x，在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD2=BC2+CD2，即（2x）2=12+x2，解得：x=，则△ABC的“有趣中线”的长等于．21．（5分）如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，判断弧EF和EG是否相等，并说明理由．【解答】解：相等．理由：连接AF．∵A为圆心，∴AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠AFB=∠DAF，∠GAD=∠ABF，∴∠DAF=∠GAD，∴=．22．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，求DE：EC的值．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴△DEF∽△BAF．∴．∴．又∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．23．（5分）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，点A到地面的距离AD=8cm，旅行箱与水平面AE成60°角，求拉杆把手处C到地面的距离（精确到1cm）．（参考数据：）【解答】解：作CG⊥AE于点G．在直角△ACG中，AC=AB+BC=50+30=80cm．sin∠CAG=，∴CG=AC•sin∠CAG=80×=40≈69.2（cm）．则拉杆把手处C到地面的距离是：69.2+8=77.2≈77cm．24．（5分）（1）抛物线m1：y1=a1x2+b1x+c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如表：x…﹣2﹣11245…y1…﹣5043﹣5﹣12…设抛物线m1的顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为（1，4），点C的坐标为（0，3）．（2）将设抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2=a2x2+b2x+c2，则当x=﹣3时，y2=12．（3）在（1）的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3．设抛物线m1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m3与x轴交于M，N 两点（点M在点N的左侧）．过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K．问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把（﹣1，0），（1，4），（2，3）分别代入y1=a1x2+b1x+c1得，解得．所以抛物线m1的解析式为y1=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，则P（1，4），当x=0时，y=3，则C（0，3）；（2）因为抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2，所以y2=（x﹣1）2﹣4，当x=﹣3时，y2=（x+1）2﹣4=（﹣3﹣1）2﹣4=12．故答案为（1，4），（0，3），12；（3）存在．当y1=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），∵抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3，∴CK∥AM，CK=AM，∴四边形AMKC为平行四边形，当CA=CK时，四边形AMKC为菱形，而AC==，则CK=，当抛物线m1沿水平方向向右平移个单位，此时K（，3）；当抛物线m1沿水平方向向左平移个单位，此时K（﹣，3）．25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A与y轴相切于点，与x轴相交于M、N两点．如果点M的坐标为，求点N的坐标．【解答】解：连接AB、AM、过A作AC⊥MN于C，设⊙A的半径是R，∵⊙A与y轴相切于B，∴AB⊥y轴，∵点，与x轴相交于M、N两点，点M的坐标为，∴AB=AM=R，CM=R﹣，AC=，MN=2CM，由勾股定理得：R2=（R﹣）2+（）2，R=2.5，∴CM=CN=2.5﹣=2，∴ON=+2+2=4，即N的坐标是（4，0）．26．（5分）根据下列要求，解答相关问题．（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集的过程．①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象（只画出图象即可）．②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为x1=0，x2=﹣2；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y＞0的部分．③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集为﹣2＜x＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集．【解答】解：①图所示：；②方程﹣2x2﹣4x=0即﹣2x（x+2）=0，解得：x1=0，x2=﹣2；则方程的解是x1=0，x2=﹣2，图象如图1；③函数y=x2﹣2x+1的图象是：当y=4时，x2﹣2x+1=4，解得：x1=3，x2=﹣1．则不等式的解集是：x≥3或x≤﹣1．27．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D．（1）动手操作：利用尺规作圆O，使圆O经过点A、D，且圆心O在AB上；并标出圆O与AB的另一个交点E，与AC的另一个交点F（保留作图痕迹，不写作法）（2）综合应用：在你所作的图中．①判断直线BC与圆O的位置关系，并说明理由；②如果∠BAC=60°，CD=，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积（结果保留根号和π）．【解答】解：（1）如图1；（2）①直线BC与⊙O的位置关系为相切．理由如下：如图1，连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ADO，∴AC∥OD，∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，∴OD⊥BC，即直线BC是⊙O的切线，∴直线BC与⊙O的位置关系为相切；②如图2，∵∠BAC 的角平分线AD 交BC 于D ，∠BAC=60°，∠C=90°， ∴∠CAD=∠DAB=30°，∠B=30°， ∴∠DAB=∠B=30°， ∴BD=AD ．∵在Rt △ADC 中，∠C=90°，∠CAD=30°，CD=，∴AD=2CD=2，AC=CD=3，∴BD=2，AB=2AC=6．设⊙O 的半径为r ，在Rt △OBD 中，OD 2+BD 2=OB 2， 即r 2+（2）2=（6﹣r ）2，解得r=2，OB=6﹣r=4， ∵∠ODB=90°，∠B=30°， ∴∠DOB=60°， ∴S 扇形ODE ==π，S △ODB =OD•BD=×2×2=2，∴线段BD 、BE 与劣弧DE 所围成的图形面积为：S △ODB ﹣S 扇形ODE =2﹣π．28．（7分）王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB．请回答：（1）王华补充的条件是∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB．（2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：如图2，在△ABC中，∠A=30°，AC2=AB2+AB•BC．求∠C的度数．【解答】解：∵∠A=∠A，∴当∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；或，即AC2=AP•AB时，△ACP∽△ABC；故答案为：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB；（1）王华补充的条件是：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB）；或AC2=AP•AB；理由如下：∵∠A=∠A，∴当∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；或，即AC2=AP•AB时，△ACP∽△ABC；故答案为：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB；（2）延长AB到点D，使BD=BC，连接CD，如图所示：∵AC2=AB2+AB•BC=AB（AB+BC）=AB（AB+BD）=AB•AD，∴，又∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADC，∴∠ACB=∠D，∵BC=BD，∴∠BCD=∠D，在△ACD中，∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，∴3∠ACB+30°=180°，∴∠ACB=50°．29．（8分）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是2；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m 的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当m=2，n=2时，如题图1，线段BC与线段OA的距离（即线段BN的长）=2；当m=5，n=2时，B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，如答图1，过点B作BN⊥x轴于点N，则AN=1，BN=2，在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB===．（2）如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，ON=m，AN=OA﹣ON=4﹣m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：∴d===．（3）①依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示：由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．②结论：存在．∵m≥0，n≥0，∴点M位于第一象限．∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．如答图4所示，相似三角形有三种情形：（I）△AM1H1，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧．如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA﹣OH1=2﹣m，由相似关系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2﹣m），∴m=1；（II）△AM2H2，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧．如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2﹣OA=m﹣2，由相似关系可知，M2H2=2AH2，即2=2（m﹣2），∴m=3；（III）△AM3H3，此时点B落在⊙A上．如图，OH3=m+2，AH3=OH3﹣OA=m﹣2，过点B作BN⊥x轴于点N，则BN=M3H3=n，AN=m﹣4，由相似关系可知，AH 3=2M3H3，即m﹣2=2n （1）在Rt△ABN中，由勾股定理得：22=（m﹣4）2+n2（2）由（1）、（2）式解得：m1=，m2=2，当m=2时，点M与点A横坐标相同，点H与点A重合，故舍去，∴m=．综上所述，存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，m的取值为：1、3或．附加：初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征： 60°60°60° 45°45°45°运用举例： 1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；x yB C AO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．l s 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
2015-2016年北京市通州区九年级(上)期末数学试卷和参考答案
2015-2016学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知点（﹣2，2）在二次函数y=ax2上，那么a的值是（）A．1 B．2 C．D．﹣2．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．13．（3分）如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．圆柱C．球D．圆锥4．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）A．8 B．6 C．4 D．105．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“祝”字所在的面相对的面上标的字是（）A．考B．试C．顺D．利6．（3分）如果点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2）在抛物线y=﹣x2+2x上，那么下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y27．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m8．（3分）如果弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所在的圆的半径是（）A．18 B．12 C．36 D．69．（3分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A=30°，AB=2，则AC等于（）A．4 B．6 C．D．10．（3分）如图1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式．12．（3分）把二次函数的表达式y=x2﹣4x+6化为y=a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k=．13．（3分）如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．14．（3分）学习相似三角形和解直角三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相似？”．那么你认为△A1B1C1和△A2B2C2．（填相似或不相似）；理由是．15．（3分）小明四等分弧AB，他的作法如下：（1）连接AB（如图）；（2）作AB的垂直平分线CD交弧AB于点M，交AB于点T；（3）分别作AT，TB的垂直平分线EF，GH，交弧AB于N，P两点，则N，M，P 三点把弧AB四等分．你认为小明的作法是否正确：，理由是．16．（3分）如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是．三、解答题（共13小题，满分72分）17．（5分）如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，求证：△ABC∽△ADE．18．（5分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过（2，﹣1）和（4，3）两点，求二次函数y=x2+bx+c的表达式．19．（5分）已知：如图，A，B，C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45°，求AB的长．20．（5分）如果三角形有一个边上的中线长恰好等于这个边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣中线”．如图，在△ABC中，∠C=90°，较短的一条直角边BC=1，且△ABC是“有趣三角形”，求△ABC的“有趣中线”的长．21．（5分）如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，判断弧EF和EG是否相等，并说明理由．22．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，求DE：EC的值．23．（5分）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，点A到地面的距离AD=8cm，旅行箱与水平面AE成60°角，求拉杆把手处C到地面的距离（精确到1cm）．（参考数据：）24．（5分）（1）抛物线m1：y1=a1x2+b1x+c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如表：设抛物线m1的顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为，点C的坐标为．（2）将设抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2=a2x2+b2x+c2，则当x=﹣3时，y2=．（3）在（1）的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3．设抛物线m1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m3与x轴交于M，N 两点（点M在点N的左侧）．过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K．问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A与y轴相切于点，与x轴相交于M、N两点．如果点M的坐标为，求点N的坐标．26．（5分）根据下列要求，解答相关问题．（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集的过程．①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象（只画出图象即可）．②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y＞0的部分．③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集为﹣2＜x＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集．27．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D．（1）动手操作：利用尺规作圆O，使圆O经过点A、D，且圆心O在AB上；并标出圆O与AB的另一个交点E，与AC的另一个交点F（保留作图痕迹，不写作法）（2）综合应用：在你所作的图中．①判断直线BC与圆O的位置关系，并说明理由；②如果∠BAC=60°，CD=，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积（结果保留根号和π）．28．（7分）王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是，或．请回答：（1）王华补充的条件是，或．（2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：如图2，在△ABC中，∠A=30°，AC2=AB2+AB•BC．求∠C的度数．29．（8分）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m 的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知点（﹣2，2）在二次函数y=ax2上，那么a的值是（）A．1 B．2 C．D．﹣【解答】解：∵点（﹣2，2）在二次函数y=ax2上，∴4a=2，解得a=．故选：C．2．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为（）A．B．C．D．1【解答】解：∵∠C=90°，AB=2BC，∴sinA==，故选：A．3．（3分）如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．圆柱C．球D．圆锥【解答】解：∵几何体的主视图和俯视图都是三角形，∴该几何体是一个锥体，∵俯视图是一个圆，∴该几何体是一个圆锥；故选：D．4．（3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）A．8 B．6 C．4 D．10【解答】解：连接OA，∵OA=5，OC=3，OC⊥AB，∴AC===4，∵OC⊥AB，∴AB=2AC=2×4=8．故选：A．5．（3分）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“祝”字所在的面相对的面上标的字是（）A．考B．试C．顺D．利【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“祝”与“利”是相对面，“你”与“试”是相对面，“考”与“顺”是相对面．故选：D．6．（3分）如果点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2）在抛物线y=﹣x2+2x上，那么下列结论正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2【解答】解：抛物线y=﹣x2+2x的对称轴是x=﹣=1，∵a=﹣1＜0，抛物线开口向下，﹣2＜﹣1＜1，∴y1＜y2．故选：A．7．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（）A．7m B．6m C．5m D．4m【解答】解：如图；AD=6m，AB=21m，DE=2m；由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：，即，解得：BC=7m，故树的高度为7m．故选：A．8．（3分）如果弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所在的圆的半径是（）A．18 B．12 C．36 D．6【解答】解：∵l=，∴r===18，故选：A．9．（3分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A=30°，AB=2，则AC等于（）A．4 B．6 C．D．【解答】解：连接OB．∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，在直角△OAB中，OB=AB•tanA=2×=2，则OA=2OB=4，∴AC=4+2=6．故选：B．10．（3分）如图1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O【解答】解：当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，y由45°逐渐增加到90°．故点P的运动路线可能为O→C→D→O．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣1）的抛物线的解析式y=x2﹣1（答案不唯一）．【解答】解：抛物线的解析式为y=x2﹣1．故答案为：y=x2﹣1（答案不唯一）．12．（3分）把二次函数的表达式y=x2﹣4x+6化为y=a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k=4．【解答】解：∵y=x2﹣4x+6=x2﹣4x+4﹣4+6=（x﹣2）2+2，∴h=2，k=2，∴h+k=2+2=4．故答案为4．13．（3分）如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．【解答】解：由题意得，∠B=60°，在Rt△ABC中，∠B=60°，∴h=AC=ABsin∠B=a，∴k==．故答案为：．14．（3分）学习相似三角形和解直角三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相似？”．那么你认为△A1B1C1和△A2B2C2相似．（填相似或不相似）；理由是==．【解答】解：由题意得：A1C1=4，A2C2=2，由勾股定理得：A1B1==2，B1C1==2，A2B2==，B2C2==，∴==2，==2，==2，∴===2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2．故答案为：相似，==．15．（3分）小明四等分弧AB，他的作法如下：（1）连接AB（如图）；（2）作AB的垂直平分线CD交弧AB于点M，交AB于点T；（3）分别作AT，TB的垂直平分线EF，GH，交弧AB于N，P两点，则N，M，P 三点把弧AB四等分．你认为小明的作法是否正确：不正确，理由是弦AN与MN不相等，则≠．【解答】解：小明的作法不正确．理由是：如图，连结AN并延长，交CD于J，连结MN，设EF与AB交于I．由作法可知，EF∥CD，AI=IT，∴AN=NJ，∵∠NMJ＞∠NJM，∴NJ＞MN，∴AN＞MN，∴弦AN与MN不相等，则≠．故答案为不正确；弦AN与MN不相等，则≠．16．（3分）如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是30°或150°．【解答】解：在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，∵弦AB的长等于⊙O的半径，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=30°，∴∠ADB=180°﹣∠ACB=150°，∴弦AB所对的圆周角的度数是：30°或150°．故答案为：30°或150°．三、解答题（共13小题，满分72分）17．（5分）如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，求证：△ABC∽△ADE．【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∵∠AED=∠C，∴△ABC∽△ADE．18．（5分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过（2，﹣1）和（4，3）两点，求二次函数y=x2+bx+c的表达式．【解答】解：把（2，﹣1）和（4，3）代入y=x2+bx+c得，解得，所以二次函数解析式为y=x2﹣4x+3．19．（5分）已知：如图，A，B，C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为4cm，∠ACB=45°，求AB的长．【解答】解：连接OA，OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=90°，∵⊙O的直径为4cm，∴OA=OB=2cm，∴AB==2（cm）．20．（5分）如果三角形有一个边上的中线长恰好等于这个边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣中线”．如图，在△ABC中，∠C=90°，较短的一条直角边BC=1，且△ABC是“有趣三角形”，求△ABC的“有趣中线”的长．【解答】解：“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不合题意；若“有趣中线”为BC边上的中线，根据垂线段最短，可知不成立；若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线，如图所示，BC=1，设BD=2x，则CD=x，在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD2=BC2+CD2，即（2x）2=12+x2，解得：x=，则△ABC的“有趣中线”的长等于．21．（5分）如图所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，判断弧EF和EG是否相等，并说明理由．【解答】解：相等．理由：连接AF．∵A为圆心，∴AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠AFB=∠DAF，∠GAD=∠ABF，∴∠DAF=∠GAD，∴=．22．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连结AE，BD，且AE，BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，求DE：EC的值．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴△DEF∽△BAF．∴．∴．又∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．23．（5分）一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，点A到地面的距离AD=8cm，旅行箱与水平面AE成60°角，求拉杆把手处C到地面的距离（精确到1cm）．（参考数据：）【解答】解：作CG⊥AE于点G．在直角△ACG中，AC=AB+BC=50+30=80cm．sin∠CAG=，∴CG=AC•sin∠CAG=80×=40≈69.2（cm）．则拉杆把手处C到地面的距离是：69.2+8=77.2≈77cm．24．（5分）（1）抛物线m1：y1=a1x2+b1x+c1中，函数y1与自变量x之间的部分对应值如表：设抛物线m1的顶点为P，与y轴的交点为C，则点P的坐标为（1，4），点C的坐标为（0，3）．（2）将设抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2=a2x2+b2x+c2，则当x=﹣3时，y2=12．（3）在（1）的条件下，将抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3．设抛物线m1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线m3与x轴交于M，N 两点（点M在点N的左侧）．过点C作平行于x轴的直线，交抛物线m3于点K．问：是否存在以A，C，K，M为顶点的四边形是菱形的情形？若存在，请求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把（﹣1，0），（1，4），（2，3）分别代入y1=a1x2+b1x+c1得，解得．所以抛物线m1的解析式为y1=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，则P（1，4），当x=0时，y=3，则C（0，3）；（2）因为抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2，所以y2=（x﹣1）2﹣4，当x=﹣3时，y2=（x+1）2﹣4=（﹣3﹣1）2﹣4=12．故答案为（1，4），（0，3），12；（3）存在．当y1=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），∵抛物线m1沿水平方向平移，得到抛物线m3，∴CK∥AM，CK=AM，∴四边形AMKC为平行四边形，当CA=CK时，四边形AMKC为菱形，而AC==，则CK=，当抛物线m1沿水平方向向右平移个单位，此时K（，3）；当抛物线m1沿水平方向向左平移个单位，此时K（﹣，3）．25．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A与y轴相切于点，与x轴相交于M、N两点．如果点M的坐标为，求点N的坐标．【解答】解：连接AB、AM、过A作AC⊥MN于C，设⊙A的半径是R，∵⊙A与y轴相切于B，∴AB⊥y轴，∵点，与x轴相交于M、N两点，点M的坐标为，∴AB=AM=R，CM=R﹣，AC=，MN=2CM，由勾股定理得：R2=（R﹣）2+（）2，R=2.5，∴CM=CN=2.5﹣=2，∴ON=+2+2=4，即N的坐标是（4，0）．26．（5分）根据下列要求，解答相关问题．（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集的过程．①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象（只画出图象即可）．②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为x1=0，x2=﹣2；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y＞0的部分．③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集为﹣2＜x＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集．【解答】解：①图所示：；②方程﹣2x2﹣4x=0即﹣2x（x+2）=0，解得：x1=0，x2=﹣2；则方程的解是x1=0，x2=﹣2，图象如图1；③函数y=x2﹣2x+1的图象是：当y=4时，x2﹣2x+1=4，解得：x1=3，x2=﹣1．则不等式的解集是：x≥3或x≤﹣1．27．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于D．（1）动手操作：利用尺规作圆O，使圆O经过点A、D，且圆心O在AB上；并标出圆O与AB的另一个交点E，与AC的另一个交点F（保留作图痕迹，不写作法）（2）综合应用：在你所作的图中．①判断直线BC与圆O的位置关系，并说明理由；②如果∠BAC=60°，CD=，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积（结果保留根号和π）．【解答】解：（1）如图1；（2）①直线BC与⊙O的位置关系为相切．理由如下：如图1，连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ADO，∴AC∥OD，∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，∴OD⊥BC，即直线BC是⊙O的切线，∴直线BC与⊙O的位置关系为相切；②如图2，∵∠BAC 的角平分线AD 交BC 于D ，∠BAC=60°，∠C=90°， ∴∠CAD=∠DAB=30°，∠B=30°， ∴∠DAB=∠B=30°， ∴BD=AD ．∵在Rt △ADC 中，∠C=90°，∠CAD=30°，CD=，∴AD=2CD=2，AC=CD=3，∴BD=2，AB=2AC=6．设⊙O 的半径为r ，在Rt △OBD 中，OD 2+BD 2=OB 2， 即r 2+（2）2=（6﹣r ）2，解得r=2，OB=6﹣r=4， ∵∠ODB=90°，∠B=30°， ∴∠DOB=60°， ∴S 扇形ODE ==π，S △ODB =OD•BD=×2×2=2，∴线段BD 、BE 与劣弧DE 所围成的图形面积为：S △ODB ﹣S 扇形ODE =2﹣π．28．（7分）王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB．请回答：（1）王华补充的条件是∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB．（2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：如图2，在△ABC中，∠A=30°，AC2=AB2+A B•BC．求∠C的度数．【解答】解：∵∠A=∠A，∴当∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；或，即AC2=AP•AB时，△ACP∽△ABC；故答案为：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB；（1）王华补充的条件是：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB）；或AC2=AP•AB；理由如下：∵∠A=∠A，∴当∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；或，即AC2=AP•AB时，△ACP∽△ABC；故答案为：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=AP•AB；（2）延长AB到点D，使BD=BC，连接CD，如图所示：∵AC2=AB2+AB•BC=AB（AB+BC）=AB（AB+BD）=AB•AD，∴，又∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADC，∴∠ACB=∠D，∵BC=BD，∴∠BCD=∠D，在△ACD中，∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，∴3∠ACB+30°=180°，∴∠ACB=50°．29．（8分）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是2；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m 的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当m=2，n=2时，如题图1，线段BC与线段OA的距离（即线段BN的长）=2；当m=5，n=2时，B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，如答图1，过点B作BN⊥x轴于点N，则AN=1，BN=2，在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB===．（2）如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，ON=m，AN=OA﹣ON=4﹣m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：∴d===．（3）①依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示：由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．②结论：存在．∵m≥0，n≥0，∴点M位于第一象限．∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．如答图4所示，相似三角形有三种情形：（I）△AM1H1，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧．如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA﹣OH1=2﹣m，由相似关系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2﹣m），∴m=1；（II）△AM2H2，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧．如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2﹣OA=m﹣2，由相似关系可知，M2H2=2AH2，即2=2（m﹣2），∴m=3；（III）△AM3H3，此时点B落在⊙A上．如图，OH3=m+2，AH3=OH3﹣OA=m﹣2，过点B作BN⊥x轴于点N，则BN=M3H3=n，AN=m﹣4，由相似关系可知，AH3=2M3H3，即m﹣2=2n （1）在Rt△ABN中，由勾股定理得：22=（m﹣4）2+n2（2）由（1）、（2）式解得：m1=，m2=2，当m=2时，点M与点A横坐标相同，点H与点A重合，故舍去，∴m=．综上所述，存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，m的取值为：1、3或．第31页（共31页）。
2015-2016学年北京市门头沟区七年级(下)期末数学试卷
2015-2016学年北京市门头沟区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）每到春夏，北京鲜花烂漫，空气中弥漫着各种花粉，有一种花粉的直径是0.000035米，将0.000035用科学记数法表示应为（）A．3.5×10﹣4B．0.35×10﹣4C．35×10﹣5D．3.5×10﹣5 2．（3分）不等式x≤2的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．4a2﹣2a2＝2B．（a2）3＝a5C．a3•a6＝a9D．（3a）2＝6a2 4．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠2＝∠3，若∠1＝80°，则∠4等于（）A．20°B．40°C．60°D．80°5．（3分）如果方程x﹣y＝3与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（）A．3x﹣4y＝16B．x+2y＝5C．x+3y＝8D．2（x﹣y）＝6y．6．（3分）下列计算中，正确的是（）A．2a3（﹣a2）＝﹣2a5B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．（﹣a）5÷（﹣a）2＝a3D．（﹣3）﹣1＝37．（3分）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．3（a+b）＝3a+3b B．x2+6x+9＝x（x+6）+9C．a2﹣2＝（a+2）（a﹣2）D．ax﹣ay＝a（x﹣y）8．（3分）下列调查中，调查方式选择合理的是（）A．为了了解某一品牌家具的甲醛含量，选择全面调查B．为了了解神州飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查C．为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查D．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查9．（3分）为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图，这组数据的众数和中位数分别是（）A．6，4B．6，6C．4，4D．4，610．（3分）若不等式（a﹣2）x＞a﹣2的解集为x＞1，那么字母a的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a＞2D．a＜2二、填空题（本题共30分，每小题3分）11．（3分）若a＜b，用“＜”或“＞”填空：a﹣1b﹣1；；5a+25b+2．12．（3分）（﹣2016）0＝．13．（3分）如果一个角的余角是30°，那么这个角的补角是．14．（3分）已知x＝1，y＝﹣8是方程3mx﹣y＝﹣1的一个解，则m的值是．15．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．若∠EOD＝20°，则∠COB的度数为°．16．（3分）某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：时间（小时）5678人数1015205则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是小时．17．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，要使DE∥BC，你认为应该添加的一个条件是．18．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于一千五百年前，共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法，记有许多有趣的问题．其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺无寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？”设木长x尺、绳子长y尺，可列方程组为．19．（3分）平行线在生活中应用很广泛，人们为了准确的画出平行线，往往利用三角尺和直尺按照下面的方法去做：第一步：作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边；第三步：沿直尺下移三角尺；第四步：沿三角尺的边作出直线CD．这样，就得到AB∥CD．这样做的理论依据是．20．（3分）在学习乘法公式的时候，我们可以通过图形解释加深对公式的理解，下面这个图形可以解释的乘法公式是．三、计算、化简、求值（本题共11分，1-2题每小题3分，3题5分）21．（3分）化简：（8a2b﹣4ab2）÷（﹣4ab）22．（3分）化简：（x+5）（2x﹣3）﹣2x（x2﹣2x+3）23．（5分）化简求值：（x﹣1）2﹣（x+2）（x﹣2）+（x﹣4）（x+5），其中x2﹣x﹣5＝0．四、分解因式（本题共11分，1小题3分，2-3每小题3分）24．（3分）分解因式：﹣3a2x+6axy﹣3a．25．（4分）分解因式：16x2﹣（x2+4）2．26．（4分）请你写出一个二项式，再把它分解因式．（要求：二项式中每一项都含有字母a 和b，系数、次数不限，并能先用提公因式法再用公式法分解）五、解不等式（组）、解方程组，并解决相应问题（本题共14分，1-2每小题4分，3小题6分）27．（4分）解方程组．28．（4分）解不等式组并把它的所有整数解在数轴上表示出来．29．（6分）已知：当x＝﹣3和x＝2时，代数式kx+b的值分别是﹣4和11．（1）求k和b的值；（2）当x取何值时，代数式kx+b的值比（kx﹣b）的值小？六、解答题（本题共5分）30．（5分）已知：如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1＝∠A．（1）求证：FE∥OC；（2）若∠BFE＝70°，求∠DOC的度数．七、解答题（本题5分）31．（5分）在数学学科实践活动中，老师和同学们设计了一系列调查问题供同学们选择，其中张佳怡同学的第二小组选择了问题1：调查初一同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况．为了解决问题1，小组同学设计了如下调查问卷：在初一各班选择了部分学生进行了调查，然后对收集上来的数据进行整理，绘制了如下条形图：（1）为了进一步了解同学们对这五类电视节目的喜爱情况所占的比例，请结合条形图信息绘制扇形图．（2）通过分析扇形图，请你评价一下学生对电视节目的喜爱情况．八、列方程组解应用题（本题5分）32．（5分）门头沟作为绿色生态涵养区，不仅空气清新，而且盛产特色水果，妙峰山的樱桃、军庄的京白梨、太子墓的苹果、陇家庄的盖柿…，每到水果成熟的时候，前来采摘的游客络绎不绝，成为了京西一道亮丽风景．端午节期间，苗苗一家去妙峰山采摘樱桃，一号品种樱桃采摘价格为80元/千克，二号品种樱桃采摘价格为60元/千克．若苗苗一家采摘两种樱桃共8千克，共消费580元，那么他们采摘两种樱桃各多少千克？九、探究题（本题共9分）33．（9分）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，探究∠B，∠D，∠BPD的关系．小明只完成了（1）的部分证明，请你根据学习《观察猜想与证明》的学习经验继续完成（1）的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成（2）﹣（3）．（1）过点P作PE∥AB．∵PE∥AB，AB∥CD∴∥∴∠D＝又∵PE∥AB∴∠B＝∠BPE∴∠BPD＝．（2）如图2，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，∠B，∠D，∠BPD的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．（3）如图3，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（直接写出结果）2015-2016学年北京市门头沟区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）每到春夏，北京鲜花烂漫，空气中弥漫着各种花粉，有一种花粉的直径是0.000035米，将0.000035用科学记数法表示应为（）A．3.5×10﹣4B．0.35×10﹣4C．35×10﹣5D．3.5×10﹣5【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000035＝3.5×10﹣5，故选：D．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2．（3分）不等式x≤2的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法解答即可．【解答】解：∵不等式中是小于等于号，∴2处是实心原点，且折线向左．故选：B．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．3．（3分）下列运算正确的是（）A．4a2﹣2a2＝2B．（a2）3＝a5C．a3•a6＝a9D．（3a）2＝6a2【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，即可解答．【解答】解：A、4a2﹣2a2＝2a2，故错误；B、（a2）3＝a6，故错误；C、正确；D、（3a）2＝9a2，故错误；故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法，除法，积的乘方，幂的乘方的法则．4．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠2＝∠3，若∠1＝80°，则∠4等于（）A．20°B．40°C．60°D．80°【分析】先根据平行线的性质求出∠2+∠3的度数，再由∠2＝∠3即可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∠1＝80°，∴∠2+∠3＝80°，∠3＝∠4．∵∠2＝∠3，∴∠3＝40°，∴∠4＝40°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．5．（3分）如果方程x﹣y＝3与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（）A．3x﹣4y＝16B．x+2y＝5C．x+3y＝8D．2（x﹣y）＝6y．【分析】把已知方程与各项方程联立组成方程组，使其解为x＝4，y＝1即可．【解答】解：A、联立得：，解得：，不合题意；B、联立得：，解得：，不合题意；C、联立得：，解得：，不合题意；D、联立得：，解得：，符合题意．故选：D．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．6．（3分）下列计算中，正确的是（）A．2a3（﹣a2）＝﹣2a5B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．（﹣a）5÷（﹣a）2＝a3D．（﹣3）﹣1＝3【分析】根据单项式乘单项式、完全平方公式、同底数幂的除法、负整数指数幂逐一计算即可．【解答】解：A、2a3（﹣a2）＝﹣2a5，此选项正确；B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，此选项错误；C、（﹣a）5÷（﹣a）2＝（﹣a）3＝﹣a3，此选项错误；D、（﹣3）﹣1＝﹣，此选项错误；故选：A．【点评】本题主要考查整式的混合运算能力，熟练掌握整式的混合运算顺序与整式的运算法则是解题的关键．7．（3分）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．3（a+b）＝3a+3b B．x2+6x+9＝x（x+6）+9C．a2﹣2＝（a+2）（a﹣2）D．ax﹣ay＝a（x﹣y）【分析】利用因式分解的定义判断即可．【解答】解：各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是ax﹣ay＝a（x﹣y），故选：D．【点评】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．8．（3分）下列调查中，调查方式选择合理的是（）A．为了了解某一品牌家具的甲醛含量，选择全面调查B．为了了解神州飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查C．为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查D．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【解答】解：为了了解某一品牌家具的甲醛含量，选择抽样调查，A错误；为了了解神州飞船的设备零件的质量情况，选择全面调查，B错误；为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查，C正确；为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择抽样调查，D错误，故选：C．【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．9．（3分）为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图，这组数据的众数和中位数分别是（）A．6，4B．6，6C．4，4D．4，6【分析】在这50人中，参加6个小时体育锻炼的人数最多，则众数为6；50人中锻炼时间处在第25和26位的都是6小时，则中位数为6．【解答】解：出现最多的是6小时，则众数为6；按大小顺序排列在中间的两个人的锻炼时间都为6小时，则中位数为6．故选：B．【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．10．（3分）若不等式（a﹣2）x＞a﹣2的解集为x＞1，那么字母a的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a＞2D．a＜2【分析】根据不等式的性质2，可得答案．【解答】解；不等式（a﹣2）x＞a﹣2的解集为x＞1，a﹣2＞0，解得a＞2，故选：C．【点评】本题考查了不等式的解集，不等式的性质是解题关键．二、填空题（本题共30分，每小题3分）11．（3分）若a＜b，用“＜”或“＞”填空：a﹣1＜b﹣1；＞；5a+2＜5b+2．【分析】（1）根据不等式的基本性质，两边同时减1，不等号的方向不变即可解答：（2）根据不等式的基本性质，两边同时除以﹣7，不等号的方向改变解答即可：（3）根据不等式的基本性质，两边同时乘以5，不等号的方向不变，然后再同时加2，不等号的方向不变即可解答．【解答】解：（1）根据不等式的基本性质1可得：a﹣1＜b﹣1；（2）根据不等式的基本性质3可得：﹣＞﹣；（3）根据不等式的基本性质1和2可得：5a+2＜5b+2，故答案为＜，＞，＜．【点评】本题主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．12．（3分）（﹣2016）0＝1．【分析】根据零指数幂：a0＝1（a≠0）可得答案．【解答】解：（﹣2016）0＝1，故答案为：1．【点评】此题主要考查了零指数幂，关键是掌握a0＝1（a≠0）．13．（3分）如果一个角的余角是30°，那么这个角的补角是120°．【分析】先根据余角的定义求出这个角的度数，进而可求出这个角的补角．【解答】解：由题意，得：180°﹣（90°﹣30°）＝90°+30°＝120°，故这个角的补角为120°，故答案为120°．【点评】本题主要考查了余角和补角的定义，属于基础题，比较简单．14．（3分）已知x＝1，y＝﹣8是方程3mx﹣y＝﹣1的一个解，则m的值是﹣3．【分析】知道了方程的解，可以把这组解代入方程，得到一个含有未知数m的一元一次方程，从而可以求出m的值．【解答】解：把x＝1，y＝﹣8代入方程3mx﹣y＝﹣1，得3m+8＝﹣1，解得m＝﹣3．故答案为﹣3．【点评】本题考查了二元一次方程的解的定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数m为未知数的方程．15．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O．若∠EOD＝20°，则∠COB的度数为110°．【分析】先根据垂直的定义求出∠BOE＝90°，然后求出∠BOD的度数，再根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据邻补角的定义求出∠COB的度数．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∵∠EOD＝20°，∴∠BOD＝∠BOE﹣∠EOD＝90°﹣20°＝70°，∴∠COB＝180°﹣∠BOD＝180°﹣70°＝110°．故答案为：110．【点评】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，邻补角的和等于180°，要注意领会由垂直得直角这一要点．16．（3分）某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：时间（小时）5678人数1015205则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 6.4小时．【分析】根据平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数进行计算．【解答】解：＝6.4．故答案为：6.4．【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，根据加权平均数的计算公式列出算式是解题的关键．17．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，要使DE∥BC，你认为应该添加的一个条件是∠ADE＝∠ABC（答案不唯一）．【分析】直接根据平行线的判定定理即可得出结论．【解答】解：∵∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC．故答案为：∠ADE＝∠ABC（答案不唯一）．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．18．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于一千五百年前，共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法，记有许多有趣的问题．其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺无寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？”设木长x尺、绳子长y尺，可列方程组为．【分析】本题的等量关系是：绳长﹣木长＝4.5；木长﹣绳长＝1，据此可列方程组求解．【解答】解：设绳长x尺，长木为y尺，依题意得，故答案为：【点评】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．19．（3分）平行线在生活中应用很广泛，人们为了准确的画出平行线，往往利用三角尺和直尺按照下面的方法去做：第一步：作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边；第三步：沿直尺下移三角尺；第四步：沿三角尺的边作出直线CD．这样，就得到AB∥CD．这样做的理论依据是同位角相等，两直线平行．【分析】根据作图过程可得作∠1＝∠2，根据平行线的判定可得答案．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故答案为：同位角相等，两直线平行．【点评】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行．20．（3分）在学习乘法公式的时候，我们可以通过图形解释加深对公式的理解，下面这个图形可以解释的乘法公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．【分析】根据图形确定出平方差公式即可．【解答】解：根据题意得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【点评】此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．三、计算、化简、求值（本题共11分，1-2题每小题3分，3题5分）21．（3分）化简：（8a2b﹣4ab2）÷（﹣4ab）【分析】根据多项式除以单项式的法则进行计算即可．【解答】解：（8a2b﹣4ab2）÷（﹣4ab）＝﹣2a+b．【点评】本题主要考查了整式的除法法则，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式，多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．22．（3分）化简：（x+5）（2x﹣3）﹣2x（x2﹣2x+3）【分析】根据单项式乘多项式和多项式乘多项式法则把原式展开，根据合并同类项法则计算即可．【解答】解：（x+5）（2x﹣3）﹣2x（x2﹣2x+3）＝2x2﹣3x+10x﹣15﹣2x3+4x2﹣6x＝﹣2x3+6x2+x﹣15．【点评】本题考查的是单项式乘多项式和多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．23．（5分）化简求值：（x﹣1）2﹣（x+2）（x﹣2）+（x﹣4）（x+5），其中x2﹣x﹣5＝0．【分析】根据平方差公式和完全平方公式先化简，再整体代入x2﹣x＝5进行计算即可．【解答】解：（x﹣1）2﹣（x+2）（x﹣2）+（x﹣4）（x+5）＝x2﹣2x+1﹣x2+4+x2+x﹣20，＝x2﹣x﹣15，∵x2﹣x﹣5＝0∴原式＝﹣10．【点评】本题考查了整式的混合运算，化简整式以及整体思想是解此题的关键．四、分解因式（本题共11分，1小题3分，2-3每小题3分）24．（3分）分解因式：﹣3a2x+6axy﹣3a．【分析】直接提公因式﹣3a即可．【解答】解：﹣3a2x+6axy﹣3a＝﹣3a（ax﹣2xy+1）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握提公因式具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．25．（4分）分解因式：16x2﹣（x2+4）2．【分析】运用公式法进行分解因式，即可解答．【解答】解：原式＝（4x+x2+4）（4x﹣x2﹣4）＝﹣（x+2）2（x﹣2）2【点评】本题考查了运用公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记完全平方公式．26．（4分）请你写出一个二项式，再把它分解因式．（要求：二项式中每一项都含有字母a和b，系数、次数不限，并能先用提公因式法再用公式法分解）【分析】写出满足题意的多项式，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a+b）（a﹣b）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．五、解不等式（组）、解方程组，并解决相应问题（本题共14分，1-2每小题4分，3小题6分）27．（4分）解方程组．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①×2﹣②×3得：﹣5x＝﹣15，即x＝3，将x＝3代入①得：y＝1，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．28．（4分）解不等式组并把它的所有整数解在数轴上表示出来．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定整数解即可．【解答】解：，解①得x≤2，解②得x＞﹣．．则不等式组的解集是：．整数解是﹣1，0，1，2．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．29．（6分）已知：当x＝﹣3和x＝2时，代数式kx+b的值分别是﹣4和11．（1）求k和b的值；（2）当x取何值时，代数式kx+b的值比（kx﹣b）的值小？【分析】（1）将x＝﹣3、y＝﹣4和x＝2、y＝11代入得关于k、b的方程组，解方程组即可得；（2）根据（1）中k、b的值列出关于x的不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）将x＝﹣3、y＝﹣4和x＝2、y＝11代入得：，解得：；（2）由题意，得：3x+5＜（3x﹣5），解得：x＜﹣．【点评】本题主要考查解方程组和一元一次不等式的能力，根据题意列出二元一次方程组和一元一次不等式是关键．六、解答题（本题共5分）30．（5分）已知：如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1＝∠A．（1）求证：FE∥OC；（2）若∠BFE＝70°，求∠DOC的度数．【分析】（1）由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；（2）由EF与OC平行，利用两直线平行同旁内角互补得到∠BFE+∠DOC＝180°，结合已知即可求得结果．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠C（两直线平行，内错角相等），又∵∠1＝∠A，∴∠C＝∠1，∴FE∥OC，（同位角相等，两直线平行）（2）解：∵FE∥OC，∴∠BFE+∠DOC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），又∵∠BFE＝70°，∴∠DOC＝110°．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．七、解答题（本题5分）31．（5分）在数学学科实践活动中，老师和同学们设计了一系列调查问题供同学们选择，其中张佳怡同学的第二小组选择了问题1：调查初一同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况．为了解决问题1，小组同学设计了如下调查问卷：在初一各班选择了部分学生进行了调查，然后对收集上来的数据进行整理，绘制了如下条形图：（1）为了进一步了解同学们对这五类电视节目的喜爱情况所占的比例，请结合条形图信息绘制扇形图．（2）通过分析扇形图，请你评价一下学生对电视节目的喜爱情况．【分析】（1）根据条形统计图获取信息，计算出同学们对这五类电视节目的喜爱情况所占的比例，绘制扇形图；（2）根据扇形图进行解答即可．【解答】解：（1）戏曲所占的比例为：×100%＝6%，新闻所占的比例为：×100%＝8%，体育所占的比例为：×100%＝20%，动画所占的比例为：×100%＝30%，娱乐所占的比例为：×100%＝36%，扇形图如图：（2）从扇形图可知，大部分学生比较喜欢动画和娱乐节目，不喜欢戏曲和新闻．【点评】本题考查的是条形统计图、扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．注意条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．八、列方程组解应用题（本题5分）32．（5分）门头沟作为绿色生态涵养区，不仅空气清新，而且盛产特色水果，妙峰山的樱桃、军庄的京白梨、太子墓的苹果、陇家庄的盖柿…，每到水果成熟的时候，前来采摘的游客络绎不绝，成为了京西一道亮丽风景．端午节期间，苗苗一家去妙峰山采摘樱桃，一号品种樱桃采摘价格为80元/千克，二号品种樱桃采摘价格为60元/千克．若苗苗一家采摘两种樱桃共8千克，共消费580元，那么他们采摘两种樱桃各多少千克？【分析】找出相等关系：两种品种樱桃的数量之和为8，两种品种樱桃的价钱之和为580元，建立方程组即可．【解答】解：设一号品种x千克，二号品种y千克，根据题意得，解得，答：一号品种5千克，二号品种3千克．【点评】此题是二元一次方程组的应用，解本题的关键是找到题目中的数量关系．九、探究题（本题共9分）33．（9分）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD内部，探究∠B，∠D，∠BPD的关系．小明只完成了（1）的部分证明，请你根据学习《观察猜想与证明》的学习经验继续完成（1）的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成（2）﹣（3）．（1）过点P作PE∥AB．∵PE∥AB，AB∥CD∴PE∥CD∴∠D＝∠DPE又∵PE∥AB∴∠B＝∠BPE∴∠BPD＝∠B+∠D．（2）如图2，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，∠B，∠D，∠BPD的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．（3）如图3，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（直接写出结果）【分析】（1）首先过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，可得∠1＝∠B，∠2＝∠D，从而证得∠BPD＝∠B+∠D；（2）由AB∥CD，根据平行线的性质，易得∠BOD＝∠B，又由三角形外角的性质可得∠BOD＝∠D+∠P，从而得到∠BPD＝∠B﹣∠D；（3）首先连接QP，并延长到E，利用三角形外角的性质，可证得∠BPD＝∠1+∠2＝∠BQP+∠B+∠DQP+∠D＝∠B+∠D+∠BQD．【解答】解：（1）如图1，过点P作PE∥AB．∵PE∥AB，AB∥CD，∴PE∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），又∵PE∥AB，∴∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE（两直线平行内错角相等），∴∠BPD＝∠B+∠D．（2）发生变化，应是∠BPD＝∠B﹣∠D．证明：如图2，∵AB∥CD∴∠B＝∠BOD，∵∠BOD＝∠P+∠D，∴∠BPD＝∠B﹣∠D；（3）如图3，连接QP，并延长到E，∵∠1＝∠B+∠BQP，∠2＝∠D+∠DQP，∴∠BPD＝∠1+∠2＝∠BQP+∠B+∠DQP+∠D＝∠B+∠D+∠BQD．。
2015-2016年北京市顺义区初三上学期期末数学试卷含答案解析
2015-2016学年北京市顺义区初三上学期期末数学试卷一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）﹣的倒数是（）A．3 B．C．﹣ D．﹣32．（3分）计算的结果是（）A．B．C．D．33．（3分）不等式3x+2＞﹣1的解集是（）A．x＞﹣B．x＜﹣C．x＞﹣1 D．x＜﹣14．（3分）下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）若3x=4y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则cosA的值为（）A．B．C．D．7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA 的延长线交于点F，若AE=2ED，则的值是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°9．（3分）若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）A．6， B．，3 C．6，3 D．，10．（3分）如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：mn2+6mn+9m=．12．（3分）一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9，这5个数据的中位数是．13．（3分）如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m，则旗杆的高度为m．14．（3分）若反比例函数的图象在每一个象限中，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是．15．（3分）将抛物线y=2x2向下平移3个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式为．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是，半径是．三、解答题（共13道小题，第17-26小题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分）17．（5分）计算：cos60°+tan30°•sin60°﹣（cos45°﹣）0．18．（5分）已知，求代数式的值．19．（5分）求二次函数y=x2﹣4x+3的顶点坐标及对称轴，并在所给坐标系中画出该二次函数的图象．20．（5分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．（1）求k和b的值；（2）求△OAB的面积．21．（5分）李大叔想用篱笆围成一个周长为80米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？22．（5分）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦，∠B=60°，OD⊥AC，垂足为D．（1）求OD的长；（2）求劣弧AC的长．23．（5分）在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．24．（5分）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈）25．（5分）已知抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1与x轴相交于A、B两点，且AB=2，求m的值．26．（5分）在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D以1cm/s 的速度从点A出发到点B止，动点E以2cm/s 的速度从点C出发到点A止，且两点同时运动，当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动的时间t．27．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；（2）若AB=6，AD=5，求AF的长．28．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．29．（8分）已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．2015-2016学年北京市顺义区初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）﹣的倒数是（）A．3 B．C．﹣ D．﹣3【解答】解：﹣的倒数是﹣3；故选：D．2．（3分）计算的结果是（）A．B．C．D．3【解答】解：•=，故选：B．3．（3分）不等式3x+2＞﹣1的解集是（）A．x＞﹣B．x＜﹣C．x＞﹣1 D．x＜﹣1【解答】解：移项得，3x＞﹣1﹣2，合并同类项得，3x＞﹣3，把x的系数化为1得，x＞﹣1．故选：C．4．（3分）下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故A选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故C选项不合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项符合题意；故选：D．5．（3分）若3x=4y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、由比例的性质，得3x=4y，故A正确；B、由比例的性质，得xy=12，故B错误；C、由比例的性质，得4x=3y，故C错误；D、由比例的性质，得4x=3y，故D错误；故选：A．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则cosA的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠C=90°，BC=3，AB=5，∴AC==4，∴cosA==，故选：B．7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA 的延长线交于点F，若AE=2ED，则的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∴△AFE∽△CDE，∴AF：CD=AE：ED，∵AE=2ED，∴AF：CD=AE：ED=2：1，∴=．故选：D．8．（3分）如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：∵⊙O的直径是AB，∴∠ACB=90°，又∵AB=2，弦AC=1，∴sin∠CBA=，∴∠CBA=30°，∴∠A=∠D=60°，故选：C．9．（3分）若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）A．6， B．，3 C．6，3 D．，【解答】解：∵正方形的边长为6，∴AB=3，又∵∠AOB=45°，∴OB=3∴AO==3，即外接圆半径为3，内切圆半径为3． 故选：B ．10．（3分）如图所示，扇形AOB 的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：过点O 作OD ⊥AB ，∵∠AOB=120°，OA=2，∴∠OAD===30°，∴OD=OA=×2=1，AD===， ∴AB=2AD=2，∴S 阴影=S 扇形OAB ﹣S △AOB =﹣×2×1=．故选：A ．二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：mn2+6mn+9m=m（n+3）2．【解答】解：mn2+6mn+9m=m（n2+6n+9）=m（n+3）2．故答案为：m（n+3）2．12．（3分）一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，9，8，9，这5个数据的中位数是8．【解答】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：6，7，8，9，9，则中位数为：8．故答案为：8．13．（3分）如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m，则旗杆的高度为12m．【解答】解：∵同一时刻物高与影长成正比例．设旗杆的高是xm．∴1.6：1.2=x：9∴x=12．即旗杆的高是12米．故答案为12．14．（3分）若反比例函数的图象在每一个象限中，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是m＞1．【解答】解：∵图象在每一个象限中y随着x的增大而减小，∴m﹣1＞0，解得：m＞1，故答案为：m＞1．15．（3分）将抛物线y=2x2向下平移3个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式为y=2（x+1）2﹣3．【解答】解：将抛物线y=2x2向下平移3个单位得y=2x2﹣3，再向左平移1个单位，得y=2（x+1）2﹣3；故所得抛物线的解析式为y=2（x+1）2﹣3．故答案为：y=2（x+1）2﹣3．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是（5，2），半径是2．【解答】解：∵△ABC外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，又∵到B，C两点距离相等的点在BC的垂直平分线上，∴三角形的外心位置基本确定，只有（5，2）点到三角形三个顶点距离相等，∴（5，2）点是三角形的外接圆圆心．利用勾股定理可得半径为：2．故答案为：（5，2），2．三、解答题（共13道小题，第17-26小题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分）17．（5分）计算：cos60°+tan30°•sin60°﹣（cos45°﹣）0．【解答】解：原式=+•﹣1=+﹣1=0．故答案为：0．18．（5分）已知，求代数式的值．【解答】解：•（a﹣2b）=•（a﹣2b）=，∵=≠0，∴a=b，∴原式====．19．（5分）求二次函数y=x2﹣4x+3的顶点坐标及对称轴，并在所给坐标系中画出该二次函数的图象．【解答】解：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，则抛物线的顶点坐标为：（2，﹣1），对称轴为直线：x=2，当y=0，则0=（x﹣2）2﹣1，解得：x1=1，x2=3，故抛物线与x轴交点为：（1，0），（3，0）．如图所示：20．（5分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．（1）求k和b的值；（2）求△OAB的面积．【解答】解：（1）把A（2，5）分别代入y=和y=x+b，得，解得k=10，b=3；（2）作AC⊥x轴于点C，由（1）得直线AB的解析式为y=x+3，∴点B的坐标为（﹣3，0），∴OB=3，∵点A的坐标是（2，5），∴AC=5，∴=5=．21．（5分）李大叔想用篱笆围成一个周长为80米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？【解答】解：（1）有分析可得：S=x×（40﹣x）=﹣x2+40x，且有0＜x＜40，所以S与x之间的函数关系式为：S=x×（40﹣x）=﹣x2+40x，并写出自变量x的取值范围为：0＜x＜40；（2）求S=﹣x2+40x的最大值，S=﹣x2+40x=﹣（x﹣20）2+400，所以当x=20时，有S的最大值S=400，答：当x是20时，矩形场地面积S最大，最大面积是400．22．（5分）已知：如图，AB是⊙O的直径，弦，∠B=60°，OD⊥AC，垂足为D．（1）求OD的长；（2）求劣弧AC的长．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，又∵OD⊥AC，∴AD=CD=，∠ADO=90°，∵∠B=60°∴∠A=30°，在Rt△AOD中，OA=2，OD=1；（2）连接OC，则∠AOC=120°，∴的长l===．23．（5分）在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠D=150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．【解答】解：如图，连接BD，由AB=AD，∠A=60°．则△ABD是等边三角形．即BD=8，∠1=60°．又∠1+∠2=150°，则∠2=90°．设BC=x，CD=16﹣x，由勾股定理得：x2=82+（16﹣x）2，解得x=10，16﹣x=6所以BC=10，CD=6．24．（5分）一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈）【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，由题意∠DAC=31°，∠DBC=45°，设CD=BD=x米，则AD=AB+BD=（40+x）米，在Rt△ACD中，tan∠DAC=，则，解得x=60（米），经检验得：x=60是原方程的根，∴这条河的宽度为60米．25．（5分）已知抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1与x轴相交于A、B两点，且AB=2，求m的值．【解答】解：设一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0的两根为α、β，∴α+β=﹣，αβ=﹣，∴|α﹣β|==2，∴（α+β）2﹣4αβ=4，即（﹣）2+=4，解得m=2或m=．26．（5分）在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D以1cm/s 的速度从点A出发到点B止，动点E以2cm/s 的速度从点C出发到点A止，且两点同时运动，当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动的时间t．【解答】解：当动点D、E同时运动时间为t时，则有AD=t，CE=2t，AE=12﹣2t．∵∠A是公共角，∴（1）当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC，有，即，∴t=3；（2）当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ACB，有，即解得t=4.8．综上可得：当点D、E同时运动3s和4.8s时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．27．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．（1）猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；（2）若AB=6，AD=5，求AF的长．【解答】解：（1）ED与⊙O的位置关系是相切．理由如下：连接OD，∵∠CAB的平分线交⊙O于点D，∴=，∴OD⊥BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴OD⊥DE，∴ED与⊙O的位置关系是相切；（2）连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，在直角△ABD中，BD===，∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵∠AFC=∠BFD，∴∠FBD=∠CAD=∠BAD∴△FBD∽△BAD，∴=∴FD=∴AF=AD﹣FD=5﹣=．28．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE===12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．29．（8分）已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．【解答】解：（1）令y=3x+3=0得：x=﹣1，故点C的坐标为（﹣1，0）；令x=0得：y=3x+3=3×0+3=3故点A的坐标为（0，3）；∵△OAB是等腰直角三角形．∴OB=OA=3，∴点B的坐标为（3，0），设过A、B、C三点的抛物线的解析式y=ax2+bx+c，解得：∴解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，∴解得：∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3∵线CD∥AB∴设直线CD的解析式为y=﹣x+b∵经过点C（﹣1，0），∴﹣（﹣1）+b=0解得：b=﹣1，∴直线CD的解析式为：y=﹣x﹣1，令﹣x﹣1=﹣x2+2x+3，解得：x=﹣1，或x=4，将x=4代入y=﹣x2+2x+3=﹣16+2×4+3=﹣5，∴点D的坐标为：（4，﹣5）；（3）存在．如图1所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y，BN=OB﹣ON=3﹣x．S△ABP=S梯形PNOA+S△PNB﹣S△AOB=（OA+PN）•ON+PN•BN﹣OA•OB=（3+y）•x+y•（3﹣x）﹣×3×3=（x+y）﹣，∵P（x，y）在抛物线上，∴y=﹣x2+2x+3，代入上式得：S △PAB =（x +y ）﹣=﹣（x 2﹣3x ）=﹣（x ﹣）2+，∴当x=时，S △PAB 取得最大值．当x=时，y=﹣x 2+2x +3=， ∴P （，）． 所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P ，使得△ABP 的面积最大；P 点的坐标为（，），最大值为：．附加：初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征： 60°60°60° 45°45°45°运用举例： 1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；x yB C AO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．l s 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
2015-2016年北京市海淀区初三上学期期末数学试卷及答案
2015-2016学年北京市海淀区初三上学期期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．80°3．（3分）抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）4．（3分）若点A（a，b）在双曲线上，则代数式ab﹣4的值为（）A．﹣12 B．﹣7 C．﹣1 D．15．（3分）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为（）A．B．C．D．6．（3分）抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x+1）2﹣3 C．y=2（x﹣1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2+37．（3分）已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在双曲线上，当x1＜0＜x2＜x3时，y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y18．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点．若BC=8，，则AB的长为（）A．B．C．D．129．（3分）在平面直角坐标系xOy中，A为双曲线上一点，点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，则点A的坐标为（）A．（﹣4，）B．（4，）C．（﹣2，3）或（2，﹣3） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB=3，则点M到直线l的距离为（）A．B．C．2 D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：．12．（3分）已知关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′顶点的横、纵坐标都是整数．若△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是．14．（3分）如图，正比例函数y=mx（m≠0）与反比例函数y=的图象交于A、B两点，若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标是．15．（3分）古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为．16．（3分）正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上．（1）如图，若tanB=2，则的值为；（2）将△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，连接BB′、CC′．若，则tanB 的值为．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题6分，第28题8分，第29题8分）17．（5分）计算：sin30°+3tan60°﹣cos245°．18．（5分）解方程：x2+2x﹣5=0．19．（5分）如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：△ABC∽△DAE．20．（5分）已知m是方程x2+x﹣1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m ﹣1）的值．21．（5分）已知二次函数y=x2+bx+8的图象与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣2，0），求点B的坐标．22．（5分）如图，矩形ABCD为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设AB边的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为（不要求写自变量的取值范围）；（2）求矩形ABCD的最大面积．23．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE=DC时，求AD的长．24．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=kx﹣2交于点A（3，1）．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）直线y=kx﹣2与x轴交于点B，点P是双曲线y=上一点，过点P作直线PC∥x轴，交y轴于点C，交直线y=kx﹣2于点D．若DC=2OB，直接写出点P的坐标为．25．（5分）如图，小嘉利用测角仪测量塔高，他分别站在A、B两点测得塔顶的仰角α=45°，β=50°．AB为10米．已知小嘉的眼睛距地面的高度AC为1.5米，计算塔的高度．（参考数据：sin50°取0.8，cos50°取0.6，tan50°取1.2）26．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线DE，F为射线BD上一点，连接CF．（1）求证：∠CBE=∠A；（2）若⊙O的直径为5，BF=2，tanA=2，求CF的长．27．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，定义直线x=m与双曲线y n=的交（m、n为正整数）为“双曲格点”，双曲线y n=在第一象限内的部分沿着点A m，n竖直方向平移或以平行于x轴的直线为对称轴进行翻折之后得到的函数图象为其“派生曲线”．（1）①“双曲格点”A 2，1的坐标为 ；②若线段A 4，3A 4，n 的长为1个单位长度，则n= ；（2）图中的曲线f 是双曲线y 1=的一条“派生曲线”，且经过点A 2，3，则f 的解析式为y= ；（3）画出双曲线y 3=的“派生曲线”g （g 与双曲线y 3=不重合），使其经过“双曲格点”A 2，a 、A 3，3、A 4，b ．28．（8分）（1）如图1，△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，连接BD ．若AC=2，BC=1，则△BCD 的周长为 ；（2）O 为正方形ABCD 的中心，E 为CD 边上一点，F 为AD 边上一点，且△EDF 的周长等于AD 的长．①在图2中求作△EDF （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在图3中补全图形，求∠EOF 的度数； ③若，则的值为 ．29．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，定义直线y=ax +b 为抛物线y=ax 2+bx 的特征直线，C （a ，b ）为其特征点．设抛物线y=ax 2+bx 与其特征直线交于A 、B 两点（点A在点B的左侧）．（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为；（2）若抛物线y=ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；（3）设抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF．①若特征点C为直线y=﹣4x上一点，求点D及点C的坐标；②若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是．2015-2016学年北京市海淀区初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠C=90°，BC=3，AB=5，∴sinA==，故选：A．2．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．80°【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=100°，∴∠ACB=∠AOB=×100°=50°．故选：B．3．（3分）抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）【解答】解：∵y=（x﹣2）2+1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，对称轴为直线x=2，故选：D．4．（3分）若点A（a，b）在双曲线上，则代数式ab﹣4的值为（）A．﹣12 B．﹣7 C．﹣1 D．1【解答】解：∵点A（a，b）在双曲线上，∴3=ab，∴ab﹣4=3﹣4=﹣1．故选：C．5．（3分）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为（）A．B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E是AB的中点，∴BE=AB=CD；∵BE∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴=（）2=．故选：C．6．（3分）抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x+1）2﹣3 C．y=2（x﹣1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2+3【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y=2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=2（x+1）2﹣3．故选：B．7．（3分）已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在双曲线上，当x1＜0＜x2＜x3时，y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【解答】解：∵函数中，k=1＞0，∴此函数的图象的两个分支位于一三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．∵x1＜0＜x2＜x3，∴点A（x1，y1）在第三象限，B（x2，y2）、C（x3，y3）在第一象限，∴y1＜0，0＜y3＜y2，∴y1＜y3＜y2．故选：B．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点．若BC=8，，则AB的长为（）A．B．C．D．12【解答】解：连接AC，由圆周角定理得，∠B=∠D，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴cosB==，又BC=8，∴AB=12，故选：D．9．（3分）在平面直角坐标系xOy中，A为双曲线上一点，点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，则点A的坐标为（）A．（﹣4，）B．（4，）C．（﹣2，3）或（2，﹣3） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）【解答】解：设点A的坐标为（﹣，a），∵点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，=4×|a|=6，∴S△AOB解得：a=±3，∴点A的坐标为（﹣2，3）（2．﹣3）．故选：C．10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB=3，则点M到直线l的距离为（）A．B．C．2 D．【解答】解：抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，∴△=b2﹣4ac=0，∴b2﹣4c=0，设M到直线l的距离为m，则有x2+bx+c=m两根的差为3，可得：b2﹣4（c﹣m）=9，解得：m=．故选：B．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：y=﹣．【解答】解：∵图象在第二、四象限，∴y=﹣，故答案为：y=﹣．12．（3分）已知关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＜9．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4m=36﹣4m＞0，解得：m＜9．故答案为m＜9．13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′顶点的横、纵坐标都是整数．若△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是（8，0）．【解答】解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（8，0），所以位似中心的坐标为（8，0）．故答案为：（8，0）14．（3分）如图，正比例函数y=mx（m≠0）与反比例函数y=的图象交于A、B两点，若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标是（﹣1，﹣2）．【解答】解：把点A的坐标为（1，2）代入y=mx与y=，得m=2，n=2．即y=2x①，y=②，解之得：x=±1，将x=﹣1代入①得y=﹣2，∴点B的坐标是（﹣1，﹣2）．方法二：∵A、B关于原点对称，A（1，2），∴B（﹣1，﹣2）．故答案为：（﹣1，﹣2）．15．（3分）古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为（x﹣2）2+（x﹣4）2=x2．【解答】解：设竿长为x尺，由题意得，（x﹣2）2+（x﹣4）2=x2．故答案为：（x﹣2）2+（x﹣4）2=x2．16．（3分）正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上．（1）如图，若tanB=2，则的值为；（2）将△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，连接BB′、CC′．若，则tanB的值为．【解答】解：（1）∵四边形CEDF为正方形，∴ED=EC，∠CED=90°，在Rt△BDE中，∵tanB==2，∴DE=2BE，∴==；（2）连结DC、DC′，如图，∵△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，∴DB=DB′，DC=DC′，∠BDB′=∠CDC′，即=，∴△DBB′∽△DCC′，∴==，设DC=3x，BD=5x，∵四边形CEDF为正方形，∴DE=3x，在Rt△BDE中，BE===4x，∴tanB===．故答案为，．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题6分，第28题8分，第29题8分）17．（5分）计算：sin30°+3tan60°﹣cos245°．【解答】解：原式=+3﹣=．18．（5分）解方程：x2+2x﹣5=0．【解答】解：x2+2x﹣5=0x2+2x=5，x2+2x+1=6，（x+1）2=6，x+1=±，x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．19．（5分）如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：△ABC∽△DAE．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠CAB=∠EDA．∵∠B=∠DAE，∴△ABC∽△DAE．20．（5分）已知m是方程x2+x﹣1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m ﹣1）的值．【解答】解：把x=m代入方程得：m2+m﹣1=0，即m2+m=1，则原式=m2+2m+1+m2﹣1=2（m2+m）=2．21．（5分）已知二次函数y=x2+bx+8的图象与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣2，0），求点B的坐标．【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+8的图象与x轴交于点A （﹣2，0），∴0=4﹣2b+8，∴b=6，∴二次函数解析式为y=x2+6x+8，当y=0时，x2+6x+8=0，解得x1=﹣2，x2=﹣4，∴抛物线与x轴的交点B的坐标为（﹣4，0）．22．（5分）如图，矩形ABCD为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设AB边的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为y=﹣x2+16x（不要求写自变量的取值范围）；（2）求矩形ABCD的最大面积．【解答】解：（1）y=（16﹣x）x=﹣x2+16x；（2）∵y=﹣x2+16x，∴y=﹣（x﹣8）2+64．∵0＜x＜16，∴当x=8时，y的最大值为64．答：矩形ABCD的最大面积为64平方米．23．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE=DC时，求AD的长．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠A+∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ADE=∠B，在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=5，∴AB=13，∴，∴；（2）由（1）得，设AD为x，则，∵AC=AD+CD=12，∴，解得，∴．24．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=kx﹣2交于点A（3，1）．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）直线y=kx﹣2与x轴交于点B，点P是双曲线y=上一点，过点P作直线PC∥x轴，交y轴于点C，交直线y=kx﹣2于点D．若DC=2OB，直接写出点P的坐标为P（，2）或（﹣，﹣6）．【解答】解：（1）∵直线y=kx﹣2过点A（3，1），∴1=3k﹣2．∴k=1．∴直线的解析式为y=x﹣2．∵双曲线y=过点A（3，1），∴m=3．∴双曲线的解析式为．（2）∵PC∥x轴，DC=2OB，∴==，∴CF=2OF，由直线y=x﹣2可知F（0，﹣2），∴OF=2，∴CF=4，∴C的坐标为（0，2）或（0，﹣6），∴P的纵坐标为2或﹣6，代入y=得，2=，解得x=，﹣6=，解得x=﹣，∴P（，2）或（﹣，﹣6）．故答案为P（，2）或（﹣，﹣6）．25．（5分）如图，小嘉利用测角仪测量塔高，他分别站在A、B两点测得塔顶的仰角α=45°，β=50°．AB为10米．已知小嘉的眼睛距地面的高度AC为1.5米，计算塔的高度．（参考数据：sin50°取0.8，cos50°取0.6，tan50°取1.2）【解答】解：如图，依题意，可得CD=AB=10，FG=AC=1.5，∠EFC=90°，在Rt△EFD中，∵β=50°，，∴EF=1.2FD，在Rt△EFC中，∵α=45°，∴CF=EF=1.2FD，∵CD=CF﹣FD=10，∴FD=50，∴EF=1.2FD=60，∴EG=EF+FG=60+1.5=61.5答：塔的高度为61.5米．26．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线DE，F为射线BD上一点，连接CF．（1）求证：∠CBE=∠A；（2）若⊙O的直径为5，BF=2，tanA=2，求CF的长．【解答】（1）证明：如图，连接BO并延长交⊙O于点M，连接MC，∴∠A=∠M，∠MCB=90°，∴∠M+∠MBC=90°，∵DE是⊙O的切线，∴∠CBE+∠MBC=90°，∴∠CBE=∠M，∴∠CBE=∠A；（2）解：过点C作CN⊥DE于点N，∴∠CNF=90°，由（1）得，∠M=∠CBE=∠A，∴tanM=tan∠CBE=tanA=2，在Rt△BCM中，∵BM=5，tanM=2，∴，在Rt△CNB中，∵，∴CN=4，BN=2，∵BF=2，∴FN=BF+BN=4，在Rt△FNC中，∵FN=4，CN=4， ∴．27．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，定义直线x=m 与双曲线y n =的交点A m ，n （m 、n 为正整数）为“双曲格点”，双曲线y n =在第一象限内的部分沿着竖直方向平移或以平行于x 轴的直线为对称轴进行翻折之后得到的函数图象为其“派生曲线”．（1）①“双曲格点”A 2，1的坐标为 （2，） ；②若线段A 4，3A 4，n 的长为1个单位长度，则n= 7 ；（2）图中的曲线f 是双曲线y 1=的一条“派生曲线”，且经过点A 2，3，则f 的解析式为y= +1 ；（3）画出双曲线y 3=的“派生曲线”g （g 与双曲线y 3=不重合），使其经过“双曲格点”A 2，a 、A 3，3、A 4，b ．【解答】解：（1）①把x=2代入y=得：y=，则A 的坐标是（2，）；②把x=4代入y=得y=．根据题意得：（4﹣2）2+（﹣）2=1，解得：n=7．故答案是：（2，），7；的坐标是（2，）．（2）把x=2代入y=得y=，则点A2，3设f的解析式为y=+k，把（2，）代入，得=+k，解得：k=1．则f的解析式是：；的坐标是（2，）；（3）把x=2代入y=得y=，则A2，a的坐标是（3，1）；把x=3代入y=得y=1，则A3，3的坐标是（4，）．把x=4代入y=得y=，则A4，b如图．28．（8分）（1）如图1，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC=2，BC=1，则△BCD的周长为3；（2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF 的周长等于AD的长．①在图2中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；②在图3中补全图形，求∠EOF的度数；③若，则的值为．【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于点D，∴BD=AD，∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+AC=1+2=3，故答案为：3；（2）①如图1所示：△EDF即为所求；②如图2所示：AH=DE，连接OA、OD、OH，∵点O为正方形ABCD的中心，∴OA=OD，∠AOD=90°，∠1=∠2=45°，在△ODE和△OAH中，，∴△ODE≌△OAH（SAS），∴∠DOE=∠AOH，OE=OH，∴∠EOH=90°，∵△EDF的周长等于AD的长，∴EF=HF，在△EOF和△HOF中，，∴△EOF≌△HOF（SSS），∴∠EOF=∠HOF=45°；③作OG⊥CD于G，OK⊥AD于K，如图3所示：设AF=8t，则CE=9t，设OG=m，∵O为正方形ABCD的中心，∴四边形OGDK为正方形，CG=DG=DK=KA=AB=OG，∴GE=CE﹣CG=9t﹣m，DE=2CG﹣CE=2m﹣9t，FK=AF﹣KA=8t﹣m，DF=2DK﹣AF=2m ﹣8t，由（2）②知△EOF≌△HOF，∴OE=OH，EF=FH，在Rt△EOG和Rt△HOK中，，∴Rt△EOG≌Rt△HOK（HL），∴GE=KH，∴EF=GE+FK=9t﹣m+8t﹣m=17t﹣2m，由勾股定理得：DE2+DF2=EF2，∴（2m﹣9t）2+（2m﹣8t）2=（17t﹣2m）2，整理得：（m+6t）（m﹣6t）=0，∴m=6t，∴OG=OK=6t，GE=9t﹣m=9t﹣6t=3t，FK=8t﹣m=2t，∴====．故答案为．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，定义直线y=ax+b为抛物线y=ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y=ax2+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为（3，0）；（2）若抛物线y=ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；（3）设抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF．①若特征点C为直线y=﹣4x上一点，求点D及点C的坐标；②若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是或．【解答】解：（1）∵A（0，0），B（1.3），代入：直线y=ax+b，解得：a=3，b=0，∴直线y=3x，抛物线解析式：y=3x2，∴C（3，0）．故答案为：（3，0）；（2）联立直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx，得：ax2+（b﹣a）x﹣b=0，∴（ax+b）（x﹣1）=0，解得：x=﹣，x=1，∴A（1，a+b），B（﹣，0）．点A、点B的位置如图所示；（3）①如图，∵特征点C为直线y=﹣4x上一点，∴b=﹣4a．∵抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，∴对称轴．∴点D的坐标为（2，0）．∵点F的坐标为（1，0），∴DF=1．∵特征直线y=ax+b交y轴于点E，∴点E的坐标为（0，b）．∵点C的坐标为（a，b），∴CE∥DF．∵DE∥CF，∴四边形DECF为平行四边形．∴CE=DF=1．∴a=﹣1．∴特征点C的坐标为（﹣1，4）．②由已知和已证得：C（a，b），E（0，b），F（1，0），D（﹣，0），∵＜tan∠ODE＜2，∴＜＜2，∴＜||＜2，解得：＜|2a|＜2，∴﹣1＜a＜﹣或＜a＜1，∵DE∥CF，CE∥DF，∴CE=DF，由题意可得：1+=a，（可以画出三种图象，由此得出这个结论）整理得：b=2a2﹣2a即：b=2（a﹣）2﹣当b=2（a﹣）2﹣时，当﹣1＜a＜﹣，可得．当＜a＜1时，可得﹣≤b＜0综上所述：或﹣≤b＜0．。
2015-2016年北京市房山区九年级(上)期末数学试卷和解析答案
2015-2016学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意地．1．（3分）﹣3地倒数是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．2．（3分）已知⊙O地半径是4，OP=3，则点P与⊙O地位置关系是（）A．点P在圆上B．点P在圆内C．点P在圆外D．不能确定3．（3分）抛物线y=2（x﹣1）2+3地顶点坐标为（）A．（2，1） B．（2，﹣1）C．（﹣1，3）D．（1，3）4．（3分）若3a=2b，则地值为（）A．B．C．D．5．（3分），则（﹣xy）2地值为（）A．﹣6 B．9 C．6 D．﹣96．（3分）将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新地抛物线，则新抛物线地表达式是（）A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x﹣2）2﹣3 D．y=5（x+2）2﹣37．（3分）如图所示，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，∠1=80°，则∠2地度数为（）A．20°B．40°C．50°D．60°8．（3分）如图，AB是⊙O地直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB=65°，则∠AOC等于（）A．25°B．30°C．50°D．65°9．（3分）如图，在边长为1地小正方形组成地网格中，△ABC地三个顶点均在格点上，则tan∠ABC地值为（）A．1 B．C．D．10．（3分）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径地半圆上地动点（点C不与点A，B重合），AB=4．设弦AC地长为x，△ABC地面积为y，则下列图象中，能表示y与x地函数关系地图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（本题共16分，每小题3分）11．（3分）如果代数式有意义，那么实数x地取值范围为．12．（3分）反比例函数地图象经过点P（﹣1，2），则此反比例函数地解析式为．13．（3分）分解因式：ax2﹣4a=．14．（3分）活动楼梯如图所示，∠B=90°，斜坡AC地坡度为1：1，斜坡AC地坡面长度为8m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升地高度BC为．15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F 分别是边AD，AB地中点，EF交AC于点H，则地值为．16．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象经过A（0，3），B（2，3）两点．请你写出一组满足条件地a，b地对应值．a=，b=．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：+2sin60°﹣|﹣|﹣（﹣2015）0．18．（5分）求不等式组地整数解．19．（5分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．（1）求证：△BCD∽△ACB；（2）如果BC=，AC=3，求CD地长．20．（5分）在一个不透明地箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球地概率是多少？（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表地方法表示出所有可能出现地结果，并求两次取出地都是白色球地概率．21．（5分）下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x地一些对应值：（1）根据表格中地数据，确定b，c，n地值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y地最大值．22．（5分）如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，AC=，求AB地长．23．（5分）如图，在边长为1个单位长度地小正方形组成地网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线地交点）．（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′，并求BA边旋转到BA′位置时所扫过图形地面积；（2）请在网格中画出一个格点△A″B″C″，使△A″B″C″∽△ABC，且相似比不为1．24．（5分）如果关于x地函数y=ax2+（a+2）x+a+1地图象与x轴只有一个公共点，求实数a地值．25．（5分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b地图象和反比例函数y=地图象地两个交点，直线AB与y轴交于点C．（1）求反比例函数和一次函数地关系式；（2）求△AOC地面积；（3）求不等式kx+b﹣＜0地解集．（直接写出答案）26．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P与y轴相切于点C，⊙P地半径是4，直线y=x被⊙P截得地弦AB地长为，求点P地坐标．27．（7分）已知关于x地一元二次方程x2+2x+=0有实数根，k为正整数．（1）求k地值；（2）当此方程有两个非零地整数根时，将关于x地二次函数y=x2+2x+地图象向下平移9个单位，求平移后地图象地表达式；（3）在（2）地条件下，平移后地二次函数地图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），直线y=kx+b（k＞0）过点B，且与抛物线地另一个交点为C，直线BC上方地抛物线与线段BC组成新地图象，当此新图象地最小值大于﹣5时，求k地取值范围．28．（7分）在矩形ABCD中，边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上地点P处（如图1）．（1）如图2，设折痕与边BC交于点O，连接，OP、OA．已知△OCP与△PDA 地面积比为1：4，求边AB地长；（2）动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB地延长线上，且BN=PM，连接MN、CA，交于点F，过点M作ME⊥BP于点E．①在图1中画出图形；②在△OCP与△PDA地面积比为1：4不变地情况下，试问动点M、N在移动地过程中，线段EF地长度是否发生变化？请你说明理由．29．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．直线y=kx+b与抛物线y=mx2﹣x+n同时经过A（0，3）、B（4，0）．（1）求m，n地值．（2）点M是二次函数图象上一点，（点M在AB下方），过M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于点Q．求MN地最大值．（3）在（2）地条件下，是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N点坐标，不存在，说明理由．2015-2016学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意地．1．（3分）﹣3地倒数是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．【解答】解：﹣3地倒数是﹣．故选：C．2．（3分）已知⊙O地半径是4，OP=3，则点P与⊙O地位置关系是（）A．点P在圆上B．点P在圆内C．点P在圆外D．不能确定【解答】解：∵OP=3＜4，故点P与⊙O地位置关系是点在圆内．故选B．3．（3分）抛物线y=2（x﹣1）2+3地顶点坐标为（）A．（2，1） B．（2，﹣1）C．（﹣1，3）D．（1，3）【解答】解：y=2（x﹣1）2+3地顶点坐标为（1，3）．故选D．4．（3分）若3a=2b，则地值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵3a=2b，∴=，设a=2k，则b=3k，则==﹣．故选A．5．（3分），则（﹣xy）2地值为（）A．﹣6 B．9 C．6 D．﹣9【解答】解：∵+|y+3|2=0，∴x=1，y=﹣3，∴（﹣xy）2=[﹣1×（﹣3）]2=9．故选：B．6．（3分）将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新地抛物线，则新抛物线地表达式是（）A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3 C．y=5（x﹣2）2﹣3 D．y=5（x+2）2﹣3【解答】解：抛物线y=5x2地顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到对应点地坐标为（﹣2，3），所以新抛物线地表达式是y=5（x+2）2+3．故选A．7．（3分）如图所示，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，∠1=80°，则∠2地度数为（）A．20°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵EF平分∠CEG，∴∠CEG=2∠CEF又∵AB∥CD，∴∠2=∠CEF=（180°﹣∠1）÷2=50°，故选C．8．（3分）如图，AB是⊙O地直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB=65°，则∠AOC等于（）A．25°B．30°C．50°D．65°【解答】解：∵CD⊥AB，∠DAB=65°，∴∠D=90°﹣∠DAB=25°，∴∠AOC=2∠D=50°．故选C．9．（3分）如图，在边长为1地小正方形组成地网格中，△ABC地三个顶点均在格点上，则tan∠ABC地值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：在Rt△ABD中，BD=4，AD=3，∴tan∠ABC==，故选：D．10．（3分）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径地半圆上地动点（点C不与点A，B重合），AB=4．设弦AC地长为x，△ABC地面积为y，则下列图象中，能表示y与x地函数关系地图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：∵AB=4，AC=x，∴BC==，=BC•AC=x，∴S△ABC∵此函数不是二次函数，也不是一次函数，∴排除A、C，∵AB为定值，当OC⊥AB时，△ABC面积最大，此时AC=2，即x=2时，y最大，故排除D，选B．故答案为：B．二、填空题（本题共16分，每小题3分）11．（3分）如果代数式有意义，那么实数x地取值范围为x≥3．【解答】解：由题意得，x﹣3≥0，解得，x≥3，故答案为：x≥3．12．（3分）反比例函数地图象经过点P（﹣1，2），则此反比例函数地解析式为y=﹣．【解答】解：设y=，∵图象经过点P（﹣1，2），∴2=，解得：k=﹣2，∴y关于x地解析式为y=﹣，故答案为：y=﹣．13．（3分）分解因式：ax2﹣4a=a（x+2）（x﹣2）．【解答】解：ax2﹣4a，=a（x2﹣4），=a（x+2）（x﹣2）．14．（3分）活动楼梯如图所示，∠B=90°，斜坡AC地坡度为1：1，斜坡AC地坡面长度为8m，则走这个活动楼梯从A点到C点上升地高度BC为m．【解答】解：如图．AC=8米，BC：AB=1：1．设BC=x米，则AB=x米．在Rt△ABC中，AC2=BC2+AB2，即x2+x2=82，解得x=4，即BC=4米．故上升高度是4米．故答案为：4．15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB地中点，EF交AC于点H，则地值为．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵点E，F分别是边AD，AB地中点，∴EF∥BD，∴△AFH∽△ABO，∴AH：AO=AF：AB，∴AH=AO，∴AH=AC，∴=．故答案为：．16．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）地图象经过A（0，3），B（2，3）两点．请你写出一组满足条件地a，b地对应值．a=1，b=﹣2．【解答】解：把A（0，3），B（2，3）两点代入y=ax2+bx+c中，得c=3，4a+2b+c=3，所以b=﹣2a，由此可设a=1，b=﹣2，故答案为1，﹣2．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：+2sin60°﹣|﹣|﹣（﹣2015）0．【解答】解：原式=﹣2+2×﹣﹣1=﹣3．18．（5分）求不等式组地整数解．【解答】解：由①得；（2分）由②得x＜2．（3分）∴此不等式组地解集为．（4分）∴此不等式组地整数解为0，1．（5分）19．（5分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．（1）求证：△BCD∽△ACB；（2）如果BC=，AC=3，求CD地长．【解答】（1）证明：∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB；（2）解：∵△BCD∽△ACB，∴=，∴=，∴CD=2．20．（5分）在一个不透明地箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球地概率是多少？（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表地方法表示出所有可能出现地结果，并求两次取出地都是白色球地概率．【解答】解：（1）∵在一个不透明地箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，∴随机地从箱子里取出1个球，则取出黄球地概率是：；（2）画树状图得：由树形图可知所有可能地情况有9种，其中两次取出地都是白色球有1种，所以两次取出地都是白色球地概率=．21．（5分）下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x地一些对应值：（1）根据表格中地数据，确定b，c，n地值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y地最大值．【解答】解：（1）根据表格数据可得，解得，∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y地最大值是5．22．（5分）如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，AC=，求AB地长．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=45°，在△ADC中，AC=，∵sinA=，∴AD=sin45°×3=3=CD，在△BDC中，∠DCB=30°，∵ctgB=∴BD=cot60°×3=，∴AB=，23．（5分）如图，在边长为1个单位长度地小正方形组成地网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线地交点）．（1）将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′，请画出△A′BC′，并求BA边旋转到BA′位置时所扫过图形地面积；（2）请在网格中画出一个格点△A″B″C″，使△A″B″C″∽△ABC，且相似比不为1．【解答】解；（1）如图所示：△A′BC′即为所求，∵AB==，∴BA边旋转到BA″位置时所扫过图形地面积为：=；（2）如图所示：△A″B″C″∽△ABC，且相似比为2．24．（5分）如果关于x地函数y=ax2+（a+2）x+a+1地图象与x轴只有一个公共点，求实数a地值．【解答】解：当a=0时，函数解析式化为y=2x+1，此一次函数与x轴只有一个公共点；当a≠0时，函数y=ax2+（a+2）x+a+1为二次函数，当△=（a+2）2﹣4a（a+1）=0时，它地图象与x轴只有一个公共点，整理得3a2﹣4=0，解得a=±，综上所述，实数a地值为0或±．25．（5分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b地图象和反比例函数y=地图象地两个交点，直线AB与y轴交于点C．（1）求反比例函数和一次函数地关系式；（2）求△AOC地面积；（3）求不等式kx+b﹣＜0地解集．（直接写出答案）【解答】解：（1）∵B（1，4）在反比例函数y=上，∴m=4，又∵A（n，﹣2）在反比例函数y=地图象上，∴n=﹣2，又∵A（﹣2，﹣2），B（1，4）是一次函数y=kx+b地上地点，联立方程组解得，k=2，b=2，∴，y=2x+2；（2）过点A作AD⊥CD，∵一次函数y=kx+b地图象和反比例函数y=地图象地两个交点为A，B，联立方程组解得，A（﹣2，﹣2），B（1，4），C（0，2），∴AD=2，CO=2，∴△AOC地面积为：S=AD•CO=×2×2=2；（3）由图象知：当0＜x＜1和﹣2＜x＜0时函数y=地图象在一次函数y=kx+b 图象地上方，∴不等式kx+b﹣＜0地解集为：0＜x＜1或x＜﹣2．26．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P与y轴相切于点C，⊙P地半径是4，直线y=x被⊙P截得地弦AB地长为，求点P地坐标．【解答】解：过点P作PH⊥AB于H，PD⊥x轴于D，交直线y=x于E，连结PA，∵⊙P与y轴相切于点C，∴PC⊥y轴，∴P点地横坐标为4，∴E点坐标为（4，4），∴△EOD和△PEH都是等腰直角三角形，∵PH⊥AB，∴AH=AB=2，在△PAH中，PH===2，∴PE=PH=2，∴PD=4+2，∴P点坐标为（4，4+2）．27．（7分）已知关于x地一元二次方程x2+2x+=0有实数根，k为正整数．（1）求k地值；（2）当此方程有两个非零地整数根时，将关于x地二次函数y=x2+2x+地图象向下平移9个单位，求平移后地图象地表达式；（3）在（2）地条件下，平移后地二次函数地图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），直线y=kx+b（k＞0）过点B，且与抛物线地另一个交点为C，直线BC上方地抛物线与线段BC组成新地图象，当此新图象地最小值大于﹣5时，求k地取值范围．【解答】解：（1）∵关于x地一元二次方程x2+2x+=0有实数根，∴△=b2﹣4ac=4﹣4×≥0，∴k﹣1≤2，∴k≤3，∵k为正整数，∴k地值是1，2，3；（2）∵方程有两个非零地整数根，当k=1时，x2+2x=0，不合题意，舍去，当k=2时，x2+2x+=0，方程地根不是整数，不合题意，舍去，当k=3时，x2+2x+1=0，解得：x1=x2=﹣1，符合题意，∴k=3，∴y=x2+2x+1，∴平移后地图象地表达式y=x2+2x+1﹣9=x2+2x﹣8；（3）令y=0，x2+2x﹣8=0，∴x1=﹣4，x2=2，∵与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），∴A（﹣4，0），B（2，0），∵直线l：y=kx+b（k＞0）经过点B，∴函数新图象如图所示，当点C在抛物线对称轴左侧时，新函数地最小值有可能大于﹣5，令y=﹣5，即x2+2x﹣8=﹣5，解得：x1=﹣3，x2=1，（不合题意，舍去），∴抛物线经过点（﹣3，﹣5），当直线y=kx+b（k＞0）经过点（﹣3，﹣5），（2，0）时，可求得k=1，由图象可知，当0＜k＜1时新函数地最小值大于﹣5．28．（7分）在矩形ABCD中，边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上地点P处（如图1）．（1）如图2，设折痕与边BC交于点O，连接，OP、OA．已知△OCP与△PDA 地面积比为1：4，求边AB地长；（2）动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB地延长线上，且BN=PM，连接MN、CA，交于点F，过点M作ME⊥BP于点E．①在图1中画出图形；②在△OCP与△PDA地面积比为1：4不变地情况下，试问动点M、N在移动地过程中，线段EF地长度是否发生变化？请你说明理由．【解答】解：（1）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA，∵△OCP与△PDA地面积比为1：4，∴===，∴CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，∴AB=AP=2OP=10，∴边AB地长为10；（2）①作图如下：；②作MQ∥AN，交PB于点Q，如图1．∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．在△MFQ和△NFB中，，∴△MFQ≌△NFB．∴QF=BF．∴QF=QB．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．由（1）中地结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°．∴PB==4．∴EF=PB=2．∴当点M、N在移动过程中，线段EF地长度不变，长度为2．29．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．直线y=kx+b与抛物线y=mx2﹣x+n同时经过A（0，3）、B（4，0）．（1）求m，n地值．（2）点M是二次函数图象上一点，（点M在AB下方），过M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于点Q．求MN地最大值．（3）在（2）地条件下，是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N点坐标，不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y=mx2﹣x+n经过A（0，3）、B（4，0），∴，解得．∴二次函数地表达式为y=x2﹣x+3．（2）∵直线y=kx+b经过A（0，3）、B（4，0），则，解得．∴经过AB两点地一次函数地解析式为y=﹣x+3．MN=﹣x+3﹣（x2﹣x+3）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∵0≤x≤4，∴当x=2时，MN取得最大值为4．（3）存在．①当ON⊥AB时，（如图1）可证：∠NOQ=∠OAB，∠OQN=∠AOB=90°，∴△AOB∽△OQN．∴==，∴OA=3，OB=4，∴AB=5，∵ON•AB=OA•OB，∴ON=，∴NQ=，OQ=．②当N为AB中点时，（如图2）∠NOQ=∠B，∠AOB=∠NQO=90°，∴△AOB∽∽△NQO．此时N（2，）．∴满足条件地N（，）或N（2，）．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。
北京市西城区2015-2016年九年级上期末数学试题含答案解析
B． y (60 x)(300 20x)
C． y 300(60 20x)
D． y (60 x)(300 20x)
【考点】二次函数的概念及表示方法 【试题解析】 y=(60-x)(300+20x), 选B
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北京市西城区 2015— 2016 学年度第一学期期末试卷
九年级数学
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．二次函数 y x 52 7 的最小值是
A． 7
B．7
【考点】二次函数的图像及其性质
C． 5
D．5
【试题解析】
当 x=5时，二次函数取最小值，最小值是 7，所以选 B
B．60°
C．90°
D．120°
【考点】弧长计算
【试题解析】
设圆心角为 x，根据题意得：
解得：x=120°
选D
【答案】D
6．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为( 1 ，2)，
AB⊥x 轴于点 B．以原点 O 为位似中心，将△OA ，1 且点 A 1在第二象限，则点 A 1 的坐标为
A．( 2 ，4)
B．( 1 ，1) 2
C．(2， 4 )
D．(2，4)
【考点】位似图形
【试题解析】
位似比是 2，所以(-1,2)，横坐标和纵坐标都扩大 2 倍，所以点的坐标为(-2,4)
选A
【答案】A
7．如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 37°方向，距离
灯塔 40 海里的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后，
【答案】B
2．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则 cosA 的值为
2015-2016学年北京市门头沟区初一年级第二学期期末数学试卷(含答案)
门头沟区2015~2016学年度第二学期期末调研试卷七年级数学考生须知1 .本试卷共6页，共九道大题，满分120分。
考试时间120分钟。
2 .请在试卷和答题卡密封线内准确填写学校、姓名、班级、考场和座位号。
3.除画图可以用铅笔外，其它试题必须用黑色字迹签字笔作答，作答在答题卡上。
、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1. 每到春夏，北京鲜花烂漫，空气中弥漫着各种花粉，有一种花粉的直径是将0.000035用科学记数法表示应为（）.A. 3.5 104B. 0.35 10%. 35 10』D. 3.5 10*2. 不等式x乞2的解集在数轴上表示为（）.B.-10 12 3C.3. 下列计算中，正确的是（1A. 2 x-y =6yB. x 2y=5C.x 2y=9D. 3x-4y=16 40.000035 米,-10 12 3 -10 12 3-1 0 12 2A . 4a -2a = 23 6 9C . a a a4.如图，直线a, b被直线c所截, a // b,2、3 5B . (a ) a2 2D . (3a)二6a/ 2= / 3,若/ 1=80 ° 则/A . 20 ° . 40 °C. 60 °D . 80 °5.如果方程x-y=3与下面方程中的一个组成的方程组的解为x = 4，那么这个方程可以是（6.下列计算中，正确的是( ).523_JC . -‘a i ： j a aD . j 3 37.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是()2A . 3(a b) = 3a 3bB . x 6x 9 二 x(x 6) 9C . a -2=(a 2)(a-2)D . ax-ay=a(x-y)8.下列调查中，调查方式选择合理的是().A. 为了了解某一品牌家具的甲醛含量，选择全面调查；B. 为了了解神州飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查；C. 为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查；D. 为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查 9.为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者 对居住在该小区的 50名成年人一周的体育锻炼时间进行 了统计，并绘制成如图所示的条形统计图•这组数据的众 数和中位数分别是( )•A. 6，4B. 6, 6C. 4，4D. 4，610. 不等式 a -2 x > a -2的解集是x > 1，贝U a 的取值范围是()A. a > 1B. a v 1C. a >2D.a v 2二、填空题(本题共 30分，每小题3分) 1. 若a vb ,用“v”或“〉”填空：(1) a-1 ___ b-1; (5) —a _______ —学； (6) 5a + 2 ______ b +2.2. 计算：-2016 =.3. 如果一个角的余角是 30 ° ,那么这个角的补角是度.3 d 2 5A . 2a -a2a B .-b4. 已知x =1,y = -8是方程3mx - y = T的解，贝U m的值为.5. 如图，直线AB,CD相交于点O,EO丄AB,垂足为O.若/EOD =20 °, /则/ COB 的度数为度.6.时间（小时）5 6 7 8 人数1015205则这名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是小时.7.如图，在厶ABC 中，点D , E 分别在边 AB , AC 上，要使DE // BC , 你认为应该添加的一个条件是.8•《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于一千五百年 前，共三卷，卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法，记 有许多有趣的问题•其中记载：“今有木，不知长短，弓I 绳度之，余绳四尺无寸；屈绳量之，不足一尺 •木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木， 绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再 量长木，长木还剩余 1尺•问木长多少尺？”9.平行线在生活中应用很广泛，人们为了准确的画出平行线，往往利用三角尺和直尺按照 F 面的方法去做:第一步：作直线 AB ,并用三角尺的一条边贴住直线 AB ;第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边； 第三步：沿直尺下移三角尺； 第四步：沿三角尺的边作出直线 CD.这样，就得到AB // CD. 这样做的理论依据是.10.在学习乘法公式的时候，我们可以通过图形解释加深对公式的理解，下面这个图形可 以解释的乘法公式是三、计算、化简、求值（本题共11分，1-2题每小题3分，3题5分）设木长x 尺、绳子长y 尺，可列方程组为.BD2 21. 8a b -4ab i ■-1：4ab22. x 5 2x-3 ;-2x x -2x 33. x -1 -：；：x 2 x - 2 i亠［X -4 x 5，其中x2 - x -5 = 0 .四、分解因式（本题共11分，1小题3分，2-3每小题4分）21. -3a x 6axy -3a2 , 2 22. 16x 7x 43. 请你写出一个二项式，再把它分解因式.（要求：二项式中每一项都含有字母a和b，系数、次数不限，并能先用提公因式法再用公式法分解）五、解不等式（组）、解方程组，并解决相应问题（本题共14分，1-2每小题4分，3小x+2 1 -2x _ -42.解不等式组<3+5x 并把它的所有整数解在数轴上表示出来------- :>x _1 L 23. 已知：当x=-3和x=2时，代数式kx+b 的值分别是-4和11. (1) 求k 和b 的值;1kx+b 的值比一(kx-b )的值小?2六、解答题(本题共 5分)已知：如图，AB // DC , AC 和BD 相交于点 0, 一点，F 是0D 上一点，且/ 1= / A . (1) 求证：FE // 0C ;(2) 若/ BFE=70° 求/ D0C 的度数.题6 分)1.解方程组2x - 3y = 3 3x -2y =7(2)当x 取何值时，代数式七、解答题（本题5分）在数学学科实践活动中，老师和同学们设计了一系列调查问题供同学们选择，其中张佳怡同学的第二小组选择了问题 1 :调查初一同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况为了解决问题1,小组同学设计了如下调查问卷:在初一各班选择了部分学生进行了调查，然后对收集上来的数据进行整理，绘制了如下条形图:息绘制扇形图•(2)通过分析扇形图，请你评价一下学生对电视节目的喜爱情况八、列方程组解应用题(本题 5分)门头沟作为绿色生态涵养区，不仅空气清新，而且盛产特色水果，妙峰山的樱桃、军 庄的京白梨、太子墓的苹果、陇家庄的盖柿……，每到水果成熟的时候，前来采摘的游客 络绎不绝，成为了京西一道亮丽风景•端午节期间，苗苗一家去妙峰山采摘樱桃，一号品 种樱桃采摘价格为 80元/千克，二号品种樱桃采摘价格为60元/千克.若苗苗一家采摘两种樱桃共8千克，共消费580元，那么他们采摘两种樱桃各多少千克？九、探究题(本题共9分)在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若AB //CD，点P在AB、CD内部，探究/ B，/ D，/ BPD的关系.小明只完成了( 1)的部分证明，请你根据学习《观察猜想与证明》的学习经验继续完成( 1)的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成(2) - (3).(1)过点P 作PE// AB.•/ PE// AB, AB // CD•••// ( )•• / D=( )又••• PE // AB•••/ B= / BPE•••/ BPD=.(2)如图2，若AB // CD,点P在AB、CD外部，/ B，/ D，/ BPD的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由/ B、/ D、/ BQD之间有何数量关系？（直接写出结果）(3)如图3，将直线AB绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q,则/ BPD、门头沟区2015~2016学年度第二学期期末调研七年级数学评分参考题号12345678910答案D B C B A A D C B C题号12345答案<,>,< 1120-3110题号678910答案 6.4答案不唯一'y = x + 4.5廿y = x —11.2同位角相等，两直线平行(a +b X a_b )= a2 _b2图1/ B、/ D、/ BQD之间有何数量关系？（直接写出结果）2 21. 8a b -4ab 广［4ab解：=-2 a b .............................................................................................................................. 3 分22. x 5 2x -3 -2x x -2x 3解:=2x2 -3x 10x -15 -2x3 4x2 -6x (2)分=-2x3 6x2 x -15 ................................................................................................... 3 分2 23. x -1 - x 2 x -2 x -4 x 5，其中x2 -x-5 = 0.2 2 2解：=x -2x 1 -x 4 x x -20................................................................................. 3分2=x -x -15 ............................................................................................................ 4 分x2 _ x _ 5 = 0原式=-10 ....................................................................................... 5分四、分解因式（本题共11分，1小题3分，2-3每小题4分）21. -3a x 6axy -3a解：=-3a ax - 2xy 1 .......................................................................... 3 分2 工2 22. 16x - x 4解:=4x x 4 4x-x -4 ..................................................................................... 2分2 »2=-(x+2)(x-2)...................................................................................... 5 分3. .............................................................................................................. 写对2分分解正确 ............................................ 4分五、解不等式（组）、解方程组，并解决相应问题（本题共14分，1-2每小题4分，3小题6分）f x = 31. 解：\y =1说明：正确求出第一个未知数2分，再求出第二个未知数至此3分，正确写出方程组的解至此4分.52. 解：-一V x -23说明：每解对一个不等式1分，写对不等式组的解集至此3分，数轴正确至此4分.3. （1）k-=1, b=9说明：代入正确1分，每正确求出一个值1分，此问共3分.（2）X V -27说明：正确列出不等式1分，正确解出不等式的解集至此3分，此问共3分.六、解答题（本题共5分）（1）证明:•/ AB// CD•••/ A= / C （两直线平行，内错角相等） ................................... 1分又•••/仁/ A•••/ C = / 1 ............................................................ 2 分• FE // 0C.（同位角相等，两直线平行）................. 3分（2）解:•/ FE // 0C•••/ BFE+ / DOC =180° （两直线平行，同旁内角互补）.................. 4分又••• / BFE=70°•••/ DOC =110°........................................................................... 3 分七、解答题（本题5分）（1）绘制扇形图正确 ...................................... 4分（2）有思考能阐述清楚 ................................ 5分八、列方程组解应用题（本题5分）解:设一号品种x千克，二号品种y千克，根据题意得x y=880x 60y =580—lx=5解得[y =3答：一号品种5千克，二号品种3千克..... .......................... 5分九、探究题（本题共9分）（1）PE // CD （平行于同一条直线的两条直线平行）...................................... 1分/ D = Z DPE（两直线平行内错角相等）................................................. 2分/ BPD= / B+Z D . ................................................................................... 3 分（2）............................................................. 发生变化，应是Z BPD= Z B-Z D . ........................................................................................................... 4分证明：过点P作MN // CD•/ AB/ CD••• AB // MN .（平行于同一条直线的两条直线平行）.................. 5分•/ MN // CD, AB // MN•Z B=Z BPN, Z D=Z DPN ................................................ 6 分•Z BPD= Z B-Z D . ............................................................... 7 分（3）Z BPD= Z B+ Z D+ Z BQD ......................................... 9 分说明：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分；考虑学生解题 方法不同，以上部分试题只给出了评分参考 .MP图2N。
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九年级数学试卷第页（共8页） 1 AB
CD
620
84绿色红色黄色
门头沟区2015~2016学年度第一学期期末调研试卷 九年级数学
考生须知
1．本试卷共8页，共五道大题，29道小题，满分120分，考试时间120分钟； 2．在试卷和答题卡的密封线内准确填写学校名称、班级和姓名； 3．试题答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效； 4．在答题卡上，作图题可用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答； 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共30分，每小题3分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．
1.如果45ab（ab≠0），那么下列比例式变形正确的是 A．54ab B．45ab C．45ab D．45ba 2．在Rt△ABC中，如果∠C=90°，AB=10，BC=8，那么cosB的值是 A．54B．53C．35D．45 3.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为8，那么点P与⊙O的位置关系是 A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定 4.小明的妈妈让他在无法看到袋子里糖果的情形下从袋子里抽出一颗糖果. 袋子里有三 种颜色的糖果，它们的大小、形状、质量等都相同， 其中所有糖果的数量统计如图所示. 小明抽到红色 糖果的概率为 A．518B．13 C．215D．115
5．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，如果∠DBC= ∠A，BC=6， 九年级数学试卷第页（共8页） 2 DAOB
C
xyOABCD
CDBOA
AC=3，那么CD的长为 A．1 B．32 C．2 D．52
6. 将抛物线y=5x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，那 么新抛物线的表达式是
A．2523yxB．2523yx
C．2523yxD．25+23yx 7. 已知点A（1，m）与点B（3，n）都在反比例函数2yx的图象上，那么m与n之间的关系是 A．m＞nB．m＜nC．m≥nD．m≤n 8. 如图，点A（6，3）、B（6，0）在直角坐标系内．以原点O为位似中心，相似比为13， 在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD， 那么点C的坐标为 A．（3，1）B．（2，0） C．（3，3）D．（2，1）
9．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°， 那么∠AOD等于 A．160°B．150° C．140°D．120°
10. 如图，点C是以点O为圆心、AB为直径的半圆上的一个动点（点C不与点A、B 重合），如果AB=4，过点C作CD⊥AB于D，设弦AC 九年级数学试卷第页（共8页） 3
2mABCO
BAODC
E
的长为x，线段CD的长为y，那么在下列图象中， 能表示y与x函数关系的图象大致是
xOxy2124x21
24O
y2124Oxy2124Oy
A B C D 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个相似三角形的面积比是． 12．颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是米． 13．图1中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图2是旋转门的俯视图， 显示了某一时刻旋转翼的位置，
根据图2中的数据，可知AB的 长是_________m． 14．写出一个图象位于二、四象限的反比例函数的表达式，y=． 15．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用数学语言可以表述为：“如图，CD为⊙O 的直径，弦ABCD于E，如果CE=1， AB=10，那么直径CD的长为.” 16．学习了反比例函数的相关内容后，张老师请同学们讨论这样的一个问题：“已知反比例函数2yx，当x＞1时，求y的取值范围？”同学们经过片刻的思考和交流后，
图1 图2 九年级数学试卷第页（共8页） 4 1O
y
xA1
DCBACBA
小明同学举手回答说：“反比例函数2yx的图象位于第四象限，因此y的取值范围是y＜0．” 你认为小明的回答是否正确：_________________________， 你的理由是：_________________________________________________________．
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．计算：sin30cos45tan6013.
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高． （1）求证：△ABC∽△CBD； （2）如果AC = 4，BC = 3，求BD的长．
19．已知二次函数y=x2－6x+5. （1）将y=x2－6x+5化成y=a (x－h)2+k的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=1，AC=5. （1）以点B为旋转中心，将△ABC沿逆时针方向旋转90° 得到△A′BC′，请画出变换后的图形； （2）求点A和点A′之间的距离．
21．在平面直角坐标系xOy中，一次函数2yx的图象与反比例函数kyx的图象的一个交点为A(－1，n)． （1）求反比例函数kyx的表达式； 九年级数学试卷第页（共8页） 5 x
y
O
BDCA
BAEFDC
（2）如果P是坐标轴上一点，且满足PA= OA， 请直接写出点P的坐标．
22．“永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们在A点测得顶端D的 仰角∠DAC =30°，向前走了46米到达B点后， 在B点测得顶端D的仰角∠DBC = 45°． 求永定楼的高度CD．（结果保留根号）
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．已知二次函数y = mx2－(m+2) x+2（m ≠ 0）． （1）求证：此二次函数的图象与x轴总有交点； （2）如果此二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标都是整数，求正整数m的值．
24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点C作CE∥AD交AB于E，连接AC、DE， AC与DE交于点F． （1）求证：四边形AECD为平行四边形；
（2）如果EF=22，∠FCD =30°，∠FDC =45°， 求DC的长．
25．已知二次函数1y=x2+ 2x+m－5． （1）如果该二次函数的图象与x轴有两个交点， 求m的取值范围； 九年级数学试卷第页（共8页） 6
DFOCBA
（2）如果该二次函数的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标 为（1，0），求它的表达式和点C的坐标； （3）如果一次函数2y=px+q的图象经过点A、C， 请根据图象直接写出2y＜1y时，x的取值范围．
26．如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分∠CBF，过点A作ADBF于D． （1）求证：DA为⊙O的切线； （2）如果BD=1，tan∠BAD=12，求⊙O的直径．
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题8分，第29题7分） 27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线212cyxxb经过点A（0，2）和B（1，32）． （1）求该抛物线的表达式； （2）已知点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，点D在抛物线上，且点D的横坐 九年级数学试卷第页（共8页） 7
xOy标为4，求点C与点D的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线在点A，D之间的部分（含点A，D）记为图象G， 如果图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．
28．
在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：
如果0'0yxyyx≥＜，那么称点Q为点P的“关联点”． 例如：点（5，6）的“关联点”为点（5，6），点（－5，6）的“关联点” 为点（－5，－6）．