解绝对值不等式
不等式的解法 绝对值不等式
不等式的解法绝对值不等式绝对值不等式。
在不等式应用中。
经常涉及质量。
面积。
体积等。
也涉及某些数学对象的大小或绝对值。
它们都是通过非负数来度量的。
公式：||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|。
中文名,绝对值不等式。
不等式的解法表达式, ||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|。
应用学科,数学。
性质。
不等式的解法|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。
两个重要性质：1.|ab| = |a||b||a/b| = |a|/|b| 2.|a||a|||a| - |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|。
当且仅当ab≤0 时左边等号成立。
ab≥0 时右边等号成立。
另外有：|a-b| ≤ |a|+|-b| = |a|+|-1|*|b| = |a|+|b|| |a|-|b| | ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|。
几何意义。
1.当a。
b同号时它们位于原点的同一边。
此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。
2.当a。
b异号时它们分别位于原点的两边。
此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。
相关公式。
绝对值重要不等式推导过程我们知道|x|={x。
;x。
;-x。
-a|≤|b+a|+|-a| => |a|-|b|≥-|a+b|.......⑦|a|=|+b|≤|a-b|+|b| => |a|-|b|≤|a-b|.......⑧|b|=|+a|≤|b-a|+|a| => |a|-|b|≥-|a-b|.......⑨由⑥。
⑦得：| |a|-|b| |≤|a+b|......⑩由⑧。
⑨得：| |a|-|b| |≤|a-b|......⑪综合④⑤⑩⑪得到有关绝对值的重要不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|要注意等号成立的条件。
即：|a-b|=|a|+|b|→ab≤0|a|-|b|=|a+b|→b≤0|a|-|b|=|a-b|→b≥0注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|-b|=|a+b|+|b|→b≤0同理可得|a|-|b|=|a-b|→b≥0另→指可双向推出解法解决与绝对值有关的问题。
绝对值不等式的解法
也就是结论的矛盾方面都成立，都可转化为最值问题，即f(x)
＜a恒成立⇔f(x)max＜a，f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a.
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【变式3】 把本例中的“＞”改成“＜”．即|x＋2|－|x＋3| ＜m时，分别求出m的范围． 解 －1≤|x＋2|－|x＋3|≤1 (1)若不等式有解，则m＞－1；
为分界点，将数轴分为几个区间的目的是为了确定各个绝对
值符号内多项式取值的正负性，进而去掉绝对值符号；
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③通过构成函数，利用函数的图象，体现了函数与方程的思 想，从中可以发现，正确求出函数的零点并画出函数图象(有 时需要考察函数的单调性)是解题的关键．
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(
)．
答案 C
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4．不等式 2＜|2x＋3|≤4 的解集为________．
答案
7 5 1 1 x|－ ≤x＜－ 或－ ＜x≤ 2 2 2 2
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题型一 简单的绝对值不等式的解法 【例 1】 解下列不等式： (1)1＜|x－2|≤3； (2)|2x＋5|＞7＋x； 1 1 (3) 2 ≤ . x －2 |x|
所以|2x＋1|－|x－4|＞2
5 的解集为(－∞，－7)∪3，＋∞.
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规律方法 对含有多个绝对值符号的不等式的解法通常用分段 讨论法，去掉绝对值符号，将不等式化为整式不等式求解， 去掉绝对值符号的依据是绝对值的定义，找到分界点(即零值
含绝对值的不等式及其解法
含绝对值的不等式及其解法绝对值不等式及其解法。
绝对值不等式是指不等式中含有绝对值的表达式，常见形式为|ax + b| < c 或 |ax + b| > c。
解决这类不等式需要一些特殊的技巧和方法。
首先，我们来看 |ax + b| < c 的不等式。
要解决这个不等式，我们可以将其分解为两个不等式，即 ax + b < c 和 ax + b > -c。
然后分别解这两个不等式，得到的解集合的交集就是原不等式的解集合。
举个例子，假设我们要解决 |3x 2| < 7 的不等式。
首先将其分解为两个不等式，3x 2 < 7 和 3x 2 > -7。
然后分别解这两个不等式，得到 x < 3 和 x > -1。
因此原不等式的解集合为 -1 < x < 3。
接下来，我们来看 |ax + b| > c 的不等式。
对于这种不等式，我们同样可以将其分解为两个不等式，即 ax + b > c 或 ax + b < -c。
然后分别解这两个不等式，得到的解集合的并集就是原不等式的解集合。
举个例子，假设我们要解决 |2x 5| > 3 的不等式。
同样将其分解为两个不等式，2x 5 > 3 和 2x 5 < -3。
然后分别解这两个不等式，得到 x > 4 和 x < 1。
因此原不等式的解集合为 x < 1 或x > 4。
在解决绝对值不等式时，我们需要注意一些特殊情况，比如当c 为负数时，解集为空集；当 a 为零时，不等式简化为一个普通的线性不等式等等。
总的来说，解决绝对值不等式需要将其分解为多个简单的不等式，然后分别解决这些简单的不等式，并将它们的解集合合并或交集，得到原不等式的解集合。
希望这篇文章能够帮助你更好地理解和解决含绝对值的不等式。
第10课--绝对值不等式(经典例题练习、附答案)
第10课 绝对值不等式 ◇考纲解读 ①理解不等式a b a b a b -≤+≤+②掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；◇知识梳理1.绝对值的意义 ①代数意义：___,(0)___,(0)___,(0)a a a a >⎧⎪= =⎨⎪ <⎩②几何意义：a 是数轴上表示a 的点____________。
2. 含绝对值的不等式的解法①0a >时，|()|f x a >⇔____________；|()|f x a <⇔____________；②去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法；③根据绝对值的几何意义，通过数形结合解绝对值不等式．◇基础训练1.函数|||3|y x x =--的最大值为 ___________.2．(2008惠州调研) 函数46y x x =-+-的最小值为 .3.(2008珠海质检)已知方程20x ax b -+=的两根分别为1和2，则不等式1ax b -≤的解集为 ____________ （用区间表示）.4.(2008广州二模)不等式21<-+x x 的解集是 ．◇典型例题例1 .解不等式512x x +>-例2. 解不等式125x x -++>变式1：12x x a -++<有解，求a 的取值范围变式2：212x x a -++<有解，求a 的取值范围变式3：12x x a -++>恒成立，求a 的取值范围◇能力提升1.（2008湛江二模）若关于x 的不等式||2x a a -<-的解集为{}42|<<x x ，则实数=a .2.（2008韶关二模）不等式4|2||12|<++-x x 的解集为3．(2008揭阳调研)若()5f x x t x =-+-的最小值为3, 则实数t 的值是________.4. (2008汕头一模) 若不等式121x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是_________________。
绝对值不等式
绝对值不等式知识概述带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。
解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，等价转化为不含绝对值符号的不等式，用已有方法求解。
去绝对值符号的方法就是解不等式的方法。
1、a x <与)0(>>a a x 型不等式的解： 不等式)0(><a a x 的解集是：a -＜x ＜a 不等式)0(>>a a x 的解集是：x a >或x a <-2、不等式)0(><+c c b ax 可转化为：c -＜b ax +＜c 不等式)0(>>+c c b ax 可转化为：b ax +＞c 或b ax +＜c -〔含绝对值的不等式|ax ＋b |＜c 转化－c ＜ax ＋b ＜c 的根据是由绝对值的意义确定，解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同．〕3、绝对值不等式的一个性质：b a +＜b a -ab ⇔＜04、a 的几何意义：数轴上表示数a 的点离开原点的距离a x -的几何意义是数x 在数轴上的对应点与数a 在数轴上的对应点之间的距离5、解绝对值不等式的一般方法有：（1）定义公式法（2）平方法（3）零点分段法（4）数形结合法问题解决【例1】 解不等式5500≤-x .巩固练习：解不等式31≥+x【例2】解不等式||2331x x -<+巩固练习：解不等式1234+≥-x x【例3】解不等式||||x x +<+123巩固练习：32-x ＜1+x【例4】解不等式||||x x ++->213巩固练习：解不等式2-+x x ＞4【例5】解不等式：13+--x x ＜1巩固练习：解不等式3-+x x ＞4【例6】不等式a x x ≥-+-12对所有的实数x 都成立，则a 的最大值是【例7】解不等式 解不等式2＜｜2x －5｜≤7．作业1、不等式x xxxx ≥+-+-168421的解是（） A 、1616≤≤-x B 、11161116≤≤-xC 、21162116≤≤-xD 、2116-＜x ＜21162、不等式3121+≤-x x 的所有整数解的和是（） A 、0 B 、1 C 、-1 D 、23、不等式1＜43+x ≤6的解是（ ）A 、-1≤x ＜32或310-＜35-≤x B 、-1＜x ≤32或310-≤x ＜35-C 、-1≤x ＜32或310-≤x ＜35- D 、-1＜x ≤32或310-＜x ≤35-4、不等式|2x －5|＞3的解集是（ ）A ． x ＞4B ．1＜x ＜4C ．x ＜1或x ＞4D ．x ＜－1或x ＞45、不等式4≥|6－2x|的解集是（ ）A ．x ≤1或x ≥5B ．1≤x ≤5C ．－2≤x ≤5D ．－5≤x ≤－16、关于x 的不等式|x ＋b|＞a(a ＞0)的解集是（ ）A ．x ＜－a ＋b 或x ＞a －b}B ．x ＜a －bC 、－a －b ＜x ＜a －bD ．x ＜－a －b 或x ＞a －b7、对于任意实数x ，若不等式12x x +--＞k 恒成立，则k 的取值范围是（）A 、k ＜3B 、k ＜-3C 、k ≤3D 、k ≤-38、满足32)1(2x x --+＞127-x的整数x 为9、关于x 的不等式122+a x ＞a xa -24有解的条件是10、解不等式：1|32||5|<+--x x11、解不等式：2|53|1≤-≤x12、解不等式：3||3||3||>--+x x 。
绝对值不等式的几何解法
绝对值不等式的几何解法绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，其解法有很多种，其中之一就是几何解法。
几何解法可以帮助我们直观地理解绝对值不等式，并且能够通过图形的分析得到不等式的解集。
本文将介绍绝对值不等式的几何解法，并通过一些例子来说明这种解法的应用。
我们来回顾一下绝对值的定义。
对于任意实数x，其绝对值定义为|x| = x (x≥0)，|x| = -x (x<0)。
绝对值的几何意义是表示一个数到原点的距离。
在解绝对值不等式时，我们首先将绝对值不等式转化为两个不等式，分别考虑x≥0和x<0两种情况。
对于x≥0的情况，绝对值不等式可以简化为不等式本身。
对于x<0的情况，我们需要将绝对值不等式转化为相反的不等式。
例如，对于|2x-1|<3这个绝对值不等式，当x≥0时，不等式可以简化为2x-1<3，解得x<2；当x<0时，不等式可以转化为-(2x-1)<3，解得x>-2。
综合两种情况，我们得到不等式的解集为-2<x<2。
接下来，我们将通过几何解法来解决一个具体的绝对值不等式。
考虑不等式|2x-3|>4，我们首先将其转化为两个不等式。
当2x-3≥0时，不等式可以简化为2x-3>4，解得x>7/2；当2x-3<0时，不等式可以转化为-(2x-3)>4，解得x<-1/2。
综合两种情况，我们得到不等式的解集为x<-1/2或x>7/2。
为了更好地理解这个解集，我们可以通过绘制数轴图来进行几何分析。
首先，我们在数轴上标出x=-1/2和x=7/2两个点，然后在这两个点的左右两侧分别画出实数的区间。
对于x<-1/2，我们可以在x=-1/2的左侧标上一个开口向左的箭头，表示解集为x<-1/2的部分。
对于x>7/2，我们可以在x=7/2的右侧标上一个开口向右的箭头，表示解集为x>7/2的部分。
绝对值不等式的解法ppt课件
x2 x2
x 1 x 1
x 2 0时，即x 2时,
x 1 0时，即x 1时，
x 2 (x 2)
x 1 (x 1)
1、当x 2且x 1时，即x 1
2、当x 2且x 1时， 2 x 1 3、当x 2且x 1时，x 2
2
1
4、当x 2且x 1时，x
13
14
15
6
小结2 形如|ax+b|≤c, |ax+b|≥c型
不等式的解法:
ax b c c ax b c
ax b c ax b c或ax b c
7
8
9
10
[拓展]解不等式.
(1)1 2x 1 3
解：由原不等式得
2x 1 3 2x 1 1
得x
1 x 1或x
2
含绝对值的不等式的解法
1
1.理解绝对值的代数意义和几何意 义，掌握去绝对值的方法.
2.会求解以下类型的不等式： ax b c; ax b c
|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c
2
1.绝对值的代数意义:
x
x x
(x 0) (x 0)
2.绝对值的几何意义:
一个数的绝对值表示这个数在数轴上
0
(2) x 9 x 1
解：由原不等式得 x 9 2 x 12 解得x 5 x (5,)
1 0 1 2
解得 1 x 0或1 x 2 x (1,0) (1,2)
11
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
思考：解这个不等式的关键是什么？
如何去掉绝对值符号？
方法1、几何意义
记x对应的点为P
绝对值不等式的解法
课堂练习：解下列不等式
1 1 (1) 2 x 2 | x|
1 x2 | x | (2)( ) 2 2
作业：练习册24页，25页
当c 0时，
xR
重要结论
| f ( x) | g ( x) g ( x) f ( x) g ( x) | f ( x) | g ( x)
f ( x) g ( x)或f ( x) g ( x)
题型一：解含绝对值不等式 例1：解下列不等式
(1) | 3 2 x |≥ 7
(2) | x 3 x | 4
2
(3) | 3 2 | 1
x
(4)1 | 3 x 4 |≤ 6
3x (5) | 5x - 6 | 6 - x (6) | 2 | 1 x 4
Байду номын сангаас
题型二：解含参数的绝对值不等式 例2：解关于x的不等式：
a | x 1 | a 2, (a 0)
思考：如果 a ≤ 0 ,不等式的解集是什么
2. |ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c∈R)型不等式 解法
| ax b | c 当c 0时， c ax b c
当c 0时，
ax b 0
x
当c 0时，
| ax b | c 当c 0时，
ax b c或ax b c
二、绝对值不等式
2.绝对值不等式的解法(1)
解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号 转化为一般不等式来处理。
一、|x|<a和|x|>a (a>0)型的不等式的解法
① 不等式|x|<a的解集为 {x|-a<x<a} 几何意义： 数轴上到原点O的距离小于a的点的集合 0 -a a ② 不等式|x|>a的解集为 {x|x<-a或x>a } 几何意义： 数轴上到原点O的距离大于a的点的集合 -a 0 a
含绝对值不等式的解法
备选题 2 解关于 x 的不等式 |3x-2|<2m-1(m∈R). ∈ 可讨论如下: 解: ∵m∈R, ∴可讨论如下 ∈ (1)当 2m-1≤0 即 m≤ 1 时, x 不存在 当 不存在; 2 (2)当 2m-1>0 即 m> 1 时, 原不等式等价于 当 2 1-2m<3x-2<2m-1. 2m+1 解得 - 2m-3 <x< 3 . 3 综上所述, 当 m≤ 1 时, 原不等式的解集为 ∅; 当 m> 1 时, 综上所述 2 2 原不等式的解集为 (- 2m-3 , 2m+1 ). - 33
典型例题 3 3x 解不等式 | x2-4 |≤1. 3x 2 3x 解法二 | 2 |≤1⇔( 2 ) ≤1 ⇔ x -4 x -4 ⇔9x2≤(x2-4)2(x≠± ≠±2) ≠± ⇔x4-17x2+16≥0 ⇔x2≤1 或 x2≥16 ⇔x≤-4 或 -1≤x≤1 或 x≥4. ∴原不等式的解集为 (-∞, -4]∪[-1, 1]∪[4, +∞). ∪∪ ∞
学一学, 学一学 练一练 x>0, 解不等式组 3-x 2-x >| x+2 |. 3+x x-3 2-x 3-x 3-x 2-x 解法一 3+x >| x+2 |⇔ 3+x < x+2 < 3+x . ⇔ x>0, ⇔ (3-x)(x+2)>(x-2)(3+x), (3-x)(x+2)>(2-x)(3+x). x>0, x>0, 2+x+6>x2+x-6, ⇔ ⇔ -x x2<6. -x2+x+6>-x2-x+6, ∴0<x< 6 . ∴原不等式组的解集为 (0, 6 ).
绝对值不等式的解法
-5-6 < 0
-1 < < 6.
∴-1<x<2或3<x<6.
∴原不等式的解集为{x|-1<x<2或3<x<6}.
题型一
题型二
题型三
题型四
方法二:作函数y=x2-5x的图象,如图所示.
|x2-5x|<6表示函数图象中直线y=-6和直线y=6之间相应部分的自
2
D. - 3 < < 2
题型一
题型二
题型三
题型四
解析:可以利用|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法进行等价转化,
或者利用数形结合法.
方法一:由|3x-2|>4,得 3x-2<-4 或 3x-2>4.
2
即 x<− 3 或x>2.
所以原不等式的解集为 <
2
- 3 或
>2 .
方法二:(数形结合法)
3 3
函数的零点是 − 2 , 2.
3
2
3
2
从图象可知,当 x≤− 或x≥ 时,y≥0,
即|x+1|+|x-1|-3≥0.
所以原不等式的解集为
3
-∞,2
∪
3
,+∞
2
.Байду номын сангаас
题型一
题型二
题型三
题型四
反思|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的三种解法:分
区间(分类)讨论法、图象法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性,
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解绝对值不等式
1。|x|+|x+2|≧2
解：当x≦-2时，原不等式变为-x-(x+2)=-2x-2≧2，得x≦-2；故x≦-2为此段的解...........①；
-2≦x≦0时有-x+(x+2)=2；故此段的解为-2≦x≦0............②；
当x≧0时有x+x+2=2x+2≧2，即得x≧0为此段的解.............③
①∪②∪③=(-∞，+∞)为原不等式的解。
2。|x-7|+|x+1|≦10
解：当x≦-1时有-(x-7)-(x+1)=-2x+6≦10，得x≧-2；{x∣≦-1}∩{x∣x≧-2}={x∣-2≦x≦-1}为解...........
①；
当-1≦x≦7时有-(x-7)+(x+1)=9≦10；故-1≦x≦7为解...........②；
当x≧7时有x-7+x+1=2x-6≦10，得x≦8；{x∣x≧7}∩{x∣x≦8}={x∣7≦x≦8}为解..........③。
①∪②∪③={x∣-2≦x≦8}为原不等式的解集。
追问
如果出现x≧2 x≧3时应如何选是选x≧2还是选x≧3
回答
取其交 集：x≧3.
解绝对值不等式分情况讨论的目的就是去掉绝对值符号
只有一个绝对值时，比如：
| x-2 | > 4
那么我们要去绝对值符号，就要讨论 x-2 是正是负，讨论x - 2 的正负 即讨论 x 与 2 的
大小关系
所以 (1)x < 2 时，原式为 2 - x > 4 解得x < -2 （x<2即是x-2<0）
(2)x ≥2 时，原式为 x - 2 > 4 解得 x > 6 （x ≥2 即是x-2≥0）
所以不等式解为 x < -2或 x > 6
当有2个绝对值时，比如：
| x - 3| + | 2x + 4| > 6
那么我们要去绝对值符号，就要讨论 x-3 和 2x + 4 是正是负，讨论 x-3 和 2x + 4 的正
负，即讨论x 与3 、-2的大小关系 （x-3=0得到3，2x-4=0得到-2）
(1) x < -2时，……（x<-2,即 x-3 <0 , 2x + 4<0）
(2)-2 ≤ x ≤ 3时，……（-2 ≤ x ≤ 3，即x-3≥0 ，2x-4≤0）
(3) x > 3时，……（ x > 3，即x-3>0，2x-4>0）
更多的绝对值也一样，找到所有断点（使绝对值内的式子为0的点，x-3=0的3，2x-4=0
的-2……）
然后谈论x与他们的关系（可以看成在数轴上列出这些点，x不断向右移动）
比如断点 x1、x2、x3、x4……
谈论：
(1) x < x1时
(2)x1≤x
断点处的等号比较随意，只要考虑到就行
就像上面讨论也可以是
(1) x ≤ x1时
(2)x1
(1) x ≤ x1时
(2)x1
(4)x3