湖北省武汉市九年级(上)期中数学试卷
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.一元二次方程3x2－6x＋1＝0的二次项系数、一次项系数分别是（）A. 3，−6B. 3，1C. −6，1D. 3，62.下列四幅图案中，属于中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.下列各数是一元二次方程x2+x-12=0的根的是（）A. −1B. 1C. 2D. 34.用配方法解方程x2-4x=0，下列配方正确的是（）A. (x+2)2=0B. (x−2)2=0C. (x+2)2=4D. (x−2)2=45.下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A. x2+3x=0B. 2x2−4x+1=0C. x2−2x+2=0D. 5x2+x−1=06.如图，把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，则旋转角是（）A. ∠AOCB. ∠AODC. ∠AOBD. ∠BOC7.二次函数y＝2（x－1）2＋3的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（）A. 抛物线开口向上B. 抛物线的对称轴是直线x=1C. 抛物线的顶点是(1,3)D. 当x>1时，y随x的增大而减小8.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，设每个支干长出x个小分支，根据题意列出方程为（）A. 1+x+x(1+x)=57B. 1+x+x2=57C. x+x(1+x)=57D. 1+2x2=579.运动员推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，铅球在空中飞行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似地满足函数关系y=ax2+bx+c （a≠0）．如图记录了铅球飞行中的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该铅球飞行到最高点时，水平距离可能是（）A. 2.5mB. 3.0mC. 3.6mD. 4m10.如图，△ABC中，AB=AC，点P为△ABC内一点，∠APB=∠BAC=120°．若AP+BP=4，则PC的最小值为（）A. 2B. 23C. 5D. 3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.点M（1，2）关于原点的对称点的坐标为______．12.如果一元二次方程x2-x-2=0的两根分别为x1、x2，那么x1+x2=______．13.将抛物线y=x2+1向下平移3个单位得到的解析式为______．14.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-3，1），则点B的坐标为______．15.如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AB=10，AD=7，∠CAD=45°，则BC=______．16.已知函数y=ax2-（a-1）x-2a+1，当0＜x＜3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.解方程：x2-4x+3=0．四、解答题（本大题共7小题，共64.0分）18.如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为______；（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为______．（用含m，n的式子表示）19.已知关于x的方程x2-2x+m-2=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）求3x1+3x2-x1x2的最小值．20.如图是一张长10dm，宽6dm矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖方盒．（1）无盖方盒盒底的长为______dm，宽为______dm（用含x的式子表示）；（2）若要制作一个底面积是32dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x．21.已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（0，74）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；（3）当y≤74时，直接写出x的取值范围是______．22.某商品现在的售价为每件25元，每天可售出30件，市场调查发现，售价每上涨1元，每天就少卖出2件．已知该商品的进价为每件20元，设该商品每天的销售量为y件，售价为每件x元（x为正整数）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该商品的售价定为每件多少元时，每天的销售利润P（元）最大，最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定该商品每件的售价不得高于32元，若要每天获得的利剂不低168元，请直接写出该商品的售价x（元）的取值范围是______．23.四边形ABCD中，AB=BC，∠B=∠C=90°，P是BC边上一点，AP⊥PD，E是AB边上一点，∠BPE=∠BAP．（1）如图1，若AE=PE，直接写出CPPB=______．（2）如图2，求证：AP=PD+PE；（3）如图3，当AE=BP时，连BD，则PEBD=______，并说明理由．24.已知抛物线y=ax2经过点A（2，1）（1）求a的值；（2）如图1，点M为x轴负半轴上一点，线段AM交抛物线于N，若△OMN为等腰三角形，求点N的坐标；（3）如图2，直线y=kx-2k+3交抛物线于B，C两点，过点C作CP⊥x轴，交直线AB于点P，请说明点P一定在某条确定的直线上运动，求出这条直线的解析式．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．找出所求的二次项系数、一次项系数即可．【解答】解：一元二次方程3x2-6x+1=0的二次项系数，一次项系数分别是3，-6．故选A.2.【答案】B【解析】解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形．故选：B．根据中心对称图形的概念判断．本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．．3.【答案】D【解析】解：（x+4）（x-3）=0，x+4=0或x-3=0，所以x1=-4，x2=3．故选：D．先利用因式分解法解方程，然后对各选项进行判断．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．4.【答案】D【解析】解：x2-4x+4=4，（x-2）2=4．故选：D．把方程两边加上4得到x2-4x+4=4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．5.【答案】C【解析】解：A、△=32-4×1×0=9＞0，所以方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；B、△=（-4）2-4×2×0=8＞0，所以方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；C、△=22-4×1×2=-4＜0，所以方程没有实数根，所以C选项正确；D、△=52-4×1×（-1）=29＞0，所以方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误．故选：C．分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．6.【答案】A【解析】解：如图，把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD，旋转角是∠AOC或∠BOD，故选：A．根据旋旋转角的定义即可判断；本题考查旋转变换，旋转角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用二次函数的性质一一判断即可；【解答】解：二次函数y=2（x-1）2+3，∵a=2＞0，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，3），对称轴是直线x=1，故A，B，C正确，故选D．8.【答案】B【解析】解：由题意可得，1+x+x•x=1+x+x2=57故选：B．根据题意，可以列出相应的方程，从而可以解答本题．本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．9.【答案】D【解析】解：由题意抛物线经过（0，1.75），（3，3），（6，2.72），则有：，解得，∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1.75，∴该铅球飞行到最高点时，水平距离是-=-=≈4m，故选：D．轨迹二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；本题考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决问题，属于选择题中的压轴题．10.【答案】B【解析】解：把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AP′C，作AD⊥PP′于D，则AP=AP′，∠PAP′=120°，∠AP′C=∠APB=120°，∴∠AP′P=30°，∴PP′=AP，∠PP′C=90°，∵AP+BP=4，∴BP=4-PA，在Rt△PP′C中，PC===，则PC的最小值为=2，故选：B．把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AP′C，作AD⊥PP′于D，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到∠AP′P=30°，根据直角三角形的性质得到PP′=AP，根据勾股定理和配方法计算．本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及配方法的应用，掌握旋转变换的性质，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．11.【答案】（-1，-2）【解析】解：点（1，2）关于原点的对称点的坐标为（-1，-2）．故答案为：（-1，-2）．根据关于原点的对称点，横纵、坐标都互为相反数解答．本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记“关于原点的对称点，横纵、坐标都互为相反数”是解题的关键．12.【答案】1【解析】解：∵方程x2-x-2=0的两根分别为x1、x2，∴x1+x2=1．故答案为：1．由根与系数的关系可得出x1+x2=-=1，此题得解．本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-是解题的关键．13.【答案】y=x2-2【解析】解：抛物线y=x2+1向下平移3个单位得到的解析式为y=x2+1-3，即y=x2-2．故答案为y=x2-2．根据抛物线平移的规律（左加右减，上加下减）求解．本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．14.【答案】（-2，4）【解析】解：如下图所示，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线，∠AEO=∠BFA=90°，∠AOE=∠ABF，AB=AO，∴△AEO≌△BFA，（AAS），∴AF=AE=1，AG=BF=3，BN=AG-AF=3-1=2，BM=BF+AE=4，故点B坐标为（-2，4），故答案为：（-2，4）．如下图所示，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线，可证△AEO≌△BFA，（AAS），BN=AG-AF=3-1=2，BM=BF+AE=4即可求解．本题主要考查的是坐标与图形的性质，涉及到三角形全等、正方形性质等，这是一道基本题．15.【答案】237【解析】解：作DH⊥AC于H，延长AD到E使DE=AD=7，连接CE，作EF⊥AC于F，作CH⊥AD于H，如图，∵AD是中线，∴BD=CD，在△ADB和△EDC中，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴EC=AB=10，在RtAEF中，∵∠DAC=45°，AE=14，∴AF=EF=AE=7，在Rt△CEF中，CF==，∴AC=AF-CF=6，在Rt△ACH中，∵∠HAC=45°，∴AH=CH=AC=6，∴DH=AD-AH=1，在Rt△CDH中，CD==，∴BC=2CD=2．故答案为2．作DH⊥AC于H，延长AD到E使DE=AD=7，连接CE，作EF⊥AC于F，作CH⊥AD于H，如图，先证明△ADB≌△EDC得到EC=AB=10，再利用△AEF为等腰直角三角形计算出AF=EF=7，则根据勾股定理可计算出CF=，从而得到AC=6，接着利用△ACH为等腰直角三角形得到AH=CH=6，然后利用勾股定理计算出CD，从而得到BC的长．本题考查了三角形的角平分线、中线和高：熟练掌握三角形高、中线的定义；构造等腰直角三角形是解决此题的关键．16.【答案】-15≤a≤1【解析】解：根据题意得：当a＜0时，-≥3，解得：-≤a＜0；当a=0时，原函数为一次函数y=x+1，∵1＞0，∴y随x的增大而增大，∴a=0符合题意；当a＞0时，-≤0，解得：a≤1．综上所述：a的取值范围是-≤a≤1．分a＜0，a=0及a＞0三种情况考虑：当a＜0时，利用二次函数的性质可得出-≥3，解之可得出a的取值范围；当a=0时，原函数为一次函数y=x+1，由一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，进而可得出a=0符合题意；当a＞0时，利用二次函数的性质可得出-≤0，解之可得出a的取值范围．综上此题得解．本题考查了二次函数图象与系数的关系，分a＜0，a=0及a＞0三种情况找出a 的取值范围是解题的关键．17.【答案】解：x2-4x+3=0（x-1）（x-3）=0x-1=0，x-3=0x1=1，x2=3．【解析】利用因式分解法解出方程．本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．18.【答案】（-3，1）（-n，m）【解析】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作，点C2的坐标为（-3，1）；（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为（-n，m）．故答案为（-3，1），（-n，m）．（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到点C2的坐标；（3）利用（2）中对应点的规律写出Q的坐标．本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．19.【答案】解：（1）根据题意得△=（-2）2-4（m-2）≥0，解得m≤3；（2）根据题意得x1+x2=2，x1x2=m-2，3x1+3x2-x1x2=6-（m-2）=-m+8，而m≤3，所以当m=3时，3x1+3x2-x1x2的值最小，最小值为-3+8=5．【解析】（1）利用判别式的意义得到△=（-2）2-4（m-2）≥0，然后解关于m的不等式即可；（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=m-2，则3x1+3x2-x1x2=-m+8，然后根据m的范围和一次函数的性质确定3x1+3x2-x1x2的最小值．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了判别式的意义和一次函数的性质．20.【答案】（10-2x）（6-2x）【解析】解：（1）无盖方盒盒底的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm．故答案为：（10-2x）；（6-2x）．（2）根据题意得：（10-2x）（6-2x）=32，解得：x1=1，x2=7（不合题意，舍去）．答：剪去的正方形边长为1dm．（1）由矩形纸板的长宽结合剪去的正方形的边长，即可找出无盖方盒盒底的长和宽；（2）根据矩形的面积公式结合纸盒的底面积是32dm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21.【答案】x≤12或x≥32【解析】解：（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，解得：a=-1，b=2，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）把点D的y坐标y=，代入y=-x2+2x+3，解得：x=或，则EF长=-（-）=2；（3）由题意得：当y≤时，直接写出x的取值范围是x或x，故答案为：x或x．（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，即可求解；（2）把点D的y坐标代入y=-x2+2x+3，即可求解；（3）直线EF下侧的图象符合要求．本题考查的是函数与直线的交点，是一道基本题，难度不大．22.【答案】26≤x≤32【解析】解：（1）由题意得：y=30-2（x-25）=80-2x，y与x之间的函数关系式为y=80-2x；（2）P=（x-20）y=（x-20）（80-2x）=-2（x-40）（x-20），x=30时，利润最大为：200，故：商品的售价定为每件30元时，每天的销售利润P（元）最大，最大利润是200元；（3）即x≤32，P≥168，解得：26≤x≤34，故x（元）的取值范围为：26≤x≤32（1）由题意得：y=30-2（x-25）=80-2x；（2）P=-2（x-40）（x-20），x=30时，利润最大为：200元；（3）即x≤32，P≥168，即可求解．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．23.【答案】3-1 22【解析】（1）解：如图1中，∵AE=PE，∵∠EAP=∠EPA，∵∠EPB=∠PAE，∴∠EPB=∠PAE=∠EPA，∵∠B=90°，∴∠PAB+∠APB=90°，∴3∠PAE=90°，∴∠PAE=30°，设PB=a，则AB=BC=a，∴PC=BC-PB=a-a，∴==-1．故答案为-1．（2）证明：如图2中，延长DP交AB的延长线于M，作MN⊥DC交DC的延长线于N．∵AP⊥DM，∵∠APM=∠PBM=90°，∵∠PAE+∠APB=90°，∠APB+∠BPM=90°，∴∠PAE=∠BPM，∵∠EPB=∠PAE，∴∠EPB=∠BPM，∵∠EPB+∠PEB=90°，∠BPM+∠PMB=90°，∴∠PEB=∠PMB，∴PE=PM，∵∠CBM=∠BCN=∠N=90°，∴四边形BCNM是矩形，∴BC=MN=AB，BC∥MN，∴∠DMN=∠BPM=∠PAB，∵∠ABP=∠N=90°，∴△ABP≌△MND（ASA），∴PA=DM，∵DM=DP+PM=DP+PE，∴PA=DP+PE．（3）如图3中，如图2中，延长DP交AB的延长线于M，作MN⊥DC交DC的延长线于N．由（1）可知：PE=PM，△ABP≌△MND，四边形BCNM是矩形，∴PB=DN，设PB=DN=x，∴AE=PB=DN=x，∵PE=PM，PB⊥EM，∴EB=BM，∵BM=CN，∴BE=BM=CN，设BE=BM=CN=y，则CD=x-y，BC=AB=x+y，在Rt△PBE中，PE=，在Rt△DCB中，BD==，∴==，故答案为．（1）首先证明∠PAB=30°，设PB=a，可得AB=BC=a，求出PC即可解决问题；（2）如图2中，延长DP交AB的延长线于M，作MN⊥DC交DC的延长线于N．首先证明PE=PM，再证明△ABP≌△MND（ASA）即可解决问题；（3）如图3中，如图2中，延长DP交AB的延长线于M，作MN⊥DC交DC的延长线于N．首先证明DN=PB=AE，EB=BM=CN，作AE=PB=DN=x，EB=BM=CN=y，求出PE，BD即可解决问题；本题考查四边形综合题、直角梯形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．24.【答案】解：（1）A（2，1）代入抛物线方程，解得：a=14；（2）设点M（m，0），把点A、M坐标代入直线表达式得：AM所在直线的表达式为：y=12−m x-m2−m，从图象位置关系看，△OMN为等腰三角形时，只有MN=ON这一种情况，过点N作NH⊥OM，则OH=MH=-m2，HN=MH•tan AMH=m2(m−2)，则N（m2，m2(m−2)），把N点坐标代入抛物线表达式解得：m=-2，m=4（舍去）则N（1，14），经验证：MN=OM，OM=ON无解，故：N（-1，14）；（3）设：点C（x1，y1），B（x2，y2），P（x1，y），则：14x2=kx-2k+3，则：x1+x2=4k，x1•x2=8k-12，…①，y2=14x22…②，把A、B坐标代入直线方程，解得：AB所在的直线方程为：y=y2−1x2−2x+x2−2y2x2−2，把点P（x1，y）、①、②代入上式，整理得：y=x1-3，这条直线的解析式为：y=x-3．【解析】（1）A（2，1）代入抛物线方程，解得：a=；（2）设点M（m，0），AM所在直线的表达式为：y=x-，MN=ON时，过点N作NH⊥OM，则OH=MH=-，HN=MH•tanAMH=，则N（，），把N点坐标代入抛物线表达式解得：m=-2，m=4（舍去），则N（1，）；（3）设：点C（x1，y1），B（x2，y2），P（x1，y），则：x2=kx-2k+3，则：x1+x2=4k，x1•x2=8k-12，…①，y2=…②，把A、B坐标代入直线方程，解得：AB所在的直线方程为：y=，把点P（x1，y）、①、②代入上式，整理得：y=x1-3，即：y=x1-3，即可求解．本题是二次函数综合题，涉及到韦达定理、等腰三角形有关知识的运用，题目看似简单，但是数据处理技巧很大，是难度较大的题目．。
2020-2021学年湖北省武汉市青山区九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年湖北省武汉市青山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.将方程x2−8x=10化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，常数项为()A. −8B. 8C. 10D. −102.下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.若将抛物线y=2x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为()A. y=2x2+3B. y=2x2−3C. y=2(x−3)2D. y=2(x+3)24.如图，在⊙O中，∠BOC=100°，则∠A等于()A. 100°B. 50°C. 40°D. 25°5.抛物线y=−3(x−1)2−2的顶点坐标是()A. (1,2)B. (−1,2)C. (−1,−2)D. (1,−2)6.用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正确的是()A. (x+5)2=16B. (x+5)2=34C. (x−5)2=16D. (x+5)2=257.如图，Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠C=90°，将△ABC绕点A旋转，使得点C的对应点C′落在AB上，则∠BB′C′的度数为()A. 12°B. 15°C. 25°D. 30°8.要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，则参赛球队的个数是()A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个9.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC=180°.若AD=2，BC=6，则△BOC的面积为()A. 3B. 6C. 9D. 1210.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(−1,2)，与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2−4ac<0；②a+b+c<0；③c−a=2；④方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.已知方程x2−4x+1=0的两个根是x1和x2，则x1+x2=______．12.已知点A(−2,a)与点B(b,3)关于原点对称，则a−b=______13.已知点A(−2,y1)，点B(1,y2)在抛物线y=3x2−2上，则y1，y2的大小关系是：y1______y2.(填“>”或“<”)14.某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程是______．15.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加______m.16.如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=√3，O为AB的中点，将OA绕着点O旋转得到OE，连接DE.以DE为边作等边△DEF(点D、E、F按顺时针方向排列)，连接CF，则CF的最小值为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.解方程：x2−x−1=0．四、解答题（本大题共7小题，共64.0分）18.二次函数y=ax2−2x+c中的x，y满足如表：x…−10123…y…0−3−4−3m…(1)求抛物线的解析式；(2)求m的值．19.小明在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，求金色纸边的宽度．20.请用无刻度直尺画出下列图形，并保留作图痕迹．(1)将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD；(2)过C作线段AB的垂线段CE，垂足为E；(3)作∠ABD的角平分线BF．21.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC.D是BC⏜的中点，过D作DE⊥AB于点E，交BC于点F．(1)求证：BC=2DE；(2)若AC=6，AB=10，求DF的长．22.某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，若按每千克50元销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．(1)直接写出月销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系式：______；月销售利润w(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式：______；(2)该超市想在月销售量不低于250千克的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为每千克多少元？(3)售价定为每千克多少元时会获得最大利润？求出最大利润．23.[学习概念]有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形．[理解运用](1)如图1，在对余四边形ABCD中，连接AC，∠D=30°，∠ACD=105°，AB=AC，求∠BAD的度数；(2)如图2，在凸四边形ABCD中，DA=DB，DA⊥DB，当2CD2+CB2=CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形？并证明你的结论；(3)[拓展提升]如图3，在对余四边形ABCD中，∠A=45°.∠ABD+∠BDC=180°，BC=4.求AB+CD的长．24.已知抛物线y=ax2经过点A(2,1)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，直线l经过点A且与抛物线对称轴右侧交于点B，若△ABO的面积为6，求直线l的解析式；(3)如图2，直线CD与抛物线交于C、D两点，与y轴交于点(0,m)，直线PC、PD与抛物线均只有一个公共点，点P的纵坐标为n，求m与n的数量关系．答案和解析1.【答案】D【解析】解：方程整理得：x2−8x−10=0，其中二次项系数为1，常数项为−10．故选：D．方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数即可．此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c= 0(a,b，c是常数且a≠0).在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2.【答案】C【解析】解：A、B、D中图形都不是中心对称图形，C中图形是中心对称图形，故选：C．根据中心对称图形的概念判断即可．本题考查的是中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．3.【答案】A【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=2x2向上平移3个单位可得到函数y=2x2+3，故选：A．直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．4.【答案】B∠BOC=50°．【解析】解：∵∠BOC=100°，∴∠A=12故选：B．根据圆周角定理可求得∠A=50°．本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5.【答案】D【解析】解：∵y=−3(x−1)2−2是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为(1,−2)．故选：D．直接根据顶点式的特点求顶点坐标．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)．6.【答案】A【解析】解：x2+10x+9=0，x2+10x=−9，x2+10x+52=−9+52，(x+5)2=16．故选：A．移项，配方(方程两边都加上一次项系数的一半的平方)，即可得出答案．本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．7.【答案】B【解析】解：由旋转的性质可知，∠B′AB=∠BAC=30°，AB=AB′，(180°−30°)=75°，∴∠ABB′=∠AB′B=12∵∠BCB=90°，∴∠BB′C=90°−75°=15°，故选：B．利用旋转的性质，三角形面积和定理求解即可．本题考查旋转变化的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8.【答案】B【解析】解：设参赛球队的个数是x，每个队都要赛(x−1)场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x(x−1)2=15，解得：x1=6，x2=−5(不合题意，舍去)，则参赛球队的个数是6个；故选：B．根据赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，x个球队比赛总场数=x(x−1)2，由此列出方程，然后求解即可．本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，读懂题意，得到总场数与球队之间的关系是解决本题的关键．9.【答案】A【解析】解：延长BO交⊙O于E，连接CE，则∠COE+∠BOC=180°，∠BCE=90°，即CE⊥BC，∵∠AOD+∠BOC=180°，∴∠AOD=∠COE，∴AD⏜=CE⏜，∴AD=CE=2，∵BC=6，∴△BEC的面积为12BC⋅CE=12×6×2=6，∵OB=OE，∴△BOC的面积=12△BEC的面积=12×6=3，故选：A．延长BO交⊙O于E，连接CE，可得∠COE+∠BOC=180°，∠BCE=90°，由∠AOD+∠BOC=180°，∠AOD=∠COE，推出AD=CE=2，根据三角形的面积公式可求得△△BEC的面积．BEC的面积为6，由OB=OE，可得△BOC的面积=12本题主要考查了圆心角所对弧、弦的关系，圆周角定理，三角形面积公式，正确作出辅助线是解决问题的关键．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为；抛物线与y轴的交点坐标抛物线，当a>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=−b2a为(0,c)；当b2−4ac>0，抛物线与x轴有两个交点；当b2−4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2−4ac<0，抛物线与x轴没有交点．由抛物线与x轴有两个交点得到b2−4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=−1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D(−1,2)得a−b+c=2，由抛物线的对称轴为直=−1得b=2a，所以c−a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=−1时，线x=−b2a二次函数有最大值为2，即只有x=−1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a−b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1，∴b=2a，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选C．11.【答案】4【解析】解：根据题意得x1+x2=−−41=4．故答案为4．根据根与系数的关系求解．本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca．12.【答案】−5【解析】解：由题意，得：a=−3，b=2，a−b=−3−2=−5，故答案为：−5．根据关于原点对称的点的坐标，可得答案．本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标规律得出a，b是解题关键．13.【答案】>【解析】解：∵点A(−2,y1)，点B(1,y2)在抛物线y=3x2−2上，∴当x=−2时，y1=12−2=10，当x=1时，y2=3−2=1，∴y1>y2，故答案为>．将点A(−2,y1)，点B(1,y2)分别代入y=3x2−2，求出相应的y1、y2，即可比较大小．本题考查二次函数的图象上点的特点；能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键．14.【答案】36(1−x)2=25【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×(1−降低的百分率)=25，把相应数值代入即可求解．【解答】解：第一次降价后的价格为36×(1−x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为36×(1−x)×(1−x)，则列出的方程是36(1−x)2=25．故答案为：36(1−x)2=25．15.【答案】(2√6−4)【解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C 点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为(0,2)，通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标(−2,0)，到抛物线解析式得出：a=−0.5，所以抛物线解析式为y=−0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=−1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=−1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=−1代入抛物线解析式得出：−1=−0.5x2+2，解得：x=±√6，所以水面宽度增加到2√6米，比原先的宽度当然是增加了2√6−4，故答案为：(2√6−4)．根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=−1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．16.【答案】2√3−1【解析】解：如图，连接DO，延长OA到T，使得AT=OA，连接DT，FT，CT．∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD=90°，∵AD=√3，OA=OB=1，=√3，∴tan∠AOD=ADAO∴∠AOD=60°，∠ADO=30°，∴OD=2AO，∵AO=AT，∴OT=2AO，∴OT=OD，∴△ODT 是等边三角形，∵△DEF 是等边三角形，∴∠ODT =∠EDF =60°，DO =DT ，DE =DF ，∴∠DEO =∠FDT ，∴△DEO≌△FDT(SAS)，∴FT =OE =OA =1，∵∠B =90°，BT =2+1=3，BC =√3，∴CT =√BT 2+BC 2=√32+(√3)2=2√3，∵CF ≥CT −TF ，∴CF ≥2√3−1，∴CF 的最小值为2√3−1．故答案为：2√3−1．如图，连接DO ，延长OA 到T ，使得AT =OA ，连接DT ，FT ，CT.证明△DEO≌△FDT(SAS)，推出FT =OE =OA =1，利用勾股定理求出CT ，根据CF ≥CT −TF ，可得CF ≥2√3−1，由此即可解决问题．本题考查旋转变换的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：x 2−x −1=0，x =−b±√b 2−4ac 2a=1±√1+42×1=1±√52， ∴x 1=1+√52，x 2=1−√52．【解析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式．确定a ，b ，c 的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解．解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值．18.【答案】解：(1)由题意可知，抛物线y =ax 2−2x +c 经过(−1,0)，(0,−3)， ∴{a +2+c =0c =−3， 解得：{a =1c =−3， 所以抛物线的解析式为：y =x 2−2x −3；(2)把x=3代入y=x2−2x−3，可得y=9−6−3=0，所以m=0．【解析】(1)取两组对应值代入y=ax2−2x+c得到关于a、c的方程组，然后解方程组即可；(2)把x=3代入二次函数的解析式求解即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．19.【答案】解：设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为(80+2x)cm，宽就为(50+ 2x)cm，根据题意得：(80+2x)(50+2x)=5400，解得：x1=−70(不符合题意，舍去)，x2=5．答：金色纸边的宽度为5cm．【解析】设金色纸边的宽度为xcm，则挂图的长为(80+2x)cm，宽就为(50+2x)cm，根据题目条件列出方程，求出其解就可以．本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次方程解法的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方．20.【答案】解：(1)如图，线段BD即为所求．(2)如图，线段CE即为所求．(3)如图，射线BF即为所求．【解析】(1)根据旋转变换的性质画出图形即可．(2)取格点T，连接CT交AB于点E，线段CE即为所求．(3)取格点，G，H，连接GH，AD交于点F，作射线BF，射线BF即为所求．本题考查作图−旋转变换，角平分线，垂线段等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21.【答案】(1)证明：延长DE交⊙O于点G，如图所示：∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB，∴DE=GE，BD⏜=BG⏜，∵D是BC⏜的中点，∴CD⏜=BD⏜=BG⏜，∴BC⏜=DG⏜，∴BC=DG=2DE；(2)解：连接BD、OD，如图所示：∵CD⏜=BG⏜，∴∠DBC=∠BDF，∴DF=BF，∵AB为⊙O的直径，AB=10，∴∠ACB=90°，OB=OD=5，∴BC=√AB2−AC2=√102−62=8，BC=4，由(1)得：DE=12∵DE⊥AB，∴OE=√OD2−DE2=√52−42=3，∴BE=OB−OE=2，设DF=BF=a，则EF=4−a，在Rt△BEF中，由勾股定理得：22+(4−a)2=a2，，解得：a=52∴DF=5．2【解析】(1)延长DE交⊙O于点G，先由垂径定理得DE=GE，BD⏜=BG⏜，再证出BC⏜=DG⏜，由圆心角、弧、弦的关系即可得出结论；(2)连接BD、OD，先由圆周角定理得∠DBC=∠BDF，得DF=BF，由圆周角定理得BC=4，再由勾股定理求出OE=3，则BE=∠ACB=90°，勾股定理得BC=8，则DE=12OB−OE=2，设DF=BF=a，则EF=4−a，然后在Rt△BEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．本题考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．22.【答案】y=−10x+1000w=−10x2+1400x−40000【解析】解：(1)月销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系式：y=500−10(x−50)=−10x+1000，即y=−10x+1000；月销售利润w(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式：w=(x−40)y=(x−40)(−10x+1000)=−10x2+1400x−40000，即w=−10x2+1400x−40000，故答案为：y=−10x+1000，w=−10x2+1400x−40000；(2)根据题意得：−10x2+1400x−40000=8000，解得：x1=80，x2=60，又∵月销售量不低于250千克，则有：−10x+1000≥250，解得：x≤75，∴x1=80>75(舍去)，答：销售单价应定为60元时，月销售利润达到8000元；(3)由(2)得：w=−10x2+1400x−40000=−10(x−70)2+9000，∵a=−10<0，∴抛物线的开口向下，抛物线有最高点，函数有最大值，当x=70时，w取最大值，最大值为9000元，答：售价定为每千克70元时会获得最大利润？最大利润为9000元．(1)根据一个月可售出500千克，减去因涨价而减少的数量得到月销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系式，根据(售价−成本)×月销售量得到月销售利润w(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式；(2)将月销售利润8000元代入w=−10x2+1400x−40000，解方程即可得到结果；(3)将w=−10x2+1400x−40000化为顶点式就可以求出结果．本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的运用，解答时求出函数的解析式是解题的关键．23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是对余四边形，依题意得，∠B+∠D=90°，∵∠D=30°，∴∠B=90°−∠D=60°，∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠ACD=105°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=165°，在四边形ABCD中，∠BAD=360°−∠B−∠ACD−∠D=360°−60°−165°−30°= 105°；(2)四边形ABCD为对余四边形，证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∵DA=DB，∴∠BAD=∠ABD=45°，如图2，过点D作DM⊥CD，使CD=CM，连接CM，BM，∴∠DMC=∠DCM=45°，∵∠ADB=∠CDM=90°，∴∠ADB+∠BDC=∠CDM+∠BDC，∴∠ADC=∠BDM．在△ADC和△BDM中，{DA=DB∠ADC=∠BDM DC=DM，∴△ADC≌△BDM(SAS)，∴AC=BM．在Rt△MDC中，根据勾股定理得，CM2=CD2+DM2=2CD2，∵2CD2+CB2=AC2，∴CM2+CB2=BM2，∴△BCM是直角三角形，且∠BCM=90°，∵∠DCM=45°，∴∠DCB=∠BCM−∠DCM=45°，∴∠DCB+∠DAB=90°，∴四边形ABCD为对余四边形；(3)如图3，过点B作BE⊥BC交CD的延长线于点E，∵四边形ABCD为对余四边形，依题意得，∠A+∠C=90°，∵∠A=45°，∴∠C=∠E=45°=∠A，∵∠ABD+∠BDC=180°，∠BDE+BDC=180°，∴∠ABD=∠EDB，在△ABD和△EDB中，{∠A=∠E∠ABD=∠EDB BD=DB，∴△ABD≌△EDB(AAS)，∴AB =ED ，EB =BC =4，在Rt △EBC 中，根据勾股定理得，BE 2+BC 2=CE 2，∴CE =4√2， 即AB +CD =4√2．【解析】(1)先根据对余四边形求出∠B =60°，进而得出∠ACB =60°，∠BCD =165°，最后用四边形内角和定理，即可得出结论；(2)先判断出∠BAD =∠ABD =45°，进而判断出∠ADC =∠BDM ，即可判断出△ADC≌△BDM(SAS)，得出AC =BM.再根据勾股定理得出CM 2=CD 2+DM 2=2CD 2，进而判断出∠BCM =90°，即可得出结论；(3)先判断出∠C =∠E =45°=∠A ，再判断出∠ABD =∠EDB ，进而得出△ABD≌△EDB(AAS)，得出AB =ED ，EB =BC =4，最后用勾股定理求出CE =4√2，即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了新定义，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．24.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2经过点A(2,1)． ∴1=4a ，解得a =14，∴抛物线解析式为y =14x 2；(2)∵点A(2,1)．∴直线OA 为y =12x ，如图1，过B 作BE//OA 交y 轴于E ，连接AE ，则S △AOB =S △AOE =6，∴12OE ×2=6，∴OE =6，∴点E(0,6)，设直线BE 为y =12x +6，解{y =12x +6y =14x2得{x =6y =9或{x =−4y =4，∴B(6,9)，设直线l 的解析式为y =kx +b ，∴{2k +b =16k +b =9，解得{k =2b =−3， ∴直线l 的解析式为y =2x −3；(3)设直线CD 的解析式为y =kx +m ，由{y =kx +m y =14x2去掉y 整理得14x 2−kx −m =0． 设C 、D 的坐标分别为(x C ,y C )，(x D ,y D )，∴x C ⋅x D =−4m ，设直线CP 的解析式为y =ax +c ，由{y =ax +c y =14x 2整理得，14x 2−ax −c =0． ∵CP 与抛物线只有一个公共点，∴△=a 2+c =0，∴c =−a 2，∴14x 2−ax +a 2=0，解得x C =2a ，同理：设直线DP 的解析式为y =bx +d ，可得x D =2b ，∴2a ⋅2b =−4m ，∴ab =−m ，联立{y =ax +c y =bx +d ，即{y =ax −a 2y =bx −b 2， 解得{x =a +b y =ab， ∴P(a +b,ab)，∵点P 的纵坐标为n ，∴n =ab =−m ．【解析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式解答即可；(2)求得直线OA 的解析式，过B 作BE//OA 交y 轴于E ，连接AE ，则S △AOB =S △AOE =6，根据三角形面积求得OE ，得到E 的坐标，进而求得直线BE 的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组求得B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l 的解析式；(3)设直线CD 的解析式为y =kx +m ，与抛物线解析式联立整理得14x 2−kx −m =0.根据根与系数的关系得到x C ⋅x D =−4m ，设直线CP 的解析式为y =ax +c ，联立抛物线x2−ax−c=0.根据题意△=a2+c=0，解析式得到14x2−ax+a2=0，解得x C=2a，同理：设直线DP的解析式求得c=−a2，即可得到14为y=bx+d，可得x D=2b，所以4ab=−m，直线CP和直线DP联立，解方程求得交点P((a+b,ab)，即可求得n=−m．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线相交或平行问题，直线与抛物线的交点问题，方程思想的运用是解题的关键．。
湖北省武汉市2021版九年级上学期数学期中考试试卷C卷
湖北省武汉市2021版九年级上学期数学期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、精心选一 (共12题；共12分)1. （1分）已知3x=4y(xy≠0)，则下列比例式成立的是（）A .B .C .D .2. （1分）(2019·北部湾) 下列事件为必然事件的是（）A . 打开电视机，正在播放新闻B . 任意画—个三角形，其内角和是180°C . 买—张电影票，座位号是奇数号D . 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上3. （1分） (2018九上·东台期中) 二次函数图像的顶点坐标是（）A . （1，－1）B . （－1，1）C . （1，1）D . （－1，－1）4. （1分）已知△ABC∽△A′B′C′，，AB边上的中线CD长4cm，△ABC的周长20cm，则△A′B′C′的周长和A′B′边上的中线C′D′分别长（）A . 10cm，2cmB . 40cm，8cmC . 40cm，2cmD . 10cm，8cm5. （1分） (2019九上·江汉月考) 圆的直径为10cm，如果点P到圆心O的距离是d，则（）A . 当d=8cm时，点P在⊙O内B . 当d=10cm时，点P在⊙O上C . 当d=5cm时，点P在⊙O上D . 当d=6cm时，点P在⊙O内6. （1分）将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A . y=（x-1）2+2B . y=（x+1）2+2C . y=（x-1）2-2D . y=（x+1）2-27. （1分）在半径为1的⊙O中，120°的圆心角所对的弧长是（）A .B .C .D .8. （1分） (2018九上·铜梁期末) 如图，在矩形ABCD中AB＝，BC＝1，将矩形ABCD绕顶点B旋转得到矩形A'BC'D，点A恰好落在矩形ABCD的边CD上，则AD扫过的部分（即阴影部分）面积为（）A .B .C .D .9. （1分）下列两个图形必定相似的是（）A . 有两条边对应成比例的等腰三角形B . 有一个角是25度的等腰三角形C . 有一个角是100度的等腰三角形D . 有一个角相等，两边对应成比例的三角形10. （1分）(2018·常州) 如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA 的度数为（）A . 76°B . 56°C . 54°D . 52°11. （1分）下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（）A . y=x2B . y=x﹣1C .D . y=12. （1分）如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1 ， S2 ，那么S1 ， S2的比值是（）A . 1:1B . 8:9C . 9:8D . 3:2二、细心填一填 (共6题；共6分)13. （1分）(2017·抚顺模拟) 有5张背面完全相同的卡片，正面分别写有，（）0 ，，π，2﹣2 ．把卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取1张，其正面的数字是无理数的概率是________．14. （1分）(2017·景泰模拟) 把函数y=﹣2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移6个单位，所得的抛物线的函数关系式________．15. （1分）(2017·邵阳) 如图所示，已知∠AOB=40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD=OE；②分别以D，E为圆心，以大于 DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．则∠AOC的大小为________．16. （1分）(2017·雁江模拟) 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其主视图如图．⊙O与矩形ABCD的边BC，AD分别相切和相交（E，F是交点），已知EF=CD=8，则⊙O的半径为________．17. （1分）如图是小明在建筑物AB上用激光仪测量另一建筑物CD高度的示意图，在地面点P处水平放置一平面镜，一束激光从点A射出经平面镜上的点P反射后刚好射到建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=15米，BP=20米，PD=32米，B、P、D在一条直线上，那么建筑物CD的高度是________ 米．18. （1分）(2017·连云港模拟) 如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1 ，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2 ，交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3 ，交x 轴于点A3；…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点P（37，m）在此“波浪线”上，则m的值为________．三、用心做一做 (共8题；共18分)19. （2分） (2018九上·来宾期末) 如图，在方格纸中.（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，，并求出点坐标；（2）以原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形；（3）计算的面积 .20. （2分） (2016九下·苏州期中) 如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（若指针指在分界线时重转）．（1）请你用树状图或列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果；（2）两次转盘，第一次转得的数字记为m，第二次记为n，A的坐标为（m，n），则A点在函数y= 上的概率．21. （1分）要测量旗杆高CD ，在B处立标杆AB=2.5cm，人在F处．眼睛E、标杆顶A、旗杆顶C在一条直线上．已知BD=3.6m，FB=2.2m，EF=1.5m．求旗杆的高度．22. （3分） (2019九上·海淀期中) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与直线交于A, B两点，其中点A在x轴上.（1）用含有b的代数式表示c；（2）① 若点B在第一象限，且，求抛物线的解析式；② 若，结合函数图象，直接写出b的取值范围.23. （2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）24. （2分） (2018九上·十堰期末) 九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：时间x(天)1≤x＜5050≤x≤90售价(元/件)x＋4090每天销量(件)200－2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．25. （3分）(2017·陕西) 综合题（1）问题提出如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为________；（2）问题探究如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．（3）问题解决某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E，又测得DE=8m．请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）26. （3分） (2016九上·扬州期末) 如图，在△A BC中，点D为BC边的中点，以点D为顶点的∠EDF的两边分别与边AB，AC交于点E，F，且∠EDF与∠A互补．（1）如图1，若AB=AC，且∠A=90°，则线段DE与DF有何数量关系？请直接写出结论；（2）如图2，若AB=AC，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若AB：AC=m：n，探索线段DE与DF的数量关系，并证明你的结论．参考答案一、精心选一 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、细心填一填 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、用心做一做 (共8题；共18分)19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、24-3、25-1、25-2、26-1、26-2、26-3、。
2019-2020学年湖北省武汉市江岸区九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（）A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和32．平面直角坐标系内一点P（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣4）B．（4，3）C．（﹣4，﹣3）D．（4，﹣3）3．二次函数y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，3）4．点P到直线l的距离为3，以点P为圆心、以下列长度为半径画圆，能判断直线l与⊙P 相交的是（）A．1B．2C．3D．45．用配方法解一元二次方程x2+2x＝0，下列配方正确的是（）A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝1D．（x+1）2＝﹣1 6．已知一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，当a取下列值时，使方程无实数解的是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．17．如图，在⊙O中，点C为弧AB的中点．若∠ADC＝α（α为锐角），则∠APB＝（）A．180°﹣αB．180°﹣2αC．75°+αD．3α8．抛物线y＝（x﹣3）2﹣2经过平移得到抛物线y＝x2，平移过程正确的是（）A．先向下平移2个单位，再向左平移3个单位B．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位C．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位D．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位9．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（）A．4B．1C．﹣2D．﹣110．如图，在⊙O中，直径AB＝，EF为弦，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，BD 交⊙O于点G．若BD＝2AC，CE＝EF，则CD＝（）A．B．C．6D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．一元二次方程ax2+2x＝0的一个根是1，则a＝．12．二次函数y＝2x2﹣2x的对称轴是．13．在⊙O中，圆心角∠AOB＝80°，点P是圆上不同于点A、B的点，则∠APB＝°．14．已知y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），则分解因式x2+mx+n＝．15．如图，已知⊙O的半径为2，所对的圆心角∠AOB＝60°，点C为的中点，点D 为半径OB上一动点．将△CDB沿CD翻折得到△CDE，若点E落在半径OA、OB、围成的封闭图形内部（不包括边界），则OD的取值范围为．16．已知二次函数y＝ax2﹣bx+c与x轴存在一个公共点的坐标为（b2﹣4ac，0），则a•b满足的条件是．三、解答题（共8题，共72分）17．解方程：x2﹣x﹣1＝0．18．如图，已知抛物线y1＝ax2+k经过点（﹣2，﹣2）和（0，2）（1）求y1的解析式；（2）直接写出：抛物线y1向右平移一个单位，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为．19．要在一幅长为20分米、宽8分米的画的外围配一个四条边宽度相等的画框，且画框的面积为画的面积的，求画框的宽度．20．利用所学的知识在下列网格中进行操作，要求：仅用无刻度的直尺、保留作图痕迹，如图点A、B、C在小正方形的顶点．（1）在图1中，作出△ABC的中线AD；确定一个格点P，使AP⊥AB；（2）在图2中，作出△ABC的高线CE．21．如图，在⊙O中，弦BC⊥OA于点D，点F是CD上一点，AF交⊙O于点E，过点E 作⊙O的切线交BC于点H．（1）求证：EH＝FH；（2）若点C为的中点，AD＝2，OD＝1，求EH的长度．22．作为“第七届世界军人运动会”的举办地，“武汉每天不一样”，武汉越来越美，吸引大量游客来游玩．某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置．宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用．根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调x元（x为10的正整数倍），设一天订住的房间数为y．（1）直接写出y与x的函数关系式：，自变量x的取值范围是；（2）若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？（3）房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？23．如图1，AC⊥CH于点C，点B是射线CH上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点D对应点C）（1）延长ED交CH于点F，求证FA平分∠CFE；（2）如图2，当∠CAB＞60°时，点M为AB的中点，连接DM，请判断DM与DA、DE的数量关系，并证明；（3）如图3，作▱ABGE，连结DG，点N为DG的中点，连结EN．若AC＝EN＝3，直接写出四边形ADGE的面积．24．已知抛物线C：y1＝﹣x2+bx+4．（1）如图，抛物线与x轴相交于两点（1﹣m，0）、（1+m，0）．①求b的值；②当n≤x≤n+1时，二次函数有最大值为3，求n的值．（2）已知直线l：y2＝2x﹣b+9，当x≥0时，y1≤y2恒成立，求b的取值范围．2019-2020学年湖北省武汉市江岸区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项和常数项分别是（）A．2和3B．﹣2和3C．﹣2x和3D．2x和3【解答】解：一元二次方程x2﹣2x+3＝0的一次项是﹣2x，常数项是3，故选：C．2．平面直角坐标系内一点P（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣4）B．（4，3）C．（﹣4，﹣3）D．（4，﹣3）【解答】解：∵点P（﹣4，3），∴关于原点对称的点的坐标是（4，﹣3），故选：D．3．二次函数y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，3）【解答】解：二次函数y＝（x+2）2﹣3的图象的顶点坐标是（﹣2，﹣3）．故选：B．4．点P到直线l的距离为3，以点P为圆心、以下列长度为半径画圆，能判断直线l与⊙P 相交的是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵点P到圆心O的距离d为3，∴当d＜r时，直线l与⊙P相交，即r＞3故选：D．5．用配方法解一元二次方程x2+2x＝0，下列配方正确的是（）A．（x+1）2＝0B．（x﹣1）2＝0C．（x+1）2＝1D．（x+1）2＝﹣1【解答】解：x2+2x＝0，x2+2x+1＝0+1，（x+1）2＝1，故选：C．6．已知一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，当a取下列值时，使方程无实数解的是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【解答】解：∵方程无实数解，∴△＝4+4a＜0，∴a＜﹣1，故选：A．7．如图，在⊙O中，点C为弧AB的中点．若∠ADC＝α（α为锐角），则∠APB＝（）A．180°﹣αB．180°﹣2αC．75°+αD．3α【解答】解：连接BD，如图，∵点C为弧AB的中点，∴＝，∴∠BDC＝∠ADC＝α，∵∠APB+∠ADB＝180°，∴∠APB＝180°﹣2α．故选：B．8．抛物线y＝（x﹣3）2﹣2经过平移得到抛物线y＝x2，平移过程正确的是（）A．先向下平移2个单位，再向左平移3个单位B．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位C．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位D．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位【解答】解：抛物线y＝（x﹣3）2﹣2的顶点坐标为（3，﹣2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），而点（3，﹣2）先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得点（0，0），抛物线y＝（x﹣3）2﹣2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得抛物线y＝x2．故选：D．9．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（）A．4B．1C．﹣2D．﹣1【解答】解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，而a、b、m、n为互不相等的实数，∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，∴ab＝mn﹣2，∴ab﹣mn＝﹣2．故选：C．10．如图，在⊙O中，直径AB＝，EF为弦，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，BD 交⊙O于点G．若BD＝2AC，CE＝EF，则CD＝（）A．B．C．6D．【解答】解：连接AG、OE，作OM⊥CD于M，交AG于N，则EM＝FM，∵AB是直径，∴∠AGD＝90°，∵AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D，∴四边形ACDG是矩形，∴AC＝DG，AG＝CD，AG∥CD，∵OM⊥CD，∴OM⊥AG，∴AN＝GN，∵AC∥MO∥BD，∴CM＝DM，∴CE＝DF，∵CE＝EF，∴CE＝EF＝DF，∵OM∥BD，OA＝OB，∴ON＝BG，∴OM＝BG，∵AC＝DG，BD＝2AC，∴BG＝DG，设AC＝BG＝GD＝m，CE＝EF＝FD＝n，则AG＝CD＝3n，在Rt△ABG中，AG2+BG2＝AB2，在Rt△OME中，OM2+EM2＝OE2，∴解得n＝2，∴CD＝3n＝6，故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．一元二次方程ax2+2x＝0的一个根是1，则a＝﹣2．【解答】解：∵一元二次方程ax2+2x＝0的一个根为1，∴x＝1满足关于x的一元二次方程ax2+2x＝0，∴a+2＝0，解得，a＝﹣2；故答案是：﹣2．12．二次函数y＝2x2﹣2x的对称轴是直线x＝．【解答】解：根据题意得x＝﹣＝﹣＝．即对称轴是直线x＝，故答案为直线x＝．13．在⊙O中，圆心角∠AOB＝80°，点P是圆上不同于点A、B的点，则∠APB＝40或140°．【解答】解：如图，点P点在优弧AB上，则∠APB＝∠AOB＝×80°＝40°，点P点在劣弧AB上，则∠AP′B＝180°﹣40°＝140°，综上所述，∠APB的度数为40°或140°．故答案为40或140．14．已知y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），则分解因式x2+mx+n＝（x﹣1）（x+3）．【解答】解：∵y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+3），∴x2+mx+n＝（x﹣1）（x+3）．故答案为（x﹣1）（x+3）．15．如图，已知⊙O的半径为2，所对的圆心角∠AOB＝60°，点C为的中点，点D 为半径OB上一动点．将△CDB沿CD翻折得到△CDE，若点E落在半径OA、OB、围成的封闭图形内部（不包括边界），则OD的取值范围为﹣1＜OD＜．【解答】解：当点E落在半径OB上时，连接OC，如下图1所示，∵∠ADC＝90°，∠AOB＝60°，点C为弧AB的中点，点A（2，0），∴∠COD＝30°，OA＝OC＝2，∴CD＝OC•sin30°＝2×＝1，∴OD＝OC•cos30°＝2×＝，∴BD＝OB﹣OD＝2﹣，∵DE＝DB，∴OE＝OD﹣DE＝﹣（2﹣）＝2﹣2，当点E落在半径OA上时，连接OC，CD，如图2所示，由已知可得，CE＝CA＝CB，由上面的计算可知，OE＝2﹣2，∴点E的横坐标为：（2﹣2）×cos60°＝﹣1，点E的纵坐标为：（2﹣2）×sin60°＝3﹣，∴E（﹣1，3﹣），∴直线BE的解析式为y＝﹣x+2，∵CD⊥AE，C（，1），∴直线CD的解析式为y＝x+1﹣，令y＝0，解得x＝﹣1，∴D（﹣1），观察图形可知：OD的取值范围为﹣1＜OD＜．故答案为：﹣1＜OD＜．16．已知二次函数y＝ax2﹣bx+c与x轴存在一个公共点的坐标为（b2﹣4ac，0），则a•b满足的条件是ab＝0．【解答】解：因为二次函数y＝ax2﹣bx+c与x轴存在一个公共点，所以△＝0，即b2﹣4ac＝0．因为二次函数y＝ax2﹣bx+c与x轴存在一个公共点的坐标为（b2﹣4ac，0），所以此坐标为（0，0），所以抛物线经过原点，且对称轴为y轴，所以b＝0，因为a≠0，所以ab＝0．故答案为ab＝0．三、解答题（共8题，共72分）17．解方程：x2﹣x﹣1＝0．【解答】解：x2﹣x﹣1＝0，∴，．18．如图，已知抛物线y1＝ax2+k经过点（﹣2，﹣2）和（0，2）（1）求y1的解析式；（2）直接写出：抛物线y1向右平移一个单位，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为x．【解答】解：（1）依题意得：k＝2，将点（﹣2，﹣2）代入函数表达式得：﹣2＝4a+2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y1＝﹣x2+2…①；（2）y2＝﹣（x﹣1）2+2…②，联立①②并解得：x＝，从图象可以看出，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为：x＜；故答案为：x．19．要在一幅长为20分米、宽8分米的画的外围配一个四条边宽度相等的画框，且画框的面积为画的面积的，求画框的宽度．【解答】解：设画框的宽度为x分米，依题意，得：（20+2x）（8+2x）＝20×8×（1+），整理，得：x2+14x﹣15＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣15（不合题意，舍去）．答：画框的宽度为1分米．20．利用所学的知识在下列网格中进行操作，要求：仅用无刻度的直尺、保留作图痕迹，如图点A、B、C在小正方形的顶点．（1）在图1中，作出△ABC的中线AD；确定一个格点P，使AP⊥AB；（2）在图2中，作出△ABC的高线CE．【解答】解：（1）线段AD即为△ABC的中线；点P即为所求作的点；（2）线段CE即为所求．21．如图，在⊙O中，弦BC⊥OA于点D，点F是CD上一点，AF交⊙O于点E，过点E 作⊙O的切线交BC于点H．（1）求证：EH＝FH；（2）若点C为的中点，AD＝2，OD＝1，求EH的长度．【解答】（1）证明：连结OE．∵OA＝OE，∴∠A＝∠OEA，∵HE与⊙O相切于点E，∴OE⊥EH，∴∠OEA+∠AEH＝90°，在Rt△ADF中，∠A+∠ADF＝90°，∴∠AFD＝∠AEH，又∵∠AFD＝∠HFE，∴∠HFE＝∠AEH，∴EH＝FH；（2）解：连结OC交AE于M，AC，∵点C为的中点，∴，∴∠AOC＝∠EOC，∴OC垂直平分EF于点M，∵OA⊥BC，∴，BD＝CD，∴，∴∠CAE＝∠BCA，∴AF＝CF，∵，∴DC＝BC＝AE＝AM，在Rt△ODC中，CD＝，设DF＝x，则AF＝﹣x，在Rt△ADF中，x2+22＝，解得：x＝，连接OH，设EH＝y，则OH2＝12+＝32+y2，解得：y＝∴EH＝．22．作为“第七届世界军人运动会”的举办地，“武汉每天不一样”，武汉越来越美，吸引大量游客来游玩．某宾馆有40间客房，当客房的定价为210元/天时，客房全部住满；当房价每上调10元时，会有1间客房空置．宾馆对居住的每间房间支出30元/天的费用．根据规定，房价不得高于300元/天．设房价上调x元（x为10的正整数倍），设一天订住的房间数为y．（1）直接写出y与x的函数关系式：y＝40﹣，自变量x的取值范围是0＜x≤90且x为10的正整数倍；（2）若宾馆一天的利润为7770元，则房价应该为多少元？（3）房价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润为多少？【解答】解：（1）y＝40﹣（0＜x≤90且x为10的正整数倍），故答案为：y＝40﹣；（2）设总利润为W元，则W＝（210+x﹣30）（40﹣）＝﹣（x+180）（x﹣400）﹣（x﹣110）2+8410＝7770，x1＝30，x2＝190＞90舍去∴x＝30∴房间的定价为210+30＝240元；（3）W＝﹣（x﹣110）2+8410 （）0＜x≤90且为10的正整数倍）∵﹣＜0，开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∴当x＝90时，W有最大值为8370元，∴当房价为300元时，宾馆有最大利润为8370元．23．如图1，AC⊥CH于点C，点B是射线CH上一动点，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE（点D对应点C）（1）延长ED交CH于点F，求证FA平分∠CFE；（2）如图2，当∠CAB＞60°时，点M为AB的中点，连接DM，请判断DM与DA、DE的数量关系，并证明；（3）如图3，作▱ABGE，连结DG，点N为DG的中点，连结EN．若AC＝EN＝3，直接写出四边形ADGE的面积．【解答】（1）证明：如图1中，∵△ADE由△ABC旋转得到．∴AC＝AD，∠ACF＝∠ADE＝∠ADF＝90°，∴FA平分∠CFE．（2）结论：2DM+AD＝DE．证明：如图2中，延长AD交BC于F，连CD．∵AC＝AD，∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，AD＝CD＝AC，∵∠ACF＝90°，∴∠AFC＝30°，∴AC＝AF，∴AD＝DF，∴D为AF的中点，又∵M为AD的中点，∴DM＝FB，在Rt△AFC中，FC＝AC，∴DM＝FB＝（BC﹣CF）＝（BC﹣AC）＝（DE﹣AD）∴2DM+AD＝DE．（3）如图3中，连接CN，延长CN到M，使得NM＝CN，连接MG，ME，EC，延长CD交EG于J．∵DN＝GN，∠DNC＝∠MNG，NC＝NM，∴△NDC≌△NGM（SAS），∴GM＝CD，∠ADN＝∠MGN，∴CJ∥MG，∴∠CJG＝∠MGN，∵△ACD，△ABE都是等边三角形，∴∠ACD＝∠BAE＝60°，∵四边形AEGB是平行四边形，∴EG∥AB，∴∠AEG+∠EAB＝180°∴∠AEG＝120°，∴∠ACJ+∠AEJ＝180°，∴∠CAF+∠CJF＝180°，∵∠CJF+∠GJC＝180°，∴∠CAF＝∠GJC，∴∠CAF＝∠MGE，∵AE＝AB，∴四边形AEGB是菱形，∴AE＝GE，∴△CAE≌△MGE（SAS），∴EC＝EN，∠AEC＝∠CEM，∴∠CEM＝∠AEG＝120°∵CN＝NM，∴EN⊥CM，∴∠CEN＝∠MEN＝60°，∴CN＝EN＝3，MN＝2CN＝6∵S四边形ADGE＝S四边形AENC+S四边形EMGN﹣S△ACD﹣S△DNC﹣S△EMG＝S△AEC+S△ECM+S△MNG﹣S△ACD﹣S△DNC﹣S△EMG＝S△ECM﹣S△ACD＝×6×3﹣×32＝．24．已知抛物线C：y1＝﹣x2+bx+4．（1）如图，抛物线与x轴相交于两点（1﹣m，0）、（1+m，0）．①求b的值；②当n≤x≤n+1时，二次函数有最大值为3，求n的值．（2）已知直线l：y2＝2x﹣b+9，当x≥0时，y1≤y2恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（1）﹣x2+bx+4＝0x1+x2＝＝1﹣m+1+m＝2，b＝2；（2）抛物线开口向下，对称轴左侧y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小．i：n+1≤1即n≤0，当x＝n+1时，y有最大值，﹣（n+1）2+2（n+1）+4＝3，又∵n≤0，∴，ii：n≤1≤n+1即0≤n≤1，当x＝1时y有最大值，﹣12+2＜1+4＝3不成立，iii：n≥1时，当x＝n时，y有最大值，﹣n2+2n+4＝3，又∵n≥1，∴，综上所述：或；（3）y1≤y2，﹣x2+bx+4≤2x﹣b+9，x2+（2﹣b）x+5﹣b≥0，①：△≤0，（2﹣b）2﹣4（5﹣b）≤0，﹣4≤b≤4；②：△＞0则b＞4或b＜﹣4，i：，不成立，ii：，b≤2，又∵b＞4或b＜﹣4，∴b＜﹣4，综上所述b≤4．s。
武汉市黄陂区九年级上期中数学复习试卷(二)含解析
2022-2023湖北省武汉市黄陂区九年级（上）期中数学复习试卷（二）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x（x﹣1）=0的根是（）A．1 B．0 C．0或1 D．0或﹣12．下列是几个汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）A． B．C． D．3．若关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠04．已知方程2x2﹣4x﹣3=0两根分别是x1和x2，则x1x2的值等于（）A．﹣3 B．﹣C．3 D．5．如图，△ABC≌△AED，点D落在BC上，且∠B=60°，则∠EDC的度数等于（）A．45°B．30°C．60°D．75°6．用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=257．如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB于P，且P为OC的中点，则∠BAC的度数是（）A．45°B．60°C．25°D．30°8．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干、和小分支总数共57．若设主干长出x个支干，则可列方程是（）A．（1+x）2=57 B．1+x+x2=57 C．（1+x）x=57 D．1+x+2x=579．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b ﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．10．一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，以下四个结论：①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；③如果m是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．方程x2=2x的解是．12．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数是度．13．如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼撘而成，第一个图案需4根小木棒，则第6个图案小木棒根数是．14．太阳从西边出来，这个事件的概率为．15．已知方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，不解方程求α2+β2的值．16．某型号的手机连续两次降阶，每个售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x，列方程为．三、解答题（共8题，共72分）17．按要求解下列方程：x2+x﹣3=0（公式法）18．如图所示，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B （0，3）．求此抛物线所对应的函数关系式．19．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CO⊥AB于F，求证：AD=CD．20．已知a、b是方程x2+x﹣=0的两个实数根，求：a2+2a+b的值．21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．①将△ABC关于x轴作轴对称变换得△A1B1C1，则点C1的坐标为；②将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°得△A2B2C2，则点C2的坐标为；③△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，则对称中心的坐标为．22．如图所示，点P是正方形ABCD内的一点，连接AP，BP，CP，将△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置．若AP=2，BP=4，∠APB=135°，求PP′及PC的长．23．如图（1），在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD1=CE1；（2）当∠CPD1=2∠CAD1时，求CE1的长；（3）连接PA，△PAB面积的最大值为．（直接填写结果）24．如图，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）b=，点B的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=x2+bx+c交于点E，点D是x轴上一点，其坐标为（2，0），当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB、PC，设所得△PBC 的面积为S，求S的取值范围．2022-2023湖北省武汉市黄陂区九年级（上）期中数学复习试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．一元二次方程x（x﹣1）=0的根是（）A．1 B．0 C．0或1 D．0或﹣1【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】利用因式分解法把原方程转化为x=0或x﹣1=0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：x=0或x﹣1=0，所以x1=0，x2=1．故选C．2．下列是几个汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选A．3．若关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣1=0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a≠1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠0【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得a﹣1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1．故选：A．4．已知方程2x2﹣4x﹣3=0两根分别是x1和x2，则x1x2的值等于（）A．﹣3 B．﹣C．3 D．【考点】根与系数的关系．【分析】利用根与系数的关系，直接得出两根的积．【解答】解：∵方程2x2﹣4x﹣3=0两根分别是x1和x2，12故选：B．5．如图，△ABC≌△AED，点D落在BC上，且∠B=60°，则∠EDC的度数等于（）A．45°B．30°C．60°D．75°【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形的性质：对应角和对应边相等解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠ADE=60°，AB=AD，∴∠ADB=∠B=60°，∴∠EDC=180°﹣∠ADE﹣∠ADB=60°．故选C．6．用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A．（x+4）2=﹣7 B．（x+4）2=﹣9 C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=25【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．【解答】解：方程x2+8x+9=0，整理得：x2+8x=﹣9，配方得：x2+8x+16=7，即（x+4）2=7，故选C7．如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB于P，且P为OC的中点，则∠BAC的度数是（）A．45°B．60°C．25°D．30°【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形．【分析】连接OB，根据OC⊥AB，P为OC的中点可得出OP=OB，故∠OBP=30°，由直角三角形的性质得出∠BOP的度数，根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接OB，∵OC⊥AB，P为OC的中点，∴∠OBP=30°，∴∠BOP=90°﹣30°=60°，∴∠BAC=∠BOP=30°．故选D．8．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干、和小分支总数共57．若设主干长出x个支干，则可列方程是（）A．（1+x）2=57 B．1+x+x2=57 C．（1+x）x=57 D．1+x+2x=57【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】关键描述语是“主干、支干、小分支的总数是73”，等量关系为：主干1+支干数目+小分支数目=57，把相关数值代入即可．【解答】解：∵主干为1，每个支干长出x个小分支，每个支干又长出同样数目的小分支，∴小分支的个数为x×x=x2，∴可列方程为1+x+x2=57．故选B．9．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b ﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；正比例函数的图象．【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，即可进行判断．【解答】解：∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，又∵﹣＞0，a＞0∴﹣=﹣+＞0∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，∴A符合条件，故选A．10．一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，以下四个结论：①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；③如果m是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【分析】利用根的判别式与求根公式直接判断①②；利用代入的方法判断③④即可．【解答】解：①两个方程根的判别式都是△=b2﹣4ac，所以如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根正确；②如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确；③如果m是方程M的一个根，那么m2a+mb+c=0，两边同时除以m2，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误．正确的是①②③共3个．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．方程x2=2x的解是x1=0，x2=．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】首先移项，利用因式分解法将原式分解因式得出即可．【解答】解：x2=2xx2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，解得：x1=0，x2=．故答案为：x1=0，x2=．12．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数是45度．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质并结合一个周角是360°求解．【解答】解：∵一个周角是360度，等腰直角三角形的一个锐角是45度，∴如图，是由一个等腰直角三角形每次旋转45度，且旋转8次形成的．∴每次旋转的度数是45°．13．如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼撘而成，第一个图案需4根小木棒，则第6个图案小木棒根数是54．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由题意可知：第1个图案需要小木棒1×（1+3）=4根，第二个图案需要2×（2+3）=10根，第三个图案需要3×（3+3）=18根，第四个图案需要4×（4+3）=28根，…，继而即可找出规律，进一步求出第6个图案需要小木棒的根数【解答】解：拼搭第1个图案需4=1×（1+3）根小木棒，拼搭第2个图案需10=2×（2+3）根小木棒，拼搭第3个图案需18=3×（3+3）根小木棒，拼搭第4个图案需28=4×（4+3）根小木棒，…拼搭第n个图案需小木棒n（n+3）=n2+3n根．当n=6时，n2+3n=62+3×6=54．故答案为：54．14．太阳从西边出来，这个事件的概率为0．【考点】概率的意义．【分析】根据事件的类型判断相应的概率即可．【解答】解：太阳从西边出来为不可能事件，故这个事件的概率为0．故答案为：0．15．已知方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，不解方程求α2+β2的值．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系找出α+β=﹣3、αβ=﹣1，利用完全平方公式将α2+β2的变形为只含α+β、αβ的算式，代入数据即可得出结论．【解答】解：∵方程x2+3x﹣1=0的两个实数根为α、β，∴α+β=﹣3，αβ=﹣1，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=9+2=11．16．某型号的手机连续两次降阶，每个售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x，列方程为1185（1﹣x）2=850．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后售价为1185（1﹣x），第二次降价后售价为1185（1﹣x）2，然后根据两次降阶后的售价建立等量关系即可．【解答】解：根据题意得1185（1﹣x）2=850．故答案为1185（1﹣x）2=850．三、解答题（共8题，共72分）17．按要求解下列方程：x2+x﹣3=0（公式法）【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式x=计算即可．【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣3，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣3）=13＞0，x==，∴x1=，x2=．18．如图所示，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B （0，3）．求此抛物线所对应的函数关系式．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】直接利用待定系数法求出二次函数解析式进而得出答案．【解答】解：把点A（4，0），B（0，3）代入二次函数y=﹣x2+bx+c，，解得：，所以二次函数的关系式为：y=﹣x2+x+3．19．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CO⊥AB于F，求证：AD=CD．【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质．【分析】由CD⊥AB于E，CO⊥AB于F，根据垂径定理可得AD=2AF，CD=2CE，∠OEC=∠OFA=90°，然后由AAS判定△COE≌△AOF，继而证得CE=AF，则可证得结论．【解答】证明：∵CD⊥AB，CO⊥AB，∴∠OEC=∠OFA=90°，AD=2AF，CD=2CE，在△OCE和△OAF中，，∴△OCE≌△OAF（AAS），∴CE=AF，∴AD=CD．20．已知a、b是方程x2+x﹣=0的两个实数根，求：a2+2a+b的值．【考点】根与系数的关系．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣=0，即a2+a=，则a2+2a+b可化为a2+a+a+b=+a+b，然后利用根与系数的关系得到a+b=﹣1，再利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣=0的两个实数根，∴a2+a﹣=0，a+b=﹣1，∴a2+a=，∴a2+2a+b=a2+a+a+b=﹣1=．21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）．①将△ABC关于x轴作轴对称变换得△A1B1C1，则点C1的坐标为（3，﹣1）；②将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°得△A2B2C2，则点C2的坐标为（﹣1，3）；③△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，则对称中心的坐标为（，）．【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．【分析】（1）根据轴对称图形的性质可知点C的坐标为（3，﹣1）；（2）根据旋转变换图形的性质也可求出点C2的坐标；（3）成中心对称，连续各对称点，连线的交点就是对称中心，从而可以找出对称中心的坐标．【解答】解：（1）点C1的坐标为（3，﹣1）；（2）点C2的坐标为（﹣1，3）；（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，对称中心的坐标为．22．如图所示，点P是正方形ABCD内的一点，连接AP，BP，CP，将△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置．若AP=2，BP=4，∠APB=135°，求PP′及PC的长．【考点】旋转的性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】先根据旋转的性质得到BP′=BP=4，P′C=AP=2，∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，则可判断△PB P′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得PP′=BP=4，∠BP′P=45°，于是可计算出∠PP′C=90°，然后在Rt△PP′C中利用勾股定理计算PC的长．【解答】解：∵△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，∴BP′=BP=4，P′C=AP=2，∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，∴△PB P′是等腰直角三角形，∴PP′=BP=4，∠BP′P=45°，∴∠PP′C=∠BP′C﹣∠BP′P=135°﹣45°=90°，在Rt△PP′C中，PC===6．答：PP′和PC的长分别为4，6．23．如图（1），在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD1=CE1；（2）当∠CPD1=2∠CAD1时，求CE1的长；（3）连接PA，△PAB面积的最大值为2+2．（直接填写结果）【考点】几何变换综合题．【分析】（1）由旋转得到△ABD1≌△ACE1的条件即可；（2）由（1）的结论，在利用勾股定理计算即可；（3）作出辅助线，利用勾股定理建立方程求出即可．【解答】解：（1）在△ABD1和△ACE1中∴△ABD1≌△ACE1∴BD1=CE1（2）由（1）知△ABD1≌△ACE1，可证∠CPD1=90°∴∠CAD1=45°，∴∠BAD1=135°延长BA交D1E1于F，∴∠D1AF=45°=∠AD1E1，∴AF=D1F==；∵∠AFD1=90°，∴BD1=2．（3）如图作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，则BD1==2，∴∠ABP=30°，∴PB=2+2，∴点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+．∴△PAB的面积最大值为AB×PG=2+2，故答案为2+2．24．如图，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）b=+c，点B的横坐标为﹣2c（上述结果均用含c的代数式表示）；（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=x2+bx+c交于点E，点D是x轴上一点，其坐标为（2，0），当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB、PC，设所得△PBC 的面积为S，求S的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将A（﹣1，0）代入y=x2+bx+c，可以得出b=+c；根据一元二次方程根与系数的关系，得出﹣1•x B=，即x B=﹣2c；（2）由y=x2+bx+c，求出此抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，c），则可设直线BC的解析式为y=kx+c，将B点坐标代入，运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x+c；由AE∥BC，设直线AE得到解析式为y=x+m，将点A的坐标代入，运用待定系数法求出直线AE得到解析式为y=x+；解方程组，求出点E坐标为（1﹣2c，1﹣c），将点E坐标代入直线CD的解析式y=﹣x+c，求出c=﹣2，进而得到抛物线的解析式；，易求0＜S＜5；（Ⅱ）（3）分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，由0＜S＜S△ACB当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．设点P坐标为（x，x2﹣x﹣2），则点F坐标为（x，x﹣2），PF=PG﹣GF=﹣x2+2x，S=PF•OB=﹣x2+4x=﹣（x=4，即0＜S≤4．则0＜S＜5．﹣2）2+4，根据二次函数的性质求出S最大值【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣1，0），∴0=×（﹣1）2+b×（﹣1）+c，∴b=+c，∵抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（x B，0）（点A位于点B的左侧），∴﹣1与x B是一元二次方程x2+bx+c=0的两个根，∴﹣1•x B=，∴x B=﹣2c，即点B的横坐标为﹣2c；故答案为： +c；﹣2c；（2）∵抛物线y=x2+bx+c与y轴的负半轴交于点C，∴当x=0时，y=c，即点C坐标为（0，c）．设直线BC的解析式为y=kx+c，∵B（﹣2c，0），∴﹣2kc+c=0，∵c≠0，∴k=，∴直线BC的解析式为：y=x+c．∵AE∥BC，∴可设直线AE得到解析式为y=x+m，∵点A的坐标为（﹣1，0），∴×（﹣1）+m=0，解得：m=，∴直线AE得到解析式为：y=x+．由，解得，，∴点E坐标为（1﹣2c，1﹣c）．∵点C坐标为（0，c），点D坐标为（2，0），∴直线CD的解析式为y=﹣x+c．∵C，D，E三点在同一直线上，∴1﹣c=﹣×（1﹣2c）+c，∴2c2+3c﹣2=0，∴c1=（与c＜0矛盾，舍去），c2=﹣2，∴b=+c=﹣，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（3）①设点P坐标为（x，x2﹣x﹣2）．∵点A的坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，﹣2），∴AB=5，OC=2，直线BC的解析式为y=x﹣2．分两种情况：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时，0＜S＜S△ACB．∵S△ACB=AB•OC=5，∴0＜S＜5；（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．∴点F坐标为（x，x﹣2），∴PF=PG﹣GF=﹣（x2﹣x﹣2）+（x﹣2）=﹣x2+2x，∴S=S△PFC +S△PFB=PF•OB=（﹣x2+2x）×4=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴当x=2时，S最大值=4，∴0＜S≤4．综上可知0＜S＜5．11月1日。
湖北省武汉市部分学校联考九年级数学上学期期中试题(
湖北省武汉市部分学校联考2015-2016学年九年级数学上学期期中试题一、选择题（每小题3分，共30分）1．将方程3x2﹣8x=10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数，一次项系数，常数项分别是（）A．3，﹣8，﹣10 B．3，﹣8，10 C．3，8，﹣10 D．﹣3，﹣8，﹣102．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=93．在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．将二次函数y=（x﹣1）2﹣2的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后顶点为（）A．（1，3）B．（2，﹣1）C．（0，﹣1）D．（0，1）5．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°6．如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（）A．20cm2B．15cm2C．10cm2D．25cm27．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．（1+x）2=B．（1+x）2=C．1+2x=D．1+2x=8．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m．水面下降2.5m，水面宽度增加（）A．1m B．2m C．3m D．6m9．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c 的图象可能是（）A．B．C．D．10．一元二次方程：M：ax2+bx+c=0； N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，以下四个结论：①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；③如果m是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题3分，共18分）11．若点A（2，1）与点B是关于原点O的对称点，则点B的坐标为．12．一元二次方程x2﹣2x=0的解是．13．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为m．14．二次函数y=﹣2x2﹣3x+k的图象在x轴下方，则k的取值范围是．15．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，…．若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为，点A2015的坐标为．16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB的中点，E，F分别为边AC，BC上的点，且AE=AD，BF=BD．若DE=2，DF=4，则AB的长为．三、解答题（共8道小题，共72分）17．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0（1）若方程有一根为1，求a的值；（2）若a=1，求方程的两根．18．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到；（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．19．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=1﹣x1x2，求k的值．20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C （﹣1，3）．（1）请按下列要求画图：①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标．21．如图，已知△ABC是等边三角形．（1）如图（1），点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED=EC．将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF．猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系；（2）点E在线段BA的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整，并猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系；（3）请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明．22．已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，由于供货方的原因销量不得超过380件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每星期的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）该产品销售价定为每件多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）该产品销售价在什么范围时，每星期的销售利润不低于6000元，请直接写出结果．23．如图（1），在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE 绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD1=CE1；（2）当∠CPD1=2∠CAD1时，求CE1的长；（3）连接PA，△PAB面积的最大值为．（直接填写结果）24．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）．（1）求顶点A的坐标；（2）在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，使得∠PAB=45°，求点P坐标；（3）如图（2），将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．2015-2016学年湖北省武汉市部分学校联考九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．将方程3x2﹣8x=10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数，一次项系数，常数项分别是（）A．3，﹣8，﹣10 B．3，﹣8，10 C．3，8，﹣10 D．﹣3，﹣8，﹣10【分析】要确定二次项系数，一次项系数，常数项，首先要把方程化成一般形式．【解答】解：由已知方程得到：3x2﹣8x﹣10=0，则它的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3，﹣8，﹣10．故选：A．2．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x+2）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣2）2=9【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x2﹣2x=5，方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x2﹣2x+1=6∴（x﹣1）2=6．故选：C．3．在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：根据中心对称图形的概念可得：图形B不是中心对称图形．故选B．4．将二次函数y=（x﹣1）2﹣2的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后顶点为（）A．（1，3）B．（2，﹣1）C．（0，﹣1）D．（0，1）【分析】利用平移规律左加右减，上加下减即可求得平移后的顶点坐标．【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2﹣2的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后，得出：y=（x﹣1﹣1）2﹣2+1，即y=（x﹣2）2﹣1；得到顶点坐标为（2，﹣1）．故选B．5．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．6．如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（）A．20cm2B．15cm2C．10cm2D．25cm2【分析】观察图形可知，黑白图形都是互相对称的，故其面积相等，则图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半．【解答】解：根据题意观察图形可知，长方形的面积=10×4=40cm2，再根据中心对称的性质得：图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，则图中阴影部分的面积=×40=20cm2．故选A．7．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．（1+x）2=B．（1+x）2=C．1+2x=D．1+2x=【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨x，每天相对于前一天就上涨到1+x．【解答】解：设平均每天涨x．则90%（1+x）2=1，即（1+x）2=，故选B．8．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m．水面下降2.5m，水面宽度增加（）A．1m B．2m C．3m D．6m【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5=﹣0.5x2+2，解得：x=±3，所以水面宽度增加到6米，比原先的宽度当然是增加了2米．故选：B．9．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c 的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，即可进行判断．【解答】解：∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，又∵﹣＞0，a＞0∴﹣=﹣+＞0∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，∴A符合条件，故选A．10．一元二次方程：M：ax2+bx+c=0； N：cx2+bx+a=0，其中ac≠0，a≠c，以下四个结论：①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；③如果m是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用根的判别式与求根公式直接判断①②；利用代入的方法判断③④即可．【解答】解：①两个方程根的判别式都是△=b2﹣4ac，所以如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根正确；②如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a 与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确；③如果m是方程M的一个根，那么m2a+mb+c=0，两边同时除以m2，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误．正确的是①②③共3个．故选：C．二、填空题（每题3分，共18分）11．若点A（2，1）与点B是关于原点O的对称点，则点B的坐标为（﹣2，﹣1）．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【解答】解：点A（2，1）与点B是关于原点O的对称点，则点B的坐标为（﹣2，﹣1），故答案为（﹣2，﹣1）．12．一元二次方程x2﹣2x=0的解是x1=0，x2=2 ．【分析】本题应对方程左边进行变形，提取公因式x，可得x（x﹣2）=0，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”，即可求得方程的解．【解答】解：原方程变形为：x（x﹣2）=0，x1=0，x2=2．故答案为：x1=0，x2=2．13．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长为7 m．【分析】本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x﹣3）（x﹣2）=20，解得：x1=7，x2=﹣2（不合题意，舍去）即：原正方形的边长7m．故答案是：7．14．二次函数y=﹣2x2﹣3x+k的图象在x轴下方，则k的取值范围是k＜﹣．【分析】由a＜0，且图象在x轴下方可知函数图象与x轴没有交点，故△＜0，从而可求得k的取值范围．【解答】解：∵二次函数y=﹣2x2﹣3x+k的图象在x轴下方，∴△＜0，即（﹣3）2﹣4×（﹣2）k＜0．解得：k＜﹣．故答案为：k＜﹣．15．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，…．若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为（﹣3，1），点A2015的坐标为（﹣3，1）．【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2015除以4，根据商和余数的情况确定点A2015的坐标即可．【解答】解：∵点A1的坐标为（3，1），∴A2（﹣1+1，3+1）即（0，4），A3（﹣3，﹣1+2）即（﹣3，1），A4（1﹣1，﹣3+1）即（0，﹣2），A5（3，1），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2015÷4=503余3，∴点A2015的坐标与A3的坐标相同，为（﹣3，﹣1+2），即（﹣3，1）；故答案为：（﹣3，1）；（﹣3，1）．16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB的中点，E，F分别为边AC，BC上的点，且AE=AD，BF=BD．若DE=2，DF=4，则AB的长为4．【分析】延长FD到M使得DM=DF，连接AM、EM、EF，作EN⊥DF于N，先证明∠EDF=45°，在RT△EMN 中求出EM，再证明△AEM是等腰直角三角形即可解决问题．【解答】解：如图，延长FD到M使得DM=DF，连接AM、EM、EF，作EN⊥DF于N．∵∠C=90°，∴∠BAC+∠B=90°，∵AE=AD，BF=BD，∴∠AED=∠ADE，∠BDF=∠BFD，∴2∠ADE+∠BAC=180°，2∠BDF+∠B=180°，∴2∠ADE+2∠BDF=270°，∴∠ADE+∠BDF=135°，∴∠EDF=180°﹣（∠ADE+∠BDF）=45°，∵∠END=90°，DE=2，∴∠EDN=∠DEN=45°，∴EN=DN=2，在△DAM和△DBF中，，∴△ADM≌△BDF，∴BF=AM=BD=AD=AE，∠MAD=∠B，∴∠MAE=∠MAD+∠BAC=90°，∴EM=AM，在RT△EMN中，∵EN=2，MN=DM+DN=6，∴EM==2，∴AM=2，AB=2AM=4．故答案为4．三、解答题（共8道小题，共72分）17．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0（1）若方程有一根为1，求a的值；（2）若a=1，求方程的两根．【分析】（1）把x=1代入已知方程得到关于a的一元一次方程1+2+a﹣2=0，通过解该方程求得a的值即可；（2）把a=1代入已知方程，利用公式法解方程．【解答】解：（1）将x=1代入方程得1+2+a﹣2=0，解得a=1；（2）将a=1代入方程得x2+2x﹣1=0，∵a=1，b=2，c=﹣1，∴x==﹣1±．∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣．18．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转90 度得到；（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．【分析】（1）根据正方形的性质得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF；（2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，则∠BAF+∠BAE=90°，即∠FAE=90°，根据旋转的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到；（3）先利用勾股定理可计算出AE=10，再根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，而F是CB的延长线上的点，∴∠ABF=90°，在△ADE和△ABF中，∴△ADE≌△ABF（SAS）；（2）解：∵△ADE≌△ABF，∴∠BAF=∠DAE，而∠DAE+∠EAB=90°，∴∠BAF+∠EAB=90°，即∠FAE=90°，∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到；故答案为A、90；（3）解：∵BC=8，∴AD=8，在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，∴AE==10，∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到，∴AE=AF，∠EAF=90°，∴△AEF的面积=AE2=×100=50（平方单位）．19．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=1﹣x1x2，求k的值．【分析】（1）根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到△≥0，即4（k﹣1）2﹣4×1×k2≥0，解不等式即可得到k的范围；（2）根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到x1+x2=2（k﹣1），x1x2=k2，则2（k﹣1）+k2=1，即k2+2k﹣3=0，利用因式分解法解得k1=﹣3，k2=1，然后由（1）中的k的取值范围即可得到k的值．【解答】解：（1）∵方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2，∴△≥0，即4（k﹣1）2﹣4×1×k2≥0，解得k≤，∴k的取值范围为k≤；（2）∵方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=2（k﹣1），x1x2=k2，∴2（k﹣1）+k2=1，即k2+2k﹣3=0，∴k1=﹣3，k2=1，∵k≤，∴k=﹣3．20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C （﹣1，3）．（1）请按下列要求画图：①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标．【分析】（1）①根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；②根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；（2）连接B1B2，C1C2，交点就是对称中心M．【解答】解：（1）①△A1B1C1如图所示；②△A2B2C2如图所示；（2）连接B1B2，C1C2，得到对称中心M的坐标为（2，1）．21．如图，已知△ABC是等边三角形．（1）如图（1），点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED=EC．将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF．猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系；（2）点E在线段BA的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整，并猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系；（3）请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明．【分析】（1）猜想：AB=AF+BD；（2）猜想：AB=AF﹣BD；（3）过点E作EG∥BC交AC于点G，得△AEG为等边三角形，证明△BDE≌△GEC，得到BD=EG=AE又因为AF=BE，所以AB=BE+AE=AF+BD．【解答】解：（1）猜想：AB=AF+BD；（2）如图2，猜想：AB=AF﹣BD；（3）如图（1），过点E作EG∥BC交AC于点G，得△AEG为等边三角形，∵DE=CE，∴∠CDE=∠ECD，又∵∠CDE+∠BED=∠ABC=∠ACD=∠ECD+∠GCE，∴∠BED=∠GCE，在△BDE和△GEC中，，又∵BE=CG，DE=CE，∴△BDE≌△GEC，∴BD=EG=AE又∵AF=BE，∴AB=BE+AE=AF+BD．22．已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，由于供货方的原因销量不得超过380件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每星期的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）该产品销售价定为每件多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）该产品销售价在什么范围时，每星期的销售利润不低于6000元，请直接写出结果．【分析】（1）根据利润=（售价﹣进价）×销售件数即可求得W与x之间的函数关系式；（2）利用配方法求得函数的最大值，从而可求得答案；（3）根据每星期的销售利润不低于6000元列不等式求解即可．【解答】解：（1）w=（20﹣x）（300+20x）=﹣20x2+100x+6000，∵300+20x≤380，∴x≤4，且x为整数；（2）w=﹣20x2+100x+6000=﹣20（x﹣）2+6125，∵﹣20（x﹣）2≤0，且x≤4的整数，∴当x=2或x=3时有最大利润6120元，即当定价为57或58元时有最大利润6120元；（3）根据题意得：﹣20（x﹣）2+6125≥6000，解得：0≤x≤5．答：售价不低于55元且不高于60元时，每星期利润不低于6000元．23．如图（1），在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE 绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，如图（2），设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD1=CE1；（2）当∠CPD1=2∠CAD1时，求CE1的长；（3）连接PA，△PAB面积的最大值为2+2．（直接填写结果）【分析】（1）由旋转得到△ABD1≌△ACE1的条件即可；（2）由（1）的结论，在利用勾股定理计算即可；（3）作出辅助线，利用勾股定理建立方程求出即可．【解答】解：（1）在△ABD1和△ACE1中∴△ABD1≌△ACE1∴BD1=CE1（2）由（1）知△ABD1≌△ACE1，可证∠CPD1=90°∴∠CAD1=45°，∴∠BAD1=135°延长BA交D1E1于F，∴∠D1AF=45°=∠AD1E1，∴AF=D1F==；∵∠AFD1=90°，∴BD1=2．（3）如图∵∠BPC=90°，∴点P在以BC为直径的⊙O上，作GH⊥AB于H，设AH=EK=GK=x，∴OK=x+2，∴x2+（x+2）2=8，∴x=﹣1，GH=+1，∴△PAB的面积最大值为2+224．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）．（1）求顶点A的坐标；（2）在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，使得∠PAB=45°，求点P坐标；（3）如图（2），将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；（2）根据全等三角形的判定与性质，可得QH，BH的长，可得Q点坐标，根据待定系数法，可得直线AP的解析式，根据解方程组，可得P点坐标；（3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与OA，可得C、D点的横坐标，根据勾股定理，可得答案．【解答】解：（1）依题意﹣32+3m+m﹣2=﹣3∴m=2，∴y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1∴顶点A（1，1）；（2）过B作BQ⊥BA交AP于Q，过B作GH∥y轴分别过A，Q作AG⊥GH于G，QH⊥GH于H，∠AGB=∠ABQ=∠BHQ=90°，∴∠ABG=∠BQH．∵∠PAB=45°，∴BA=BQ．在△ABG和△BQH中，，∴△ABG≌△BQH （AAS），∴AG=BH=3﹣1=2，BG=QH=1﹣（﹣3）=4∴Q（﹣1，﹣5）∴直线AP的解析式为y=3x﹣2联立抛物线与AP，得∴﹣x2+2x=3x﹣2∴x1=1（不符合题意的解要舍去），x2=﹣2∴P（﹣2，﹣8）；（3）在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是为定值，∵直线OA的解析式为y=x，∴可设新抛物线解析式为y=﹣（x﹣a）2+a联立抛物线与OA，，∴﹣（x﹣a）2+a=x，∴x1=a，x2=a﹣1，x1﹣x2=1；y1x1=a，y2=x2=a﹣1，y1﹣y2=1；即C，D两点横坐标的差是常数1，C，D两点纵坐标的差是常数1，∴CD====，∴在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是定值．。
2022年湖北武汉武昌区武汉市武珞路中学九上期中数学试卷(含答案)
2022年湖北武汉武昌区武汉市武珞路中学九上期中数学试卷1.（2022·武汉市武昌区·期中）下列学生喜欢的手机应用软件图标中，是中心对称图形的是( )A．B．C．D．2.（2022·武汉市武昌区·期中）方程x(x+5)=5x−10化成一般形式后，它的一次项系数是( )A．−5B．5C．0D．103.（2022·武汉市武昌区·期中）抛物线y=−12x2向右平移2个单位长度得到抛物线的解析式为( )A．y=−12(x+2)2B．y=−12(x−2)2C．y=−12x2+2D．y=−12x2−24.（2022·武汉市武昌区·期中）方程2x2−3x−32=0的根的情况是( )A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根C．无实数根D．以上三种情况都有可能5.（2022·武汉市武昌区·期中）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=100∘，P为劣弧AB上一点，则∠APB度数是( )A．80∘B．50∘或130∘C．100∘D．130∘6.（2022·武汉市武昌区·期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面再下降1.5m，水面宽度为( )m．A．4.5B．2√5C．2√6D．2√77.（2022·武汉市武昌区·期中）若A(2,y1)，B(−√5,y2)，C(−2,y3)是抛物线y=2x2−4x+c上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y1<y3<y2B．y3<y1<y2C．y3=y1<y2D．y2<y3<y18.（2022·武汉市武昌区·期中）某区为加强对教师队伍的建设的投入，2022年投入1000万元，预计2022年、2022年两年共投入4000万元．设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下列所列方程正确的是( )A．1000(1+x)2=4000B．1000(1+x2)=4000C．1000+1000(1+x)+1000(1+x)2=4000D．1000(1+x)+1000(1+x)2=40009.（2022·武汉市武昌区·期中）如图1，在矩形ABCD中，AB<AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP 的面积为y，y与x的函数关系图象如图2所示，则AD边的长为( )A．3B．4C．5D．610.（2022·武汉市武昌区·期中）已知二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0；当1≤x≤2时，总有y≤0，那么c的取值范围是( )A．0≤c≤2B．c≥2C．1≤c≤2D．c≤211.（2022·武汉市武昌区·期中）已知点A(a,1)与点Aʹ(5,b)关于原点对称，则a+b=．12.（2022·武汉市武昌区·期中）方程2(x−1)2=8的解是．13.（2022·武汉市武昌区·期中）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s=60t−1.2t2，飞机着陆后滑行米才能停下来．14.（2022·武汉市武昌区·期中）已知⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB于点M；若OM:OA=3:5，则弦AC=．15.（2022·武汉市武昌区·期中）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3,0)，点P(1,2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90∘，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置⋯，则正方形铁片连续旋转2022次后，点P的坐标为．16.（2022·武汉市武昌区·期中）如图，△ABC中，AB=8，AC=5，BC=7，D是AB上一动点，线段CD绕点C逆时针旋转60∘得到线段CE，则线段BE的最小值为．17.（2022·武汉市武昌区·期中）解方程：x2+4x−3=0．18.（2022·武汉市武昌区·期中）关于x的一元二次方程x2+(2a−1)x+a2=0有实数根．(1) 求a得取值范围．(2) 若两实数根为x1，x2且x12+x22=7，求a的值．19.（2022·武汉市武昌区·期中）如图，在平面直角坐标中，已知A(−2,−4)，B(0,−4)，C(1,−1)．(1) 画出△ABC绕O点逆时针旋转90∘后的图形△A1B1C1，并写出C1的坐标．(2) 将（1）中所得△A1B1C1先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A2B2C2，画△A2B2C2．(3) 若△A2B2C2可看作△ABC绕某点旋转得来，则旋转中心的坐标为．20.（2022·武汉市武昌区·期中）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c图象经过点A(−1,0)和点C(0,3)．(1) 求该二次函数的解析式．(2) 结合函数图象，直接写出：当−1<x<2时，函数y的取值范围．21.（2022·武汉市武昌区·期中）如图，AB是⊙O的直径，弦BC，DE的延长线交于点F，AB⊥DE于H，连接BE，CF．(1) 求证：∠BEC=∠F．(2) 连OE，OE∥BC，若CE=13，DE=24，求⊙O的半径．22.（2022·武汉市武昌区·期中）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为21米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）建成后木栏总长45米，设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米．(1) 饲养场另一边BC=米（用x的代数式表示）．(2) 若饲养场ABCD的面积为180平方米，求x的值．(3) 饲养场ABCD的面积能围成面积比180m2更大的吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．23.（2022·武汉市武昌区·期中）已知，等边△ABC和等腰△CDE中，CD=DE，∠CDE=120∘，CB=CE．(1) 如图①，若点B和点E重合，直接写出AB与BD之间的关系．(2) 若将如图①的△CDE绕C旋转至图②位置，连BE，G为BE中点，连AG，DG，试探究AG与DG之间的关系，并证明．(3) 如图③，AB=3，连接BE，AD，G，H分别为BE，AD中点，在△CDE绕C旋转过程中，GH取值范围为．24.（2022·武汉市武昌区·期中）抛物线y=ax2−4ax+3a(a>0)交x轴正半轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴正半轴于C．(1) 如图①，连接AC，BC，若△ABC的面积为3．①求抛物线的解析式．②抛物线上是否存在点P，使∠PCB+∠ACB≤45∘若存在，求出P点横坐标的取值范围．(2) 如图②，若Q为B点右侧抛物线上的动点，直线QA，QB分别交y轴于点D，E，判断CD:DE的值是否为定值，说明理由．答案1. 【答案】C【解析】A，B，D非中心对称．【知识点】中心对称及其性质2. 【答案】C【解析】x(x+5)=5x−10．x2+5x−5x+10=0．x2+10=0．∴一次项系数是0，故C正确．【知识点】一元二次方程的概念3. 【答案】B【解析】抛物线y=−12x2向右平移2个单位，得y=−12(x−2)2．【知识点】二次函数的图象变换4. 【答案】A【解析】∵Δ=(−3)2−4×2×(−32)=9+12=21>0，∴方程有2个不相等实数根．【知识点】一元二次方程根的判别式5. 【答案】D【解析】在优孤AB⏜上取一点C，连接CA，CB，∵∠AOB=100∘，∴∠C=12∠AOB=50∘，∴∠APB=180∘−50∘=130∘．【知识点】圆周角定理及其推理、圆内接四边形的性质6. 【答案】D【解析】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为(0,2)，设顶点式y=ax2+2，把A点坐标(−2,0)代入得a=−0.5，∴抛物线解析式为y=−0.5x2+2，当水面下降1.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=−1.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=−1.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=−1.5代入抛物线解析式得出：−1.5=−0.5x2+2，解得：x=±√7．√7−(−√7)=2√7∴水面下降1.5m，水面宽度2√7米．【知识点】二次函数的应用7. 【答案】A【解析】已知抛物线y=2x2−4x+c，∴对称轴为x=1且图象开口向上，∴当点距对称轴越近，函数值越小．又∵A(2,y1)，B(−√5,y2)，C(−2,y3)，∴它们与对称轴的距离分别为1，√5+1，3，且1<3<√5+1，∴y1<y3<y2．【知识点】二次函数的图象与性质8. 【答案】D【解析】由题意，得1000(1+x)+1000(1+x)2=4000．【知识点】平均增长率9. 【答案】B【知识点】根据函数图像确定函数性质10. 【答案】B【解析】y=x2+bx+c函数图象开口向上，当x≤1时，总有y≥0，∴x2+bx+c=y=0的较小根x1=1，∴1+b+c=0．当1≤x≤2时，总有y≤0，∴x2+bx+c=y=0的较大根x2≥2．∵x1+x2=−b，∴x2=−b−x1=−b−1≥2，∴−b≥3．∵−b=c+1，∴c+1≥3，即c≥2．【知识点】二次函数与方程11. 【答案】−6【解析】∵A(a,1)与点Aʹ(5,b)关于原点对称∴a=−5，b=−1∴a+b=−5+(−1)=−6【知识点】坐标平面内图形的旋转变换12. 【答案】x1=3，x2=−1【解析】2(x−1)2=8，(x−1)2=4，x−1=±2．∴x1=3，x2=−1．【知识点】直接开平方法13. 【答案】750(t−25)2+750，【解析】∵s=60t−1.2t2=−65∴t=25时，s取最大值750米，即飞机着陆后滑行750米才能停下来．【知识点】其他实际问题14. 【答案】4√5cm或2√5cm【解析】如图1，∵AB=10cm，弦CD⊥AB于点M．若OM:OA=3:5，∴OA=OC=5，OM=3，AM=8，∴CM=√OC2−OM2=4，∴AC=√CM2+AM2=4√5，如图2，∵AB=10cm，弦CD⊥AB于点M．若OM:OA=3:5，∴OA=OC=5，OM=3，AM=2，∴CM=√OC2−OM2=4，∴AC=√CM2+AM2=2√5．综上所述：弦AC的长为4√5cm或2√5cm．【知识点】垂径定理、勾股定理15. 【答案】 (6058,1)【解析】 P (1,2)，P 1 由三垂直可得为 (5,2)，P 2(8,1)，P 3(10,1)，P 4(13,2)，P 5(17,2)，P 纵坐标 4 次一个循环，∵2022÷4=504⋯⋯3，∴P 2022 的纵坐标与 P 3 相同为 1，横坐标为 10+12×504=6058，∴P 2022(6058,1)．【知识点】点的坐标规律题（D ）、正方形的性质16. 【答案】3√32【解析】过点 C 作 CH ⊥AB 于 H ，在 AB 上截取 AM =AC ，连接 CM ，ME ．设 AH =x ，则 BH =AB −AH =8−x ．∵CH ⊥AB ．∴∠AHC =∠BHC =90∘．∴CH 2=AC 2−AH 2=BC 2−BH 2．∵AB =8，AC =5，BC =7，∴52−x 2=72−(8−x )2．整理得 25−x 2=49−64+16x −x 2，解得 x =52， ∴AH =52，CH =5√32． ∴∠A =60∘．∵AC =AM ，∴△ACM 是等边三角形．∴CA =CM ，∠ACM =60∘．∵CD 绕点 C 逆时针旋转 60∘ 得到线段 CE ，∴CD =CE ，∠DCE =60∘．∴∠ACD =∠MCE ．在 △ACD 和 △MCE 中，{AC =MC,∠ACD =∠MCE,CD =CE,∴△ACD ≌△MCE ．∴∠CAD =∠CME =60∘．∵∠AMC =60∘，∴∠BME =60∘．∴ 点 E 在过点 M ，且与 AB 成 60∘ 夹角的直线上移动，由点到直线的距离，垂线段最短可知，当且仅当 BE ⊥ME 时，BE 取得最小值．此时，在 Rt △BEM 中，∠BEM =90∘，∠BME =60∘，BM =AB −AM =3，∴ME =12BM =32．∴BE min =√3ME =3√32． ∴ 线段 BE 的最小值为3√32．【知识点】旋转及其性质、边角边、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形17. 【答案】x 2+4x −3=0,x 2+4x +4=7,(x +2)2=7,x +2=±√7,∴x 1=√7−2或x 2=−√7−2.【知识点】配方法18. 【答案】(1) ∵ 关于 x 的方程 x 2+(2a −1)x +a 2=0 有实数根，∴Δ=(2a −1)2−4a 2=4a 2−4a +1−4a 2=−4a +1≥0,∴a ≤14．(2) 由根与系数的关系可知：x1+x2=−2a+1，x1x2=a2，∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−2a+1)2−2a2=4a2−4a+1−2a2=2a2−4a+1=7,∴2a2−4a−6=0，a2−2a−3=0，解得，a=3或−1．时，方程才有实数根，又∵由（1）知，当a≤14∴a=−1．【知识点】一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式19. 【答案】(1) (1,1)(2) △A2B2C2如图所示，根据网格结构找出点A1，B1，C1平移后的对应点A2，B2，C2的位置，然后顺次连接即可．(3) (−3,−1)【解析】(1) △A1B1C1如图所示，C1(1,1)．根据网格结构找出点A，B，C绕O点逆时针旋转90∘后的对应点A1，B1，C1的位置，然后顺连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C1的坐标．(3) 如图所示，旋转中心为P(−3,−1)．根据旋转的性质，作出AA2，BB2的垂直平分线，交点P即为旋转中心．Array【知识点】坐标平面内图形的平移变换、坐标平面内图形的旋转变换20. 【答案】(1) 根据题意可得 {a −2+c =0,c =3, 解得 {a =−1,c =3,∴ 二次函数解析式为：y =−x 2+2x +3．(2) 0<y ≤4．【解析】(2) 根据图象可知，二次函数对称轴为 x =1，当 x =1 时，y =−1+2+3=4，∴ 顶点坐标为 (1,4)，∴ 当 −1<x <2 时，0<y ≤4．【知识点】二次函数的解析式、二次函数与不等式21. 【答案】(1) ∵AB 是 ⊙O 直径，∴∠ACB =90∘，∴∠F +∠2=90∘，∵AB ⊥DE 于 H ，∴∠BHE =90∘，∴∠BAC +∠1=90∘，∵∠1=∠2，∴∠F =∠BAC ，∵BC⏜=BC ⏜， ∴∠BAC =∠BEC ，∴∠BEC =∠F ．(2) 连接 AE ．∵OB =OE ，∴∠OBE =∠OEB ，∵OE ∥BC ，∴∠OEB =∠EBC ，∴∠OBE =∠EBC ，∴AE⏜=CE ⏜， ∴AE =CE =13，∵AB ⊥DE 于 H ，∴DH =EH =12DE =12×24=12，在 Rt △AHE 中，AH 2+HE 2=AE 2，∴AH =√AE 2−HE 2=√132−122=5，设⊙O半径为R，∴OA=OE=R，∴OH=OA−AH=R−5，在Rt△OHE中，OH2+HE2=OE2，∴(R−5)2+122=R2，解得R=16910，∴⊙O半径为16910．【知识点】垂径定理、圆周角定理推论、圆周角定理及其推理、勾股定理22. 【答案】(1) 48−3x(2) 由题意得：x(48−3x)=180.x2−16x+60=0.x1=10,x2=6.当x=10时，AB=10m，BC=18m，符合题意；当x=6时，AB=6m，BC=30>27，不合题意，舍去．(3) S=x(48−3x)=−3(x2−16x)=−3(x−8)2+192，则x=8时，S=192是最大值，即AB=8m，BC=48−3x=24m时，最大面积为192m2．【解析】(1) BC=(45+3)−3x=48−3x．【知识点】几何问题、其他实际问题、简单列代数式23. 【答案】(1) AB⊥BD且AB=√3BD(2) 延长AG到K，使GK=AG，连KE，DK，⇒△ABG≌△KEG(SAS)，⇒AB∥EK且AB=EK⇒KE=AC，延长KE交AC于T，∵AB∥KT，∴∠KTC=∠BAC=60∘，⇒四边形TEDC对角互补，∴∠KED=∠ACD，∴△KED≌△ACD(SAS)，⇒DA=DK，∠ADK=120∘，⇒AG⊥DG且AG=√3DG．(3) 3−√32≤GH≤3+√32【解析】(3) 由（2）知 AG ⊥DG ，Rt △AGD 中，H 为 AD 中点，∴GH =12AD ， △CDE 中 ⇒CD =√3=√3，△ACD 中，AC −CD ≤AD ≤AC +CD （共线取等），即 3−√3≤AD ≤3+√3，∴3−√32≤GH ≤3+√32．【知识点】旋转及其性质、30度所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形三个角相等，都等于60°、等边对等角、边角边、直角三角形斜边的中线24. 【答案】(1) ①y =ax 2−4ax +3a (a >0)=a (x −1)(x −3),∴A (1,0)，B (3,0)，AB =2，C (0,3a )，S △ABC =12AB ⋅CO =3，∴a =1，∴y =x 2−4x +3．②如图所示，存在 P 1 和 P 2 使 ∠PCB +∠ACB =45∘，① ⇒∠ACP 1=45∘，过 A 作 AQ ⊥AC 交 l CP 1 于 Q ，图 1，由三垂直 ⇒Q (4,1)⇒l CQ :y =−12x +3，联立 l CQ 和抛物线 x 2−4x +3=−12x +3，x (x −72)=0⇒x P 1=72． ②过 B 作 BK ⊥x 轴交 l CP 1 于 K ，图 2，设 l CP 2 与 x 轴交点为 T ，⇒△CBT ≌△CBK (ASA )，∴BT =BK ，∵K (3,32)⇒T (32,0)⇒l CT :y =−2x +3，联立 l CT 和抛物线 ⇒x P 2=2，∵P 点不能与 B 点重合，∴P 的横坐标范围为：2≤x P ≤72 且 x P ≠3．(2) 设 l AQ :y =k (x −1)，则 D (0,−k )，l BQ :y =t (x −3)，则 E (0,−3t )，CD =3a +k ，DE =3t −k ，联立 l AQ 和抛物线 ⇒ax 2−(4a +k )x +3a +k =0，由韦达 {x A +x Q =4a+k a =1+x Q ,x A ⋅x Q =3a+k a =x Q , ∵x A =1，∴x Q =3a+k a ，联立 l BQ 和抛物线 ⇒ax 2−(4a +t )x +3a +3t =0，由韦达：x B x Q =3a+3t a ， ∵x B =3，∴x Q =a+t a ， ∴3a+k a =a+t a， ∴t =2a +k ，CD CE =3a+k 3t−k =3a+k3(2a+k )−k =3a+k 6a+2k =12． 【知识点】二次函数的解析式、全等三角形的性质与判定、二次函数与方程、一元二次方程根与系数的关系。
湖北省武汉市武珞路中学2022_2023学年九年级上学期期中考试数学试卷
湖北省武汉市武珞路中学2022~2023学年九年级上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．方程238100x x --=的二次项系数和一次项系数分别为（）A ．3x 和8x -B ．3x 和8x C ．3和8-D ．3和83．已知m 是方程2210x x --=的一个根，则代数式2242020m m -+的值为（）A ．2022B ．2021C ．2020D ．20194．用配方法解方程2650x x -+=，配方后所得的方程是（）A ．2(3)4x +=-B ．2(3)4x -=-C ．2(3)4x +=D ．2(3)4x -=5．如图，点A 、B 、C 、D 都在方格纸的格点上，若△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转到△COD 的位置，则旋转的角度为（）A ．90°B ．75°C ．60°D ．45°6．如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD=70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°二、填空题14．如图，要设计一本书的封面，封面长比例相同的矩形，如果使四周的边衬所占面积是封面面积的五分之一，15．如图，抛物线2y ax =+三、解答题(1)在图1中画出一条恰好平分△ABC 周长的直线；(2)在图2中AC 上画出点P ，使BP 平分∠ABC ；(3)在图2中 AB 上画出点F （点F 不与点C 重合），使22．某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，调整价格时，售价每涨价1元，每月要少卖10件，售价每降价为了获得更大的利润，现将售价调整为()60x +（元价下降），每月饰品销量为y （件），月利润为w （元）(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围(2)如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润(3)要使每月利润为6000元，销售价格为多少元？（直接写出答案）23．问题背景如图1，在等边ABC 中，点D 是等边ABC 内一点，连结逆时针旋转60︒得到ACE △，连结DE ，则ADE V 是尝试应用如图2，在等腰Rt ABC △中，AB AC =∠，点，连结AD BD CD ，，，375AD BD CD ===，，，求拓展创新如图3，在等腰ABC 中，AB AC BAC =∠，603AD ADB ︒∠==，，则AC 的值为___________(1)如图1，抛物线经过点()25A ，①求抛物线的解析式；②若在第一象限抛物线上有点B ，使1ABG S ∆=，求点B 的坐标；(2)将抛物线2y ax a =+绕顶点G 旋转180 ，新抛物线（如图2）交x 轴C 、D 两点，点P 为x 轴上方抛物线上的一个动点，直线CP ，DP 分别交y 轴于M 、N 两点，求OM ·ON 的最大值（用含a 的式子表示）。
2021-2022学年湖北省武汉市武昌区部分学校九年级(上)期中数学试卷(附详解)
2021-2022学年湖北省武汉市武昌区部分学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.将一元二次方程3x2−1=2x化成一般形式后(二次项系数为正数)，二次项系数和一次项系数分别是()A. 3、−2B. 3、2C. 3、−1D. 3、12.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B. C. D.3.抛物线y=2(x+3)2+5的顶点坐标是()A. (3,5)B. (−3,5)C. (3,−5)D. (−3,−5)4.用配方法解方程x2−4x−3=0.下列变形正确的是()A. (x−4)2=19B. (x−2)2=7C. (x−2)2=1D. (x+2)2=75.下列方程没有实数解的是()A. x2=0B. x2−2x+1=0C. x2−x−2021=0D. x2+x+1=06.要将抛物线y=2x2平移后得到抛物线y=2x2+4x+5，下列平移方法正确的是()A. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位B. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位C. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位D. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位7.有一个人患了感冒，经过两轮传染后总共传染了64人，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒人数为()A. 596B. 428C. 512D. 6048.下列多边形的所有顶点不一定在同一个圆上的是()A. 三角形B. 矩形C. 菱形D. 正方形9.如果m、n是一元二次方程x2+x=3的两个实数根，那么多项式m3+2n2−mn−6m+2021的值是()10.如图，∠MAN=60°，点B、C分别在AM、AN上，AB=AC，点D在∠MAN内部、△ABC外部，连接BD、CD、AD.下列结论：①DB+DC≥DA；②S△BDC≤12BD⋅DC；③若DB=m，DC=n，则S△ADB≤√34m2+12mn.其中错误的结论个数为()个．A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.点A(a,b)关于原点的对称点的坐标为______．12.解方程2(x−1)2=8，则方程的解是______．13.点P1(−1,y1)，P2(2,y2)，P3(5,y3)均在二次函数y=−x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______．14.已知AB是⊙O的弦，点C为⊙O上异于点A、B的一点，∠OAB=40°，则∠ACB=______．15.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c，下列结论中一定正确的是______.(填序号即可)①若抛物线与x轴有两个不同交点，则方程cx2+bx+a=0必有两个不等实数根；②若对任意实数t都有at2+bt≤a−b(a<0)，则b=2a；③若(am2+bm+c)(an2+bn+c)<0(m<n)，则方程ax2+bx+c=0有一个根α，且m<α<n；④若a2m2+bam+ac<0，则方程ax2+bx+c=0必有两个实数根．16.已知，⊙O的直径BC=2√2，点A为⊙O上一动点，AD、BD分别平分△ABC的外角，AD与⊙O交于点E.若将AO绕O点逆时针旋转270°，则点D所经历的路径长为______.(提示：在半径为R的圆中，n°圆心角所对弧长为nπR180)三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）17.解方程：x2−x−3=0．∠BOC，∠BAC=45°．18.如图：OA=OB=OC，∠AOB=13(1)求证：A，B，C在以O为圆心，OA为半径的圆上；(2)求∠OAC的度数．19.在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为y=x2−2x−3．(1)完成表格，根据数据在平面直角坐标系中画出二次函数的图象；x…−10123…y…______ ______ ______ ______ ______ …(2)当x满足______时，函数值大于0；(3)当−2<x<2时，y的取值范围是______．20.如图，在边长为1的正方形网格中，点A、C为格点，点B在网格线上，以AB为直径作半圆，点D在半圆上，连接AC、BC.请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹(用虚线表示画图过程，实线表示画图结果)BC；(1)分别在AB、AC取点E、F，使EF//BC，EF=12(2)作△ABC的角平分线BM；(3)在△ABC的角平分线BM取一点N，使CN+DN最小．21.如图，P是圆上一动点，弦AB=√3cm，PC平分∠APB，C在圆上，∠BAC=30°．(1)当∠PAC等于多少度时，四边形PACB有最大面积？最大面积是多少？(2)当PA的长为______，四边形PACB是梯形(一组对边平行，另一组对边不平行的四边形)(直接写答案)．22.水果店以一定的价格购进某种苹果若干千克，通过销售统计发现：这批苹果从开始销售至销售的第x天的总销量y(千克)与x的关系为二次函数，销售情况记录如表：(1)求y与x的函数关系式；(2)这批苹果多少天才能销售完；(3)水果店为了充实库存，在销售第6天后决定每天又购进20千克该品种苹果，试问再过多少天该品种苹果库存量为244千克？23.【问题背景】如图1，P为△ABC内一点，连PB、PC.则PC+PB<AB+AC．小明考虑到“三角形两边之和大于第三边”，延长BP交AC于E，就可以证明上面结论．请按小明的思路完成证明过程；【迁移应用】如图2，在△ABC中，∠BAC>120°，P为△ABC内一点，求证：PA+ PB+PC>AB+AC．【拓展创新】已知△ABC中，BC=a，AB=c，AC=b，a+b=4c，6a+3b=19c，P为△ABC 所在平面内一点，则PA+PB+PC的最小值为(用含c的式子表示)______.(直接写出结果)24.如图1，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点．且抛物线的对称轴为x=2，OC=3，S△ABC=3．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，过D(m,−2)作抛物线切线(不与y轴平行，且与抛物线有且仅有一个交点)DE：y=k1x+b1(切点为E)和DF：y=k2x+b2(F为切点)，求k1k2的值；(3)如图3，将抛物线向左平移两个单位后再沿y轴向下运动得抛物线C1，直线l3、l4分别与(2)中直线DE、DF平行，l3与C1交于E，F两点，l4与C1交于G，H两点，M，N分别为EF、GH的中点，求点O到直线MN的距离d的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵3x2−1=2x，∴3x2−2x−1=0，∴二次项系数和一次项系数分别是3和−2，故选：A．先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式项的系数时，带着前面的符号．2.【答案】B【解析】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.【答案】B【解析】解：∵y=2(x+3)2+5，∴抛物线顶点坐标为(−3,5)，故选：B．ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)．4.【答案】B【解析】解：∵x2−4x−3=0，∴x2−4x=3，则x2−4x+4=3+4，即(x−2)2=7，故选：B．移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可．本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．5.【答案】D【解析】解：A.方程x2=0解为x1=x2=0，故本选项不合题意；B.x2−2x+1=0，∵b2−4ac=(−2)2−4×1×1=0，∴此方程有两个相等的实数根，故本选项不合题意；C.x2−x−2021=0，∵b2−4ac=(−1)2−4×1×(−2021)=8085>0，∴此方程有两个不相等的实数根，故本选项不合题意；D.x2+x+1=0，∵b2−4ac=12−4×1×1=−3<0，∴此方程无解，本选项符合题意．故选：D．逐项解方程或求出根的判别式，根据判别式的符号即可得到结论．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解决问题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵y=2x2+4x+5=2(x+1)2+3，∴该抛物线的顶点坐标是(−1,3)，∵抛物线y=2x2的顶点坐标是(0,0)，∴平移的方法可以是：将抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位．故选：A．原抛物线顶点坐标为(0,0)，平移后抛物线顶点坐标为(−1,3)，由此确定平移规律．本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．7.【答案】C【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，由题意得：1+x+x(1+x)=64，解得x1=7，x2=−9，∵x>0，∴x2=−9，不合题意，舍去，∴x=7．则第三轮的感冒人数为：(7+1)3=512．故选：C．设第一个人传染了x人，根据两轮传染后共有64人患了感冒；列出方程，求解，然后求出三轮之后患感冒的人数．本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解．8.【答案】C【解析】解：A.根据三点共圆可得三角形的三个顶点在同一个圆上，故选项不符合题意；B.∵矩形对角线相等且互相平分，∴四个顶点到对角线交点距离相等，∴矩形四个顶点定可在同一个圆上，故选项不符合题意；C.∵菱形对角线互相平分但不相等，∴菱形四个顶点定不一定在同一个圆上，故选项符合题意；D.∵正方形对角线相等且互相平分，∴四个顶点到对角线交点距离相等，∴正方形四个顶点定可在同一个圆上，故选项不符合题意；故选：C．根据三点共圆可得三角形的三个顶点在同一个圆上，由于矩形和正方形矩形对角线相等且互相平分，所以它们的四个顶点到对角线交点距离相等，故矩形和正方形的四个顶点定可在同一个圆上，菱形对角线互相平分但不相等，四个顶点到对角线交点距离不一定相等，因而选C．此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，圆的认识，能够理解四个顶点在同一个圆上的条件是解决本题的关键．9.【答案】D【解析】解：∵m、n是一元二次方程x2+x−3=0的两个实数根，∴m2+m−3=0，n2+n−3=0，∴m2=−m+3，n2=−n+3，∴m3=m(−m+3)=−m2+3m=−(−m+3)+3m=4m−3，∴m3+2n2−mn−6m+2021=4m−3+2(−n+3)−mn−6m+2021=−2(m+n)−mn+2024，∵m、n是一元二次方程x2+x−3=0的两个实数根，∴m+n=−1，mn=−3，∴原式=−2×(−1)−(−3)+2024=2029．故选：D．先利用一元二次方程解的定义得到m2=−m+3，n2=−n+3，再用m表示出m3= 4m−3，则原式化简为−2(m+n)−mn+2024，接着利用根与系数的关系得到m+n=−1，mn=−3，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba ，x1x2=ca.也考查了一元二次方程的解．10.【答案】A【解析】解：①如图1，将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△ABC′，则△ABC′≌△ACD，∴AC′=AD，BC′=CD，∵∠DAC′=60°，∴△AC′D是等边三角形，∴C′D=AD，在△BC′D中，BC′+BD>C′D，∴CD+BD>AD，当∠ADC=60°，即∠AC′B=60°时，C′、B、D三点共线，∴CD+BD=AD，故①正确；②如图2，过点C作CH⊥BD于H，则∠BHC=90°，∴CH=CD⋅sin∠CDH，∴S△BDC=12BD⋅CH=12BD⋅CD⋅sin∠CDH，∵∠CDH≤90°，∴sin∠CDH≤1，∴S△BDC≤12BD⋅CD，故②正确；③如图3，把△BDC绕点B顺时针旋转60°得到△ABK，连接DK，由旋转得：BD=BK，∠DBK=60°，∴△BDK是等边三角形，∴S△BDK=√34m2，∵△ABK≌△BDC(根据旋转的性质)，∴S△ABK=S△BDC=12BD⋅CD⋅sin∠CDH≤12BD⋅CD，即S△ABK≤12mn，∴S△ABD≤S△ABK+S△BDK≤√34m2+12mn，故③正确；综上所述，正确的结论为3个，错误的结论为0个，故选：A．①如图1，将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△ABC′，可证得△AC′D是等边三角形，再运用三角形三边关系即可判断①正确；②如图2，过点C作CH⊥BD于H，则∠BHC=90°，根据S△BDC=12BD⋅CH=12BD⋅CD⋅sin∠CDH，即可判断②正确；③如图3，把△BDC绕点B顺时针旋转60°得到△ABK，连接DK，由旋转的性质可证得△BDK是等边三角形，S△BDK=√34m2，即可判断③正确．本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换的性质，三角形面积，解题关键是利用旋转变换构造全等三角形．11.【答案】(−a,−b)【解析】解：点A(a,b)关于原点的对称点的坐标为(−a,−b)．故答案为：(−a,−b)．根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，然后直接作答即可．本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．12.【答案】x1=3，x2=−1【解析】解：(x−1)2=4，x−1=±2，所以x1=3，x2=−1．故答案为x1=3，x2=−1．先把方程变形为(x−1)2=4，然后利用直接开平方法解方程．本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．13.【答案】y2>y1>y3=1，【解析】解：二次函数y=−x2+2x+c的对称轴为：x=−22×(−1)由对称性得，P1(−1,y1)关于对称轴对称的点Q的坐标为(3,y1)，∵a=−1<0，∴在对称轴的右侧，即x>1时，y随x的增大而减小，∵P2(2,y2)，P3(5,y3)，Q(3,y1)，∴y2>y1>y3，故答案为：y2>y1>y3．求出抛物线的对称轴，根据抛物线的增减性，可知在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，再利用对称性得出P1关于对称轴对称的点Q的坐标，再进行比较即可．考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解决问题的前提，求出对称轴是关键．14.【答案】50°【解析】解：∵OA=OB，∠OAB=40°，∴∠OAB=∠OBA=40°∴∠AOB=180°−40°−40°=100°，∠AOB=50°，∴∠ACB=12故答案为：50°．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠AOB的度数，根据圆周角定理计算即可．本题考查的是圆周角定理和三角形内角和定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．15.【答案】①②③④．【解析】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根，∴b2−4ac>0，∴cx2+bx+a=0有两个不相等的实数根，故①正确；②∵对任意实t都有at2+bt≤a−b(a<0)，∴at2+bt+c≤a−b+c，∴当x=−1时，函数有最大值，∴函数的对称轴为直线x=−1，∴−b=−1，2a∴b=2a，故②正确；③∵(am2+bm+c)(an2+bn+c)<0(m<n)，∴抛物线与x轴的一个交点的横坐标在m、n之间，∵方程ax2+bx+c=0有一个根α，∴函数图象与x轴的一个交点为(α,0)，∴m<α<n，故③正确；④∵a2m2+bam+ac<0，∴a(am2+bm+c)<0，∴当a>0时，am2+bm+c<0；当a<0时，am2+bm+c>0，∴方程ax2+bx+c=0必有两个实数根，故④正确；故答案为：①②③④．根据二次函数与方程的关系即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线与x轴的交点的特征即可判断③；根据题意，抛物线开口向上，则x=m时，y<0；当开口向下时，x=m时，y>0即可判断④．本题考查了二次函数图象和系数的关系，抛物线与x在的交点，根的判别式的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．π16.【答案】32【解析】解：如图，设∠ACB=α，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠DEB=α，∠ABC=90°−α，∵AD、BD分别平分△ABC的外角，∴∠DAB=45°，∠ABD=45°+12α，∴∠EDB=180°−∠DAB−∠ABD=180°−45°−(45°+1 2α)=90°−12α，∴∠EBD=180°−∠DEB−∠EDB=180°−α−(90°−1 2α)=90°−12α，∴∠EDB=∠EBD，∴EB=ED，∵BE⏜=BE⏜，∴∠ECB=∠EAB=45°，∵∠AEB=90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴EB=EC，∴EB=EC=ED，∴点D在半径为2的⊙E上逆时针旋转135°，∴点D所经历的路径长为：135π⋅2180=32π，故答案为：32π．如图，设∠ACB=α，由BC是⊙O的直径，可得：∠BAC=90°，根据角平分线定义可得：∠DAB=45°，∠ABD=45°+12α，进而可得出：∠EDB=∠EBD=90°−12α，得出：EB=ED，再由等弧所对的圆周角相等，可得：∠ECB=∠EAB=45°，进而推出EB=EC=ED，可得点D在半径为2的⊙E上逆时针旋转135°，再利用弧长公式即可得出答案．本题考查了圆的性质，旋转变换的性质，角平分线定义，等腰直角三角形性质，弧长公式，点的运动轨迹等，解题关键是确定点D的运动轨迹为半径为2的⊙E上逆时针旋转135°的圆弧．17.【答案】解：x2−x−3=0，∵a=1，b=−1，c=−3，△=b2−4ac=(−1)2−4×1×(−3)=13>0，∴方程有两个不等的实数根，∴x=1±√132，则x1=1−√132，x2=1+√132．【解析】找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．此题考查了解一元二次方程−公式法，利用此方法解方程时首先将方程化为一般形式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c，当b2−4ac≥0时，代入求根公式来求解．18.【答案】(1)证明：如图，∵OA=OB=OC，∴点O是△ABC的外接圆的圆心，∴A，B，C在以O为圆心，OA为半径的圆上；(2)解：∵∠BOC=2∠BAC，∠BAC=45°，∴∠BOC=90°，∵∠AOB=13∠BOC=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=12(180°−120°)=30°．【解析】(1)根据三角形外接圆的判定解决问题即可；(2)利用圆周角定理求出∠BOC=90°，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．本题考查的是圆周角定理和三角形内角和定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．19.【答案】0−3−4−30x<−1或x>3−3<y<5【解析】解：(1)∵y=x2−2x−3，∴当x=−1时，y=(−1)2−2×(−1)−3=1+2−3=0；当x=0时，y=−3；当x=1时，y=1−2−3=−4；当x=2时，y=4−4−3=−3；当x=3时，y=9−6−3=0．故答案为：0，−3，−4，−3，0；图象如图所示：(2)从图象看，当x满足x<−1或x>3时，函数值大于0，故答案为：x<−1或x>3；(3)∵y=x2−2x−3，当x=−2时，y=4+4−3=5，当x=2时，y=4−4−3=−3，结合函数图象当−2<x<2时，y的取值范围是−3<y<5，故答案为：−3<y<5．(1)求出表格数据，描点连线绘图即可；(2)观察函数图象即可求解；(3)根据函数解析式求出x=−2和x=2时y的值，再结合函数图象写出当−2<x<2时，y的取值范围．本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，关键让学生熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．20.【答案】解：(1)如图1，①连接矩形AHCG的对角线GH，交AC于F，②格线ET与AB交于点E，③连接EF，则EF=12BC，证明：∵四边形AHCG是矩形，∴AF=CF=12AC，∵ET//BK，AT=TK，∴AEEB =ATTK=1，∴AE=EB，∴EF=12BC；(2)如图2，①延长EF，交半圆于I，②过B、I作射线BM，则BM平分∠ABC，证明：延长AI交BC于J，∵EF是△ABC的中位线，∴EF//BC，∴AIIJ =AEBE=1，∴AI=IJ，∵AB是⊙E的直径，∴∠AIB=90°，∴BJ=BA，∴BM平分∠ABC；(3)如图3，设AC与BM的交点是点Q，①连接JQ并延长交AB于P，②连接DP交BM于N，则点N就是求作的点，证明：∵BM垂直平分AJ，∴QJ=QA，BJ=BA，∴∠AJP=∠JAC，∠AJB=∠JAB，∵AJ=AJ，∴△AJC≌△JAP(ASA)，∴JC=AP，AC=JP，∴BC=BP，QC=QP，∴BM垂直平分CP，即C和P关于BM对称，∴CN+DN最小是DP．【解析】(1)矩形AHCG的对角线互相平分，得出AC中点，根据平行线分线段成比例得出AB的中点；(2)联想直径所对的圆周角是直角及(1)中EF//BC，结合等腰三角形的“三线合一“，只需得BM是等腰三角形的高即可；(3)只需找出点C关于BM的对称点即可，故根据等腰三角形的对称性，连接JQ并延长即可．本题考查了矩形性质，平行线分线段成比例定理，线段垂直平分线性质，圆的有关性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是在前问的基础上层层递进思考．21.【答案】1或2【解析】解：(1)如图1中，连接OA，作直径CD，设CD交AB于点N．∵PC平分∠APB，∴∠APC=∠BPC，∴AC⏜=BC⏜，∴CD⊥AB，∴AN=BN=√32(cm)，∵∠AOC=2∠ABC，∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∴ON=ANtan60∘=12，OA=2ON=1(cm)，∴CD=2OA=2(cm)，观察图象可知，当点P与D重合时，四边形APBC的面积最大，此时∠PAC=90°，最大面积=12AB⋅CD=√3(cm2)；(2)如图2−1中，当PB是直径时，四边形PACB是梯形，此时AC//PB，PA=1．如图2−2中，当AP是直径时，四边形APBC是梯形，此时AP//BC，AP=2．综上所述，满足条件的AP 的值为1或2．故答案为：1或2．(1)如图1中，连接OA ，作直径CD ，设CD 交AB 于点N.证明△AOC 是等边三角形，求出OA ，观察图象可知，当点P 与D 重合时，四边形APBC 的面积最大；(2)分两种情形：如图2−1中，当PB 是直径时，四边形PACB 是梯形．如图2−2中，当AP 是直径时，四边形APBC 是梯形．本题考查垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)设y 与x 的函数关系式为y =ax 2+bx +c ，则{z +b +c =394a +2b +c =769a +3b +c =111，解得：{a =−1b =40c =0，∴y 与x 的函数关系式为y =−x 2+40x ；(2)由(1)得：y =−x 2+40x =−(x −20)2+400，∵−1<0，∴当x =20时，y 最大，最大值为400，答：这批苹果20天才能销售完；(3)设再过m 天库存量为216千克，由(2)知：库存原量为400千克，(m +6)天后原本库存剩余量为：400−[−(m +6)2+40(m +6)]，m 天内再次购买的总量为20m ，∵两部分的总量为244千克，∴400+(m+6)2−40(m+6)+20m=244，整理得：m2−8m−48=0，解得：m=12或m=−4(舍去)．答：再过12天该品种苹果库存量为244千克．【解析】(1)设出二次函数解析式的一般形式，由待定系数法求函数解析式即可；(2)根据函数的性质，当x=−b时，函数有最大值；2a(3)由(2)知，库存最大量为400千克，库存剩余量等于400−(m+6)天的销售量+m天购进总量，列出方程，解方程即可．本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是找出等量关写出函数解析式，根据题意求出最大值．23.【答案】5c2【解析】【问题背景】证明：如图1，延长BP交AC于点E，在△ABE中，AE+AB>BE=BP+PE，在△CPE中，PE+CE>PC，∴AB+AE+CE+PE>PB+PE+PC，∴AB+AC>PB+PC，即PC+PB<AB+AC；【迁移应用】证明：如图2，将△CAP绕点A逆时针旋转60°得到△DAQ，连接PQ，BD，PD，由旋转可得：△DAQ≌△CAP，∠CAD=∠PAQ=60°，∴AD=AC，AQ=AP，DQ=PC，∴△APQ是等边三角形，∴PQ=AP=AQ，∵∠BAC>120°，∴∠BAC+∠CAD>180°，∴由【问题背景】可知：在△BPD中，PB+PD>AB+AD，在△QPD中，PQ+QD>PD，∴PB+PQ+QD>AB+AD，∴PA+PB+PC>AB+AC；【拓展创新】解：由【问题背景】知，当P为△ABC所在平面内一点时，PA+PB≥AB，PB+PC≥BC，PA+PC≥AC，∴PA+PB+PC≥12(AB+AC+BC)，∵BC=a，AB=c，AC=b，a+b=4c，6a+3b=19c，∴PA+PB+PC最小值为12(a+b+c)=5c2，故答案为：5c2．【问题背景】在△ABE中和△CPE中，分别利用两边之和大于第三边即可证明；【迁移应用】将△CAP绕点A逆时针旋转60°得到△DAQ，连接PQ，BD，PD，可得△APQ 是等边三角形，则∠BAC+∠CAD>180°，则可证明；【拓展创新】由三角形三边关系可知：PA+PB+PC≥12(AB+AC+BC)，从而解决问题．本题主要考查了三角形三边关系，等边三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，熟练掌握三角形三边关系进行转化是解题的关键，有一定的难度．24.【答案】解：(1)∵S△aABC=3，OC=3，∴12⋅AB⋅DC=3，∴AB=2，∵对称轴为直线x=2，设A(a,0)，B(b,0)，∴b−2=2−a=1，解得a=1，b=3，∴A(1,0)，B(3,0)，设y =a(x −1)(x −3)过点(0,3)，∴3=3a ，解得a =1，∴y =x 2−4x +3．(2)将抛物线C ：y =(x −2)2−1向左平移2个单位，向上平移1个单位得y =x 2， 设点D(m,−2)向上平移后对应点为D 1(n,−1)，∴平移后的切线l 1为：y +1=k 1(x −n)，平移后的切线l 2为：y +1=k 2(x −n)， ∴{y +1=k 1(x −n)y =x 2， ∴x 2−k 1x +k 1n +1=0，∴Δ=k 12−4k 1n −4=0，同理可得，k 22−4k 2n −4=0，∵k 1≠k 2，∴k 1，k 2是k 2−4kn −4=0的两根，∴k 1k 2=−4．(3)∵DE//l 3，DF//l 4，∴l 3的解析式为：y =k 1x(k 1k 2=−4)，l 4的解析式为：y =−4k 1x ， ∴{y =x 2+m y =k 1x，即x 2−k 1x +m =0， ∴x E +x F =k 1，∵M 为EF 的中点，∴x M =x E +x F 2=k 12， ∴y M =k 122， ∴M(k 12,k 122)，∵{y =x 2+m y =−4k 1x，即x 2+4k 1x +m =0， ∵点N 是GF 的中点，∴x N =−2k 1，y N =8k 12， ∴N(−2k 1,8k 12)， 设MN 的解析式为：y =px +q ，∴{k 12p +q =k 122−2k 1p +q =8k 12，解得，{p =k 12−4k 1q =2，∴直线MN ：y =k 12−4k 1x +2，且该直线过定点(0,2)，∴d ≤2． ∴点O 到直线MN 的距离d 的最大值2．【解析】(1)由S △ABC =3，OC =3，及三角形面积公式可知，AB =2，因为对称轴为直线x =2，设A(a,0)，B(b,0)，则b −2=2−a =1，解得a =1，b =3，所以A(1,0)，B(3,0)，设y =a(x −1)(x −3)，过点(0,3)，所以3=3a ，解得a =1，则y =x 2−4x +3．(2)将抛物线C ：y =(x −2)2−1向左平移2个单位，向上平移1个单位得y =x 2，设点D(m,−2)向上平移后对应点为D 1(n,−1)，平移后的切线l 1为：y +1=k 1(x −n)，平移后的切线l 2为：y +1=k 2(x −n)，联立直线与抛物线解析式，根据相切可知Δ=0，由题意可知k 1，k 2是k 2−4kn −4=0的两根，由根与一元二次方程的关系可知，k 1k 2=−4．(3)因为DE//l 3，DF//l 4，所以l 3的解析式为：y =k 1x(k 1k 2=−4)，l 4的解析式为：y =−4k 1x ，联立直线与抛物线的解析式可得，x 2−k 1x +m =0，再由根与系数的关系及中点坐标公式可知，M(k 12,k 122)，N(−2k 1,8k 12)，设MN 的解析式为：y =px +q ，代入点M 和点N 的坐标，可求出p ，q ，所以直线MN ：y =k 12−4k 1x +2，该直线过定点(0,2)，所以d ≤2．本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求表达式，中点坐标公式，一次函数与二次函数的交点问题等知识点，知道平移前后与抛物线相切的两条直线的位置关系--平行是解题关键．。
湖北省武汉市九年级上学期数学期中考试试卷
湖北省武汉市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、精心选一 (共12题；共12分)1. （1分） (2016九上·温州期末) 若2a=5b，则 =（）A .B .C . 2D . 52. （1分） (2019九上·江夏期末) “车辆随机到达一个路口，遇到红灯”这个事件是（）A . 不可能事件B . 不确定事件C . 确定事件D . 必然事件3. （1分） (2018九上·惠阳期中) 二次函数的图象的顶点坐标是（）A . （1，3）B . （，3）C . （1，）D . （，）4. （1分）如图，“L”形纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A点切一刀，刀痕是线段EF，若阴影部分的面积是纸片面积的一半，则EF的长为（）A .B .C .D .5. （1分）若⊙O的半径为5，OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（）A . 点P在⊙O内B . 点P在⊙O上C . 点P在⊙O外D . 点P在⊙O上或⊙O外6. （1分） (2019九上·长兴月考) 将抛物线y=x2+1向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A . y=(x+1)2+3B . y=(x-1)2+3C . y=(x+1)2-1D . y=(x-1)2-17. （1分）(2018·云南模拟) 已知扇形的圆心角为45° ，半径长为 12，则该扇形的弧长为（）A . πB . 3πC . 2πD . π8. （1分）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧BAC，如图所示．若AB=4，AC=2，S1-S2=，则S3-S4的值是（）A .B .C .D .9. （1分）下列说法错误的是（）A . 有一个角等于60°的两个等腰三角形相似B . 有一个角等于100°的两个等腰三角形相似C . 有一个角等于90°的两个等腰三角形相似D . 有一个角等于30°的两个等腰三角形相似10. （1分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D ，交⊙O于点C ，若⊙O的半径为5，CD＝2，那么AB的长为（）A . 8B . 10C . 12D . 1611. （1分）(2016·新疆) 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A . a＞0B . c＜0C . 3是方程ax2+bx+c=0的一个根D . 当x＜1时，y随x的增大而减小12. （1分） (2020八下·栖霞期中) 我们把顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.若一个任意四边形的面积为a，则它的中点四边形面积为（）A . aB .C .D .二、细心填一填 (共6题；共6分)13. （1分）(2020·德州) 如图，在的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是________．14. （1分）(2017·东营模拟) 将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的表达式为________．15. （1分）根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：________ ，然后证明你的结论（不要求写已知、求证）16. （1分）(2020·襄阳) 在⊙O中，若弦垂直平分半径，则弦所对的圆周角等于________°.17. （1分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为________．18. （1分）(2019·秀洲模拟) 如图，在平面直角坐标系中，点A（4 ，0）是x轴上一点，以OA为对角线作菱形OBAC，使得∠BOC.＝60°，现将抛物线y＝x2沿直线OC平移到y＝a（x﹣m）2+h，那么h关于m的关系式是________，当抛物线与菱形的AB边有公共点时，则m的取值范围是________.三、用心做一做 (共8题；共18分)19. （2分） (2019九上·滨湖期末) 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，点A、B、C都是格点(每个小方格的顶点叫格点)，其中A(5，6)，B(3，6)，C(2，7).（1）已知△ABC与△DEF(点D、E、F都是格点)成位似图形，则位似中心M的坐标是________；（2）△ABC外接圆半径是________；（3）请在网格图中画一个格点△A1B1C1 ，使△A1B1C1∽△DEF，且相似比为1：2.20. （2分）(2018·常州) 将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．（1）搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）．21. （1分）(2018·宁晋模拟) 一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长．22. （3分）(2019·宁洱模拟) 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接BD.（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标.23. （2分） (2017九上·相城期末) 如图，是⊙ 的直径，、为⊙ 上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交⊙ 于点，连接、、 .（1）证明: ;（2）若，求的度数;（3）设交于点，若是的中点，求的值.24. （2分）(2020·长安模拟) 每年十月的第二个周四是世界爱眼日，为预防近视，超市决定对某型号护眼台灯进行降价销售．降价前，进价为30元的护眼台灯以80元售出，平均每月能售出200盏，调查表明：这种护眼台灯每盏售价每降低1元，其月平均销售量将增加10盏．（1）写出月销售利润y（单位：元）与销售价x（单位：元/盏）之间的函数表达式；（2）当销售价定为多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？25. （3分） (2020八下·北京期末) 在平面直角坐标系中，对于与坐标轴不平行的直线和点P ，给出如下定义：过点P作x轴，y轴的垂线，分别交直线于点M ， N ，若，则称P为直线的平安点．已知点A（1）当直线的表达式为时，①在点A ， B ， C中，直线的平安点是________；②若以OB为边的矩形OBEF上存在直线的平安点，则点E的横坐标的取值范围________；③若直线被坐标轴所截得的线段上所有的点都是直线的平安点，则应满足的条件为________；（2）当直线的表达式为时，若点C是直线的平安点，求的取值范围．26. （3分） (2019九上·南山期末) 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为lcm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：（1）①BQ＝________，BP＝________；（用含t的代数式表示）②设△PBQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式________；（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPQ为等腰三角形？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由．参考答案一、精心选一 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、细心填一填 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、用心做一做 (共8题；共18分)19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、25-1、25-2、26-1、26-2、。
湖北省武汉市2021年九年级上学期期中数学试卷C卷
湖北省武汉市2021年九年级上学期期中数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共14题；共28分)1. （2分）若a，b互为相反数，则下面四个等式中一定成立的是（）A . a+b=0B . a+b=1C . |a|+|b|=0D . |a|+b=02. （2分）下列式子中：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．其中是二次根式的有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个3. （2分） (2020九上·常州期末) 某同学对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析.发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）A . 平均数B . 中位数C . 方差D . 众数4. （2分）在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，根据图中标示的各点位置，与△ABC 全等的是（）A . △ACFB . △ACEC . △ABDD . △CEF5. （2分）(2019·濮阳模拟) 如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=，CD=1，则BE的长是A . 5B . 6C . 7D . 86. （2分） (2017七下·博兴期末) 已知方程组，那么x+y的值（）A . -1B . 1C . 0D . 57. （2分） (2016八下·罗平期末) 函数y= 中，自变量x的取值范围是（）A . x≠0B . x≥2C . x＞2且x≠0D . x≥2且x≠08. （2分） (2018八上·宽城月考) 若 , ,则ab的值为（）A . 1B . -1C . 2D . -2．9. （2分） (2018九上·港南期中) 方程2（2x+1）（x-3）=0的两根分别为（）A . 和3B . 和3C . 和D . 和10. （2分）(2018·和平模拟) (-2)2的算术平方根是（）A . 2B . ±2C . －2D .11. （2分）(2016·滨湖模拟) 已知一次函数y=kx﹣2k+3的图象与x轴交于点A（3，0），则该图象与y轴的交点的坐标为（）A . （0，﹣3）B . （0，1）C . （0，3）D . （0，9）12. （2分）(2017·山东模拟) 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为（）A . ﹣4B . 2C . 4D . ﹣313. （2分）(2016·海南) 线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，线段M1N1与MN关于y轴对称，则点M 的对应的点M1的坐标为（）A . (4，2)B . (－4，2)C . (－4，－2)D . (4，－2)14. （2分）将二次函数y=2x2﹣4x+1化成顶点式是（）A . y=2（x+1）2﹣1B . y=2（x﹣1）2﹣1C . y=2（x+1）2+1D . y=2（x﹣1）2+1二、填空题 (共4题；共4分)15. （1分） (2019七上·简阳期末) 苹果的单价是a元／千克，香蕉的单价b元／千克，买2千克苹果，3千克香蕉共需________元16. （1分） (2017九上·南平期末) 抛物线y=x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x…01234…y…30﹣103…则抛物线的解析式是________．17. （1分） (2017九上·宜春期末) 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图（虚线部分为对称轴），给出以下5个结论：①x≤1时，y随x的增大而增大；②abc＞0；③b＜a+c；④4a+2b+c＞0；⑤3a﹣b＜0，其中正确的结论有________（填上所有正确结论的序号）．18. （1分） (2019七下·凉州期中) 如图,如果将面积为5的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置,平移的距离是边BC长的两倍,那么图中四边形ACED的面积为________.三、解答题 (共6题；共74分)19. （20分）解方程：（1）2（x﹣3）2=x（x﹣3）（2）x2﹣6x﹣391=0（3）6（x﹣1）2+（1﹣x）﹣12=0（4）2x2﹣4x﹣1=020. （5分）某商店销售一种衬衫，四月份的营业额为5000元．为了扩大销售，在五月份将每件衬衫按原价的8折销售，销售比在四月份增加了40件，营业额比四月份增加了600元．求四月份每件衬衫的售价．21. （14分） (2017八下·湖州期中) 为了解甲、乙两名运动员的体能训练情况，对他们进行了跟踪测试，并把连续十周的测试成绩绘制成如图所示的折线统计图．教练组规定：体能体能测试成绩70分以上（包括70分）为合适．（1）请根据图中所提供的信息填写下表：平均数中位数体能测试成绩合格次数甲________65________乙60________________（2）请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断：①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙，谁的体能测试成绩较好？②依据平均数与中位数比较甲和乙，谁的体能测试成绩较好？（3）依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好．22. （10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．23. （10分）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点．（1）求菱形ABCD的面积．（2）求PM+PN的最小值．24. （15分）(2017·乌鲁木齐模拟) 如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c 经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式：（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM周长最短？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．参考答案一、选择题 (共14题；共28分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、填空题 (共4题；共4分)15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共6题；共74分)19-1、19-2、19-3、19-4、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、24-3、第11 页共11 页。