高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件理北师大版
2018届高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式学
第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．知识点一 同角三角函数基本关系式1．平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1，其等价形式为：sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝________. 2．商数关系：__________，其等价形式为：sin α＝____________，cos α＝sin αtan α. 答案1．1－sin 2α 2.sin αcos α＝tan α cos αtan α1．已知cos α＝1213，且α是第四象限角，则sin α的值为________．解析：由于α是第四象限角，故sin α＝－1－cos 2α＝－513.答案：－5132．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为________．解析：由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，知cos α≠0，分子分母同时除以cos α可得tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.- 2 -答案：－23163．(2016·新课标全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A .6425B .4825C ．1D.1625解析：通性通法：由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425.光速解法：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 答案：A知识点二 六组诱导公式－sin α cos α cos α －sin α －tan α4．计算sin 10π3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＝________.解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋4π3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋3π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4－tan π3＝－sin π3＋2cos π4－3＝－332＋1.答案：－332＋15．已知tan α＝3，π<α<32π，则cos α－sin α＝________.解析：∵tan α＝3，π<α<32π，∴α＝43π，∴cos α－sin α＝cos 43π－sin 43π＝－cosπ3＋sin π3＝－12＋32＝3－12.答案：3－12热点一 同角三角函数基本关系式的应用 考向1 运用公式直接求值 【例1】 (1)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125 B ．－125C.512D ．－512(2)sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________. 【解析】 (1)因为α为第四象限的角， 故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213， 所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.选D.(2)原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋12＝1＋1＋1＋ (144)＋12＝4412.故填4412.- 4 -【答案】 (1)D (2)4412考向2 关于sin α，cos α的齐次式问题【例2】 若tan α＝－43，则sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝________，sin 2α＋2sin αcos α＝________.【解析】sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋2＝87.sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝169－831＋169＝－825. 【答案】 87 －825(1)已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin(π＋α)＝( )A ．－1－k 2B.1－k 2C ．±1－k 2D ．－k(2)已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( )A.22 B. 2C ．－22D ．－ 2解析：(1)由cos α＝k ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得sin α＝1－k 2，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－1－k 2，故选A.(2)因为sin α＋2cos α＝3， 所以(sin α＋2cos α)2＝3.所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3. 所以sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3. 所以tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3. 所以2tan 2α－22tan α＋1＝0.所以tan α＝22. 答案：(1)A (2)A 热点二 诱导公式的应用 考向1 利用诱导公式求值 【例3】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) A ．－25B ．－15C.15D.25(2)已知A ＝k π＋αsin α＋k π＋αcos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( ) A ．{1，－1,2，－2} B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}【解析】 (1)sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.(2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2. 【答案】 (1)C (2)C 考向2 巧用“角”间关系求值- 6 -【例4】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________.(2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________.【解析】 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12.(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.【答案】 (1)12 (2)－33(1)计算：π＋απ＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2－α－3π－3π－α＝________.(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α的值为________．解析：(1)原式＝tan αcos αcos α－cos αsin α＝－1.(2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝－33.答案：(1)－1 (2)－33热点三 sin α±cos α与sin αcos α的关系【例5】 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值． 【解】 (1)解法1：联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形内角， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.解法2：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225<0且0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，sin α－cos α>0. ∴sin α－cos α＝75.- 8 -由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α ＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α. ∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257.求解此类问题的关键是：通过平方关系，对称式sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos αt 2－1已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝____.解析：将等式sin x ＋cos x ＝15两边平方，得sin 2x ＋2sin x ·cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x＝－2425，∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75.答案：－75“a sin θ＋b cos θ＝m ”型化简、求值方法已知a sin θ＋b cos θ＝m (其中a ，b ，m 为常数)，求sin θ，cos θ，tan θ等值时，有如下思路：(1)若a ＝1，b ＝±1，则利用以下三个关系式：(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ，(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2，可得a sin θ－b cos θ的值，然后解方程组得结论．(2)直接解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a sin θ＋b cos θ＝m ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得结论．(3)构造“对偶式”b sin θ－a cos θ＝x ，两式平方并相加求得x ，然后解方程组得结论． (4)把等式平方，逆用cos 2θ＋sin 2θ＝1，化为cos θ，sin θ的齐次式，利用“弦化切”，得tan θ，再求sin θ，cos θ.【例】 已知3sin α＋4cos α＝5，求tan α.【解】 解法1：由题意得3sin α＝5－4cos α，两边平方，得9sin 2α＝25－40cos α＋16cos 2α，则25cos 2α－40cos α＋16＝0，解得cos α＝45，则sin α＝35，故tan α＝34.解法2：把等式两边平方，整理得9sin 2α＋24sin αcos α＋16cos 2α＝25(sin 2α＋cos 2α)，两边同时除以cos 2α，整理得16tan 2α－24tan α＋9＝0，解得tan α＝34.解法3：设4sin α－3cos α＝x ，则x 2＋25＝(4sin α－3cos α)2＋(3sin α＋4cos α)2＝25，从而有x ＝0，则tan α＝34.解法4：因为3sin α＋4cos α＝5sin(α＋φ)，其中cos φ＝35，sin φ＝45，所以sin(α＋φ)＝1，则α＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，则sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－φ＝cos φ＝35，cos α＝- 10 -cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－φ＝sin φ＝45，故tan α＝34.。
第四章+三角函数第2讲+同角三角函数的基本关系与诱导公式课件——2025届高三数学一轮复习
解析：选A.因为角 是第二象限角，所以 ，又 , 所以 .
√
3. ____， ____.
解析： ， .
4.化简 的结果为________.
解析：原式 .
1.同角三角函数关系式的常用变形
（1） ; ; .
（2） .
（3） ； .
解析： ,所以 ,因为 ，所以 ， ,所以 ，所以 .故选C.
√
“ <m></m> 与 <m></m> ”之间关系的应用 与 可通过平方关系联系到一起,即 , , .因此在解题中已知其中一个可求另外两个.
【对点训练】
1.(2023·四川绵阳模拟)已知 ,且 ,则 ( )
考点二 诱导公式的应用（自主练透）
1.已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
解析：选D.原式 .故选D.
√
2.（多选）下列式子中化简正确的是( )
A. B. C. D.若 ，则
√
√
√
解析：选ABD.由诱导公式易知A正确；</m> B正确；</m> C错误；</m> =|，因为</m> ，所以 </m> ， </m> ，所以 <m></m> ，所以原式 <m></m> ，D正确.
2. ; .
【用一用】
1.已知 ，且 ,则 ____.
解析：因为 ，所以 ，而 ，所以 .
2.已知 ，则 的值构成的集合是_______.
解析：①当 为偶数时， ；②当 为奇数时， .所以 的值构成的集合是 .
核心考点 师生共研
2020版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案文(含解析
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式2019考纲考题考情1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1。
(2)商数关系：tan α＝sin αcos α。
2．三角函数的诱导公式公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，tan(α＋2k π)＝tan α，其中k ∈Z 。
公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α。
公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α。
公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α。
公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α。
公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α。
1．同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α。
2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。
一、走进教材1．(必修4P 19例6改编)已知sin α＝55，π2≤α≤π，则tan α＝( ) A ．－2 B ．2 C ．12D ．－12解析 因为cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝－255，所以tan α＝sin αcos α＝－12。
答案 D2．(必修4P 20练习T 4改编)化简1－cos 22θcos2θtan2θ＝________。
解析 1－cos 22θcos2θtan2θ＝sin 22θcos2θ·sin2θcos2θ＝sin2θ。
答案 sin2θ 二、走近高考3．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝( )A ．6425B ．4825C ．1D ．1625解析 cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋4×341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝6425。
最新《金版新学案》高三数学一轮复习 第3章 三角函数第2课时 同角三角函数基本关系与诱导公式精品课
可知cos A<0，∴A为钝角，
∴△ABC是钝角三角形．
(3)∵(sin A－cos A)2 ＝1－2sin A·cos A ＝1＋2245＝4295， 又sin A>0，cos A<0，∴sin A－cos A>0， ∴sin A－cos A＝75 ② ∴由①，②可得sin A＝45，cos A＝－35，
αα＝2ttaannαα＋－21＝2×2＋2－2 1＝34.
答案： B
4．如果cos α＝15，且α是第四象限的角，那么cosα＋π2＝______.
解析： α是第四象限的角且cos α＝15，
∴sin α＝－ 1－cos2α＝－2 5 6，
于是cosα＋2π＝－sin
α＝2
5
6 .
答案：
26 5
其商数关系tan
α＝
sin cos
α α
的逆用也很重要，若分式的分子、分母是关于
同角的弦函数的齐次式的形式，可将分子、分母同除以弦函数的最高次
数，从而转化成正切函数的形式来求值．
已知sin(3π＋α)＝2sin32π＋α，求下列各式的值： (1)5ssiinnαα－＋42ccoossαα；(2)sin2α＋sin 2α.
【变式训练】 2.求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.
解析： 原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋ tan 945°
＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝ 23× 23＋12×12＋1＝2.
2019年高考数学(文)一轮复习第3章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案整理
[ 考纲传真 ] 1. 理解同角三角函数的基本关系式：
sin
2
2
sin
α ＋ cos α ＝ 1，cos
α α ＝ tan
α .2.
能利用单位圆中的三角函数线推导出
π 2 ±α ， π ± α 的正弦、余弦、正切的诱导公式．
( 对应学生用书第 41 页 )
[ 基础知识填充 ]
1 α cos α ＝ 得 2sin
2 α cos α＝－ ，
3
3
所以 (cos
α － sin
α ) 2＝ 1－2sin
5 α cos α ＝ ，
3
又 α 是第二象限角，所以 cos α － sin α ＜ 0，
15 所以 cos α － sin α ＝－ 3 ，
2
2
3
15
因此 cos 2 α ＝ cos α－ sin α ＝ (cos α ＋ sin α )(cos α － sin α ) ＝ 3 × － 3 ＝
cos_ α
余弦 cos α
－ cos α
cos α
－ cos_ α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－ tan α
－ tan_ α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变符号看象限
[ 知识拓展 ]
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)(sin α ±cos α ) 2＝1±2s in α cos α .
( 1) A
5
3
2
cos2α ＋ 4sin α cos α
(2) － 3 [(1) ∵ tan α ＝4，则 cos α ＋ 2sin 2α ＝ sin2 α ＋cos2 α ＝
高考数学一轮总复习课件：同角三角函数的基本关系式及诱导公式
sin（kπ＋α） sinα
＋
cos（kπ＋α） cosα
(k∈Z)，则A的
值构成的集合是( C )
A．{1，－1，2，－2} B．{－1，1}
C．{2，－2}
D．{1，－1，0，2，－2}
【解析】 当k为偶数时，A＝ssiinnα α＋ccoossα α＝2； 当k为奇数时，A＝－sisniα nα－ccoossα α＝－2.
(2)sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx之间的关系为 (sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx， (sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx， (sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2. 因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可 求其余两个代数式的值．
＝
（－751）×15＝－275.
【答案】 －275
题型四 齐次式下弦切互化
例4 (1)已知tanα＝3，求sin2α－3sinαcosα＋1的值．
【解析】 ∵tanα＝3，sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α－3sinαcosα＋1＝sin2sαin2－α3＋sincoαs2cαosα＋1 ＝tan12α＋－tan32tαanα＋1＝321－＋33×2 3＋1＝1. 【答案】 1
本例属于同角三角关系式中的基本题，关键是掌握“先开 方，后作商”的原则，先求与 sinα(或 cosα)的平方关系相联系 的 cosα(或 sinα)，再由公式求 tanα.(2)(3)中 α 的范围不确定， 需讨论确定开方的符号．
思考题 2 (1)设 sinα2＝45，且 α 是第二象限角，则 tanα2的 4 值为____3____．
状元笔记
1．诱导公式的两个应用方向与原则 (1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终 了． (2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终 了． 2．含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函 数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝ cos(π－α)＝－cosα.
高中数学一轮复习重难点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱导公式
第五章三角函数与解三角形5.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱导公式五年高考考点1任意角和弧度制、三角函数的概念1.(2020课标Ⅱ理,2,5分,易)若α为第四象限角,则()A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0答案D2.数学文化(2022全国甲理,8,5分,中)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在A 上,CD⊥AB.“会圆弧长度的“会圆术”.如图,A的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+B2B.当OA=2,∠AOB=60°时,s=()圆术”给出AA.11−33211−432答案B3.(2021北京,14,5分,中)若点A(cosθ,sinθ)关于y轴的对称点为B cos+,sin+,则θ的一个取值为.答案5π12(答案不唯一)3.(2012山东,16,4分,中)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,O 的坐标为.答案(2-sin2,1-cos2)考点2同角三角函数的基本关系式及诱导公式1.(2019课标Ⅰ文,7,5分,易)tan255°=()A.-2-3B.−2+3C.2−3D.2+3答案D2.(2014大纲全国,3,5分,易)设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则()A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案C3.(2018课标Ⅰ文,11,5分,中)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=23,则|a-b|=()A.15B.55C.255D.1答案B4.(2021新高考Ⅰ,6,5分,中)若tanθ=-2,则sino1+sin2psinrcos=()A.-65B.−25C.25D.65答案C5.(2023全国乙文,14,5分,中)若θ∈π2θ=13,则sinθ-cosθ=.答案-106.(2018课标Ⅱ理,15,5分,中)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.答案-12三年模拟一、单项选择题1.(2023湖北武汉四调,3,易)已知sin+π3=35,则sin2+π6)A.2425B.−2425C.725D.−725答案D2.(2023广东惠州一模,5,易)若tanα=cos3−sin,则sin2+)A.23B.13C.89D.79答案D3.(2023山西太原、大同二模,5,易)已知sinα+cosα=63,0<α<π,则sinα-cosα=()C.−答案B4.学科融合(2023浙江嘉兴二模,易)相传早在公元前3世纪,古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线(经线)的两个城市(赛伊城和亚历山大城)进行观测,当太阳光直射赛伊城某水井S时,亚历山大城某处A的太阳光线与地面成角θ=82.8°,又知某商的长为5000古希腊里,若圆周率取3.125,则可估计地球半径为队旅行时测得A与S的距离即劣弧A()A.35000古希腊里B.40000古希腊里C.45000古希腊里D.50000古希腊里答案B)5.(2022河北邯郸一模,4,易)已知tanα=-3,A.-34B.34C.310D.−310答案C6.(2022福建名校联盟全国优质校大联考,7,易)若cos2α=1+2cosα,则sin2α+sin4α的值为()A.5−1 C.1 D.2答案C二、多项选择题7.(2022河北仿真模拟卷(二),9,易)已知tanθ=2,则下列结论正确的是()A.tan(π-θ)=-2B.tan(π+θ)=-2C.sint3cos2sinr3cos=−17 D.sin2θ=45答案ACD8.(2022重庆西南大学附中模拟,中)已知α,β,γ∈且α+β+γ=π2,则()A.若sinα+cosα=2,则tanα=1B.若tanα=2,则sin(β+γ)=55C.tanα,tanβ可能是方程x2-6x+7=0的两根D.tanαtanβ+tanαtanγ+tanβtanγ=1答案ABD9.(2022山东济南模拟,中)如图所示,设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0),以x轴非负半轴为始边作锐角α,β,α-β,它们的终边分别与单位圆相交于点P1,A1,P,则下列说法正确的是()A.O 的长度为α-βB.扇形OA1P1的面积为α-βC.当A1与P重合时,AP1=2sinβD.当α=π3时,四边形OAA1P1面积的最大值为12答案ACD三、填空题10.(2022广东韶关一模,易)已知α∈(0,π),且1−cos2sin2=-2,则cos(π-α)=.答案。
高考数学一轮专项复习ppt课件(新高考用)-三角函数概念与诱导公式
cos = ，tan =
(
≠ 0)．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点(, )是角α终边上异于顶点
的任一点，设点到原点的距离为，则
sin =
，cos
=
，tan
=
(
≠ 0)
知识梳理·基础回归
知识点1：三角函数基本概念
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，
形（为圆心）用成一个圆锥（点, 恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直
径为，则cos∠的值为
．
7
【答案】9
【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，
2π
∵扇形的圆心角为 3 ，∴
扇形
=
1 2π
⋅
2 3
⋅
2
=
π 2
3
∵扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长，∴
= 3π，解得 = 3，
题型二：等分角的象限问题
【典例2-2】（2024·高三·湖北黄冈·期中）若角满足＝
(
2
3
6
+ (k∈Z)，则的终边一定在
)
A．第一象限或第二象限或第三象限
C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上
【答案】D
【解析】当 = 0时， = 6 ，终边位于第一象限
当 = 1时， =
5
，终边位于第二象限
故选：C.
）
题型突破·考法探究
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别
【典例1-2】（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴
上，终边在直线 = 3上，则角的取值集合是（ ）
(新课标)高考数学一轮总复习 第三章 三角函数、解三角形 3-2 同角三角函数的基本关系及诱导公式课
3-2 同角三角函数的基本关系及诱导公式课时规X 练(授课提示：对应学生用书第247页)A 组 基础对点练1．(2017·某某某某模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝35，则cos(π－2α)＝( A )A.725 B ．－725C.925D ．－9252．(2018·某某期末)已知sin α＝23，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( B ) A ．－53B ．－23C.53D ．233．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( A ) A ．－1 B ．－22C.22D ．14．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( C ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b5．若sin π－θ＋cos θ－2πsin θ＋cos π＋θ＝12，则tan θ＝( D )A ．1B ．－1C ．3D ．－36．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴的距离为π3.若角φ的终边经过点P (1，－2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π3等于( A )A.255B ．55C ．－255D ．－557．(2017·某某赣中南五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2 015π2－2α的值为( B )A.45 B ．－45C ．2D ．－128．(2017·某某实验中学二诊)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( B ) A.23B ．－23C.13 D ．－139．(2018·某某一模)已知tan θ＝2，则sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ的值为( C )A.195 B ．165C.2310D ．1710解析：∵tan θ＝2，则sin θ＋cos θsin θ＋sin 2θ＝1＋1tan θ＋sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋12＋tan 2θtan 2θ＋1＝32＋44＋1＝2310. 10．(2016·高考某某卷)sin 750°＝12.解析：sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝12.11．(2018·某某期末)若点P (3cos θ，sin θ)在直线x ＋y ＝0上，则tan θ＝ －3 . 解析：由题意知3cos θ＋sin θ＝0，∴sin θ＝－3cos θ， ∴tan θ＝sin θcos θ＝－3.12．设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝－105.解析：法一 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，得1＋tan θ1－tan θ＝12，解得tan θ＝－13，则cos θ＝－3sin θ.由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得10sin 2θ＝1.∵θ为第二象限角，∴sin θ＝1010，cos θ＝－31010，∴sin θ＋cos θ＝－105.法二 由于θ在第二象限，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，因而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－55，因而sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－105.13．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－43. 解析：法一 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22×(sin θ＋cos θ)＝35， ∴sin θ＋cos θ＝325，①∴2sin θcos θ＝－725.∵θ是第四象限角，∴sin θ＜0，cos θ＞0， ∴sin θ－cos θ＝－1－2sin θcos θ＝－425，② 由①②得sin θ＝－210，cos θ＝7210， ∴tan θ＝－17，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－43. 法二 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝35，又2k π－π2＜θ＜2k π，k ∈Z ，∴2k π－π4＜θ＋π4＜2k π＋π4，k ∈Z ，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝43， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝－43.B 组 能力提升练1．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0 ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( A ) A.12 B ．32C ．0D ．－12解析：f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫236π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12. 3．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( D )A.35 B ．45 C.74D ．344．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ等于( B )A ．－32B ．32 C ．0D ．235．(2018·某某某某一中月考)设0≤x ＜2π，且1－sin 2x ＝sin x －cos x ，则( B ) A ．0≤x ≤π B ．π4≤x ≤5π4C.π4≤x ≤7π4D ．π2≤x ≤3π26．已知函数f (sin x )＝cos 15x ，则f (cos x )＝( C ) A ．sin 15x B ．cos 15x C ．－sin 15xD ．－cos 15x解析：f (cos x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫152π－15x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π－π2－15x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋15x ＝－sin 15x .故选C.7．(2018·海珠区期末)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( D )A.22B ．33C ．1D ． 3解析：由cos 2α＝1－2sin 2α，得到sin 2α＋cos 2α＝1－sin 2α＝14，则sin 2α＝34，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝32，则α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3. 8．(2017·某某某某模拟)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根，则sin θ－cos θ等于( A ) A.1＋32B ．1－32C. 3 D ．－ 39．(2017·某某日照一中测试)角α的终边经过点P (sin 10°，－cos 10°)，则α的可能取值为( D ) A ．10° B ．80° C ．－10°D ．－80°10．(2017·某某某某模拟)已知θ是三角形的一个内角，且sin θ，cos θ是关于x 的方程4x 2＋px －2＝0的两根，则θ等于 3π4. 解析：由题意得sin θcos θ＝－12.结合sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得sin θ＝±22，因为θ为三角形的一个内角，所以sin θ＝22，所以cos θ＝－22，故θ＝34π. 11．(2017·某某皖南八校联考)已知sin α＝13，α是第二象限角，则tan(π－α)＝ 24 .解析：∵sin α＝13，α是第二象限角，∴cos α＝－223，∴tan α＝－24，故tan(π－α)＝－tan α＝24. 12．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋2π－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α1－cos π－2α＋sin 2α的值． 解析：(1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1＋tan α1－tan α＝12，解得tan α＝－13. (2)sin 2α＋2π－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α1－cos π－2α＋sin 2α＝sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＋sin 2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＋sin 2α ＝2tan α－12＋tan 2α＝－1519.。