立体图形上的最短路径问题
【解析】
试题分析：
只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从 点到 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案.
试题解析：
解：展开图如图所示，
所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm
类型二通过旋转来转化
【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？
【答案】
【解析】
试题分析：
求小猫经过的最短距离，首先应将其侧面展开，将问题转化为平面上两点间的距离的问题，根据展开图中扇形的弧长与圆锥底面周长相等可求展开图的扇形圆心角度数，故可得出展开图中 ，即可用勾股定理求出小猫经过的最短距离 长.
试题解析：
解：作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图，设该扇形的圆心角度数为 ，
所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为
【难度】一般
【例题3】如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度.
【答案】
【解析】
试题分析：
展开后连接 ，求出 的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点 作 于 ，求出 、 ，根据勾股定理求出 即可.
由展开扇形圆弧长等于底面圆周长，可得 ，
再由 ，可得 ，
故在展开的平面图形中，
点 到 的最短距离为
【难度】一般
类型三通过轴对称来转化
【例题5】桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在位置？
【答案】
【解析】
试题分析：
解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算. Nhomakorabea试题解析：
解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开铺平使矩形AA’B’B与BB’C’C相连，连接AC’，使E点在AC’上（如图2）
4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图
二、应用举例
类型一通过平移来转化
【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A处绕圆锥一周回到A点的最短距离
可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解
（3）通过轴对称来转化
例如：求圆柱形杯子外侧点 到内侧点 的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点 关于杯口的对称点 ，根据“两点之间，线段最短”可知 即为最短距离
3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短（2）勾股定理
阅读以上信息，解决下列问题：
（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm,则它爬行一周的路程是多少？
（2）如果树干的周长是80cm,绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？
【答案】（1）50cm；（2）6m
【解析】
试题分析：
【答案】25dm
【解析】
试题分析：
先将图形平面展开，再根据勾股定理进行解答
试题解析：
解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理可得x2=202+[（2+3）×3]2，
试题解析：
解：展开图如图所示， ，
【难度】较易
3.有一个圆柱体，如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一小蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处蚂蚁爬行的最短距离.
【答案】
【解析】
试题分析：
圆柱展开就是一个长方形，根据两点之间线段最短可求
试题解析：
解：∵ ， 为底面周长的一半，即
∴
【难度】较易
4.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线-螺旋前进的，难道植物也懂得数学？
解得x=25．
即蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为25dm．
【难度】较易
类型二 通过旋转来转化
2.（2015·陕西）有一个圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？
【答案】
【解析】
试题分析：把圆柱沿 侧面展开，连接 ，再根据勾股定理得出结论
【答案】 厘米
【解析】
试题分析：
把圆柱展开，得到矩形形状， 的最短距离就是线段 的长，根据勾股定理解答即可
试题解析：
解：如图所示，作 点关于杯口的对称点
则 厘米
【难度】较易
三、实战演练
类型一 通过平移来转化
1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm．
试题解析：
解：如下图所示，把圆柱的半侧面展开成矩形，点S，F各自所在的母线为矩形的一组对边上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边.该矩形上的线段SF即为所求的最短路线.
过点S作点F所在母线的垂线，得到 .
【难度】较易
【例题4】（2015·红河期末）如下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m（结果不取近似值）
第8讲 立体图形上的最短路径问题
一、方法技巧
解决立体图形上最短路径问题：
1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直”
2.“平面化”的基本方法：
（1）通过平移来转化
例如：求A、B两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可
（2）通过旋转来转化
例如：求 两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求
勾股定理立体图形中最短路径
勾股定理应用——最短路径问题
学习目标：1.认识平面图形和立体图形的关系，会图形间的互相转化。
2.能在平面图形中构建勾股定理模型解决实际问题。
一、尝试练习、联系生活
1.两点之间，最短！
2.一个圆柱体的侧面展开图是,它的一边长是圆柱的,
它的另一边长是圆柱的.
二、合作交流、探究新知
例1:如图所示,圆柱体的底面周长为6cm,高AC为4cm,一只蚂蚁从A点出发,沿着圆柱的侧面爬行到点B,试求出爬行的最短路程.
三、变式训练、拓展延伸
变式1：有一圆柱形油罐,油罐底面周长是12米,高AB是5米,要以A点环绕油罐建旋梯,正好到A点的正上方B点,问旋梯最短要多少米?
变式2：如果圆柱换成棱长为1cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A点爬行到B 点需要的最短路程又是多少呢？
变式3：如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
四、方法迁移、自我检测
1、如果盒子换成长为40cm，宽为30cm，高为120cm的金鱼缸，如果鱼缸中的A 点有一条金鱼,它想尽快吃到B点的食物，那么金鱼游的最短路程又是多少呢？
2、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A 和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？。
2019国考行测备考：立体几何最短路径问题轻松解决
2019国考行测备考：立体几何最短路径问题轻松解决2019国考的备考学习已经开始了，很多考生已经正式开启了备考模式，您呢?开始学习了么?学到数量关系了么?遇见立体几何的最短路径问题了么?觉得有困难么?今天就一起看看立体几何中的最短路径问题，让您轻松应对，从容解决!那么让我们先从一个立方体开始吧!
一、题型预览：
例1：如图，一只蚂蚁从正方体A顶点沿正方体的表面爬到正方体C顶点。
设正方体边长为a，问蚂蚁爬过的最短路程为：
二、解题方法：
将立体图形上行走最短路径部分形成平面展开图，求解平面展开图上两点间最短距离。
(立体图形平面转开)
示例：如图，一只蚂蚁从正方体A顶点沿正方体的表面爬到正方体C顶点。
设正方体边长为a，问蚂蚁爬过的最短路程为：
解析：正方体形成平面展开图含A点和C点即可，如图所示，连接AC。
两点之间直线最短，则蚂蚁爬过的最短路程为A、C两点连线，则
，选择B。
数量关系中的立体图形最短路径问题真的可以很容易解决了吧，其实，这里考查的关键点还是我们在很小就知道的两点之间，线段最短的道理。
还要提醒各位同学，很多的有趣的题目好像有点儿难其实考的都是我们的基础，回归课本，回归课堂其实就会看到自己的进步，走近公职的梦想。
勾股定理的应用——立体图形中最短路程问题教案
《勾股定理的应用——立体图形中最短路程问题》教案(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--教学过程分析第一环节：情境引入创设情景：如图一圆柱体底面周长为32cm,高AB为12cm,BC是上底面的直径。
一只蚂蚁从A点出发，沿着圆柱的表面爬行到C点，试求出蚂蚁爬行的最短路线长。
意图：创设引入新课，从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，激发学生探究热情．第二环节：合作探究内容：引导学生分析题意，明确已知信息，明确题目问题，引导学生合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论汇总方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，四种方案：A A A（1）（2）（3）（4）通过具体分析，得出最短路线，并计算出最短路线长。
让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法．意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，分析能力，发展空间观念．就此问题的解决进行思路小结：将立体图形问题转化为平面图形问题，构建直角三角形利用勾股定理解决此问题，渗透了建模思想。
练习：1.有一圆形油罐底面圆的周长为16m，高为7m，一只蚂蚁从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？2. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？第三环节：拓展一：正方体内容：如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A点爬行到B点的最短路线长又是多少呢？1．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到BBA渗透解题思路：即 1、展 -----（立体图形转为平面图形）2、找-----起点A，终点B或B′3、连-----最短路线AB和AB ′4、算-----利用勾股定理总结：对于正方体展开任意两个面连接起点和终点线段即最短的路线大小相等。
立体图形中的最短线问题
如 图 １ 在 Ｒ △ＡＢ 中 ， ２ ） ０， ｔ Ｆ （ ｙ ＝（ ０一 ＋１ ， 得 Ｙ一８ ２ ） Ｏ 解 ．
． ．
（ ） ② 一 ③ ， 开 使 Ａ， ２从 展 曰两 点 同在 一 个 平 面 内 ， 图 如 ５所 示 ， 由题 意 知 Ａ Ｃ＝１ ｎ Ｂ １Ｉ， Ｃ＝４ ｍ 由 勾 股 定 理 Ａ ＝ ． Ｂ
止 不动 ， 图 ７ 在 盒 子 的 内部 我 们 先 如 ， 取 棱 Ｂ 中点 Ｅ 再 连接 Ａ ，Ｃ ， Ｂ ， Ｅ Ｅ 昆虫
图 ７
乙如果 沿路 径 Ａ — ｃ 爬 行 ， 么 可 以在 最 短 的 时 间 内捕捉 —Ｅ ． 那 到 昆虫 甲． 细体 会其 中的道理 ， 在 图 ７中画 出另 一条 路径 。 仔 并 使 昆虫 乙从 顶 点 Ａ 沿这 条 路径 爬行 ， 同样 可 以在 最 短 的 时间 内
从 顶 点 Ａ按 路 径 Ａ — ． Ｆ爬 行 捕 捉 到 昆 虫 甲 需 ８如 图 一 ．
８ 在 Ｒ △Ａ Ｆ 中 ，２ ） ＝（０一 ＋ ０ ， 得 ＝１． ， ｔ Ｃ （ １ ） ２ 解 ０ 设 昆 虫 甲从 顶 点 ｃ 沿 棱 ｃ ｃ向顶 点 ｃ爬 行 的 同 时 ， 。 昆
ＡＣ ＋Ｂ 得 Ａ １ ＋４ ｃ， Ｂ＝ １ ＝ （ ｍ）；
（ ） ① 一 ④ ， 开 使 Ａ 日两 点 同在 一 个 平 面 内 ， 图 ３从 展 ， 如 ６所 示 ， 题 意 知 Ａ 由 Ｃ＝６ ｍ， Ｃ＝９ ｉ 由 勾 股 定 理 Ａ ＝ Ｂ ｎ ． Ｂ
Ａｃ ＋日ｃ。
（ ） 设 昆虫 甲在 顶 点 Ｃ 处 静 １假 ，
是 一个 空 间问题 ， 要求 Ａ 占两 点 之 间 的最 短 路 径 ， ， 必须 要 把 台 阶表面 展开 ， Ａ Ｂ两点 同在一 个 平面 内． 图 ２ 示 ， 使 ， 如 所 四边 形
「初中数学」勾股定理与最短距离问题.doc
「初中数学」勾股定理与最短距离问题勾股定理与最短路径问题最短路径问题的核心理论是：两点之间线段最短，但在不同情形中，会以不同的方式出现，也就会涉及到不同的思路和方法，比如在【几何模型】“将军饮马”问题——作一首小诗这一讲中，主要利用到两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边(三角形的三边关系本质上还是两点之间线段最短)，而这一讲，我们主要涉及到立体图形的最短路径问题。
一、立体图形的最短路径问题的解决思路对于立体图形的最短路径问题，我们一般是利用横切或展开等手段，将其转换到平面图形中解决，而这种情形不免会在直角三角形中解决，也自然会和勾股定理扯上关系二、利用横切，转换成平面图形【例】如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一只14cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为多少？(注：内径即底面直径)【分析】若使吸管露出杯口最短，自然留在杯中最长，而最长莫过于下列情况：这样，按照上图将圆柱横切，就可以将其转换到RT△ACB 中解决，而AB可有勾股定理解得：AB=13cm，所以吸管露出杯口的最短长度AD=BD-AB=1cm【练习题】如图，将一根25cm长的细木棒，放入长、宽、高分别为8cm、6cm、10cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少？(保留1位小数)。
三、利用展开，转换成平面图形这类问题又可以细分为两种情形：直面(正方体或长方体)和曲面(圆柱)，但无论直面或曲面，一般都是展开为矩形，进而利用勾股定理解决【例】直面(正方体或长方体）【分析】研究在表面从点M到点C的最短路径，可以将正方体表面局部展开：根据“两点之间线段最短，可知最短路径，即为线段MC。
进而，在RT△CGM中，利用勾股定理，可求MC 【练习题】【例】曲面(圆柱)如图，圆柱高15cm,底面半径为8/兀cm，一蚂蚁从B点爬到A点的最短路径为多少?【分析】请注意：此题的易错点是，很多同学直接连接AB，认为此时线段AB即为最短路径。
行测数量关系技巧：立体几何之立体表面最短路径
⾏测数量关系技巧：⽴体⼏何之⽴体表⾯最短路径 在考场上⼈与⼈拉开差距的除了平常的知识点的积累，还有⾯对考试题型能够有⼀个更好的解答思路，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⾏测数量关系技巧：⽴体⼏何之⽴体表⾯最短路径”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！⾏测数量关系技巧：⽴体⼏何之⽴体表⾯最短路径 ⼏何问题在近⼏年的公职类考试中频频出现，不论是在公务员考试的⾏测中，还是事业单位联考的职业能⼒测验中，经常能看到⼏何问题的⾝影，尤其是在近⼏年的国考中，⼏何问题更是热门考点。
⼏何问题主要测查我们对于平⾯⼏何、⽴体⼏何的理解以及对相关公式的掌握，其实这些知识在⼩学和中学就已经是我们所接触学习过的了。
所以⼏何问题的备考，更多地是复习和回顾，做题过程也是公式和⽅法的应⽤过程。
今天主要来说⼀下⼏何问题中的⽴体表⾯最短路径问题。
⽴体⼏何相⽐较平⾯⼏何，不仅需要我们对计算表⾯积和体积的公式要熟悉，还需要我们有⼀定的空间想象能⼒，通过不断练习对图形的把握感要逐渐地强化。
⽴体表⾯的最短路径问题，就是需要对原来的⽴体图形作⼀定地变形，把需要空间想象的⽴体⼏何转化为更为清晰直观的平⾯⼏何。
接下来我们就通过两个例⼦看⼀下如何进⾏转化。
例如：⼀只蚂蚁在棱长为1的正⽅体的顶点A沿表⾯爬⾏到顶点B，那么爬⾏的最短距离是多少? 我们发现，要想爬⾏距离最短，尽量朝着B⾛直线，但在⼀个⽴体的表⾯，这个直线路径该怎么画出来就需要很强的空间想象能⼒了，更不要说还要计算出来结果。
但如果能够把⽴体⼏何转化为⼀个平⾯⼏何，题⽬就变得简单明了了。
我们可以把右⾯的⾯翻到与正前⽅的⾯平齐(或把上⽅的⾯翻到与正前⽅的⾯平齐)。
如下图所⽰： 通过简单的转换，就可以绕过空间想象，把⽴体图形转变为简单易解的平⾯图形，题⽬也就迎刃⽽解了。
希望通过上⾯的两个例⼦，能给同学们⼀点启发，把握好此类题⽬的解题⽅法，通过适当练习，对⽅法以及⼏何所涉及的公式都进⾏练习和掌握，攻克⼏何问题。
二次函数压轴题专题一 最短路径问题
二次函数压轴题专题一最短路径问题——和最小知识梳理最短路径就是无论在立体图形还是平面图形中，两点间的最短距离，常涉及以下 两个方面：1、两点之间，线段最短；2、垂线段最短。
常用思考的方式：1、把立体转化为平面；2、通过轴对称寻找对称点。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
例题导航例1：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M,则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。
例：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。
作法：作点B 关于直线 a 的对称点点C,连接AC 交直线a 于点D ，则点D 为建抽水站的位置。
证明：在直线 a 上另外任取一点E ，连接AE.CE.BE.BD,··CDA BEa∵点B.C 关于直线 a 对称,点D.E 在直线 a 上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC在△ACE 中，AE+EC ＞AC, 即 AE+EC ＞AD+DB所以抽水站应建在河边的点D 处，常见问题归纳“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时，PA ＋PB 最小．【方法归纳】①如图所示，在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小．过点A 作AB ⊥l ，垂足为B ，则线段AB 即为所求．②如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．过点B 作关于直线l 的对称点B ′，BB ′与直线l 交于点P ，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．③如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点C ，D 使得PC ＋CD ＋PD 最小．过点P 分别作关于AO ，BO 的对称点E ，F ，连接EF ，并与AO ，BO 分别交于点C ，D ，此时PC ＋CD ＋PD 最小，则点C ，D 即为所求．④如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点E ，F 使得DE ＋EF ＋CF 最小．分别过点C ，D 作关于AO ，BO 的对称点D ′，C ′，连接D ′C ′，并与AO ，BO 分别交于点E ，F ，此时DElBAllllBAOBOB＋EF ＋CF 最小，则点E ，F 即为所求．⑤如图所示，长度不变的线段CD 在直线l 上运动，在直线l 上找到使得AC ＋BD 最小的CD 的位置．分别过点A ，D 作AA ′∥CD ，DA ′∥AC ，AA ′与DA ′交于点A ′，再作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接A ′B ′与直线l 交于点D ′，此时点D ′即为所求．⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线（y ＝14x 2）上的一点，点A （0，1）在y轴正半轴．点P 在什么位置时PA ＋PB 最小？过点B 作直线l ：y ＝－1的垂线段BH ′，BH ′与抛物线交于点P ′，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．二次函数中最短路径例题例1．（13广东）已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．BOB Oll练习1．（11菏泽）如图，抛物线y ＝12x 2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．练习2．（12滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．例2．（14海南）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线经过A （－1，0），C （0，5）两点，与x 轴另一交点为B ．已知M （0，1），E （a ，0），F （a ＋1，0），点P 是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a ＝1时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）若△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．【思路点拨】 （1）由对称轴为直线x ＝2，可以得出顶点横坐标为2，设二次函数的解析式为y ＝a （x －2）2＋k ，再把点A ，B 的代入即可求出抛物线的解析式；（2）求四边形MEFP 的面积的最大值，要先表示出四边形MEFP 面积．直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，由S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME 即可得出； （3）四边形PMEF 的四条边中，线段PM ，EF 长度固定，当ME ＋PF 取最小值时，四边形PMEF 的周长取得最小值．将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得到点M 1（1，1），作点M 1关于x 轴的对称点M 2（1，－1），连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小． 【解题过程】解：（1）∵对称轴为直线x ＝2，∴设抛物线解析式为y ＝a （x －2）2＋k ．将A （－1，0），C （0，5）代入得：⎩⎨⎧9a ＋k ＝04a ＋k ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1k ＝9，∴y ＝－（x －2）2＋9＝－x 2＋4x ＋5．（2）当a ＝1时，E （1，0），F （2，0），OE ＝1，OF ＝2．设P （x ，－x 2＋4x ＋5），如答图2，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5，∴MN ＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4．S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12（PN ＋OF ）•ON －12PN•MN －12OM •OE ＝12（x ＋2）（－x 2＋4x ＋5）－12x •（－x 2＋4x ＋4）－12×1×1＝－x 2＋92x ＋92 ＝－（x －94）2＋15316 ∴当x ＝94时，四边形MEFP 的面积有最大值为15316，此时点P 坐标为（94，15316）． （3）∵M （0，1），C （0，5），△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，∴点P 的纵坐标为3．令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2±6．∵点P 在第一象限，∴P （2＋6，3）．四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要ME ＋PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值． 如答图3，将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得M 1（1，1）；作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2（1，－1）；连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小．设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ，将P （2＋6，3），M 2（1，－1）代入得：⎩⎨⎧(2＋6)m ＋n ＝3m ＋n ＝－1，解得：m ＝46－45 ，n ＝46＋45，∴y ＝46－45x －46＋45．当y ＝0时，解得x ＝6＋54．∴F （6＋54，0）．∵a ＋1＝6＋54，∴a ＝6＋14． ∴a ＝6＋14时，四边形PMEF 周长最小．图1 图2练习3．（11眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A （0，1），B （﹣4，4），将点B 绕点A 顺时针方向90°得到点C ；顶点在坐标原点的拋物线经过点B ． （1）求抛物线的解析式和点C 的坐标；（2）抛物线上一动点P ，设点P 到x 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，试说明d 2＝d 1＋1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P 位于何处时，△PAC 的周长有最小值，并求出△PAC 的周长的最小值．例4．（14福州）如图，抛物线y ＝12(x -3)2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D 了． （1）求点A ，B ，D 的坐标； （2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．【思路点拨】（1）由顶点式直接得出点D 的坐标，再令y ＝0，得12(x -3)2-1＝0解出方程，即可得出点A ，B 的坐标；（2）设HD 与AE 相交于点F ，可以发现△HEF 与△ADF 组成一个“8字型”．对顶角∠HFE ＝∠AFD ，只要∠FHE ＝∠FAD 即可．因为∠EHF ＝90°，只需证明∠EAD ＝90°即可．由勾股定理的逆定理即可得出△ADE 为直角三角形，得∠FHE ＝∠FAD ＝90°即可得出结论；（3）先画出图形．因为PQ 为⊙E 的切线，所以△PEQ 为直角三角形，半径EQ 长度不变，当斜边PE 最小时，PQ 的长度最小．设出点P 的坐标，然后表示出PE ，求出PE 的最小值，得到点P 的坐标，再求出点Q 的坐标即可．【解题过程】解：（1）顶点D 的坐标为（3，-1）．令y ＝0，得12 (x -3)2-1＝0，解得x 1＝3＋2，x 2＝3-2．∵点A 在点B 的左侧，∴A 点坐标(3-2，0)，B 点坐标（3+2，0）．（2）过D 作DG ⊥y 轴，垂足为G ．则G （0，-1），GD ＝3．令x ＝0，则y ＝72，∴C 点坐标为（0，72）．∴GC ＝72-(-1) ＝ 92．设对称轴交x 轴于点M ．∵OE ⊥CD ，∴∠GCD ＋∠COH ＝90︒．∵∠MOE ＋∠COH ＝90︒，∴∠MOE ＝∠GCD ．又∵∠CGD ＝∠OMN ＝90︒，∴△DCG ∽△EOM ． ∴CG OM ＝DGEM ，即923＝3EM ．∴EM ＝2，即点E 坐标为(3，2)，ED ＝3． 由勾股定理，得AE 2＝6，AD 2＝3，∴AE 2＋AD 2＝6＋3＝9＝ED 2． ∴△AED 是直角三角形，即∠DAE ＝90︒．设AE 交CD 于点F ．∴∠ADC ＋∠AFD ＝90︒．又∵∠AEO ＋∠HFE ＝90︒， ∴∠AFD ＝∠HFE ，∴∠AEO ＝∠ADC ．（3）由⊙E 的半径为1，根据勾股定理，得PQ 2＝EP 2－1．要使切线长PQ 最小，只需EP 长最小，即EP 2最小．设P 坐标为（x ，y ），由勾股定理，得EP 2＝(x －3)2＋(y －2)2．∵y ＝12 (x －3)2－1，∴(x －3)2＝2y ＋2．∴EP 2＝2y ＋2＋y 2－4y ＋4＝(y －1)2＋5．当y ＝1时，EP 2最小值为5．把y ＝1代入y ＝12(x －3)2－1，得12(x －3)21＝1，解得x 1＝1，x 2＝5．又∵点P 在对称轴右侧的抛物线上，∴x 1＝1舍去．∴点P 坐标为(5，1)．此时Q 点坐标为（3，1）或(195，135)．例5．（14遂宁）已知：直线l ：y ＝﹣2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是y 轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P 是抛物线上任意一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，求证：PO ＝PQ ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i ）如图②，过原点作任意直线AB ，交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 于点A 、B ，分别过A 、B 两点作直线l 的垂线，垂足分别是点M 、N ，连结ON 、OM ，求证：ON ⊥OM ． （ii ）已知：如图③，点D （1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F ，使得FD ＋FO 取得最小值？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解题过程】解：（1）由题意，得⎩⎨⎧－b 2a ＝0－1＝c 0＝4a ＋2b ＋c ，解得：⎩⎨⎧a ＝14b ＝0c ＝－1，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2－1； （2）如图①，设P （a ，14a 2﹣1），就有OE ＝a ，PE ＝14a 2﹣1，∵PQ ⊥l ，∴EQ ＝2，∴QP ＝14a 2＋1．在Rt △POE 中，由勾股定理，得PO ＝a 2＋(14a 2－1)2＝14a 2＋1，∴PO ＝PQ ； （3）（i ）如图②，∵BN ⊥l ，AM ⊥l ，∴BN ＝BO ，AM ＝AO ，BN ∥AM ，∴∠BNO ＝∠BON ，∠AOM ＝∠AMO ，∠ABN ＋∠BAM ＝180°．∵∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＝180°，∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝180°，∴∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＋∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝360°，∴2∠BON ＋2∠AOM ＝180°， ∴∠BON ＋∠AOM ＝90°，∴∠MON ＝90°，∴ON ⊥OM ；（ii ）如图③，作F ′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F ′E ⊥DG 于E ，∴∠EGH ＝∠GHF ′＝∠F ′EG ＝90°，FO ＝FG ，F ′H ＝F ′O ，∴四边形GHF ′E 是矩形，FO ＋FD ＝FG ＋FD ＝DG ，F ′O ＋F ′D ＝F ′H ＋F ′D ，∴EG ＝F ′H ，∴DE ＜DF ′，∴DE ＋GE ＜HF ′＋DF ′，∴DG ＜F ′O ＋DF ′，∴FO ＋FD ＜F ′O ＋DF ′，∴F 是所求作的点．∵D （1，1），∴F 的横坐标为1，∴F （1，54）．l。
专题1.4 勾股定理中的最短路径问题(教师版)
专题1.4 勾股定理中的最短路径问题1、熟练掌握勾股定理的最短路径问题（主要包含：长方体、圆柱、圆锥、将军饮马等）。
2、解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题.知识点01 最短路径问题平面展开图-最短路径问题几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。
【知识拓展1】圆柱有关的最短路径问题【微点拨】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。
要点总结：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。
例1．（2022·山东青岛·八年级期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm ，高为18cm ，则一只小虫从下底点A 处爬到上底B 处再回到A 处，则小虫所爬的最短路径长是（ ）（p 取3）A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm【答案】A【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．【详解】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得AC=3×16÷2=24，在Rt△ABC中，由勾股定理，得30AB===cm．∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，∴最短路径长为60cm.故选：A．【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键．【即学即练】1．（2022·吉林长春·八年级期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝24pcm，高BC＝10cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁能够找到距离食物的最短路径，则蚂蚁从点A爬到点P的最短路程为_____cm．【答案】13【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可．【详解】将圆柱体的侧面展开，如图所示：AB＝12底面周长＝12×p×24p＝12（cm），BP＝12BC＝5（cm），所以AP（cm），故蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为13cm，故答案为：13．【点睛】本题考查最短距离问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常用求解方法．2．（2022·浙江金华初三月考）如图，圆柱底面半径为4pcm，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（ ）A．24cm B．30cm C．cm D．cm【答案】B【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为4pcm，∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×4p＝8cm；又∵圆柱高为18cm，∴小长方形的一条边长是6cm；根据勾股定理求得AC＝CD＝DB＝10cm；∴AC+CD+DB＝30cm；故选：B．【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开−−路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【知识拓展2】长方体有关的最短路径问题想【微点拨】计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。
专题训练(一) 三种立体图形中的最短路径问题
专题训练(一) 三种立体图形中的最短路径问题求立体图形中的最短路径问题最常见的三种类型是圆柱中的最短路径、棱柱中的最短路径和台阶中的最短路径，主要的解题思路是“化曲为平”．► 类型一 圆柱中的最短路径1．如图1－ZT －1，一圆柱高8 cm ，底面半径为2 cm ，一只蚂蚁从下底面点A 爬到上底面相对的点B 处吃食，要爬行的最短路程(π取3)约是( )A ．20 cmB ．10 cmC ．14 cmD ．无法确定1－ZT －12．如图1－ZT －2，为了庆祝五一劳动节，学校准备在教学大厅的圆柱形柱子上贴彩带，已知柱子的底面圆周长为1 m ，高为3 m ．如果要求彩带从柱子底端的A 处绕柱子4圈后到达柱子顶端的B 处(线段AB 与地面垂直)，那么应购买彩带的长至少为( )1－ZT －2 A ．2 mB ．3 mC ．4 mD ．5 m3．如图1－ZT －3，有一个圆柱，底面直径AB ＝16π cm ，高BC ＝12 cm ，P 为BC 的中点，求蚂蚁从点A 爬到点P 的最短路程．图1－ZT－3►类型二棱柱中的最短路径4．如图1－ZT－4，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的点A沿纸箱外表面爬到点B，那么它爬行的最短路线的长是()A．3 B．6 C．10 D．121－ZT－45．某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜(如图1－ZT－5)．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为8 cm，底面边长为2 cm，则这圈金属丝的长度至少为()1－ZT－5A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．15 cm6．如图1－ZT－6，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的最短路程的平方为________．1－ZT－67．如图1－ZT－7，棱柱的底面是边长为8 cm的正方形，侧面都是长为16 cm的长方形，D是BC的中点，在棱柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点D处的食物，需要爬行的最短路程是________．1－ZT－7►类型三台阶中的最短路径8．如图1－ZT－8是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶表面爬到B点的最短路程是多少？1－ZT－8教师详解详析1．[解析] B 如图所示，可以把A 和B 展开到一个平面内，即圆柱的半个侧面是长方形，长方形的宽BC ＝2π≈6 (cm)，长方形的长AC ＝8 cm.在直角三角形ABC 中，AC ＝8 cm ，BC ≈6 cm ，根据勾股定理得AB ≈62＋82＝100，所以AB ≈10 cm.故选B.2．[解析] D 将圆柱表面切开展开呈长方形，则螺旋线长等于四个长方形并排后的长方形的对角线长，如图．因为圆柱高3 m ，底面圆周长为1 m ，(1×4)2＋32＝16＋9＝25，所以彩带长至少是5 m.故选D.3．解：将圆柱侧面沿母线展开，如图．因为圆柱底面直径AB ＝16π cm ，高BC ＝12 cm ，P 为BC 的中点，所以展开图中AB ＝12×π×16π＝8(cm)，BP ＝6 cm.在Rt △ABP 中， AP 2＝AB 2＋PB 2＝100， 所以AP ＝10 cm.所以蚂蚁从点A 爬到点P 的最短路程为10 cm.4．C5．B6．5a27．20 cm8．解：如图是三级台阶上表面展开图，长为20 dm，宽为[(2＋3)×3]dm，则蚂蚁沿台阶表面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶表面爬行到B点的最短路程为x dm，由勾股定理得x2＝202＋[(2＋3)×3]2＝252，解得x＝25.故蚂蚁沿着台阶表面爬到B点的最短路程是25 dm.。
勾股定理(求立体图形中的最短路径问题3)
A
C
D
B
E
学习探究三 几何模型的代数应用
一条河流的BD段长8km,在B点的正北方1km处有 一村庄A,在D点的正南方5km处有一村庄E,在BD 段上 有一座桥C，把C建在何处时可以使A村到E村的距离最 短？求出此时A村到E村的最短距离。
AACD1CBB
EO
D
5 AE 62 82 102 10
E
学习探究三 几何模型的代数应用
一条河流的BD段长8km,在B点的正北方1km处有一
村庄A,在D点的正南方5km处有一村庄E,现要在BD 段
建一座桥C，使A村到E村的距离最短 若设BC= x km,则CD=____8_-x___km,建立直角三角
形，请用勾股定理表示出AC___1__x_2_km CE=__(8__x)_2 _5_2 km
1 x
8-x
5∴
x2 1 (8 x)2 25
的最小值为10
请你根据上述的方法和结论，求代式
的最小值。
老张讲数学
勾股定理(求立体图形中的最短距离3）
学习探究三 几何模型的代数应用
求代数式 x2 1 (8 x)2 25 的最小值。
学习探究三 几何模型的代数应用
一条河流的BD段长8km,在B点的正北方1km处有 一村庄A,在D点的正南方5km处有一村庄E,在BD 段上 有一座桥C
问：把C建在何处时可以使A村到E村的距离最短？