图论第二次作业
第二次作业
1.请分别用for和while循环结构编写程序， 1.请分别用for和while循环结构编写程序，求出 请分别用for 循环结构编写程序
K =∑
i =1
10 6
3 2i
并考虑一种避免循环语句的程序设计， 并考虑一种避免循环语句的程序设计，并比较各种算法 的运行时间。 的运行时间。 2.绘制下列图像 2.绘制下列图像 y = x sin x 0 < x < 10π (1) (2)三维曲线 三维和b满足 0 < a < b < 1 ，可以任取. 3.绘制下列图像 3.绘制下列图像 绘制电脑磁盘使用情况的饼状图. （1）绘制电脑磁盘使用情况的饼状图. 之间的随机整数， （2）生成 100 个从 0 到 10 之间的随机整数，绘制其 直方图. 直方图. 1000个从 之间的随机整数， （3）生成 1000个从 0 到 10 之间的随机整数，绘制其 阶跃图. 阶跃图. 4.在Matlab中使用一个循环 中使用一个循环， 4.在Matlab中使用一个循环，如果用户最初在一个银 行帐户内存10000 10000元 行帐户内存10000元，并且在每年的年终再存储 10000元，（银行每年需支付6%利息），请问多少 银行每年需支付6%利息）， 10000元，（银行每年需支付6%利息），请问多少 年之后该帐户可积累1000000 1000000元 年之后该帐户可积累1000000元？
图论及其应用习题答案
图论及其应用习题答案图论及其应用习题答案图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图是由节点和边组成的，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论在计算机科学、电子工程、物理学等领域有着广泛的应用。
下面是一些图论习题的解答，希望对读者有所帮助。
1. 问题：给定一个无向图G，求图中的最大连通子图的节点数。
解答：最大连通子图的节点数等于图中的连通分量个数。
连通分量是指在图中，任意两个节点之间存在路径相连。
我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，统计连通分量的个数。
2. 问题：给定一个有向图G，判断是否存在从节点A到节点B的路径。
解答：我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，查找从节点A到节点B的路径。
如果能够找到一条路径，则存在从节点A到节点B的路径；否则，不存在。
3. 问题：给定一个有向图G，判断是否存在环。
解答：我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，同时记录遍历过程中的访问状态。
如果在搜索过程中遇到已经访问过的节点，则存在环；否则，不存在。
4. 问题：给定一个加权无向图G，求图中的最小生成树。
解答：最小生成树是指在无向图中，选择一部分边，使得这些边连接了图中的所有节点，并且总权重最小。
我们可以使用Prim算法或Kruskal算法来求解最小生成树。
5. 问题：给定一个有向图G，求图中的拓扑排序。
解答：拓扑排序是指将有向图中的节点线性排序，使得对于任意一条有向边(u, v)，节点u在排序中出现在节点v之前。
我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，同时记录节点的访问顺序，得到拓扑排序。
6. 问题：给定一个加权有向图G和两个节点A、B，求从节点A到节点B的最短路径。
解答：我们可以使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法来求解从节点A到节点B的最短路径。
这些算法会根据边的权重来计算最短路径。
第二次作业——精选推荐
1.某商店为了掌握每10分钟内到达的顾客，观察了130次，统计结果如下，问观察结果
是否服从泊松分布。
输入数据，如下
根据本题的旨意，我运用了“游程检验”的方法。
操作如下：
得到如下表，在图中我选择了观察次数为检验变量，割点选择了中位数。
得到如下输出结果：
由于渐进显著性的取值0.106>0.10，故不能否定零假设，即观察的结果是独立随机的，并服从泊松分布。
2.分别测定了10只大耳白家兔，11只青紫蓝家兔在停食18小时后正常血糖值如下：
问该两个品种家兔的正常血糖值是否有显著差异？根据题意和数据特点，我采用了“T检验”的方法，检验大耳白家兔和青紫蓝家兔的是否具有显著性差异。
操作如下：
在得到的图中做如下操作：
在上图的检验值栏中，我以青蓝紫家兔的血糖的平均值作为检验值。
单击“选项”按钮得到下图：
保持默认，
单击确定，得到输出结果如下：
在“单个样本统计量”表格中给出了该两个样本的统计特征：样本量（N），均值等。
“单个样本检验”表格给出了T检验的结果，包括t统计量总体均值等。
在青紫蓝样本中，双测sig值为1.000›0.01,故在0.01的显著水平下,认为青蓝紫家兔血糖与均值为62无显著差异;在大耳白家兔样本中, 双测sig值为0.007 ‹0.05, 故在0.05的显著水平下,认为大耳白家兔血糖与均值为62有显著差异。
图论习题+答案
1 设图G有12条边，G中有1度结点2个，2度结点2个，4度结点3个，其余结点度数不超过3．求G中至少有多少个结点？2 设有向简单图G的度数序列为(2,2,3,3）, 入度序列为(0,0,2,3),求G得出度序列 .3 设D是n阶有向简单完全图,则图D的边数为 .4设G是n阶无向简单完全图K n，则图G的边数为 .5 仅有一个孤立结点组成的图称为( )(A)零图(B)平凡图(C)补图(D)子图6设n阶图G中有m条边，每个结点的度数不是k的是k+1，若G中有N k个k度顶点，N k+1个k+1度顶点，则N k = .7设图G如右图.已知路径(1) P1=(v1e5 v5e7 v2e2 v3 )(2) P2=(v5e6 v2e2 v3e3 v4e8 v2e7 v5)(3) P3=(v2e7 v5e6 v2)(4) P4=(v1e1 v2e2 v3e3 v4e8 v2e6 v5)判断路径类型，并求其长度.81）判断下图G1中的路径类型, 并求其长度. P1=(v3e5v4e7v1e4v3e3v2e1v1e4v3)P2=(v3e3v2e2v2e1v1e4v3)P3=(v3e3v2e1v1e4v3).2）判断下图G2中的路径类型, 并求其长度. P1=(v1e1v2e6v5e7v3e2v2e6v5e8v4)P2=(v1e5v5e7v3e2v2e6v5e8v4)P3=(v1e1v2e6v5e7v3e3v4).v1e1e5v2e65e7e4 e2e8v3 4e3v e v1 设图G 有12条边，G 中有1度结点2个，2度结点2个，4度结点3个，其余结点度数不超过3．求G 中至少有多少个结点？ 至少9个2 设有向简单图G 的度数序列为(2,2,3,3）, 入度序列为(0,0,2,3),求G 得出度序列 （2,2,5,6） .3 设D 是n 阶有向简单完全图,则图D 的边数为 )1(−n n .4 设G 是n 阶无向简单完全图K n ，则图G 的边数为 m =n (n -1)/2 .5 仅有一个孤立结点组成的图称为( B ) (A) 零图 (B)平凡图 (C)补图 (D)子图6设n 阶图G 中有m 条边，每个结点的度数不是k 的是k+1，若G 中有N k 个k 度顶点，N k+1个k+1度顶点，则N k = N k =(k+1)n-2m . 7设图G 如右图.已知路径 (1) P 1=(v 1e 5 v 5e 7 v 2e 2 v 3 ) (2) P 2=(v 5e 6 v 2e 2 v 3e 3 v 4e 8 v 2e 7 v 5) (3) P 3=(v 2e 7 v 5e 6 v 2)(4) P 4=(v 1e 1 v 2e 2 v 3e 3 v 4e 8 v 2e 6 v 5)判断路径类型，并求其长度. (1) 初级通路；3 (2) 简单回路；5 (3) 初级回路；2 (4) 简单通路. 5 81）判断下图G1中的路径类型, 并求其长度. P 1=(v 3e 5v 4e 7v 1e 4v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3) P 2=(v 3e 3v 2e 2v 2e 1v 1e 4v 3) P 3=(v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3).2）判断下图G2中的路径类型, 并求其长度. P 1=(v 1e 1v 2e 6v 5e 7v 3e 2v 2e 6v 5e 8v 4) P 2=(v 1e 5v 5e 7v 3e 2v 2e 6v 5e 8v 4) P 3=(v 1e 1v 2e 6v 5e 7v 3e 3v 4).解：在图G 1中，v 3e 5v 4e 7v 1e 4v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为6的回路，但既不是简单回路，也不是初级回路； v 3e 3v 2e 2v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为4的简单回路，但不是初级回路； v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为3的初级回路。
图论作业
图论作业
习题：
１、用两种方法求下面两图的最小部分树。
２、图中Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ代表陆地，它们之间有桥相连，问一个人能否经过图中每座桥一次既无重复也无遗漏？
３、邮递员投递区街道分布如图所示，＊为邮局所在地，试为邮递员设计一条最佳投递路线。
１ １ ２
２ ３
３
４
４
４
５ ６
６
３７ ７ ８
６
６ ５
２ ３
１
３
７
４ ５
３
２
4
5、求图中ｖs 到ｖt 的最大流.
6、如图，某人骑自行车从Ｂ出发去Ｈ，Ｆ，Ｄ三处送紧急文件，然后返回，如果自行
车速度１５ｋｍ／ｈ，送文件每处停留５ｍｉｎ，若按最短路线行走，问半小时内能否返回（图中数字为点与点之间的距离，单位：百米）
7. 编写寻找H 圈以及旅行商问题的程序
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ Ｇ
Ｈ
Ｋ
6
5 9 5
6
6 7
2
6
5
4 5
3
1 6
7
3
7
9
5
4
3
6
4 4
7
3
I
J
6
L M。
图论及应用完整作业
1.证明在n阶连通图中(1)至少有n-1条边。
(2)如果边数大于n-1,则至少有一条闭通道。
(3)如恰有n-1条边，则至少有一个奇度点。
证明(1)若对V v e V(G),有d(v)N2,则：2m=E d(v)N2n n m N n〉n-1,矛盾！若G中有1度顶点，对顶点数n作数学归纳。
当n=2时，G显然至少有一条边，结论成立。
设当n=k时，结论成立，当n=k+1时，设d(v)=1,则G-v是k阶连通图，因此至少有k-1条边，所以G 至少有k条边。
(2)考虑匕-v2f ...-v n的途径，若该途径是一条路，则长为n-1,但图G的边数大于n-1,因此存在v i,v j,使得v i adgv j,这样，v i f %「...f v j并上v i v j构成一条闭通道；若该途径是一条非路，，易知，图G有闭通道：1" 1 "(3)若不然，对V v e V(G)市d(v)N2,则：2m=E d(v)N2n n m N n〉n-1,与已知矛盾！2.设G是n阶完全图，试问(1)有多少条闭通道？(2)包含G中某边e的闭通道有多少？(3)任意两点间有多少条路？答(1) (n-2)! (2) (n-1)!/2 (3) 1+(n-2)+(n-2)(n-3)+(n-2)(n-3)(n-4)+...+(n-2)...1.3.证明图1-27中的两图不同构：图1-27证明容易观察出两图中的点与边的邻接关系各不相同，因此，两图不同构。
4.证明图1-28中的两图是同构的图1-28证明将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图作映射 f : f(v i)f u i (1< i < 10)容易证明，对V v i v j G E((a)),有^v i v j)=u i u j E E((b)) (1< i < 10, 1<j< 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。
《离散数学》任务2 (图论部分概念与性质)选择题判断题
第二部分图论选择题判断题注意：A B C D顺序会出现变动！根据选项确定答案！1. 已知无向图G的邻接矩阵为，则G有（5点，7边）．A. 5点，8边B. 6点，7边C. 6点， 8边D. 5点，7边2. 设无向图G的邻接矩阵为，则G的边数为( 5 )．A. 6B. 5C.4 C.33．设无向图G的邻接矩阵为则G的边数为（ 7 ）。
A．1 B. 6 C. 7 D. 144．设图G＝<V, E>，v V，则下列结论成立的是 (()deg2v Vv E∈=∑) ．A. deg(v)=2|E|B. deg(v)=|E|C.()deg2v Vv E∈=∑D.()degv Vv E∈=∑5.图G如图二所示，以下说法正确的是 ( {b,c}是点割集 )A. a是割点B. {b,c}是点割集C. {b, d}是点割集D. {c}是点割集6.如图所示，以下说法正确的是 ( e是割点)．A. e是割点B. {a,e}是点割集C. {b , e}是点割集D. {d}是点割集7. 如图所示，以下说法正确的是（e是割点）A. e是割点B. {a,e}是点割集C. {b, e}是点割集D. {d}是点割集8. 如图一所示，以下说法正确的是 ( {(d, e)}是边割集 ) ．A. {(a, e)}是割边B. {(a, e)}是边割集C. {(a, e) ,(b, c)}是边割集D. {(d, e)}是边割集9.图G如图四所示，以下说法正确的是( {(a, d) ,(b, d)}是边割集) ．A. {(a, d)}是割边B. {(a, d)}是边割集C. {(a, d) ,(b, d)}是边割集D. {(b, d)}是边割集图四10.设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图五所示，则下列结论成立的是 (（a）是强连通的 )．图五A.（a）是强连通的B. （b）是强连通的C. （c）是强连通的D. （d）是强连通的11. 设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图六所示，则下列结论成立的是( （d）只是弱连通的 )．图六A. （a）只是弱连通的B. （b）只是弱连通的C. （c）只是弱连通的D. （d）只是弱连通的12.设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r = ( e－v＋2 )．A. e－v＋2B. v＋e－2C. e－v－2D. e＋v＋213.设完全图K n有n个结点(n 2)，m条边，当（n为奇数）时，K n中存在欧拉回路．A. m为奇数B. n为偶数C. n为奇数D. m为偶数14.若G是一个欧拉图，则G一定是( 连通图)．A. 平面图B. 汉密尔顿图C. 连通图D. 对偶图15.若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( 连通图 )．A. 平面图B. 对偶图C. 欧拉图D. 连通图16.无向完全图K4是（汉密尔顿图）．A. 欧拉图B. 汉密尔顿图C. 非平面图D. 树17.无向树T有8个结点，则T的边数为( 7 )．A. 6B. 7C.8D.918. 无向简单图G是棵树，当且仅当( G连通且边数比结点数少1 )．A. G连通且边数比结点数少1B. G连通且结点数比边数少1C. G的边数比结点数少1D. G中没有回路19. 已知一棵无向树T中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T的树叶数为( 5 )．A．8 B.5 C.4 D.320.设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( m-n+1 )条边，才能确定G的一棵生成树A. m-n+1B. m-nC. m+n+1D. n-m+121. 以下结论正确的是（树的每条边都是割边）A. 无向完全图都是欧拉图B. 有n个结点n－1条边的无向图都是树C. 无向完全图都是平面图D. 树的每条边都是割边22.无向图G存在欧拉回路，当且仅当（G连通且至多有两个奇数度结点）.A. G中所有结点的度数全为偶数B. G中至多有两个奇数度结点C. G连通且所有结点的度数全为偶数D. G连通且至多有两个奇数度结点二、判断题1.设G 是一个有7个结点16条边的连通图，则G 为平面图． ( 错 )2. 如果图G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G 存在一条欧拉回路． ( 错 )3. 如图九所示的图G 不是欧拉图而是汉密尔顿图． ( 对 )4. 设图G 如图七所示，则图G 的点割集是{f}． ( 错 )5. 两个图同构的必要条件是结点数相等；边数相等；度数相同的结点数相等．( 对 )6. 设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去4条边后使之变成树． ( 对 )7. 若图G=<V, E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点数|S|与W 满足的关系式为W ≤|S|． ( 对 )8. 汉密尔顿图一定是欧拉图． ( 错 )9. 设G=<V ，E>是具有n 个结点的简单图，若在G 中每一对结点度数之和小于n-1，则在G 中存在一条汉密尔顿路． ( 错 )(应该大于等于n-1)10. 设G 是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G 有7个面．( 对 )11. 已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是15． ( 对 )12. 设图G 是有5个结点的连通图，结点度数总和为10，则可从G 中删去6条边后使之变成树． ( 错 )（应该删除5-4=1条边）13. 设完全图Kn 有n 个结点（n ≥2），m 条边，当n 为奇数时，Kn 中存在欧拉回路 ( 对 )14. 设G 是一个图，结点集合为V ，边集合为E ，则()v Vdeg 2v E ∈=∑ ( 对 )15. 若图G=<V, E>，其中V={ a, b, c, d }，E={ (a, b), (a, d),(b, c), (b,d)}，则该图中的割边为(b, c)( 对 )16. 结点数v与边数e满足e=v的无向连通图就是树． ( 错)17. 无向图G的结点数比边数多1，则G是树． ( 错)18. 设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为4． ( 错)19. 如图八所示的图G存在一条欧拉回路． ( 错)20. 无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且结点度数都是偶数．( 对 )。
[绩效考核]离散数学形成性考核作业[三]
（绩效考核)离散数学形成性考核作业（三)离散数学图论部分综合练习辅导本次活动是本学期的第二次活动(2008.11.18)，主要是针对第二单元图论的重点学习内容进行辅导，方式是通过讲解壹些典型的综合练习题目，帮助大家进壹步理解和掌握图论的基本概念和方法。
图论作为离散数学的壹部分，主要介绍图论的基本概念、理论和方法。
教学内容主要有图的基本概念和结论、图的连通性和连通度、图的矩阵表示、最短路问题、欧拉图和汉密尔顿图、平面图、对偶图和着色、树和生成树、根树及其应用等。
本次综合练习主要是复习这壹部分的主要概念和计算方法，和集合论壹样，也安排了五种类型，有单项选择题、填空题，判断说明题、计算题、证明题。
这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型，能够较好地完成这壹部分主要内容的学习。
下面分别讲解。
壹、单项选择题1．设图G的邻接矩阵为则G的边数为()．A．5B．6C．3D．4正确答案：D上学期的作业中，有的同学选择答案B。
主要是对邻接矩阵的概念理解不到位。
我们复习定义：定义3.3.1设G=<V，E>是壹个简单图，其中V={v1，v2，…，v n}，则n阶方阵A（G）=（a ij）称为G的邻接矩阵．其中各元素而当给定的简单图是无向图时，邻接矩阵为对称的．即当结点v i和v j相邻时，结点v j和v i也相邻，所以连接结点v i和v j的壹条边于邻接矩阵的第i行第j列处和第j 行第i列处各有壹个1，题中给出的邻接矩阵中共有8个1，故有8÷2=4条边。
2．设图G＝<V,E>，则下列结论成立的是()．A．deg(V)=2∣E∣B．deg(V)=∣E∣C．D．正确答案：C该题主要是检查大家对握手定理掌握的情况。
复习握手定理：定理3.1.1设G是壹个图，其结点集合为V，边集合为E，则3．图G如右图所示，以下说法正确的是()．A．{(a,d)}是割边B．{(a,d)}是边割集C．{(d,e)}是边割集D．{(a,d),(a,c)}是边割集正确答案：C上学期许多同学选择答案A。
离散数学-图论复习
离散数学-图论复习离散数学11春图论部分综合练习辅导大家好！本学期的第二次教学辅导活动现在开始，本次活动主要是针对第二单元图论的重点学习内容进行辅导，方式同样是通过讲解一些典型的综合练习作业题目，帮助大家进一步理解和掌握图论的基本概念和方法．图论作为离散数学的一部分，主要介绍图论的基本概念、理论与方法．教学内容主要有图的基本概念与结论、图的连通性与连通度、图的矩阵表示、最短路问题、欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用等．本次综合练习主要是复习这一单元的主要概念与计算方法，与集合论一样，也安排了五种类型，有单项选择题、填空题，判断说明题、计算题、证明题．这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型，能够较好地完成这一部分主要内容的学习．下面是本学期第4，5次形考作业中的部分题目．一、单项选择题单项选择题主要是第4次形考作业的部分题目．第4次作业同样也是由10个单项选择题组成，每小题10分，满分100分．在每次作业在关闭之前，允许大家反复多次练习，系统将保留您的最好成绩，希望大家要多练几次，争取好成绩．需要提醒大家的是每次练习的作业题目可能不一样，请大家一定要认真阅读题目．1．设图G ＝<V , E >，v ∈V ，则下列结论成立的是 ( ) ．A ．deg(v )=2∣E ∣B ． deg(v )=∣E ∣C ．E v V v 2)deg(=∑∈D ．E v Vv =∑∈)deg(该题主要是检查大家对握手定理掌握的情况．复习握手定理：定理3.1.1 设G 是一个图，其结点集合为V ，边集合为E ，则∑∈=Vv E v ||2)deg(也就是说，无向图G 的结点的度数之和等于边数的两倍．正确答案：C2．设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡010*******000011100100110， 则G 的边数为( )．A ．6B ．5C ．4D ．3主要是检查对邻接矩阵的概念理解是否到位．大家要复习邻接矩阵的定义，要记住当给定的简单图是无向图时，邻接矩阵为对称的．即当结点v i 与v j 相邻时，结点v j 与v i 也相邻，所以连接结点v i 与v j 的一条边在邻接矩阵的第i 行第j 列处和第j 行第i 列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有10个1，故有10÷2=5条边．正确答案：B3．如右图所示，以下说法正确的是 ( ) ．A ．{(a, e )}是割边B ．{(a, e )}是边割集C ．{(a, e ) ,(b, c )}是边割集D ．{(d , e )}是边割集先复习割边、边割集的定义： 定义3.2.9 设无向图G =<V ,E >为连通图，若有边集E 1⊂E ，使图G 删除了E 1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E 1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称E 1是G 的一个边割集．若某个边构成一个边割集，则称该边为割边（或桥）因为删除答案A 或B 或C 中的边后，得到的图是还是连通图，因此答案A 、B 、C 是错误的．正确答案：D4．图G 如由图所示，以下说法正确的是 ( )．A ．a 是割点B ．{b, c }是点割集C ．{b , d }是点割集D ．{c }是点割集主要是检查对点割集、割点的概念理解的情况．定义3.2.7 设无向图G =<V , E >为连通图，若有点集V 1⊂V ，使图G 删除了V 1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V 1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称V 1是G 的一个点割集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为割点．从图二中删除结点b, c ，得到的子图是由不连通图，而只删除结点b 或结点c ，得到的子图仍然是连通的，由定义可以知道，{b, c }是点割集．所以正确答案：B5．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如下图所示，则下列结论成立的是( )．A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的 ο ο ο ο a b cd οe ο ο ο a b c d οC．（c）是强连通的D．（d）是强连通的我们先复习强连通的概念：定义3.2.5 在简单有向图中，若在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G是单向（侧）连通的；若在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G是强连通的．正确答案：A问：上面的图中，哪个仅为弱连通的？请大家要复习“弱连通”的概念．6．设完全图Kn 有n个结点(n 2)，m条边，当（）时，Kn中存在欧拉回路．A．m为奇数B．n为偶数C．n为奇数D．m为偶数我们先复习完全图的概念：定义3.1.6 简单图G=<V，E>中，若每一对结点间都有边相连，则称该图为完全图．有n个结点的无向完全图记为K n．由定义可知，完全图K n中的任一结点v到其它结点都有一条边，共有n-1条边，即每个结点的度数是n-1，当n为奇数时，n-1为偶数．由定理4.1.1的推论一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数．所以，正确答案应该是C．7．若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( )．A．平面图B．对偶图C．欧拉图D．连通图我们先复习汉密尔顿图的概念：定义4.2.1 给定图G，若存在一条路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该路称为汉密尔顿路；若存在一条回路经过图G的每个结点一次且仅一次，则该回路称为汉密尔顿回路；具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图．由定义可知，汉密尔顿图是连通图．所以，正确答案应该是D．问：汉密尔顿图为什么不一定是欧拉图吗？8．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )．A．e－v＋2 B．v＋e－2 C．e－v－2 D．e＋v＋2 本题主要检查大家是否掌握了欧拉定理．定理4.3.2（欧拉定理）设连通平面图G的结点数为v，边数为e，面数为r，则欧拉公式v-e+r =2成立．由欧拉公式v-e+r =2，得到r = e- v+2．所以，答案A是正确的．9．无向简单图G是棵树，当且仅当( )．A ．G 连通且边数比结点数少1B ．G 连通且结点数比边数少1C ．G 的边数比结点数少1D ．G 中没有回路．可以运用教材中的定理5.1.1，可以作出正确选择．因为定理5.1.1中给出的图T 为树的等价定义之一是图T 连通且e=v -1，其中e 是边数，v 是结点数．也就是说：无向简单图G 是棵树，当且仅当G 连通且边数比结点数少1． 正确答案：A注：由上面的树的等价定义可知，结点数v 与边数e 满足e=v -1关系的无向连通图就是树．10．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为（ ）．A ．8B ．5C ．4D ．3正确答案：B设无向树T 的树叶数为x ，因为树叶是度数为1的结点．那么，由定理3.1.1（握手定理） 设G 是一个图，其结点集合为V ，边集合为E ，则∑∈=Vv E v ||2)deg(得 4+3+2+x =2（8-1），即x =5．应选择B ．下面的内容主要是第5次形考作业的部分题目．二、填空题1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 ．也是检查大家对握手定理掌握的情况．因为图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，即∑∈=⨯+⨯+⨯+⨯=Vv v 3044332211)deg(，根据握手定理，边数有152/30==E ．应该填写：152．设给定图G (如右图所示)，则图G 的点割集是． 本题还是检查大家对点割集、割点的概念理解的情况．点割集、割点的定义前面已经复习了，从图G 中删除结点f ，得到的子图是不连通图，即结点集{f }是点割集；同样，从图G 中删除结点c ，e ，得到的子图也是不连通图，那么结点集{c , e }也是点割集．而删除其他结点集都没有满足点割集、定义的集合，所以应该填写：{f }、{c , e } ο ο ο ο a b cd οe ο f3．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且．由定理4.1.1的推论一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数．应该填写：结点度数都是偶数4．设G=<V，E>是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于，则在G中存在一条汉密尔顿路．定理4.2.2设G=<V，E>是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于n-1，则在G中存在一条汉密尔顿路．应该填写：n-15．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去条边后使之变成树．（……边后，可以确定图G的一棵生成树）由握手定理（定理3.1.1）知道图G有18÷2=9 条边，又由定理5.1.1中给出的图T为树的等价定义之一是“图T连通且e=v-1”，可以知道：应该填写：4．6．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = ．定理5.2.1 设有正则m叉树，其树叶数为t，分枝数为i，则(m-1)i=t-1．其中m=5，t=17，由(5-1)i=17-1，得i =4．应该填写：4三、判断说明题1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．分析：先复习欧拉图的判别定理：定理4.1.1的推论：一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数．解：不正确．因为题中的图G没有“连通”的条件．2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路．解：不正确．因为图G中结点b和c的度数是奇数．注：这是一个汉密尔顿图，但不是欧拉图，它可以作为单向选择题7解答之后提出的问题的一个解答．3．设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图．分析：定理4.3.3 设G 是一个有v 个结点e 条边的连通简单平面图，若v ≥3，则e ≤3v -6．利用该定理判断本题．解：不正确．因为题中的连通简单平面图有v =7个结点，e =16条边，那么16≥3⨯7-6=15，由定理4.3.3知道，图G 不是平面图．4．设G 是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G 有7个面．分析：可以用平面图中的欧拉公式：v-e+r =2来判断，其中v 为结点数，e 为边数，r 为面数．解：正确．因为连通平面图G 有v =6个结点，e =11条边，那么由欧拉公式计算得：r =2+ 11- 6 = 7个面．四、计算题1．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试(1) 给出G 的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵；(3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形．解：(1) 因为V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，所以G 的图形表示为：(2) 分析：本题给定的简单图是无向图，因此邻接矩阵为对称的．即当结点v i 与v j 相邻时，结点v j 与v i 也相邻，所以连接结点v i与v j 的一条边在邻接矩阵的第i 行第j 列处和第j 行第i 列处各写一个1；当结点v i 与v j 没有边连接时，邻接矩阵的第i 行第j 列处和第j 行第i 列处各写一个0．邻接矩阵： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0110010110110110110000100 (3) 由G 的图形可知，v 1，v 2，v 3，v 4，v 5结点的度数依次为1，2，4，3，2(4) 由关于补图的定义3.1.9可知，先画出完全图（见图1），然后去掉原图，可得补图（见图2）如下：图 1 ο ο ο ο v ο v v v v ο ο ο ο v ο v v v v ο ο ο ο v ο v v v v图2注意：补图中，如果没有标出结点v 3，则是错的．2．图G =<V , E >，其中V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (c , d ), (d , e ) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G 的图形； （2）写出G 的邻接矩阵；（3）求出G 权最小的生成树及其权值．解 （1）因为V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (c , d ), (d , e ) }，所以G 的图形表示为：（2）由图得图G 的邻接矩阵为：0110110011100110110111110A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（3）图G 有5个结点，其生成树有4条边，用Kruskal 算法（避圈法）求其权最小的生成树T ：第1步，取具最小权1的边(a , c )；第2步，取剩余边中具最小权1的边(c , e )；第3步，取剩余边中不与前2条边构成回路的具最小权2的边(a , b )；第4步，取剩余边中不与前3条边构成回路的具最小权3的边(b , d )．所求最小生成树T 如右下图，其权为()11237W T =+++=．注意：在用避圈法求最小的生成树的关键是：“取图中权数最小的边，且与前面取到的边不构成圈”，很多学生只注意到取权数最小的边了，而忽略了“不构成圈”的要求．如果结点数少一个，边数也少些，大家应该会做了吧．3．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．解：方法（Huffman ）：从2, 3, 5, 7, 17, 31中选2, 3为最低层结点，并从权数中删去，再添上他们的和数，即5, 5, 7, 17, 31；再从5, 5, 7, 17, 31中选5, 5为倒数第2层结点，并从上述数列中删去，再添上他们的和数，即7, 10, 17, 31；然后，从7, 10, 17, 31中选7, 10为倒数第3层结点，并从上述数列中删去，再添上他们的和数，即17, 17, 31；……最优二叉树如右图所示．最优二叉树权值为：2⨯5+3⨯5+5⨯4+7⨯3+17⨯2+31⨯1=10+15+20+21+34+31=131讲评：作业中最优二叉树往往都能画对了，但计算总权值时可能会把有些权的层数计算错了，导致总权值计算错误，大家一定要细心． 注意：这3个计算题大家一定要掌握．五、证明题证明题同学一般都做不好，原因是对证明题方法没有掌握，也是对一些概念不清楚所造成的．因此，希望大家认真学习教材和老师讲课中的证明方法，并通过作业逐步掌握做证明题的方法．1．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于3的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．证明：设,G V E =<>，,G V E '=<>．则E '是由n 阶无向完全图n K 的边删去E 所得到的．所以对于任意结点u V ∈，u 在G 和G 中的度数之和等于u 在n K 中的度数．由于n 是大于等于3的奇数，从而n K 的每个结点都是偶数度的（ 1 (2)n -≥度），于是若u V ∈在G 中是奇数度结点，则它在G 中也是奇数度结点．故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等．2．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2k 条边才能使其成为欧拉图．证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数． 又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图． 故最少要加2k 条边到图G 才能使其成为欧拉图． ο ο ο ο ο 3 2 7 5 5 131ο ο ο ο 13ο ο 6。
数学建模--图论模型(2)
数学与统计学院 李书选
shuxuanli@
2012/07/18
数学建模 –图论模型(2)
4. 最小生成树及算法 5. 旅行售货员问题 6. 中国邮递员问题
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4．最小生成树及算法
1) 树的定义与树的特征 定义 连通且不含圈的无向图称为树．常用T表示. 树中的边称为树枝. 树中度为1的顶点称为树叶. 孤立顶点称为平凡树.
2）图的生成树
定义 若T是包含图G的全部顶点的子图,它又是树, 则称T是G的生成树. 图G中不在生成树的边叫做弦.
定理3 图G=(V,E)有生成树的充要条件是图G是连 通的.
证明 必要性是显然的.
充分性：任取 u1 V ，令集合V1 {u1}，这时生成
( 树T 的边集 ET1) 为空集. 因为 G 是连通图， 点集V1与
取一圈{v1e1v2e6v5e8v3e2v1}，去掉 e6 .
B 破圈法
例 用破圈法求出下图的另一棵生成树.
取一圈{v1e1v2e3v3e2v1}, 去掉 e3 ； 取一圈{v1e1v2e4v4e5v3e2v1},去掉 e4 ； 取一圈{v1e1v2e6v5e8v3e2v1},去掉 e8 ；
取一圈{v1e1v2e6v5e7v4e5v3e2v1}去掉 e6 ； 得到另一颗生成树.
仍能找到边 ei 满足其一端在点集Vi ，另一端在点
(i V \ Vi 中. 由于 ei 有一端在Vi 之外，所以Vi 与 ET ) 集
中的边不构成圈. 当 i n 时，得到
( Vn {u1, u2 ,...,un} V ， ETn) {e1, e2 ,...,en1}，
即图T
(n) 由定理 2 知， (V , ET ) 有 n 1条边且无圈，
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图论第二次作业
一、 第四章
（1）画一个有Euler闭迹和Hamilton圈的图；
（2）画一个有Euler闭迹但没有Hamilton圈的图；
（3）画一个有Hamilton圈但没有Euler闭迹的图；
（4）画一个既没有Euler闭迹也没有Hamilton圈的图；
解：（1）一个有Euler闭迹和Hamilton圈的图形如下：
（2）一个有Euler闭迹但没有Hamilton圈的图形如下：
（3）一个有Hamilton圈但没有Euler闭迹的图形如下：
（4）一个既没有Euler闭迹也没有Hamilton圈的图形如下：
证明：若G没有奇点，则存在边不重的圈C1,C1,···,Cm,使得
)()()()(21mCECECEGE•••
。
证明：将G中孤立点除去后的图记为1G，则1G也没有奇点，且2)(1G，则1G含圈1C，
在去掉)(11CEG的孤立点后，得图2G，显然2G仍无奇度点，且2)(2G，从而2G含圈
2
C
，如此重复下去，直到圈mC，且)(mmCEG全为孤立点为止，于是得到
)()()()(21mCECECEGE
。
证明：若
（1）G不是二连通图，或者
（2）G是具有二分类),(YX的偶图，这里YX，
则G是非Hamilton图。
证明：（1）因为G不是二连通图，则G不连通或者存在割点v，有2)(vGw，由相关
定理得：若G是Hamilton图，则对于v(G)的任意非空顶点集S，有：SSGw)(，则
该定理得逆否命题也成立，所以可得：若G不是二连通图，则G是非Hamilton图。
（2）因为G是具有二分类),(YX的偶图，又因为YX，在这里假设YX，则有
XYXGw)(，也就是说：对于v(G)的非空顶点集S，有：SSGw)(
成立，则可
以得出G是非Hamilton图。
设G是有度序列),,,(21nddd的非平凡简单图，这里nddd21，证明：若
不存在小于2)1(n的正整数m，使得mdm且mndmn1，则G有Hamliton
路。
证明：在G之外加上一个新点v，把它和G的其余各点连接，得图G1：
G1的度序列为：),1,,1,1(21ndddn，由已知：不存在小于2)1(n的正整数m，使得
md
m
1
且
mnmndmn
)1(11
1
。于是由度序列判定定理知：G1是Hamilton
路，则G有Hamliton路。
二、 第五章作业
5.1 （1）证明：每个k方体都有完美匹配（2k）;
（2）求K2n和Kn,n中不同的完美匹配的个数。
证明：（1）证明每个k方体都是k正则偶图即可。
事实上，由k方体的构造：k方体有2k个顶点，每个顶点可以用长度为k的二进制码来
表示，两个顶点连线当且仅当代表两个顶点的二进制码只有一位坐标不同。如果我们划
分k方体的2k个顶点，把坐标之和为偶数的顶点归入X，其余归入Y。显然，X中顶点
互不邻接，Y中顶点也如此。所以k方体是偶图。又不难知道k方体的每个顶点度数为k，
所以k方体是k正则偶图。
由推论得：k方体存在完美匹配。
解：（2）利用归纳法求K2n和Kn,n中不同的完美匹配的个数。
K2n的任意一个顶点有2n-1中不同的方法被匹配。所以K2n的不同完美匹配个数等于
(2n-1)K2n-2，如此递推下去，可以归纳出K2n的不同完美匹配个数为：(2n-1)!!；利用同样
的方法可归纳出Kn,n的不同完美匹配个数为：n!。
证明：一棵树最多只有一个完美匹配。
证明：若不然，设M1和M2是树T的两个不同的完美匹配，那么21MM，容易知道：
][21MMT
每个非空部分顶点度数为2，即它存在圈，于是推出T中有圈，矛盾。所以一
棵树最多只有一个完美匹配。
证明：K2n的1-因子分解的数目为!2)!2(nnn•。
证明：由结论知：K2n不同完美匹配的个数为(2n-1)!!。所以，K2n的1-因子分解数目为(2n-1)!!
个。即：
将K9表示为四个生成圈之和。
解：K4n+1=K2(2n)+1，所以，可以分解成2n个边不重的2因子之和。而K9=K2*4+1。所以
K9可以表示为四个边不重的2因子之和，对于每个分解出的因子的路径为：
则K9的四条路径为：
则生成圈Hi是V2n+1与Pi的两个端点连线生成的。所以可将K9表示为四个生成圈之和。
所谓nn矩阵的一条对角线是指两两不同行不同列的n个矩阵元素组成的
集。对角线的权是指它的n个元素的和。找出下列矩阵具有最小权的对角线：
解：首先从第一行第一列开始，找出矩阵中的最小元素，发现为坐标是(1,1)的4，将其所
在的行和列删除，得到的矩阵为
再从此矩阵的第一行第一列开始，找出矩阵中的最小元素，发现为原坐标是(2,5)的4。依
次类推，继续得到坐标是(3,2)的5，(5,3)的7，(4,4)的10。
所以最小权为：4+4+5+7+10=30。