魏尔斯特拉斯

魏尔斯特拉斯(2)2007年02月01日 星期四 09:00多复变函数论
在魏尔斯特拉斯的早期论文中，已引进多复变量幂级数





与复n维空间中的一些拓扑概念，定义了多复变量幂级数的收敛多圆柱，他还通过系数估计得到由幂级数表示的函数

gμ(z1，…，zn)=0(μ=1，…，m；m＜n)

所确定的隐函数zv=hv(zm+1，…，zn)(v=1，…，m)可展开为幂级数的定理．

魏尔斯特拉斯对多复变函数论的最大贡献，是他于1860年讲课中提出并于1879年发表的“预备定理”[9]：如果F(z1，…，zn)是原点邻域内的解析函数，F(0，0，…，0)=0，F(0，…，0，zn)0，则在原点邻域中F可表示为



其中k是不小于1的整数，av(z1，…，zn-1)(v=1，…，k)在原点邻域内解析且在原点处取零值，g在原点邻域内解析且不等于零．这是多复变函数论中最早的一条深刻定理，它使得现代解析集的局部研究中应用代数方法成为可能，对解析集研究具有重要意义．

魏尔斯特拉斯的函数论

魏尔斯特拉斯与柯西、黎曼同为复变函数论的奠基人，但在方法与途径上并不相同[11]．他建立解析函数论的原意是作为他关于阿贝尔积分与阿贝尔函数一般理论的导引．现在看来，他的主要目标反倒退居次要地位，而他的严格的、批判的、犀利的观念，以及他所提供的一般性理论和方法，则成为他对这一领域的主要贡献．在这方面，他与黎曼明显不同．黎曼以狄利克雷原理为基础建立他的著名的映射定理，而魏尔斯特拉斯对狄利克雷原理的批评使这个原理和黎曼强有力的方法几乎一蹶不振．直到1899年，希尔伯特的工作才使它们得以“复活”．在谈到黎曼面时，魏尔斯特拉斯说他“不能接受这是函数论真正基础”的提法，虽然他也承认这种方法“具有数学想象力”[15]．在一般方法论上，他说：“我越是思考函数论——这是我不断研究的领域——的各种原理，就越确信它必须建立在简单的代数真理的基础上；谁如果不是把它建立于简单而基本的代数命题，而是借助于‘直觉’(我用这个词来概括描述)，谁就走上了歧路，不管乍一看它多么有吸引力，例如黎曼那样，他通过这种方法发现了代数函数那么多重要的性质．”不过他也强调在研究时可以采用多种渠道，他讲的“只是关于应当怎样建立系统的理论基础问题”．

克莱因在比较这两位数学家时说过：“黎曼具有非凡的直观能力，他的理解天才胜过所有同代数学家．……魏尔斯特拉斯主要是一位逻辑学者，他缓慢地、系统地逐步前进．在他工作的分支中，他力图达到确定的形式．”H．

庞加莱(Poincaré)写道，魏尔斯特拉斯使“
整个解析函数论成为幂级数理论的一系列推论，因而它就被建立在牢靠的算术基础上”，“黎曼的方法首先是一种发现的方法，而魏尔斯特拉斯的则首先是一种证明的方法”．

到19世纪末，德文“Funktionenlehre”几乎已成为按照魏尔斯特拉斯的观念建立的复变函数论的同义词，但也有人持有异议．S．李(Lie)批评德国没有象样的几何学家，他把这种状况归咎于魏尔斯特拉斯学派占据统治地位．克莱因在肯定算术化同时也强调数学决不会由逻辑推导完成，直观总是具有特殊重要性．康托尔甚至提出人们应当区别魏尔斯特拉斯实际所做的工作与围绕着他树立起来的神话．



在数学其他领域中的贡献



椭圆函数论与阿贝尔函数论

魏尔斯特拉斯引进函数 Al(u)k(k=1，2，3)与A1(u)，他采用这些记号显然是为了纪念阿贝尔．他通过这些函数解决了把snu，cnu，dnu表示为幂级数之商的问题．后来，他引进了在其椭圆函数论中起核心作用的函数，它是第一类椭圆积分的反演，满足微分方程





并以u=0为极点．他得到了(u)的加法定理，从而把它解析开拓为全平面上的亚纯函数，并得到展开式





他在“关于阿贝尔积分论”和1856年发表的另一论文中研究了超椭圆积分的反演问题：由方程组





确定x1，…，xn作为(u1，…，un)∈Cn的函数，其中





通过引进第一类与第二类完全积分与函Al， Alj，alj=Alj/Al(j=0，1，…，2n)，他得到了问题的解，导出了这些函数所满足的偏微分方程组与作为幂级数之商的表示式，建立了alj之间的一些代数关系式．

魏尔斯特拉斯于1869年完成了关于阿贝尔积分的一般理论，并在其后的一系列课程中加以阐述．在他的理论中，由一个不可约代数方程定y=ψ(t)是收敛幂级数；他称这样的集合为“代数层”．他由此出发定义亏格(他称之为“级”)，证明亏格在双有理变换下不变．他还定义定形式关于一个代数层的所有元素的残数之和为零，由此得到F(x，y)的分解式．通过研究只有一个极点的有理函数，他得到亏格的新的代数刻画．他证明用有限个解析元素即可表示一个代数层，这相当于证明代数函数黎曼面的紧性．他证明了阿贝尔函数论中的一条基本定理：具有相同周期2p的P+1个P元阿贝尔函数之间存在一个代数关系．

变分法

魏尔斯特拉斯关于变分法的研究最早通过A．克内泽尔(Kne-ser)的《变分法教程》(Lehrbuch der Variationsrechung， 1900)得到传播，该书对变分法研究有深远影响．他关于变分法的

讲
义是由许多学生笔录的．在该讲义中，他考察平面变分法问题的参数形式即
积分





假定F在某个区域中正则并具有正齐性．第11章中证明了著名的“角条件”：给定的极小化曲线在(t0，t1)中有限个点处间断地改变切线方出可比关于共轭点命题的严格证明(第16章)．他清晰地表述了曲线C为极值曲线的三个必要条件：(1)沿此曲线x，y作为t的函数满足





其中F1由





确定．(2)如果C为极小(大)化曲线，则F1沿C取正(负)值．(3)从起始点开始，积分区间至多能达到起始点的共轭点．他首次叙述并证明了曲线C给出I的极大(小)值的一个充分条件：设上述条件(1)，(2)和(3)满足，F1在[t0，t1]上不为零也不为无穷，该区间中没有共轭点对，如果把曲线的变分限于比较曲线与所给曲线相应点之间距离为任意小且切线方向的改变也为任意小的情形(即现称的弱变分情形)，则当F1为正(负)时C给出极小(大)值(第18章)．

魏尔斯特拉斯认为，也应考虑比较曲线与给定曲线相应点处切线方向不一定相近即现称的强变分情形．此时他引进函数



为非负(非正)(第22章)．为研究充分性，他引进现称的“场”概念，叙述并证明：如果E在位于场内且连接参数为t0，t1的点的任一曲线C上为负(正)，则I沿满足微分方程G=0的曲线C0的值大(小)于沿C的值(第23章)．像他的其他工作一样，他的变分法研究严谨透彻，明显区别于在此以前的有关研究．

代数

魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型为平方和给出了一般方法．他建立了矩阵的初等因子理论，实际上比C．若尔当(Jordan)早两年给出了现称的若尔当标准形；他完成了二次型理论并把它推广到双线性型．他于1861年得到了关于线性结合代数的一个基本结果(发表于1884年，)：具有有限个原始单元的实或复线性结合代数，如果满足乘积定律和乘法交换律，就必是实数构成的代数或复数构成的代数(戴德金约于1870年得到同样结果，并于1885年发表)．



卓越的大学数学教师



刻苦钻研、严谨治学

如前所述，在当中学教师的15年中，尽管教学任务繁重，工作条件很差，魏尔斯特拉斯仍坚韧不拔、孜孜不倦地钻研数学，经常达到废寝忘食的程度．例如一天早上，他该去上课的教室中起了骚动，校长走去一看，原来是教师未到．校长赶快去魏尔斯特拉斯的寝室，发现他还在烛光下苦苦思索，根本不知道天色早已大明．1850年起，他患了眩晕症，常持续一小时以上，直到一阵摧人心肺的呕吐后才见消退．这种脑痉挛症折磨了他十余年，但他顽强地坚持教

学
和研究．实际上，在当中学教师年代，他是以牺牲健康为代价从事数学研究的．

他在柏林大学仍承担巨大
的教学工作负荷．1860年3月，在一次讲课中他突然晕了过去．1861年底他完全病倒，在近两年中一直未能回到科学工作上来．他患有支气管炎和静脉炎，经常发作．但只要有可能，他就坚持上课，常常只能坐着讲授，让优秀学生书写黑板．

他总是推迟发表自己的工作，倒不是因为厌恶发表，而是力求以崭新的途径，使结论建立在牢固的基础上．他反复推敲自己的观念、理论和方法，直到他认为已达到它们理应具有的自然完美的方式为止，所以他正式发表的论文数量并不多．

魏尔斯特拉斯富有诗才．他曾说过，如果一个数学家不是某种程度上的诗人，他就永远不会成为一个完整的数学家．但有点奇怪的是，不像很多数学家喜欢音乐一样，他讨厌音乐．他是天主教徒，但在宗教观点上不走极端．

无与伦比的大学数学教师

魏尔斯特拉斯是古往今来最出色的大学数学教师之一．从1856年至1890年的68个学期中，他每学期都有课，其中约有1/4的学期每周授课2门8学时；约有一半学期讲授2门课程．他讲授的课程计有：椭圆函数论，椭圆函数论在几何和力学中的应用，阿贝尔函数论，解析函数论，变分法，几何学，函数论选题，用幂级数表示解析函数，分析引论，积分学，行列式及其应用，双线性型和二次型，齐次函数论，解析几何学，数学物理，分析力学，分析光学．

从1861年5月起，他还与库默尔一起创办了柏林大学第一个数学讨论班，此后持续不断，讨论他们开创的新观念和新理论．

当然，重要的不在于上了多少课，而在于培养的学生的状况．大学教学的目的是培育善于思考、富于创造力的人才．在这方面，魏尔斯特拉斯的成功可以说是无与伦比的．他善于用一种不可言传只能意会的精神激发学生的兴趣和创造欲．他讲课时不夸大其辞、哗众取宠．他关心学生，循循善诱，慷慨地指给学生论文课题，在讨论班上不断提出富有成果的想法，使之成为学生研究的主题，甚至把自己尚未发表也未留纪要的手稿借给学生，而有的学生拿去后竟不再归还．

魏尔斯特拉斯的受到学生高度推崇的讲授并非一蹴而就而是长期磨炼形成的．开始时，他讲的课比较混乱，有时令人费解．后来，他的课越讲越好，新的思想朴实无华自然而然地涌现，使他讲授新理论的名声传遍全欧，听课人数激增．1869年讲阿贝尔函数，注册时为107人，但后来听众竟达250人，不少人只

得席
地而坐．在他的学生(包括参加讨论班的人)中，后来有近100位成为大学正教授．考虑到当德国大学正教授的难度，这实在是一个惊人数字．他的学生中有一
大批后来成为知名数学家，其中有P．巴赫曼(Bachmann)、O．博尔查(Bolza)、F．恩格尔(Engel)、G．弗罗贝尼乌斯(Frobenius)、K．亨泽尔莱因、W．基灵(Killing)、克内泽尔、柯尼斯伯格、科瓦列夫斯卡娅、M．莱尔赫(Lerch)、李、F．默滕斯(Mertens)、H．闵科夫斯基(Minkowski)、米塔-列夫勒、E．内托(Netto)、A．普林斯海姆(Pringsheim)、C．龙格(Runge)、F．朔特基(Schottky)、施瓦兹、O．斯托尔茨(Stolz)等．

也有少数人批评说，在魏尔斯特拉斯讨论班上，绝大多数参加者把他的理论奉为圭臬，很难发表不同意见．克莱因就说过他与李在讨论班上常不得不为捍卫自己观点而战斗．

龙格说，魏尔斯特拉斯在其连续性课程中“自下而上地构筑了完美的数学大厦，其中任何想当然的、未经证明的东西没有立足之地”．这是对魏尔斯特拉斯讲授的一个很好的概括．