您的位置：文档网› 压缩映象原理及其应用

压缩映象原理及其应用

第六节 压缩映象原理及其应用

本节作为完备度量空间何重要特征，我们介绍Banach压缩映象原理，它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的工具。

随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。几乎可以这样说：对一个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题）。但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列，否则就是毫无意义的了。而选代法解方程的实质就是寻求变换（映射、映照）的不动点。例如求方程f(x)=0的根，我们可令g(x)=x-f(x)，则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动点，即求,使.而在通常求映射的不动点的方法中，最简单的就是下面我们所讲的--Banach压缩映象定理。

定义（压缩映象）

设T是度量空间X到X中的映照，如果对都有（是常数）则称T是X上的一个压缩映照。

从几何上说：压缩映照即点x和y经过映照T后，它们的像的距离缩短了（不超过d(x,y)的倍）

定理1（Banach压缩映照原理）1922年

（Banach 1892-1945 波兰数学家）

设（X,d）是一个完备度量空间，T是X上的一个压缩映照，则丅有唯一的不动点。即的使

证：任取令

（此即解方程的逐次迭代法）

先证是Cauchy点列

① ① 先考虑相邻两点的距离

②再考虑任意两点的距离

当n>m时 0x00xxgXyXx,yxdTyTxd,,10Xx.xTx,0Xx,...,...,11201nnTxxTxxTxxnx01212111,...,,,,xxdxxdxxdTxTxdxxdmmmmmmmmm

=

=

是Cauchy点列

是完备度量空间,使

下证x为不动点

再证不动点唯一

若还有,使

则

因 必须

注:①定理条件(a)X完备,(b)缺一不可，反例如下

(a)若X不完备,则定理不成立

例如:令X=(0,1),用欧氏距离,

则

但不动点

(b)定理不成立

例如:令 X=R用欧氏距离

则 但显然T无不动点。

②若将空间X条件加强为紧距空间，则压缩因子条件可放宽为1，即可改为

限于我们的学时，我们只介绍一下Banach压缩映象原理的简单应用。

定理2（隐函数存在定理）

设在带状区域上处处连续，处处有关于y的偏导数,且如果存在常数m,M，适合.则方程f在闭区间上有唯一的连续函数,使。 nnmmmmmnxxdxxdxxdxxd,...,,,121101101101,...,,xxdxxdxxdnmm0111,...xxdnmm0,1,110101mmmnmxxdxxdnxXXxxxnTxTxdxxdTxxdxxdTxxdnnnn,,,,,10,,1nnnxxdxxdXx'''xTx''',,,xxdTxTxdxxd,1''0,xxxxd1xTx21yxdyxyxTyTxdXyx,21,,,X011xTxyxdyxTyTxdXyx,,,,yxdTyTxd,,yxfu,ybxayxD,:,yxfy,'Myxfmy,0'0,yxba,xy0,xxf证：（在中考虑映照，若其为压缩映照，则有不动点）

在完备度量空间中作映照,显然,对由连续函数的运算性质有。

是到自身的一个映照

下证是压缩的.

即证 ,任取由微分中值定理,存在,使

令 则 ,故

取最大值

映照T是压缩的.由Banach压缩映象定理

在上有唯一的不动点使

显然这个不动点适合

注：① 注意本定理的证明思路：先确定空间，再找映照（这是难点）,然后证明此映照是压缩的，最后利用定理即得。注意到这是利用Banach压缩映照定理解题的一般方法。

② ② 此隐函数存在定理给出的条件强于数学分析中隐函数存在定理所给出的条件，因而得出的结论也强些：此处得出区间上的连续隐函数.

下面我们介绍Banach不动点定理在常微分方程解的存在唯一性定理中的应用--Picard定理.

定理3：（Picard定理 Cauchy--Peano微分方程解的存在唯一性定理）

（Picard 法国人 1856—1941 Peano意大利人1858--1932）

设在矩形上连续,设CbaxxfMT,1xxfT,0CbaxxfMT,1CbaCbaTTCba10,,,,,212121CbadTTdCba21,10xxfMxxfMTT112212,1,112121'12,1xxxxfMyMmxx112Mm1101212TT10,,,1212dTTdCbaxT0,xxfyxxtf,bxxattxtR00,:,又在R上关于x満足Lipschitz（德国人 1832--1903）条件,即存在常数k使对有 ,那么方程在区间上有唯一的满足初始条件的连续函数解.其中

证：设表示在区间上的连续函数全体。

对成完备度量空间。又令表示中满足条件的连续函数全体所成的子空间。显然闭,因而也是完备度量空间.

令

如果 当 时,

而 是R上的二元连续函数,映照中积分有意义。

又对一切

故T是到的一个映照

下证是压缩的。

由Lipschitz条件,对中的任意两点

有

令 ,则由 有 .

则 故T是压缩的。

由Banach压缩映象定理,T在中有唯一的不动点.

即 使 RxtMxtf,,,xtf,Rxtxt21,,,2121,,xxkxtfxtfxtfdtdx,00,ttJ00xtxkMba1,,min00ttC00,ttJtytxJtyxdmax,~C00ttCJtMtxtx0~C~CdxfxtTxtt0,0bM~CtxJtRtxt,xtf,bMttMdxfxtTxJttt000,~CtTx~C~C~Ctvtx,dvfxfTvTxtt0,,,ttdvfxf0,,vxdktvtxJtktt,max0kkMba1,,min10vxdTvTxJtTvTxd,max,~C~CtxtxtTx即 且

即 是满足初值条件的连续解。

再证唯一性。

如果 也是 满足 的连续解.

那么 因而

而且也是T的不动点.而T的不动点是唯一的.

故

有唯一解。

注：题设条件中Lipschitz条件的要求是十分强的，它保证了解的唯一性。实际上満足Lipschtz条件即为一致收敛。因而可在积分号下求导，如果把解的要求降低，例如只要求广义解，即只要求满足积分方程 则题设条件可大大放宽：只要 有界,即可利用Lebesgue控制收敛定理得到广义解。

注意到Banach压缩映照定理不仅证明了方程的解的存在唯一性，而且也提供了求解的方法--逐次逼近法：即只要任取

令 则解 .且在Banach不动点定理的证明中,有 .即此式给出了用逼近解的误差估计式。

补充：Brouwer不动点是定理与Schauder不动点定理简介

鉴于不动点理论在现代数学中非常重要的地位，以及不动点理论是现代泛函分析中一个十分活跃的重要分支，下面我们简单dxfxtxtt0,000xtxxtfdtdx,txtxx~~xtfdtdx,00xtxdxfxtxtt0~0~,~~Cxtxtx~xtfdtdx,dxfxtxtt0,0xtf,,0Xx0xTxnnnxnxlim01,1,xxdxxdnnnxx介绍Brouwer不动点定理和Schauder不动点定理及其简单应用。

一、Brouwer不动点定理及其应用：

（一）Brouwer不动点定理

（Brouwer：荷兰人 1881-1966）

定义（凸集）：

X为一集,若 则称A为X的凸子集。

定理1（Brouwer不动点定理）：

设为 的有界闭凸集，连续,则 使.

证：1、若 证明如下：不妨设

作辅助函数 显然在 上连续.

从而变成证明 使 即可.

显然:否则 则0为f之不动点;

否则则1为f之不动点:

(证毕)由连续函数的介值性定理的推论：根的存在定理可得使 证毕。

2、若

,其证明方法很多，其中纯分析方法的证明要用到场论中旋度的概念，且很繁，而简洁的证明要用到拓扑学中映象度理论，因而希望对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点定理及其应用》,或一般常微分方程教材的附录。

3、注意到Brouwer不动点定理中的条件是不可缺少的，但某些条件可以减弱。

下面我们讨论Brouwer不动点定理的应用。

（二）证明代数基本定理：

代数基本定理：

复系数一元n次方程 至少有一个复根。

证：令 XAAyxAyx1,1,0,,nRAnRAAf:Ax***xxf1RA1,0Axfxxgxg1,0,1,0*x0*xg000fg000fg0111fg0111fg1,0*x*0**xfxxg1nRAnnnnnazazazzf...2211naaa...221

合集下载

锥度量空间中广义φ-压缩映射不动点定理

锥度量空间中广义φ-压缩映射不动点定理

第３８卷第２期　ｌ　西南民族大学学报・自然　学版Ｍａｒ．Ｊｏｕｍａ　ｏｆＳｏｕｔｈｗｅｓｔ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｆｏｒ　Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ　Ｎａｔｕｍ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ　２０１２　ｌ　・　ｌ　

文章编号：１００３－２８４３（２０１２）０２－０２１９－０５　

锥度量空间中广义　．压缩映射不动点定理　

彭荣　

（广东培正学院基础部，广东广州５１０８３０）．　

摘　要：在锥度量空间中，运用迭代方法，研究了一类广义压缩算子的不动点存在性和唯一性，获得了几个不动点定理，　推广相关文献结果，改进了证明方法．　

关键词：锥度量空间；　一压缩映射；不动点；　中图分类号：Ｏ１７７．２　文献标识码：Ａ　

ｄｏｉ：１０．３９６９０．ｉｓｓｎ．１００３－２４８３．２０１２．０２．１３　

１引言与引理　

压缩映射不动点是非线性分析中的一个重要课题，在完备度量空间中广泛应用于代数方程、非线性微（积）　分方程中［１－２］．文【３】通过引入Ｂａｎａｃｈ空间代替实数集引进了锥度量空间，推广了一般度量空间并且证明了完　

备锥度量空间中Ｂａｎａｃｈ压缩映象原理．此后，锥度量空间中压缩映射不动点受到许多学者的广泛研究　…．　

本文通过引入　－压缩映射，运用迭代方法，证明了锥度量空间中一类压缩算子不动点定理并给出了相应的例子，　

推广文献［７，１Ｏ】相关结果，并改进了证明方法．　下面介绍一些锥度量空间中基本概念和相关结论．　设　是实Ｂａｎａｃｈ空间，尸是　的一个子集，称尸是一个锥，如果　（１）Ｐ是非空闭集且Ｐ≠｛０）；　

（２）若　∈Ｐ且一ｘ∈Ｐ，则　＝０；　（３）若对任意ａ，ｂ∈Ｒ，ａ，ｂ　０，　，Ｙ∈Ｐ，则ａｘ＋ｂｙ∈Ｐ；　

设Ｐ　ｃ　Ｅ为一个锥，称“　”为Ｐ诱导的一个偏序关系，若ｘ　则Ｙ—ｘ∈Ｐ，记　＜Ｙ当且仅当　≤Ｙ且　

≠Ｙ，记　《Ｙ当且仅当Ｙ－－Ｘ∈ｉｎｔＰ，ｉｎｔ　Ｐ表示尸的内部．对任意　，Ｙ∈Ｘ，若　Ｙ与Ｙ　之一成立，　

则称　和　是可比较的，且记ｘＶＹ＝Ｙ当　时，ｘＶ　＝　当　≥Ｙ时．　设　为实Ｂａｎａｃｈ空间，Ｐ为Ｅ中的锥，称Ｐ为正规锥，若存在实数Ｋ＞０，使得对任意Ｘ，Ｙ∈Ｐ，　

Banach空间多值Φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近

Banach空间多值Φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近

Banach空间多值Φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近

刘丽莉;师涌江;刘桂霞

【期刊名称】《河北师范大学学报：自然科学版》

【年(卷),期】2006(30)1

【摘 要】在一般Banach空间中,利用多值映像一致连续的性质,研究了多值Φ强伪压缩映像不动点的具误差的Ishikawa及Mann迭代逼近问题,得出了Ishikawa,Mann迭代序列强收敛的一个充分条件.由于单值映像是多值映像的特殊情况,故该结果改进和推广了近期相关结果.

【总页数】4页(P10-12)

【关键词】多值Ф-强伪压缩映像;具谩差的Ishikawa迭代序列;具谩差的Mann迭代序列

【作 者】刘丽莉;师涌江;刘桂霞

【作者单位】河北建筑工程学院数学物理系

【正文语种】中 文

【中图分类】O177.91

【相关文献】

1.多值Ф-强伪压缩映像公共不动点的Ishikawa迭代逼近 [J], 冉凯;惠存阳;赵凤群

2.一致光滑Banach空间中多值Ф-伪压缩映象不动点的带随机混合型误差的迭代逼近 [J], 张树义

3.多值φ-强伪压缩映像不动点的迭代逼近 [J], 冉凯 4.多值Ф-强伪压缩映像不动点的迭代逼近 [J], 李德瑾;赵凤群

5.多值Φ-强伪压缩映像不动点的集合序列的Ishikawa迭代逼近 [J], 冉凯;赵凤群

因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买

一类分数阶微分方程解和正解的存在性与唯一性

一类分数阶微分方程解和正解的存在性与唯一性

第９卷第１期　２０１０年２月　淮阴师范学院学报（自然科学）　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＨＵＡＩＹＩＮ　ＴＥＡＣＨＥＲＳ　ＣＯＬＬＥＧＥ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　ｖ０１．９　Ｎｏ．１　Ｆｅｂ．２０１０　

一类分数阶微分方程解和正解的存在性与唯一性　

胡　雷　，王晓娟　，张伟光　

（１．山东交通学院数理系，山东济南２５００２３；２．山东力明科技职业学院，山东济南２５０１１６；　３．济南中学，山东济南２５０００１）　

摘要：研究了一类非线性分数次微分方程初值问题的解的存在性、唯一性以及正解的存在　性，利用非线性Ｌｅｒａｙ．Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理及Ｂａｎａｃｈ压缩映象原理得到了解的存在性和唯一性　结论，利用锥压缩、锥拉伸定理获得了正解及多个正解的存在性．　关键词：分数次导数；分数次微分方程；Ｌｅｍｙ．Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理；Ｂａｎａｃｈ压缩映象原理；锥　压缩；锥拉伸　中图分类号：Ｏ１７５　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１．６８７６（２０１０）０１—００１９．０７　

Ｏ　引言　

近年来，分数次微分方程引起了许多人的兴趣和关注，出于应用的需要非线性分数次微分方程［】　］　

受到人们的普遍关注．２０００年，张淑琴ｒ３　利用半序Ｂａｎａｃｈ空间上的上下解方法获得了方程　

Ｄ　（ｔ）＝ｆ（ｔ，Ｕ（ｔ）），０＜ｓ＜１，０＜ｔ＜１，当厂：［０，１］×【０，＋∞）一［０，＋∞）　是连续函数时的正解存在性定理．２００３年，Ａ．Ｂａｂａｋｈａｎｉ　Ｖａｒｓｈａ　Ｄａｆｔａｒｄａｒ－Ｇｅｊｊｉ　４　推广了张淑琴的结果，　

研究了下列非线性分数次微分方程正解的存在性　

（Ｄ）“：．厂（　，ｕ）Ｕ（Ｏ）＝０，０＜　＜１，　其中　（Ｄ）＝Ｄ　ｎ—ａ　一１ＯＳｎ一１一…一ａ１Ｄ“，０＜ｓ１＜ｓ２＜…＜５　＜１，是标准的Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分　

数次导数，函数厂：［０，ｌ】×［０，＋。。）一［０，＋。。）连续．２００４年，陈学华　利用非线性Ｌｅｒａｙ．Ｓｃｈａｕｄｅｒ择一　

压缩型映象的Picad,Mann和Ishikawa黏性迭代序列收敛的等价性

压缩型映象的Picad,Mann和Ishikawa黏性迭代序列收敛的等价性

第２７卷第ｌ期　２００８年３月　成都大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈｅｎｇｄｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ＿０ｌ＿２７　Ｎ０．１　Ｍａｒ．２００８　

文章编号：ｌＯＯｄ一５４２２（２００８）０ｌ—Ｏ０７Ａ一０４　

压缩型映象的Ｐｉｃａｄ，Ｍａｎｎ和Ｉｓｈｉｋａｗａ　

黏性迭代序列收敛的等价性　

周晓山　

（内江铁路机械学校，四川内江￣１０９１）　

摘要：在Ｂａｎａｃｈ空间中构造了一致Ｌ－Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚｉａｎ渐近伪压缩映象的Ｉｓ｜ｆｉｋａｗａ型误差迭代序列，研究了其对相　应不动点的黏性逼近及其收敛性问题，所得结果发展和改进了文献［３—７］中的相应结果．　关键词：一致Ｌ－Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚｉａｎ；渐近伪压缩映象；不动点；收敛性　中图分类号：Ｏ１７７　文献标识码：Ａ　

０　引　言　

本文总是假设　是实Ｂａｎａｃｈ空间，Ｋ　Ｃ　Ｅ非　空，厂，　：　—　是映象，用Ｆ（　）记映象　的不动　点集．　定义１…　映象　是压缩型的，若ｊ　ｈ∈（０，　

１），Ｖ　，Ｙ∈Ｋ，有　ｌｌ　一　ｌｌ　ｈｍａｘ｛ｌｌ　—Ｙ　ｌｌ，ｌｌ　一　ｌ，　ｌｌ　Ｙ—ｒｙ　ｌｌ，ｌｌ　一　ｌｌ，ｌｌ　Ｙ—Ｔｘ　ｌｌ｝．（１）　定义２　映象　是非扩张的，若Ｖ　，Ｙ　Ｅ　Ｋ，　有ｌｌ　一　ｌｌ　ｌｌ　—Ｙ　ｌ１．　定义３　设映象厂是非扩张的，映象　是压缩　型的，若　。＝Ｐ。＝ｕ。∈　是任意给定的点，数列　

｛　｝，｛　｝Ｃ［０，１］．　（ｉ）序列｛Ｐ　｝称为Ｐｉｃａｒｄ黏性迭代序列，如果　

Ｐ　＋１＝ｆｐ　，Ｖ　ｎ　０．　（２）　（ｉｉ）序列｛Ｕ　｝称为Ｍａｎｎ黏性迭代序列，如果　

Ｕ　＋１＝（１一ａ　）　）＋ａ　Ｔｕ　，Ｖ　ｎ　０．（３）　（ｉｉｉ）序列｛　｝称为Ｉｓｈｉｋａｗａ黏性迭代序列，如　

果　

＿（　ｌ－　Ｕ　＋）＋　ａｎＴｙｎＹ　１　ｆ　Ｔｘ　ｖ　ｎ　０㈤　【　＝（

一　）（　）＋　，Ｖ　ｎ　引理１［２　设｛ａ　｝，｛ｂ　｝是非负实数序列，满足　

解的存在唯一性定理

解的存在唯一性定理

1

一阶微分方程解的存在性定理的其它证明方法

姜旭东

摘要 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder不动点定理，以及Euler折线法，给出了一阶微分方程解得存在唯一性定理的其它几种证法.

关键词 一阶微分方程 不动点定理 解的存在性 唯一性

1、引言

微分方程来源于生活实际，研究微分方程的目的在于掌握它所反映的客观规律。在文[1]第二章里,介绍了能用初等解法求解的一阶方程的若干类型,但同时指出,大量的一阶方程一般是不能用初等解法求解它的通解,而实际问题需要的往往是要求满足某种初始条件的解. 本文在文[1]对一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理证明的基础上,应用压缩映像原理，Schauder不动点定理，以及Euler折线法，给出了一阶微分方程解的存在唯一性定理的其它几种证法.

考虑一阶微分方程

(,)dyfxydx (1.1)

这里(,)fxy是在矩形区域

00:||,||Rxxayyb (1.2)

上的连续函数.

函数(,)fxy在R上满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使得不等式

1212|(,)(,)|||fxyfxyLyy (1.3)

对所有12(,),(,)xyxyR都成立, L称为Lipschitz常数。

定理1.1、如果(,)fxy在R上连续且关于y满足Lipschitz条件，则方程(1.1)存在唯一的解()yx,定义于区间0||xxh上,连续且满足初始条件 2 00()xy

这里min(,)bhaM,(,)max|(,)|xyRMfxy.

一类新的压缩条件下四个自映象的公共不动点定理

一类新的压缩条件下四个自映象的公共不动点定理

第１０卷第２期　２Ｏ１１年３月　杭州师范大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕ　ｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈａｎｇｚｈｏｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ　Ｖ０１．１０　ＮＯ．２　Ｍａｒ．２０１１　

ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７４～２３２Ｘ．２０１１．０２．００８　

一类新的压缩条件下四个自映象的公共不动点定理　

张　丹，谷峰　

（杭州Ｉ师范大学理学院，浙江杭州３１００３６）　

摘要：利用度量空间中自映象对相容和次相容的条件，讨论了完备度量空间中一类　压缩条件下４个映　象的公共不动点的存在性与唯一性，得到一个新的公共不动点定理，扩展了原有的结果．　关键词：相容映象对；次相容映象对；中一压缩映象；公共不动点　中图分类号：０１　７７　ＭＳＣ２０１０：４７Ｈ１０；５８Ｃ３０　文献标志码：Ａ　文章编号：ｌ６７４　２３２Ｘ（２０１１）０２　０１２７～Ｏ６　

１　引言和预备知识　

张石生　和谷峰　在度量空间中Ｉｈ映象对相容和次相容的条件下，分别研究了涉及到３个和４个自　映象的　一扩张型的公共不动点定理．傅秋平　讨论了完备度量空间中涉及到４个映象的一类中一压缩映　象的公共不动点问题．在此利用映象对相容　和次相容　的条件，讨论了完备度量空间中４个映象的一类　

新的中一压缩映象的公共不动点问题，获得了一个新的公共不动点定理，所得结果本质地改进了文献［３］　

中的主要结果．　定义１　集合Ｘ上的自映象对（＿厂，ｇ）称为是可交换的，如果Ｖ　∈Ｘ，有　一　．　

定义２Ⅲ　度量空间（Ｘ，　）上的自映象对（＿厂，ｇ）称为相容的，如果Ｖ｛　｝（二＝Ｘ，当　一ｚ，ｇ　一　，　ｚ∈　时，有ｄ（／　，ｇ／　）一０（＂一ｏ。）。　定义３　集合Ｘ上的自映象对（厂，ｇ）称为是次相容的，如果　

｛ｔ∈Ｘ：　（ｆ）一ｇ（￡）｝（二＝｛ｔ∈Ｘ：ｆｇ（　）一ｇｆ（　）｝．　注１　由定义易知，可交换映象对必是相容映象对，而相容映象对也必是次相容映象对，但反之不真．　定义４　称函数　满足条件（中），如果函数　满足以下条件：　（ｃａ）：　：［Ｏ，Ｃｘ３）一［０，。。）是对ｔ不减的和右连续的，且　（ｒ）＜ｔ，Ｖ　ｔ＞０．　

一类轨道压缩型映象的不动点定理

第２８卷　２００８年　第５期　９月　高师理科学刊　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ　ｏｆＴｅａｃｈｅｒｓ’Ｃｏｌｌｅｇｅ　ａｎｄ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖ　ｎ１．２８　ＮＯ．５　Ｓｅｐ．２００８　

文章编号：１００７－９８３１（２００８）０５－０００１－０３　

一类轨道压缩型映象的不动点定理　

李亚琼　

（杭州师范大学理学院，浙江杭州３１００１２）　

摘要：张石生等建立了第（３２）、（４８）、（６４）、（８Ｏ）类压缩型映象存在不动点的充分条件和充分　必要条件．在此基础上，引入了新的更广泛的压缩型映象，并给出了这类压缩型映象存在不动点　

的充分条件和充分必要条件，从而发展和推广了前人的有关结果．　

关键词：周期；轨道；不动点；公共不动点　中图分类号：０１８９：０１７７　文献标识码：Ａ　

１引言及预备知识　

张石生等　建立了第（３２）、（４８）、（６４）、（８０）类压缩型映象存在不动点的充分条件和充分必要条件．　

本文在此基础上，引入了新的更广泛的压缩型映象，并给出了这类压缩型映象存在不动点的充分条件和充　

分必要条件，从而发展和推广了前人的有关结果．　

定义１设７１是度量空间（Ｘ，ｄ）上的自映象，　∈ｘ，称　为　的一个周期点，如果存在正整数　，　

使Ｔ　Ｘ＝Ｘ，称满足这一条件的最小正整数为Ｘ的周期．　

注１　本文用Ｏ（ｘ，Ｔ，，ｚ）表示集合　，Ｔｘ，Ｔ　Ｘ，…，Ｔｍｘ｝，而用Ｏ（ｘ，Ｔ）＝Ｏ（ｘ，Ｔ，∞）表示集合　

Ａ＝　，Ｔｘ，Ｔ　Ｘ，…，　，…｝，称集合Ａ为映象　在　点的轨道．用６（Ａ）表示集合Ａ　ｃ　的直径，即　

（Ａ）：ｓ￣ｐ｛ｄ（ｘ，ｙ）：　，Ｙ∈Ａ｝．　．　

２主要结果及其证明　

定理１　设（　，ｄ）是度量空间，　是ｘ　ｘ的自映象，且Ｖｘ，Ｙ∈ｘ，　≠Ｙ存在正整数ｐ（ｘ，Ｙ），使　

得　

五　，Ｔ　‘　ＹＪ＜　（＿Ｏ（　，ｒ）ｕＯ（ｙ，丁））　

如果　∈ｘ是映象Ｔ的周期为ｋ的周期点，则丁在　ｘｌ　中有不动点的充分必要条件是：对任意的Ｔ　，　

关于迭代生成数列的极限求法

２００８年第２期　商丘职业技术学院学报　Ｖｏ１．７，Ｎｏ．２　第７卷（总第３５期）　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＳＨＡＮＧＱＩＵ　ＶＯＣＡＴＩＯＮＡＬ　ＡＮＤ　ＴＥＣＨＮＩＣＡＬ　ＣＯＬＬＥＧＥ　Ａｐｒ．，２００８　

文章编号：１６７１—８１２７（２００８）０２—００２０—０３　

关于迭代生成数列的极限求法　

王远民　

（商丘职业技术学院，河南商丘４７６０００）　

摘要：利用单调有界原理、压缩映象定理和迭代公式增减性证明迭代生成数列的极限存在，得极限值Ａ应满　足的方程．解此方程，以求极限值Ａ．　关键词：迭代生成数列；单调有界原理；压缩映象原理；不动点　

中图分类号：Ｏ１５　文献标识码Ａ　

０　前　言　

在混沌发展的历史中起了极其重要作用的论文《周期３的蕴涵混沌》（Ｐｅｒｉｏｄ　ｔｈｒｅｅ　ｉｍｐｌｉｅｓ　ｃｈａｏｓ），是由　

Ｌ—Ｙｏｒｋｅ在１９７５年发表在美国数学月刊上的一篇论文．这篇论文主要是关于迭代生成数列的新发现．在这　些新发现中我们看到它与数学分析有密切的联系，如在这篇论文中有部分内容是讲迭代生成的离散动力系　

统，它的一般形式是一阶递推数列公式　

＋ｌ＝－厂（　），ａ∈Ｎ＋　

在动力系统理论中称之为一维迭代动力系统（或离散动力系统）¨。．基于迭代生成数列是研究混沌理论　

的敲门砖，因此在《数学分析》这门课中，迭代生成数列是一个很重要的概念，在近年来的考研试题中也经常　

有求迭代生成数列的极限的试题出现，且该部分试题的分值比例在逐年增加，地位异常重要．曾有人给出了　迭代生成数列的极限求法或探讨迭代生成数列的敛散性问题，也有人研究了递推数列的通项公式的求法和　

迭代生成数列的周期问题．在此基础上，本文着重探讨迭代生成数列的极限存在的问题，研究求迭代生成数　

列极限的有关方法．　

１　利用单调有界原理证明迭代生成数列的极限存在　

定理（单调有界原理）　在实数系中，有界的单调数列必有极限．　

证明　不妨设｛ａ　｝为有上界的递增数列．由确界原理，数列｛ａ，　｝有上确界，记ａ：ｓｕｐ｛ａ，　｝．下面证明　ａ是｛ａ　｝的极限．事实上，任给　＞０，按上确界的定义，存在数列｛ａ　｝中某一项ａ　，使得ａ一　＜ａ　．又由　

G-度量空间两对非相容映象的几个新的公共不动点定理

第３３卷　２０１３拄　第２期　３月　高师理科学刊　Ｊｏｕｍａｌ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ｏｆ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ａｎｄ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖ０１．３３　Ｎｏ．２　Ｍａｒ．２０１３　

文章编号：１００７—９８３１（２０１３）０２—００２５—０５　

Ｇ一度量空间两对非相容映象的　

几个新的公共不动点定理　

林锋锋，江李跃，陈仕洲　

（韩山师范学院数学与应用数学系，广东潮州５２１０４１）　

摘要：在Ｇ一度量空间中，利用自映象对的非相容性和（Ａｇ）型　一弱交换性条件，在既不要求　空间的完备性，也不要求映象连续的条件下，建立了一类立方型　一压缩映象条件下４个映象　的公共不动点定理，其结果改进和发展了已有文献的相关结果．　关键词：Ｇ一度量空间；立方型　一压缩映象；非相客映象对；（Ａｇ）型Ｒ一弱交换；公共不动　点　中图分类号：０１７７．９１　文献标识码：Ａ　ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—９８３１．２０１３．０２．００９　

Ｓｏｍｅ　ｎｅｗ　ｃｏｍｍｏｎ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　ｔｗｏ　ｐａｉｒｓ　ｏｆ　

ｎｏｎｃｏｍｐａｔｉｂｌｅ　ｍａｐｐｉｎｇｓ　ｉｎ　Ｇ－ｍｅｔｒｉｃ　ｓｐａｃｅｓ　

ＬＩＮ　Ｆｅｎｇ—ｆｅｎｇ，ＪＩＡＮＧ　Ｌｉ－ｙｕｅ，ＣＨＥＮ　Ｓｈｉ—ｚｈｏｕ　

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｈａｎｓｈａｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｏｚｈｏｕ　５２１０４１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｎｏｎｃｏｍｐａｔｉｂｌｅ　ａｎｄ（Ａｇ）ｔｙｐｅ　Ｒ—ｗｅａｋ　ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｉｔｙ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｓｅｌｆ－ｍａｐｐｉｎｇ　ｐａｉｒｓ，　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ　ｓｏｍｅ　ｎｅｗ　ｃｏｍｍｏｎ　ｆｉｘｅｄ　ｐｏｉｎｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　ｆｏｕｒ　ｓｅｌｆ－ｍａｐｐｉｎｇｓ　ｗｉｔｈ　一ｃｏｎｔｒａｃｔｉｖｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｕｂｉｃ　

锥度量空间中一类压缩映射不动点定理

第３３卷　第３期　湖北师范学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕｂｅｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　Ｖｏ１．３３　Ｎｏ，３，２０１３　

锥度量空间中一类压缩映射不动点定理　

江秉华　

（湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石４３５００２）　

摘要：在锥度量空间中，运用迭代方法，研究了一类压缩算子的不动点存在性和唯一性，获得了几个新的　不动点定理，推广和改进了相关文献结果．　关键词：锥度量空间；压缩映射；不动点　中图分类号：Ｏ１７７　文献标识码：Ａ　文章编号：１００９－２７１４（２０１３）０３—０００１—０４　ｄｏｌ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００９—２７１４．２０１３．０３．００１　

１预备知识　

众所周知，非线性映射的不动点的存在唯一性是非线性分析的重要课题之一，而且不动点理论　

广泛地应用于非线性积分方程和微分方程中．文［３］通过引入Ｂａｎａｃｈ空间代替实数集合，引进了锥　度量空间并且证明了完备锥度量空间中Ｂａｎａｃｈ压缩映象原理仍然成立．此后，压缩不动点定理在锥　度量空间中得到推广和应用．受文［１～２］启发，本文证明了锥度量空间中一类压缩不动点定理，推　

广了相关文献结果．　下面先介绍一些基本概念和已知结果．　

设ｊ５『是实Ｂａｎａｃｈ空间，Ｐ是　的一个子集，如果　１）Ｐ是非空闭集且Ｐ≠｛０｝；　

２）Ｖａ，ｂ∈Ｒ　，　，Ｙ∈Ｐ，贝Ⅱ　＋ｂｙ∈Ｐ；　３）若　∈Ｐ，一　ＥＰ，贝０　＝　；　

则称Ｐ是一个锥规定　≤　Ｙ一　∈Ｐ，熟知“≤”是　上一个偏序，称“≤”为Ｐ诱导的偏序关系．　用　＜Ｙ表示　≤，，但ｘ＃ｙ，ｘ，Ｃ￣ｙ表示Ｙ－－Ｘ∈ｉｎｔ　Ｐ，ｉｎｔ　Ｐ＃Ｏ（ｉｎｔ　Ｐ表示Ｐ的内部）．如果存在常数Ｋ　

＞Ｏ，使得当　≤　≤ｙ时，ｌＩ　ＩＩ≤　Ｉｌ　Ｙ　ＩＩ（　，Ｙ∈Ｅ），则锥Ｐ称为正规锥．满足上式的最小正常数Ｋ　称为Ｐ的正规常数．如果ｉｎｔ　Ｐ＃Ｏ，则称锥Ｐ是体锥．　

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相关文档
最新文档