四川省眉山市彭山区第一中学2019_2020学年高二数学上学期期中(11月)试题文(扫描版)
四川省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(九)
四川省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（九）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号）．若假设第1组抽出的号码为3，则第5组中用抽签方法确定的号码是（）A．33 B．34 C．35 D．362．入射光线沿直线x﹣2y+3=0射向直线l：y=x，被l反射后的光线所在直线的方程是（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x+y+3=0 D．2x﹣y+3=03．由变量x与y相对应的一组数据（1，y1）、（5，y2）、（7，y3）、（13，y 4）、（19，y5）得到的线性回归方程为=2x+45，则=（）A．135 B．90 C．67 D．634．对任意非零实数a、b，若a⊗b的运算原理如图所示，则（log28）⊗（）2=（）A．16 B．15 C．14 D．135．同时抛两枚硬币，则一枚朝上一枚朝下的事件发生的概率是（）A．B．C．D．6．下面的茎叶图表示柜台记录的一天销售额情况（单位：元），则销售额中的中位数是（）A．30.5 B．31.5 C．31 D．327．若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y ﹣5=0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A．2B．3C．3D．48．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是（）A．B． C． D．9．直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点且|AB|=2，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．010．已知一组数x，x2，x3，x4．的平均数是，方差s2=4，则数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的平均数和方差分别是（）A．11，8 B．10，8 C．11，16 D．10，1611．掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”则P（A∪B）等于（）A．B．C．D．12．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是（）A．[2﹣，1]B．[2﹣，2+]C．[，] D．[0，+∞）二．填空题（每小题5分，共20分）13．直线x+y+1=0的倾斜角的大小为．14．口袋内有一些大小相同的红球，白球和黑球，从中任摸一球摸出红球的概率是0.3，摸出黑球的概率是0.5，那么摸出白球的概率是．15．已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h （x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是．16．已知直线l：mx﹣（m2+1）y=4m（m≥0）和圆C：x2+y2﹣8x+4y+16=0．有以下几个结论：①直线l的倾斜角不是钝角；②直线l必过第一、三、四象限；③直线l能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧；④直线l与圆C相交的最大弦长为；其中正确的是．（写出所有正确说法的番号）三．解答题（17题10分，其余各题12分，共70分）17．设计一个计算1+++…++值的一个程序框图．18．已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l关于原点O对称的直线方程．19．在英才中学举行的信息知识竞赛中，将高二年级两个班的参赛学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制出如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）求这两个班参赛的学生人数．（3）这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？（不必说明理由）20．已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线m：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线与圆A交于M，N两点．（1）求圆A的方程；（2）当|MN|=2时，求直线l的方程．21．已知直线l1：x﹣2y﹣1=0，直线l2：ax﹣by+1=0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}．（1）求直线l1∩l2=∅的概率；（2）求直线l1与l2的交点位于第一象限的概率．22．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y ﹣3）2=1交于点M、N两点．（1）求k的取值范围；（2）若•=12，其中O为坐标原点，求|MN|．参考答案一、单项选择题1．C．2．B．3．D．4．A．5．A．6．C．7．C 8．D 9．D．10．C．11．B12．B．二．填空题13．解：由x+y+1=0，得，∴直线x+y+1=0的斜率为，设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则，∴θ=．故答案为：．14．解：从中任摸一球摸出红球、从中任摸一球摸出黑球、从中任摸一球摸出白球，这三个事件是彼此互斥事件，它们的概率之和等于1，故从中任摸一球摸出白球的概率为1﹣0.3﹣0.5=0.2，故答案为：0.2．15．解：根据“对称函数”的定义可知，，即h（x）=6x+2b﹣，若h（x）＞g（x）恒成立，则等价为6x+2b﹣＞，即3x+b＞恒成立，设y1=3x+b，y2=，作出两个函数对应的图象如图，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=，即|b|=2，∴b=2或﹣2，（舍去），即要使h（x）＞g（x）恒成立，则b＞2，即实数b的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）16．解：在①中，直线l的方程可化为y=，于是直线l的斜率k=，∵|m|≤，∴|k|=，当且仅当|m|=1时等号成立．∵m≥0，∴直线l的斜率k的取值范围是[0，]，∴直线l的倾斜角不是钝角，故①正确；在②中，∵直线l的方程为：y=k（x﹣4），其中0≤k，∴当k=0或k=时，直线l不过第一、三、四象限，故②错误；在③中，直线l的方程为：y=k（x﹣4），其中0≤k，圆C的方程可化为（x﹣4）2+（y+2）2=4，∴圆C的圆心为C（4，﹣2），半径r=2，于是圆心C到直线l的距离d=，由0≤k，得d≥＞1，即d＞，∴若直线l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于，故直线l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧，故③错误；由③知圆心C到直线l的距离d≥，∴直线l与圆C相交的最大弦长为：2=，故④正确．故答案为：①④．三．解答题17．解：程序框图如下：18．解：（1）由，解得，∴点P的坐标是（﹣2，2），∵所求直线l与x﹣2y﹣1=0垂直，∴可设直线l的方程为2x+y+C=0．…把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+C=0，即C=2．∴所求直线l的方程为2x+y+2=0．…（2）又直线l的方程2x+y+2=0在x轴、y轴上的截距分别是﹣1与﹣2．…则直线l关于原点对称的直线在x轴、y轴上的截距分别是1与2，…∴所求直线方程为2x+y﹣2=0…19．解：（1）∵第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05各组频率和为1，∴第二小组的频率为1﹣（0.30+0.15+0.10+0.05）=0.4；频率分布直方图如下图所示：（2）∵第二小组的频数是40由（1）得第二小组的频率为0.4；则40÷0.4=100；即这两个班参赛的学生人数为100；（3）中位数落在第二小组内．20．解：（1）由题意知，A（﹣1，2）到直线x+2y+7=0的距离为圆A 半径R，∴，∴圆A的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20；（2）设线段MN的中点为Q，连结QA，则由垂径定理可知∠MQA=90°，且，在Rt△AMQ中，由勾股定理知，当动直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2时，显然满足题意；当动直线l的斜率存在时，设动直线l的方程为：y=k（x+2），由A（﹣1，2）到动直线l的距离为1，得，∴y=，即3x﹣4y+6=0．∴直线l的方程为3x﹣4y+6=0或x=﹣2．21．解：（1）直线l1的斜率，直线l2的斜率．设事件A为“直线l1∩l2=∅”．a，b∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为（1，1），（1，2），…，（1，6），（2，1），（2，2），••，（2，6），••，（5，6），（6，6）共36种．若l1∩l2=∅，则l1∥l2，即k1=k2，即b=2a．满足条件的实数对（a，b）有（1，2）、（2，4）、（3，6）共3种情形．∴．即直线l1∩l2=∅的概率为．（2）解：设事件B为“直线l1与l2的交点位于第一象限”，由于直线l1与l2有交点，则b≠2a．联立方程组解得∵直线l1与l2的交点位于第一象限，则即解得b＞2a．a，b∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为36种．满足条件的实数对（a，b）有（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）共六种．∴．即直线l1与l2的交点位于第一象限的概率为．22．（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．故由=1，解得：k1=，k2=．故当＜k＜，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y ﹣3）2=1相交于M，N两点．（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，可得（1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0，∴x1+x2=，x1•x2=，∴y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=•k2+k•+1=，由•=x1•x2+y1•y2==12，解得k=1，故直线l的方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2．。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)_12
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）命题“∀x∈R，x2-x≤0”的否定是（）A. ,B. ,C. ,D. ,在平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.“0＜x＜”是“0＜sinx＜”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件等差数列{an}的前三项依次为x，1-x，3x，则a2019的值为（）A. 672B. 673C. 674D. 675对于下列四个条件：①an=kn+b（k，b为常数，n∈N*）；②an+2-an=d（d为常数，n∈N*）；③an+2-2an+1+an=0（n∈N*）；④{an}的前n项和（n∈N*）．能确定数列{an}是等差数列的条件的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4已知数列{an}的通项公式，若“an＜an+1（n∈N*）”的充要条件是“a＜M”，则M的值等于（）A. B. 1 C. D. 2如图，在四面体ABCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，AB=6，CD=4，，则异面直线AB，CD所成角的余弦值为（）A.B.C.D.在平面直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R）的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.在平面直角坐标系xOy中，设P是双曲线上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记∠PAB=α，∠PBA=β，则tanαtanβ的值为（）A. B. C. D.已知数列{an}是等比数列，Sn表示其前n项和．若a3=2，S4=3S2，则a5的值为（）A. B. 2 C. 4 D. 2或4已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3=8，S7=49；数列{bn}满足，则bn取最大值时n的值为（）A. 5B. 4C. 3D. 2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1，过点P（0，2）作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，当∠AOB=90°时，k的值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）若命题“∃n∈N*，n2-nt+6≤0”是真命题，则实数t的取值范围是______．在正项等比数列{an}中，已知++，则的值为______．若数列{an}满足：a1=0，a2=1，a3=3，{an+1-an}为等差数列，则an=______．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2=3F2B，AB=BF1，则椭圆C的标准方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）已知p：在平面直角坐标系xOy中，方程表示双曲线；q：实数m满足不等式m2-（2a+2）m+a2+2a≤0．（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；（2）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．在数列{an}中，，（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：为定值．如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PBC⊥底面ABCD，PB=PC=BC=2，AB=1．（1）求二面角P-AD-B的大小；（2）求点B到平面PAD的距离．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上．（1）若，点P的坐标为，求椭圆E的方程；（2）若点P横坐标为，点M为PF1中点，且OP⊥F2M，求椭圆E的离心率．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，过点P （0，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）求证：为定值；（2）求△AOB面积的最大值．设数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*总有2Sn=an2+n，且an＜an+1．（1）求a1，a2；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若对任意n∈N*，θ∈R，不等式≤λ（n+2）恒成立，求实数λ的最小值．2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）命题“∀x∈R，x2-x≤0”的否定是（）A. ,B. ,C. ,D. ,在平面直角坐标系xOy中，双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.“0＜x＜”是“0＜sinx＜”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件等差数列{an}的前三项依次为x，1-x，3x，则a2019的值为（）A. 672B. 673C. 674D. 675对于下列四个条件：①an=kn+b（k，b为常数，n∈N*）；②an+2-an=d（d为常数，n∈N*）；③an+2-2an+1+an=0（n∈N*）；④{an}的前n项和（n∈N*）．能确定数列{an}是等差数列的条件的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4已知数列{an}的通项公式，若“an＜an+1（n∈N*）”的充要条件是“a＜M”，则M的值等于（）A. B. 1 C. D. 2如图，在四面体ABCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，AB=6，CD=4，，则异面直线AB，CD所成角的余弦值为（）A.B.C.D.在平面直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R）的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.在平面直角坐标系xOy中，设P是双曲线上不同于左顶点A、右顶点B的任意一点，记∠PAB=α，∠PBA=β，则tanαtanβ的值为（）A. B. C. D.已知数列{an}是等比数列，Sn表示其前n项和．若a3=2，S4=3S2，则a5的值为（）A. B. 2 C. 4 D. 2或4已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a3=8，S7=49；数列{bn}满足，则bn取最大值时n的值为（）A. 5B. 4C. 3D. 2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1，过点P（0，2）作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，当∠AOB=90°时，k的值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）若命题“∃n∈N*，n2-nt+6≤0”是真命题，则实数t的取值范围是______．在正项等比数列{an}中，已知++，则的值为______．若数列{an}满足：a1=0，a2=1，a3=3，{an+1-an}为等差数列，则an=______．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2=3F2B，AB=BF1，则椭圆C的标准方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）已知p：在平面直角坐标系xOy中，方程表示双曲线；q：实数m满足不等式m2-（2a+2）m+a2+2a≤0．（1）若命题p为真，求实数m的取值范围；（2）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．在数列{an}中，，（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：为定值．如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PBC⊥底面ABCD，PB=PC=BC=2，AB=1．（1）求二面角P-AD-B的大小；（2）求点B到平面PAD的距离．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在椭圆E上．（1）若，点P的坐标为，求椭圆E的方程；（2）若点P横坐标为，点M为PF1中点，且OP⊥F2M，求椭圆E的离心率．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：，过点P（0，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）求证：为定值；（2）求△AOB面积的最大值．设数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*总有2Sn=an2+n，且an＜an+1．（1）求a1，a2；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若对任意n∈N*，θ∈R，不等式≤λ（n+2）恒成立，求实数λ的最小值．。
2019-2020学年四川省眉山市彭山一中高一(上)期中数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年四川省眉山市彭山一中高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2,4}，则集合∁U M=()A. {1,2,4}B. {3,4,5}C. {2,5}D. {3,5}2.函数f(x)=lnx−2的零点所在的大致区间为()xA. (1,2)B. (2,e)C. (e,3)D. (3,+∞)3.函数y=x a，(a∈R)为奇函数，且在区间(0,+∞)上单调递增，则实数a的值等于()C. 2D. 3A. −1B. 12)x，则f(x)=()4.已知函数f(x)=3x−(13A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数5.已知f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−x，则f(−1)=()A. 0B. 2C. −2D. −3(x−3)的定义域是()6.函数y=√log12A. (−∞,4)B. (−∞,4]C. (3,4]D. (3,4)7.函数f(x)=x2+2(a−1)x+2在区间(−∞,4]上是单调递减的，则实数a的取值范围是()A. a≤−3B. a≥−3C. a≤5D. a≥58.已知x=1og5,y=1og52,z=3−12，则下列关系正确的是()3A. x>y>zB. y>x>zC. z>y>xD. x>z>y9.函数f(x)=ln|x|的图象大致为()xA. B. C. D.10. 函数f(x)=log 12(x 2−4)的单调递增区间是( ) A. (0,+∞) B. (−∞,0) C. (2,+∞) D. (−∞,−2)11. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,+∞)上单调递增，若实数a 满足f(lga)+f(lg 1a )≤2f(1)，则a 的取值范围是( ) A. (−∞,10] B. [110,10] C. (0,10] D. [110,1] 12. 已知f(x)={2x +1,x ≤0|lnx|,x >0则方程f[f(x)]=3的根的个数是( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=ax 3−2x 的图象过点(−1,4)则a =______．14. 若log 34a <1，则实数a 的取值范围是______ ． 15. 4x 2+(m −2)x +m −5=0的一根在区间(−1,0)内，另一根在区间(0,2)内，则m 的取值范围是______．16. 若函数f(x)满足：在定义域D 内存在实数x 0，使得f(x 0+1)=f(x 0)+f(1)成立，则称函数f(x)为“1的饱和函数”.给出下列四个函数：①f(x)=2x ；②f(x)=1x；③f(x)=lg(x 2+2)；④f(x)=cosπx ．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 若a =lg2，b =lg3，试用a ，b 表示出log 548．18.设全集U=R，集合A={x|−1<x<3}，B={x|x2−4x<0}，C={x|2a<x<a+1}．(1)求∁U(A∪B)；(2)若C⊆(A∩B)，求实数a的取值范围．19.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病有效的时间？20.二次函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)且f(1)=2，f(0)=3．(1)求f(x)的解析式；(2)若x∈[1,2]，则f(x)<mx恒成立，求m的取值范围．≤x≤4．21.设函数f(x)=log2(4x)⋅log2(2x)，116(Ⅰ)若t=log2x，求t取值范围；(Ⅱ)求f(x)的最值，并给出最值时对应的x的值．22.已知f(x)=2x−a(a∈R)的图象关于坐标原点对称．2x+1(1)求a的值；<0成立，求实数b的取值范围．(2)若存在x∈[0,1]，使不等式f(x)+2x−b2x+1+x−3的零点为x1，y=log2x+x−2的零点为x2，求x1+x2(3)若函数y=21−f(x)的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2,4}，∴∁U M={3,5}．故选：D．根据全集U及M，求出M的补集即可．此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．函数f(x)=lnx−2x在(0,+∞)上是连续函数，根据f(2)f(e)<0，根据零点存在定理可得零点所在的大致区间．【解答】解：对于函数f(x)=lnx−2x在(0,+∞)上是连续函数，由于f(2)=ln2−1=ln2−lne=ln2e<0，f(e)=lne−2e =1−ln2e>0，故f(2)f(e)<0，根据零点存在定理可知，函数f(x)=lnx−2x的零点所在的大致区间是(2,e)，故选：B．3.【答案】D【解析】解：∵y=x a在(0,+∞)上单调递增∴a>0∴a的可能取值为12，2，3．又∵y=x a为奇函数当a =12，2时，y =x α不是奇函数；故选：D ．由幂函数在(0,+∞)的单调性缩小a 的范围，再由幂函数的奇偶性即可确定a 的值本题考查幂函数的性质，要注意幂函数的指数a 与第一象限内的图象的单调性之间的关系，a <0是单调递减，a >0时单调递增；同时要求会判断幂函数的奇偶性．属简单题 4.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性，指数函数及其性质，属于基础题．由已知得f(−x)=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，由函数y =3x 为增函数，y =(13)x为减函数，结合“增”−“减”=“增”，可得答案．【解答】解：函数f(x)的定义域为R ，∵f(x)=3x −(13)x =3x −3−x ，∴f(−x)=3−x −3x =−f(x)，即函数f(x)为奇函数，又由函数y =3x 为增函数，y =(13)x 为减函数， 故函数f(x)=3x −(13)x 为增函数．故选A ．5.【答案】A【解析】解：f(x)是偶函数，当x ≥0时，f(x)=x 2−x ，则f(−1)=f(1)=1−1=0，故选：A ．由偶函数的定义，结合已知解析式计算可得所求值．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：函数y=√log12(x−3)的定义域满足：{log12(x−3)≥0 x−3>0，解得3<x≤4，∴函数y=√log12(x−3)的定义域为(3,4]．故选：C．函数y=√log12(x−3)的定义域满足{log12(x−3)≥0x−3>0，由此能求出函数y=√log12(x−3)的定义域．本题考查函数的定义域的求法，是基础题，解题时要注意对数函数的性质的合理运用．7.【答案】A【解析】解：函数y=x2+2(a−1)x+2的图象是开口朝上，且以直线x=1−a为对称轴的抛物线，若y=x2+2(a−1)x+2在区间(−∞,4]上单调递减，则1−a≥4，解得：a≤−3，故选：A．若y=x2+2(a−1)x+2在区间(−∞,4]上单调递减，则1−a≥4，解得答案．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴和区间的关系是解答的关键．8.【答案】D【解析】解：∵x=log35>1，y=log52<log5√5=12，1>z=3−12=√3=√33>12，∴x>z>y．故选：D．利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质分别比较x，y，z与1与12的大小得答案．本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．9.【答案】A【解析】【分析】判断f(x)的奇偶性，及f(x)的函数值的符号即可得出答案．本题考查了函数的图象判断，一般从奇偶性、单调性、零点和函数值等方面判断，属于中档题．【解答】解：∵f(−x)=ln|−x|−x =−ln|x|x=−f(x)，∴f(x)是奇函数，故f(x)的图象关于原点对称，当x>0时，f(x)=lnxx，∴当0<x<1时，f(x)<0，当x>1时，f(x)>0，故选：A．10.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．令t=x2−4>0，求得函数f(x)的定义域为(−∞,−2)∪(2,+∞)，且函数f(x)=g(t)= log12t.根据复合函数的单调性，本题即求函数t在(−∞,−2)∪(2,+∞)上的单调性．再利用二次函数的性质可得函数t在(−∞,−2)∪(2,+∞)上的减区间．【解答】解：令t=x2−4>0，可得x>2，或x<−2，故函数f(x)的定义域为(−∞,−2)∪(2,+∞)，当x∈(−∞,−2)时，t随x的增大而减小，随t的减小而增大，所以随x的增大而增大，即f(x)在(−∞,−2)上单调递增．故选D．11.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(lga)+f(lg1)≤2f(1)，等价为f(lga)+f(−lga)=2f(lga)≤2f(1)，a即f(lga)≤f(1)．∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+∞)单调递增，∴f(lga)≤f(1)等价为f(|lga|)≤f(1)．即|lga|≤1，∴−1≤lga≤1，≤a≤10，解得110故选：B．根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化即可得到结论．本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用．12.【答案】B【解析】解：由题意得，2f(x)+1=3或|lnf(x)|=3，即f(x)=1(舍去)或f(x)=e3或f(x)=e−3；若f(x)=e3，则2x+1=e3或|lnx|=e3，(舍去)或x=e e3或x=e−e3；故x=e3−12若f(x)=e−3，则2x+1=e−3或|lnx|=e−3，或x=e e−3或x=e−e−3；故x=e−3−12故方程f[f(x)]=3共有5个解，故选：B．由题意得2f(x)+1=3或|lnf(x)|=3，从而解得f(x)=e3或f(x)=e−3；从而再讨论即可．本题考查了分段函数与复合函数的应用，同时考查了分类讨论的思想应用．13.【答案】−2【解析】解：根据条件得：4=−a+2；∴a=−2．故答案为：−2．f(x)是图象过点(−1,4)，从而该点坐标满足函数f(x)解析式，从而将点(−1,4)带入函数f(x)解析式即可求出a．考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．14.【答案】a>34【解析】解：∵log34a<1，∴log34a<log3434，即a>34，故答案为：a>34根据对数函数的单调性的性质即可得到结论．本题主要考查对数不等式的解法，根据对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．15.【答案】(−73,5)【解析】解：∵方程4x2+(m−2)x+m−5=0的一根在区间(−1,0)内，另一根在区间(0,2)内，∴二次函数f(x)=4x2+(m−2)x+m−5的一个零点在(−1,0)内，另一个零点在区间(0,2)内，∴{f(−1)=4−(m −2)+m −5>0f(0)=m −5<0f(2)=16+2(m −2)+m −5>0，解得−73<m <5，∴m 的取值范围是(−73,5)．故答案为：(−73,5)．由方程4x 2+(m −2)x +m −5=0的一根在区间(−1,0)内，另一根在区间(0,2)内，得二次函数f(x)=4x 2+(m −2)x +m −5的一个零点在(−1,0)内，另一个零点在区间(0,2)内，则{f(−1)=4−(m −2)+m −5>0f(0)=m −5<0f(2)=16+2(m −2)+m −5>0，从而求解出m 的取值范围即可．本题考查二次函数的性质与图象，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．16.【答案】①④【解析】解：①f(x)=2x ，D =R ，则存在实数x 0，使得2x 0+1=2x 0+2，解得x 0=1， 因为此方程有实数解，所以函数f(x)=2x 是“1的饱和函数”．②f(x)=1x ，D =(−∞,0)∪(0,+∞)，若f(x)=1x 是“1的饱和函数”，则存在非零实数x 0，使得1x0+1=1x 0+1， 即x 02+x 0+1=0， 因为此方程无实数解，所以函数f(x)=1x 不是“1的饱和函数”．③f(x)=lg(x 2+2)，若存在x ，使f(x +1)=f(x)+f(1)则lg[(x +1)2+2]=lg(x 2+2)+lg3即2x 2−2x +3=0，∵△=4−24=−20<0，故方程无解．即f(x)=lg(x 2+2)不是“1的饱和函数”．④f(x)=cosπx ，存在x =13，使得f(x +1)=cos 43π=−12=f(x)+f(1)=cos 13π+cosπ=12−1，即f(x)=cosπx 是“1的饱和函数”．故答案为：①④利用“1的饱和函数”的定义构造方程，判断方程是否有解，可得结论．本题考查“1的饱和函数”的判断，是基础题，解题时要注意函数的性质的合理运用．17.【答案】解：log548= lg48lg5=lg16+lg31−lg2=4lg2+lg31−lg2=4a+b1−a．【解析】根据换底公式即可求出．本题考查了换底公式，考查了运算求解能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为A={x|−1<x<3}，B={x|x2−4x<0}={x|0<x<4}，C={x|2a<x<a+1}，所以A∪B={x|−1<x<4}所以∁U(A∪B)={x|x≥4或x≤−1}；(2)因为A∩B={x|0<x<3}，C={x|2a<x<a+1}，C⊆(A∩B)，当2a≥a+1，即a≥1时，C=⌀，满足题意；当C≠⌀时，则{2a<a+1a+1<32a>0，解得0<a<1，综上，a的取值范围为[0,+∞)．【解析】(1)先求出集合A∪B，然后利用补集的运算性质，求出∁U(A∪B)即可；(2)先求出A∩B，然后分C是否为空集，求出a的取值范围．本题主要考查了交、并、补集的混合运算，体现了分类讨论思想，属基础题．19.【答案】解：(1)由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一个线段，由于过原点与点(1,4)，故其解析式为y=4t，0≤t≤1；当t≥1时，函数的解析式为y=(12)t−a，此时M(1,4)在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4=(12)1−a，解得a=3故函数的解析式为y=(12)t−3，t≥1．所以y=f(t)={4t(0≤t<1) (12)t−3(t≥1)．(2)由题意，令f(t)≥0.25，即{4t≥0.25(12)t−3≥0.25，解得{t ≥116t ≤5， ∴116≤t ≤5．∴服药一次治疗疾病有效的时间为5−116=41516个小时．【解析】(1)由函数图象我们不难得到这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，由于两段函数均过M(1,4)，故我们可将M 点代入函数的解析式，求出参数值后，即可得到函数的解析式．(2)由(1)的结论我们将函数值0.25代入函数解析式，构造不等式，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，他们之间的差值即为服药一次治疗疾病有效的时间．已知函数图象求函数的解析式，是一种常见的题型，关键是要知道函数的类型，利用待定系数法设出函数的解析式，然后将函数图象上的点的坐标代入求出参数的值，即可得到要求函数的解析式．20.【答案】解：(1)设二次函数f(x)的解析式为f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0,a,b,c 为常数)，由f(1−x)=f(1+x)，得−b 2a =1①，又f(1)=2，得a +b +c =2②， 根据f(0)=3，得c =3，将c =3代入①②，解得a =1，b =−2，所以f(x)的解析式为f(x)=x 2−2x +3；(2)根据题意，x ∈[1,2]，f(x)=x 2−2x +3<mx 恒成立，则x ∈[1,2]，x 2−(2+m)x +3<0恒成立，令g(x)=x 2−(2+m)x +3，所以需满足{f(1)<0f(2)<0，即{1−(2+m)+3<04−2(2+m)+3<0，解得m >3， 所以m 的取值范围是(3,+∞)．【解析】(1)设二次函数f(x)的解析式为f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0,a,b,c 为常数)，根据题意可得{−b 2a =1a +b +c =2c =0，从而求解出a ，b ，c 的值即可得到f(x)的解析式；(2)根据题意可得x ∈[1,2]，x 2−(2+m)x +3<0恒成立，令g(x)=x 2−(2+m)x +3，利用{f(1)<0f(2)<0即可求出m 的取值范围． 本题考查二次函数的性质与图象，二次函数恒成立问题，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)∵t =log 2x ，116≤x ≤4，∴log 2116≤t ≤log 24，即−4≤t ≤2；(Ⅱ)f(x)=(log 2x)2+3log 2x +2，∴令t =log 2x ，则，y =t 2+3t +2=(t +32)2−14，∴当t =−32即log 2x =−32，x =2−32时，f(x)min =−14，当t =2即x =4时，f(x)max =12．【解析】(Ⅰ)由对数函数的单调性，结合116≤x ≤4，我们易确定出t =log 2x 的最大值和最小值，进而得到t 取值范围；(Ⅱ)由已知中f(x)=log 2(4x)⋅log 2(2x)，根据(Ⅰ)的结论，我们可以使用换元法，将问题转化为一个二次函数在定区间上的最值问题，根据二次函数的性质易得答案．本题考查的知识点是对数函数的图象与性质的综合应用，二次函数在定区间上的最值问题，熟练掌握对数函数的性质和二次函数的性质是解答本题的关键．22.【答案】解：(1)由题意知，f(x)是R 上的奇函数，则f(0)=1−a 1+1=0，解得a =1， 经检验，a =1符合题意．故实数a 的值为1；(2)设ℎ(x)=2x −12x +1+2x −b 2x +1=(2x )2+2x+1−1−b 2x +1，由题设知，存在x ∈[0,1]，使得ℎ(x)<0成立，即存在x ∈[0,1]，使得(2x )2+2x+1−1−b <0成立，亦即存在x ∈[0,1]，使得b >(2x )2+2x+1−1成立，令t =2x ∈[1,2]，则存在t ∈[1,2]，使得b >t 2+2t −1成立，则只需b >(t 2+2t −1)min 即可，令g(t)=t 2+2t −1，t ∈[1,2]，由二次函数的性质可知，g(t)在[1,2]上单调递增， ∴g(t)min =g(1)=2，∴b >2，即实数b 的取值范围为(2,+∞)；(3)21−f(x)+x −3=21−2x −12x +1+x +3=2x +x −2，依题意，2x1+x1−2=0，即2x1=2−x1，而log2x2+x2−2=0，即log2x2=2−x2，则22−x2=x2，又方程2x=2−x有且仅有一个根，则x1=2−x2，∴x1+x2=2．【解析】(1)依题意可知函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)=0，由此可求得a的值；(2)问题转化为存在x∈[0,1]，使得b>(2x)2+2x+1−1成立，令t=2x∈[1,2]，则只需b>(t2+2t−1)min即可，利用二次函数的性质可得解；(3)依题意可知2x1=2−x1，22−x2=x2，而方程2x=2−x有且仅有一个根，由此可得x1+x2=2．本题考查函数性质的综合运用，涉及了不等式恒成立以及函数零点等问题，考查转化思想及运算求解能力，属于较难题目．。
四川省眉山市第一中学2019-2020学年高二数学理上学期期末试卷含解析
四川省眉山市第一中学2019-2020学年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于()A．10 B．100 C. D.参考答案：C由正态分布密度曲线上的最高点知＝，∴D(X)＝σ2＝.2. 若，则的值为（）A. B． C．D．参考答案：A3. 设，若，则等于A． B． C． D．参考答案：B略4. 若复数，则（）A. B. C. D.参考答案：D5. 直线交椭圆于M,N两点,MN的中点为P,若(O为原点),则等于 ( )A. B. C. D.参考答案：A6. 函数f(x)＝a x-b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是 ()A.a>1，b<0B. a>1，b>0C.0<a<1，b>0D.0<a<1，b<0参考答案：D7. =（）A. B. C. D.参考答案：B8. “”是“”的（▲ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A9. 数列3，5，9，17，33…的一个通项公式是（）A．an=2n B．an=2n+1 C．an=3n D．an=2n﹣1参考答案：B考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列的项的特点，根据规律性即可得到结论．解答：解：∵3=2+1，5=4+1，9=8+1，17=16=1，33=32+1，∴数列的通项公式可以是an=2n+1，故选：B．点评：本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列项的规律是解决本题的关键10. 如图，空间直角坐标系中，正三角形的顶点，分别在平面和轴上移动．若，则点到原点O的最远距离为A． B．2 C． D．3参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线的倾斜角，直线在x轴截距为，且//，则直线的方程是 .参考答案：x-y-=0略12. 从集合{，，，}中任意取出两个不同的数记作，则方程表示焦点在轴上的双曲线的概率是．参考答案：13. 将89转化为二进制数的结果为参考答案：略14. 已知等比数列的首项为，是其前项的和，某同学计算得，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为参考答案：15. 若（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=____________.参考答案：略16. 已知数列{a n}的通项，把{a n}中的各项按照一定的顺序排列成如图所示的三角形矩阵①数阵中第5行所有项的和为_______；②2019是数阵中第i行的第j列，则_______.参考答案：125 74【分析】①数阵中第5行所有项的和为; ②先利用等差数列求出i和j,即得解.【详解】①；②，，，故，，故.故答案为(1). 125 (2). 74【点睛】本题主要考查推理和等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17. 在用数学归纳法证明，在验证当n=1时,等式左边为_________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)_29
2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页；满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡（纸）上.2.第Ⅰ卷的答寀须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.3.答第Ⅱ卷（非选择题）考生须用0.5mm的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡（纸）的各题目指定的区域内相应位置，如需改动，须先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.否则，该答题无效.4.书写力求字体工整、笔迹清楚.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列关于抛物线的图象描述正确的是（）A. 开口向上，焦点为B. 开口向右，焦点为C. 开口向上，焦点为D. 开口向右，焦点为【答案】A【解析】【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可.【详解】抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，属于基础题.2.在等差数列中，已知，，若时，则项数等于（）A. 96B. 99C. 100D. 101【答案】B【解析】【分析】由等差数列的首项和公差，写出，再列方程求解即可.【详解】在等差数列中，，，，当时，则，解得.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题.3.命题：，，则命题的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析】命题：，是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化.【详解】命题：，，否定时将量词“”变为，再将不等号变为即可，则命题的否定为：，.故选：C.【点睛】本题考查了命题的否定以及全称命题和特称命题，属于基础题.4.若，，则与的大小关系为（）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】利用作差法，即可得出与的大小关系.【详解】，，，.故选：A.【点睛】本题考查了作差法比较大小以及完全平方公式的应用，属于基础题.5.如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由题设条件知，但是推不出，推不出，所以推不出，即可判断.【详解】根据题意得，，推不出，，，推不出，，即，但是推不出，推不出，则推不出，是的必要不充分条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题.6.若双曲线的方程为，其焦点在轴上，焦距为4，则实数等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的焦点在轴上，得到，解出的范围，再根据焦距为4，列方程求解即可.【详解】双曲线的焦点在轴上，，解得，又双曲线的焦距为4，，解得，经检验，符合题意.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及性质，此类题需要注意焦点的位置，属于基础题.7.若实数满足关系式，则的最小值为（）A. B. C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式即可求出最小值.【详解】由题可知，，由基本不等式得，，当且仅当，即时，取等号.因此的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用以及指数运算性质，属于基础题.8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2S4＝a4S2，则（）A. 1B. ﹣1C. 2019D. ﹣2019【答案】A【解析】【分析】先由已知得到公比q=-1,再求的值得解.【详解】由题得，即，所以，所以.所以故选A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 9.已知不等式：①；②；③，若要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出前两个不等式解集，记它们的交集，要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则集合应为不等式③解集的子集，则当时，恒成立，参变分离得，求出时，的范围，即可得解.【详解】不等式①等价于，解得，则不等式①解集为，不等式②等价于，解得，则不等式②解集为，记不等式①和不等式②解集的交集为，则，满足不等式①②的也满足不等式③，当时，恒成立，即恒成立，又当时，，.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，考查了集合间的关系和交集的运算，考查了转化能力，属于基础题.10.已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为A. 4B. 5C. 6D. 4或5【答案】B【解析】由为等差数列，所以，即，由，所以，令，即，所以取最大值时的为，故选B．11.椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )A. B. ± C. D. ±【答案】B【解析】分析：根据椭圆的离心率为，可得和的关系，设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程即可求得.详解：∵椭圆的离心率为∴∴设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程得.∴故选B.点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系．考查了学生对椭圆知识点综合把握，解题中运用“设而不求”、“整体代换”等思想方法的运用，以减少运算量，提高解题的速度.12.数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，数列是等差数列，且，则有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可得，由等比数列的性质可得，利用基本不等式即可判断与大小关系.【详解】数列是等差数列，，数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，，，由基本不等式得，（当且仅当时取等号），等号取不到，，，，A，C错误，D正确；对于B，（当且仅当时取等号），等号取不到，，无法判断与的关系，故B 错误.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了基本不等式的应用，考查了转化能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】由集合可得，从而可得，再由集合的包含关系求出的取值范围即可.【详解】由集合得，解得，，“”是“”的充分不必要条件，集合是集合的真子集，.故答案为：.【点睛】本题考查了根据充分不必要条件求参数范围，考查了根据集合的包含关系求参数范围，属于基础题.14.双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为___________.【答案】【解析】【分析】根据焦点所在位置设出标准方程，结合渐近线斜率即可求解.【详解】由题：双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，所以焦点在轴上，设标准方程为，且，解得：.所以双曲线的标准方程为.故答案为：【点睛】此题考查根据离心率和渐近线方程求双曲线的标准方程，关键在于准确计算，容易漏掉考虑焦点所在坐标轴.15.若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】不等式对任意，恒成立，等价于，和都是正数，由基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】不等式对任意，恒成立，，，，，，由基本不等式得，，（当且仅当，即时取等号），，，解得，的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了基本不等式的应用，考查了不含参的一元二次不等式的解法，考查了转化能力，属于中档题.16.如图所示，是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形.设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_____.【答案】【解析】【分析】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，结合题意得到数列是以为首项，为公比的等比数列，，由此即可求出最小正方形的边长.【详解】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，由题可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，，由题可知，，令，解得，最小正方形的边长为，故答案为：.【点睛】本题以图形为载体，考查了等比数列的通项公式和求和公式，是数列的应用问题，关键在于提炼出等比数列的模型，正确利用相应的公式，属于中档题.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列，记为其前项和（），且，.（Ⅰ）求该等差数列的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式，列方程求出和，即可得解；（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）写出，可得，计算出，即可得解，注意分和两种情况.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，由题意，得，解得，的通项公式，.（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）得，，，或，当时，，当时，.【点睛】本题考查了等差（比）数列通项公式和求和公式，考查了分类讨论的数学思想，考查了计算能力，属于基础题.18.解关于的不等式：.【答案】见解析【解析】【分析】先将分式不等式化为，再讨论的取值，从而得到不等式的解集.【详解】原不等式等价于不等式.（※）①当，即时，不等式（※）等价于，解得；②当，即时，不等式（※）等价于，解得或；③当，即，不等式（※）等价于.（☆）（ⅰ）当时，不等式（☆）等价于，显然不成立，此时不等式（※）的解集为；（ⅱ）当时，，解得；（ⅲ）当时，，解得；综上所述，当时，所求不等式的解集为或；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为；当时，所求不等式的解集为.【点睛】本题考查了分式不等式的解法以及含参一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想，属于基础题.19.已知抛物线：（），其上一点到的焦点的距离为4.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点直线与抛物线分別交于，两点（点，均在轴的上方），若的面积为4，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（1）根据题意，结合抛物线的定义列方程求出，写出抛物线的方程即可；（2）设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合面积公式，列方程求出，即可得解.【详解】解：（Ⅰ）抛物线：（）上一点到的焦点的距离为4，由抛物线的定义，得，解得，所求抛物线的方程为.（Ⅱ）由题意知，直线的斜率一定存在.①当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合题意.②当直线的斜率不为0时，依题意，设直线：，设点，.点均在轴的上方，，，由（Ⅰ）知抛物线的焦点，则.联立直线的方程与抛物线的方程，即，消去并整理得.由，得（因为），且有，，，解得或，又，，：，直线的方程为.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题.20.某国营企业集团公司现有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了激化内部活力，增强企业竞争力，集团公司董事会决定优化产业结构，调整出（）名员工从事第三产业；调整后，他们平均每人每年创造利润万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高％.（Ⅰ）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（Ⅱ）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则实数的取值范围是多少？【答案】（Ⅰ）500名（Ⅱ）【解析】【分析】（1）根据题意可列出，进而解不等式即可求得的范围，从而得解；（2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总利润，进而根据题意列出不等式，转化为不等式恒成立问题，再利用基本不等式，即可得解.【详解】解：（Ⅰ）由题意，得，整理得，解得，又，，最多调整出500名员工从事第三产业.（Ⅱ）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元.则由题意，知当时，恒有，整理得在时恒成立.，当且仅当，即时等号成立，，又，，的取值范围是.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化能力，属于中档题.21.数列的前项和为，，且成等差数列．(1)求的值；(2)证明为等比数列，并求数列的通项公式；(3)设，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围．【答案】(1);(2)见解析;(3).【解析】【分析】，，又成等差数列，解得，当时，得到，代入化简，即可证得结果由得，代入化简得，讨论的取值并求出结果【详解】（1）在中令，得即，①又②则由①②解得.（2）当时，由，得到则又，则是以为首项，为公比的等比数列，，即.（3）当恒成立时，即（）恒成立设（），当时，恒成立，则满足条件；当时，由二次函数性质知不恒成立；当时，由于对称轴，则在上单调递减，恒成立，则满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是.【点睛】本题考查了数列的综合题目，在求通项时可以采用的方法来求解，在求数列不等式时将其转化为含有参量的一元二次不等式问题，然后进行分类讨论求出结果．22.圆：（）过点，离心率为，其左、右焦点分别为，，且过焦点的直线交椭圆于，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点的坐标为，设直线与直线的斜率分别为，试证明：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆过点以及离心率为，结合，列方程组求解，即可得椭圆方程；（Ⅱ）方法一：先考虑直线斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，对于斜率存在的情况，设直线：，与椭圆交点，，联立直线与椭圆的方程，消去并整理，利用判别式及韦达定理，从而可表示出，然后化简求解即可；方法二：先考虑直线斜率为0情况，再考虑直线斜率不为0时，对于斜率不为0的情况，设直线，后续过程同方法一.【详解】（Ⅰ）椭圆：（）过点，.①又椭圆离心率为，，.②联立①②得，解得，椭圆的方程为.（Ⅱ）方法一：当直线斜率不存在时，则，；当直线斜率存在时，设直线：，与椭圆交点，.联立，消去并整理得.由于，，，，，.综上所述，.方法二：当直线斜率为0时，，则；当直线斜率不为0时，设直线：设与椭圆交点，，联立，消去并整理得.由于，，，.，综上所述，.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的综合应用以及椭圆中的定值问题，考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页；满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡（纸）上.2.第Ⅰ卷的答寀须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.3.答第Ⅱ卷（非选择题）考生须用0.5mm的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡（纸）的各题目指定的区域内相应位置，如需改动，须先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.否则，该答题无效.4.书写力求字体工整、笔迹清楚.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列关于抛物线的图象描述正确的是（）A. 开口向上，焦点为B. 开口向右，焦点为C. 开口向上，焦点为D. 开口向右，焦点为【答案】A【解析】【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可.【详解】抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，属于基础题.2.在等差数列中，已知，，若时，则项数等于（）A. 96B. 99C. 100D. 101【答案】B【解析】【分析】由等差数列的首项和公差，写出，再列方程求解即可.【详解】在等差数列中，，，，当时，则，解得.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题.3.命题：，，则命题的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析】命题：，是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化.【详解】命题：，，否定时将量词“”变为，再将不等号变为即可，则命题的否定为：，.故选：C.【点睛】本题考查了命题的否定以及全称命题和特称命题，属于基础题.4.若，，则与的大小关系为（）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】利用作差法，即可得出与的大小关系.【详解】，，，.故选：A.【点睛】本题考查了作差法比较大小以及完全平方公式的应用，属于基础题.5.如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由题设条件知，但是推不出，推不出，所以推不出，即可判断.【详解】根据题意得，，推不出，，，推不出，，即，但是推不出，推不出，则推不出，是的必要不充分条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题.6.若双曲线的方程为，其焦点在轴上，焦距为4，则实数等于（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的焦点在轴上，得到，解出的范围，再根据焦距为4，列方程求解即可.【详解】双曲线的焦点在轴上，，解得，又双曲线的焦距为4，，解得，经检验，符合题意.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及性质，此类题需要注意焦点的位置，属于基础题.7.若实数满足关系式，则的最小值为（）A. B. C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式即可求出最小值.【详解】由题可知，，由基本不等式得，，当且仅当，即时，取等号.因此的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用以及指数运算性质，属于基础题.8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2S4＝a4S2，则（）A. 1B. ﹣1C. 2019D. ﹣2019【答案】A【解析】【分析】先由已知得到公比q=-1,再求的值得解.【详解】由题得，即，所以，所以.所以故选A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和前n项和公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9.已知不等式：①；②；③，若要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出前两个不等式解集，记它们的交集，要同时满足不等式①②的也满足不等式③，则集合应为不等式③解集的子集，则当时，恒成立，参变分离得，求出时，的范围，即可得解.【详解】不等式①等价于，解得，则不等式①解集为，不等式②等价于，解得，则不等式②解集为，记不等式①和不等式②解集的交集为，则，满足不等式①②的也满足不等式③，当时，恒成立，即恒成立，又当时，，.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，考查了集合间的关系和交集的运算，考查了转化能力，属于基础题.10.已知等差数列的前项和为，，，则取最大值时的为A. 4B. 5C. 6D. 4或5【答案】B【解析】由为等差数列，所以，即，由，所以，令，即，所以取最大值时的为，故选B．11.椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为( )A. B. ± C. D. ±【答案】B【解析】分析：根据椭圆的离心率为，可得和的关系，设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程即可求得.详解：∵椭圆的离心率为∴∴设交点纵坐标为，则，代入椭圆方程得.∴故选B.点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系．考查了学生对椭圆知识点综合把握，解题中运用“设而不求”、“整体代换”等思想方法的运用，以减少运算量，提高解题的速度.12.数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，数列是等差数列，且，则有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可得，由等比数列的性质可得，利用基本不等式即可判断与大小关系.【详解】数列是等差数列，，数列是各项均为正数且均不相等的等比数列，，，由基本不等式得，（当且仅当时取等号），等号取不到，，，，A，C错误，D正确；对于B，（当且仅当时取等号），等号取不到，，无法判断与的关系，故B错误.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了基本不等式的应用，考查了转化能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】由集合可得，从而可得，再由集合的包含关系求出的取值范围即可.【详解】由集合得，解得，，“”是“”的充分不必要条件，集合是集合的真子集，.故答案为：.【点睛】本题考查了根据充分不必要条件求参数范围，考查了根据集合的包含关系求参数范围，属于基础题.14.双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为___________.【答案】【解析】【分析】根据焦点所在位置设出标准方程，结合渐近线斜率即可求解.【详解】由题：双曲线的一个焦点为，其渐近线方程为，所以焦点在轴上，设标准方程为，且，解得：.所以双曲线的标准方程为.故答案为：【点睛】此题考查根据离心率和渐近线方程求双曲线的标准方程，关键在于准确计算，容易漏掉考虑焦点所在坐标轴.15.若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】不等式对任意，恒成立，等价于，和都是正数，由基本不等式求出的最小值，即可得解.【详解】不等式对任意，恒成立，，，，，，由基本不等式得，，（当且仅当，即时取等号），，，解得，的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了基本不等式的应用，考查了不含参的一元二次不等式的解法，考查了转化能力，属于中档题.16.如图所示，是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形.设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_____.【答案】【解析】【分析】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，结合题意得到数列是以为首项，为公比的等比数列，，由此即可求出最小正方形的边长.【详解】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，由题可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，，由题可知，，令，解得，最小正方形的边长为，故答案为：.【点睛】本题以图形为载体，考查了等比数列的通项公式和求和公式，是数列的应用问题，关键在于提炼出等比数列的模型，正确利用相应的公式，属于中档题.三、解答题：（本大题共6个小题，共70分：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列，记为其前项和（），且，.（Ⅰ）求该等差数列的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式，列方程求出和，即可得解；（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）写出，可得，计算出，即可得解，注意分和两种情况.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，由题意，得，解得，的通项公式，.（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）得，，，或，当时，，当时，.【点睛】本题考查了等差（比）数列通项公式和求和公式，考查了分类讨论的数学思想，考查了计算能力，属于基础题.18.解关于的不等式：.【答案】见解析【解析】【分析】先将分式不等式化为，再讨论的取值，从而得到不等式的解集.【详解】原不等式等价于不等式.（※）①当，即时，不等式（※）等价于，解得；②当，即时，不等式（※）等价于，解得或；③当，即，不等式（※）等价于.（☆）（ⅰ）当时，不等式（☆）等价于，显然不成立，此时不等式（※）的解集为；（ⅱ）当时，，解得；（ⅲ）当时，，解得；。
眉山市彭山区第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试 数学试题(含答案)】
眉山市彭山区第一中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题一、选择题：每小题5分，共60分.1．已知向量(3,2)=-a ，(2,3)=b ，则a 与bA ．平行且同向B ．垂直C ．平行且反向D ．不垂直也不平行2．不等式23x x ≤的解集为A ．[03]，B ．(,3]-∞C ．(0,3)D ．(,3)-∞ 3．若a b <,则下列不等式成立的是A ．11a b> B ．22a b < C ．lg lg a b < D ．33a b < 4．在中，，则A 为（ ）A. 060或0120B. 060C. 030或0150D.0305．在等腰直角ABC △中，D 是斜边BC 的中点，2AB =，则AB AD ⋅的值为A ．1B ．2C ．3D ．46．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510S =，1030S =，则20S =（ ）A ．80B ．120C ．150D ．1807.下列结论正确的是（ ）A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥；B.一平面截一棱锥得到一个棱锥和一个棱台；C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线8.一个几何体的三视图如右图示，则这个几何体的体积为( ) A． B． C． D． 9．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点D 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点D 向北偏东30°前进100 m 到达点C ，在C 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m10.已知a Z ∈，关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且只有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和为（ ）A ．13B ．18C ．21D ． 26ABC ∆︒===452232B b a ，，aa aa a a 正（主）视图侧（左）视图俯视图11．ABC ∆为圆O 的内接三角形，BC 边的中点为D ，若4,2==AC AB ，则AD AO ⋅为( ) A.2 B ．4 C.5 D.612.设等差数列{}n a 满足：22222222272718sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-．若当且仅当=11n 时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ） A. 9(,)10ππ B. 11[,]10ππ C. 9[,]10ππ D. 11(,)10ππ 二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量()1,3a =，()3,4b =，则a 在b 方向上的投影为______.14. 已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______．15．若正数,a b 满足1a b +=，则9a a b+的最小值为______ 16.下列五个命题中正确的是 ________。
四川省眉山市彭山区第一中学2020-2021学年高二10月月考数学(文)试题
彭山一中高2022届高二（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共60分）1. 用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形面，这个几何体不可能是（ ）A. 棱锥B. 圆锥C. 圆柱D. 正方体C判断出圆柱的截面图形即可求解. 圆柱的截面的图形只有矩形或圆形，∴如果截面是三角形，那么这个几何体不可能是圆柱.故选：C本题考查了几何体的截面图形，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.2. 在空间，下列命题中正确的是（ ）A. 垂直于同一直线的两条直线平行B. 垂直于同一平面的两条直线平行C. 平行于同一直线的两个平面平行D. 平行于同一平面的两条直线平行B根据线面平行、线面垂直的性质，对4个命题分别进行判断，即可得出结论．对于A ，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，不正确；对于B ，垂直于同一平面的两条直线平行，正确；对于C ，平行于同一直线的两个平面平行或相交，不正确；对于D ，平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，不正确；．故选：B ．本题考查线面平行、线面垂直的性质，考查学生的空间想象能力，属于基础题．3. 已知过点()()2,,,4M a N a -的直线的斜率为12-，则a =（ ） A. 2B. 4C. 6D. 10 D 根据直线上两点坐标以及斜率有1212y y k x x -=-，即可求参数a . 由题意知：4122a a -=-+，解得10a =，故选：D 本题考查了直线的斜率，根据直线上两点以及直线的斜率求参数，属于简单题.4. 已知水平放置的ABC 按"斜二测画法"得到如图所示的直观图，其中1B O C O '''==，32A O ''=,那么ABC 是一个（ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形A 根据斜二测画法还原ABC 在直角坐标系的图形，进而分析出ABC 的形状，可得结论． 解：根据斜二测画法还原ABC 在直角坐标系的图形，如图则''2BC B C ==，2''3AO A O ==，22312AC AB ==+= 所以ABC 是一个等边三角形故选：A. 本题考查根据斜二测画法还原在直角坐标系的平面图形并判断形状，考查了数形结合的思想，是基础题.5. 如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是( )A. B. C. D.由直观图可知，此几何体侧视图是从左边向右边看，图形是正方形，对角线应该是左上到右下方向的虚线，C 符合题意．故选C.6. 在如图所示的四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是（ ） A. B. C. D.A根据正方体的性质判断异面直线的夹角即可知正确选项.根据各选项图形知：A 中AB ⊥CD ；B 中AB 和CD 的夹角为60︒；C 中AB 和CD 的夹角为45︒；D 中AB 和CD 的夹角为2；故选：A本题考查了利用正方体的性质判断异面直线是否垂直，属于基础题.7. 设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若,//m n αα⊂，则,m n 为异面直线； ②若//,//αγβγ，则//αβ；③若,,m m βγαβ⊥⊥⊥，则αγ⊥； ④若,,//m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥.则上述命题中真命题的序号为（ ）A. ①②B. ③④C. ②③D. ②④C根据空间直线与平面的关系，结合面面平行、垂直的判定即可知正确命题.①若,//m n αα⊂时，若//m n 则,m n 不是异面直线；④若,,//m n m n αβ⊥⊥，则//αβ；而②③是正确的.故选：C.本题考查了空间直线与平面的关系，结合线线关系、面面关系的判定判断正误，属于基础题. 8. 已知(),(3,5)11,A B ，则线段AB 垂直平分线的方程为（ ）A. 230x y ++=B. 240x y -+=C. 210x y --=D. 290x y +-=根据垂直有121k k =-，平分有平分线过AB 的中点，即可写出垂直平分线方程.由题意知：直线AB 的斜率为51213k -==--，且AB 的中点为(2,3)， ∴线段AB 垂直平分线的斜率112k k '=-=，即垂直平分线为13(2)2y x -=-， 整理有：240x y -+=，故选：B本题考查了由直线垂直求直线方程，根据两线垂直斜率之积为1-，平分线过中点的应用，属于基础题.9. 有一根蜡烛点燃6min 后，蜡烛长为17.4cm ；点燃21min 后，蜡烛长为8.4cm.已知蜡烛长度l (cm)与燃烧时间t (min)可以用直线方程表示，则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时（ ）A. 25minB. 35minC. 40minD. 45min B根据已知条件可知直线方程的斜率k 及所过的点，进而得到直线方程，再求蜡烛从点燃到燃尽所耗时间即可.由题意知：蜡烛长度l (cm)与燃烧时间t (min)可以用直线方程，过(6,17.4),(21,8.4)两点，故其斜率8.417.432165k -==--， ∴直线方程为38.4(21)5l t -=--， ∴当蜡烛燃尽时，有2114t -=，即35t =，故选：B本题考查了利用直线方程解决实际问题，根据已知数据得到直线方程并求预测值，属于简单题. 10. 在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90A 由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ∆中，即可求解．由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,因为正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1， 所以1,BO ACBO AA ⊥⊥，因为1AC AA A =∩，所以BO ⊥平面11ACC A ，所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，因为222113131(),(2)()2222BO C O =-==+=， 所以11332tan 332BO BC O OC ∠===， 所以0130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．11. 已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32πA由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形， 由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OAOO O A OO r ∴⊥==+=+=，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 12. 如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）A. B. C.D.B试题分析：由题意知，MN ⊥平面BB 1D 1D ，则MN 在底面ABCD 上的射影是与对角线AC 平行的直线，故当动点P 在对角线BD 1上从点B 向D 1运动时，x 变大y 变大，直到P 为BD 1的中点时，y 最大为AC ．然后x 变小y 变小，直到y 变为0，因底面ABCD 为正方形，故变化速度是均匀的，且两边一样．故答案为B ．考点：函数的图像与图像项变化．点评：本题考查了函数图象的变化，根据几何体的特征和条件进行分析两个变量的变化情况，再用图象表示出来，考查了作图和读图能力．属于中档题．二、填空题（每题5分，共20分）13. 已知三点A （2，3）、B （-1，2)、C （5，m )共线，则m =________.4利用向量共线的坐标表示即可求解.由A （2，3）、B （-1，2)、C （5，m )，则()3,1AB =--，()3,3AC m =-，因为三点共线，可得()()33130m ----⨯=，解得4m =，故答案为：4本题考查了向量共线的坐标表示，需熟记公式，属于基础题.14. 已知直线l 经过点A ()3,2.且它的倾斜角是直线33y x =的倾斜角的两倍，则直线l 的斜截式方程为________________. 31y x =-由33y x =知此直线的斜率为33，设直线33y x =的倾斜角为θ，所以6πθ=，设直线l 的倾斜角为α，所以3πα=，斜率为tan tan 33πα==，代入点斜式即可得解. 由33y x =知此直线的斜率为33， 设直线33y x =的倾斜角为θ， 可得3tan θ=，所以6πθ=， 设直线l 的倾斜角为α， 则3πα=，斜率为tan tan 33πα==，根据点斜式可得：3(3)2y x =-+，整理可得：31y x =-.故答案为：31y x =-.本题考查了求直线方程，考查了直线方程的点斜式，同时考查了倾斜角和斜率之间的关系，属于基础题.15. 如图所示，扇形的中心角为90°，弦AB 将扇形分成两个部分，这两部分各以AO 为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体体积1V 和2V 之比为__________.11:设扇形的半径为R ，根据Rt AOB △绕AO 旋转一周形成圆锥，扇形绕AO 旋转一周形成半球面，分别求得1V ，2V 可得答案．设扇形的半径为R ，Rt AOB △绕AO 旋转一周形成圆锥体积3113V R π=，扇形绕AO 旋转一周形成半球面，其围成的半球的体积323V R π=， 33321211333V V V R R R πππ∴=-=-=， 12:1:1V V ∴=． 故答案为：1:1．本题考查了直角三角形的旋转体及圆弧的旋转体，考查锥体与球体的体积公式，关键是判断旋转体的形状和旋转体的旋转半径，属于基础题．16. 如图，矩形ABCD 中，4,2AB BC ==，E 为边AB 的中点，沿DE 将ADE 折起，点A 折至1A 处（1A ∉平面ABCD ），若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 折起过程中，下列说法正确．．的是_________.①始终有//MB 平面1A DE②存在某个位置，使得A 1E ⊥平面A 1DC③异面直线BM 与1A E 所成角的大小与点A 1的位置有关④点M 在某个球面上运动①④对于①，延长CB ，DE 交于H ，连接1A H ，运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得//BM 平面1A DE ，即可判断①正确；对于②，利用反证法证明不存在某个位置，使得A 1E ⊥平面A 1DC ，即可判断②错误； 对于③，证明1A EG ∠是异面直线BM 与1A E 所成的角或所成角的补角，且是一个定值，即可判断③错误；对于④，证明MB 是定值，即得点M 在某个球面上运动，即可判断④正确. 对于①，延长CB ，DE 交于H ，连接1A H ，由E 为AB 的中点，可得B 为CH 的中点，又M 为1A C 的中点，可得1//BM A H ，BM ⊂/平面1A DE ，1A H ⊂平面1A DE ，则//BM 平面1A DE ，故①正确；对于②，假设存在某个位置，使得A 1E ⊥平面A 1DC ，由题得1122,2,DE EC A E A D ====因为A 1E ⊥平面A 1D C ，所以11A E A C ⊥,所以21822AC =-=,在1DCA △中，11A D A C DC +=,显然不成立，所以②错误；对于③，24AB AD ==，过E 作//EG BM ，G ∈平面1A DC ，则1A EG ∠是异面直线BM 与1A E 所成的角或所成角的补角，且11A EG EA H ∠=∠，在1EA H 中，12EA =，22EH DE ==，2212222222cos13525A H =+⨯-⨯⨯⨯︒=， 则1EA H ∠为定值，即1A EG ∠为定值，故③错误；对于④，如图所示，1MFB EDA ∠=∠（定值），1112MF DA ==,22DE BF ==由余弦定理得22182122cos 9422MB MFB =+-⨯⨯∠=-,所以MB 是定值.所以点M 在某个球面上运动.所以④正确.故答案为：①④本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查空间角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题.（共70分，写出必要的解题步骤和文字说明） 17. 如图，在平行四边形OABC 中，点A （3，0），点C （1，3）.（1）求AB 所在直线的方程；（2）过点C 作CD ⊥AB 于点D ，求CD 所在直线的方程. （1）y =3x -9；（2）x +3y -10=0.（1）由AB OC k k =，利用点斜式即可求解.（2）根据直线垂直，斜率之间的位置关系可得CD k ，利用点斜式即可求解. （1）平行四边形OABC ，点A （3，0），点C （1，3），//AB OC ∴，AB 所在直线的斜率为30310AB OC k k -===-， ∴AB 所在直线方程()033y x -=-，即39y x =-.（2）在平行四边形OABC 中，//AB OC ，CD AB ⊥，CD OC ∴⊥，CD ∴所在直线的斜率为13CDk ， ∴CD 所在直线方程为()1313y x -=--， 即x +3y -10=0.本题考查了直线平行、直线垂直斜率之间的关系、点斜式求直线方程，考查了基本运算求解能力，属于基础题.18. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知2BAC π∠=，2AB =，23AC =，2PA =.求：（1）三棱锥P ABC -的体积；（2）异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． （1433；（2）34. （1）根据棱锥的体积公式，先求出ABC 的面积，再利用体积公式计算体积即可. （2）利用直线平行的性质，求出异面直线所成角的大小. （1）1223232ABCS=⨯⨯=， 三棱锥P ABC -的体积为114323233ABCV SPA =⨯⋅=⨯=， （2）如图，取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则||BC ED ，所以ADE ∠ (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成角．在ADE 中，2DE =，2AE =2AD =， 222222223cos 22224AD DE AE ADE AD DE +-+-∠===⨯⨯⨯⨯，故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.本题主要考查三棱锥的体积公式，以及异面直线所成角的大小，属于中档题. 19. 已知直线l 过点()1,4，且在x 、y 轴上的截距依次为a 和b ， （1）若a 与b 互为相反数，求直线的l 方程；（2）若0a >，0b >，当+a b 取得最小值时，求直线l 的方程. （1）4y x =或30x y -+=；（2）260x y +-=.（1）当0,0a b ==时，设:l y kx =，再代入()1,4即可得到答案，当0,0a b ≠≠，则可设:1x y l a b+=，再代入()1,4即可得到答案.（2）首先设直线l 的方程为:1x yl a b +=，根据题意得到141a b+=，从而得到()1445b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式即可得到答案.（1）若0,0a b ==，则可设:l y kx =， 因为直线l 过点()1,4，即4k =，所以:4l y x =若0,0a b ≠≠，则可设:1x yl a b+=，因为直线l 过点()1,4所以143130a ab b a b ⎧=-+=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩，此时，:30l x y -+=.综上，直线的l 方程为4y x =或30x y -+=；（2）设直线l 的方程为:1x yl a b +=，直线l 过点()1,4，所以141a b+=.因为0,0a b >>所以()14445259b ab a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥⋅+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4b aa b=，即3a =，6b =时取等号. 此时直线l 的方程为136x y+=，即260x y +-=.本题主要考查直线的截距式方程，同时考查了基本不等式求最值，属于中档题.20. 如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上的点，4AB =，3BC =，30MDC ∠=.（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ； （2）求直线AM 与面ABCD 所成角的正切值. （1）证明过程见详解；（26（1）先证明BC ⊥DM 和DM ⊥CM ，再结合BC CM C ＝证明DM ⊥平面BMC ，最后结合DM ⊂平面AMD 证明平面AMD ⊥平面BMC .（2）先判断直线AM 与面ABCD 所成角为MAE ∠，再求AE =32最后求直线AM 与面ABCD 所成角正切值.（1）证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM . 因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM . 又BC CM C ＝，所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC .（2）过点M 作ME ⊥CD ，垂足为E ，连接AE ，则由平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD 知ME ⊥平面ABCD ，从而直线AM 与面ABCD 所成角为MAE ∠. 在Rt MDC 中，因为30MDC ∠=，4DC =，所以CM =2，ME =3. 在Rt MCE 中，221CE MC ME =-=，则3DE DC CE AB CE =-=-=, 在Rt ADE △中，222232AE AD DE BC DE =+=+=， 在Rt AEM △中，36tan 32ME MAE AE ∠=== 所以直线AM 与面ABCD 所成角的正切值为6.本题考查利用线面垂直证明面面垂直、利用定义法求线面所成角，是中档题.21. 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为17.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .（1）证明：GH ∥EF ；（2）若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积. （1）证明见解析；（2）18.（1）利用线面直线与平面平行的性质定理，分别证得GH ∥BC 和EF ∥BC ，即可证得GH ∥EF . （2）连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK ，分别证得PO ⊥AC 和PO ⊥BD ，进而得到GK 是梯形GEFH 的高，结合梯形的面积，即可求解.（1）因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC ， 又因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面ABCD ，且平面ABCD ∩平面GEFH ＝EF ，所以EF ∥BC ， 所以GH ∥EF .（2）如图所示，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . 因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ， 同理可得PO ⊥BD ，又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD ，又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH ， 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD .从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高， 由AB ＝8，EB ＝2，得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1:4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点，再由PO ∥GK ，得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4， 由已知可得OB ＝2，PO 2268326PB OB -=-=，所以GK ＝3， 故四边形GEFH 的面积S ＝2GH EF +·GK ＝482+×3＝18.本题主要考查了线面平行的判定与性质定理，以及正棱锥的结构特征和截面面积的计算，其中解答中熟记线面平行的判定定理和性质定理，以及正棱锥的结构特征，结合梯形的面积公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.22. 如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，∠BAD ＝3，AB ＝1，CD ＝3，MPC 上一点，且MC ＝2PM .（1）证明：BM //平面P AD ；（2）若AD ＝2，PD ＝3，求点D 到平面PBC 的距离. （1）证明见解析；（2）355. （1）过点M 作ME //CD ，交PD 于点E ，连接AE ，先证明四边形ABME 为平行四边形，可得 BM //AE ，再根据线面平行的判定定理可得BM //平面P AD ；（2）设点D 到平面PBC 的距离为h ，则三V 三棱锥D －PBC ＝13·S △PBC ·h 5，求出三棱锥P －BDC 的体积为V 三棱锥P －BDC 33V 三棱锥D －PBC ＝V 三棱锥P －BDC 求解即可. （1）过点M 作ME //CD ，交PD 于点E ，连接AE .因为AB //CD ，故AB //EM .又因为MC ＝2PM ，CD ＝3，且△PEM ∽△PDC ，故13EM PM DC PC ==，解得EM ＝1. 由已知AB ＝1，得EM =AB ，故四边形ABME 为平行四边形，因此BM //AE ， 又AE ⊂平面P AD ，BM ⊄平面P AD ， 所以BM //平面P AD .（2）连接BD ，由已知AD ＝2，AB ＝1，∠BAD ＝3π， 可得DB 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB ·cos ∠BAD ＝3， 即DB ＝3.因为DB 2＋AB 2＝AD 2，故△ABD 为直角三角形，且∠ABD ＝2π. 因为AB ∥CD ，故∠BDC ＝∠ABD ＝2π. 因为DC ＝3，故BC 2223DC DB +=. 由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥DB ，PD ⊥DC ，故PB 2223PD DB +=PC 2232PD DC +=， 则BC ＝PB ，故△PBC 为等腰三角形，其面积为S △PBC ＝12·PC ·221122BC PC ⎛⎫-= ⎪⎝⎭×2× 9122-＝3152. 设点D 到平面PBC 的距离为h ，则三V 三棱锥D －PBC ＝13·S △PBC ·h ＝152h 而直角三角形BDC 的面积为S △BDC ＝12·DC ·DB ＝12×3×333三棱锥P－BDC的体积为V三棱锥P－BDC ＝13·S△BCD·PD＝13×2×3＝2.因为V三棱锥D－PBC ＝V三棱锥P－BDC，即2h＝2，故h＝5.所以点D到平面PBC.本题主要考查线面平行的判断定理，考查锥体的体积公式，同时考查了利用“等积变换”法求点到平面的距离，属于中档题.。