2019学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学数学答案(高二)
= (a1 + a2 + + an ) + (b1 + b2 + + bn ) …………………………10 分
= 11n + n(n −1) (−2) + 1 (1− 2n )
2
1− 2
………………………14 分
= 2n − n2 +12n −1
………………………………15 分
20. （I）证：连接 AC1 交 A1C 与 F，连接 EF .
1 2n−1
5 ，当n 3
= 1时，显然成立
2
………………15 分
| AB |= 2
4 − d12 = 2
4k 2 + 3 …………………………………10 分 1+ k2
由 ME ⊥ l2 , ME / /l1,即M 到l1的距离等于PE
所以 S△ABE = S△ABM =
4k 2 + 3 1+ k2
| 3k | = 3 (4k 2 + 3)k 2 …………………12 分
当 y=0 时得 x=5,即 B(5,0)…………………………………6 分
(II) AB = (5 −1)3 + (0 − 2)2 = 2 5 …………………………8 分
高为 d = | 3 + 8 − 5 | = 6 5 ………………12 分 1+ 4 5
所以面积为
S
=
1 2
2
5 6 5 = 6 ……14 分 5
13. 6 ，11
9
10
D
A
14. 1,（-3,1）
15. 10 10
16. 2 2
17. 11 2
三、解答题：（本大题共 5 小题，共 74 分，本参考答案只提供一种解法，其它答解答请酌
情给分.）
18.
.解：（Ⅰ）由题意得 kAB
=−1 2
，AB 直线方程为： x + 2 y − 5 = 0 …………4 分
19.（I）设公差为
d,共比
q,由
a2 a3
+ +
b2 b3
= 11 = 11
d + q =
2d+q30 =0
得 d = −2, q = 2 …4 分
所以 an = 13 − 2n,bn = 2n−1 …………………………………………8 分 （II）Tn = a1 + b1 + a2 + b2 + + an + bn
c2c3 c4
c5
1+ cn cn+1
cn+1
=
a2 c2a3
a3 a4
an an+1
cn+1
= cn+1 = 1 + 1 + …+ 1 + 1
an+1 a1 a2
an−1 an
…………………………………12 分
又因为 1 + 1 + a1 a2
+ 1 + 1 = 1+ 1 +
an−1 an
2019 学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高二年级数学学科参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
D
B
B
C
B
二、填空题（共 7 小题，多空每题 6 分，单空每题 4 分，共 36 分）
11.（1,2）， -3
12. 4 + 4 15 ， 4 +20 33
所以 cn = 1 + 1 + …+ 1 , cn+1 = 1 + 1 + …+ 1 + 1
an a1 a2
an−1 an+1 a1 a2
an−1 an
所以 cn+1 − cn = 1 ,所以 1+ cn = an (n 2且n N *) 成立． …………8 分
an+1 an an
cn+1
an+1
在 Rt△AOE 中， A1O =
3, OE
=
1 2
,
A1E
=
1+3 = 4
13 2
即 OH = AO OE = 39 AE 13
sin OAH = OH = 39 OA 13
…………………………………15 分
21. 解（1）设直线 l2 方程为 y = k2 x +1 ， 由圆心 M（3，1）到直线的距离 d = | 3k2 | = 1 ……………………3 分 1+k22
E, F 分别为 AB，AC1 的中点
EF / /BC1 又 EF 平面A1EC
BC1 / /平面A1EC
……………………………………………6 分
(II)解：取 AC 中点 O，连接 OE，A1O，作 OH ⊥ A1E 于 H，连 AH
平面A1AC ⊥ 平面ABC, A1O ⊥ AC, A1O 平面A1AC
22：(1)因为点 (an +1, an+1 +1) 在直线 y = 2x 上，所以 an+1 +1 = 2(an +1) ，
所以 an +1 = ( 2n−1 a1 +1) = 2n ，所以 an = 2n −1
……………4 分
(2)
(i)因为 cn
=
an
(
1 a1
+
1 a2
+…+ 1 ) an−1
1+k 2
(1+ k 2 )2
= 3 1 − 5 + 4=3 (1 − 5)2 + 4 − 25
t2 t
t2
4
( 2 70 , 6) 其中t = 1+ k 2 (9, +),即1 (0, 1) ……………………14 分
3
t9
所以S△ABE的取值范围是( 2
70 3
, 6]
……………………………15 分
(ii)由(i)可知， c1
= a1
= 1 ， c2
= a2
= 3 ,当 n 2 时， 1+ cn cn+1
=
an an+1
Tn
=
(1 +
1 c2
)(1 +
1 )…(1+ c3
1 cn
)
=
1+ c2 c2
1+ c3 c3
1+ c4 c4
1+ cn cn
= 1+ c2 1+ c3 1+ c4
得 8k22 = 1,即k2 =
2 所以 l2 方程为 y = 4
2 x +1…………6 分 4
（II）① 当l1斜率不存在是S△ABE
=
1 43 2
=
6 …………8
分
②设 l1 方程为 y = kx +1，l2 方程为 y = − 1 x +1，即 x + ky − k = 0 k
由 l2 与圆 M 相交得： d = | 3 + k − k | 1 解得 k 2 8 1+ k2
A1O ⊥ 平面ABC
…………………………………………8 分
AB 平面ABC, A1O ⊥ AB
OE / /BC,OE ⊥ AB
由A1O OE = O, AB ⊥ 平面A1EO 平面ABB1A1 ⊥ 平面A1OH …………………………………………10 分 又 OH ⊥ A1E, 平面A1OE 平面ABB1A1 = A1E OH ⊥ 平面ABB 1A1 ，即 AH 为 AO 在平面 ABB1A1 内的射影 OAH 为所求线面角………………………………………………12 分
3
+
1 2n−1 −1
+
1 2n −1
1 = 1 1 = 1 (n 2) an 2n −1 2n − 2n−2 3 2n−2
当n
2时，Tn
=
1 a1
+
1 a2
+ …+
1 an−1
+1 an
1+ 1 + 3
1 32
+… 3
1 2n−2
1+
1 3
−
3
1 2n−2
1- 1
1
3
=
5 3
−
9
浙江省杭州地区含周边重点中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简 至标准正弦型三角函数，再求最小正周期即可；
（2）根据题意，求得 的范围，结合正弦函数单调性，即可求得值域.
【详解】（1）∵
∴ 的最小正周期
（2）因为 ，所以
因为 在 上是增函数，在 上是减函数，
而 ， ，
所以 在 的值域为 .
【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，涉及正弦型三角函数的值域和最小正周期的求解，属综合基础题.
【解析】
【分析】
（1）利用 的关系，进行下标缩放，即可容易求得 ；由等差数列的基本量，列出方程组，即可求得 ；
（2）利用数学归纳法进行分步证明即可.
【详解】（1）因为
所以
相减得
由 得 ，
所以数列 是以 ，公比为 的等比数列，
∴
而 ，数列 为等差数列，
又 ，不妨设其公差为 ，
由 可得 ，
解得 或 （舍）（数列 单调递增）
浙江省杭州地区（含周边）重点中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）
一、选择题
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合的交运算，即可求得结果.
【详解】因为 ，
故可得 .
故选：C.
【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.
2. 若复数 ，其中i为虚数单位，则 =
故 有 个极小值点，1个极大值点.
故选：A.
【点睛】本题考查函数极值点的求解，涉及数形结合，以及函数单调性的判断，属综合中档题.
10. 设数列 满足 ， 对任意的 恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【20套试卷合集】杭州学军中学2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角的大小是（ ） A ．B ．C ．D ．2. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ）A ．（0，2）2B ．（2，0）4C ．（－2，0）2D ．（2，0）23．点（2，3，4）关于x 轴的对称点的坐标为（ ）A.(-2，3，4)B.(2，-3，-4)C.(-2，-3，4)D.(-2，-3，-4)4. 有下列四个命题：①“若0=+y x ，则y x ,互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则022=++q x x 有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题；其中真命题为（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④5.圆x 2+y 2+2x=0和x 2+y 2﹣4y=0的公共弦所在直线方程为（ ）A ．x ﹣2y=0B ．x+2y=0C ．2x ﹣y=0D ．2x+y=06.圆与圆的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离7.设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是（ ）A ．相切B ．相交且直线过圆心C ．相交且直线不过圆心D ．相离9.圆上的点到直线的距离最大值是( )A ．2B ．1+C ．D ．1+ 10.已知直线，圆，则直线和圆在同一坐标系中的图形可能是（ ）二填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题纸的相应位置.）11. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ，体积是12. 在空间直角坐标系中，若点A （1，2，﹣1），B （﹣3，﹣1，4）．则|AB|=13.已知命题，使成立，则： ．14.经过点（3，-2），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是15．直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点16.如图，在正方体111ABCD A B C D -中，①异面直线1A D 与1D C 所成的角为60度；②直线1A D 与平面11AB C D 所成的角为30度；③1D C ⊥平面11AB C D ④平面1ADB 与平面11BB C C 所成角为60度⑤平面11//A D 平面1ADB 以上命题正确的是答题纸 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题纸的相应位置.）11、 ， ；12、 ；13、14、 ；15、 ；16、三解答题：（本题共4小题，共36分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.）17.（7分）求经过点M(2,-2),且与圆2260x y x+-=与224x y+=交点的圆的方程18.（9分）已知直线：，：，求当为何值时，与：（1）平行；（2）相交；（3）垂直19. （10分）已知圆及直线. 当直线被圆截得的弦长为时，求（1）的值；（2）求过点并与圆相切的切线方程.20.（10分）过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA。
2019-2020学年浙江省杭州市第四中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省杭州市第四中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点()12，的圆的方程是（ ） A ．()2221x y +-= B ．()2221x y ++= C ．()()22131x y -+-= D ．()2231x y +-=【答案】A【解析】根据圆心的位置及半径可写出圆的标准方程，然后将点()12，代入圆的方程即可求解. 【详解】因为圆心在y 轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为()0,b ，则圆的方程为22()1x y b +-=，又点()12，在圆上，所以()2121b +-=，解得2b =. 故选：A 【点睛】本题主要考查圆的标准方程的求解，属于基础题.2．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为（ ） A ．3 a 2B ．3 a 2 C ．6 a 2 D ．6 a 2 【答案】D【解析】由斜二测画法画出正三角形ABC 的直观图A B C '''∆，作直观图A B C '''∆的底边A B ''的高，进而求高，再由三角形的面积公式求得结果。
【详解】如图①②所示的实际图形和直观图.由斜二测画法可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝2O ′C ′a .所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a 2.故选：D . 【点睛】本题考查几何体的直观图，考查基本应用求解能力，属于基础题。
求几何图形的直观图的面积，方法一，根据斜二测画法，作出直观图，再求直观图的面积；方法二，直观图的面积与原平面图形的面积比为4。
3．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a b ⊥，a α⊥，b α⊄，则//b α；②若//a α，a β⊥，则αβ⊥；③若a β⊥，αβ⊥，则//a α或a α⊂；④若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥．其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】设直线a ，b 的方向向量分别为11,a b ，α，β的法向量分别为11,n m ，将各选项中的题设条件转化为向量的关系后可得相应的结论是否成立. 【详解】对于①，因为a b ⊥，a α⊥，故11a b ⊥，11a n λ=，故11n b ⊥，因b α⊄，故//b α， 故①正确.对于②，因为//a α，a β⊥，故11a n ⊥，11a m λ=，故11n m ⊥即αβ⊥，故②正确. 对于③，因为a β⊥，αβ⊥，故11a m λ=，11n m ⊥，故11n a ⊥即//a α或a α⊂， 故③正确.对于④, 因为a b ⊥，a α⊥，b β⊥，故11a b ⊥，11a n λ=，11b m μ=， 故11n m ⊥即αβ⊥，故④正确. 故选：D. 【点睛】本题考查空间中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，此类问题一般是根据位置关系的判定定理和性质定理来考虑，也可以利用直线的方向向量和法向量的关系来判断位置关系，本题属于中档题.4．若直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则k ，b 的直线分别为（ ）A ．12k =，4b =- B ．12k =-，4b = C ．12k =，4b =D ．12k =-，4b =-【答案】A【解析】由圆的对称性可得20x y b ++=过圆的圆心且直线y kx =与直线20x y b ++=垂直，从而可求出,k b .【详解】因为直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称， 故直线y kx =与直线20x y b ++=垂直，且直线20x y b ++=过圆心()2,0， 所以()21k ⨯-=-，2200b ⨯++=，所以12k =，4b =-. 故选：A 【点睛】本题考查直线方程的求法，注意根据圆的对称性来探求两条直线的位置关系以及它们满足的某些性质，本题属于基础题.5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．18365+B ．54185+C ．90D ．81【答案】B【解析】【详解】试题分析：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，其底面面积为：3×6=18， 前后侧面的面积为：3×6×2=36，左右侧面的面积为：223362185⨯+⨯= ， 故棱柱的表面积为：183618554185++=+ ． 故选B ．点睛：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体（包括多面体、旋转体和组合体）的结构特征是高考中的热点问题.6．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，则下列结论正确的是（ ）A ．,,A M O 三点共线B ．1,,,A M O A 不共面C ．,,,A M C O 不共面D ．1,,,B B O M 共面【答案】A【解析】根据公理确定点共面与点共线，再根据异面直线判定定理判定共面问题，即得结果. 【详解】连接11,A C AC ，则11AC AC ∥，所以11,,,A C C A 四点共面.所以1AC ⊂平面11ACC A . 因为1M A C ∈，所以M ∈平面11ACC A .又因为M ∈平面11AB D ， 所以点M 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上.同理点O 在平面11ACC A 与平面11AB D 的交线上，所以,,A M O 三点共线. 故选：A【点睛】本题考查异面直线判定定理以及利用公理判定点共面与点共线，考查基本分析判断能力，属中档题.7．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-或35B ．32-或23-C ．54-或45- D ．43-或34- 【答案】D【解析】点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出． 【详解】解：点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0． ∵反射光线与圆（x +3）2+（y ﹣2）2＝1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d 232231k k k ----==+1，化为24k 2+50k +24＝0， ∴k 43=-，或k 34=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．8．如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长(包括底面边长)都是2，E ，F 分别是AB ，11A C 的中点，则EF 与侧棱1C C 所成的角的余弦值是( )A ．B C ．12D ．2【答案】B【解析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点F ，取AC 的中点G ，连接FG ，EG ，∠EFG 为EF 与侧棱C 1C 所成的角，在直角三角形EFG 中求出此角即可． 【详解】解：取AC 的中点G ，连接FG ，EG 根据题意可知FG ∥C 1C ，FG ＝C 1C ； 而EG ∥BC ，EG 12=BC ； ∴∠EFG 为EF 与侧棱C 1C 所成的角，在Rt △EFG ，cos ∠EFG 5= 故选B ． 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．9．在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（ ） A ．43-B ．54-C ．35D ．53-【答案】A【解析】化圆C 的方程为22(4)1x y -+=，求出圆心与半径，由题意，只需22(4)4x y -+=与直线2y kx =+有公共点即可．【详解】解：圆C 的方程为228150x y x +-+=，整理得：22(4)1x y -+=，即圆C 是以(4,0)为圆心，1为半径的圆；又直线2y kx =+上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆22:(4)4C x y '-+=与直线2y kx =+有公共点即可．设圆心(4,0)C 到直线2y kx =+的距离为d ， 则2|42|21k d k+=+，即234k k -，403k ∴-． k ∴的最小值是43-．故选：A ． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“22(4)4x y -+=与直线2y kx =+有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．10．已知三棱锥P ABC -的底面积ABC 是边长为23的正三角形， A 点在侧面PBC 内的射影H 为PBC ∆的垂心，二面角PAB C 的平面角的大小为60︒，则AP 的长为（ ）A ．3B ．32C ．7D ．4【答案】C【解析】连结BH 交PC 于点E ，连结AE ，设P 在底面ABC 内的射影为O ，则PO ⊥平面ABC ，连结CO 交AB 于点F∵A 点在侧面PBC 内的射影H 为PBC ∆的垂心 ∴AH ⊥平面PBC ，BE PC ⊥ ∴AH PC ⊥∵BE AH H ⋂=，BE ⊂平面ABE ，AH ⊂平面ABE∴PC ⊥平面ABE ∴PC AB ⊥ ∵AB平面ABC ，PO ⊥平面ABC∴PO AB ⊥∵PO PC P ⋂=，PO ⊂平面PFC ，PC ⊂平面PFC ∴AB ⊥平面PFC ∵CO ⊂平面PFC ∴AB CO ⊥ 同理可证AC BO ⊥ ∴O 是ABC ∆的垂心∴三棱锥P ABC -为正三棱锥∵三棱锥P ABC -的底面ABC 是边长为∴BF =3CF =，则1FO =∵二面角P AB C --的平面角的大小为60︒ ∴PFC ∠为二面角P AB C --的平面角 在Rt POF ∆中，60PFC ∠=︒，1FO = ∴2PF =在Rt PFA ∆中，2PF =，AF =∴AP ==故选C点睛：本题重点考查空间中点线面的位置关系，属于中档题．首先，判断三棱锥P ABC -为正三棱锥，然后，根据异面直线所成的角的定义可得PFC ∠为二面角P AB C --的平面角，解直角三角形即可得解.二、填空题11．圆()()221:29C x m y -++=与圆()()222:14C x y m ++-=内切，则m 的值为______.【答案】2-或1-【解析】首先根据题中圆的标准方程求出圆的圆心与半径，再根据两圆相切求出m 的值为.【详解】圆1C 的圆心为(),2m -，半径为13r =， 圆2C 的圆心为()1,m -，半径为22r =， 所以两圆的圆心距()()2212d m m =+++，又因为两圆内切，有()()22121m m +++=，解得2m =-或1m =-. 故答案为：2-或1-. 【点睛】本题主要考查了圆的位置关系，根据圆的标准方程求半径与圆心，属于基础题. 12．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是__________． 【答案】(0，2)【解析】解：设四面体的底面是BCD ，BC=a ，BD=CD=1，顶点为A ，AD=2在三角形BCD 中，因为两边之和大于第三边可得：0＜a ＜2 （1） 取BC 中点E ，∵E 是中点，直角三角形ACE 全等于直角DCE ，所以在三角形AED 中，AE=ED=21()2a -，∵两边之和大于第三边，所以，由由（1）（2）得02a <<，故a 的取值范围是(0,2) 13．在ABC ∆中，2AB =，32BC =，0120ABC ∠=，若将ABC ∆绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是__________．【答案】32π 【解析】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，所以3OB=1所以旋转体的体积:()213··3?.32OC OB ππ-= 故答案为：32π．14．已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数a =________． 【答案】415【解析】试题分析：由于ABC ∆为等边三角形，故弦长2AB r ==，根据直线与圆相交，所得弦长公式为222AB r d =-2221a d a -=+，22221,13r d d r -==-=22231a a -=+，解得415a =±【考点】直线与圆的位置关系，解三角形．【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式222AB r d =-.由于ABC ∆为等边三角形，故弦长2AB r ==，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式0022Ax By C d A B++=+.在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径.15．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-顶点在同一球面上，则该球的体积为_________．【答案】3π 【解析】取BC 的中点为M ，可证明M 为四面体A BCD '-外接球的球心，求出半径后可求其体积. 【详解】取BC 的中点为M ，连接,AM DM ，因为平面A BD '⊥平面BCD ，BD CD ⊥，平面A BD'平面BCD BD =，CD ⊂平面BCD ，故CD ⊥平面A BD '.因为BA '⊂平面A BD '，故CD BA '⊥. 因为1A B A D ''==，2BD =，故222BD A B A D ''=+，故''⊥BA A D ，又A D DC D '⋂=，故'⊥BA 平面ACD '，因为A C '⊂平面ACD '，故A D A C ''⊥，而M 为BC 的中点，故MA MB MC '==， 同理MD MB MC ==，故M 为四面体A BCD '-外接球的球心. 又22123BC BD CD =+=+=3故体积为3434333=323422ππ⎛⨯⨯⨯⨯⨯= ⎝⎭，故答案为：2. 【点睛】本题考查四面体外接球的半径的求法，此类问题一般是先确定球心的位置，再把球的半径放置在可解的平面图形中处理，如果球心的位置不易确定，则可以通过补体的方法来处理，本题属于中档题.16．已知直线3y ax =+与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点()00,P x y 在直线2y x =上，且PA PB =，则0x 的取值范围为______． 【答案】（﹣1，0）∪（0，2）【解析】由题意可得CP 垂直平分AB ，且 y 0＝2x 0．由00201x x -+•a ＝﹣1，解得x 0121a -=+，把直线y ＝ax +3代入圆x 2+y 2+2x ﹣8＝0化为关于x 的一元二次方程，由△＞0，求得a 的范围，从而可得x 0的取值范围． 【详解】解：圆x 2+y 2+2x ﹣8＝0 即 （x +1）2+y 2＝9，表示以C （﹣1，0）为圆心，半径等于3的圆．∵|P A |＝|PB |，∴CP 垂直平分AB ， ∵P （x 0，y 0）在直线y ＝2x 上，∴y 0＝2x 0． 又CP 的斜率等于00201x x -+，∴00201x x -+•a ＝﹣1，解得x 0121a -=+． 把直线y ＝ax +3代入圆x 2+y 2+2x ﹣8＝0可得，（a 2+1）x 2+（6a +2）x +1＝0． 由△＝（6a +2）2﹣4（a 2+1）＞0，求得 a ＞0，或a 34-＜． ∴﹣1121a -+＜＜0，或 0121a -+＜＜2． 故x 0的取值范围为 （﹣1，0）∪（0，2）， 故答案为：（﹣1，0）∪（0，2）． 【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，不等式的性质应用，属于中档题．17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，16AB =，10BC =，18AA =．点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，过点E 、F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH ．则1A E 与1D F 的大小关系是______．【答案】相等【解析】根据条件及线面关系证明EF ∥A 1D 1，再结合正方体性质可证得四边形A 1EFD 1是平行四边形． 【详解】因为四边形EFGH 是正方形，所以EF ⊥EH ，又EF ⊥AA 1， 所以EF ⊥平面ABB 1A 1， 又因为A 1D 1⊥平面ABB 1A 1， 所以EF ∥A 1D 1，因为D 1F ∥A 1D ，所以四边形A 1EFD 1是平行四边形， 所以A 1E ＝D 1F ． 故答案为：相等． 【点睛】本题考查线面关系，考查逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．三、解答题18．已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1=3AA ，点D 为AC 的中点，点E 在线段1AA 上．（1）当1:1:2AE EA =时，求证1DE BC ⊥；（2）是否存在点E ，使三棱锥1C BDE -的体积恰为三棱柱111ABC A B C -体积的13，若存在，求AE 的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）证明BD ⊥DE ，说明△ADE 是直角三角形，求出∠ADE ＝30°，说明△DCC 1是直角三角形，求出∠C 1DC ＝60°，然后证明DE ⊥BC 1．（2）设AE ＝h ，利用111111DEC AA C C AEDDCC EA C SS SSS=---，通过11C BDE B C DEV V --=求出棱锥的体积，利用三棱锥C 1﹣BDE 的体积恰为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积的13，求出h ，然后说明存在E 即可． 【详解】解：（1）证明：因为正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，所以三角形△ABC 是正三角形，又因为D 是AC 的中点，所以BD ⊥AC ，又平面ABC ⊥平面CAA 1C 1，所以BD ⊥DE ，因为AE ：EA 1＝1：2，AB ＝2，1AA =AE =AD ＝1， 所以在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°， 在Rt △DCC 1中∠C 1DC ＝60°， 所以∠EDC 1＝90°即：DE ⊥BC 1．（2）设AE ＝h ，则A 1E h =， ∴111111DEC AA C C AEDDCC EA C SS SSS=---)12h h =-12h =+， ∵BD ⊥平面ACC 1A 1，1111132226C BDE B C DEV V h h --⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭又1232V =⨯=棱柱，∴112=解得：h =故存在点E ，E 为A 1时，即AE ，三棱锥C 1﹣BDE 的体积恰为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积的13， 【点睛】本题考查直线与直线的垂直的证明，棱锥的体积的求法，存在性问题的解题的策略，考查空间想象能力以及逻辑推理与计算能力．19．已知圆22:2430C x y x y ++-+=．（1）若直线l 与圆C 相切，且直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； （2）求与圆C 和直线50x y --=都相切的最小圆的方程． 【答案】（1）x +y +1＝0，或者x +y ﹣3＝0（2）22319()()222x y -++=【解析】（1）设直线的方程为x +y ＝k ，直线l 与圆C 相切，d ==|1﹣k |＝2，得k ＝﹣1或者3；（2）根据与圆C 和直线x ﹣y ﹣5＝0都相切的最小圆在圆C 到直线x ﹣y ﹣5＝0的直线上，求出半径和圆心，即可求出答案． 【详解】解：（1）设直线的方程为x +y ＝k ，圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y +3＝0的标准方程为（x +1）2+（y ﹣2）2＝2，若直线l 与圆C 相切，d ==|1﹣k |＝2，得k ＝﹣1或者3，所以直线l 的方程为x +y +1＝0，或者x +y ﹣3＝0；（2）根据题意，由于5d ==，所以直线x ﹣y ﹣5＝0与圆C 相离，所求最小的圆心一定在过圆C 的圆心（﹣1，2）的直线y ＝﹣x +1上，且到直线x ﹣y﹣5＝0的距离为2，设最小的圆心为（a ，1﹣a ），所以2d ===，|2a ﹣6|＝3， 得92a =，或者32a =，根据题意32a =， 所以最小的圆的方程为22319()()222x y -++=．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相切及最值问题，考查转化能力与计算能力，属于中档题.20．如图，在四棱锥E ABCD -中，平面CDE ⊥平面ABCD ，90DAB ABC ∠=∠=︒，1AB BC ==，3AD ED ==，2EC =．（1）证明：AB ⊥平面BCE ；（2）求直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析（2）3010【解析】（1）推导出EC ⊥CD ，从而CE ⊥面ABCD ，再由CE ⊥AB ，AB ⊥BC ，由此能证明AB ⊥面BCE ；（2）过A 作AH ⊥DC ，交DC 于H ，则AH ⊥平面DCE ，连结EH ，则∠AEH 是直线AE 与平面DCE 所成的平面角，由此能证明直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值． 【详解】（1）∵∠DAB ＝∠ABC ＝90°， ∴四边形ABCD 是直角梯形， ∵AB ＝BC ＝1，AD ＝ED ＝3，EC ＝2． ∴CD 221(31)5=+-= ∴CE 2+DC 2＝DE 2，∴EC ⊥CD ，∵面EDC ⊥面ABCD ，面EDC ∩面ABCD ＝DC ， ∴CE ⊥面ABCD ，∴CE ⊥AB ，又AB ⊥BC ，BC ∩CE ＝C ， ∴AB ⊥面BCE ．（2）过A 作AH ⊥DC ，交DC 于H ， 则AH ⊥平面DCE ，连结EH ，则∠AEH 是直线AE 与平面DCE 所成的平面角，∵11222AD BC DC AH AB AB BC +⨯⨯=⨯-⨯⨯， ∴AH ()11311113522152+⨯-⨯⨯==AE ()2226AB CE BC =++=，∴sin ∠AEH 3010=， ∴直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值为3010．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．21．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，E 为AB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为6．（1）在棱PD 上求一点F ，使AF 平面PEC ； （2）求二面角D PE A --的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）3131【解析】（1）分别取PD ，PC 的中点F ，G ，由三角形中位线定理及平行公理可得四边形AEGF 为平行四边形，得AF ∥EG ，由线面平行的判定可得AF ∥平面PEC ，则PD 的中点F即为所求；（2）由已知可得∠CPE 即为PC 与平面P AB 所成的角，求解直角三角形得到P A ＝2，过D 作BA 的延长线的垂线，垂足为H ，过H 作PE 的垂线，垂足为K ，连接KD ，可得∠DKH 即为所求的二面角的平面角，然后求解直角三角形得答案． 【详解】（1）分别取PD ，PC 的中点F ，G ，则FG ∥CD ∥AB ，1122FG CD AB AE ===， ∴四边形AEGF 为平行四边形，则AF ∥EG ，又FG ⊂平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC ， ∴PD 的中点F 即为所求；（2）由P A ⊥平面ABCD ，可得平面P AB ⊥平面ABCD ， ∵E 为AB 中点，且BC ＝2BE ＝2，∠CBE ＝60°，∴CE ⊥AB ． ∴∠CPE 即为PC 与平面P AB 所成的角，在Rt △PEC 中，CE CP ==， 解得：P A ＝2，过D 作BA 的垂线，垂足为H ，过H 作PE 的垂线，垂足为K ，连接KD ， ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥DH ， 又DH ⊥BA ，∴DH ⊥平面PBA ，∴DH ⊥PE ，则PE ⊥平面DHK ，得PE ⊥DH ， ∴∠DKH 即为所求的二面角的平面角，在Rt △DHK 中，DH = 由于PE •HK ＝EH •P A ，∴EH PA HK PE ⋅==从而DK ==∴31KH cos DKH DK ∠==，即二面角D ﹣PE ﹣A ．【点睛】本题考查线面平行的判定，考查了二面角平面角的求法，正确找出二面角的平面角是解答该题的关键，是中档题．22．在平面直角坐标系xOy中，过点(0,1)P且互相垂直的两条直线分别与圆O：224x y+=交于点A，B，与圆M：22(2)(1)1x y-+-=交于点C，D．（1）若372AB=CD的长；（2）若CD中点为E，求ABE∆面积的取值范围．【答案】（13（2）354⎤⎥⎣⎦.【解析】（1）先由AB的长度求出圆心O到直线AB的距离，列方程求出直线AB的斜率，从而得到直线CD的斜率，写出直线CD的方程，用垂径定理求CD得长度；（2）△ABE的面积1S AB PE2=⋅，先考虑直线AB、CD平行于坐标轴的情况，不平行时先由垂径定理求出AB，再在△PME 中用勾股定理求出PE，将面积S表示成直线AB斜率k的函数式，再求其范围.【详解】解：（1）因为ABO 半径为2 所以点O 到直线AB 的距离为14显然AB 、CD 都不平行于坐标轴 可设AB ：y kx 1=+，即kx y 10-+= 则点O 到直线AB的距离1d 4==，解得k =因为AB ⊥CD ，所以1k CD k=- 所以CD ：1y x 1k=-+，即x ky k 0+-= 点M （2,1）到直线CD的距离1d 2=='所以CD ===（2）当AB ⊥x 轴，CD ∥x 轴时，此时AB=4，点E 与点M 重合，PM=2，所以△ABE 的面积S=4当AB ∥x 轴，CD ⊥x 轴时，显然不存在，舍 当AB 与CD 都不平行于坐标轴时由（1）知AB ===因为d'1=≤，所以23k ≥因为点E 是CD 中点，所以ME ⊥CD ，所以PE ===所以△ABE的面积1S AB PE 2=⋅= 记21t 1k =+，则10t 4<≤ 则S ,42⎡⎫==⎪⎢⎪⎣⎭ 综上所述：S 4⎤∈⎥⎣⎦【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理求弦长，三角形面积的最值，在设直线方程时一定要先考虑斜率可能不存在的情况.第 21 页共 21 页。
2019学年第一学期浙北g2期中联考高二数学试题答案
浙北G2期中联考2019学年第一学期高二数学参考答案一．选择题ACCDD CBDCC 二．填空题11. 12；8． 12．83． 13．2-；2． 14. x ﹣y +1＝0．15．． 16．． 17．三．解答题 18．解：（1）如图所示，设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r ，且∠ASO ＝30°.在Rt △SO ′A ′中，sin 30rSA '︒＝，∴SA ′＝2r .在Rt △SOA 中，sin 302rSA︒＝，∴SA ＝4r .∴SA －SA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，r ＝a . 故圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a .（2）过点B 作AO BH ⊥于点H ，连接H A ', ⊥'O O 面AOB ,BH O O ⊥'∴,⊥∴BH 面A O AO '',H A B '∠∴为B A '与平面A O AO ''所成的角， a BH a OH a OB AOB o 3,,2120==∴==∠，，a H A 7='，='='∠∴='BA BHH A B a B A sin ,101030 19．证明：（1）,E F 分别是,AC BC 的中点，//EF AB ∴。
又EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，//EF ∴平面PAB .（2）在三角形PAC 中，PA PC =，E 为AC 中点， PE AC ∴⊥。
平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =， PE ∴⊥平面ABC 。
PE BC ∴⊥。
又//,90EF AB ABC ∠=︒，EF BC ∴⊥，又EF PE E ⋂=， BC ∴⊥平面PEF 。
∴平面PEF ⊥平面PBC 。
20. 解：(1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切． 当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.2=，解得34k ＝∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)2=，解得a ＝0或43a ＝.(3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为，∴22(42+=，解得34a ＝－.21．（1）证明：折叠前，,BE EC BA AD ⊥⊥， 折叠后,BA A C BA A D ''''⊥⊥又A C A D A '''⋂=，所以BA '⊥平面A CD '， 因此BA CD '⊥。
浙江省杭州地区(含周边)重点中学2018-2019学年高一上学期期中联考数学试题(解析版)
2018-2019学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学高一年级数学学科试题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合,且,则实数等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据,以及与的并集,确定出的值即可.【详解】,且，所以，，故选A.【点睛】本题主要考查并集的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.2.下列从集合到集合的对应关系中，其中是的函数的是A. ，对应关系,其中B. ，对应关系,其中C. ,对应关系,其中D. ，对应关系,其中【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义：集合中每一个元素，在集合中都有唯一元素与之对应，逐一判断即可.【详解】对于，中的奇数在中无元素与之对应不是的函数；对于,中每个元素在中都有两个不同元素对之对应，不是的函数；对于,中每个元素在中都有唯一元素与之对应，是的函数；对于,中在中没有元素对应，不是的函数，故选C.【点睛】本题主要考查函数的定义，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.3.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义域以及对数函数的定义域列不等式组求解即可.【详解】要使函数有意义，必须满足，解得，函数的定义域为，故答案为,故选C.【点睛】本题主要考查幂函数与对数函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.4.已知（是个无理数，），则下列不等关系正确的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的单调性与对数函数的单调性，分别判断的取值范围，然后比较大小即可.【详解】由指数函数的性质可得，，，根据对数函数的性质可得，，，即，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5.下列函数中，是奇函数且在区间上是增函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性的定义与单调性的定义，分别判断选项中的函数是否是奇函数且在区间上是增函数即可. 【详解】对于，在上是减函数，不合题意；对于，是偶函数，不合题意；对于，在上是减函数，不合题意；对于，，是奇函数，，在上递增，合题意，故选D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数） .6.已知实数且，则在同一直角坐标系中，函数的图象可能是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：当时，函数的图象只有D满足要求，当时，函数的图象，无满足要求的答案，故选D.考点：对数函数、幂函数的图象和性质.7.已知函数，则函数的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算法则将函数化为，利用配方法可得结果.【详解】化简，即的最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.8.定义在上的函数满足:对任意有，则A. 是偶函数B. 是奇函数C. 是偶函数D. 是奇函数【答案】D【解析】【分析】设，由，，由特值法求得，令，可得结果.【详解】设，由，可得则，令，得，令，，是奇函数，故选D.【点睛】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断与是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(奇函数)或(偶函数)是否成立．9.已知二次函数，分别是函数在区间上的最大值和最小值，则的最小值A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】讨论二次函数的对称轴位置，分别判断二次函数的单调性，利用单调性求出最大值与最小值，分别求出的范围，综合四种情况可得结果.【详解】当，即时，；当，即时，；当，即时，；当，即时，，综上所述，最小值为1，故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质以及分类讨论思想的应用，属于难题. （1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．10.已知实数，实数满足方程，实数满足方程，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因为是的解，是的解，所以分别是和与的图象交点的横坐标，可得，根据函数图象关于对称，可得利用基本不等式可得结果.【详解】因为是的解,是的解，所以分别是和与的图象交点的横坐标，可得，的图象与的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称，点关于直线对称，设关于直线对称的点与点重合，则，故的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，属于难题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.非选择题部分二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）11.已知指数函数，则函数必过定点____【答案】【解析】【分析】由函数恒过点，令函数指数为0 ,可得定点坐标.【详解】由函数恒过点，可得当,即时，恒成立，故函数恒过点,故答案为.【点睛】本题主要考查指数函数的几何性质，属于简单题.函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.12.计算：_____【答案】【解析】【分析】直接利用对数与幂指数的运算法则求解即可,解答过程注意避免出现计算错误.【详解】，故答案为.【点睛】本题主要考查对数的运算法则、幂指数的运算法则，属于简单题.求解对数、幂指数的化简求值题时，注意两点：一是熟练掌握运算法则；二是注意避免出现计算错误.13.已知函数，那么的值为____【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，从而可得的值.【详解】，且，，，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．14.已知，则_____【答案】【解析】【分析】令得，可得，从而可得到所求的函数解析式.【详解】由题意，得，因为，则，，故答案为.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.15.已知是定义在上的奇函数，对于任意且，都有成立，且，则不等式的解集为_____【答案】【解析】【分析】先判断在上递减，根据奇偶性可得上递减，，分两种情况讨论，解不等式组可得结论.【详解】当，恒成立，；当，恒成立，恒成立，在递减，又在上是奇函数，在和在上递减，由不等式可得，或，不等式的解集为，故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.16.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______【答案】【解析】【分析】根据复合函数的单调性可得在区间上单调递减，且在区间上恒为正数，由此列不等式组求解即可.【详解】设，则单调递增，在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，且在区间上恒为正数，，解得，即实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.17.已知函数，若恒成立，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】函数写出分段函数的形式，判断在上递减，在上递增，可得的最小值，从而列不等式可得结果.【详解】因为，所以，，可得，，,在上递减，在上递增，，恒成立，或，，故的最小值为2，故答案为2.【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.三、解答题（本大题共4小题，共52分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.已知集合；（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围。
2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高二上学期期中数学试题(解析版)
设 是棱 靠近 的三等分点，过 的截面图像为A选项对应的图像.
故C选项的图像不可能.
故选C.
【点睛】
本小题主要考查球与内接正方体的截面问题，考查空间想象能力，考查分析与思考问题的能力，属于基础题.
7．设实数 ， 满足条件 且 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
.
（2）由于 平面 ，所以几何体的体积为 .
【点睛】
本小题主要考查三视图还原为原图，考查三棱锥的表面积和体积的计算，属于基础题.
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，AD＝AC＝2，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD且PO＝4，M为PD的中点.
（1）证明：MO∥平面PAB；
本题考查根据直观图面积求解原图面积的问题，关键是能够熟练掌握直观图与原图的面积之比.
3．设m，n为两条直线，若直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，下列说法正确的是（）
①若α∥β，则m⊥n②若α⊥β，则m∥n③若m∥n，则α⊥β④若m⊥n，则α∥β
A．①④B．②③C．①③D．③④
【答案】C
【解析】根据线面平行和垂直以及面面平行和垂直的定义和性质分别进行判断，∴m⊥平面β，
∵n⊂平面β，∴则m⊥n成立，故①正确，；
②若α⊥β，∵m⊥平面α，∴m∥β或m⊂β，
∵n⊂平面β，∴m∥n不一定成立，故②错误；
③若m∥n，则n⊥平面α，则α⊥β成立，故③正确；
④若m⊥n，则α∥β不一定成立，故④错误.
故正确的是①③.
故选：C.
【答案】A
【解析】对 分成 三种情况进行分类讨论，利用基本不等式求得 的最小值.
【详解】
依题意 成立，故 .由于 ，所以 且 .
高中数学 人教A版(2019)2023-2024学年浙江省杭州高二(上)期中数学试卷
（校本试卷）2023-2024学年浙江省杭州四中下沙校区高二（上）期中数学试一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）A ．（2，-3）B ．（2，3）C ．（-3，2）D ．（3，2）1．（5分）直线2x -3y +1=0的一个方向向量是（ ）A ．y =±x B ．y =±x C ．y =±x D ．y =±x 2．（5分）双曲线-=1的渐近线方程是（ ）x 24y 2932239449A ．a +b +cB ．a +b +cC ．a +b +cD ．a +b +c3．（5分）如图，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点，且OA =a ，OB =b ，OC =c ，则向量OQ 可表示为（ ）→→→→→→→13→16→16→16→13→13→13→13→16→16→16→13→A ．B ．C ．D ．4．（5分）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =AA 1=4，∠BAD =90°，∠BAA 1=DAA 1=60°，则异面直线A 1C1所成角的余弦值是（ ）M 3323M 3613A ．直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆5．（5分）已知线段AB 的端点B 的坐标是（2，1），端点A 在抛物线y =x 2上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹为（ ）6．（5分）已知直线l 1：kx -y +2=0与直线l 2：x +ky -2=0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x -y -4=0的距离的二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）A ．+1B ．+2C ．3D ．4值为（ ）√2√2√2√2A ．B ．C ．D ．7．（5分）已知椭圆C ：+=1（a >b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作倾斜角为的直线与椭圆相交于A 点，若=2B ，则椭圆C 的离心率e 为（ ）x 2a2y 2b2π6AF 2→→F 22M 39133445A ．平面ABD ⊥平面BCDB ．线段PQ 的最小值为C ．当AQ =QC ，4PD =DB 时，点D 到直线PQ 的距离为D ．当P ，Q 分别为线段BD ，CA 的中点时，PQ 与AD 所成角的余弦值为8．（5分）如图，在菱形ABCD 中，AB =，∠BAD =60°，沿对角线BD 将△ABD 折起，使点A ，C 之间的距离为2，若P ，Q 分别为线段BD ，CA 上的动点，则下列说法错误的是（ ）4M 33√2√2√1414M 64A ．A 1B ∥平面CDB 1B ．平面CDB 1与平面A 1B 1C 1夹角的余弦值为C ．直线CB 1与平面AA 1B 1B 所成角的正切值为D ．点A 1到平面CDB 1的距离为9．（5分）已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都是2，D ，E 分别是A 1C 1，A 1B 1的中点，则（ ）M 55M 1052M 55A ．直线（1+3m ）x -（1+m ）y +2=0（m ∈R ）恒过定点（1，3）B ．圆x 2+y 2=4上有4个点到直线l ：x -y +=0的距离都等于1C ．圆：++2x =0与圆：+-4x -8y +m =0恰有一条公切线，则m =410．（5分）以下四个命题表述正确的是（ ）√2C 1x 2y 2C 2x 2y 2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）D ．已知圆C ：x 2+y 2=1，点P 为直线x +y -2=0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过点（，）1212A ．直线PA ，PB 均与圆O 相切B ．若a =5，b =-4，则直线AB 的方程为5x -4y -16=0C ．当PA =PB =4时，点M 在圆x 2+y 2=8上运动D ．当PA =PB =3时，点P 在圆x 2+y 2=5上运动11．（5分）已知圆O ：x 2+y 2=16，点P （a ,b ）在圆O 外，以线段OP 为直径作圆M ，与圆O 相交于A ，B 两点，则（ ）A ．双曲线C 的方程为-=1B ．双曲线-=1与双曲线C 共渐近线C ．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C 有两个交点D ．存在无数个点，使它与D ，E 两点的连线的斜率之积为312．（5分）如图为陕西博物馆收藏的国宝一一唐金筀宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C ：-=1（a ＞0，b ＞0）的右支与直线x =0，y =4，y =-2围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C 与坐标轴交于D ，E ，则（ ）x 2a 2y 2b 210M 332M 393x 23y 29y 23x 213．（5分）已知直线l 1：（m +3）x +5y =5-3m ,l 2：2x +（m +6）y =8，若l 1∥l 2，则m 的值是．14．（5分）如图，锐二面角α-l -β的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知AB =4，AC =BD =6，CD =2，则锐二面角α-l -β的平面角的余弦值是．M 1015．（5分）如图，A ，B 是双曲线-=1（a ＞0，b ＞0）上的两点，F 是双曲线的右焦点．△AFB 是以F 为顶点的等腰直角形，延长BF 交双曲线于点C ．若A ，C 两点关于原点对称，则双曲线的离心率为．x 2a 2y 2b 2四、解答题（本答题共6小题，满分70分）16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：（x -2）2+（y -2）2=20与x 轴交于A 、B （点A 在点B 的左侧），圆C 的过点G （4，3），分别过E 、F 作圆C 的切线，交点为P ，则线段AP 的最小值为．17．（10分）已知点A （1，4），B （3，1），直线：l ：y =ax +2，（1）若AB 是直线l 的一个方向向量，求a 的值；（2）若直线l 与线段AB 有交点，求a 的范围．→18．（12分）如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点．（1）证明：PA ∥平面BDE ；（2）求二面角B -DE -C 的余弦值．19．（12分）已知A （0，0，0），B （2，5，0），C （1，3，5）．（1）求AC 在AB 上的投影向量；（2）若四边形ABCD 是平行四边形，求顶点D 的坐标；（3）若点P （0，3，0），求点P 到平面ABC 的距离．→→20．（12分）如图，已知圆O：x 2+y 2=4和点A （2，2），由圆O 外一点P （a ,b ）向圆O 引切线PQ ，Q 为切点，且|PQ |=|PA |．（1）求a 2+b 2的最小值；（2）以P 为圆心作圆，若圆P 与圆O 有公共点，求半径最小的圆P 的方程．21．（12分）已知过点P （1，0）的直线l 与抛物线C ：x 2=2py （p >0）相交于A ，B 两点，当直线l 过抛物线C 的焦点时，|AB 8．（1）求抛物线C 的方程；（2）若点Q （0，-2），连接QA ，QB 分别交抛物线C 于点E ，F ，且△QAB 与△QEF 的面积之比为1：2，求直线AB 的方程．22．（12分）如图，已知：A ，B 为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）长轴的两个端点，P （x 0，y 0）是椭圆C 上不同于A ，B 的一点，从原点O 向圆P ：+=（r ＞0）作两条切线分别交椭圆C 于点M ，N ，记直线OM ，ON ，AP ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，（1）若圆P 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆P 的半径．（2）若k 1•k 2=k 3•k 4，求半径r 的值．x 2a 2y 2b 2（x -）x 02（y -）y 02r 2。
高中数学 人教A版(2019)2023-2024学年浙江省杭州高二(上)期中数学试卷 (2)
2023-2024学年浙江省杭州四中吴山校区高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）A ．B ．C ．D ．1．（5分）直线x +y =1的倾斜角为（ ）M 3π35π6π62π3A ．c >b >aB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a2．（5分）某校素质运动会上，10个男生的引体向上个数依次为15，17，14，12，10，17，17，16，12，14，设这组数据的平均数为a ,中位数为b ,众数为c ,则（ ）A ．（x -3）2+（y +4）2=10B ．（x +3）2+（y -4）2=100C ．（x -3）2+（y +4）2=25D ．（x +3）2+（y -4）2=253．（5分）过A （6，0）和B （0，-8）两点的面积最小的圆的标准方程为（ ）A ．a -b +c B ．-a +b +cC ．a +b -c D ．a +b -c4．（5分）如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，M 在线段OA 上，且OA =3AM ，点N 为BC 中点，则MN =（ ）→→→→→→→12→23→12→23→12→12→12→12→12→23→→12→A ．B ．C ．D ．5．（5分）已知l 1∥l 2，l 1：2x +y +4=0，l 2：6x +ay +2=0，则它们的距离为（ ）2M 5152M 55M 552M 53A ．10B ．20C ．30D ．406．（5分）已知经过椭圆+=1的右焦点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，F 1是椭圆的左焦点，则△AF 1B 的周长为（ ）x 225y 2167．（5分）已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件A 有10个样本点，事件B 有8个样本点，事件A ∪B 有16个样本点，则二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．少选得2分，多选得0分）A ．B ．C ．D ．P （A ∩B ）=（ ）49191316A ．直线A 1P 与BD 所成的角不可能是B ．当B 1P =2PC 时，点D 1到平面A 1BP 的距离为C ．当B 1P =2PC 时，AP =D ．若P =C ，则二面角B -A 1P -B 1的平面角的正弦值为8．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为线段B 1C 上的动点，则下列结论错误的是（ ）π6232√143→B 113→B 1M 36A ．-6B ．8C ．D ．-9．（5分）已知椭圆+=1的离心率e =，则k 的值可能是（ ）x 22k +8y 21812114114A ．m =0.025B ．A 班该月平均每天产生的饮料瓶比B 班更多C ．若A 班和B 班6月产生饮料瓶数的上四分位数分别是x 1和x 2，则x 1<x 2D ．已知该校共有学生1500人，则约有300人6月份产生饮料瓶数在[40，50）之间10．（5分）目前学校教室内垃圾中饮料瓶所占体积最大，很轻易的就将班级内垃圾桶塞满，给班级卫生带来极大挑战．某热心小组为了研究饮料瓶给班级带来的卫生压力，随机调查了A 班和B 班6月份每天产生饮料瓶的数目（单位：个），并按[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70]分组，分别得到频率分布直方图如下．下列说法正确的是（ ）11．（5分）若对圆x 2+y 2=1上任意一点P （x ,y ），|4x -3y +m |+|4x -3y -9|的取值与x 、y 无关，则实数m 的取值可以是（ 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18题到22题每题12分）A ．3B ．4C ．5D ．6）A ．设向量OE 旋转后的向量为a ，则|a |=2B ．点E 的轨迹是以为半径的圆C ．设OE 在平面α上的投影向量为b ，则|b |的取值范围是[1，2]D ．直线OE 在平面α内的投影与直线BC 所成角的余弦值的取值范围是[，1]12．（5分）如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长均为4，点O 和点E 分别为棱BC 和棱A 1B 1的中点，先将底面ABC 置于平面α内，再将三棱柱绕BC 旋转一周，则以下结论正确的是（ ）→→→M 5M 19→→→M 5M 5513．（5分）过点（2，-3），在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 ．14．（5分）已知空间向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，m =a +b ，n =λa +b ，＜a ，b ＞=60°，若m ⊥n ，则λ的值为．→→→→→→→→→→→→→→15．（5分）若一组10个数据a 1、a 2、⋯、a 10的平均数为3，方差为6，则++⋯+=．a 12a 22a 10216．（5分）已知某30°的直角三角板斜边长10cm ,动点P 到直角顶点距离始终为15cm ,记P 到三角板斜边两个端点距离分别为l （c m ），m （cm ），则l 2+m 2范围为（单位平方厘米）．17．（10分）为了了解学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性等，某学校对在校1500名学生进行了一次坐位体前屈测试，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取75人，已知这1500名学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2cm 和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2cm 和17.56．（1）求样本中男生和女生应分别抽取多少人；（2）求抽取的总样本的平均数，并估计全体学生的坐位体前屈成绩的方差．（参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，x ，，，y ，．记总样本的平均数为ω，样本方差为s 2，则={[+（x -ω]+[+（y -ω]}．n 1s 12n 2s 22s 21+n 1n 2n 1s 12）2n 2s 22）218．（12分）已知空间三点A （0，-2，3）、B （-2，-1，6）、C （1，1，5）．（1）若向量m 与AB 平行，且|m |=，求m 的坐标．→→→√14→（2）若向量n 分别与CB 、CA 垂直，且|n |=，求n 的坐标．（3）求以CB 、CA 为邻边的平行四边形的面积．→→→→M 3→19．（12分）已知△ABC 的顶点A 的坐标为（-2，1），AB 边上的中线CM 所在的直线方程为x -2y -1=0，∠ABC 的平分线BN 所在的直线方程为7x +y -12=0．（1）求点B 的坐标；（2）求直线BC 的方程20．（12分）浙江省高考目前实行“3+3”模式，其中一个“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，另一个“3”指的是考生需要在物理、化学、生物、政治、历史、地理和技术中任选3科，同学们的选科会出现35种不同的组合．已知2024年浙大竺可桢学院图灵班选科要求是物理和化学双选，其他5个科目任选1科．（1）从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合2024年浙大竺可桢学院图灵班招生选科要求的概率；（2）假设甲、乙两人选择任意1个选科组合是等可能的，求这两人中有且只有一人的选科组合符合2024年浙大竺可桢学院图灵班招生选科要求的概率．21．（12分）如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =3，AD =AA 1=2，点E 在AB 上，且AE =1．（1）求直线D 1E 与A 1C 所成角α的余弦值．（2）在图中画出面ABC 1与面A 1EC 的交线并求出该交线在长方体内部的长度．（3）求点B 1到平面A 1EC 的距离．22．（12分）已知圆C 过点A （2，6），圆心在直线y =x +1上，截y 轴弦长为2．（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 半径小于10，点D 在该圆上运动，点B （3，2），记M 为过B 、D 两点的弦的中点，求M 的轨迹方程；（3）在（2）的条件下，若直线BD 与直线l ：y =x -2交于点N ，证明：|BM |•|BN |恒为定值．M 5。
2019学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学技术答案(高二)
绝密★考试结束前2019学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学高二年级技术学科试题考生须知：1．本卷满分100分，考试时间90分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷。
第一部分：信息技术(共50分)二、非选择题（本大题共4小题，其中第13小题6分，第14小题6分，第15小题7分，第16小题7分，共26分）13.① Val(Text1.Text) (2 分) val不写，给1分② else (2 分)③ s (2 分)14.① month - 1 (2 分)② Val(Mid(days, 2 * i - 1, 2)) (2 分) val不写，给1分③ sum + 1 (2 分)15.(1) 5 (1分)(2)① qz * 10 (2分)② num Mod i = 0 And qz Mod i = 0 或其它等价的表达式(2分)③ num \ gcd (2分)16.(1) Command1 (1分)(2)① Int(Rnd * n) + 1 (2分)② i = i – 1 (2分)③ Mid(yuansu, t, 1) 或其它等价的表达式 (2分)通用答案请看下一页。
第二部分：通用技术(共50分)一、选择题（本大题共13小题，每小题2分，共26分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13D D C C B C C B A A A B D二、非选择题（本大题共4小题，第14小题6分，第15小题9分，第16小题3分，第17小题6分，共24分）14．（6分）（1）②（1分）（2）①（1分）、②（1分）（不分先后顺序）；⑤（1分）（3）③（1分）（4）②（1分）15．（9分）（1）材料（1分）；不与地面接触（1分）；拆装方便（1分）；结构稳定牢固（1分）；（2）总高度小于400，长度240左右，宽度略大于150（1分）；与吸尘杆连接部分的尺寸略大于40（1分）（3）⑤（1分）（4）②③（2分）漏填得1分，错填不得分16．（3分）每条线１分，共３分17.（6分）（1）②（1分）（2）④③②①（4分）（3）②（1分）。
2019学年第一学期杭州八校联盟期中联考高二年级数学学科试卷
绝密★考试结束前2019学年第一学期杭州八校联盟期中联考高二年级 数学 试题考生须知：1．本卷共4页满分120分，考试时间100分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，已知3,60,45o o a A C ===，则边长c =（ ）A.C.2.等比数列{}n a 中，已知2361, 9a a a =⋅=，则7a =（ ） A.3B.7C.8D.93.下列说法正确的是（ ）A.当0x >2≥B.当,2x k k Z ππ≠+∈时，1cos 2cos x x+≥ C.当2x ≥时，1x x+的最小值为2 D.当0x <≤1时，1x x-无最大值 4.关于x 的不等式14x x +-≥的解集是（ ） A.3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B.5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦∪5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 35[,]22- 5.下列命题中为假命题的是（ ）A.垂直于同一直线的两个平面平行B.垂直于同一直线的两条直线平行C.平行于同一直线的两条直线平行D.平行于同一平面的两个平面平行 6.若直线l 过点（1 , 3）且在两条坐标轴上的截距相等，则直线l 的斜率k 是（ ） A. k = -1或k = 3 B. k =±1或 k = 3 C. k = -1 D. k = 1或k = 37.等差数列{}()*n a n N ∈的公差为d ，前n 项和为n S ，若14110,0,a d S S ><=，则当n S 取得最大值时，n ＝( )A.7B.8C.7和8D.158.如图，在正四面体ABCD 中（棱长均相等的四面体叫做正四面体），是线段AM 上的动点，则直线DP 和BC 所成角的大小（ ） A.90oB.60oC.45oD.与P 的位置有关9．设a 、b 、c 分别为 ABC 中∠A 、∠B 、∠C 对边的边长，则直线 x sin B ＋by ＋2c ＝0与直线ax －y sin A ＋cos C ＝0的位置关系（ ） A.平行 B.重合 C. 相交但不垂直 D.垂直10.平行四边形ABCD 中，∠ABD ＝60°，∠BAD ＝95°，将△ABD 绕直线BD 旋转至与面BCD 重合，在旋转过程中(不包括起始位置和终止位置)，有可能正确的是( )A ．AB ∥CD B ．AB ⊥CDC ．AD ⊥BC D ．AC ⊥BD二、填空题：本大题共6小题，多空题每空3分，单空题每题4分，共30分。