人教版八年级数学下册 第十七章《勾股定理》复习 (2)课件(共19张ppt)
答：这块地的面积中2400平方米.
二、例题教学
考点4：在图形面积中的应用
1.如图1，如果分别以RtΔABC三边为边向外作三个正方形，其面积分
别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3有什么关系？
C
A
B
勾股定理
AC2+BC2＝AB2
S3 + S2 ＝ S1
两直角边上的正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积
勾股定理逆定理
勾股定理 直角三角形
已知三角形三边
常见的数 简便运算的方法
已知两边求第三边
知道哪条是斜边 不知道哪条是斜边
已知一边和另两边关系求边长
用方程求解
在图形面积中的应用
以直角三角形三边为边
直接求解 分类讨论
正方形 半圆 等边三角形 ？
六、课后作业
1.下列不是一组勾股数的是（ ）.
A.5，12，13
∴ΔBCD是直角三角形，∠BCD是直角.
E
A
B
I
DH
F 2＝ 3 BE2
F
2
∴
S1＝
1 2
AB
•
EF＝ 1 2
AB
•
3 BE＝ 2
3 AB2 4
E
同理得
S2＝
3 4
BC 2
,
S3＝
3 4
AC 2
∵在RtΔABC中，有AC2+BC2＝AB2
∴
3 AC 2 3 BC 2 3 AB2
4
4
4
∴ S1=S2+S3.
五、提炼升华
S2
1
2
•
(
BC )2 2
1
8
BC 2
S1
1 2
•(
AB )2 2
1
8
AB2
∵在RtΔABC中，有AC2+BC2＝AB2
∴ 1 AC2 1 BC2 1 AB2
8
8
8
∴ S1=S2+S3.
四、思维提升
正三角形面积为 1 底3 a高2 24
变式4. 如图③，分别以RtΔABC三边为边向外作三个正三角形，其面积
r
2
1 (d ）2
22
变式3.如图②，分别以RtΔABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分
别用S1、S2、S3表示，求证：S1=S2+S3 .
C
勾股定理
AC2+BC2＝AB2
A
B
S3
1
2
•(
AC)2 2
1 AC2
8
两边同时乘以 1
8
S2
1
2
• ( BC)2 2
1 BC2
8
S1
1 2
•
(
AB)2 2
直接求解 分类讨论
二、例题教学
考点3：已知三角形三边证直角
方法：a2+b2＝c2 （这里，c最大）
1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( D ).
A．7，24，25 B．5，12，13 C．3，4，5 D．5，5，7.
常见的直角三角形三边长
勾股数
3，4，5 5，12，13 7，24，25
六、课后作业
1.下列不是一组勾股数的是（ B）.
A.5，12，13
B. 1 , 2 , 5
236
C.12，16，20
D. 7，24，25
2.一个三角形三边分别是5a,12a,13a，则按角分类它是 __直__角___三角形.
3.已知直角三角形中,
(1)a=9,b=_1_2__ ,c=15； (2)a=_3_0__,b=40,c=50 ；
解：如图，连接BD，并定义E，F，G，H，I点
在RtΔABE中 AB AE2 BE2 52 12 26
同理得 BC 2 5,CD 5, AD 17, BD 5
(1)C 26 2 5 5 17 26 3 5 17
(2)∠BCD是直角，理由如下： 在ΔBCD中，BC2+CD2=20+5=25=52=BD2
na, nb, nc
二、例题教学
考点3：已知三角形三边证直角
RtΔACD
2. 如图所示的一块地，已知AD=40m，CD=30m， AD⊥DC，AB=130m，
BC=120m，求这块地的面积.
解：连接AC， ∵AD⊥DC，
∴∠CDA=90°.
在RtΔACD中，根据勾股定理，
AC2=CD2+AD2=402+302,
6，8，10
3n，4n，5n 5n，12n，13n
30°角的直角三角形
52 52 72
简便运算:先缩小 再扩大相同倍数
1： 3 ：2
n， 3 n，2n
特殊直角三角形
等腰直角三角形
1：1： 2
n，n， 2 n
a2 b2 c2
两边同时乘n2
(na)2 (nb)2 (nc)2
2.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是__直__角__三_角__形____.
1 2
BC
•
DE＝
1 2
BC
•
1 2
BC＝
1 4
BC
2
D
同理得
S1＝
1 4
AB2
S3＝
1 4
AC 2
∵在RtΔABC中，有AC2+BC2＝AB2
∴ 1 AC2 1 BC2 1 AB2
4
4
4
∴ S1=S2+S3.
六、课后作业
6.如图，每个小正方形的边长都是1. （1）求四边形ABCD的周长； （2）∠BCD是直角吗？
人教版八年级下册
第十七章 《勾股定理》复习(2)
一、体系构建
B
a
c
Cb
勾股定理
A
直角三角形的判定
三边关系
a2+b2=c2
勾股定理 逆定理
一、体系构建
勾股定理逆定理
已知三角形三边
勾股定理 直角三角形
已知两边求第三边
知道哪条是斜边 不知道哪条是斜边
已知一边和另两边关系求边长
用方程求解
在图形面积中的应用
S1＝
1 2
AB
•
EF
＝1 AB• 2
3BF
＝ 3 AB2 4
四、思维提升
变式4. 如图③，分别以RtΔABC三边为边向外作三个正三角形，其面积
分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明.
解：S1=S2+S3，理由如下
过E作EF⊥AB于F
在正ΔABE中，AB＝BE，AF＝BF＝
二、例题教学
考点4：在图形面积中的应用
变式1.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所
有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3
，
47
5，2，3，则最大正方形E的面积是_______________. E的面积 ＝ F的面积 + G的面积
FG
A的面积+B的面积 C的面积+D的面积
∴ CD
2SABC AB
7.2
六、课后作业
5.分别以RtΔABC三边为底向外作三个等腰直角三角形，
其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间
A
的关系并加以证明. 解：S1=S2+S3，理由如下 过D作DE⊥BC于E
在等腰直角ΔABE中，CE＝BE＝DE
S3
S1
E
C
S2
B
∴
S2＝
1 AB2
8
1 AC2 1 BC2 1 AB2
8
8
8
S3 + S2 = S1
三、方法迁移
变式3.如图②，分别以RtΔABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分
别证用明S：1、∵SS2、半圆S＝3表12 示r2，求12 证(d2：）2S1=S2+S3 .
∴ S3
1 2
•
(
AC )2 2
1
8
AC 2
E的面积 ＝ 9 + 25 + 4 + 9 ＝ 47
二、例题教学
考点4：在图形面积中的应用
变式2.如图，以ΔABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3
表示，已知S1＝S2+S3，则ΔABC是直角三角形吗？
AB2＝BC2+AC2
勾股逆定理
ΔABC是直角三角形
三、方法迁移
S半圆＝
1 2
B. 1，2 , 5
236
C.12，16，20
D. 7，24，25
2.一个三角形三边分别是5a,12a,13a，则按角分类它是 _______三角形.
3.已知直角三角形中,
(1)a=9,b=____，c=15 ； (2)a=____,b=40,c=50 ；
(3)a=24,b=32,c=________.
C
4.如图，CD⊥AB于D，AC＝9，BC＝12，AB＝15，
你能求CD的长吗？
A D
B
六、课后作业
5.分别以RtΔABC三边为底向外作三个等腰直角三角形，
A
其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间
的关系并加以证明.
S3
S1
C
S2
B
6.如图，每个小正方形的边长都是1. （1）求四边形ABCD的周长； （2）∠BCD是直角吗？
(3)a=24,b=32,c=__4_0_____.
六、课后作业
4.如图，CD⊥AB于D，AC＝9，BC＝12，AB＝15，
二、例题教学
考点4：在图形面积中的应用
1.如图1，如果分别以RtΔABC三边为边向外作三个正方形，其面积分
别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3有什么关系？
C
A
B
勾股定理
AC2+BC2＝AB2
S3 + S2 ＝ S1
两直角边上的正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积
勾股定理逆定理
勾股定理 直角三角形
已知三角形三边
常见的数 简便运算的方法
已知两边求第三边
知道哪条是斜边 不知道哪条是斜边
已知一边和另两边关系求边长
用方程求解
在图形面积中的应用
以直角三角形三边为边
直接求解 分类讨论
正方形 半圆 等边三角形 ？
六、课后作业
1.下列不是一组勾股数的是（ ）.
A.5，12，13
∴ΔBCD是直角三角形，∠BCD是直角.
E
A
B
I
DH
F 2＝ 3 BE2
F
2
∴
S1＝
1 2
AB
•
EF＝ 1 2
AB
•
3 BE＝ 2
3 AB2 4
E
同理得
S2＝
3 4
BC 2
,
S3＝
3 4
AC 2
∵在RtΔABC中，有AC2+BC2＝AB2
∴
3 AC 2 3 BC 2 3 AB2
4
4
4
∴ S1=S2+S3.
五、提炼升华
S2
1
2
•
(
BC )2 2
1
8
BC 2
S1
1 2
•(
AB )2 2
1
8
AB2
∵在RtΔABC中，有AC2+BC2＝AB2
∴ 1 AC2 1 BC2 1 AB2
8
8
8
∴ S1=S2+S3.
四、思维提升
正三角形面积为 1 底3 a高2 24
变式4. 如图③，分别以RtΔABC三边为边向外作三个正三角形，其面积
r
2
1 (d ）2
22
变式3.如图②，分别以RtΔABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分
别用S1、S2、S3表示，求证：S1=S2+S3 .
C
勾股定理
AC2+BC2＝AB2
A
B
S3
1
2
•(
AC)2 2
1 AC2
8
两边同时乘以 1
8
S2
1
2
• ( BC)2 2
1 BC2
8
S1
1 2
•
(
AB)2 2
直接求解 分类讨论
二、例题教学
考点3：已知三角形三边证直角
方法：a2+b2＝c2 （这里，c最大）
1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( D ).
A．7，24，25 B．5，12，13 C．3，4，5 D．5，5，7.
常见的直角三角形三边长
勾股数
3，4，5 5，12，13 7，24，25
六、课后作业
1.下列不是一组勾股数的是（ B）.
A.5，12，13
B. 1 , 2 , 5
236
C.12，16，20
D. 7，24，25
2.一个三角形三边分别是5a,12a,13a，则按角分类它是 __直__角___三角形.
3.已知直角三角形中,
(1)a=9,b=_1_2__ ,c=15； (2)a=_3_0__,b=40,c=50 ；
解：如图，连接BD，并定义E，F，G，H，I点
在RtΔABE中 AB AE2 BE2 52 12 26
同理得 BC 2 5,CD 5, AD 17, BD 5
(1)C 26 2 5 5 17 26 3 5 17
(2)∠BCD是直角，理由如下： 在ΔBCD中，BC2+CD2=20+5=25=52=BD2
na, nb, nc
二、例题教学
考点3：已知三角形三边证直角
RtΔACD
2. 如图所示的一块地，已知AD=40m，CD=30m， AD⊥DC，AB=130m，
BC=120m，求这块地的面积.
解：连接AC， ∵AD⊥DC，
∴∠CDA=90°.
在RtΔACD中，根据勾股定理，
AC2=CD2+AD2=402+302,
6，8，10
3n，4n，5n 5n，12n，13n
30°角的直角三角形
52 52 72
简便运算:先缩小 再扩大相同倍数
1： 3 ：2
n， 3 n，2n
特殊直角三角形
等腰直角三角形
1：1： 2
n，n， 2 n
a2 b2 c2
两边同时乘n2
(na)2 (nb)2 (nc)2
2.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是__直__角__三_角__形____.
1 2
BC
•
DE＝
1 2
BC
•
1 2
BC＝
1 4
BC
2
D
同理得
S1＝
1 4
AB2
S3＝
1 4
AC 2
∵在RtΔABC中，有AC2+BC2＝AB2
∴ 1 AC2 1 BC2 1 AB2
4
4
4
∴ S1=S2+S3.
六、课后作业
6.如图，每个小正方形的边长都是1. （1）求四边形ABCD的周长； （2）∠BCD是直角吗？
人教版八年级下册
第十七章 《勾股定理》复习(2)
一、体系构建
B
a
c
Cb
勾股定理
A
直角三角形的判定
三边关系
a2+b2=c2
勾股定理 逆定理
一、体系构建
勾股定理逆定理
已知三角形三边
勾股定理 直角三角形
已知两边求第三边
知道哪条是斜边 不知道哪条是斜边
已知一边和另两边关系求边长
用方程求解
在图形面积中的应用
S1＝
1 2
AB
•
EF
＝1 AB• 2
3BF
＝ 3 AB2 4
四、思维提升
变式4. 如图③，分别以RtΔABC三边为边向外作三个正三角形，其面积
分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明.
解：S1=S2+S3，理由如下
过E作EF⊥AB于F
在正ΔABE中，AB＝BE，AF＝BF＝
二、例题教学
考点4：在图形面积中的应用
变式1.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所
有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3
，
47
5，2，3，则最大正方形E的面积是_______________. E的面积 ＝ F的面积 + G的面积
FG
A的面积+B的面积 C的面积+D的面积
∴ CD
2SABC AB
7.2
六、课后作业
5.分别以RtΔABC三边为底向外作三个等腰直角三角形，
其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间
A
的关系并加以证明. 解：S1=S2+S3，理由如下 过D作DE⊥BC于E
在等腰直角ΔABE中，CE＝BE＝DE
S3
S1
E
C
S2
B
∴
S2＝
1 AB2
8
1 AC2 1 BC2 1 AB2
8
8
8
S3 + S2 = S1
三、方法迁移
变式3.如图②，分别以RtΔABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分
别证用明S：1、∵SS2、半圆S＝3表12 示r2，求12 证(d2：）2S1=S2+S3 .
∴ S3
1 2
•
(
AC )2 2
1
8
AC 2
E的面积 ＝ 9 + 25 + 4 + 9 ＝ 47
二、例题教学
考点4：在图形面积中的应用
变式2.如图，以ΔABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3
表示，已知S1＝S2+S3，则ΔABC是直角三角形吗？
AB2＝BC2+AC2
勾股逆定理
ΔABC是直角三角形
三、方法迁移
S半圆＝
1 2
B. 1，2 , 5
236
C.12，16，20
D. 7，24，25
2.一个三角形三边分别是5a,12a,13a，则按角分类它是 _______三角形.
3.已知直角三角形中,
(1)a=9,b=____，c=15 ； (2)a=____,b=40,c=50 ；
(3)a=24,b=32,c=________.
C
4.如图，CD⊥AB于D，AC＝9，BC＝12，AB＝15，
你能求CD的长吗？
A D
B
六、课后作业
5.分别以RtΔABC三边为底向外作三个等腰直角三角形，
A
其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间
的关系并加以证明.
S3
S1
C
S2
B
6.如图，每个小正方形的边长都是1. （1）求四边形ABCD的周长； （2）∠BCD是直角吗？
(3)a=24,b=32,c=__4_0_____.
六、课后作业
4.如图，CD⊥AB于D，AC＝9，BC＝12，AB＝15，
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人教版八年级下册第17单勾股定理专项复习课件(21张PPT)
1: 3 :2 ，故选项错误．
类型三 构造直角三角形
如图所示的一块地，AD＝12 m，CD＝9 m， ∠ADC＝90°，AB＝39 m，BC＝36 m，求这 块地的面积．解：连接AC
在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝ 122＋92＝225，
∴AC＝15(m) 在△ABC中，AB2＝1521，AC2＋BC2 ＝152＋362＝1521， ∴AB2＝AC2＋BC2， ∴∠ACB＝90°， A－D∴5·4CS＝D△2＝1A6B(12mC×－2)1．S5△×A36C－D＝12 ×AC12·B×C9－＝270 答：这块地的面积是216m2.
分类思想
1.直角三角形中，已知的两边长不能确定 是直角边或斜边时，应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
C 1．下列说法正确的是 （ ）
A．如果直角三角形的两边为3和4，则第 三边一定是5
B．如果三边满足 c2 a2 b2 ，则此三
角形一定不是直角三角形
Q S1
3 4
AB2
，
S2
3 4
BC 2
，
S3
3 AC2 ， 4
S2 S3 S1 ．
类型四 最短路径问题
几何体的外表面两点之间的最短路径问 题，可通过画出平面展开图，借助两点之间 线段最短及勾股定理求解。
有一个牛奶盒，一只小蚂蚁在点A处，在点B处 放上了点火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到到达B点 的最短路程么？（不打开，不移动牛奶盒）
第十七 章 勾股定理
专项复习
本章知识结构图：
勾股定理
互逆定理
勾股定理的逆定理
直角三角形 边长的数量关系
直角三角形的判定
知识点回顾 1、勾股定理
类型三 构造直角三角形
如图所示的一块地，AD＝12 m，CD＝9 m， ∠ADC＝90°，AB＝39 m，BC＝36 m，求这 块地的面积．解：连接AC
在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝ 122＋92＝225，
∴AC＝15(m) 在△ABC中，AB2＝1521，AC2＋BC2 ＝152＋362＝1521， ∴AB2＝AC2＋BC2， ∴∠ACB＝90°， A－D∴5·4CS＝D△2＝1A6B(12mC×－2)1．S5△×A36C－D＝12 ×AC12·B×C9－＝270 答：这块地的面积是216m2.
分类思想
1.直角三角形中，已知的两边长不能确定 是直角边或斜边时，应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
C 1．下列说法正确的是 （ ）
A．如果直角三角形的两边为3和4，则第 三边一定是5
B．如果三边满足 c2 a2 b2 ，则此三
角形一定不是直角三角形
Q S1
3 4
AB2
，
S2
3 4
BC 2
，
S3
3 AC2 ， 4
S2 S3 S1 ．
类型四 最短路径问题
几何体的外表面两点之间的最短路径问 题，可通过画出平面展开图，借助两点之间 线段最短及勾股定理求解。
有一个牛奶盒，一只小蚂蚁在点A处，在点B处 放上了点火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到到达B点 的最短路程么？（不打开，不移动牛奶盒）
第十七 章 勾股定理
专项复习
本章知识结构图：
勾股定理
互逆定理
勾股定理的逆定理
直角三角形 边长的数量关系
直角三角形的判定
知识点回顾 1、勾股定理
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理复习ppt课件
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
A
6
6E x
4
x 8-x C
Ｄ D
第8题图
B
8
例2：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F
处,已知AB=8CM,BC=10CM,求线段CF 和线段EC的长.
A
8 10
B
6
10
F
D
8-X
E
X 8-X
4C
专题四 截面中的勾股定理
规律
1. 几何体的内部路径最值的问题，一般画出几何体截
2.利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。
小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
买最长的 吧！
快点回家，好用 它凉衣服。
糟糕，太长了， 放不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么，能放入电梯内的 的最大长度大约是多少米？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？
A
x
1.5米
1.5米
1.5米
X2=1.52+1.52=4.5
典型例题
例2
1.已知三角形的三边长为 9 ,12 ,15 ,则这个三角
A
6
6E x
4
x 8-x C
Ｄ D
第8题图
B
8
例2：折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F
处,已知AB=8CM,BC=10CM,求线段CF 和线段EC的长.
A
8 10
B
6
10
F
D
8-X
E
X 8-X
4C
专题四 截面中的勾股定理
规律
1. 几何体的内部路径最值的问题，一般画出几何体截
2.利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。
小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
买最长的 吧！
快点回家，好用 它凉衣服。
糟糕，太长了， 放不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么，能放入电梯内的 的最大长度大约是多少米？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？
A
x
1.5米
1.5米
1.5米
X2=1.52+1.52=4.5
典型例题
例2
1.已知三角形的三边长为 9 ,12 ,15 ,则这个三角
人教版八年级(初二)数学下册 17.2 勾股定理 第二课时 PPT教学课件
求:(1)此时快艇航行了多少米(即AB的长)?
(2)距离哨所多少米(即OB的长)?
当堂训练
解:(1)根据题意,得∠AOC=30°,∠COB=45°,AO=
1
1 000 m,AB⊥OC,所以AC= AO=500 m,BC=OC.
2
在Rt△AOC中,由勾股定理,得OC= 1 0002 −5002 =500 3(m).
第十七章
勾股定理
17.2 勾股定理
第2课时
勾股定理及其逆定理的
应用
学习目标
能够运用勾股定理及其逆定理解决相关实际问题,发展
学生分析问题、解决问题的能力,用数学的思维思考现
实世界.
学习重难点
学习重点：勾股定理逆定理的实际应用.
学习难点：勾股定理及其逆定理的综合应用.
复习回顾
回顾勾股定理的逆定理的内容.
所以易得AD=DC=30(km).
在Rt△ABD中,∠B=30°,则AB=2AD=60 km.
则甲船从C处追赶上乙船的时间是60÷15-2=2(h).
扩展应用
(2)由(1),得BD= AB2 −AD2 = 60 2 −30 2 =30 3(负值舍去).
所以BC=CD+BD=(30+30 3)km.
PA=1,PB=3,PC=2,求∠APC的度数.
解:如图,把△APC绕点C逆时针旋转
90°得到△BDC.
由旋转的性质,得△PCD是等腰直角三
角形,
BD=AP=1,CD=PC=2,∠APC=∠BDC,
当堂训练
所以PD= CD2 +PC2 = 22 +22 =2 2,∠PDC=45°.
因为PD2+BD2=(2 2)2+12=9,PB2=32=9,
(2)距离哨所多少米(即OB的长)?
当堂训练
解:(1)根据题意,得∠AOC=30°,∠COB=45°,AO=
1
1 000 m,AB⊥OC,所以AC= AO=500 m,BC=OC.
2
在Rt△AOC中,由勾股定理,得OC= 1 0002 −5002 =500 3(m).
第十七章
勾股定理
17.2 勾股定理
第2课时
勾股定理及其逆定理的
应用
学习目标
能够运用勾股定理及其逆定理解决相关实际问题,发展
学生分析问题、解决问题的能力,用数学的思维思考现
实世界.
学习重难点
学习重点：勾股定理逆定理的实际应用.
学习难点：勾股定理及其逆定理的综合应用.
复习回顾
回顾勾股定理的逆定理的内容.
所以易得AD=DC=30(km).
在Rt△ABD中,∠B=30°,则AB=2AD=60 km.
则甲船从C处追赶上乙船的时间是60÷15-2=2(h).
扩展应用
(2)由(1),得BD= AB2 −AD2 = 60 2 −30 2 =30 3(负值舍去).
所以BC=CD+BD=(30+30 3)km.
PA=1,PB=3,PC=2,求∠APC的度数.
解:如图,把△APC绕点C逆时针旋转
90°得到△BDC.
由旋转的性质,得△PCD是等腰直角三
角形,
BD=AP=1,CD=PC=2,∠APC=∠BDC,
当堂训练
所以PD= CD2 +PC2 = 22 +22 =2 2,∠PDC=45°.
因为PD2+BD2=(2 2)2+12=9,PB2=32=9,
【最新】人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》优质公开课课件2.ppt
第十七章勾股定理
17.1勾股定理
y=0
受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的 顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
4米
3米
C A
B
图1-1
（1）观察图1-1 正方形A中含有 16 个
小方格，即A的面积是 16 个单位面积。 正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是 25 个单位面积。
千古第一定理
勾 股
是第一个不定方程
毕 达
（ 数与形的第一定理 哥
商
拉
高 ） 定 理
导致第一次数学危机 斯
数学由计算转变为证明
定 理
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。
应用知y识=回0 归生活
1、如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂 ，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高 ？
4米
3米
应用知y识=回0 归生活
2、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸, 求两孔中心A、B之间的距离
40
A
90 C
160
B 40
想一想
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的 电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕 只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售 货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这 是为什么吗？
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么
a2 b2 c2 a c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
结论变形 直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
17.1勾股定理
y=0
受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的 顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
4米
3米
C A
B
图1-1
（1）观察图1-1 正方形A中含有 16 个
小方格，即A的面积是 16 个单位面积。 正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是 25 个单位面积。
千古第一定理
勾 股
是第一个不定方程
毕 达
（ 数与形的第一定理 哥
商
拉
高 ） 定 理
导致第一次数学危机 斯
数学由计算转变为证明
定 理
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。
应用知y识=回0 归生活
1、如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂 ，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高 ？
4米
3米
应用知y识=回0 归生活
2、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸, 求两孔中心A、B之间的距离
40
A
90 C
160
B 40
想一想
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的 电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕 只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售 货员搞错了.你同意他的想法吗？你能解释这 是为什么吗？
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么
a2 b2 c2 a c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
结论变形 直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
人教版八年级下册数学17.2 勾股定理的逆定理 原(逆)命题、原(逆)定理 课件 (共16张PPT)
么这∵∴个aA2’+命Bb’2题=2=cc2就2 是一个∴定∴△理∠ABC, C=是∠直C角’=三90角° 形
∴ A’B’ =c
（直角三角形的定义）
演绎推理 形成定理
定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形．
作用：判定一个三角形三边满足什么条件时为直 角三角形．
bc
边：两直角边的平方和等于斜边
的平方；
C
B
a
思考 2. 一个三角形，满足什么条件是直角三角形？
(1)有一个内角是90° (2)如果一个三角形中，有两个角的和是90°
我们能否从边的关系来判断是否为直角三角形呢?
古埃及人曾用下面的方法得到直角
经历探索 形成思路
•古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳
演绎推理 形成定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么有a2 + b2 = c2
互逆命题
勾股定理的逆命题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。
演绎推理 形成定理
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2 求证:△ ABC是直角三角形
子分成等长的12段,然后以3
个结，4个结，5个结的长度 为边长，用木桩钉成一个三
3
5
角形。
4
请同学们观察,这个三角形的三
条边有什么关系吗?
32+42=52
精确验证 提出猜想
实验操作：
（1）画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的
平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），
人教版八年级下册第十七章勾股定理复习课 课件
考点4
勾股定理的实际应用
2、如图,点A是一个半径为 250 m的圆形森林公园的 中心,在森林公园附近有 B 、C 两个小镇,现要在 B、 C 两小镇之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将两 镇连通,经测得 ∠B=60°,∠C=30°,问：请通过计算 说明此公路会不会穿过该森林公园？
250
A
60
300千米的B处，以 10 7 千米每时的速度向北偏
西60°的方向移动，距台风中心200千米范围内
是会受到台风影响范围。
（1）A市是否会受台风影响？说明理由；
（2）若A市受影响，那么受台风影响的时间为多
久？
北
C
60°
东
A
B
考点5
勾股定理逆定理 的应用
如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形
5、特殊三角形的三边关系：
A A
c
b
b
c
Ba C
若∠A=30°，则
Ca
B
若∠A=45°，则
考点一
与勾股定理有关的 计算问题
比一比,看谁快!
A
1、在Rt△ABC中，∠C=900 b c ①若a=6，b=8， 则c=_1_0_;
Ca B
②若a=40,c=41，则b=__9__;
③若a:b=1:2,c= 2 5,则S△ABC=_4___;
勾股定理复习
本章知识框图
c
a
• 拼图验证法
勾股定理
勾
• 勾股定理的应用 b
股 互逆 定理 定 理
• 互逆命题、互逆定理
勾股定理的 • 勾股数 逆定理 • 勾股定理的逆定理的应用
【最新】人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》精品课件2
B
图3-2
观察所得到的各组数据，我们发现：
A a
SA+SB=SC
Bb c
C
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾 股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 "勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”， 斜边称为“弦”.
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多。年前
思考：图3-2中面
积A，B，C还有上 述关系吗？
C A
B
C
图3-1 A
B
图3-2
把C“补”成边长为7的 正方形面积，再减去4 个直角三角形的面积。
议一议
（1）你能用三 角形的边长表示 A 正方形的面积吗？
（2）你能发现 直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗？与同 伴进行交流。
C
B
图3-1
C A
A
10
D
8 10 B6
8-x E 8-x x F4 C
知y识=0小结
同学们，通过这节课的 学习，你有哪些收获？
再见
勾 股 定 理
读一读：数学史料
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，
图3-2
观察所得到的各组数据，我们发现：
A a
SA+SB=SC
Bb c
C
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾 股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 "勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”， 斜边称为“弦”.
国我家国之是一。最早早在三了千解多勾年前股，定理的 国国家家之之一。一早。在早三千在多三年前千，多年前，周 朝国家数之学一。家早商在高三千就多提年前出，，将一根直 尺国家折之成一。一早个在直三千角多，年前如，果勾等于三， 股国家等之于一。四早，在那三千么多弦年前就，等于五，即 “国家勾之三一。、早股在四三千、多弦年前五，”，它被记 载国家于之我一。国早古在代三千著多名年前的，数学著作 《国家周之髀一。算早经在》三千中多。年前
思考：图3-2中面
积A，B，C还有上 述关系吗？
C A
B
C
图3-1 A
B
图3-2
把C“补”成边长为7的 正方形面积，再减去4 个直角三角形的面积。
议一议
（1）你能用三 角形的边长表示 A 正方形的面积吗？
（2）你能发现 直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗？与同 伴进行交流。
C
B
图3-1
C A
A
10
D
8 10 B6
8-x E 8-x x F4 C
知y识=0小结
同学们，通过这节课的 学习，你有哪些收获？
再见
勾 股 定 理
读一读：数学史料
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，
人教版数学八年级下册 第十七章 勾股定理复习课共36张PPT
5
C
B
20
15
A
10
如图 , 一圆柱高 8cm, 底面半径 2cm, 一只蚂蚁从点 A 爬 到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3）是( B ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定
蛋糕 B
2
O
C
周长的一半 ６
B
8
８
A
A
展开思想
1. 几何体的表面路径最短的问题，一般展 开表面成平面。 2.利用两点之间线段最短，及勾股定理 求解。
B
C
分类思想
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、 斜边不知道时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
二、方程思想
１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的 绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米 后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？ A
学习目标： 1、复习勾股定理及勾股定理逆定理的内容 2、勾股定理及勾股定理逆定理的综合应用 3、进一步加深性质及判定定理之间的关系
勾股定理:
B
c
a
C A
b
c c a
a
b
大正方形的面积可以 c² 表示为 ——————————
a
b
c
b b a c
a
b
c
(b-a)² + 1/2ab4 又可以表示为： ———————
解答题
已知，等腰三角形底边上的高为8，周长为32， A 求这个三角形的面积
解：设这个三角形为ABC， 高为AD，设BD为X，则AB 为（16-X）， 由勾股定理得： X2+82=(16-X)2 ∴ X=6
人教版八年级数学下册课件勾股定理复习课(课2)
c
（1）如果∠A和∠B是邻补角，那么∠A+∠B=180〫.
重难点3：勾股定理逆定理的应用
Ca B
知识梳理
3. 勾股定理逆定理的应用
② 实质：由“数”到“形”的转化； ③ 应用：判定一个三角形是否为直角三角形.
知识梳理
4. 勾股数
勾股数
正整数
判断一组数是不是勾股数的步骤： 看、找、算、判.
重点解析
反走私艇 B 离走私艇 C 12 海里，若走私艇 C
从边的方面判断：如果已知条件与边有关系，则可以通过勾股定理的逆定理进行判断.
两个角都是40〫
重点解析
1.有些命题在不容易确定题设和结论的情况下，可 以先改写成“如果……那么……”的形式，然后确 定题设和结论. 2.判断一个命题是假命题只需要举出一个反例即可.
重点解析
重难点2：勾股定理的逆定理
判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.如果是， 请指出哪个角是直角. （1）在△ABC中，∠A=25〫、∠B=65〫； 解：（1）在△ABC中，因为∠A=25〫、∠B=65〫，所以 ∠C=180〫-∠A-∠B=90〫，所以这个三角形是直角三角形. ∠C是直角.
重点解析
重难点4：勾股数
判断下列各组数是不是勾股数：
深化练习
1.在△ABC中，∠A、 ∠B 、 ∠C的对边分别是a、b、c，下列判断 错误的是（ B ）.
A.如果∠C- ∠B= ∠A，则△ABC是直角三角形.
深化练习
A.如果∠C- ∠B= ∠A，则△ABC是直角三角形. 解析：因为∠C- ∠B=∠A，所以 ∠C=∠B+∠A. 因为∠C+∠B+∠A=180〫，所以 ∠C+∠C=180〫. 解得：∠C=90〫，所以△ABC是直角三角形.
人教版八年级数学下册17.1勾股定理 课件(16张PPT)
b=√c²-a²=√2²-1²=√3.
课堂小结
内容
在Rt△ABC中 ， ∠C=90°,a,b 为直角
边 ，c 为 斜 边 ， 则 有a²+b²=c².
勾股定理
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是 斜边时一定要分类讨论
谢谢大家
C
C
B
A
B
这两幅图中小正方 A,B的面积都容易 求，那么该怎样求 正方形C的面积昵?
方法1:补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上 的正方形):
B B
左 图： 右 图：
方法2:分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积 的三角形和四边形):
左 图： 右 图：
根据前面求出的C 的面积直接填出下表：
A的面积 左图 4 右图 16Fra bibliotekB的面积
9 9
C的面积
13 25
SA+SB=Sc
思考：正 方 形A、B、C 所 围 成 的 直 角 三 角 形 三 条 边 之 间 有 怎 样
的特殊关系?
一直角边² 十
另一直角边2
斜边2
通过以上的例子我们猜想：
命题1:如果直角三角形的两条直角边分别为a、 b, 斜边为c, 那么一定有 a²+b²=c².
我们的猜想是否 正确呢?你们可 以想到什么验证
方法?
知识讲解
证法1:毕达哥拉斯证法，将四个全等的直角三角形按图示 进行拼图，然后分析其面积关系后证明.
证明： ∵S大正方形=(a+b)²=a²+b²+2ab, S大正方形=4S 直角三角形+S 小正方形
=c²+2ab,