《三角函数的图像与性质》导学案(高三数学)
《.三角函数的图象与性质》教学导案
《.三角函数的图象与性质》--教案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：三角函数的图象与性质适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）60知识点正弦、余弦及正切函数的定义域、值域正弦、余弦及正切函数的周期性；正弦、余弦及正切函数的单调性正弦、余弦及正切函数的奇偶性；正弦、余弦及正切函数的对称性教学目标1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性.教学重点1．三角函数的值域、最值、单调性、周期性等性质是重点．2．三角函数图像的对称性也是一个重点．教学难点灵活应用教学过程一、课堂导入当我们检查心脏做心电图时，医生会用仪器打印出一条曲线图，根据曲线图形就可以判断心脏是否有问题．在一摇摆的沙漏下面放一张均匀行进的纸，沙子落在纸上形成一条曲线，这些都给我们以正弦曲线和余弦曲线的形象．这样我们就有必要研究正弦函数和余弦函数的图象，从图象上能直观形象地得出正弦函数、余弦函数的一些重要性质，如最大值、最小值、单调区间、对称性等，同时研究函数图象的过程也为培养学生化归的数学思想有促进作用．二、复习预习1.同角三角函数的基本关系2.诱导公式的口诀及具体含义三、知识讲解考点1 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象、定义域及值域函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R ⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪ x ≠π2＋k π， k ∈Z }值域[－1,1][－1,1]R单调性递增区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)递减区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2kπ＋π2，2kπ＋32π(k∈Z)递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)递增区间：⎝⎛⎭⎪⎫kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)最值x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，y max＝1 x＝2kπ－π2(k∈Z)时，y min＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，y max＝1 x＝2kπ＋π(k∈Z) 时，y min＝－1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(kπ，0)，k∈Z对称中心⎝⎛⎭⎪⎫kπ＋π2，0，k∈Z对称中心⎝⎛⎭⎪⎫kπ2，0(k∈Z)对称轴l x＝kπ＋π2，k∈Z对称轴l x＝kπ，k∈Z无对称轴周期2π2ππ四、例题精析 【例题1】【题干】(1)求函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域；(2)设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值和最小值．【解析】(1)要使函数有意义则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x ＞0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤4，k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z ).利用数轴可得：所以函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜π2或π≤x ≤4.(2)f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a2sin 2x －cos 2x . 由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，所以a 2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－1， 即－34a ＋12＝－1，得a ＝2 3.于是f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4，因此当2x －π6＝π2即x ＝π3时f (x )取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，当2x －π6＝3π4即x ＝11π24时f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝ 2.【例题2】【题干】若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( ) A ．3B ．2 C.32D.23【解析】选C ∵y ＝sin ωx (ω＞0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时．y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数．由y ＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，故ω＝32.【例题3】【题干】(1)函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________. (2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.【答案】(1)π4(2)kπ＋π2，k∈Z【解析】(1)由y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋π2(k∈Z)，即3×π12＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，得φ＝kπ＋π4(k∈Z)．又|φ|＜π2，所以k＝0，故φ＝π4.(2)由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数，故φ＝kπ＋π2，(k∈Z)．【例题4】【题干】(2012·上海高考)若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．16B ．72C ．86D ．100【答案】C【解析】∵函数f (x )＝sin πx 7的最小正周期为T ＝14，又sin π7＞0，sin 27π＞0，…，sin 67π＞0，sin 77π＝0，sin 87π＜0，…，sin 137π＜0，sin 147π＝0， ∴在S 1，S 2，S 3，…，S 13，S 14中，只有S 13＝S 14＝0，其余均大于0. 由周期性可知，在S 1，S 2，…，S 100中共有14个0，其余都大于0，即共有86个正数．四、课堂运用【基础】1．函数f(x)＝sin x在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－1，f(b)＝1，则cos a＋b2＝()A．0 B.2 2C．－1 D．1解析：选D 不妨设a ＝－π2，b ＝π2，则cos a ＋b 2＝cos 0＝1.2．(2013·郑州模拟)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)－3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，且其图象相邻的两条对称轴为x ＝0，x ＝π2，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π)上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π)上为减函数解析：选B 由已知可得f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3，T 2＝π2，得T ＝π，ω＝2.又x ＝0是对称轴，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝±1，由|φ|＜π2得φ＝－π3，此时f (x )＝2cos 2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．3．(2013·衡阳联考)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．y ＝sin|x |解析：选B 注意到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π，当x ＝π3时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝1，因此该函数同时具有性质①②.【巩固】4．函数y＝1tan x－3的定义域为________．解析：由已知得⎩⎨⎧ x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，x ≠k π＋π3，k ∈Z .故所求函数定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π3，k ∈Z .答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π3，k ∈Z5．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为π2，则函数在[0,2π]上的零点个数为________．解析：∵由已知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的周期为π， ∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 当f (x )＝0时，2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，x ＝k π2＋π6，则当x ∈[0,2π]时f (x )有4个零点．答案：4【拔高】6．写出下列函数的单调区间及周期：(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |.解：(1)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的减区间， 它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .最小正周期：T ＝π.7．求下列函数的值域：(1)y＝cos x＋52－cos x；(2)y＝sin2x－4sin x＋5.解：(1)由y ＝cos x ＋52－cos x ，得cos x ＝2y －5y ＋1.因为－1≤cos x ≤1，所以－1≤2y －5y ＋1≤1，解得43≤y ≤6.因此，原函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，6.(2)y ＝sin 2x －4sin x ＋5＝(sin x －2)2＋1.因为－1≤sin x ≤1，所以2≤y ≤10.因此，原函数的值域为[2,10]．8．(2012·湖北高考)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围．解：(1)f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1， 所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6≤1，得－1－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2≤2－2，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－ 2 ]．课程小结1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内．注意区分下列两种形式的函数单调性的不同：(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4； (2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－ωx . 2．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个x 值都满足f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是不为零的常数．如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，或找到哪怕只有一个x 值不满足f (x ＋T )＝f (x )，都不能说T 是函数f (x )的周期．。
3.6三角函数的图像与性质(二)
的性质，进
的性质；
2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变 形转化为一个角的三角函数来研究． 理解三角函数 y sin x ， y co s x ， y 步学会研究形如函数 y
A sin ( x )
ta n x
的性质，进一
的性质
在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形 教学难点 转化为一个角的三角函数来研究 教学方法 讲练结合 教 学 过 程
厉庄高级中学
2011-2012 学年度第二学期
高三数学学科电子教案
课题：3.6
教案编号 三 维 目 标 教学重点
019
三角函数的图像和性质（二）
备课人 罗广志 使用时间
ta n x
1.理解三角函数 y sin x ， y co s x ， y 一步学会研究形如函数 y
A sin ( x )
2k
6
x 2k
7 6
且x
k , x k
2
,k Z}
0 x 4, 2 lo g 1 x 0 , 2 （2） 即 k x k . ta n x 0 . 2
故函数的定义域为 ( 0 ,
【基础练习】 1.写出下列函数的定义域： （1） y （2） y
s in x 3
sin 2 x cos x
{ x 6 k x 6 k 3 , k Z } 的定义域是______________________________；
{x x k ,k Z} 的定义域是____________________． 2
Z)
； （1） ，
【高教版】5.6《 三角函数的图像和性质》优秀教案
【课题】5.6三角函数的图像和性质
【教学目标】
知识目标：
(1) 理解正弦函数的图像和性质；
(2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法；
(3) 了解余弦函数的图像和性质．
能力目标：
(1) 认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数；
(2) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图；
(3) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力．【教学重点】
（1）正弦函数的图像及性质；
（2）用“五点法”作出函数y=sin x在[]
0,2π上的简图．
【教学难点】
周期性的理解．
【教学设计】
（1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数；
（2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期；
（3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像；
（4）观察图像认识有界函数，认识正弦函数的性质；
（5）观察类比得到余弦函数的性质．
【教学备品】
课件，实物投影仪，三角板，常规教具．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】。
高三数学一轮复习三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。
6．对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。
7．求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。
9．五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图： 五点取法是设x =ωx +ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
二．典例分析考点一：三角函数的定义域与值域典题导入(1)(2013·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．(2)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ． B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54(1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z (2)C若本例(2)中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，试求其值域．解：令t ＝sin x ，则t ∈．∴y ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54.∴y ∈．∴函数的值域为．由题悟法1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x 、cos x 的值域；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))．以题试法1． (1)函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域为________．(2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3解析：(1)要使函数有意义则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2k ∈Z .利用数轴可得 函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <π2，或π≤x ≤4.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案：(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <π2，或π≤x ≤4 (2)B考点二：三角函数的单调性典题导入(2012·华南师大附中模拟)已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，求：(1)函数的周期；(2)求函数在上的单调递减区间．由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .从而x ∈时， y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.由题悟法求三角函数的单调区间时应注意以下几点：(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx ＋φ看作是一个整体，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的减区间．(2)形如y ＝A sin(－ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数，得到y ＝－A sin(ωx －φ)，由－π2＋2k π≤ωx －φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的减区间，由π2＋2k π≤ωx －φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的增区间．(3)对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等，函数的单调区间求法与y ＝A sin(ωx ＋φ)类似．以题试法2．(1)函数y ＝|tan x |的增区间为________．(2)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：(1)作出y ＝|tan x |的图象，观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z . (2)f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，而c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin2π3＝2sin π3＝f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7， 所以c <a <b .答案：(1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z (2)B考点三：三角函数的周期性与奇偶性典题导入(2012·广州调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R )，给出下面四个命题：①函数f (x )的最小正周期为π；②函数f (x )是偶函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；④函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，③错误；由f (x )的图象易知函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，故④正确．综上可知，选C.C由题悟法1．三角函数的奇偶性的判断技巧首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．2．求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义；(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|； (3)利用图象． 3．三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．以题试法3．(1)(2013·青岛模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2(2)(2012·遵义模拟)若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0B ．(0,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0 解析：(1)选A 对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数．(2)选C 由条件得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a＝2π，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π4.将x ＝－18代入得函数值为0.板书设计 三角函数的图像与性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间3．函数Bx A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 4．对称轴与对称中心 5．五点法作图教学三角函数的图像与性质是三角函数的重点知识之一，复习时，要让学生熟练记忆三角函数的图。
3.6三角函数的图像与性质(二)-张素云
课后 反思
注：1、课题字体：黑体小二加粗 2、栏目字体：仿宋四号加粗 3、内容字体：宋体小四
第 4 页 共 4 页
T ．
点评：求三角函数的周期一般有两种： （1）化为 A sin( x ) 的形式特征，利用 公式求解； （2）利用函数图像特征求解．
1 π 例 4.已知函数 f ( x) cos 2 x ， g ( x) 1 sin 2 x ． 2 12
（I）设 x x0 是函数 y f ( x) 图象的一条对称轴，求 g ( x0 ) 的值． （II）求函数 h( x) f ( x) g ( x) 的单调递增区间．
f 2 2 3．函数 （x） sin （x ） sin （x ） 的最小正周期是_______． 4 4 （ ，0） 4. 函数 y=sin(2x+ )的图象关于点_______________对称． 3 3 1 0 5. 已知函数 y tan x 在（－ ， ）内是减函数，则 的取值范围是 2 2 ______________．
6
x 2k
7 且 x k , x k , k Z } 2 6
2 log 1 x 0, 0 x 4, 2 （2） 即 k x k 2 . tan x 0.
故函数的定义域为 (0, ) [ , 4] ． 2
高三数学学科电子教案
1 1 π 所以 g ( x0 ) 1 sin 2 x0 1 sin(kπ ) ． 2 2 6
1 π 1 3 当 k 为偶数时， g ( x0 ) 1 sin 1 ， 2 6 4 4
1 π 1 5 当 k 为奇数时， g ( x0 ) 1 sin 1 ． 2 6 4 4
《正切函数的图像与性质》教案与导学案
《第五章三角函数》《5.4.3正切函数的图像与性质》教案【教材分析】本节课是三角函数的继续，三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.而本课内容是正切函数的性质与图像.首先根据单位圆中正切函数的定义探究其图像，然后通过图像研究正切函数的性质.【教学目标与核心素养】课程目标1、掌握利用单位圆中正切函数定义得到图象的方法;2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用.数学学科素养1.数学抽象：借助单位圆理解正切函数的图像；2.逻辑推理：求正切函数的单调区间；3.数学运算：利用性质求周期、比较大小及判断奇偶性.4.直观想象：正切函数的图像；5.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正切函数的性质.【教学重难点】重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用；难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象.【教学方法】：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
【教学过程】一、情景导入三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.我们已经学过正弦函数、余弦函数的图像与性质，那么根据正弦函数、余弦函数的图像与性质的由来，能否得到正切函数的图像与性质.要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本209-212页，思考并完成以下问题1.正切函数图像是怎样的？2.类比正弦、余弦函数性质，通过观察正切函数图像可以得到正切函数有什么性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.正切函数，且图象：2.观察正切曲线，回答正切函数的性质： 定义域：值域：R （-∞，+∞）最值：无最值渐近线：x =π2+k π(k ∈Z)周期性：最小正周期是奇偶性:奇函数单调性：增区间图像特征：无对称轴，对称中心：(k π2,0)k ∈Z四、典例分析、举一反三 题型一正切函数的性质例1求函数f (x )＝tan 的定义域、周期和单调递增区间．【答案】定义域：{x |x ≠2k ＋13，k ∈Z }；最小正周期为2；R x x y ∈=tan ()z k k x ∈+≠ππ2()z k k x ∈+≠2πππ,,22k k k z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭23x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＋2k ，13＋2k ，k ∈Z .【解析】由π2x ＋π3≠k π＋π2，得x ≠2k ＋13(k ∈Z )． 所以函数f (x )的定义域是{x |x ≠2k ＋13，k ∈Z }；由于ππ2＝2，因此函数f (x )的最小正周期为2. 由－π2＋k π＜π2x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z ，解得－53＋2k ＜x ＜13＋2k ，k ∈Z . 因此，函数的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＋2k ，13＋2k ，k ∈Z . 解题技巧：（求单调区间的步骤）用“基本函数法”求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间、定义域及对称中心的步骤：第一步：写出基本函数y ＝tan x 的相应单调区间、定义域及对称中心； 第二步：将“ωx ＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x ”；第三步：解关于x 的不等式． 跟踪训练一 1．下列命题中：①函数y ＝tan(x ＋φ)在定义域内不存在递减区间；②函数y ＝tan(x ＋φ)的最小正周期为π；③函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；④函数y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像关于直线x ＝π4对称．其中正确命题的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个【答案】D ．【解析】 ：①正确，函数y ＝tan(x ＋φ)在定义域内只存在递增区间．②正确．③正确，其对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π－π4，0(k ∈Z )．④函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4不存在对称轴．所以①②③正确，故选D.题型二比较大小 例2与 【答案】. 【解析】 又在上是增函数解题技巧：(比较两个三角函数值的大小)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．跟踪训练二1．若f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则( )A ．f (0)＞f (－1)＞f (1)B ．f (0)＞f (1)＞f (－1)C ．f (1)＞f (0)＞f (－1)D ．f (－1)＞f (0)＞f (1)【答案】A【解析】 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4内是增函数． 又0，－1∈⎝⎛⎭⎪⎫－3π4，π4，0＞－1，∴f (0)＞f (－1)． 又f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4上也是增函数，f (－1)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4－1＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－1. ∵5π4－1,1∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4，且5π4－1＞1，∴f (－1)＞f (1)． 从而有f (0)＞f (－1)＞f (1)． 五、课堂小结0tan1670tan17300tan167tan173<000090167173180<<<tan ,y x =00(90,270)00tan167tan173∴<让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本213页习题5.4.【教学反思】正切函数是在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质的基础上学习的，学生相对而言容易掌握，单调性方面学生需要注意是开区间且只有增区间.《5.4.3 正切函数的图像与性质》导学案【学习目标】知识目标1、掌握利用单位圆中正切函数定义得到图象的方法;2、能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用.核心素养1.数学抽象：借助单位圆理解正切函数的图像；2.逻辑推理：求正切函数的单调区间；3.数学运算：利用性质求周期、比较大小及判断奇偶性.4.直观想象：正切函数的图像；5.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正切函数的性质.【重点与难点】重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用；难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本209-212页，填写。
《正弦函数、余弦函数的图像》教案与导学案
《第五章三角函数》《5.4.1正弦函数、余弦函数的图像》教案【教材分析】由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．【教学目标与核心素养】课程目标1.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.2.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.数学学科素养1.数学抽象：正弦曲线与余弦曲线的概念；2.逻辑推理：正弦曲线与余弦曲线的联系；3.直观想象：正弦函数余弦函数的图像；4.数学运算：五点作图；5.数学建模：通过正弦、余弦图象图像，解决不等式问题及零点问题，这正是数形结合思想方法的应用.【教学重难点】重点：正弦函数、余弦函数的图象．难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系．【教学方法】：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
【教学过程】一、情景导入遇到一个新的函数，非常自然地是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然地想知道y＝sinx与y＝cosx的图象是怎样的呢？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？请学生尝试画出当x∈[0,2π]时，y＝sinx 的图象．要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本196-199页，思考并完成以下问题1.任意角的正弦函数在单位圆中是怎样定义的？2．怎样作出正弦函数y=sinx的图像？3.怎样作出余弦函数y＝cosx的图像？4.正弦曲线与余弦曲线的区别与联系.要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
人教版新课程5.4三角函数的图像与性质学科素养教学设计(3课时)
【新教材】5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像教学设计（人教A版）由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．课程目标1.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.2.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.数学学科素养1.数学抽象：正弦曲线与余弦曲线的概念；2.逻辑推理：正弦曲线与余弦曲线的联系；3.直观想象：正弦函数余弦函数的图像；4.数学运算：五点作图；5.数学建模：通过正弦、余弦图象图像，解决不等式问题及零点问题，这正是数形结合思想方法的应用.重点：正弦函数、余弦函数的图象．难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系．教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入遇到一个新的函数，非常自然地是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然地想知道y＝sinx与y＝cosx的图象是怎样的呢？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？请学生尝试画出当x ∈[0,2π]时，y ＝sinx 的图象．要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本196-199页，思考并完成以下问题1.任意角的正弦函数在单位圆中是怎样定义的？ 2．怎样作出正弦函数y=sinx 的图像？ 3.怎样作出余弦函数y ＝cos x 的图像？ 4.正弦曲线与余弦曲线的区别与联系.要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的图像与性质教案新人教A版
§1.4.3正切函数的图像与性质【教材分析】正切函数的图象和性质》 它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。
研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。
教材单刀直入，直接进入画图工作，没有给出任何提示。
正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。
教材上直接圈定了区间（2,2ππ-），这样限制了学生的思维，我把空间留给学生，采用让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方法。
这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。
在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了几个判断题帮助学生理解该性质，并用比大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。
【教学目标】正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。
本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。
2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。
3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
【教学重点难点】教学重点：正切函数的图象及其主要性质。
教学难点：利用正切线画出函数y =tan x 的图象，对直线x =2ππ+k ，Z k ∈是y =tan x的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。
高三数学一轮复习教案第五节三角函数的图像和性质一
第5课 三角函数的图像和性质（一）【考点导读】1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22ππ-上的性质； 2.了解函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义，能画出sin()y A x ωϕ=+的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【基础练习】1. 已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_____6____；初相ϕ=__________． 2. 三角方程2sin(2π－x )=1的解集为_______________________． 3. 函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为______________________．4.下列函数图像：其中是函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的简图的序号是__①__．x① ②③ ④6π {2,}3x x k k Z ππ=±∈ 48sin(4π+π-=x y第3题5. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象向右平移__________个单位． 【范例解析】例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，长度为一个周期；（Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 分析：化为sin()A x ωϕ+形式．解：（I ）由x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+= )42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x ．列表，取点，描图：故函数)(x f y =在区间]2,2[-上的图象是：（Ⅱ）解法一：把sin y x =图像上所有点向右平移4π个单位，得到sin()4y x π=-的图像，再把sin()4y x π=-的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到sin(2)4y x π=-的图像，然后把si n (2)4y x π=-的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到s i n (2)4y x π=-的图像，再将)4y x π=-的图像上所有点向上平移1个单位，即得到1)4y x π=+-的图像．解法二：把sin y x =图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到sin 2y x =的图像，再π6把sin 2y x =图像上所有点向右平移8π个单位，得到sin(2)4y x π=-的图像，然后把sin(2)4y x π=-的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到)4y x π=-的图像，再将)4y x π=-的图像上所有点向上平移1个单位，即得到1)4y x π=+-的图像．例2.已知正弦函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式1()f x ；（2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ； （3）作出函数12()()y f x f x =+的图像的简图．分析：识别图像，抓住关键点． 解：（1）由图知，A =22(62)16πω=⨯+=，8πω∴=，即sin()8y x πϕ=+．将2x =，y =sin()4πϕ+=4πϕ=，即1()sin()84f x x ππ=+．（2）设函数2()f x 图像上任一点为(,)M x y ，与它关于直线8x =对称的对称点为(,)M x y '''， 得8,2.x xy y '+⎧=⎪⎨⎪'=⎩解得16,.x x y y '=-⎧⎨'=⎩代入1()sin()84f xx ππ''=+中，得2()sin()84f x x ππ=-．（3）y =ω，代入最高点或最低点求ϕ．例3.右图为游览车的示意图，该游览车半径为4.8m ，圆上最低点与地面距离为0.8m ，60秒转到一周，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离为h ． （1）求h 与θ间关系的函数解析式；（2）设从OA 开始转动，经过t 秒到达OB ，求h 与t 间关系的函数解析式．分析：理解题意，建立函数关系式． 解：（1）由已知作图，过点O 作地面平行线ON ，过点B 作ON 的垂线角ON 于M 点，当2πθ>时，2BOM πθ∠=-，0.8 4.8sin() 5.62h OA BM πθ∴=++=-+，经验证当02πθ≤≤，上述关系也成立．综上， 4.8sin() 5.62h πθ=-+．（2）因为点A 在圆O 上逆时针运动的速度是30π，所以t 秒转过的弧度数为30t π． 4.8sin() 5.6302h t ππ∴=-+，[0,)t ∈+∞． 点评：本题关键是理解题意，抽象出具体的三角函数模型，再运用所学三角知识解决，回答实际问题． 【反馈演练】1．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所有的点①向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；②向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；③向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）； ④向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．其中，正确的序号有_____③______．2．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向右平移________个单位长度． 3．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =ω=__2____；ϕ=__________． 4．在()π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为____________________．5．下列函数： ①sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ②sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ③cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ④cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 3π3π5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 第5题第9题其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____．6．设函数2()sin cos f x x x x a ωωω=++（其中0,a R ω>∈），且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是6π．则ω=_________．7．要得到cos 2y x =的图像，只要把sin(2)3y x π=-的图像向____左___平移_________个单位即可．8．函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________． 9．如图，函数2sin()y x πφ=+，x R ∈，(其中02πφ≤≤)的图象与y 轴交于点（0，1）．设P 是图象上的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点，则PM 与PN 的夹角余弦值为_________． 10．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω （1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段时间的函数解析式． 解：（1）由图示，这段时间的最大温差是201030=-℃（2）图中从6时到14时的图象是函数b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期∴614221-=⋅ωπ，解得8πω= 由图示，10)1030(21=-=A 20)3010(21=+=b这时，20)8sin(10++=ϕπx y将10,6==y x 代入上式，可取43πϕ=综上，所求的解析式为20)438sin(10++=ππx y （]14,6[∈x ）11．已知函数f (x )=A 2sin ()x ωϕ+(A >0，ω>0，0<ϕ<2π)，且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）．（1）求ϕ；（2）计算f (1)+f (2)+…+f (2 008).解：（１）由题意得2A =，()1cos(22)f x x ωϕ∴=-+，又24T πω==，∴4πω=，代入点（1，2），得ϕ=4π；第10题12 512π 13k << 1517（２）由（1）得：()sin12f x x π=+，(1)(2)(3)(4)4f f f f +++=(1)(2)(2008)2008f f f ∴+++=．12．如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA当02y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值． 解：（1）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+得cos θ=， 因为02θπ≤≤，所以6θπ=． 又因为该函数的最小正周期为π，所以2ω=， 因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （2）因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA 的中点，0y = 所以点P 的坐标为022x π⎛-⎝． 又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，所以05cos 462x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 因为02x ππ≤≤，所以075194666x πππ-≤≤， 从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=． 即023x π=或034x π=．第12题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角函数的图像与性质
一、学习目标 1. 能够快速准确地用五点法和变换法作出三角函数的图像，能够由图像写解析式 2. 掌握三角函数的单调性与值域，周期，单调区间，对称性 3. 掌握数形结合思想 二、考情分析 本节内容为高考常考高频考点 三、课前自主学习 １、导入学习 阅读《高考领航》P22解题必备题，并解决以下问题 (1)作出正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx，正切函数y=tanx的图像； (2)分别用五点法和变换法作出f(x)＝sin2x－3cos2x的图象； 先平移再伸缩（虚线保留作图痕迹） 先伸缩再平移（虚线保留作图痕迹） (3)解决问题（2）用到的基础公式为 ; (4)利用图像写出函数f(x)＝sin2x－3cos2x的单调区间与对称轴方程和对称中心坐标；
(5)利用公式求出函数f(x)＝sin2x－3cos2x的单调区间与对称轴方程和对称中心坐
标。
２、自测：
（1）(2016·高考全国卷Ⅱ)若将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平
移后图象的对称轴为________
（2）(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y＝sinx－3cosx的图象可由函数y＝sinx＋3cosx
的图象至少向右平移________个单位长度得到
（3）（2016年高考新课标Ⅱ卷文）函数=sin()yAx 的
部分图像如图所示，则
（A）2sin(2)6yx （B）2sin(2)3yx
（C）2sin(2+)6yx（D）2sin(2+)3yx
（4）函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如右图所示，
则f(x)的解析式为_______单调递减区间为_______
3、问题返馈：
四、课堂合作学习
１、自测问题展示
２、小组讨论
３、学生展讲
４、学生质疑
５、教师点评
６、学生更正
７、知识总结
五、高考真题再现
1、(2016年高考天津理) 已知函数f(x)=4tanxsin(2x)cos(3x)-3.
(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；
（Ⅱ）讨论f(x)在区间[,44]上的单调性.
2、(2017·高考山东卷)设函数f(x)＝sinωx－π6＋sinωx－π2，其中0＜ω＜3，
已知f π6＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的
图象向左平移π4个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在－π4，3π4上的最小值．
六、学习目标检测
1、将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图象,则
φ的一个可能取值为( )
A. B. C.0 D.-
2、已知函数()sin()(0),24fxx+x， 为()fx的零点，4x为
()yfx
图像的对称轴，且()fx在51836，单调，则的最大值为
A.11 B.9 C.7 D.5
3、已知m＝sinx－π6，1，n＝(cos x,1)．
①若m∥n，求tan x的值；
②若函数f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的值域及单调递增区间．