高中数学椭圆及其标准方程教案

教学章节： 椭圆及其标准方程

教学目标：知识目标：1：熟练掌握椭圆的定义。

2：熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件

画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程。

能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；

（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题

和创造地解决问题；

（3） 通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维

力；

教学重点：椭圆的定义及标准方程。

·

教学难点：椭圆的定义及标准方程的推导。

教学过程：

一：椭圆概念的引入：

1：举例：（1）天体行星和卫星运行的轨道。

（2）立体几何中作园的一种直观图。

2：手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在

画图板上的F 1,F 2两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉

近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。

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分析：（1）轨迹上的点是怎么来的

（2）在这个运动过程中，什么是不变的 答：两个定点，绳长。

即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）

3：由此总结椭圆定义：

平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常熟（大于）的点的轨迹叫作椭圆，

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

4：说明 （1）注意椭圆定义中容易遗漏的两处地方：

、

（2）两个定点------两点间距离确定。

绳长------轨迹上任意点到两定点距离和确定。

（3）思考：

在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（极限：线段）。

在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（极限：圆）。

注意到条件：

由此，椭圆的形状与两定点间距离，绳长有关。（为下面离心率概念作铺垫）

二：根据定义推导椭圆标准方程：

$

1：复习求轨迹方程的基本步骤：

2：推导：取过焦点21F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴。

设P （x,y ）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c （c>0）.

则：)0,()0,(21c F c F ，又设M 与F 1,F 2距离之和等于2a （常数）

{}a PF PF P P 221=+=∴

221)(y c x PF ++= 又，

a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得：

？

)()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>

022>-∴c a

令2

22b c a =-∴代入，得： 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得：

12

2

22=+b y a x ，此即为椭圆的标准方程。 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程。 其中2

22b c a +=

注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程，

(

说明：

（1） 其中：2a 为椭圆上任意点到焦点的距离之和这个定值。

焦距2c ，而由

（2） 如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换x,y 轴）焦点则变成： 只要将此方程中的x,y 调换，即可得：122

22=+b

x a y ，此也是椭圆的标准方程。 三：巩固练习：

1：判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出a,b,c 的值。 ①12

22

2=+y x ： ②12

42

2=+y x ③12

42

2=-y x

④36942

2=+x y 变形为：13222

22=+y x 总结：注意到a 2>b 2，则可以根据分母的大小，判断其焦点在哪个坐标轴上。 2：求三量：

四：例题讲解：

1：平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离之和是10的点的轨迹方程。 问：这个轨迹是什么------椭圆

!

如何确定-------定式定量。

2：已知B,C 两定点，12=BC ，三角形ABC 的周长为16，求A 的轨迹方程。

4：若116242

2=++-k

y k x 表示椭圆，则k 的取值范围是 五：总结

六：作业

流程图

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