有限单元法基础介绍
有限单元法和ANSYS简介
1．图形显示 2．多窗口绘图 多窗口绘图的目的是可以在建模时从各个角度方便地 观察图形，在后处理时能够方便地进行结果比较，进行多操 作绘图需要通过以下过程实现： （1）定义窗口布局； （2）选择要在窗口中显示的内容； （3）若要显示单元和图形，选择用于绘图的单元和图 形显示类型； （4）执行多窗口绘图命令，进行多窗口绘图显示。 3．增强图形显示
1.1
有限单元法简介
有限单元法是目前在工程领域内常用的数值模拟方法 之一。本节主要介绍了有限单元法的发展历史，有限单元法 的基本模型和三种主要的分类方式，以及有限单元法的分析 步骤。
1.1.1
有限单元法的基本思想
目前在工程领域内常用的数值模拟方法包括有限单元 法、边界元法、离散单元法和有限差分法等。就应用的广泛 性而言，有限单元法应用最广。其基本思想是将连续的结构 离散成有限多个单元，并在每一个单元中设定有限数量的节 点，将连续体看作是只在节点处相连续的一组单元的集合体 ，同时选定场函数的节点值作为基本未知量，并在第一单元 中假设一个插值函数来表示单元中场函数的分布规律，进而 利用弹性力学、固体力学、结构力学等力学中的变分原理去 建立用以求解节点未知量的有限元方程，从而将一个连续域 中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题。求 解后就可以利用解得的节点值和设定的插值函数确定单元上 以至整个集合上的场函数。
1.2.1
ANSYS的发展历程
ANSYS公司成立于1970年，总部位于美国宾西法尼亚的 匹兹堡，致力于CAE技术的研究和发展，并通过CAE技术帮 助企业优化设计流程。ANSYS软件的创始人是美国匹斯堡大 学力学系教授、著名有限元权威John Swanson博士。ANSYS 灵活、开放的解决方案为概念设计到最终测试的设计全过程 提供了有效的CAE协同环境，使客户可以在设计的各个阶段 大规模采用CAE技术，最大程度地发挥CAE对设计流程的贡 献，从而大幅度地缩短研发流程、降低研发费用、提高设计 质量。
有限单元法和有限元法
有限单元法和有限元法
有限单元法和有限元法：探索结构和材料力学的工程分析方法
有限单元法和有限元法是结构工程和材料科学领域中常用的数值分析方法，用
于模拟和评估各种结构的力学行为和性能。
它们基于有限元理论，将连续体划分为有限数量的离散单元，通过求解线性或非线性方程组来近似描述结构的响应。
有限单元法是有限元法的基础，其核心概念是将结构划分为有限数量的单元，
每个单元具有特定的几何形状和材料特性。
每个单元内部的应力、应变和位移可以通过求解一组局部方程组得到，然后使用装配技术将这些局部方程组组装成整体方程组。
最后，通过求解整体方程组，可以得到结构的全局响应。
有限元法在有限单元法的基础上进一步发展，并引入了形状函数的概念。
形状
函数是用于描述单元内部的位移和应力分布的数学函数。
这些函数基于单元的几何形状和节点位置，以及在每个节点上施加的位移和力。
通过将形状函数与每个单元的位移场相乘，并将其积分求和，可以得到整个结构的位移和应力场。
有限元法的独特之处在于其灵活性和适应性。
通过选择不同类型和尺寸的单元，可以对各种材料和结构进行模拟。
此外，有限元法还可以处理非线性材料行为、大变形和挠度等复杂问题。
同时，该方法还可以考虑结构的动力响应，从而可以用于地震工程、风力工程以及其他动力载荷下的结构分析。
总而言之，有限单元法和有限元法在结构工程和材料科学中起着重要的作用。
它们为工程师和科学家提供了一种准确可靠的方法，用于模拟和分析各种结构的行为和性能。
通过应用这些方法，可以更好地理解结构的力学行为，并帮助设计和优化工程结构，从而推动工程技术的发展。
有限单元法参考答案
有限单元法参考答案有限单元法参考答案有限单元法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于工程领域中的结构分析、流体力学、电磁场等问题的求解。
在有限单元法中，将连续的物体或区域离散成有限个单元，通过对单元进行逐一求解，最终得到整个问题的解。
本文将介绍有限单元法的基本原理和应用，并给出一些参考答案。
一、有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理是将一个连续的物体或区域离散成有限个单元，通过对单元进行逐一求解，最终得到整个问题的解。
在离散的过程中，通常需要选择合适的单元形状和节点布局。
常见的单元形状有三角形、四边形、六边形等，节点则是单元的顶点。
在有限单元法中，通过建立单元之间的关系，可以将整个问题转化为一个线性方程组的求解问题。
这个线性方程组通常由结构的刚度矩阵和载荷向量组成。
刚度矩阵描述了单元之间的刚度关系，而载荷向量则描述了外部施加在结构上的力。
通过求解这个线性方程组，可以得到结构的位移和应力分布。
二、有限单元法的应用有限单元法广泛应用于工程领域中的结构分析、流体力学、电磁场等问题的求解。
下面将介绍有限单元法在结构分析中的应用。
1. 结构分析有限单元法在结构分析中的应用非常广泛。
通过将结构离散成有限个单元，可以得到结构的位移、应力分布等重要参数。
这些参数对于结构的设计和优化非常重要。
有限单元法可以用于分析各种类型的结构，包括梁、板、壳、桁架等。
2. 流体力学有限单元法在流体力学中的应用主要包括流体流动、热传导、传质等问题的求解。
通过将流体区域离散成有限个单元，可以得到流体的速度、压力分布等参数。
这些参数对于流体力学问题的分析和设计非常重要。
3. 电磁场有限单元法在电磁场中的应用主要包括电场、磁场、电磁波等问题的求解。
通过将电磁场区域离散成有限个单元，可以得到电场、磁场分布等参数。
这些参数对于电磁场问题的分析和设计非常重要。
三、有限单元法参考答案下面给出一些有限单元法问题的参考答案，以供参考。
1. 结构分析问题假设有一根悬臂梁，长度为L，截面为矩形，宽度为b，高度为h，杨氏模量为E。
有限单元法的基本概念和理论基础
可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。六个应变分量的总体，可以用一个列向量来表示：
1
2
应变分量向量
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
01
02
03
04
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，可得
考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：
联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系。
应变分量与位移分量的关系来自<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
简化得
剪应力互等
应力
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
考虑微元体各个面上的法向应力和剪应力与其体力平衡，注意应力从一个面到对面是变化的，即有增量，将作用于微元体各个方向的力求和，略去高阶项，可得平衡方程：
平衡微分方程
可以证明：如果 这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。
有限单元法PPT课件
参考文献
1 殷宗泽，土工原理与计算，中国水利水电出版社，1996 2 龚晓南，土工计算机分析，中国建筑工业出版社，2000 3 朱百里，沈珠江，计算土力学，上海科学技术出版社，1990 4 朱伯芳，有限单元法原理与应用，中国水利水电出版社，2000 5 王勖成，邵敏，有限单元法基本原理和数值方法，清华大学出
1 概述
比奥固结方程 平衡方程与连续性方程联立
x xy h 0
x y x
以总水头表示
xy
x
y
y
h y
w
Fy
0
x
xy
p
1 w(Kx x 2h 2Ky y 2h 2) tv0
0
x y x
以孔压表示
xy
x
y
y
p y
Fy
0
1w(Kx 2 xp 2 Ky y 2p 2) tv 0
若水头为0，退化为一 般的应力应变问题； 若土骨架不变，退化 为渗流控制方程
6
NNMMFfWlo2wD.1.1
基于无单元法的渗流计算。主要针对有自由 面的二维渗流问题。可以计算稳定渗流、水
NMFW3D.1 位骤降、尤其水位骤升情况下的渗流问题
高等土力学讲义
土工数值计算中的有限单元法
介玉新
jieyx@
清华大学奥固结理论的有限元格式 3 有限单元法的求解方法 4 有限元计算中的处理方法 5 文献阅读和编程中注意事项 6 案例分析：理论、经验和直觉
里兹法 变分原理 泛函分析
有限元原理
最速降线问题
伽辽金法 加权残值法 虚位移原理不具一般性
1 概述 1.3 有限单元法的基本原理
本构方程本质：
研究[D]阵（物理方程）及其变化， 也即和的关系及其变化
有限元分析基础-文档资料
2019.8
内容结构
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 概述 结构几何构造分析 杆系结构静力分析的有限单元法 平面结构问题的有限单元法 等参元 空间问题的有限单元法 轴对称旋转单元
2
第一章 概述
1.1 有限单元法的概念 1.2 有限单元法基本步骤 1.3 工程实例
21
第二章 结构几何构造分析
② 反对称载荷作用
(a) 变形状态分析
(b) 铲运机工作装置插入工况有限元分析
图1-3 WJD-1.5型电动铲运机
8
第一章 概述
(a) KOMATSU液压挖掘机
(b) 某液压挖掘机动臂限元分析
图1-4 液压挖掘机
9
第一章 概述
图1-5 驾驶室受侧向力应力云图
图1-6 接触问题结构件应力云图
10
第一章 概述
图1-7 液压管路速度场分布云图
18
第二章 结构几何构造分析
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。
(1) 具有奇数跨的刚架 ① 正对称载荷作用
2.2.3 结构对称性的利用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析 图2-22对称性利用示意图
图1-8 磨片热应力云图
图1-9 支架自由振动云图
11
第二章 结构几何构造分析
2.1 结构几何构造的必要性 2.2 结构计算基本知识 2.3 结构几何构造分析的自由度与约束2.1 结构几何构造的必要性
结构是用来承受和传递载荷的。如果不计材料的 应变，在其受到任意载荷作用时其形状和位置没有发 生刚体位移时，称之为几何不变结构或几何稳定结构， 反之则称为几何可变结构或几何不稳定结构。几何可 变结构不能承受和传递载荷。对结构进行几何构造分 析也是能够对工程结构作有限单元法分析的必要条件。
有限单元法
有限单元法
答：一、定义
有限单元法的基本前提是：将连续的求解域离散为一组有限个单元的组合体，这样的组合体能解析地模拟或逼近求解区域。
由于单元能按各种不同的连接方式组合在一起，且单元本身又可以有不同的几何形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域，有限元法作为一种数值分析方法的另一重要步骤是利用在每一个单元内假设的近似函数来表示全求解区域上待求的未知场函数。
单元内的近似函数通常由未知场函数在各个单元节点上的数值以及插值函数表达。
这样一来，一个问题的有限单元分析中，未知场函数的节点值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
一旦求解出这些未知量，就可以利用插值函数确定单元组合体上的场函数。
显然，随着单元数日的增加，单元尺寸的缩小，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
二、有限单元法主要学什么
1、有限单元法主要讲述线弹性有限元法的基本理论、matlab编程实现及相应商业有限元软件的应用，对线弹性动力有限元法及材料、几何和接触三类非线性有限元法的基本概念和程序应用也进行了介绍。
2、主要内容是：matlab编程及符号运算、分部积分、泛函极值与变分法、直接刚度法、有限元求解方法、杆单元力学基础、单元组
装、弹性固体结构、板壳结构。
有限单元法及程序设计
有限单元法及程序设计有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种用于数值分析和计算的方法，广泛应用于工程和科学领域。
它通过将连续问题离散化成有限个小单元，并在每个小单元上建立数学模型来近似求解问题。
本文将介绍有限单元法的基本原理、步骤以及程序设计方面的注意事项。
一、有限单元法基本原理有限单元法的基本原理是将连续的物理区域划分为有限个离散的小单元，每个小单元内的场量近似表示为一些插值函数的线性组合。
通过对这些小单元进行逐个求解，最终得到整个问题的近似解。
有限单元法的核心思想是利用局部性原则，将整个问题分解成多个小问题。
每个小问题只涉及到相邻的单元，在确定了边界条件和材料特性后，可以进行独立的求解。
最后通过组合各个小问题的解，得到整个问题的解。
二、有限单元法步骤有限单元法的求解过程主要包括几个基本步骤，具体如下：1. 离散化：将连续的物理区域划分为有限的小单元。
常用的小单元形状包括三角形、四边形、六边形等。
2. 建立数学模型：在每个小单元上建立数学模型，通常使用插值函数来近似表示物理量。
插值函数的选择对求解结果的准确性和效率有重要影响。
3. 形成总体方程：根据物理规律和边界条件，利用适当的数学方法推导出总体方程。
常见的总体方程包括稳定性方程、运动方程等。
4. 矩阵装配：将每个小单元的局部方程装配成整个系统的总体方程。
这一步骤常常需要对单元进行编号和排序，以便正确地装配矩阵。
5. 边界条件处理：根据实际问题的边界条件，对总体方程进行修正。
边界条件的处理通常包括施加约束和设定边界值。
6. 求解方程：通过数值方法，如有限差分法或有限元法，求解总体方程。
常用的求解方法包括直接法和迭代法。
7. 后处理：对求解结果进行计算和分析，以获得实际问题的有用信息。
后处理包括输出位移、应力、应变等字段，以及进行可视化展示。
三、程序设计注意事项在进行有限单元法的程序设计时，需要充分考虑以下几个方面的注意事项：1. 算法选择：根据问题的特点和求解需求，选择合适的有限单元类型、插值函数和数值解法。
有限元法基础-一维单元
最终解。
直接求解法的基本步骤
01
建立方程组
根据问题的物理模型和边界条件， 建立线性方程组。
解方程
对方程组的上三角或下三角矩阵进 行求解，得到所有节点的解。
03
02
消元法
通过消元法将方程组化为上三角或 下三角矩阵形式。
后处理
根据需要计算其他物理量或进行误 差分析等后处理工作。
对于复杂的边界条件和约束条件，可 以采用消元法逐步消除未知量，最终 得到唯一解。
06
一维单元的求解方法
求解方法的分类和选择
直接求解法
直接求解线性方程组，得到所有 节点的解。适用于节点数较少、
方程组规模较小的简单问题。
迭代求解法
通过迭代逐步逼近方程组的解，适 用于大规模复杂问题。常用的迭代 方法有Jacobi迭代法和GaussSeidel迭代法等。
02
一维单元的离散化
离散化的概念和步骤
离散化的概念：将连续的物理系统分割 成有限个小的、相互连接但不重叠的单 元，每个单元称为有限元。
3. 在每个单元上选择一个节点作为代表 ，并建立节点之间的相互关系。
2. 将几何形状划分为有限个单元，每个 单元具有确定的形状和尺寸。
离散化的步骤 1. 确定研究对象的几何形状和尺寸。
一维单元的划分方法
均匀划分
将一维物体均匀地划分为 若干个等长的单元，每个 单元长度相等。
非均匀划分
根据需要将一维物体划分 为长度不等或形状不同的 单元。
分段线性划分
将一维物体划分为若干个 线性变化的单元，每个单 元的长度和形状都是线性 的。
单元节点的选取与编号
节点选取
有限元分析基础
第二章 结构几何构造分析
(a) 结构本身可变 (b) 缺少必要的约束条件 (c) 约束汇交于一点 图2-1 几何可变结构
14
第二章 结构几何构造分析
2.2 结构计算基本知识
2.2.1 结构计算简图
实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况 进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实 际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化，使 之成为既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算 的几何图形。这种被抽象化了的简单的理想图形称之为 结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。 结构计算所常用的结点和支座的简化形式:
对称结构在正对称载荷下，对称轴截面上只能产生 正对称的位移，反对称的位移为零；对称结构在反对称 载荷下，对称轴截面上只有反对称的位移，正对称的位 移为零。 (1) 具有奇数跨的刚架
① 正对称载荷作用
(a) 对称刚架
（b) 变形状态分析
(c) 对称性利用
图2-22对称性利用示意图
19
第二章 结构几何构造分析
单元结点位移条件
当 x0 时
v vi，
v x
i
当 xl
时 v vj，
v x
j
1 vi
2 i
3
3 l2
vi v j
1 l
2i
j
4
2 l3
vi v j
1 l2
i j
34
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
a. 杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用 点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。 这些结点都是根据结构本身特点来确定的。
b. 结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置 为一个单元。 变换为作用在结点上的等效结点载荷。