九年级下册数学第一章测试题(北师大版)
学习是一个边学新知识边巩固的过程，对学过的知识一定要多加练习，这样才能进步。因此，
精品编辑老师为大家整理了九年级下册数学第一章测试题，供大家参考。填空题(每小题3
分，共24分)11.(2014山东东营中考)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树
相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_________
米.12.(2015陕西中考)如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8
米，则A的度数约为________.(用科学计算器计算，结果精确到0.1)13.如图，小兰想测量
南塔的高度.她在 处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前进50 m至 处，测得仰角为
60，那么塔高约为 _________ m.(小兰身高忽略不计， )14.等腰三角形的腰长为2，腰上的
高为1，则它的底角等于________ .15.如图，已知Rt△ 中，斜边 上的高 ， ，则 ________.16.
如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则 _ .17. (2015江西中考)如图①是小志同学书
桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC=BD=15 cm，CBD=40，
则点B到CD的距离为___________cm(参考数据：sin 200.342，cos 200.940，sin 400.643，
cos 400.766，结果精确到0.1 cm，可用科学计算器).① ②第17题图18.如图，在四边形
中， ， ， ， ，则 __________.解答题(共66分)19.(8分)计算下列各题：(1) ;(2) .20.(7
分)在数学活动课上，九年级(1)班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计
的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A，测得由点 看大树顶端C的仰角
为35(2)在点A和大树之间选择一点B(A，B，D在同一直线上)，测得由点B看大树顶端C的
仰角恰好为45(3)量出A，B两点间的距离为4.5 .请你根据以上数据求出大树CD的高度.(精
确到0.1 m)21.(7分)每年的5月15日是世界助残日.某商场门前的台阶共高出地面1.2米，
为帮助残疾人便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不
得超过 ，已知此商场门前的人行道距商场门的水平距离为8米(斜坡不能修在人行道上)，问
此商场能否把台阶换成斜坡?(参考数据： )22.(8分)如图，为了测量某建筑物CD的高度，
先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30，然后在水平地面上向建筑物前进了
100 m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45.已知测角仪的高度是1.5 m，请你计算出该
建筑物的高度.(取 1.732，结果精确到1 m)23.(8分)已知：如图，在山脚的C处测得山顶A
的仰角为45，沿着坡度为30的斜坡前进400米到D处(即， 米)，测得A的仰角为 ，求山
的高度AB.24.(8分)一段路基的横断面是直角梯形，如左下图所示，已知原来坡面的坡角的
正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部充分利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，
达到如右下图所示的技术要求.试求出改造后坡面的坡度是多少?25.(10分)如图，已知在Rt
△ABC中，ACB=90，CD是斜边AB上的中线，过点A作AECD，AE分别与CD，CB相交于点H，
E，AH=2CH.(1)求sin B的值;(2)如果CD= ，求BE的值.26.(10分)如图，在南北方向的海岸
线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号.已知A，B两船相距100( +1)
海里，船C在船A的北偏东60方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得
船C正好在观测点D的南偏东75方向上.(1)分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD(如果
运算结果有根号，请保留根号).(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A
沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险?(参考数据： 1.41， 1.73)参考答
案填空题11.10 解析：如图，过点A作ACBC,则AC= 8米,BC=12-6=6(米).在Rt△ACB中,根
据勾股定理，得AB= = = =10(米).12. 27.8 解析：根据正切的定义可知 ,然后使用计算器
求出 的度数约为27.8.13.43.3 解析：因为 ，所以 所以 所以 ).14.15或75 解析：如图， .
在图①中， ，所以 ;在图②中， ，所以 .15. 解析：在Rt△ 中，∵ ， sin B= ， .在Rt
△ 中，∵ ，sin B= ， .在Rt△ 中，∵ ， .16. 解析：设每个小方格的边长为1，利用网
格,从 点向 所在直线作垂线,利用勾股定理得 ,所以sin A = .17. 14.1 解析：如图，过点
B作BECD于点E，∵ BC=BD，根据等腰三角形的三线合一性质，得CBE= CBD=20.在Rt△BCE
中，cosCBE= ， BE=BCcosCBE150.940=14.1(cm).第17题答图18. 解析：如图，延长 、 交
于 点，∵ ， .∵ ， ，.∵ ，.三、解答题19.解：(1)(2)20.解：∵ 90 45，∵ ，则 m，
∵ 35，tan tan 35 .整理，得 10.5.故大树 的高约为10.521.解：因为 所以斜坡的坡角小
于 ，故此商场能把台阶换成斜坡.22.解：设 ，则由题意可知 ， m.在Rt△AEC中，tanCAE= ，
即tan 30= ，，即3x (x+100)，解得x 50+50 .经检验， 50+50 是原方程的解.故该建筑物
的高度约为23.解:如图，过点D分别作 于点 ， 于点 ，在Rt△ 中， ， 米，所以 (米)，
(米).在Rt△ADE中，ADE=60，设 米，则 (米).在矩形DEBF中，BE=DF=200 米，在Rt△ACB
中， ， ，即 ，， 米.24.解：由原题左图可知：BEDC， m， .在Rt△BEC中， (m).由勾股
定理得， m.在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变
小，则梯形 的面积=梯形 的面积.，解得 =80(m).改造后坡面的坡度 .25.分析：(1)根据已
知条件得出DCB=CAE，可以在Rt△ACH中求出sin B的值.(2)通过解Rt△ABC求出AC与BC
的长，解Rt△ACH求出CE的长，利用BE=BC-CE得到答案.解：(1)∵ CD是斜边AB上的中线，
CD=BD, DCB.∵ ACB=90，AECD，DCB=CAE, DCB=CAE.∵ AH=2CH，sin B=sinCAE= = = .(2)∵ CD= ，
AB=2 .BC=2 cos B=4，AC=2 sin B=2,CE=ACtanCAE=1,BE=BC-CE=3.点拨：直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半，即直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形.26.
分析：(1)过点C作CEAB于点E，构造直角三角形.设AE=a海里，通过解直角三角形，用含a
的代数式表示出CE，AC.在Rt△BCE中，根据BE=CE，列出方程，求出a，进而求出AC.(2)
判断巡逻船A在沿直线AC去营救船C的途中有无触礁危险，只要求出观测点D到AC的距离，
然后与100海里比较即可.因此，过点D作DFAC，构造出Rt△ADF，求出DF，将DF与100海
里进行比较.解：(1)如图，过点C作CEAB于点E，设AE=a海里，则BE=AB-AE=100( +1)-a(海
里).在Rt△ACE中，AEC=90EAC=60，AC= = =2a(海里)，CE=AEtan 60= a(海里).在Rt△BCE
中，BE=CE，100( +1)-a= a， a=100(海里).AC=2a=200(海里).在△ACD和△ABC中，
ACB=180-45-60=75ADC,CAD=BAC，△ACD∽△ABC， = ,即 = .AD=200( -1)(海里).答：A与C
间的距离为200海里，A与D间的距离为200( -1)海里.(2)如图，过点D作DFAC于点F.在
Rt△ADF中，DAF=60，DF=ADsin 60=200( -1) =100(3- )127100.船A沿直线AC航行，前往
船C处途中无触礁危险.点拨：(1)解斜三角形的问题时，一般通过作高构造直角三角形求
解;(2)已知两个直角三角形边长的和或边长的差，常通过列方程的方法解直角三角形.希望为
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北师大版九年级数学下册第一章学情评估 附答案 (3)
北师大版九年级数学下册第一章学情评估一、选择题(每小题3分，共24分)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，AB ＝5，那么sin B 等于( )A.35B.45C.34D.432．如果α是锐角，sin α＝32，那么tan α的值是( )A.33B. 3C.12D.32 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝2，则cos A 的值为( )A.12B.55C.25D.334．如图，在边长为1的4×4的正方形网格中，D 为AB 与正方形网格线的交点，下列结论中不正确的是( ) A ．tan A ＝12B ．∠ACB ＝90°C ．CD ≠12ABD ．cos B ＝55(第4题) (第5题)5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线MN 交 AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝0.6，则BC 的长为( ) A ．4 cm B ．6 cm C ．8 cmD ．10 cm6．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，分别以点A 和点C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN 分别交AD ，BC 于点E ，F ，则AE 的长为( ) A.74 B.94 C.154D.254(第6题)(第7题)7．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30 2 km到B港，然后沿北偏西40°方向航行到C港，C港在A港的北偏东20°方向，则A、C两港之间的距离为()A．(30＋303) km B．30 3 kmC．(10＋303) km D．(30＋103) km8．如图，在矩形ABCD中，∠DAB的平分线交BD于点F，交CD于点E，∠EAC ＝15°，AB＝23，则EF的长为()(第8题)A．23－2 B.6－ 2C．22－2 D.3－1二、填空题(每小题3分，共15分)9．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sin A＝32，cos B＝12，则∠C＝________．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cos A＝25，则BC的长是________．(第10题)(第11题)11．如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C 的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20 m，则BC＝________m. 12．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，山坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26 m，斜坡AB的坡比为12 5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移________m时，才能确保山体不滑坡．(参考数据：tan 50°≈1.2)(第12题)(第13题)13．如图，Rt△AOB的顶点在坐标原点上，∠OBA＝60°，若点B在反比例函数y＝－2x(x＜0)的图象上，点A在反比例函数y＝kx(x＞0)的图象上，则k的值为________．三、解答题(共13小题，共81分)14．(5分)计算：2sin 60°tan 60°－2sin 45°cos 60°.15．(5分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，求∠A的正弦值、余弦值及正切值．16．(5分)如图，在△ABC中，已知sin A＝34，AC＝12，AB＝8.(1)求△ABC的面积；(2)用没有刻度的直尺和圆规在边AC上确定点D，使得AD＋DB＝AC.(保留作图痕迹，不写作法)(第16题)17．(5分)如图，在正方形ABCD中，G是BC上一点，AB＝4，BG＝3，DE⊥AG 于点E，BF∥DE，且交AG于点F.求：(第17题)(1)∠DAG的正弦值；(2)EF的长．18．(5分)某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜后在C处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠ACD＝60°，∠ADC ＝45°，AD＝5 2 m，求这棵大树AB的高．(结果保留根号)(第18题)19．(5分)在全校的科技制作大赛中，王浩同学用木板制作了一个带有卡槽的三角形手机架．如图所示，卡槽的宽度EF与内三角形ABC的AB边长相等．已知AC＝20 cm，BC＝18 cm，∠ACB＝50°，一部手机的最长边为17 cm，王浩同学能否将此手机立放入卡槽内？请说明你的理由．(参考数据：sin50°≈0.8，cos 50°≈0.6，tan 50°≈1.2)(第19题)20．(5分)如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠CDA＝120°，BC＝5，CD＝4，DA＝6，求四边形ABCD的面积．(第20题)21．(6分)如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC＝15 m，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，求山高CD(点A，C，D在同一条竖直线上)．(参考数据：tan 36.9°≈0.75，sin 36.9°≈0.60，tan 42.0°≈0.90)(第21题)22．(7分)一个一次函数的图象与y轴的交点为(0，1)，且经过点A(2，3)．(1)求这个一次函数的表达式；(2)点A，B在某个反比例函数的图象上，点B的横坐标为6，将点B向上平移2个单位长度得到点C，求cos∠ABC的值．23．(7分)宝鸡电视塔是陕西省第二座水泥电视塔，是宝鸡地标建筑之一．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测量宝鸡电视塔的高度BD.小辉先在地面上A处放置了一块平面镜，从A点向后退了2.4 m至F处，他的眼睛E 恰好看到了平面镜中电视塔顶端B的像；然后从点F处沿水平方向前进52.4 m 到达C点，此时测得电视塔顶端B的仰角∠BCD是45°，已知D、C、A、F 在同一水平线上，BD⊥FD，EF⊥FD，EF＝1.8 m，求电视塔的高度BD.(平面镜的大小忽略不计)(第23题)24．(8分)在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°，沿着山坡向上走75 m到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i＝3∶4(坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)求大楼MN的高度．(图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，点N，A，C在同一水平线上，参考数据：tan 22°≈0.4，tan 58°≈1.6)(第24题)25．(8分)如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200 m．当小宇沿滨海大道向东步行200 m到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的路程．(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84，sin 68°≈0.93，cos 68°≈0.37，tan 68°≈2.48)(第25题)26．(10分)我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．(1)如图①所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a m的点D处，测角仪高为b m，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度；(用含a，b，α的代数式表示)(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图②所示，现将一高度为2 m的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1 m，再将木杆沿着BC方向移动1.8 m至DE的位置，此时测得其影长DF为3 m，求灯杆AB的高度．(第26题)答案一、1.B 2.B 3.B 4.C 5.A 6.D7.D8.B二、9.60°10.22111.(203－20)12.1013.6三、14.解：原式＝2×32×3－2×22×12＝3－12＝52.15．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝AC2＋BC2＝122＋52＝13，∴sin A＝BCAB＝513，cos A＝ACAB＝1213，tan A＝BCAC＝512.16．解：(1)如图，过点B作BH⊥AC于点H.(第16题)∵sin A＝BHAB＝34，AB＝8，∴BH＝6，∴S△ABC ＝12·AC·BH＝12×12×6＝36.(2)如图．17．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°.∴∠BAG＋∠AGB＝∠BAF＋∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠AGB.∵AB＝4，BG＝3，∴AG＝AB2＋BG2＝5，∴sin∠DAG＝sin∠AGB＝ABAG＝45.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD. 由(1)知∠ABC＝∠BAD＝90°.∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEF＝90°.∴∠BAF＋∠DAE＝∠ADE＋∠DAE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE.∵BF ∥DE ，∴∠AFB ＝∠DEF ＝∠DEA ＝90°.在△ABF 和△DAE 中，⎩⎨⎧∠AFB ＝∠AED ，∠BAF ＝∠ADE ，AB ＝AD ，∴△ABF ≌△DAE (AAS)，∴AE ＝BF .∵∠AFB ＝90°，∴∠BFG ＝90°.∵sin ∠BGF ＝BF BG ＝45，BG ＝3，∴BF ＝125，∴AF ＝AB 2－BF 2＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝165， ∴EF ＝AF －AE ＝AF －BF ＝165－125＝45.18．解：过点A 作AE ⊥CD 于点E ，则∠AEC ＝∠AED ＝90°.在Rt △AED 中，∠ADC ＝45°，∴AE ＝DE ＝AD ·cos 45°＝52×22＝5(m)，在Rt △AEC 中，∠ACD ＝60°，∴CE ＝AE tan 60°＝53＝533(m)， AC ＝AE sin 60°＝532＝1033(m)， ∴AB ＝AC ＋CE ＋ED ＝1033＋533＋5＝53＋5(m)．故这棵大树AB 的高为(53＋5)m.19．解：王浩同学能将此手机立放入卡槽内．理由如下：作AD ⊥BC 于点D ，∵∠C ＝50°，AC ＝20 cm ，∴AD ＝AC ·sin 50°≈20×0.8＝16(cm)，CD ＝AC ·cos 50°≈20×0.6＝12(cm)，∴DB ＝BC －CD ≈18－12＝6(cm)，∴AB ＝AD 2＋BD 2≈162＋62＝292(cm)，∴EF ＝AB ＝292 cm.∵17＝289<292，∴王浩同学能将此手机立放入卡槽内．20．解：如图，延长AD ，BC 相交于点E .(第20题)∵∠BCD ＝∠CDA ＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴∠E ＝60°，∴△EDC 为等边三角形，∴ED ＝DC ＝CE ＝4，∴易得S △DEC ＝3×424＝4 3.在△ABE 中，AE ＝AD ＋DE ＝6＋4＝10，BE ＝BC ＋EC ＝5＋4＝9，∠E ＝60°，∴易得S △ABE ＝12AE ·BE ·sin 60°＝12×10×9×sin 60°＝4532，∴S 四边形ABCD ＝S △ABE －S △EDC ＝4532－43＝3732.21．解：在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD BD ，∴tan 42.0°＝AD BD ≈0.9，∴AD ≈0.9BD .在Rt △BCD 中，tan ∠CBD ＝CD BD， ∴tan 36.9°＝CD BD ≈0.75，∴CD ≈0.75BD .∵AC ＝AD －CD ，∴15≈0.15BD ，∴BD ≈100 m ，∴CD ≈0.75BD ≈75 m.答：山高CD 约为75 m.22．解：(1)设这个一次函数的表达式为y ＝kx ＋1，把点A (2，3)的坐标代入，得3＝2k ＋1，解得k ＝1，∴这个一次函数的表达式为y ＝x ＋1；(2)设反比例函数的表达式为y ＝m x ，把点A (2，3)的坐标代入，得3＝m 2，解得m ＝6，∴反比例函数的表达式为y ＝6x ，当x ＝6时，y ＝66＝1，∴B (6，1)，∴AB ＝（6－2）2＋（1－3）2＝2 5.∵将点B 向上平移2个单位长度得到点C ，∴C (6，3)，BC ＝2，∵A (2，3)，C (6，3)，∴AC ∥x 轴，∵B (6，1)，C (6，3)，∴BC ⊥x 轴，∴AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°，∴△ABC 是直角三角形，∴cos ∠ABC ＝BC AB ＝225＝55. 23．解：由题意可得，AF ＝2.4 m ，AC ＝FC －AF ＝52.4－2.4＝50(m)，设BD ＝x m ，∵∠BCD ＝45°，∴CD ＝x m ，AD ＝(50＋x )m ，根据入射角等于反射角可得∠EAF ＝∠BAD ，又∵∠EF A ＝∠BDA ＝90°，∴△EF A ∽△BDA ，∴EF F A ＝BD AD ，即1.82.4＝x 50＋x，解得x ＝150. 答：电视塔的高度BD 是150 m.24．解：过点B 分别作BE ⊥AC ，BF ⊥MN ，垂足分别为E ，F ，∴∠BEA ＝∠BFN ＝∠BFM ＝∠MNA ＝90°，∴四边形BENF 为矩形，∴BE ＝FN ，BF ＝NE .设MN ＝x m ，在Rt △ABE 中，∵斜坡AB 的坡度i ＝3∶4，即BE AE ＝34，∴sin ∠BAE ＝BE AB ＝35. ∵AB ＝75 m ，∴BE ＝45 m ，AE ＝60 m ，∴FN ＝45 m ，∴MF ＝(x －45)m.在Rt △AMN 中，∵tan ∠MAN ＝MN AN ，∠MAN ＝58°，∴tan 58°＝x AN ≈1.6，∴AN ≈58x m ，∴NE ＝AN ＋AE ≈⎝ ⎛⎭⎪⎫58x ＋60m. 在Rt △BMF 中，∵tan ∠MBF ＝MF BF，∠MBF ＝22°， ∴tan 22°＝x －45BF ≈0.4，∴BF ≈52(x －45)m ，∴58x ＋60≈52(x －45)，解得x ≈92，∴大楼MN 的高度约为92 m.25．解：如图，过点C 作CF ⊥DE 于点F .(第25题)由题意得，∠D ＝40°，∠ACB ＝68°，在Rt △ABC 中，∠CBA ＝90°，∵tan ∠ACB ＝AB CB ，∴AB ＝CB ×tan 68°≈200×2.48＝496(m)，∴BE ＝AB －AE ≈496－200＝296(m)．∵∠CFE ＝∠FEB ＝∠CBE ＝90°，∴四边形FEBC 为矩形，∴CF ＝BE ≈296 m.在Rt △CDF 中，∠DFC ＝90°，∵sin D ＝CF CD ，∴CD ＝CF sin 40°≈2960.64＝462.5(m)．答：观光船从C 处航行到D 处的路程约为462.5 m.26．解：(1)如图．(第26题)由题意得BD ＝a m ，CD ＝b m ，∠ACE ＝α，∠B ＝∠D ＝∠CEB ＝90°，∴四边形CDBE 为矩形，则BE ＝CD ＝b m ，BD ＝CE ＝a m ，在Rt △ACE 中，tan α＝AE CE ，即AE ＝CE ×tan α＝a tan α m ，而AB ＝AE ＋BE ，故AB ＝(a tan α＋b )m ，答：灯杆AB 的高度为(a tan α＋b )m.(2)由题意可得，AB ∥GC ∥ED ，GC ＝ED ＝2 m ，CH ＝1 m ，DF ＝3 m ，CD ＝1.8 m.易知△ABF ∽△EDF ，此时ED DF ＝AB BF ，即23＝AB BC ＋1.8＋3.① 易知△ABH ∽△GCH ，此时AB BH ＝GC CH ，AB BC ＋1＝2，② 联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧AB BC ＋1.8＋3＝23，AB BC ＋1＝2，解得⎩⎨⎧AB ＝3.8 m ，BC ＝0.9 m. 答：灯杆AB 的高度为3.8 m.。
2022年精品解析北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系章节测试试卷(含答案详细解析)
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系章节测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在44⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知α∠的顶点位于正方形网格的格点上，且cosα=，则满足条件的α∠是（）A．B．C．D．2、在Rt△ABC中，∠C=90º，那么cot A等于（）A．ACBCB．ACABC．BCACD．BCAB3、cos60°的值为（）24、tan 45︒的值为（ ）A ．1B ．2CD ．5、为出行方便，近日来越来越多的长春市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB 与地面平行，点A 、B 、D 共线，点D 、F 、G 共线，坐垫C 可沿射线BE 方向调节．已知，∠ABE =70°，车轮半径为30 cm ，当BC =60 cm 时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C 离地面高度约为( )(结果精确到1cm ，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）A ．90cmB ．86cmC ．82cmD ．80cm6、如图，等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，D 是AC 上一点，若tan∠DBA ＝14，则AD ＝（ ）A ．1B ．2CD ．7、在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BC a =，AB c =，那么a c的值等于（ ） A ．sin A B ．cos A C ．tan A D ．cot A8、等腰三角形的底边长10cm ，周长36cm ，则底角的正切值为（ ）12135139、一小球从斜坡的顶端沿斜坡向下滚落到斜坡底端，行了100米，下落的铅直高度为50米，则该斜坡的坡度为（）A．30°B．C D．1210、在ABC中，∠C=90°，若BC=4，2sin3A=，则AB的长为（）A．6 B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为__．2、如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠A的值为__________．3、如图所示，河堤的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，2AD=m，点A到BC的距离为4m，斜坡AB的坡度为1：3，斜坡CD的坡角为45°，则四边形ABCD的面积为__________．445602tan 45︒︒-︒=_______． 5、如图，三角形纸片ABC 中，点D 在边AC 上，连接BD ，使得BD CD =，将这张纸片沿直线BD 翻折，点C 落在C '处，连接CC '，且ABC DBC ''∠=∠，若2tan 3ACB ∠=，12BC =，则点A 到直线CC '的距离是_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：()()012020sin 60tan 30--+︒-︒2、近日，市委、市政府公布了第七批重庆市爱国主义教育基地名单，重庆市育才中学创办的陶行知纪念馆位列其中．如图，为了测量陶行知纪念馆AB 的高度，小李在点C 处放置了高度为1.5米的测角仪CD ，测得纪念馆顶端A 点的仰角51ADE ∠=︒，然后他沿着坡度1:2.4i =的斜坡CF 走了6.5米到达点F ，再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点B ．（结果精确到0.1，参考数据：sin510.78︒≈，cos510.63︒≈，tan51 1.23︒≈）（1）求点D 到纪念馆AB 的水平距离；（2）求纪念馆AB 的高度约为多少米？3、计算：sin30°•tan45°+sin 260°﹣2cos60°．4、如图所示，在76⨯的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 的端点A 、B 均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出等腰ABC ∆，点C 在小正方形的顶点上，ABC ∆的面积为252； （2）在方格纸中画出以AB 为斜边的Rt ABD ∆，点D 在小正方形顶点上，tan 2DBA ∠=，连接CD ，并直接写出CD 的长．5、先化简，再求代数式21()(1)11a a a a -⋅--+的值，其中tan 602sin30a ︒︒=-． -参考答案-一、单选题1、B【分析】先构造直角三角形，由cosα=邻边斜边求解即可得出答案【详解】A.cosα===，故此选项不符合题意；B.cosα=C.cosα=== D.cosα===故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握在直角三角形中，cosα=邻边斜边是解题的关键．2、A【分析】根据锐角A的邻边a与对边b的比叫做∠A的余切，记作cotA．【详解】解：∵∠C=90°，∴cot A=AC BC，故选：A．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余切定义．3、C【分析】根据特殊角的余弦值即可得．【详解】解：1 cos602︒=，故选：C．【点睛】本题考查了特殊角的余弦，熟记特殊角（如30,45,60︒︒︒）的余弦值是解题关键．4、A【分析】直接求解即可．【详解】解：tan45︒=1，故选：A．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．5、B【分析】过点C 作CN ⊥AB ，交AB 于M ，交地面于N ，构造直角三角形，利用三角函数，求出CM ，再用CM 减去MN 即可．【详解】解：过点C 作CN ⊥AB ，交AB 于M ，交地面于N由题意可知MN =30cm ，∴在Rt △BCM 中，∠ABE =70°，∴sin ∠ABE =sin 70°=CM CB =0.94 ∴CM ≈56cm∴CN =CM +MN =30+56=86（cm ）故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，将所给角放到直角三角形中，是解题的关键．6、B【分析】过点D 作DE AB ⊥，根据已知正切的定义得到4BE DE =，再根据等腰直角三角形的性质得到4BE AE =，再根据勾股定理计算即可；【详解】过点D 作DE AB ⊥，∵tan∠DBA ＝14DE BE=， ∴4BE DE =，∵ABC 是等腰直角三角形，∴45A ∠=︒，∴AE DE =，∴4BE AE =，∵AC ＝5，∴AB ==∴4AE BE AE AE +=+=∴AE =∴在等腰直角ADE 中，由勾股定理得2AD =．故选B ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰直角三角形，勾股定理，准确计算是解题的关键．7、A【分析】根据三角函数的比值即可得出答案．【详解】如图，sinaAc =．故选：A．【点睛】本题考查锐角三角函数，sin A=对边斜边，cos A=邻边斜边，tan A=对边邻边，cot A=邻边对边，掌握三角函数的比值是解题的关键．8、C【分析】由题意得出等腰三角形的腰长为13cm，作底边上的高，根据等腰三角形的性质得出底边一半的长度，最后由三角函数的定义即可得出答案．【详解】如图，ABC是等腰三角形，过点A作AD BC⊥，BC=10cm，AB=AC，可得：(3610)213(cm)AC=-÷=，∵AD是底边BC上的高，∴5cmCD BD==，∴12(cm)AD∴12tan 5AD C CD ∠==， 即底角的正切值为125． 故选：C ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理和三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”是解题的关键．9、B【分析】画出对应图形，根据题意即勾股定理求出水平距离OB 的长度，利用坡度等于铅直距离与水平距离之比，求出坡度即可．【详解】解：如下图所示：由题意即图可知：100OA =，50AB =，在Rt AOB ∆中，由勾股定理可得：OB ==∴坡度为：1:AB OB = 故选：B ．【点睛】本题主要是考查了坡度的定义以及勾股定理，熟练掌握坡度的定义，是求解该类问题的关键．10、A【分析】由题意直接根据三角函数定义进行分析计算即可得出答案．【详解】解：∵∠C =90°，BC =4，2sin 3A =， ∴42sin 3BC A AB AB ===, ∴6AB =.故选：A.【点睛】本题考查解直角三角形中三角函数的应用，熟练掌握直角三角形边角之间的关系是解题的关键．二、填空题1【分析】由已知的DE AB ⊥，根据垂直的性质得到90AED ∠=︒，即三角形ADE 为直角三角形，在此直角三角形中，根据正弦函数得到60DE sin AD︒=，将AD 的值代入，利用特殊角的三角函数值，化简即可求出DE ．【详解】解：∵DE AB ⊥，∴90AED ∠=︒，在Rt ADE 中，60BAD ∠=︒，2AD =， ∴60DE sin AD︒=，则·602DE AD sin=︒==【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形及特殊角的三角函数值，菱形的性质等，深刻理解锐角三角函数的性质是解题关键．2、5 6【分析】利用网格构造直角三角形，再找到对应的直角边长，最后根据三角函数的意义求解即可．【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC的延长线于点D，∴在Rt ABD△中，BD=5，AD=6，∴5 tan=6BDAAD∠=．故答案为：56．【点睛】此题考查了求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、正切的定义是解决此题的关键．3、40 m 2【分析】过A 作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 与F ，先证四边形AEFD 为矩形，得出AE =DF =4m ，AD =EF =2m ，根据斜坡AB 的坡度为1：3，求出BE =3AE =3×4=12m，根据斜坡CD 的坡角为45°，求出CF =DF =4m ，再求BC =BE +EF +FC =18m ，然后利用梯形面积公式计算即可．【详解】解：过A 作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 与F ，∴∠AEF =∠DFE =90°，∵AD ∥BC ，∴∠ADF +∠DFE =180°，∴∠ADF =180°-∠DFE =180°-90°=90°，∴∠AEF =∠DFE =∠ADF =90°，∴四边形AEFD 为矩形，∴AE =DF =4m ，AD =EF =2m ，∵斜坡AB 的坡度为1：3，∴tan∠ABE =13AEBE ， ∴BE =3AE =3×4=12m，∵斜坡CD 的坡角为45°，∴tan∠C =1DF CF=， ∴CF =DF =4m ，∴BC =BE +EF +FC =12+2+4=18m ，∴四边形ABCD 的面积为()()211421840m 22AE AD BC +=⨯⨯+=．故答案为40 m2．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，坡度，坡角，斜坡，锐角正切函数，矩形判定与性质，梯形面积公式，掌握解直角三角形的应用，坡度，坡角，斜坡，锐角正切函数，矩形判定与性质，梯形面积公式，关键是利用辅助线把梯形问题转化为直角三角形和矩形来解．4、3 2【分析】根据特殊角的三角函数值代入计算求解即可．【详解】解：原式2232321 222132 2=+-32=故答案为：32．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，以及实数的混合运算法则是解题关键．5【分析】过A 作AM ⊥BD 于M ，延长BD 交CC '于N ，先通过导角证明△ABD 是等腰三角形，再由折叠得性质即可得到AM ∥CC '，则点A 到直线CC '的距离是MN ，最后求出MN 长度即可．【详解】过A 作AM ⊥BD 于M ，延长BD 交CC '于N ，过D 作DE ⊥BC 于E∵将这张纸片沿直线BD 翻折∴BN 垂直平分CC '，CBD DBC '∠=∠∵BD CD =∴CBD DCB =∠∠∴2ADB CBD ∠=∠∵ABC DBC ''∠=∠∴ABC DBC CBD ''∠=∠=∠∴2ABD CBD ADB ∠=∠=∠∴△ABD 是等腰三角形∵AM ⊥BD ∴12DM BD =,AM ∥CC '∴点A 到直线CC '的距离是MN∵2tan 3ACB ∠=，12BC =，DE ⊥BC ∴6,4CE DE ==∴BD CD ==∴12DM BD ==∵在Rt △BCN 中222BN CN BC +=在Rt △DCN 中222DN CN DC +=∴22222CN BC BN DC DN =-=-∴2222212)CN DN DN =-=-解得DN =∴MN DM DN =+=即点A 到直线CC '． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及判定、勾股定理、解直角三角形，能够想到点A 到直线CC '的距离是MN 是解题的关键．三、解答题1、3【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质，特殊角锐角三角函数值化简，再合并，即可求解．【详解】解：()()012020sin 60tan 30--+︒-︒112-=++⎝⎭12=+3= ．【点睛】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质，特殊角锐角三角函数值等知识，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质，特殊角锐角三角函数值是解题的关键．2、（1）10米；（2）11.3米．【分析】（1）AB 延长交地面于H ，过点F 作FG ⊥CH 于G ，过点D 的水平线交AH 与E ，根据坡度1:2.4i =的斜坡CF 走了6.5米到达点F ，设FG =x ，CG =2.4x ，CF =6.5米，在Rt△FGC 中，根据勾股定理得222FC FG CG =+，即()2226.5+2,4x x =，解方程 2.5x =米，得出CG =2,4x =6米，可证四边形BHGF 为矩形，得出BF =HG =4米，BH =FG =2.5米，CH =HG +CG =4+6=10米，再证四边形EHCD 为矩形，得出DE =CH =10米；（2）在Rt△AED 中，51ADE ∠=︒，DE =10米，利用三角函数AE =DE ·tan51°≈10×1.23=12.3米即可．再利用线段和差AB =AE +EH -BH 代入数据计算即可【详解】解：（1） AB 延长交地面于H ，过点F 作FG ⊥CH 于G ，过点D 的水平线交AH 与E ，∵坡度1:2.4i =的斜坡CF 走了6.5米到达点F ，设FG =x ，CG =2.4x ，CF =6.5米，在Rt△FGC 中，根据勾股定理得222FC FG CG =+，即()2226.5+2,4x x =，解得 2.5x =米，∴CG=2,4x=6米，∵BF∥CH，AH⊥CH，∴BF⊥AH，∴∠FBH=∠BHG=90°，∵FG⊥CH，∴∠FGH=90°，∴四边形BHGF为矩形，∴BF=HG=4米，BH=FG=2.5米，∴CH=HG +CG=4+6=10米，∵CD⊥CH，∴∠DCH=90°，∵DE∥CH，∴∠DEH+∠BHG=180°，∴∠DEH=180°-∠BHG=90°，∴∠DEH=∠DCH=∠BHG=90°，∴四边形EHCD为矩形，∴DE=CH=10米，（2）在Rt△AED中，51∠=︒，DE=10米，ADE∴AE=DE·tan51°≈10×1.23=12.3米，∵BH=2.5米，EH=CD=1.5米∴AB=AE+EH-BH=12.3+1.5-2.5=11.3米．【点睛】本题考查解直角三角形，利用辅助线构造矩形，直角三角形，勾股定理，直接开平方法解一元二次方程，掌握解直角三角形的方法，矩形性质，直角三角形性质，勾股定理的应用，直接开平方法解一元二次方程是解题关键．3、1 4【分析】将特殊角的三角形函数值代入计算即可【详解】原式211 12 22 =⨯+-⨯⎝⎭13124=+-14=【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解答的关键．4、（1）见详解；（2【分析】（1）由题意根据点C 在小正方形的顶点上，ABC ∆的面积为252即可得到点C 的位置； （2）由题意根据以AB 为斜边的Rt ABD ∆，点D 在小正方形顶点上，tan 2DBA ∠=，即可得到点D 的位置，进而依据勾股定理即可得出CD 的长．【详解】解：（1）如图，等腰ABC ∆即为所画，由勾股定理可得5AB BC =,ABC ∆的面积为252，当AB 为底边可得高为5， 以ABC ∠为直角作5BC =即可，因为,90,,AG BF AGB CFB GB CF ︒=∠=∠==所以,,AGB BFC ABG BCF ≅∠=∠又因为90BCF CBF ︒∠+∠=,所以90,90ABG CBF ABC ︒︒∠+∠=∠=；（2）如图，Rt ABD ∆即为所画，由勾股定理可得BD AD ==并且222AD BD AB +=, 90,BDA ︒∠=所以tan 2AD DBA BD ∠===，所以CD 【点睛】本题主要考查应用与设计作图，熟练掌握勾股定理及其逆用以及三角函数的定义和等腰三角形定义和全等三角形判定性质是解题的关键，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．5、11a +【分析】由题意根据分式的运算规则进行化简后，进而代入特殊锐角三角函数值进行计算即可.【详解】 解：21()(1)11a a a a -⋅--+221()(1)11a a a a a -=-⋅--- 1(1)(1)(1)a a a =⋅-+⋅- 11a =+tan 602sin 312201a ︒︒=-=⨯=，把31a 代入11a =+【点睛】本题考查分式的化简求值以及特殊锐角三角函数值，熟练掌握分式的运算规则以及特殊锐角三角函数值是解题的关键.。
2023年北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》复习题附答案解析
2023年九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系》复习题一、单选题1．如图，在ABC ∆中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5,则tan B 的值是（）A ．34B ．43C ．35D ．452．定义：圆心在原点，半径为1的圆称为单位圆.如图，已知点()(),0,0P x y x y >>在单位圆上，则sin POA ∠等于（）A ．x B ．yC ．x y D ．y x 3（）A ．3B ．1C ．2D ．124．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，AB ＝3，那么AC 等于（）A ．3sinαB ．3cosαC ．3sin αD ．3cos α5．tan60°的值等于()A ．1BC ．D ．26．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=α，BC=m ，则AB 的长为（）A ．m sinαB ．C ．m cosαD ．7．如图，网格中的每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1，ABC 的顶点均在格点上，则∠ABC 的正弦值为（）A ．12B ．5C ．35D ．108．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，sinA=35，则AB=（）A ．8B ．9C ．10D ．129．如图，冬奥会滑雪场有一坡角为20°的滑雪道，滑雪道的长AC 为100米，则BC 的长为（）米．A ．100cos 20︒B ．100cos 20︒C ．100sin 20︒D ．100sin 20︒10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （1，2），点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为α（0°<α<90°），那么tanα的值是（）A ．2B ．12C ．2D 二、填空题11．计算：012⎛⎫ ⎪⎝⎭–2cos60°=.12．cos30°+sin45°=13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，AD=95，BD=165，则sinB=.14．如图，已知斜坡AC 的坡度i ＝1：2，小明沿斜坡AC 从点A 行进10m 至点B ，在这个过程中小明升高m.三、计算题15．计算：0(3)4sin601π-+--16．计算：0(3)22cos30π---︒．四、解答题17．今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨.某市抗洪抢险救援队伍在B 处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A 处，情况危急！救援队伍在B 处测得A 在B 的北偏东60 的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A 处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C 处，再从C 处下水游向A 处救人，已知A 在C 的北偏东30 的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒.在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A 处？请说明理由.（参1.732=）18．如图，升国旗时，某同学站在离国旗20m 的E 处行注目礼（即BE=20m ），当国旗升至旗杆顶端A 时，该同学视线的仰角∠ADC=42°，已知他的双眼离地面的高度DE=1.60m ．求旗杆AB 的高度（结果精确到0.01m ）．参考数据：sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431，tan42°≈0.9004．19．如图，小明站在A 处，准备测量教学楼CD 的高度．此时他看向教学楼CD 顶部的点D ，发现仰角为45°．他向前走30m 到达A '处，测得点D 的仰角为67.5°．若小明的身高AB 为1.8m （眼睛与头顶的距离忽略不计），则教学楼CD 的高度为多少？（计算结果精确到0.1m ，参考数据：67.50.924sin ︒≈，67.50.383cos ︒≈，67.5 2.414tan ︒≈，1.414≈）20．先化简，再求代数式262393a a a a -÷+--的值，其中a ＝tan60°﹣6sin30°．21．先化简，再求代数式23211m m m m m m-+-÷-的值，其中60230m tan sin =︒-︒五、综合题22．五一期间，数学兴趣小组的几位同学到公园游玩，看到公园内宝塔耸立，几人想用所学知识测量宝塔的高度．为此，他们在距离宝塔中心18m 处（AC ＝18m ）的一个斜坡CD 上进行测量．如图，已知斜坡CD 的坡度为i ＝1斜坡CD 长12m ，在点D 处竖直放置测角仪DE ，测得宝塔顶部B 的仰角为37°，量得测角仪DE 的高为1.5m ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内．（1）求点D 距地面的高度；（2）求宝塔AB 的高度．（结果精确到0.1，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）23．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长120mm AB =，支撑板长80mm CD =，底座长90mm DE =，托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且40mm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动．（结果保留小数点后一位）（参考数据：40400.766sin ︒︒≈≈，，400.839tan ︒≈，26.60.448sin ≈ ，26.60.89426.60.500cos tan ︒︒≈≈，3 1.732≈）（1）若80DCB ︒∠=，60CDE ︒∠=，求点A 到直线DE 的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转10 后，再将CD 绕点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上即可，求CD 旋转的角度．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：在△ABC 中，∵AC=3,BC=4,AB=5，又因32+42=52，即AC 2+BC 2=AB 2,∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°，∴tanB=34AC BC =.故答案为：A.【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC 是直角三角形，再根据正切函数的定义即可得出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：过P 作PE OA ⊥于E ，则PO=1,PE=y,OE=x,∴sin 1PE yPOA y PO ∠===，故答案为：B.【分析】过P 作OA 的垂线构造直角三角形，利用正弦的定义可得答案.3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵sin45°=2.故答案为：C.【分析】根据特殊角的三角函数值即可求得答案.4．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，∵ACcosαAB=,∴AC=3cosα.故答案为：B.【分析】根据余弦等于邻边比斜边即可求解.5．【答案】C 【解析】【解答】C 。
2022年最新北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测试试题(含答案解析)
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在ABC 中，135ABC ∠=︒，点P 为AC 上一点，且90PBA ∠=︒，12CP PA =，则tan APB ∠的值为（ ）A ．3B ．2C ．13 D2、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AB ）A ．sin AB ．tan A ＝2C ．cos B ＝2D ．sin B 3、在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BC a =，AB c =，那么a c的值等于（ ）A ．sin AB ．cos AC ．tan AD ．cot A4、如图要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，点P 位于点A 正北方向，点C 位于点A 的北偏西46°，若测得PC ＝50米，则小河宽PA 为（ ）A ．50sin44°米B ．50cos44°C ．50tan44°米D ．50tan46°米5、一小球从斜坡的顶端沿斜坡向下滚落到斜坡底端，行了100米，下落的铅直高度为50米，则该斜坡的坡度为（ ）A ．30°B ．CD ．12 6、如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ．下列结论错误的是（ ）A ．AE ⊥BFB ．QB ＝QFC ．cos∠BQP ＝45 D ．14S 四边形ECFG ＝S △BGE7、△ABC 中，tan A ＝1，cos B ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形8、在直角△ABC 中，90C ∠=︒，3AB =，AC ＝2，则tan A 的值为（ ）A B C ．23D 9、如图，在菱形ABCD 中，8AC =，3tan 4BAO ∠=，则菱形ABCD 的面积是（ ）A ．12B ．24C ．48D ．2010、如图，将一块含30°角的三角板ABC 的直角顶点C 放置于直线m 上，点A ，点B 在直线m 上的正投影分别为点D ，点E ，若AB ＝10，BE ＝AB 在直线m 上的正投影的长是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点E ，则tan∠AEP ＝_____．2、如图，△ABC 中，BD ⊥AB ，BD 、AC 相交于点D ，AD ＝47AC ，AB ＝2，∠ABC ＝150°，则△DBC 的面积是______．3、如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，4cos A 5=，则tan∠DBE ＝__________．4、如图，点A 、B 、C 都在格点上，则∠CAB 的正切值为______．5、如图, 在 Rt ABC △ 中, 390,tan ,2ACB BAC CD ∠∠== 是斜边 AB 上的中线, 点 E 是直线AC 左侧一点, 联结 AE CE ED 、、, 若 ,EC CD EAC B ∠∠⊥=, 则 CDE ABC SS 的值为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：()1112cos30----︒2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，过点C 作CE ∥AB ，过点A 作AE ∥CD ，两线相交于点E ，连接DE ．（1）求证：四边形AECD 是矩形；（2）若BD ACE =∠=DE 的长． 3、计算：8cos60°＋（π－3.14）0－－4|＋（－1）2021．4、如图，已知反比例函数1k y x=1(0)k >与一次函数21y k x =+2(0)k ≠相交于A 、B 两点，AC x ⊥轴于点C ．若OAC ∆的面积为1，且tan 2AOC∠=．（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B 点的坐标，并指出当x 在什么范围取值时，使12(1)0k k x x-+> 5、计算：()()01sin 451+2cos30tan 60cot 60-︒-︒-︒-︒．-参考答案-一、单选题1、A【分析】过点P 作PD∥AB 交BC 于点D ，因为135ABC ∠=︒，且90PBA ∠=︒，则tan∠PBD =tan45°=1，得出PB =PD ，再有12CP PA =，进而得出tan∠APB 的值． 【详解】 解：如图，过点P 作PD AB ∥交BC 于点D ，∴CPD CAB △∽△， ∴AC AB PC PD=,∵135ABC ∠=︒，且90PBA ∠=︒，∴∠PBD =45°，∴tan tan 451PBD ∠=︒=，∴PB PD =， 又∵12CP PA =， ∴3AC PC=， ∴tan 3AB AB AC APB PB PD PC∠====． 故选A ．【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解．2、D【分析】根据正弦、余弦及正切的定义直接进行排除选项．【详解】解：在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AB∴2AC ==，∴1sin tan ,cos 2BC BC BC AC A A B B AB AC AB AB ======== 故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数的求法是解题的关键．3、A【分析】根据三角函数的比值即可得出答案．【详解】如图，sin a A c=． 故选：A ．【点睛】 本题考查锐角三角函数，sin A =对边斜边，cos A =邻边斜边，tan A =对边邻边，cot A =邻边对边，掌握三角函数的比值是解题的关键．4、C【分析】 先根据AP ⊥PC ，可求∠PCA =90°-46°=44°，在Rt△PCA 中，利用三角函数AP =tan 4450tan 44PC ︒⨯=︒米即可．【详解】解：∵AP ⊥PC ，∴∠PCA +∠A =90°，∵∠A =46°，∴∠PCA =90°-46°=44°，在Rt△PCA 中，tan∠PCA =AP CP，PC =50米， ∴AP =tan 4450tan 44PC ︒⨯=︒米．故选C ．【点睛】本题考查测量问题，掌握测量问题经常利用三角函数求边，熟悉锐角三角函数定义是解题关键．5、B【分析】画出对应图形，根据题意即勾股定理求出水平距离OB 的长度，利用坡度等于铅直距离与水平距离之比，求出坡度即可．【详解】解：如下图所示：由题意即图可知：100OA =，50AB =，在Rt AOB ∆中，由勾股定理可得：OB ==∴坡度为：1:AB OB =故选：B ．【点睛】本题主要是考查了坡度的定义以及勾股定理，熟练掌握坡度的定义，是求解该类问题的关键．6、C【分析】△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，利用角的关系求出QF =QB ，即可判断B ；首先证明△ABE ≌△BCF ，再利用角的关系求得∠BGE =90°，即可得到AE ⊥BF 即可判断A ；利用QF =QB ，解出BP ，QB ，根据正弦的定义即可求解即可判断C ；可证△BGE 与△BCF 相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解即可判断D ．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠C =90°，AB ∥CD ，由折叠的性质得：FP ＝FC ，∠PFB ＝∠BFC ，∠FPB =∠C ＝90°，∵CD∥AB ，∴∠CFB ＝∠ABF ，∴∠ABF ＝∠PFB ，∴QF ＝QB ，故B 选项不符合题意；②∵E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，∴CD =BC ，12CF CD =，12BE BC =，∠ABE =∠C =90°， ∴CF ＝BE ，在△ABE 和△BCF 中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，∴△ABE ≌△BCF （SAS ），∴∠BAE ＝∠CBF ，又∵∠BAE +∠BEA ＝90°，∴∠CBF +∠BEA ＝90°，∴∠BGE ＝90°，∴AE ⊥BF ，故A 选项不符合题意；令PF ＝k （k ＞0），则PB ＝2k ，在Rt △BPQ 中，设QB ＝x ，∵222QB QP PB =+，∴x 2＝（x ﹣k ）2+4k 2，∴x ＝52k，∴cos ∠BQP ＝35QP QB =，故C 选项符合题意；⑤∵∠BGE ＝∠BCF ，∠GBE ＝∠CBF ，∴△BGE ∽△BCF ，∵BE ＝12BC ，BF BC ，∴BE ：BF ＝1∴△BGE的面积：△BCF的面积＝1：5，∴S四边形ECFG＝4S△BGE，故D选项不符合题意．故选C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．7、C【分析】先根据△ABC中，tanA=1，cosB A及∠B的度数，进而可得出结论．【详解】解：∵△ABC中，tanA=1，cosB∴∠A=45°，∠B=45°，∴∠C=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．8、B【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后再求tanA的值．【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB=3，AC＝2，∴BC∴tanA=BC AC =故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．9、B【分析】根据菱形的性质可得AC ⊥BD ，AO =CO =12AC =4，BO =DO ，再根据正切函数的定义求出BD ，进而可求出菱形的面积；【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO =CO =12AC =4，BO =DO ， 在直角三角形ABO 中，∵3tan 4BO BAO AO ∠==， ∴344BO =， ∴BO =3，∴BD =6，∴菱形ABCD 的面积=168=242⨯⨯；【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理和锐角三角函数的定义，属于基础题型，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．10、C【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AC =5，根据锐角三角函数可得BC 的长，再根据勾股定理可得CE 的长；通过证明△ACD ∽△CBE ，再根据相似三角形的性质可得CD 的长，进而得出DE 的长．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ABC =30°，AB =10，∴AC =12AB =5，BC =AB •cos 53，在Rt △CBE 中，CE=∵∠CAD +∠ACD =90°，∠BCE +∠ACD =90°，∴∠CAD =∠BCE ，∴Rt △ACD ∽Rt △CBE ， ∴CD AC EB BC=，∴CD =3BE AC BC ⋅==，∴DE =CD +BE =3+即AB 在直线m 上的正投影的长是3+故选：C ．本题考查了平行投影，掌握相似三角形的判断与性质以及勾股定理是解答本题的关键．二、填空题1、12##【分析】如图，设小正方形边长为1，根据网格特点，∠PQF=∠C BF，可证得PQ∥BC，则∠QEB=∠ABC，即∠AEP=∠ABC，分别求出AC、BC、AB，根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，求出tan∠ABC即可．【详解】解：如图，设小正方形边长为1，根据网格特点，∠PQF=∠C BF=45°，∴PQ∥BC，∴∠QEB=∠ABC，∵∠AEP=∠QEB，∴∠AEP=∠ABC，∵AB=AC==BC=∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴tan∠ABC=12 ACBC==，∴tan∠AEP=tan∠ABC=12，故答案为：12【点睛】本题考查网格性质、勾股定理及其逆定理、平行线的判定与性质、正切、对顶角相等，熟知网格特点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答的关键．2【分析】过点C 作CE BD ⊥，交BD 延长线于点E ，先根据相似三角形的判定证出CDE ADB ，根据相似三角形的性质可得34CD CE DE AD AB BD ===，从而可得33,24CE DE BD ==，再解直角三角形可得BE =，从而可得BD =，然后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，过点C 作CE BD ⊥，交BD 延长线于点E ，BD AB ⊥，CE AB ∴∥，CDEADB ∴， CD CE DE AD AB BD∴==， 4,27AD AC AB ==，324CE DE BD ∴==， 解得33,24CE DE BD ==，又,150BD AB ABC ⊥∠=︒，1509060CBD ∴∠=︒-︒=︒，在Rt BCE 中，tan CE CBDBE ∠=，即32tan 60BE=︒=解得BE =，DE BD BE +==34BD BD ∴+=，解得BD =则DBC △的面积是113222BD CE ⋅==，【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．3、3【分析】根据DE ⊥AB ，cos A ＝45，设AE ＝4x ，AD ＝5x ，根据勾股定理DE 3x ==，根据四边形ABCD 为菱形，可得菱形的边AB ＝AD ＝5x ，可求BE =AB -AE =5x -4x =x ，根据正切定义求tan∠DBE =33DE x BE x==即可．【详解】解：∵DE⊥AB，cos A＝45，∴设AE＝4x，AD＝5x，在Rt△ADE中， DE3x==，∵四边形ABCD为菱形，∴菱形的边AB＝AD＝5x，∴BE=AB-AE=5x-4x=x，∴tan∠DBE=33 DE xBE x==．故答案为：3．【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，根据根据菱形的四条边都相等求出菱形的边长是解题的关键，利用∠A的余弦设AE=4x，AD=5x使求解更加简便．4、12【分析】过C作CD垂直于AB的延长线于点D，则ADC为直角三角形，解直角三角形即可求解．【详解】如图：过C作CD垂直于AB的延长线于点D，∴ADC 为直角三角形∴在Rt ADC 中1tan 2CD A AD ∠== 1tan 2CAB ∴∠= 故答案为：12【点睛】本题考查的是解直角三角形，解题关键是结合网格的特点构造直角三角形，利用锐角三角形函数解答．5、1336 【分析】先证明Rt AED Rt CED ≌，则AED CED S S =，进而证明DAE BCA ∽，据3tan 2BAC ∠=求得相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解：CD 是Rt ABC 斜边 AB 上的中线，12CD AB AD ∴== DCA DAC ∴∠=∠90ACB ∠=︒90CAB B ∴∠+∠=︒EAC B ∠=∠90EAC DAC ∴∠+∠=︒ 即90EAD ∠=︒又EC CD ⊥90ECD ∴∠=︒EAD ECD ∴∠=∠ Rt AED Rt CED ∴≌ AED CED S S ∴= ,DA DC EA EC == ED AC ∴⊥又90ACB ∠=︒ BC AC ∴⊥//ED BC ∴ADE B ∴∠=∠又90EAD ACB ∠=∠=︒ DAE BCA ∴∽ 2ADC ABC S AD S BC ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ 3tan 2BAC ∠= 32CB CA ∴=设3CB k =，则2AC k = AB∴=12AD AB ∴== AED CED S S =2CDE ADC ABC ABC SS AD S S BC⎛⎫∴== ⎪⎝⎭2132336k ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 故答案为：1336【点睛】 本题考查了解直角三角形，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，正切的定义，证明AED CED SS =是解题的关键．三、解答题1、0【分析】根据化简绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，进行混合运算即可【详解】解：()1112cos30---︒原式()112=---11=+0=【点睛】本题考查了化简绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值并正确的进行实数的混合运算是解题的关键．2、（1）见解析；（2）DE =5．【分析】（1）先证明四边形AECD 是平行四边形，再根据CD ⊥AB 于D ，即可证明；（2）根据矩形的性质，得出∠BCD=∠ACE，再根据sin ACE∠=sin BCD∠=△中即可得出．AE CD==Rt ACE【详解】证明：（1）CE∥AB，AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，CD⊥AB于D，∴∠CDA=90°，∴四边形AECD是矩形；（2）四边形AECD是矩形，∴∠DCE=∠AEC=90°，AC=DE，∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°，∠ACE+∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACE，∠=sin ACEsin BCD∴∠=，⊥，CD AB∴∠=︒，90CDBBD=4∴==10,BC CDAE CD ∴==在Rt ACE △中，90,sin AEC ACE ∠=︒∠=，5AE AC ∴==，5DE AC ∴==．【点睛】本题考查了矩形的证明，锐角三角形的求解问题，解题的关键是根据正弦值求线段的长．3【分析】先计算特殊角三角函数值、0指数、绝对值和乘方，再加减即可．【详解】解：8cos60°＋（π－3.14）0－4|＋（－1）2021．=181412⨯+-=4141+-【点睛】本题考查了特殊角三角函数值、0指数、绝对值和乘方运算，解题关键是熟记特殊角三角函数值，准确计算0指数、绝对值和乘方．4、（1）2y x =，1y x =+；（2）(2,1)B --，2x <-或01x <<． 【分析】（1）先根据正切函数的定义可得点A 的坐标，再利用待定系数法即可得；（2）联立反比例函数和一次函数的解析式可得点B 的坐标，再利用函数图象法即可得．【详解】解：（1）设点A 的坐标为(,)A m n ，则,OC m AC n ==， OAC 的面积为1，且tan 2AOC ∠=，11,22n mn m∴==， 解得1,2m n ==或10,20m n =-<=-<（不符题意，舍去），(1,2)A ∴，将点(1,2)A 代入1k y x=得：1122k =⨯=， 则反比例函数的解析式为2y x =； 将点(1,2)A 代入21y k x =+得：212k +=，解得21k =，则一次函数的解析式为1y x =+；（2）联立21y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩， 解得12x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩， 则点B 的坐标是(2,1)B --，12(1)0k k x x-+>表示的是反比例函数的图象位于一次函数的图象的上方， 则2x <-或01x <<．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、正切，熟练掌握待定系数法是解题关键．5、【分析】先进行绝对值的化简，代入特殊角的三角函数值运算，然后合并．【详解】解：原式11+2---⎝⎭，=11=【点睛】本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．。
2022年北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测试试题(含详细解析)
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在ABC 中, 30AB BAC ∠==. 下列线段BC 的长度不能使ABC 的形状和大小都确定的是（ ）A ．2B ．4CD ．2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则sin A 的值是（ ）A B ．35 C ．34 D 3、学习了三角函数的相关知识后，小丽测量了斜坡上一棵垂直于地面的大树的高度．如图，小丽先在坡角为30的斜坡AB 上的点A 处，测得树尖E 的仰角为15︒，然后沿斜坡走了10米到达坡脚B 处，又在水平路面上行走20米到达大树所在的斜坡坡脚C 处，大树所在斜坡的坡度i 3:4=，且大树与坡脚的距离CD 为15米，则大树ED 的高度约为（ ）（参考数据：sin150.26,cos150.97,tan15 1.73≈≈≈︒︒︒结果精确到0.1）A．10.9米B．11.0米C．6.9米D．7.0米4、为出行方便，近日来越来越多的长春市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知，∠ABE=70°，车轮半径为30 cm，当BC=60 cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为( )(结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）A．90cm B．86cm C．82cm D．80cm5、tan45︒的值为（）A．1 B．2 C D．6、若tan A=2，则∠A的度数估计在（）A．在0°和30°之间B．在30° 和45°之间C．在45°和60°之间D．在60°和90°之间△，则7、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ΔABC绕着点A逆时针旋转得到AB C''∠的值为（）cos BCB'A ．12BCD 8、小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5米，她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3米站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（ ）A ．3.2米B ．3.9米C ．4.7米D ．5.4米9、如图，在33⨯的网格中，A ，B 均为格点，以点A 为圆心，AB 的长为半径作弧，图中的点C 是该弧与格线的交点，则tan BAC ∠的值是（ ）A ．12B ．255C ．53D ．2310、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 边的中点，连接CD ，若4BC =，3CD =，则sin DCB ∠的值为（ ）A ．23 B C D 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知Rt ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，cos B 45=，则AC ＝_____．2、如图，小明家附近有一观光塔CD ，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化．经测量发现，当小明站在点A 处时，塔顶D 的仰角为37°，他往前再走5米到达点B （点A ，B ，C 在同一直线上），塔顶D 的仰角为53°，则观光塔CD 的高度约为 _____.（精确到0.1米，参考数值：tan37°≈34，tan53°≈43）3、如图，点A 、B 、C 都在格点上，则∠CAB 的正切值为______．4、sin60cos30⋅︒︒=______．5、如图，直线MN 过正方形ABCD 的顶点A ，且∠NAD ＝30°，AB ＝，P 为直线MN 上的动点，连BP ，将BP 绕B 点顺时针旋转60°至BQ ，连CQ ，CQ 的最小值是 ___．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD 的四边BA ，CB ，DC ，AD 分别延长至E ，F ，G ，H ，使得AE CG =，BF DH =，连接EF ，FG ，GH ，HE ．（1）判断四边形EFGH 的形状，并证明；（2）若矩形ABCD 是边长为1的正方形，且45FEB ∠=︒，tan 2AEH ∠=，求AE 的长．2、如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，22.5B ∠=︒（1）尺规作图：作AB 的垂直平分线l 交BC 于点D ．（保留痕迹，不写作法）（2）在（1）的作图下，试求tan 67.5︒的值（结果保留根号）3、计算：112cos302-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭． 4、如图，建筑物BC 上有一高为8m 的旗杆AB ，从D 处观测旗杆顶部A 的仰角为53︒，观测旗杆底部B 的仰角为45︒，则建筑物BC 的高约为多少米？（结果保留小数点后一位）．（参考数据sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33︒≈）5、如图，已知反比例函数1k y x=1(0)k >与一次函数21y k x =+2(0)k ≠相交于A 、B 两点，AC x ⊥轴于点C ．若OAC ∆的面积为1，且tan 2AOC ∠=．（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）请直接写出B 点的坐标，并指出当x 在什么范围取值时，使12(1)0k k x x-+>-参考答案-一、单选题1、A【分析】画出图形，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，则可求得BD BC 的长度与BD 比较即可作出判断．【详解】如图（1），过点B 作BD ⊥AC 于点D则1sin 302BD AB =︒=⨯故当BC D 与点C 重合时，△ABC 的形状和大小唯一确定，即C 选项不符合题意； 当BC =2时，如图（2），则BC 1=BC 2=2，此时△ABC 1与△ABC 2的形状和大小不相同，即选项A 符合题意；当BC =ABC 是等腰三角形，如图（3），此时△ABC 的形状与大小确定，故选项D 不符合题意；当BC =4时，如图（4），△ABC 是钝角三角形，形状与大小确定，故选项B 不符合题意；故选：A【点睛】本题考查了锐角三角函数及三角形形状的确定，关键是作BD ⊥AC ，把BC 与BD 进行比较．2、A【分析】先根据银河股定理求出AB ，根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．【详解】解：如图，∵∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，∴AB ==∴sinBC A AB === 故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键．3、D【分析】过点A 作AG ⊥ED 交ED 延长线于点G ，过点A 作AF ⊥CB ，交CB 的延长线于点F ，延长BC 交ED 的延长线于点H ，可知四边形AFHG 为矩形，解直角三角形ABF 得AF =5，BF =，解直角三角形CDH 得DH =9，CH =12，从而得到AG ，再通过解直角三角形AGE 求得EG 的长，进一步得出结论．【详解】解：过点A 作AG ⊥ED 交ED 延长线于点G ，过点A 作AF ⊥CB ，交CB 的延长线于点F ，延长BC 交ED 的延长线于点H ，如图，则四边形AFHG 为矩形，∴AG =FH ，GH =AF在Rt △ABF 中，1030AB ABF =∠=︒， ∴11105m=22AF AB GH ==⨯=∴8.65m BF =≈在Rt △CHD 中，34DH CH =，15m CD = ∴可设=3m DH x ，4m CH x =由勾股定理得，222CH DH CD +=∴222(3)(41)5x x +=解得，3x =∴9m 12m DH CH ==，∴954m DG DH GH =-=-=∴8.65201240.65m AG FH ==++=在Rt △AGE 中，tan15EG AG︒= ∴tan1540.650.2710.98m EG AG =︒=⨯≈∴10.984 6.987.0m ED EG DG =-=-=≈故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4、B【分析】过点C 作CN ⊥AB ，交AB 于M ，交地面于N ，构造直角三角形，利用三角函数，求出CM ，再用CM 减去MN 即可．【详解】解：过点C 作CN ⊥AB ，交AB 于M ，交地面于N由题意可知MN=30cm，∴在Rt△BCM中，∠ABE=70°，∴sin∠ABE=sin70°=CMCB=0.94∴CM≈56cm∴CN=CM+MN=30+56=86（cm）故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，将所给角放到直角三角形中，是解题的关键．5、A【分析】直接求解即可．【详解】解：tan45 =1，故选：A．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．6、D【分析】由题意直接结合特殊锐角三角函数值进行分析即可得出答案.【详解】解：∵tan 602tanA ︒=<=，∴60A ︒∠>，∴6090A ︒︒<∠<.故选：D.【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握tan 30tan 451,tan 60︒︒︒===. 7、B【分析】利用勾股定理逆定理得出ΔCDB 是直角三角形，以及锐角三角函数关系进而得出结论．【详解】解：如图，连接BD ，BB '，由网格利用勾股定理得：BC CD BD ===222CD BD BC ∴+=CDB ∴是直角三角形，BD B C '∴⊥cos CD BCB CB '∴∠==故选：B ．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、余弦等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．8、C【分析】过点O 作OE ⊥AC 于点F ，延长BD 交OE 于点F ，设DF ＝x ，根据锐角三角函数的定义表示OF 的长度，然后列出方程求出x 的值即可求出答案．【详解】解：过点O 作OE ⊥AC 于点F ，延长BD 交OE 于点F ，设DF ＝x ， ∵tan65°＝OF DF， ∴OF ＝x tan65°，∴BF ＝3+x ， ∵tan35°＝OF BF， ∴OF ＝（3+x ）tan35°，∴2.1x ＝0.7（3+x ），∴x ＝1.5，∴OF ＝1.5×2.1＝3.15，∴OE ＝3.15+1.5＝4.65，故选：C ．【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形的应用，根据题意构建直角三角形是解本题的关键．9、B【分析】利用CD AB ∥，得到∠BAC =∠DCA ，根据同圆的半径相等，AC =AB =3，再利用勾股定理求解,CD 可得tan ∠ACD =AD CD =. 【详解】解：如图， ∵CD AB ∥，∴∠BAC =∠DCA ．∵同圆的半径相等， ∴AC =AB =3，而2,AD = 225,CDAC AD在Rt △ACD 中，tan ∠ACD =AD CD∴tan ∠BAC =tan ∠ACD ． 故选B ．【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，利用图形的性质进行角的等量代换是解本题的关键．10、D【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB ，再根据三角函数的意义，可求出答案．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 边的中点，∴AD ＝BD ＝CD ＝12AB ，∴DCB B ∠=∠,又∵CD ＝3，∴AB ＝6，AC =∴sin DCB ∠＝sin B ＝AC AB == 故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提．二、填空题1、5【分析】根据题意DAC B ∠=∠，则cos cos DAC B ∠=，即可求得AC【详解】 解： Rt ABC 中，AD BC ⊥BAD B BAD DAC ∴∠+∠=∠+∠90=︒B DAC ∴∠=∠4cos 5B = 4cos 5AD DAC AC ∴∠== 4AD =5AC ∴=故答案为：5【点睛】本题考查了同角的余角互余，余弦的定义，求得DAC B ∠=∠是解题的关键．2、8.6米【分析】根据题意，利用锐角三角函数解直角三角形即可．【详解】解：由题意知，∠A =37°，∠DBC =53°，∠D =90°，AB =5，在Rt△CBD 中，tan∠DBC =CD BC ， ∴BC =tan 53CD ≈34CD ， 在Rt△CAD 中，tan∠A =CD AC ，即354CD CD +=tan37°≈34∴解得：CD =607≈8.6， 答：观光塔CD 的高度约为8.6米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数解直角三角形的方法是解答的关键． 3、12【分析】过C 作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，则ADC 为直角三角形，解直角三角形即可求解．【详解】如图：过C 作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，∴ADC 为直角三角形∴在Rt ADC 中1tan 2CD A AD ∠== 1tan 2CAB ∴∠= 故答案为：12【点睛】本题考查的是解直角三角形，解题关键是结合网格的特点构造直角三角形，利用锐角三角形函数解答．4、34【详解】解：3sin 60cos304⋅︒=︒， 故答案为：34． 【点睛】本题考查了三角函数的计算，解题关键是熟记特殊角三角函数值．5【分析】如图，连接PQ 交AB 于,F 则,60,BP BQ PBQ 先证明180,APB AQB 把ABP △绕B 顺时针旋转60︒得到,A BQ 证明180,A QB AQB 可得,,A Q A 三点共线，Q 在AA '上运动，过C 作CE AA 于,E 则,Q E 重合时，CQ 最短，再求解26tan 30,3DG AD 2622,3CG DC DG 从而可得答案.【详解】解：如图，连接,,PQ AQ PQ 交AB 于,F 则,60,BP BQ PBQ PBQ ∴是等边三角形， 60,PQB QBP QPB30,DAN 正方形,ABCD90,22,BAD AB AD DC 60,MAB PQB ,AFP BFQ,AFP QFB ∽,AFPF QF BF ,APF ABQ,AFQ PFB,PFB AFQ ∽,PBF AQF60,AQFAPQ ABP ABQ PBQ 360180,APB AQB 把ABP △绕B 顺时针旋转60︒得到,A BQ则,ABP A BQ ≌ ,APBA QB 180,A QB AQB ,,A Q A 三点共线，∴ Q 在AA '上运动， 过C 作CEAA 于,E 则,Q E 重合时，CQ 最短， 60,22,ABA AB A BABA 是等边三角形，记AA '交DC 于,G60,30,BAA DAG60,AGD CGE 326tan 3022,33DG AD 2622,3CG DC DG 326sin 60226 2.23CE CG所以CQ【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，得到Q 的运动轨迹是解本题的关键.三、解答题1、（1）平行四边形，证明见解析；（2）2【分析】（1）由四边形ABCD 为矩形，AE CG =，BF DH =可得BE =DG ，FC =AH ，由勾股定理可得EH =FG ，EF =GH ，故四边形EFGH 为平行四边形．（2）设AE 为x ，由45FEB ∠=︒，可求得BF =DH =x +1，AH =x +2，由tan 2AEH ∠=可求得AH =2x ，则x =2，即AE =2.【详解】（1）∵四边形ABCD 为矩形∴AD =BC ，AB =CD ，∠HAB =∠EBC =∠FCD =∠ADG =90°，又∵AE CG =，BF DH =∴BE =DG ，FC =AH∴EH =FG =，EF =GH ∴EH =FG ，EF =GH∴四边形EFGH 为平行四边形．（2）设AE =x 则BE =DG =x +1在Rt BEF △中，45FEB ∠=︒∴BE FB =∵BF =DH =x +1∴AH =x +1+1=x +2又∵tan 2AEH ∠= ∴2AH AE= ∴AH =2AE =2x∴2x =x +2解得x =2，∴AE =2【点睛】本题考查了平行四边形的判定和解直角三角形，熟练掌握平行四边形的判定从而证明出EH =FG ，EF =GH 是解题关键．2、（1）见解析；（21【分析】（1）作线段AB 的垂直平分线即可；（2）由垂直平分线的性质求出45ADC DAC ∠=∠=︒，设AC x =，BD AD ==，在三角形ABC 中利用三角函数即可求解．【详解】（1）作图如下，（2）根据垂直平分线的性质知，BD AD =，22.5DBE DAE ∠=∠=︒，在三角形ACD 中，45ADC DAC ∠=∠=︒设AC x =，∴AD ，∴BD AD =，∴在三角形ABC 中，9022.567.5BAC ∠=︒-︒=︒，∴tan 67.51BC AC ︒===． 【点睛】 本题考查的是作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、三角函数，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．3、2【分析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值、二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】解：原式22=- 2=． 【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．4、建筑物BC 的高约为24.2米【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得BC CD =，设m BC CD x ==，从而可得(8)m AC x =+，再在Rt ACD △中，利用正切三角函数解直角三角形即可得．【详解】解：由题意得：AC CD ⊥，8m AB =，53ADC ∠=︒，45BDC ∠=︒，Rt BCD ∴是等腰直角三角形，BC CD ∴=，设m BC CD x ==，则(8)m AC x =+，在Rt ACD △中，tan AC ADC CD∠=，即8tan 53 1.33x x +=︒≈， 解得24.2(m)x ≈，经检验，24.2(m)x ≈是所列分式方程的解，且符合题意，∴建筑物BC 的高约为24.2米，答：建筑物BC 的高约为24.2米．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．5、（1）2y x=，1y x =+；（2）(2,1)B --，2x <-或01x <<． 【分析】（1）先根据正切函数的定义可得点A 的坐标，再利用待定系数法即可得；（2）联立反比例函数和一次函数的解析式可得点B 的坐标，再利用函数图象法即可得．【详解】解：（1）设点A 的坐标为(,)A m n ，则,OC m AC n ==， OAC 的面积为1，且tan 2AOC ∠=，11,22n mn m ∴==， 解得1,2m n ==或10,20m n =-<=-<（不符题意，舍去），(1,2)A ∴，将点(1,2)A 代入1k y x=得：1122k =⨯=， 则反比例函数的解析式为2y x =； 将点(1,2)A 代入21y k x =+得：212k +=，解得21k =，则一次函数的解析式为1y x =+；（2）联立21y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩， 解得12x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩， 则点B 的坐标是(2,1)B --，12(1)0k k x x-+>表示的是反比例函数的图象位于一次函数的图象的上方， 则2x <-或01x <<．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、正切，熟练掌握待定系数法是解题关键．。
北师大版数学九年级下册第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷
第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. sin45°的值等于（ ） A.3 B.12C. 32D. 222. 在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，AB=13，那么cosA 的值等于（ ）A ．513B ．1213C ．512D ．1253. 已知一斜坡的坡度i=1:3，用科学计算器求坡角的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（ ）A. =3÷1tanB. °′′′=3÷1tanC. SHIFT ）（=3÷1tanD. SHIFT）（°′′′=3÷1tan4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=α，若BC=m ，则AB 的长为（ ） A.cos mB ．m·cos αC ．m·sin αD ．m·tan α5．如果△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝12，那么下列等式不正确的是（ ） A ．cos A ＝22B ．tan A ＝33 C ．sin B ＝32D ．tan B ＝36. 如图，点A 为∠B 边上的任意一点，过点A 作AC ⊥BC 于点C ，过点C 作CD ⊥AB 于点D.下列选项用线段比表示sin ∠BCD 的值，其中错误的是（ ） A ．BDBCB ．BCABC ．ADACD ．CDAC第6题图 第7题图 第8题图7．河堤横断面如图所示，AB ＝10米，tan ∠BAC ＝33，则AC 的长是（ ） A ．53米B ．10米C ．15米D ．103米8. 如图，在每个小正方形边长均为1的方格图中，点A，C，M，N均在格点上，AN与CM 相交于点P，则tan∠CPN的值为（）A. 3B. 1C.33D.229. 如图，钓鱼竿AC长为6 m，露在水面上的鱼线BC长为32m，钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'的长度是（）A．3 m B．33m C．23m D．4 m第9题图第10题图10. 如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物CD的高度.他们从点A出发沿着坡度i=1:2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，此时测得建筑物顶端C的仰角α=35°，建筑物底端D的俯角β=30°.若AD为水平地面，则此建筑物的高度约为（参考数据：3≈1.7，sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.75）（）A．20.2米B．22.75米C．23.6米D．30米二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 若2cosα=1，则锐角α的度数为.12. 已知α为锐角，tanα=34，则sinα等于.13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，若AC＝23，tan∠BCD＝22，则BC＝．第13题图第14题图14. 如图，在△ABC中，BC=12，tanA=34，∠B=30°，则AB的长为.15. 在一次综合实践活动中，小东同学从A地出发，要到A地北偏东60°方向的C地.如图，他先沿正东方向行走了2千米到达B地，再沿北偏东15°方向行走，恰能到达目的地C，则A，C两地相距千米.（结果保留根号）第15题图第16题图16. 如图，要在宽为22米的公路两边安装路灯，路灯的灯臂CD长为2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直.当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC的高度应设计为米.（结果保留根号）三、解答题（本大题共8小题，共66分）17.（8分）已知α为锐角，sin（α+15°）＝32，计算8﹣4cosα+tanα+（13）﹣1的值．18.（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，请根据下面的条件解直角三角形的其他元素：（1）∠A＝45°，a＝10；（2）a＝23，c＝4．19.（8分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是边BC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，连接AD.若tan∠DAE=15，求△ADE的三边长.EDCBA第19题图20.（8分）如图，上午9：00时，甲、乙两船分别在A，B两处，乙船在甲船的正东方向，且两船之间的距离为33海里.甲船以30海里/时的速度沿北偏东45°方向匀速航行，乙船同时沿北偏东30°方向匀速航行.上午11：00时，甲船航行到C处，乙船航行到D处，此时乙船仍在甲船的正东方向，求此时两船之间的距离.（结果精确到1海里；参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈，6 2.45)≈第20题图21.（8分）如图，某居民小区广场上树立着一个“扫黑除恶，共创和谐”的矩形电子灯牌，现施工人员要在两侧增加钢丝绳来加固灯牌.已知钢丝绳底端G距灯牌立柱FD的距离GD=4米，从G点测得灯牌顶端F和底端E的仰角分别是60°和45°.（1）若AF的长为5米，求灯牌的面积；（结果保留根号）（2）若灯牌两侧增加的钢丝绳一样长，求钢丝绳的总用料.（结果保留根号）第21题图22.（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别交CD，BC于点H，E，且AH=2CH.（1）求sinB的值；（2）如果CD=5，求BE的值.第22题图23.（10分）如图，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90 m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1 m，矩形面与地面所成的角α为78°，李师傅的身高为1.75 m.当他攀升到头顶距天花板0.05∼0.20 m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否方便？（参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70）第23题图24. （12分）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°-α），cosα=-cos（180°-α），tanα=-tan（180°-α）.（1）求sin150°，cos135°，tan120°的值；（2）若△ABC三个内角的比为1:1:4，sinA，cosB是一元二次方程4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小.第一章 直角三角形的边角关系 单元测试卷 参考答案答案详解三、17.4.18. （1）∠B ＝45°，b ＝10，c ＝10.（2）∠A ＝60°，∠B ＝30°，b=2.19. 解：因为△ABC 是等腰直角三角形，所以∠B=45°.所以AB=sin ACB=62因为DE ⊥AB ，所以△DEB 是等腰直角三角形.所以DE=BE. 因为tan ∠DAE=15DE AE =，所以AE=5DE. 因为AB=AE+BE=6DE=622，AE=2在Rt △ADE 中，由勾股定理，得22AE DE +213. 20. 解：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F. 根据题意，得AC=30×2=60. 在Rt △CAE 中，因为∠CAE=45°，所以AE=CE=AC·cos ∠CAE=302在Rt △DBF 中，因为DF=CE=302∠DBF=60°，所以BF=106tan DBFDF=∠因为BE=AE-AB=30233≈9.3，所以EF=BF-BE=69.3≈15.2. 所以CD=EF=15.2≈15（海里）.答：此时两船之间的距离约为15海里.21. 解：（1）在Rt △FDG 中，因为∠FGD=60°，GD=4，所以FD=GD·tan ∠FGD=3在Rt △EDG 中，因为∠EGD=45°，GD=4，所以ED=GD·tan ∠EGD=4. 所以EF=FD-ED=43所以S 矩形ABEF =AF·EF=5×（3）=（203）平方米. 答：灯牌的面积为（203-20）平方米. （2）在Rt △FDG 中，FG=8cos GDFGD=∠.答案速览一、1. D 2. B 3. D 4. A 5. A 6. C 7. A 8. B 9. B 10. B 二、11. 60° 12.3513. 6 14. 863+ 15.（1+3） 16. (1134)- 三、解答题见“答案详解”在Rt △EDG 中， EG=cos GDEGD=∠所以2（FG+EG ）=2×（8+=（16+.答：钢丝绳的总用料为（16+.22. 解：（1）因为CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，所以CD=12AB=BD.所以∠BCD=∠B. 因为AE ⊥CD ，∠ACB=90°，所以∠CAH+∠ACH=90°，∠BCD+∠ACH=90°.所以∠BCD=∠CAH.所以∠B=∠CAH.在Rt △ACH 中，AH=2CH ，由勾股定理，得CH.所以sin ∠CAH=CH AC =.所以（2）因为CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，所以AB=2CD=因为sinB=AC AB =AC=2.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得因为sin ∠CAH=CE AE =，所以CE.在Rt △ACE 中，由勾股定理，得CE 2+AC 2=AE 2，即CE 2+22=CE ）2.解得CE=1. 所以BE=BC-CE=3.23. 解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点D 作DF ⊥BC 于点F. 因为AB=AC ，所以BE=EC=12BC=12. 在Rt △AEC 中，因为α=78°，所以AE=EC·tanα=12×tan78°≈2.35. 因为李师傅站立在梯子的第三级踏板上，所以37DC AC =.因为sinα=AE DF AC DC =，所以DF=37AE DC AE AC ⋅=≈1.007.所以李师傅头顶距离地面的高度约为1.007+1.75=2.757（m ），头顶距离天花板的高度约为2.90-2.757=0.143（m ）.因为0.05＜0.143＜0.20，所以他方便安装.第23题图24. 解：（1）根据题意，得sin150°=sin（180°-150°）=sin30°=12；cos135°=-cos（180°-135°）=-cos45°=-22；tan120°=-tan（180°-120°）=-tan60°3.（2）因为△ABC三个内角的比是1:1:4，所以三个内角分别为30°，30°，120°.①当∠A=30°，∠B=120°时，sinA=12，cosB=-12，即一元二次方程的两个根为12，-12.将x=12代入方程，得4×212⎛⎫⎪⎝⎭-12m-1=0.解得m=0.经检验，x=-12是方程4x2-1=0的根.所以m=0符合题意.②当∠A=120°，∠B=30°时，33因为sinA，cosB是一元二次方程的两个不相等的实数根，所以这种情况不符合题意.③当∠A=30°，∠B=30°时，sinA=12，cosB=32，即一元二次方程的两个根为12，32.将x=12代入方程，得4×212⎛⎫⎪⎝⎭-12m-1=0.解得m=0.经检验，3是方程4x2-1=0的根.所以这种情况不符合题意.综上，m=0，∠A=30°，∠B=120°.。
北师大版九年级数学下册第一章训练题1.5 三角函数的应用
5. 三角函数的应用1．如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，AB ＝2 km.从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离(即CD 的长)为( )A ．4 km B.()2＋2 km C ．2 2 km D.()4－2 km2. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为 45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°.若旗杆与教学楼的距离为9 m ，则旗杆AB 的高度是___ _ (结果保留根号)3．如图，海中一小岛上有一个观测点A ，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A 的北偏西60°方向上的C 处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B 处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)4．为保护渔民的生命财产安全，我国政府在南海海域新建了一批观测点和避风港，某日在观测点A 处发现在其北偏西36.9°的C 处有一艘渔船正在作业，同时监测到在渔船的正西B 处有一股强台风正以每小时40海里的速度向正东方向移动，于是马上通知渔船到位于其正东方向的避风港D 处进行躲避．已知避风港D 在观测点A 的正北方向，台风中心B 在观测点A 的北偏西67.5°的方向，渔船C 与观测点A 相距350海里，台风中心的影响半径为200海里，渔船的速度为每小时18海里，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？(参考数据：sin 36.9°≈0.6，tan 36.9°≈0.75，sin 67.5°≈0.92，tan 67.5°≈2.4)5．如图，小明从点A 处出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B ，sin α＝513，然后又沿着坡度为i ＝1∶4的斜坡向上走了1千米到点C.问小明从点A 到点C 上升的高度CD 是多少千米？(结果保留根号)参考答案【知识管理】 1．2.仰角 俯角 【归类探究】【例1】 从B 处到达C 岛需要1小时．【例2】 (1)两建筑物底部之间的水平距离BD 的长度为60 m ．(2)建筑物CD 的高度为(60－203) m .【当堂测评】 1．C 2.16 【分层作业】1．B 2.(9＋33) 3.渔船从B 点开始行驶3－34小时离观测点A 距离最近．4．解：由题意可知∠BAD ＝67.5°，∠CAD ＝36.9°，AC ＝350海里．在Rt △ADC 中，∵∠ADC ＝90°，∠DAC ＝36.9°，AC ＝350海里，∴CD ＝AC •sin ∠DAC ≈350×0.6＝210(海里)，AD ＝AC 2－CD 2≈280(海里)．∴渔船到达避风港D 处所用时间：210÷18＝1123(小时)．在Rt △ADB 中，∵∠ADB ＝90°，∠BAD ＝67.5°，∴BD ＝AD •tan ∠BAD ≈280×2.4＝672(海里)，∴BC ＝BD －CD ≈672－210＝462(海里)．设强台风移动到渔船C 后面200海里时所需时间为x 小时．根据题意得(40－18)x ＝462－200，解得x ＝111011.∵1123＜111011，∴渔船能顺利躲避本次台风的影响．5．解：如答图所示，过点B 作BF ⊥AD 于点F ，过点B 作BE ⊥CD 于点E .由题意得AB ＝0.65千米，BC ＝1千米，∴sin α＝513＝BF AB ＝BF 0.65，∴BF ＝0.65×513＝0.25(千米)．∵斜坡BC 的坡度为1∶4，∴CE ∶BE ＝1∶4.设CE ＝x 千米，则BE ＝4x 千米．由勾股定理得x 2＋(4x )2＝12，解得x ＝1717，∴CD ＝CE ＋DE ＝CE ＋BF ＝14＋1717(千米)．即小明从点A 到点C 上升的高度CD 是⎝⎛⎭⎫14＋1717千米．。
【完整版】北师大版九年级下册数学第一章 直角三角形的边角关系含答案
北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ，②sinα＞sinβ，③cosα＞cosβ．正确的结论为（）A.①②B.②③C.①③D.①②③2、如果∠A为锐角，sinA=，那么（）A.0°＜∠A＜30°B.30°＜∠A＜45°C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90°3、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4 米B.6 米C.12 米D.24米4、如图，在▱ABCD中，，，分别切边AB，AD于点E，F，且圆心O恰好落在DE上现将沿AB方向滚动到与边BC相切点O在的内部，则圆心O移动的路径长为A.4B.6C.D.5、如图，在△ABC中，∠C=90o， AC=3，BC=4，则sinB的值是（）A. B. C. D.6、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.英国佩里加（H.Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理.该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）.若AD＝，tan∠AON＝，则正方形MNUV的周长为（）A. B.18 C.16 D.7、如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标＝（x＞0）的图象上，顶点B在原点，斜边AB垂直x轴，顶点A在函数y1＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝30°，则＝（）函数y2A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣8、如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）A. B. C.1600sinα(m 2) D.1600cosα(m 2)9、如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（）A. B. C. D.10、如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）A. B. C. D.111、小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A. B. C. D.12、sin45°=（）A. B. C.1 D.13、如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）A.100 mB.50 mC.50 mD. m14、如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A. B. C. D.15、如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米.若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A. 米B. 米C. 米D. 米二、填空题(共10题，共计30分)16、在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC=，则▱ABCD的面积是________．17、如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB= 米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为________米．18、在Rt△ABC中，,BC=2,，则AB=________19、已知⊙O半径为，AB是⊙O的一条弦，且AB=3，则弦AB所对的圆周角度数是________.20、小明在学习“锐角三角函数”中发现，用折纸的方法可求出tan22.5°，方法如下：将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC 上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以知道tan22.5°=________21、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝________.22、在Rt△ABC中，∠C=90°，2a=c，则∠A=________23、如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则cosA=________24、将矩形纸片ABCD按如图M2-5方式折叠，M，N分别为AB，CD的中点。
数学九年级下北师大版第一章直角三角形的边角关系全章综合测评题
这是因为，当菱形有一角为 时，必有另一个角等于 ，因此， 和 按定义表示的是同一块面积.（如图1-2）
当菱形一个角为 时，面积为 ，这个角慢慢变大时，菱形面积也随着增大，直到变为正方形，这个角继续变大时，菱形面积又变小，直到变成 ，这种性质也体现在正弦的性质上.
在我们的书上，直接规定“直角三角形中锐角的正弦 等于 的对边与斜边之比”，这种用直角三角形的边长之比来定义正弦的方法，是 世纪的大数学家欧拉首先引进的，关于正弦的性质我们将在以后继续学习，有兴趣的同学可以试一试.
（1）已知需加固的大坝长为 米，求需要填土石方多少立方米？
（2）求加固后大坝背水坡面 的坡度.
18.如图所示，秋千链子的长度为 ，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面 ，秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为 ，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？（参考数据： ， ）
19.如图，某校教学楼 的后面有一建筑物 ，当光线与地面的夹角是 是，教学楼在建筑物的墙上留下高 的影子 ；而当光线与地面的夹角是 时，教学楼顶 在地面上的影子 与墙角 有 的距离（ 、 、 在一条直线上）.求教学楼 的高度.
创新寄语
提出新的疑问，新的可能，从新的角度看老问题，需要创造性的想象力，并且标志着科学的真正进步.
答案
一、
1.C
2.A
3.A
4.A
5.B
6.D
7.D
8.B
二、
9.
10. 或
11.
12.
13.
14.
15.
16.
三、
17.（1） 立方米，（2）
18.
19.
20.解：（1）如图，在 中， ， ，
北师大版2020-2021九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元基础过关测试题(附答案详解)
∵AC=6 ，∠C=45°
∴AD=AC⋅sin45°=6 × =6，
∵tan∠ABC=3，
∴ =3，
∴BD= =2，
故选A．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，三角函数的知识，熟记知识点是解题的关键．
7．A
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出第三边，再根据正切函数的定义求出较小锐角的正切值．
【详解】
（2）用公式法解方程：3x2+2x-1=0.
26．在△ABC中，∠C=90°，BC= AC，求∠B的度数（精确到1″）．
27．如图，我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知山脚和山顶的水平距离为1000米，山高为565米，如果这辆坦克能够爬30°的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？
【解析】
试题分析：2 ≈2×9.3274=18.6548，
tan87°≈19.0811，
∵18.6548＜19.0811，
∴2 ＜tan87°．
故答案为＜．
点睛：本题考查了计算器的使用，要注意一般保留小数点后4位．
12．42
【解析】
试题解析：过点 作 于点D,
∴由勾股定理可知：
的面积为：
故答案为
13．30°
12．如图，在 中， ， ， ，则 的面积为________．
13．某水库大坝，其坡面AB的坡度i=1∶ ，则斜坡AB的坡角的度数为____°.
14．坡角为α=60°，则坡度i=_____．
15．小明沿着坡度为1： 的坡面向下走了20米的路，那么他竖直方向下降的高度为_____．
16．如图，在高 米，坡角为 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要________米．（精确到 米）