误差知识点

测量的定义：为确定被测对象的量值而进行的实验。

测量的方法及分类：L（被测量）=q（数字）E（测量单位）按测量结果的获取方式：直接测量、间接测量按被测量对象在测量过程中所处的状态：静态测量、动态测量按测量结果的精度要求：工程测量、精密测量测量某一质量G1=50g ，误差为δ1=2g ，测量另一质量G2=2kg ，误差为δ2=50g ，问哪一个质量的测量效果好? （答：G2好，因为相对误差小）相对误差=绝对误差/真值（约）=绝对误差/测得值检定一只2.5级、量程为100V的电压表，发现在50V处误差最大，其值为2V，问这只电压表是否合格？（答：合格，因为2.5级代表允许最大绝对误差为100*2.5%=2.5V>2V，其中50V多余，不是量程。

误差的来源：测量器具误差、测量环境误差、测量方法误差、测量人员误差。

误差的分类：系统误差、随机误差、粗大误差系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。

按对误差掌握的程度：已定的系统误差、未定的系统误差。

按误差出现规律：不变的系统误差、变化的系统误差。

随机误差：在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。

粗大误差：指明显超出统计规律预期值的误差。

又称为疏忽误差、过失误差或寄生误差。

简称粗差。

有效数字：含有误差的任何数，如果其绝对误差界是最末尾数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零数字，称为第一位有效数字。

从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不管是零或非零的数字，都叫有效数字。

测量结果保留位数的原则：1、最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字是可靠的。

2、在进行重要的测量时，测量结果和测量误差可比上述原则再多取一位数字作为参考。

数字舍入规则：四舍、六入、五凑双。

注意：表示精度的数据（标准差，不确定度），只入不舍。

数字运算规则：在近似数运算时，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有参与运算的数字，在有效数字后可多保留一位数字作为参考数字（或称为安全数字）。

1.在近似数加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。

2.在近似数乘除、平方或开方运算时，各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位有效数，但最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。

3.在对数运算时，n位有效数字的数据应该用n位对数表，或用（n+1）位对数表，以免损失精度。

在三角函数运算时，所取函数值的位数应随角度误差的减小而增多。

1. 测得某三角块的三个角度之和为180°00′02″，试求测量的绝对误差和相对误差。

（180°00′02″—180/180）2. 多级火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.1km；在射击场中，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高。

提示：火箭好相对。

3. 若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为±11μm和±9μm；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm，其测量误差为±12μm，试比较三种测量方法精度的高低。

（方法3好，提示相对误差的计算方法。

）分别求出正态分布随机误差出现于23σσσ±±±、、范围内的概率。

举例：()()P22220.9544σδσφ-≤≤==（注意查表）()a aP a20.9 1.65a0.10Ntδφσσ⎛⎫≤=====⎪⎝⎭解：由查表所以算术平均值的性质：无偏性、一致性、有效性已知测量的标准差为s=8mg，欲使最终结果的标准差小于5mg，需重复测量多少次？由题意，算术平均值的标准差所以，至少需要测量3次。

由得贝塞尔公式极差法ggggggggg最大误差法对某圆柱体外径尺寸连续10次，所得结果如下（单位mm）：3.985，3.986，3.988，3.986，3.984，3.982，3.987，3.985，3.989，3.986，求最佳结果及其精度（不考虑系统误差）。

用同一长度基准对一级钢卷尺进行检定，先后用10次、20次30次进行测量，分别求得算术平均值：求卷钢尺的最佳长度估计值。

对一级钢卷尺的长度进行了3组不等精度测量，其结果为求卷钢尺的最佳长度估计值，并给出其精度估计。

=16：1：4p0.200.044i xmm mmσσ=结果为求得某物体在给定时间间隔内的平均速度，测得时间间隔t 和物体相应移过的距离s ，若测量的系统误差分别为和，求所给速度的系统误差表达式。

题目：用弓高弦长法间接测量大直径D，直接测得其弓高h=50mm和弦长s=500mm，系统误差分别为△h=-0.1mm和Δs=1mm，求测量结果的系统误差。

题目：1米刻尺刻度的标准差为0.5mm，用来测量5米的距离时，由这一刻度误差引起的测量标准差为多少？题目：用某仪器对某一测量量进行了n次等精度重复测量，设单次测量随机误差的标准差为ur，仪器未定的系统误差的标准差为us ，求测量结果的标准差为多少？123123222111p:p:p::x x xσσσ=5xmgσ≤x nσ2222x8n==2.565σσ≥max minnW x x=-max1insKδ=max1ins vK='333limˆ3.9858mm 0.6310mm 30.6310mm 1.910mm (3.98580.0019) mmd dk dσδσ---==⨯==⨯⨯=⨯=±结果1232000.45mm,2000.15mm,2000.60mmx x x===123x x x0.05mm,0.20mmmm,0.10mmσσσ===112233p1232000.46p x p x p xx mmp p p++==++t∆s∆22svt1ss tt ts sVt ts s s t s s tv v Vt t t t t t-∆==-∆-∆∆-∆∆=-=-=≈∆-∆-∆-∆解：速度的测量值为速度的真值为LAAAX TT1)(ˆ-=相关关系及相关系数相关关系：两个误差的相互依赖关系。

相关系数：两个误差的相关程度（相关性强弱）。

直接计算法启示：例：测量一圆柱体体积时，可间接测量圆柱直径D及高度h，根据函数式求得体积V,现测得直径D=20mm，高度h=50mm，若要求测量体积的相对误差为1%,试确定直径D和高度h的测量精度?测量某零件的轴心距L，已知测量的标准差分别为求最佳测量方案。

例：用弓高弦长法间接测量大直径D，已知其函数式为测量弓高的标准差为，弦长的标准差为，求最佳测量方案。

例1已知某一金属棒的电阻R与温度t的函数关系为R = a + bt，为确定a值与b值，测量了七种不同温度下的电阻值，列入下表中最小二乘估计量例2 已知测量方程对的测量数据及其相应的标准差分别为（单位略）试列出最小二乘法处理的正规方程。

正规方程系数矩阵的特点主对角线分布着平方项系数，均为正数以主对角线为轴对称分布的各系数彼此两两相等221niivsn t==-∑已知等精度测量的标准差为，对数据进行最小二乘处理的正规方程为试给出最小二乘估计的标准差。

不等精度测量中估计量的协方差矩阵:12ˆ()TDX A PA s-=1212120.00433x32x70.81432x117x111.994x xσ=+=+=已知不等精度测量的单位权标准差，正规方程为试给出与的最小二乘估计及其相应精度。

线性回归公式：xs0.06N0.08N95%δ=<已知测量的标准差，若使算术平均值的误差绝对值的概率不小于，应至少重复测量多少次？R UI测量某电路电阻两端的压降，可计算出电路电流。

(1)RU Iδδδ设电阻的测量误差为，压降的测量误差为，求电流的测量误差为多少？RU I(2)σσσ设电阻的测量标准差为，压降的测量标准差为，求电流的测量标准差为多少？R1R2U1U2I(3)mnσσσσσ设电阻的单次测量的随机误差标准差为，系统误差标准差为，共测量了次，压降的单次测量随机误差标准差为，系统误差标准差为，共测量了次。

求电流的测量标准差为多少？()x yD x,yρσσ=⋅()()()()()()x yD x y D x D y2D x,yD x D y2ρσσ+=++=++()()()()∑∑∑===----=n1in1i2i2in1iiiyyxxyyxxδδδδδδδδρx yz:x yz x y x yσσσ=+例已知的标准差为，的标准差为，其和的标准差为，试求和的相关系数。

()12n12ni:n x x,,x1x x x xnx=+++例设有个等精度重复测量结果，，各测量结果只包含随机误差，且互不相关。

试求算术平均值与的相关系数。

x yxyyx y z xxyzσσρ=例：设通过测量和得到，已知的测量标准差为，的测量标准差为，且两者的相关系数为，求的标准差。

2D hV=4πd1d2L1L25m,7m,8m,10m,σμσμσμσμ====2sD h4h=+hσsσCti/Ω/R11111221221122221122t tt tn n n nt ty a x a x a xy a x a x a xy a x a x a x=+++⎫⎪=+++⎪⎬⎪⎪=+++⎭iY123412343.538, 6.055,4.547,7.0700.003,0.003,0.002,0.002l l l ls s s s========⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2111⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25.05.0104.0=s⎭⎬⎫=+=+32.6240.17262121xxxx12x x和2221111l()()N N Nxx i i ii i ix x x xN====-=-∑∑∑11111U=bl()()[()()]N N N Nxy i i i i i ii i i ib x x y y b x y x yN=====--=-∑∑∑∑22221111Ql()()1n-2N-2N N Nyy i i ii i iy y y yNσ====-=-=∑∑∑方差自由度剩余总计n-1lU/1l l Q=U+Q F=Q/n-2lxyyy xyxxb S b y bx-==-和显著度和b=和。