河北省衡水中学2022届高三上学期七调考试数学(理)试题 Word版含答案
2021〜2022学年度上学期高三班级七调考试 理数试卷 命题人:李桂省本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。
第I 卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.已知全集 U=R ，集合 A={X y=log 2 (-x 2+2x)}，B={ Y y=1+3 }，那么A ∩C U B = ( )A. {X 0＜ x ＜1}B. {X X ＜ 0 }C. {x x ＞ 2 }D. {x 1＜x ＜2}2.在复平面内，复数Z 满足Z （1 + I )= |1+√3I |，则z 的共轭数对应的点 ( ) A .第一象限B .其次象限C .第三象限D .第四象限3.在各项均为正数的等比数列{A N }中，若a m+1 • a m-1 = 2a m (m(m ≥2)，数列{A N }的前N 项积为T N ，若T 2m-1—1=512,则M 的值为（ ） A.4 B. 5C. 6D.74.已知函数f(x) = sin ωx+ 3sin(ωx +2π)(ω＞0) 的最小正周期为π，则f(x)在区间[0, 32π]上的值域为 （ ）A. [0, 23] B. [-21,23] C. [-21,1] D. [-23,21]5.执行如图的程序框图，那么输出S 的值是A. 2B. 21C. -1D. 16.在二项式（√x + 423x• ）n的开放式中，前三项的系数成等差数列，把开放式中全部的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )A.61 B. 41 C. 31 D. 125 7.在△ ABC 中，A ，B , C 分别是角A ，B ，C 所对边的边长，若cos A + sin A- B A sin cos 2+=0,则cba +的值是A. 1B. 2√2C. 3√3D. 28.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如右图所示 (单位:cm)，则该几何体的体积为( )A. 120 cm 3B. 80 cm 3C. 100 cm 3D. 60 cm3 9.在△ ABC 中，BC=5，G ，O 分别为AABC 的重心和外心，且OG → •BC→=5，则△ABC 的外形是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.上述三种状况都有可能10.平行四边形ABCD 中，AB ·BD = 0，沿BD 将四边形折起成直二面角A — BD — C ，且 2AB 2+|BD |2=4，则三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为（ ）A .2π B . 4πC .4πD .2π11.已知双曲线C 的方程为42x 一42y= 1 , 其左、右焦点分别是F 1、F 2 ,已知点M 坐标为（2，1)，双曲线C 上点 P(x 0,y 0 ) (x 0 ＞0，y 0＞0)满足 111PF MF PF ⋅=FF MF F F 22111•12112F F MF F F ⋅，则S △PMF 1 - S △PMF 2 =( )A -1 B. 1 C. 2 D. 412.定义在 R 上的函数 f (X )满足 f (x + 2) =21f (X )，当 x ∈ [0,2)时，f (x )= ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤---21,210,221|23|12x x x x , 函数G （x)=x 2+3x 2+m , 若∀s ∈ [ - 4，-2)，∃t ∈ [ - 4，-2)，不等式F (S )—G (T )≥0成立，则实数M 的取值范围是 （ ） A. (∞-，-12] B. (∞- ，-4] C. (∞- ，8] D .( ∞- ，231] 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设a = x0 (sin x —1 + 2cos 22π)dx ，则(a-x 1)6• (x 2+2 )的开放式中常数项是( )14.以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检 测，这样的抽样是分层抽样,②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的确定值越接近于1,③某项测量结果ξ听从正态分布N (1，a 2),P(ξ≤5)=0.81，则P ξ ≤ 3) =0.19,④对于两个分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，推断“X 与Y 有关系” 的把握程度越大。
以上命题中其中真命题的个数为 .15.已知圆C ：(x -3) 2+ (y —4) 2= 1和两点A( -m ，0)，B(m ，0) (m ＞0)，若圆上存在点P ，使得 ∠APB —90°，则m 的取值范围是.16.f(x)是定义在R 上的函数，其导函数为f'(x)，若f(x)—f'(x) ＜1，f(0) = 2022,则不等式f(x) ＞2021 • e x+ 1(其中e 为自然对数的底数）的解集为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量a= (S n ，1)，b= (2n— 1, 21),满足条件a ∥b,(1)求数列{a n }的通项公式,(2)设函数f(x)= (21)x，数列{b n }满足条件b 1=1,f(b n+1) = )1(1--nb f .①求数列{bn}的通项公式,②设Cn =n nab ， 求数列{ Cn }的前n 项和Tn.18.(本小题满分12 分）如图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA 丄底面ABCD ，AB 垂直于AD 和 BC ，SA=AB = BC=2，AD = 1.M 是棱 SB 的中点. (1)求证:AM//平面SCD,(2)求平面SCD 与平面SAB 所成的二面角的余弦值,为0，求sin θ(3)设点N 是直线CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角的最大值.19.(本小题满分12分）(1)心理学家分析发觉视觉和空间力量与性别有关，某数学爱好小组为了验证这个结论，从爱好 小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20)，给全部同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题状况如下表(单位•人):(1)能否据此推断有97.5% 的把握认为视觉和空间力量与性别有关？(2)经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5 — 7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6 - 8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率, (3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题状况进行全程争辩，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E(X).附表及公式几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计30205020.(本小题满分12分）已知椭圆C: 22a x + 22b y = 1(a ＞b ＞0) 的离心率为21，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y + 12 = 0相切. (1)求椭圆C 的方程,(2)设A( -4,0)，过点R （3,0)作与X 轴不重合的直线L 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线X = 316于M ，N 两点，若直线MR 、NR 的斜率分别为k 1，K 2 ,试问: k 1 K 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.21.(本小题满分10分)选修4一5 :不等式选讲已知函数 f(x)=ln(x+1)-x .(1)求f(x)的单调区间,(2)若k ∈Z ，且f(x-1)+x ＞k (1-3 )对任意x ＞1恒成立，求k 的最大值, (3)对于在区间（0，1)上的任意一个常数a ，是否存在正数x 。
，使得e f(x0 )＜ 1 -2a x 20成立？ 请说明理由.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分。
22.(本小题满分10分)选修4一1:几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D.(1)证明：DB = DC;(2)设圆的半径为1，BC=3,延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆 的半径.23.(本小题满分10分)选修4一4坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C: ρsin θ = 2acosθ (a ＞0)，过点P( —2，一4)的直线L 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 224222 ,T (为参数），直线L 与曲线C分别交于M ，两点.(1)写出曲线C 的平面直角坐标方程和直线L 的一般方程 ； (2)若PM, MN ,PN 成等比数列，求实数A 的值.24.(本小题满分10分)选修4一5 :不等式选讲 已知函数 f(x)=| x + 1 | + 2 |x —1 | .(1)解不等式,f(x) ＜4 ;(2)若不等式f(x) ≥ | a + 1|对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案及解析。
2024-2025学年河北省衡水市高三上学期12月考试数学检测试题(含解析)
2024-2025学年河北省衡水市高三上学期12月考试数学检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )A ={x|x 2−2x−3>0}B ={1,2,3,4}A ∩B =A. B. C. D. {1,2}{1,2,3}{3,4}{4}2.已知，则( )(1+i)z =2+4i |z|=A. 10B. 2C. D. 4103.已知，，，比较a ，b ，c 的大小为( )a =log 32b =log 43c =0.51.2A. B. C. D. a >b >c a >c >b b >c >a b >a >c4.已知向量，，，则实数k 的值为( )⃗a =(2,1)⃗b=(1,−3)(k⃗a −⃗b)⊥(⃗a +⃗b )A. B. C. D. 1−9494−15.已知等比数列的前n 项和为，若，，则( ){a n }S n 1a 1+1a 2+1a 3=7a 2=12S 3=A. B. C. D. 77874726.定义在上的函数满足，且，有(0,+∞)f(x)∀x 1x 2∈(0,+∞)x 1≠x 2，且，，则不等式[f(x 1)−f(x 2)](x 1−x 2)>0f(xy)=f(x)+f(y)f(4)=23的解集为( )f(2x)−f(x−3)>1A. B. C. D. (0,4)(0,+∞)(3,4)(2,3)7.已知角，满足，，则( )αβtanα=22sinβ=cos(α+β)sinαtanβ=A. B. C. D. 21317168.已知，，且，则( )x >0y >0e x =x 2+lny A. B. C.D. y >e2y 2>ex +2x 2<ln eyx 2<e 2−1二、多选题：本题共3小题，共18分。
2022年河北省衡水中学高考数学模拟试卷及答案解析
2022年河北省衡水中学高考数学一模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A ＝{x ||x ﹣2|＜1}，B ＝{x |log 2x ＜1}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，3）B ．（1，2）C ．（﹣∞，3）D ．（0，2）2．（5分）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种3．（5分）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M 为A 1C 1的中点，则AM 与BC 1所成角的余弦值为（ ）A ．√104B ．√53C ．√64D ．√1534．（5分）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →=4FQ →，则|QF |＝（ ） A ．72B ．3C ．52D ．25．（5分）已知圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝2，点P 在直线y ＝x +3上．线段AB 为圆C 的直径，则PA →•PB →的最小值为（ ） A ．2B ．52C ．3D ．726．（5分）如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（ ）（参考数据：lg 2≈0.3）A ．10300B ．10400C ．10500D ．106007．（5分）已知f （x ）是偶函数，且对任意x 1，x 2∈（0，+∞），f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．设a ＝f（32），b ＝f （log 37），c ＝f （﹣0.83），则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b8．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点、右焦点分别为A ，F ，过点A 的直线l 与C 的一条渐近线交于点Q ，直线QF 与C 的一个交点为B ，若AQ →•AB →=AQ →•FB →，且BQ →=3FQ →，则C 的离心率为（ ） A ．2B ．√5−1C ．√5D ．2+√53二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学试题(含答案解析)
河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合3(1)(4)ln log (1)x x M x y x ⎧⎫--==⎨⎬-⎩⎭∣，{}2R 4N yy =>∣ð，则（）A ．2M N∈⋂B ．{[2,2](4,)}M N aa ∞⋃=∈-⋃+∣C ．{(,2)(2,)}N aa ∞∞=∈-⋃+∣D ．()R {[2,1]}M N aa ⋂=∈-∣ð2．若i 1|1|i -=--z z ，则||z z -=（）A ．1BC ．2D ．123．在△ABC 中，O 为重心，D 为BC 边上近C 点四等分点，DO mAB nAC =+uuu r uu u r uuu r，则m＋n ＝（）A ．13B ．13-C ．53D ．53-4．一个灯罩可看作侧面有布料的圆台，在原形态下测得的布料最短宽度为13，将其压扁变为圆环，测得布料最短宽度为5，则灯罩占空间最小为（）A ．175πB ．325π3C ．100πD ．不存在5．若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（）种安排方法A ．335B ．100C ．360D ．3406．已知函数()πsin ,(0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭将其向右平移π3个单位长度后得到()g x ，若()g x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个极大值点，则()f x 一定满足的单调递增区间为（）A ．4π2π,5757⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．4π2π,3939⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3π5π,1313⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5π7π,1919⎡⎤⎢⎣⎦7．已知0.99e 0.01100100e ,ln ,ln ln (0.99)9999a b a c c c -⎛⎫===-≠ ⎪⎝⎭，则（）A ． 1.01b a c >>>B ． 1.01b a c >>>C ． 1.01a b c>>>D ． 1.01a b c >>>8．若已知函数()e x af x +=，()lng x x ka =+，()0,a ∞∃∈+，若函数()()()F x f x g x =-存在零点（参考数据ln 20.70≈），则k 的取值范围充分不必要条件为（）A ．()0.7 1.3e ,eB ．)0.71,e⎡⎣C ．)2.23.1e ,e ⎡⎣D ．()1.32.2e ,e 二、多选题9．在正方体1111ABCD A B C D -中，2,,,AB E F G =分别为棱1,,BB AB BC 中点，H 为1CC 近C 三等分点，P 在面11AA D D 上运动，则（）A ．1BC ∥平面1D FGB ．若(,R)GP GF GH μϕμϕ=+∈uu u r uu u r uuu r，则C 点到平面PBH 的距离与P 点位置有关C ．1BD EG⊥D ．若(,R)GP GF GH μϕμϕ=+∈uu u r uu u r uuu r ，则P 10．若数列{}n a 有2142n n n a a a ++=-，n S 为{}2n a +前n 项积，{}n b 有112n n n n b b b b ++-=，则（）A ．(){}log log 2b a n a ⎡⎤+⎣⎦为等差数列（,0a b >）B ．可能()()21112n n n S a -=-+C ．1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列D ．{}n b 第n 项可能与n 无关11．已知抛物线C ：22x py =，过点P （0，p ）直线{,}l C A B ⋂=，AB 中点为1Q ，过A ，B 两点作抛物线的切线121221,,,l l l l Q l y ⋂=⋂轴＝N ，抛物线准线与2Q P 交于M ，下列说法正确的是（）A ．21Q Q x ⊥轴B ．O 为PN 中点C ．22AQ BQ ⊥D ．M 为2PQ 近2Q 四等分点12．已知奇函数()f x ，x ∈R ，且()()πf x f x =-，当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()cos sin 0f x x f x x '+>，当π2x →时，()2cos f x x →，下列说法正确的是（）A ．()f x 是周期为2π的函数B ．()cos f x x 是最小正周期为2π的函数C ．()cos f x x关于π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称D ．直线y kx =与()cos f x x若有3个交点，则4444,,3553k ππππ⎛⎤⎡⎫∈--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭三、填空题13．6212x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭中常数项是_________．（写出数字）14．若⊙C ：()()221x a y b -+-=，⊙D ：()()22684x y -+-=，M ，N 分别为⊙C ，⊙D上一动点，MN 最小值为4，则34a b +取值范围为_________．15．已知双曲线22221x y a b-=，1F ，2F 分别为双曲线左右焦点，2F 作斜率为a b -的直线交by x a=于点A ，连接1AF 交双曲线于点B ，若21AB AF BF ==，则双曲线的离心率_________．16．已知函数()ln cos f x x kx x =+-，1212(0,,,)x x x x ∀∈∞≠+，使得()()12123f x f x x x ->-，k 的取值范围为_________．四、解答题17．已知O 为△ABC 外心，S 为△ABC 面积，r 为⊙O 半径，且满足()2222342cos cos 23CB AO r A B a S⋅+---=uu r uuu r (1)求∠A 大小；(2)若D 为BC 上近C 三等分点（即13CD BC =），且AD =S 最大值．18．张老师在2022年市统测后统计了1班和3班的数学成绩如下图所示22()()()()()n ad bc K a b b d c d a c -=++++，n a b c d =+++，()20P K k ≥0.0500.0250.0100.0050.0010k 3.8415.0246.6357.87910.828(1)根据卡方独立进行检验，说明是否有99.9%的把握数学成绩与班级有关；(2)现在根据分层抽样原理，从1班和3班中抽取10人，再让数学评价优秀的同学辅导一位数学评价一般的同学，每个人必有一人辅异，求在抽到甲辅导乙的情况下丙辅导丁的概率．(3)以频率估计概率，若从全年级中随机抽取3人，求至少抽到一人数学成绩为优秀的概率．(4)以频率估计概率，若从三班中随机抽取8人，求抽到x 人数学成绩为优秀的分布列（列出通式即可）及期望()E x ，并说明x 取何值时概率最大．19．在△ABC 中，π3BAC ∠=，A 、B 、C 、D 四点共球，R （已知）为球半径，O 为球心，O '为ABC 外接圆圆心，r （未知）为⊙O '半径．(1)求()max A BCD V -和此时O 到面ABC 距离h ；(2)在()max A BCD V -的条件下，面OAB （可以无限延伸）上是否存在一点K ，使得KC ⊥平面OAB ？若存在，求出K 点距OO '距离1d 和K 到面ABC 距离2d ，若不存在请给出理由．20．在高中的数学课上，张老师教会了我们用如下方法求解数列的前n 项和：形如()1212nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的数列，我们可以错位相减的方法对其进行求和；形如()()122121nn nn b +=++的数列，我们可以使用裂项相消的方法对其进行求和．李华同学在思考错位相减和裂项相消后的本质后对其进行如下思考：错位相减：设11(1)n n a a q q -=≠，()()1212111,n nn n n S a a a a q q qS a q q q -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+()()()()11111(1)111n n n n n n q S a q q q a q q q a q --⎡⎤-=+⋅⋅⋅+--⋅⋅⋅-=+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+=-⎣⎦111n n q S a q -=-综上：当中间项可以相消时，可将求解n S 的问题用错位相减化简裂项相消：设1111111(1)11n n n k k k n n n n n n n ++=-==-⇒-=-⇒=+++1n n n b k k 或1n k n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为公比为1的等比数列；①当1n k n =时，111n b n n =-+②当1n k n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为公比为1的等比数列时，()11111,1n n k k b n n n =++=-+；故可为简便计算省去②的讨论，111n n nS k k n +=-=+综上：可将求解n S 的问题用裂项相消转化为求解n k 的问题你看了他的思考后虽觉得这是“废话文学”，但是你立刻脑子里灵光一闪，回到座位上开始写下了这三个问题：(1)用错位相减的方法“温故”张老师课堂上举的例子，求解数列{n a }前n 项和n S ；(2)用裂项相消的方法“知新”张老师课堂上举的例子，求解数列{n a }前n 项和n S ；(3)融会贯通，求证：()21232nn c n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭前n 项和n T 满18n n S T +<．请基于李华同学的思考做出解答，并写出裂项具体过程．21．在平面直角坐标系中，12,F F 分别为(1,0)-，(1,0)，⊙()222:116x y F -+=，E 为⊙2F 上一点，C 为线段2EF 上一点，⊙C 过1F 和E ．(1)求C 点轨迹方程，并判断轨迹形状；(2)过12,F F 两直线12,l l 交C 分别于A 、B 和M 、N ，P ，Q 分别为AB 和MN 中点，求P 、Q 轨迹方程，并判断轨迹形状；(3)在（2）的条件下，若PQ //x 轴，12l l D ⋂=，求D 点轨迹方程，并判断轨迹形状．22．已知函数()11e ln-=-+kx f x x kx x.(1)求证：()0f x ≥；(2)若()0,x ∀∈+∞，都()211e ≥+f x ，求k 满足的取值范围．参考答案：1．B【分析】先求出集合,M N ，然后再逐个分析判断即可.【详解】由33(1)(4)0log (1)log (1)0x x x x --⎧>⎪-⎨⎪-≠⎩，得3(1)(4)log (1)011x x x x --->⎧⎨-≠⎩，解得>4x 或12x <<，所以{4M x x =>或}12x <<，因为{}2R 4N yy =>∣ð，所以{}{}2422N y y y y =≤=-≤≤，对于A ，因为(1,2)M N = ，所以2M N ∉⋂，所以A 错误，对于B ，因为{4M x x =>或}12x <<，{}22N y y =-≤≤，所以[2,2](4,)M N =-+∞ ，所以B 正确，对于C ，因为{}22N y y =-≤≤，所以C 错误，对于D ，因为{4M x x =>或}12x <<，所以R (,1][2,4]M =-∞ ð，因为{}22N y y =-≤≤，所以(){}R [2,1]2M N ⋂=-ðU ，所以D 错误，故选：B 2．A【分析】设i z a b =+，利用复数相等求出a b ，，即可求解.【详解】设i z a b =+，（,R,i a b ∈为虚数单位）.因为i 1|1|i -=--z z ,所以()1i=1a b +--，所以11a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以111i,1i 22z z =+=-，所以||i 1z z -==故选：A 3．B【分析】连接AO 延长交BC 于E 点，则E 点为BC 的中点，连接AD OD 、，利用向量平面基本定理表示DO可得答案.【详解】连接AO 延长交BC 于E 点，则E 点为BC 的中点，连接AD OD 、，所以()23213432=++=-+⨯+=+DB BA AE CB AB AB A DO DA CAO uuu r uu u r uuu r uu u r uu r uu u r uu r uu u r uu u r uuu r ()()3115431212=--++=-AB AC AB AB AC AB AC uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r ，所以15,1212==-m n ，15112123+=-=-m n .故选：B.4．D【分析】设圆台的上、下底面圆的半径分别为,r R ，母线长为l ，高为h ，由题意可知5R r -=，13l =，则12h =，利用圆台的体积公式求出体积表达式，利用二次函数的性质即可得到答案．【详解】设圆台的上、下底面圆的半径分别为,r R ，母线长为l ，高为h由题意可知5R r -=，13l =，则12h ==则圆台的体积为()()()()2222211ππ124π315255353V h R r Rr r r r r r r ⎡=++=⨯⨯+⎤++=⎣⎦+++2512π25π2r ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当0r >时，V 单调递增，故V 不存在最小值．故选：D ．5．C【分析】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；每种分组再分同学1安排的几位老师辅导解答.【详解】把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；①把6为老师平均分为3组的不同的安排方法数有22264233C C C 15A ⋅⋅=在把这三组老师安排给三位不同学生辅导的不同安排方案数为：33A 6=，根据分步计数原理可得共有不同安排方案为：2223642333C C C A 15690A ⋅⋅=⨯=如果把甲老师安排去辅导同学1的方法数为：2212425222C C 1C A 30A ⋅⋅⋅=所以把6位老师平均安排给三位学生辅导且甲老师不安排去辅导同学1的方法数为903060-=②把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导的方法数为：若1同学只安排了一位辅导老师则11425542C C C A 50⋅=若1同学安排了四位辅导老师则4252C A 10=所以把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为60③把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导的方法数为；若1同学只安排了一位辅导老师则12325532C C C A 100⋅=若1同学只安排了两位辅导老师则21325432C C C A 80⋅=若1同学只安排了三位辅导老师则31225322C C C A 60⋅=所以把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为6080100240++=综上把6位老师安排给三位学生辅导，甲老师不安排去辅导同学1的方法数为2406060360++=故选：C 6．A【分析】根据平移变换得函数()ππsin ,(0)36g x x ωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，由()g x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个极大值点，结合正弦函数图象可得131922ω≤<，再求π6x ω+的范围，结合正弦函数的单调性，由此可判断答案.【详解】解：有题意可得()πππsin ,(0)336g x f x x ωω⎛⎫⎛⎫=-=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得πππ2ππ,36636x ωωω⎛⎫⎡⎤-+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由于()g x 在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个极大值点，所以9π2ππ13π2362ω≤+<，解得131922ω≤<，当4π2π,5757x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π42[,]6576576x ππππωωω+∈-++而42[,[,)57657622ππππππωω-++⊂-，故A 正确，当4π2π,3939x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π42[,]6396396x ππππωωω+∈-++而426351[,][,)3963967878ππππππωω-++⊂-，故B 不正确，当3π5π,1313x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π35[,]6136136x ππππωωω+∈++，而355298[,[,136136378ππππππωω++⊂，故C 不正确，当5π7π,1919x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π57[,]6196196x ππππωωω+∈++，而5721411[,][,)1961961143ππππππωω++⊂，故D 不正确，故选：A.7．D【分析】变形a ，b ，构造函数e ()ln xf x x x x=-+比较a ，b 的大小，构造函数()ln g x x x=-比较,e b 的大小，利用极值点偏移的方法判断1.01,c 的大小作答.【详解】依题意，0.99e 0.99a =，e 0.01ln 0.99e 10.99ln 0.99b =--=-+-，令e ()ln x f x x x x =-+，22e (1)1(e )(1)()1x x x x x f x x x x ---'=-+=，当01x <<时，e 10x x >>>，即()0f x '<，函数()f x 在(0,1)上单调递减，(0.99)(1)e 1f f >=-，即0.99e 0.99ln 0.99e 10.99-+>-，因此a b >，令()ln g x x x =-，1()1g x x'=-，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，函数()g x 在(0,1)上单调递减，(0.99)(1)1g g >=，而e 1(0.99)e>1.01b g =-+>，函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，显然11(e)e 1,()1e eg g =-=+，则方程1(),(1,1]e g x k k =∈+有两个不等实根12,x x ，1201x x <<<，有12()()g x g x k ==，ln ln 0.99ln 0.99ln (0.99)()a c c c c g g c =-⇔-=-⇔=，而0.99c ≠，则有1c >，令()()(2)h x g x g x =--，01x <<，2112(1)()()(2)1102(2)x h x g x g x x x x x -'''=+-=-+-=-<--，即函数()h x 在(0,1)上单调递减，当(0,1)x ∈时，()(1)0h x h >=，即()(2)g x g x >-，因此11()(2)g x g x >-，即有211()()(2)g x g x g x =>-，而211,21x x >->，()g x 在(1,)+∞上单调递增，于是得212x x >-，即122x x +>，取10.99x =，2x c =，于是得20.99 1.01c >-=，又()(0.99))1()(e eg g c g g <<=，()g x 在(1,)+∞上单调递增，从而1.01e c <<，所以 1.01a b c >>>，D 正确.故选：D【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.8．C【分析】因为求的是充分不必要条件，而非充要条件，所以采用特殊值法，只要满足()()11f g ≤，则有()()()F x f x g x =-存在零点，求出1e ak a+≥时k 的取值范围，即为一个充分条件，再由选项依次判断即可.【详解】 当0a =时，()e x af x +=的图象恒在()lng x x ka =+上方，∴若满足()()11f g ≤，即1eln1aka +≤+，1e ak a+≥，则()f x 与()g x 的图象必有交点，即()()()F x f x g x =-存在零点.令()1e x h x x+=()0x >，()()12e 1x x h x x +-'=，有当01x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1x >时，()0h x '>，()h x 单调递增.()()21e h x h ∴≥=.即当2e k ≥时，一定存在()10,a =∈+∞，满足()()11f g ≤，即()()()F x f x g x =-存在零点，因此)2e ,k ⎡∈+∞⎣是满足题意k 的取值范围的一个充分条件.由选项可得，只有)2.2 3.1e ,e ⎡⎣是)2e ,⎡+∞⎣的子集，所以)2.2 3.1e ,e ⎡⎣是k 的取值范围的一个充分不必要条件.故选：C .9．BCD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量逐一解答即可.【详解】解：根据题意建立如图所示的坐标系：因为正方体的边长为2，所以1(0,0,0)A ，(0,0,1)A ，1(2,0,0)B ，1(2,2,0)C ，1(0,2,0)D ，(2,0,2)B ，(2,2,2)C ，(0,2,2)D ，(2,0,1)E ，(1,0,2)F ，(2,1,2)G ，4(2,2,3H ，对于A ，因为1(0,2,2)BC =-u u u u r ，1(1,2,2)FD =--u u u u r ，(1,1,0)FG =u u u r，设平面1D FG 的法向量为(,,)n x y z = ，则有2200x y z x y -+-=⎧⎨+=⎩，则有23y zy x⎧=⎪⎨⎪=-⎩，取(2,2,3)n =-r，因为120n BC ⋅=-≠r u u u u r，所以1n BC ⊥ru u u u r不成立，所以1BC ∥平面1D FG 不成立，故错误；对于B ，设00(0,,)P y z ，则00(2,1,2)G y z P =---uu u r ，(1,1,0)GF =--uu u r ，2(0,1,)3GH =-uuu r ，又因为(,R)GP GF GH μϕμϕ=+∈uu u r uu u r uuu r，所以0021223y z μμϕϕ⎧⎪-=-⎪-=-+⎨⎪⎪-=-⎩，所以有002433z y =-+，所以P 点轨迹为如图所示的线段1MD ，在平面11BCC B 内作出与1MD 平行的直线1NC ，易知1MD 与1NC 的距离等于平面11ADD A 与平面11BCC B 的距离为2，因为1NC 与BH 不平行，所以1MD 与BH 不平行，所以点P 到BH 的距离不是定值，所以PBH S 不是定值，又因为P BCH C BPH V V --=,即1121223233PBH S h ⨯⨯⨯⨯=⋅V ，(h 为C 点到平面PBH 的距离)，所以43PHBh S =V 不是定值，所以C 点到平面PBH 的距离与P 点位置有关，故正确；对于C ，因为1(2,2,2)BD =--uuu r ，(0,1,1)EG =uu u r，1220BD EG ⋅=-=uuu u r uu r ，所以1BD EG ⊥uuu r uuu r，即有1BD EG ⊥，故正确；对于D ，由B 可知P 点轨迹为002433z y =-+，令00y =，则043z =；令02z =，则02y =，所以P 3=，故正确.故选：BCD 10．BD【分析】结合递推式2142n n n a a a ++=-，取12a =-，求{}n a 的通项公式判断选项A 错误，求n S 判断B ，由递推式112n n n n b b b b ++-=，取10b =，判断C ，求数列{}n b 的通项公式判断D.【详解】因为2142n n n a a a ++=-，所以()1222n n a a +=++，所以当2,N n n *≥∈时，20n a +≥，若12a =-，则2,N n a n *=-∈，()log 2a n a +不存在，A 错误；因为12a =-时，2,N n a n *=-∈，所以20n a +=，所以0n S =，又()()211012nn a -+=-，所以可能()()21112n nn S a -=-+，B 正确；因为112n n n n b b b b ++-=，取10b =，则0,N n b n *=∈，此时1nb 不存在，C 错误；D 正确；故选：BD.11．AD【分析】设直线l 的斜率为k ，不妨设0p >，直线l 的方程为y kx p =+，()()1122,,,A x y B x y ，与抛物线方程联立求出12x x +，12x x ，12y y +，得()21,+Q pk pk p ，令12=-pk x 求出1y ，求出xy p '=，可得直线1l 的方程、直线2l 的方程，由22122⨯=AQ BQ x x k k p可判断C ；联立直线1l 、直线2l 的方程可得()2,-Q pk p 可判断A ；令0x =由()1110-=-x y y x p得()0,P p 可判断B ；由()0,P p 、M 点的纵坐标为2p-、()2,-Q pk p 可判断D.【详解】由题意直线l 的斜率存在，设为k ，不妨设0p >，()()1122,,,A x y B x y ，则直线l 的方程为y kx p =+，与抛物线方程联立22y kx px py=+⎧⎨=⎩，可得22220x pkx p --=，222480∆=+>p k p ，所以122x x pk +=，2122x x p =-，21222+=+y y pk p ，所以()21,+Q pk pk p ，不妨令1222==x pk x p k所以221222=+-=++y pk p ky pk p由22x y p=得x y p '=，所以直线1l 的方程为()111x y y x x p -=-，直线2l 的方程为()222x y y x x p-=-，所以2221222221-⨯===-≠-AQ BQ x x p k k p p ，故C 错误；由()()111222x y y x x p x y y x x p ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得11x pk y kx y =⎧⎨=-⎩，可得((222x pk y k pk pk p k p =⎧⎪⎨=--+-=-⎪⎩，所以()2,-Q pk p ，所以21Q Q x ⊥轴，故A 正确；令0x =所以由()1110-=-x y y x p得212-=-=-+y y k p p(220,-+-N p k p ，而()0,P p，且222200pk p p pk k --+=-+=⇒=，故B 错误；因为()0,P p ，M 点的纵坐标为2p-，()2,-Q pk p ，所以322⎛⎫--= ⎪⎝⎭p p p ，()22---=p p p ，故M 为2PQ 近2Q 四等分点，故D 正确.故选：AD.12．AC【分析】根据奇函数()f x ，x ∈R ，且()()πf x f x =-，可确定函数()f x 的周期，即可判断A ；设()()cos f x g x x=确定函数()g x 的奇偶性与对称性即可判断函数B ，C ；根据()()cos sin 0f x x f x x '+>可判断函数()g x 在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上的单调性，结合对称性与周期性即可得函数()g x 的大致图象，根据直线y kx =与()cos f x x若有3个交点，列不等式即可求k 的取值范围，即可判断D.【详解】解：因为()()πf x f x =-，所以()f x 的图象关于π2x =对称，又因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x =--，则()()()πf x f x f x +=-=-，则()()()2ππf x f x f x +=-+=，故()f x 是周期为2π的函数，故A 正确；设()()cos f x g x x =，其定义域为ππ2π,2π,Z 22k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，则()()()()()()()ππ0cos cos πcos cos f x f x f x f x g x g x xx x x -+-=+=+=--，所以()g x 关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，即()cos f x x关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故C 正确；又()()()()()cos cos f x f x g x g x x x---===--，所以()g x 为上的奇函数，结合()()π0g x g x +-=可得()()π0g x g x --+-=，即()()πg x g x -=-故()cos f x x是周期为π的函数，故B 错误；当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以()()()2cos sin 0cos f x x f x x g x x '+'=>，故()g x 在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，由于()g x 关于π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，所以()g x 在π,π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，且当π2x →时，()2cos f x x →，又函数()g x 的周期为π，则可得()g x 大致图象如下：若直线y kx =与()()cos f x g x x =若有3个交点，则03π225π22k k k ⎧⎪>⎪⎪<⎨⎪⎪≥⎪⎩或03π22π22k k k ⎧⎪<⎪⎪-≥⎨⎪⎪-<⎪⎩，解得445π3πk ≤<或44π3πk -<≤-，故4444,,π3π5π3πk ⎛⎤⎡⎫∈--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故D 错误.故选：AC.13．559【分析】将21x x-看作一项，利用展开式的通项，找两项中的常数项即可求解.【详解】261(2)x x-+的展开式的通项公式是26122316661C ()22C (1)C r r r r r s s r sr r T x xx ---+-=-⋅=-，令12230r s --=，则2312r s +=，故32r s =⎧⎨=⎩或60r s =⎧⎨=⎩或04r s =⎧⎨=⎩，所以261(2)x x-+的展开式中常数项为：3322660044636662C (1)C 2C 2C (1)C 4806415559⨯⨯-⨯+⨯+⨯⨯-⨯=++=，故答案为：559.14．[]15,85【分析】先根据MN 的最小值求出7CD =，即()()226849a b -+-=，再使用柯西不等式求出取值范围.【详解】由于MN 最小值为4，圆C 的半径为1，圆D 的半径为2，故两圆圆心距离4127CD =++=，即()()226849a b -+-=，由柯西不等式得：()()()()()2222268343648a b a b ⎡⎤-+-⋅+≥-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦，当且仅当6834a b --=，即5168,55a b ==时，等号成立，即()234502549a b +-≤⨯，解得：153485a b ≤+≤.故答案为：[]15,8515【分析】首先求出2AF 的方程，联立两直线方程，即可取出A 点坐标，由21AB AF BF ==，即可得到B 为A 、1F 的中点，得到B 点坐标，再代入双曲线方程，即可求出226c a =，从而求出双曲线的离心率.【详解】解：依题意()2,0F c ，所以2AF ：()ay x c b=--，由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2AF b =，又21AB AF BF ==，所以B 为A 、1F 的中点，所以2,22a c ab c B c ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以22222122a c b c c ab a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎝⎭⎝-⎭-=，即44224b a c a -=，即()()222222+4b a b a c a -=，所以2224b a a -=，即225b a =，即2225c a a -=，所以226c a =，则离心率ce a==16．[)4,∞+【分析】不妨设12x x <，把1212()()f x f x x x --＞3化为()()11223f x x f x x <--3，构造函数()()3g x f x x =-，利用()g x 的导数()0g x '≥，求出k 的取值范围．【详解】不妨设1212,(0,),x x x x ∀∈+∞<,∵()()12123f x f x x x ->-，即()()1212)3(f x f x x x <--，()()11223f x x f x x <--3,构造函数()()3g x f x x =-，∴()g x 在(0)+∞，是单调递增函数，∴()()13sin 30g x f x k x x ''=-=++-≥,∴()1sin 3,0,k x x x ∞⎛⎫≥-++∈+ ⎪⎝⎭当0x >时，10x >，[]sin 1,1x ∈-，所以1sin 1x x+>-，所以1sin 34x x ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭，所以k 的取值范围为[)4,∞+故答案为：[)4,∞+17．(1)π3【分析】（1）由向量的运算整理可得221122c b CB AO =-⋅uu r uuu r ，结合正弦定理、余弦定理和面积公式运算求解；（2）根据题意结合向量可得1233AD AB AC =+ ，再结合数量积可得221242999c bc b =++，利用基本不等式可得3bc ≤，再结合面积公式即可得结果.【详解】（1）取,AB AC 的中点,M N ，连接,OM ON ，则,OM AB ON AC ⊥⊥，可得：()cos cos NC AC AB AO AC AO AB AO OA A M A B O AB A A O C O OA =-=⋅-⋅=∠-∠⋅⋅uu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uu u r u u r uuu r uuu r222211112222AB AC c b =-=-uu u r uuu r由()2222342cos cos 23CB AO r A B a S ⋅+---=uu r uuu r ，可得()2222223141cos 1cos 11sin 22322r A B a c b bc A +--+--=⨯，则()()2222232sin 2s 1in sin 2122r A r B a c b b c A --=++，即222223sin 21221a b a b A c b c +-=-+，整理得2222sin b A c a bc +⨯-，由余弦定理222cos sin 23b c a A A bc +-==，可得tan A =∵()0,πA ∈，故π3A =.（2）由题意可得：()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，则22221214433999AD AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，可得：221242999c bc b =++，则2218244bc c b bc -=+≥，当且仅当224c b =，即2c b =时等号成立，即3bc ≤，则11sin 322S bc A =≤⨯故S18．(1)有，理由见解析(2)14(3)78(4)分布列见解析，()2E x =，2x =时，概率最大，理由见解析【分析】（1）计算卡方，与10.828比较后得到结论；（2）先根据分层抽样求出1班和3班抽到的学生分布情况，再根据条件概率求出概率；（3）计算出1班和3班的总人数，以及数学评价优秀的学生总人数，求出相应的频率作为全校数学评价优秀的概率，求出随机抽取3人，抽到0人数学评价优秀的概率，再利用对立事件求概率公式计算出答案；（4）由题意得到18,4x B ⎛⎫⎪⎝⎭，从而求出分布列，数学期望，并利用不等式组，求出2x =时，概率最大.【详解】（1）22100(10204030)5010.828406050503K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有99.9%的把握数学成绩与班级有关；（2）1班有40+20=60人，3班有10+30=40人，故抽取10人，从1班抽取人数为601066040⨯=+，从3班抽取的人数为401046040⨯=+，由于1班数学评价优秀和一般人数比为4:2，故抽取的6人中有4人数学评价优秀，2人评价一般，而3班数学评价优秀和一般的人数之比为1:3，故抽取的4人中有1人数学评价优秀，3人评价一般，设抽到甲辅导乙为事件A ，抽到丙辅导丁为事件B ，则()4455A 1A 5P A ==，()3355A 1A 20P AB ==，()()()1112054P AB P B A P A ==÷=；（3）1班和3班总人数为100人，其中两班学生数学评价优秀的总人数为104050+=，故频率为5011002=，以频率估计概率，全年级的数学评价优秀的概率为12，从全年级中随机抽取3人，抽到0人数学评价优秀的概率为30311C 128⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以从全年级中随机抽取3人，至少抽到一人数学成绩为优秀的概率为17188-=.（4）由题意得：3班的数学评价优秀概率为101404=，故18,4x B ⎛⎫⎪⎝⎭ ，所以分布列为8811C 144xxx -⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1,2,,8x = ；数学期望()1824E x =⨯=，2x =时，概率最大，理由如下：令8171881111C 1C14444xxx xx x -+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：54x ≥，令8191881111C 1C14444x xx xx x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：94x ≤，故5944x ≤≤，因为N x ∈，所以2x =.19．(1)()max A BCD V -3，此时13h R =，(2)存在K ，满足KC ⊥平面OAB ，理由见解析；1d =，223d R =.【分析】(1)设线段O O '的延长线与球的交点为1D ，则1A BCD D ABC V V --≤，设OAO θ'∠=，表示1D ABC -的体积，通过换元，利用导数求其最大值.(2)取AB 的中点E ，连接OE ，CE ，过C 作KC OE ⊥，根据线面垂直判定定理证明KC ⊥平面OAB ，再通过解三角形求1d ，2d .【详解】（1）当点D 为线段O O '的延长线与球的交点时，点D 到平面ABC 的距离最大，所以1A BCD D ABC D ABC V V V ---=≤，由球的截面性质可得'⊥O O 平面ABC ，设OAO θ'∠=，π02θ≤<，则sin ,cos OO OA AO OA θθ''==，又,OA R AO r '==，所以sin ,cos OO R r R θθ'==，所以sin DO R R θ'=+，在ABC 中，π3BAC ∠=，由正弦定理可得π2sin cos 3BC r θ==，由余弦定理可得222π2cos3AB AC AB AC BC +-⋅=，所以22AB AC AB AC BC ⋅-⋅≤，故223cos AB AC R θ⋅≤，所以ABC 的面积221πsin cos 23S AB AC θ=⋅≤，当且仅当AB AC =时等号成立，所以()()12232111cos sin cos sin 133D ABC V S D O R R R θθθθ-=⋅≤⋅⋅+=⋅⋅+'，设()2cos sin 1y θθ=⋅+，令sin t θ=，则()()211y t t =-⋅+，01t ≤<所以()()2321311y t t t t '=--+=--+，当103t ≤<时，0y >' ，函数()()211y t t =-⋅+在10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，当113t <<时，0'<y ，函数()()211y t t =-⋅+在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当13t =时，函数()()211y t t =-⋅+，01t ≤<取最大值，最大值为3227，所以13D ABC V -≤，所以()max A BCD V -为327R ，此时1sin 3h OO R R θ'===，（2）由(1)点D 与点1D 重合，33AB AC BC R ===，又π3BAC ∠=，取AB 的中点E ，连接OE ，CE ，则,OE AB CE AB ⊥⊥，OE CE E ⋂=，,OE CE ⊂平面OCE ，所以AB ⊥平面OCE ，过C 作KC OE ⊥，垂足为K ，因为KC ⊂平面OCE ，所以AB KC ⊥，AB OE E ⋂=，,AB OE ⊂平面OAB ，所以KC ⊥平面OAB ，由(1)AB BC AC ===，OA OB OC R ===，1133OO OA R '==，所以3OE R ==，CE ==，所以3O E '=，因为π2OO E CKE OEO CEK ''∠=∠=∠=∠，，所以CEK OEO ' ，所以EK CE EO OE ='，所以3EK R =，所以2EK OE =，所以O 为EK 的中点，又EO OO '⊥，所以E 到直线OO '的距离为3EO R '=，过K 作KM OO '⊥，垂足为M ，故点K 到OO '的距离为KM ，所以K 到直线OO '的距离为13d KM EO R '===，因为OO '⊥平面ABC ，O '为垂足，所以点O 到平面ABC 的距离为13OO R '=，过K 作KN CE ⊥，垂足为N ，则//KN OO '，所以KN ⊥平面ABC ，故点K 到平面ABC 的距离为KN ，又223KN OO R '==所以点K 到平面ABC 的距离为223d R =.20．(1)()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ；(2)()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ；(3)裂项过程见解析，证明见解析.【分析】(1)写出n S 的表达式，两边同乘12，与原式相减，利用等比数列求和公式化简即可；(2)对()1212nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭进行裂项，结合裂项相消法求和；(3)对()21232nn c n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭进行裂项，利用裂项相消法求和，由此证明结论.【详解】（1）因为()1212nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()123111111357212122222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()12341111113572121222222nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()1123111111322221222222nn n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，所以()1111112212222n n n S n -+⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎝⎝-⎪⎪⎭⎭，所以()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ；（2）因为()1212nn a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()()111122n nn a A n B An B --⎭⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-++ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎝⎭，则()122nn a An A B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以2A =，5B =，故()()111232522n nn a n n -⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎝⎝-⎪⎭⎭所以()()112171111115723252292222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎝-⎭⎭-，所以()15252⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭nn S n ；（3）因为()21232nn c n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，设()()()122111122n nn c Dn En F D n E n F -⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++++++ ⎪⎪⎣⎦-⎝⎭⎝⎭，则()2122nn c Dn E D n F D E ⎛⎫⎡⎤=+-+- ⎦⎝-⎪⎣⎭，则1,4,8D E F ===，所以()()122114861322n nn c n n n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-，即()()12211243422n nn c n n -⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=++++ ⎪⎪⎣⎦⎦⎝⎝-⎣⎭⎭，所以()()()()()()2111222222111111342444445434222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-⎭⎝⎭⎝+--⎭++所以()21613132nn T n n ⎛⎫=++ -⎪⎝⎭，所以()()()22811152513613188182212nnn nn n n n n n S T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+<⎝⎭21．(1)C 点轨迹方程为22143x y +=，轨迹形状是以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆.(2)点P 的轨迹方程为：221()2113416x y ++=，其轨迹形状是以1(,0)2-为对称中心，焦点在x 轴上，长轴长为1的椭圆；点Q 的轨迹方程为：221()2113416x y -+=，其轨迹形状是以1(,0)2为对称中心，焦点在x 轴上，长轴长为1的椭圆.(3)点D 的轨迹方程为：22134y x +=，其轨迹形状是焦点在x 轴上，以11(,0),(,0)22-为焦点，以2为长轴长的椭圆.【分析】(1)根据椭圆的定义即可求解；(2)设出直线12,l l 的方程，与曲线方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式即可求解；(3)根据（2）的结论，先得出340mt +=，再求出D 点的坐标，结合,m t 的关系式即可求解.【详解】（1）由题意可知：24F E =，1CF CE =，因为12221242CF CF CE CF EF F F +=+==>=，所以C 点的轨迹是以12,F F 为焦点，24a =为长轴长的椭圆，则2223b a c =-=，所以C 点轨迹方程为22143x y +=，轨迹形状是以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆.（2）当直线1l 与x 轴重合时，点(0,0)P ；当直线1l 与x 轴不重合时，设直线1l 的方程为：1x ty =-，1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得：22(34)690t y ty +--=，则122634t y y t +=+，122934y y t -=+，所以212122268()223434t x x t y y t t -+=+-=-=++，则12212242343234P P x x x t y y t y t +-⎧==⎪⎪+⎨+⎪==⎪+⎩，消参可得：221212160x x y ++=，即221()21(0)13416x y x ++=≠，综上所述：点P 的轨迹方程为：221()2113416x y ++=，点P 的轨迹形状是以1(,0)2-为对称中心，焦点在x 轴上，长轴长为1的椭圆；同理当直线2l 与x 轴重合时，点(0,0)Q ；当直线2l 与x 轴不重合时，设直线2l 的方程为：1x my =+，3344(,),(,)M x y N x y ，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得：22(34)690m y my ++-=，则342634my y m -+=+，342934y y m -=+，所以234342268()223434m x x t y y m m -+=++=+=++，则34234242343234Q Qx x x m y y m y m +⎧==⎪⎪+⎨+-⎪==⎪+⎩，消参可得：221212160x x y -+=，即221()21(0)13416x y x -+=≠，综上所述：点Q 的轨迹方程为：221()2113416x y -+=，点Q 的轨迹形状是以1(,0)2为对称中心，焦点在x 轴上，长轴长为1的椭圆；（3）由（2）知：2243(,)3434tP t t -++，2243(,)3434m Q m m -++，因为//PQ x 轴，所以22333434t mt m -=++，即(34)()0mt m t ++=，又因为且12l l D ⋂=，所以340mt +=，也即43m t=-，联立12,l l 可得：11x ty x my =-⎧⎨=+⎩，解得：212D D t x t my t m ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩消参可得：24123(1)y x x ++=+，即22134y x +=，所以点D 的轨迹方程为：22134y x +=，其轨迹形状是焦点在x 轴上，以11(,0),(,0)22-为焦点，以2为长轴长的椭圆.22．(1)证明见解析；(2)(],1-∞-【分析】（1）利用同构，转化为()()1e ln e e kx kx f x x x =-.构造函数1ln ey t t =-，利用导数求出最小值，即可证明；（2）把()211e≥+f x 转化为()()ln 12e ln 1e 2x kx kx x +---+-≥--对()0,x ∀∈+∞恒成立.构造函数()e mg m m =-，利用导数判断出单调性，转化为2ln 1kx x +-≤-对()0,x ∀∈+∞恒成立，分离参数后，构造函数()()ln ,01xh x x x=-->，利用导数求出()min h x ，即可求解.【详解】（1）函数()11e ln -=-+kx f x x kx x 的定义域为()0,∞+.()11e ln-=-+kx f x x kx x 1e ln e kxx kx x =--()1e ln e ekx kx x x =-.令(),0e kxt x t =>，则1ln ey t t =-.因为11e e e t y t t -'=-=，所以当0<e t <时，0'<y ，1ln ey t t =-单减；当t e >时，0'>y ，1ln ey t t =-单增.所以1e ln e=0ey ≥⨯-，即0y ≥，所以()0f x ≥成立.（2）()211e≥+f x 即为121e ln e 1kx x kx x ---+≥+，亦即为ln 12e e ln 1e 2x kx kx x ----+≥+，可化为()()ln 12eln 1e 2x kx kx x +---+-≥--对()0,x ∀∈+∞恒成立.不妨设()e m g m m =-，则()e 1mg m '=-.当0m <时，()0g m '<，()e m g m m =-单减；当0m >时，()0g m '>，()e mg m m =-单增.所以当0ln 1kx x +-<时，有2ln 1kx x +-≤-对()0,x ∀∈+∞恒成立.即l 1n xk x--≤.令()()ln ,01x h x x x =-->，则()2ln xh x x'=.所以当01x <<时，()0h x '<，()h x 单减；当1x >时，()0h x '>，()h x 单增所以()()min 11h x h ==-.即1k ≤-.综上所述：k 的取值范围为(],1-∞-.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）利用导数证明不等式．。
河北省衡水中学2022届高三下学期同步月考卷数学(理)试题 Word版含答案
2021-2022年河北衡水中学同步原创月考卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）i 1A i ∈11iA i -∈+5i A ∈i A -∈U R =(){}(){}2|21,|ln 1,x x A x B x y x -=<==- {}|1x x ≥{}|1x x ≤{}|01x x <≤{}|12x x ≤<()()()13222,1log 2,1x e x f x x x +⎧<⎪=⎨≥⎪-⎩()2f f =⎡⎤⎣⎦2e22e 2e ˆˆˆy bx a =+ˆb ˆb ˆb 0.87-222p q +=2p q +≤2p q +>222p q +≠,,a b c a b a c =b c =():01x p y a a a =>≠且:sin q y x =p q ∧2000:,310p x R x x ∃∈-+≥2:,310p x R x x ⌝∀∈-+<.O ABC -120AOB ∠=AOC BOCO ABC -3233 23 13 03233{}n a 1241,6a a a =+=n N *∈()()1212cos sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++-02f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭12n n n a c a =+{}n c n n S 2122n n n +-214122n n n -++-22122n n n ++-24122n n n ++-()y f x =x ()()2f x f x +=11x -≤<()sin 2f x xπ=()()()log 0,1a g x f x x a a =->≠且 ()10,5,5⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦()10,5,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ ()11,5,775⎛⎤⎥⎝⎦[)11,5,775⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 3n a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭{}n a ()11,0n a a n N *=>∈n n S {}n S 12n n S a +,x y 0,50,30,x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩()()222m x y x y +≤+()()221,x x e x e x f x g x x e +==()12,0,x x ∀∈+∞()()121g x f x k k ≤+ 三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 32BA BC ⋅=a c +18.（本小题满分12分）19.（本小题满分12分） 已知是边长为3的等边三角形，点D,E 分别是边AB,AC 上的点，且满足将DE 折起到的位置，并使得平面（1）求证： （2）设P 为线段BC 上的一点，试求直线与平面所成角的正切值的最大值. 20.（本小题满分12分）OAB S OAB ODE S ODE .（本小题满分12分）()()()()213121ln 0.2f x x a x a a x a =-+++>()f x 1x =320x y -+=()f x []()21,,6x e f x k k ∀∈≥+ 请考生在22~24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4—1，几何证明选讲 O O AE CD ⊥BDE ∠.O 3AB =3AE =xoy 3sin ,:3cos ,x C y αααα⎧=+⎪⎨=-⎪⎩αx :sin 16l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.l l ()32.f x x x k =-+-+()3f x ≥1k =()3.f x x <。
2021届河北省衡水中学2018级高三上学期七调考试数学(理)试卷及答案
2021届河北省衡水中学2018级高三上学期七调考试数学（理）试卷
2021届河北省衡水中学2018级高三上学期七调考试数学（理）试卷
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2021届河北省衡水中学2018级高三上学期七调考试数学（理）试卷
河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学(理)答案
F(x) = /(4 r'Lvinx-—x' 故在(0 一 x o 2e所以 因为|Z )f | = 2,乙PFD = 600,所以z(?fD = 600,所以|=1，得 p =2,七调理科数学答案CABBD CDCDA DD13.1 14. 10 15. -- 16.Z >4i %>60。
•••四边形必⑵迆菱形，z /O =30。
， /• ,即AC±AB,又平面f 似丄平面〆沉;平面r 撕n 平面ABOAB, /.M 丄平面ABC 丄平面t AC 丄平面;4执： 如图建立空间直角坐标系， 17. (1)设数列«的红项为，公差为d ,由条件知ja, + ^/ = 8210a,+45^ = 185 => (2) A n =a 2+a 4+--- + ^ =3-(2 + 4 + 8 + --- + 2l ,) + 2/i = 3-2"*,+2w-6.= 3w + 2.18. (1)由题意知，从5配方产品中随机抽取一次抽中二级品的槪率为二，则没有抽中二级品的溉98125设1,则识 1,0,0),c (o , ^,0),r (0,0,^). (i £ 2. d 配方产品的利润分布列*y t5/2p 0.6 0.445配方产品的利涧分布列为y t5/2 r 2p 0.55 0.4 0.052•茄• =(-l ，0, ^),^，=(0,->^，>^),设平面^ /VC 的法向ft 为/ |-^v + >/3z =0 则 即(-^在= 0 取沪1，则 X =^t y=\t •••/?=(万，1，1). %：AC 丄平面/1优；/•平面C AV 丄平面又BD ^A .\,平面f /JA ’n 平面ABOAN 、：•肋丄平屯({•-冬0) c AX 邠与狀交于点a ^则为AV 的中点川4 4 , •••平面r 漱的法向供 A r -- O B ^A ' ,0) ./.cos <77, O B n O B PN3 因为0 < r < |,所以 E {y )n - E (y)A = 0.05/2 - 0.05/ = 0.05/ (/-1)<0,所以从长期来#,投资d 配方产品的平均利润率较大19. (1)证明：V /f /V /肊 zl/T //BC ,ADr \AD ' -A,BCnBC =戊/.平面必"//平面 ，又(T AC平面沉r 、：.C A 7/平面.(3)解：•:A/^2肊^是SC 的中点，:.AX 又AD//BC, /•四边形4ATZ ?是平行四边形，二.4>疋又由阁形可知二面角为钝角，所以二面角+r 的余弦值为- 20. m ：⑴设PC ^h ),则切线/的方程为y = >-去且：yfj 所以 0(兮,0),«0,-沁),1〜|=卜^, \PF\=P 1 + y 1,所以 |叹| = |卯|， 所以APF (?为等稷三角形，且D 为P (?的中点，.所以抛物线方程为x2 = 4y;(2)由己知，得 >1,0 的坐标分别为(0,0),(4,4)，设WCxr0,y0)(x0：;tOj0：?fc4)，>1仅的中垂线方程为父=->：+ 4,①>4//的中垂线方程为)^=-土>：+2 + |，(1)久0 n联立①②，解得脚心來标为：N(-由lc NH•爷=一1,nx\ - 2x\ - 8x0 = 0,因为x0忒0^:0*4，所以x0=-2, 所以//点坐标为(一 2,1).21.答案：1•求导/'(,v)= --a x-\nx+a-\je~'(x>0,a^0),设客(欠)=丄一似一l n.r+a—l(:r>0，f l之0)，明显g(A：)在(0，+o c)单调递减，且g(l)=0, X故f(x)在(0,1)增，(1.+CO)中•调递减…2.当a = ■时•设2e|(x>0),F,(x)=e f^l n x-^x+2j(^>0)F M(x) = >0)=> r{x)在(0,音)个，〔音，+«) i，且 F•⑷= 0注意/r^J_j = -3<0,r，［^-j =e'l_ln2—|«0.1e3>0,〔0,音)>内.$唯一:^〔‘去)，使得/似。
河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学(理)试卷Word版含解析
河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学(理)试卷Word版含解析1拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。
2答题顺序：从卷首依次开始一般来讲，全卷大致是先易后难的排列。
所以，正确的做法是从卷首开始依次做题，先易后难，最后攻坚。
但也不是坚决地“依次”做题，虽然考卷大致是先易后难，但试卷前部特别是中间出现难题也是常见的，执着程度适当，才能绕过难题，先做好有保证的题，才能尽量多得分。
3答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。
先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。
2. 先小后大。
先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。
3. 先局部后整体。
把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。
4学会分段得分会做的题目要特别注意表达准确、书写规范、语言科学，防止被“分段扣点分”。
不会做的题目我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。
如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。
如果题目有多个问题，也可以跳步作答，先回答自己会的问题。
5立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。
6确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。
不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。
试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。
7要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。
河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学(理)试题扫描版
2018-2019学年度高三年级上七调考试.数学（理科）试卷数学学科命题中心第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正礎答案的序号填涂在答题卡上）’1.设i为虚数单位，复数z满足（1 + V3i）z = （-V3 + i）2,则共犯复数Z的虚部为（）A. V3iB. -V3iC. V3D. ->/3• •2.已知集合S = {l,&},B = {a，M，若= 则QB 为（）B. <-C. V]D. R,l,b2 J2 1 2J 121 3 ,3•已知a = Xb = log4 5,c = 22,则满足（）'A. a<b<cB. b<a<c C・c<a<b D・c<b<a4.如图，在2L4BC中,点D在线段BC上，且BD = 3DC,若乔=久乔+ “疋则仙（）A・ 5 B..i C. 2 D.J5.己知定义在R上的奇函数/（x）满足/（x + 2）= -/（x）,若/（一1）>-2, /（_7）=仝丄，则,+83-2。
实数d 的取值范围为（）r 2 _]A. B. （-2厂1） C. D. （—8,2C. 2548D. -25526. 己知点F 是双曲线与~与=l （a > 0,b > 0）的右焦点，点E 是该双曲线的左顶点，过F 且垂直 于x轴的直线与双曲线交于力,用两点，若/.AEB 是钝角，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（）A. （1 +逅, +8 ）B. （1,1 +闵C.（2,+oo ）D.（2,1 + 72）7. 如图，要测量底部不能到达的某铁塔MB 的高度，在塔的同一测选择C,D 两观测点，且在C,D 两 点测得塔顶的仰角分别为45°,30°.在水平面上测得ABCD^nO°,C,D 两地相距600加，则铁塔的离度是（ ）..A. \2QyJlmB. 480加C. 240松 &如果执行下面的程序框图，那么输出的S=（1开恰丨D. 600〃)9.如上右图,半径为人的圆0内有四个半径相等的小圆,其匮心分别为A,B,C9D9这四个小圆都与圆O內切，且相邻两小圆外切，则在圆。
河北省衡水中学2024-2025学年高三上学期综合素质评价二 数学试卷(解析版)
2024-2025学年度高三年级上学期综合素质评价二数学学科一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2230,1,2,3,4A x x x B =-->=∣，则A B = （）A.{}1,2 B.{}1,2,3 C.{}3,4 D.{}4【答案】D 【解析】【分析】先解一元二次不等式，确定集合A ，再根据交集的定义求两个集合的交集.【详解】因为2230x x -->⇒()()310x x -+>⇒3x >或1x <-，所以()(),13,A =-∞-+∞ ，又{}1,2,3,4B =，所以{}4A B ⋂=.故选：D2.下列函数中在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，周期为π且为奇函数的是（）A.πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.sin2y x=C.tan y x = D.πsin 22y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】对于AB ：整理可得πcos 2sin 22y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，根据正弦函数性质分析判断；对于C ：根据正切函数性质分析判断；对于D ：整理可得πsin 2cos 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，根据余弦函数性质分析判断.【详解】对于选项A ：因为πcos 2sin 22y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，易知其为奇函数，其最小正周期2ππ2T ==，若ππ,42x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，则π2,π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，且sin y x =在π,π2⎛⎤⎥⎝⎦内单调递减，则sin 2y x =在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以sin 2y x =-在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，故A 正确；对于选项B ：由选项A 可知：sin 2y x =在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故B 错误；对于选项C ：若ππ,42x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，则π2,π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，且tan y x =在π,π2⎛⎤⎥⎝⎦内单调递减，所以tan y x =在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故C 错误；对于选项D ：因为πsin 2cos 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，若ππ,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则π2,π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，且cos y x =在π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦内单调递减，所以cos 2y x =在ππ,42⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故D 错误；故选：A.3.已知3log 2a =，4log 3b =， 1.20.5c =，比较a ，b ，c 的大小为（）A.a b c >>B.a c b >>C.b c a >>D.b a c>>【答案】D 【解析】【分析】利用换底公式和对数的运算性质结合基本不等式比较,a b 的大小，再利用对数函数、指数函数的性质比较,a c 大小，即可求解.【详解】2ln 2ln 3ln 2ln 4(ln 3)ln 3ln 4ln 3ln 4a b ⋅--=-=⋅，因为ln 2,ln 40>，所以ln 2ln 4+>，即()()()22211ln 2ln 4ln 8ln 9ln 344⋅<<=，所以()2ln 2ln 4ln 3⋅<，且ln 3ln 40⋅>，所以a b <，又因为 1.2131log 2log 2,0.50.521a c =>===<，所以a c >，综上，b ac >>，故选：D.4.已知函数()π2sin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个零点，则ω的取值范围为（）A.2529,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.2331,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.2529,66⎛⎤⎥⎝⎦ D.2331,66⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】由条件结合零点的定义可得πsin 42x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个根，结合正弦函数性质列不等式可求ω的取值范围.【详解】令()π2sin 04f x x ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则π3sin 42x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则π4x ω+∈πππ,424ω⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，因为函数()π2sin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有三个零点，所以7πππ8π3243ω+<≤，∴252966ω<≤，故选：A.5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231117a a a ++=，212a =，则3S =（）A.78B.74 C.72D.7【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件求得公比q ，从而求得正确答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，依题意，1231117a a a ++=，212a =，即2222221111117q a a a a a a q qq ++=++⋅=，所以22227,2520q q q q++=-+=，解得2q =或12q =，所以12311,,142a a a ===或123111,,24a a a ===，所以31171424S =++=.故选：B6.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足1x ∀，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，且()()()f xy f x f y =+，2(4)3f =，则不等式(2)(3)1f x f x -->的解集为（）.A.(0,4) B.(0,)+∞ C.(3,4)D.(2,3)【答案】C 【解析】【分析】先根据()()()f xy f x f y =+以及2(4)3f =求出()81f =，再根据函数的单调性以及定义域即可求解.【详解】解：()()()f xy f x f y =+ ()()()2(4)22223f f f f ∴=⨯=+=，即()123f =，()()()()()18424232313f f f f f =⨯=+==⨯= ，(2)(3)1f x f x ∴-->，可转化为：()(2)(3)8f x f x f -->，即()(2)8(3)f x f f x >+-，即()()(2)83824f x f x f x >⨯-=-⎡⎤⎣⎦，()f x 满足1x ∀，2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，()f x \在()0,∞+上单调递增，即20302824x x x x >⎧⎪->⎨⎪>-⎩，解得：34x <<，即不等式(2)(3)1f x f x -->的解集为：()34，.故选：C .7.已知角αβ，满足tan 2α=，2sin cos()sin βαβα=+，则tan β=（）A.13B.17C.16D.2【答案】B 【解析】【分析】利用正弦和角公式，同角三角函数关系得到2tan()3tan αβα+=，故3tan()tan 32αβα+==，利用正切和角公式得到方程，求出1tan 7β=.【详解】因为()sin sin sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+，2sin cos()sin βαβα=+，所以2sin()cos 2cos()sin cos()sin αβααβααβα+-+=+，即2sin()cos 3cos()sin αβααβα+=+，则2tan()3tan αβα+=，因为tan 2α=，所以3tan()tan 32αβα+==，其中tan tan 2tan tan()31tan tan 12tan αββαβαββ+++===--，故2tan 36tan ββ+=-，解得1tan 7β=.故选：B.8.已知0x >，0y >，且2e ln x x y =+，则（）A.2e y >B.22e x y +> C.2e lnx y< D.22e 1x <-【答案】B 【解析】【分析】根据选项合理构造函数，利用导函数判断函数单调性，得出函数的最值，从而判断不等式是否成立.【详解】对于A 选项：令()2e xf x x =-，0x >，()e 2x f x x ='-，令()e 2x h x x =-()e 2x h x '=-，令()0h x '=，则ln 2x =，即()0,ln 2x ∈时，ℎ′<0，ℎ单调递减，′单调递减，即()ln 2,x ∞∈+时，ℎ′>0，ℎ单调递增，′单调递增，′有最小值()()ln 2min ln 2e2ln 222ln 20f x f ==-=-'>'，所以()f x 在0,+∞单调递增，故()()020e 01f x f >=-=，所以ln 1y >即e y >，故A 选项错误；对于B 选项：由A 可知：2ln e x y x =-，要证22e x y +>，即需要证明：22ln ln e x y +>，即()2ln 2y x >+，即()22e 2x xx ->+，22e220xx x --->，令()22e 22xh x x x =---，()2e 41x h x x ='--，令()2e 41x t x x =--()2e 4x t x ='-，令()0t x '=，则ln 2x =，即()0,ln 2x ∈时，()0t x '<，()t x 单调递减，()h x '单调递减，即()ln 2,x ∞∈+时，()0t x '>，()t x 单调递增，()h x '单调递增，所以()h x '有最小值()()ln 2min ln 22e4ln 2144ln 210h x h ==--=--'>'，所以ℎ在0,+∞单调递增，故()()0202e 20020h x h >=-⨯--=，所以22e x y +>成立，故B 选项正确；对于C 选项：由2e ln x x y =+得2e ln x y x -=，因为0x >，所以0e e ln e ln 1ln ln e ln lnx y y y y y->-=-=-=，所以2elnx y>，故C 选项错误，对于D 选项：令()22e 1(0)f x x x =-+>，因为()20f x x '=>，所以()f x 在0,+∞上单调递增，所以()()201e 0f x f >=-<，所以存在∈0,+∞使得()0f x >，即22e 1x >-，故D 选项错误；故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公差15180,224d a a ≠+=.则以下结论正确的是（）A.168a =B.若910S S =，则43d =C.若2d =-，则n S 的最大值为21SD.若151618,,a a a 成等比数列，则4d =【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列的性质即可结合选项逐一求解.【详解】由1518224a a +=可得()112141724a d a d +++=，故1158a d +=，所以168a =，故A 正确，由910S S =可得101606a a d ==-，故43d =，故B 正确，若2d =-，则201640a a d =+=，且单调递减，故n S 的最大值为20S 或19S ，故C 错误，若151618,,a a a 成等比数列，则16161518a a a a ⋅=，即()()64882d d =-+，解得4d =或0d =（舍去），D 正确，故选：ABD10.已知()()32231f x x x a x b =-+-+，则下列结论正确的是（）A.当1a =时，若()f x 有三个零点，则b 的取值范围是()0,1B.当1a =且()0,πx ∈时，()()2sin sin f x f x<C.若()f x 满足()()12f x f x -=-，则22a b -=D.若()f x 存在极值点0x ，且()()01f x f x =，其中10x x ≠，则01322x x +=【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，将1a =代入求导求极值，有三个零点，则令极大值大于零，极小值小于零即可；对于B ，利用sin y x =的性质，得到20<sin 1,0<sin 1x x ≤≤且2sin sin x x ≥，再利用()f x 在区间(]0,1上的单调性，即可求解；对于C ，根据()()12f x f x -=-，推断函数的对称性，进而可以求得22b a -=，即可判断结果；对于D ，利用导数在函数单调性中的应用，得到12a >-，进而可得200661a x x =-+，令012x x t +=，结合()()01f x f x =，再化简即可得到答案.【详解】对于选项A ，当1a =时，()3223f x x x b =-+，()2666(1)f x x x x x '=-=-，由()6(1)0f x x x '=->，得到0x <或1x >，由()6(1)0f x x x '=-<，得到01x <<，所以()3223f x x x b =-+单调递增区间为(),0-∞，()1,+∞；减区间为()0,1，故()f x 在0x =处取到极大值，在1x =处取到极小值，若()f x 有三个零点，则(0)0(1)10f b f b =>⎧⎨=-<⎩，得到01b <<，故选项A 正确，对于选项B ，当()0,πx ∈时，20<sin 1,0<sin 1x x ≤≤，又2sin sin sin (1sin )0x x x x -=-≥，即2sin sin x x >，由选项A 知，()f x 在区间(]0,1上单调递减，所以()()2sin sin f x f x ≤，当π2x =时，等号成立，故选项B 错误，对于选项C ，因为()()12f x f x -=-，即()()12f x f x -+=，所以()f x 关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，又()()32231f x x x a x b =-+-+的定义域为R ，所以()111123112842f a b =⨯-⨯+⎛⎫⎝⨯-+⎭=⎪，整理得到22b a -=，所以选项C 错误，对于选项D ，因为()()32231f x x x a x b =-+-+，所以()2661f x x x a '=-+-，由题有3624(1)0a ∆=-->，即12a >-，由()20006610f x x x a '=-+-=，得到200661a x x =-+，令012x x t +=，则102x t x =-，又()()01f x f x =，所以()()002=-fx f t x ，得到()()32320000002312(2)3(2)12()x x a x b t x t x a t x b -+-+=---+--+，整理得到220000(3)(626391)0x t x t tx t x a -+--++-=，又200661a x x =-+，代入化简得到20(3)(23)0x t t --+=，又012x x t +=，10x x ≠，所以00130x t x x -=-≠，得到230t -+=，即01322x x t +==，所以选项D 正确，故选：AD.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项D ，利用导数在函数单调性中的应用，得到12a >-，进而可得200661a x x =-+，再通过令012x x t +=，结合条件得到()()002=-f x f t x ，再代入()()32231f x x x a x b =-+-+，化简得到20(3)(23)0x t t --+=，从而解决问题.11.设定义在R 上的可导函数()f x 和()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，满足()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+，且()1g x +为奇函数，则下列说法正确的是（）A.()00f = B.()g x 的图象关于直线2x =对称C.()f x 的一个周期是4D.()20251k g k ==∑【答案】BCD 【解析】【分析】利用抽象函数及导数的运算判断函数()g x '的图象关于点()2,0对称，从而可得()g x 的图象关于=2对称，所以()g x 是周期函数，4是一个周期，可判断A 、B 、C 项；因为()()130g g ==，且()()20g g =-，所以()()()()12340g g g g +++=，所以()()()()()()()202515061234202510k g k g g g g g g =⎡⎤=⨯++++==⎣⎦∑，可判断D 项.【详解】因为()1g x +为奇函数，所以()()11g x g x +=--+，所以()g x 的图象关于()1,0中心对称，()()11g x g x +=--+两边求导得：()()11g x g x ''+=-+，所以()g x '的图象关于=1对称，因为()()11g x f x --=，所以()()10g x f x ''+-=；所以()()10g x f x -+'='，又()()3f x g x '=+'，所以()()130g x g x ''-++=，所以函数()g x '的图象关于点()2,0对称；所以()g x 的图象关于=2对称，故B 正确；所以()()22g x g x +=-，即()()13g x g x -+=+，又()()11g x g x +=--+，所以()()13g x g x +=-+，即()()2g x g x =-+，所以()()4g x g x =+，所以()g x 是周期函数，且4是一个周期，又因为()()11g x f x --=，所以()()11f x g x =--，所以()f x 是周期函数，且4是一个周期，故C 正确；因为()1g x +为奇函数，所以()g x 过()1,0，所以()10g =，令=0，代入()()11f x g x =--，可得()()0111f g =-=-，故A 错误；令=0代入()()13g x g x -+=+，可得()()130g g ==，令=1，代入()()11g x g x +=--+，可得()()20g g =-，又因为()g x 的周期为4，所以()()04g g =，所以()()240g g +=，所以()()()()12340g g g g +++=，所以()()()()()()()()20251506123420255064110k g k g g g g g g g =⎡⎤=⨯++++=⨯+==⎣⎦∑，故D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：1.若()()f x a f x a =+-+，则()f x 关于x a =对称，两边同时求导得：()()f x a f x a ''+=--+，则()f x '关于(),0a 中心对称；2.若()()f x a f x a +=--+，则()f x 关于(),0a 中心对称，两边同时求导得：()()f x a f x a ''+=-+，则()f x '关于x a =对称；3.若()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数且周期为T ；三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列满足35a =，221n n a a =+，()*122n n n a a a n ++=+∈N，设的前n 项和为n S ，则n S =________.【答案】2n 【解析】【分析】根据题意122n n n a a a ++=+可得数列{}n a 为等差数列，设出公差及首项，再结合221n n a a =+与3125a a d =+=，从而可求解.【详解】由122n n n a a a ++=+，所以121n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 为等差数列，并设其公差为d ，首项为1a ，又因为221n n a a =+，即()()1121211a n d a n d ⎡⎤+-=+-+⎣⎦，解得11d a =+，因为3125a a d =+=，所以11a =，1d =，所以()2122n n n S n n -=+⨯=.故答案为：2n .13.函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于直线y x =对称，则函数()24y f x x =-的递增区间是_________．【答案】(0,2)【解析】【详解】【分析】试题分析：2222()log (4)log (4)f x x f x x x x =⇒-=-⇒定义域为(0,4)⇒增区间为(0,2).考点：1、复合函数；2、反函数；3、函数的单调性.【方法点晴】本题考复合函数、反函数、函数的单调性，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题型.根据两函数关于直线y x =对称可得两函数互为反函数⇒2222()log (4)log (4)f x x f x x x x =⇒-=-⇒定义域为(0,4)⇒增区间为(0,2).14.若正实数a ，b 满足()1ln ln a a b a a be --+≥，则1ab的最小值为______.【答案】e 4【解析】【分析】由不等式1(ln ln )e a a b a a b --+≥变形为11lne e 10a a b b aa ---+≥（），通过换元1e a bt a-=，根据不等式恒成立得出a 与b 的关系，从而把1ab表示为关于a 的表达式，再通过构造函数求最值即可．【详解】因为1(ln ln )e a a b a a b --+≥，所以1ln ln e a b b a a a--+≥，所以11ln ln e 1e a a b b a a --++≥，即11lne e 10a a b b a a ---+≥（）令1e a b t a-=，则有ln 10t t -+≥(0t >)，设()ln 1f t t t =-+，则1()1f t t'=-，由()0f t '=得1t =当01t <<时，()0f t '>，()f t 单调递增，当1t >时，()0f t '<，()f t 单调递减，所以max ()(1)0f t f ==，即ln 10t t -+≤，又因为ln 10t t -+≥，所以ln 10t t -+=，当且仅当1t =时等号成立所以1e 1a b t a -==，从而111e a b a -=，所以121e a ab a-=(0a >)设12e ()x g x x-=(0x >)，则13(2)e ()x x g x x --'=，由()0g x '=得2x =当02x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以21min 2e e()(2)24g x g -===，所以1ab 的最小值为e 4．故答案为：e4．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．（13+15+15+17+17）15.记ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()b c a b c a bc +-++=.（1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，3,4,BAD CAD AC AD ∠∠===sin B .【答案】（1）2π3A =（2）7【解析】【分析】（1）等价变形已知条件，得到222b c a bc +-=-，结合余弦定理即可得解.（2）法①：由余弦定理求出CD =结合正弦定理即可求得sinC =，最后根据()sin sin B A C =+即可得解；法②：由法①得CD =ACD 中由正弦定理得sinADC ∠=π2ADC B ∠=+，从而得解sin 7B =；法③：由法①得CD =，在直角ABD △中a =+，由（1）问知222a b c bc =++，代入建立关于c 的方程，解方程得2c =，从而得出217AD BD B BD ===；法④：由等面积法得ABC ABD ACD S S S =+ ，建立关于c 的方程，求得2c =，代入222a b c bc =++求得a ，最后结合正弦定理即可得解.【小问1详解】()()22222()2b c a b c a b c a b bc c a bc +-++=+-=++-=，则222b c a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-，因为0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】法①：由（1）得，2π3A =，因为3BAD CAD ∠=∠，所以π6CAD ∠=，如图在ACD 中，由余弦定理2222cos CD AD AC AD AC DAC ∠=+-⋅316472=+-⨯=，即CD =在ACD 中由正弦定理sin sin CD AD DAC C ∠=，即1sin 2C=，所以sin C =，因为π03C <<，故cos C ==，在ABC V 中()1sin sin sin cos cos sin227B AC A C A C =+=+=⨯⨯.法②：同解法①CD =ACD 中由正弦定理sin sin CD ACDAC ADC=∠∠，即41sin2ADC=∠，所以21sin 7ADC ADC ∠∠==--，又因为π2ADC BAD B B ∠∠∠=+=+，即π21cos 27B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以sin 7B =.法③同上CD =ABD △中BD =，所以a =，由（1）问知222a b c bc =++，所以22416c c =++，即2210416c c c +=++，23,c =+即2440c c -+=，所以2c =，7ADBD B BD===.法④如图由（1）知2π3A =，则π6CAD ∠=，因为ABC ABD ACD S S S =+ ，所以12π11π4sin 423226c ⨯=+⨯32c =+2c =，所以222164828a b c bc =++=++=，即a =在ABC V 中，由正弦定理sin sin a bA B=4sin 32B =，解得sin 7B ==.16.已知函数()3ln2(1)2xf x x x x=++--.（1）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（2）若()()214f m f m -+<，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由函数()f x 的定义域()0,2，计算()()2f x f x +-的值判断对称中心；（2）利用导数判断()f x 的单调性，结合函数对称性列不等式求实数m 的取值范围.【小问1详解】函数()3ln2(1)2xf x x x x=++--，定义域为()0,2，()()()3322ln 2(1)ln 22(1)2x xf x f x x x x x x x-+-=++-++-+--()332ln 222(1)(1)2x x x x x x x x-⎡⎤⎡⎤=⋅++-+-+-⎣⎦⎣⎦-040=++4=所以曲线()y f x =关于点()1,2对称.【小问2详解】()()2211223(1)23(1)22f x x x x x x x '=+++-=++---，因为()0,2x ∈，()202x x >-，所以()()2223(1)02f x x x x =++->-'，所以()f x 在定义域()0,2上单调递增.（方法一）又()f x 关于点()1,2对称，()()214f m f m -+<，所以212,0212,02,m m m m -+<⎧⎪<-<⎨⎪<<⎩解得112m <<.（方法二）因为()f x 关于点()1,2对称，所以()()12g x f x =+-是奇函数，且在区间()1,1-上单调递增.由()()214f m f m -+<，即()()2122f m f m ⎡⎤--<--⎣⎦，即()()221g m g m -<--，所以()()221g m g m -<-，所以221,1221111,m m m m -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩解得112m <<.所以实数m 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.17.已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n nn a =-+，1(0)n n n b a a λλ+=->，且{}n b 为等比数列.（1）求λ的值；（2）记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为nT .若()*2115N i i i T TT i ++⋅=∈，求i 的值.【答案】（1）2（2）2【解析】【分析】（1）计算出11a =，25a =，37a =，417a =.，进而得到123,,b b b ，根据等比数列得到方程，求出2λ=，验证后得到答案；（2）求出223(1)n n b n n ⋅=-⨯-⋅，分n 为偶数和n 为奇数时，得到n T ，20i i T T +⋅>，又2115i i i T T T ++⋅=，故10i T +>，所以i 为偶数，从而得到方程，求出2i =.【小问1详解】因为(1)2n nn a =-+，则11a =，25a =，37a =，417a =.又1n n n b a a λ+=-，则1215b a a λλ=-=-，23275b a a λλ=-=-，343177b a a λλ=-=-.因为为等比数列，则2213b b b =⋅，所以2(75)(5)(177)λλλ-=--，整理得220λλ--=，解得1λ=-或2.因为0λ>，故2λ=.当2λ=时，1112(1)22(1)2n n n n n n n b a a +++⎡⎤=-=-+--+⎣⎦11(1)(1)22(1)23(1)n n n n n ++=-⨯-+-⨯--=-⨯-.则113(1)13(1)n n nn b b ++-⨯-==--⨯-，故为等比数列，所以2λ=符合题意.【小问2详解】223(1)n n b n n ⋅=-⨯-⋅，当n 为偶数时，222222223123456(1)n T n n ⎡⎤=-⨯-+-+-+---+⎣⎦33(12)(1)2n n n =-⨯+++=-+ ；当n 为奇数时221133(1)(1)(2)3(1)(1)22n n n T T b n n n n n n ++=-+=-++++=+.综上，3(1),21,N 23(1),2,N 2n n n n k k T n n n k k **⎧+=-∈⎪⎪=⎨⎪-+=∈⎪⎩，因为20i i T T +⋅>，又2115i i i T T T ++⋅=，故10i T +>，所以i 为偶数.所以333(1)(2)(3)15(1)(2)222i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-+⋅-++=⨯++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理得23100i i +-=，解得2i =或5i =-（舍），所以2i =.18.已知函数()2e31,x af x ax ax a -=+-+∈R ．（1）当1a >时，试判断()f x 在[)1,+∞上零点的个数，并说明理由；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1个，理由见解析（2）(],1-∞【解析】【分析】（1）根据题意，将函数零点问题转化为导函数极值点问题，再由零点存在定理代入计算，即可判断；（2）根据题意，分1a >与1a ≤讨论，利用导数判断函数的单调性，然后再由(0)e 3a f a -'=-的正负分情况讨论，代入计算，即可求解.【小问1详解】()11e 21a f a -=-+，令()()e 23x a a m f x a x x -='=+-，则()11e a f a -'=-，当1a >时，()e 20x am x a -'=+>，则()f x '在(1,)+∞上单调递增.因为()1111ee 10af a --'=-<-=，()()()21232110f a a a a a '=+-=-->，所以存在唯一的()01,x a ∈，使得()00f x '=.当[)01,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在[)01,x 上单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()0,x +∞上单调递增.又10(1)e 21e 210a f a -=-+<-+=，所以()0(1)0f x f <<，又3(3)e 10a f -=+>，所以当1a >时，()f x 在[)1,+∞上有且只有一个零点.【小问2详解】①当1a >时，10(1)e 21e 210a f a -=-+<-+=，与当0x ≥时，()0f x ≥矛盾，故1a >不满足题意.②当1a ≤时，()0e10af -=+>，()e 23x a f x ax a -'=+-，令()()m x f x '=，则()e 2x a a m x -=+'，()0e 2am a -'=+.记函数()e 2x q x x -=+，1x ≤，则()e2xq x -'=-+，当()ln 2,1x ∈-时，()0q x '>，所以()q x 在()ln 2,1-单调递增；当(),ln 2x ∈-∞-时，()0q x '<，所以()qx 在(),ln 2-∞-单调递减，所以()()ln 222ln 20q x q ≥-=->，所以()00m '>.又因为()m x '在[)0,+∞上单调递增，所以()()00m x m '≥>'，所以()f x '在[)0,+∞上单调递增.（i ）若(0)e 30a f a -'=-≥，则()(0)0f x f ''≥≥，所以()f x 在[)0,+∞上单调递增，则()(0)0f x f ≥>，符合题意；（ii ）若()0e30af a -'=-<，则()00,1a ∃∈，使得00e 30a a --=，即(]0,1a a ∈，使得()0e30af a -'=-<，因为()11e 0af a -'=-≥，且()f x '在[)0,+∞上单调递增，所以存在唯一的(]10,1x ∈，使得()10fx '=.当()10,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()10,x 上单调递减，当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()1,x +∞上单调递增，其中(]10,1x ∈，且11e230x aax a -+-=.所以()12111()e31x af x f x ax ax -≥=+-+()22211111113231531531a ax ax ax ax ax a a x x =-+-+=-++=-++，因为(]10,1x ∈，所以[)211531,3x x -+∈-.又因为(]0,1a a ∈，所以()211531a x x -+≥-，所以()0f x ≥，满足题意.结合①②可知，当1a ≤时，满足题意.综上，a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】关键点点睛：第二问，应用分类讨论，结合导数问题中隐零点的处理方法判断区间函数值符号为解决本问的关键.19.若存在常数(0)k k >，使得对定义域D 内的任意()1212x x x x ≠，，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在其定义域D 上是"k -利普希兹条件函数".（1）判断函数=1是否是区间[)1+∞，上的"1-利普希兹条件函数"？并说明理由；（2）已知函数()3f x x=是区间[]0(0)a a >，上的"3-利普希兹条件函数"，求实数a 的取值范围;（3）若函数()f x 为连续函数，其导函数为()f x '，若()(),f x K K '∈-，其中01K <<，且()01f =.定义数列{}()11:0n n n x x x f x -==，，证明:()11n f x K<-.【答案】（1）是的，理由见解析（2）(]0,1（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据新定义只需证明()()1212f x f x x x -≤-即可判断；（2）将不等式变为关于12,x x 的不等式,结合定义域即可求得参数；（3）先根据导函数得出函数得最大值，多次应用新定义结合累加法即可得出答案.【小问1详解】依题意，[)()()1212121212111,1,x x f x f x x x x x x x ∞∀∈+-=-=-，，注意到[)12,1,x x ∞∈+，因此121x x ≥，从而1211x x ≤，故()()121212121f x f x x x x x x x -=-≤-，即()f x 是区间[)1,∞+上的"1一利普希兹条件函数".【小问2详解】依题意，[]12,0,x x a ∀∈，均有()()12123f x f x x x -≤-，不妨设21x x >，则()()212133f x f x x x -≤-，即()()221133f x x f x x -≤-，设()()333p x f x x x x =-=-，则()p x 单调递减，第21页/共21页故()[]2330,0,p x x x a =-≤∀∈'恒成立，即2033a <≤，因此(]0,1a ∈.【小问3详解】因为()(),f x K K '∈-，设()()g x f x Kx =+，则()()0g x f x K ''=+>，故()g x 为单调递增函数，则12x x ∀<，恒有()()12g x g x <，即()()()()()11221221f x Kx f x Kx f x f x K x x +<+⇔-<-，设()()h x f x Kx =-，则()()0h x f x K ''=-<，故ℎ为单调递减函数，则12x x ∀<，恒有()()12h x h x >，即()()()()()11222121f x Kx f x Kx K x x f x f x ->-⇔->-，综上可知，()()1212f x f x K x x -<-，则()()()212121f x f x K x x K x K f x K -<-===，当2n ≥时，()()()()2111212n n n n n n n n f x f x K x x K f x f x K x x -------<-=-<-()()2112121n n n K f x f x K x x K ---==-<-= ，则()()()()()()()()112211n n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x ---=-+-++-+ ()()()()()()()1211221111111n n n n n n n K f x f x f x f x f x f x f x K K K K K------≤-+-++-+<++++=<-- ，综上可知，()11n f x K<-.【点睛】关键点点睛：第（3）问先根据导函数得出函数得最大值，多次应用新定义结合累加法即可得出答案.。