高一数学三角函数试题及答案解析
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高一数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的,把正确的答案填在指定位置上.）
1. 若角、满足9090，则2是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
2. 若点(3,)Py是角终边上的一点，且满足30,cos5y，则tan（ ）
A．34 B．34 C．43 D．43
3. 设()cos30()1fxgx，且1(30)2f，则()gx可以是（ ）
A．1cos2x B．1sin2x C．2cosx D．2sinx
4. 满足tancot的一个取值区间为（ ）
A．(0,]4 B．[0,]4 C．[,)42 D． [,]42
5. 已知1sin3x，则用反正弦表示出区间[,]2中的角x为（ ）
A．1arcsin3 B．1arcsin3 C．1arcsin3 D． 1arcsin3
7. ABC中，若cotcot1AB，则ABC一定是（ ）
A．钝角三角形 B． 直角三角形
C．锐角三角形 D．以上均有可能
7.A解析：因cotcot1AB即有coscos1sinsinABAB. 由sin,sin0AB，得
coscossinsin0ABAB
即cos()0AB，故(0,),(,)22ABC.
9. 当(0,)x时，函数21cos23sin()sinxxfxx的最小值为（ ）
A．22 B．3 C．23 D．4
9.B解析：由2cos212sinxx，整理得2()sin(0)sinfxxxx.
令sin,01txt，则函数2ytt在1t时有最小值3.
10.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点. 若函数()yfx的图象恰好
经过k个格点，则称函数()fx为k阶格点函数. 下列函数中为一阶格点函数的是 （ ）
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A．sinyx B．cos()6yx C．lgyx D．2yx
10.A解析：选项A：由sin12xxk，sin0()xxkkZ知
函数sinyx的格点只有(0,0)；
选项B：由cos()166xxk，cos()06x3xk
()kZ
，故函数cos()6yx图象没有经过格点；
选项C：形如(10,)()nnnN的点都是函数lgyx的格点；
选项D：形如2(,)()nnnZ的点都是函数2yx的格点.
第Ⅱ卷（非选择题，共计100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确的答案填在指定位置上.）
11．已知3cos25，则44sincos的值为
11.35 解析：4422223sincos(sincos)(sincos)cos25
12．若3x是方程2cos()1x的解，其中(0,2)，则=
12.43 解析：由1cos()2()3233kkZ，2k或223k
()kZ; 又(0,2)
, 知43.
13．函数13()tan(2)3fxlogx的单调递减区间为
13. 11(,)()26212kkkZ 解析：由题意知tan(2)03x，且应求函数y
tan(2)3x的增区间，即
2(,)()32xkkkZ
三．解答题（本大题共5个小题，共计75分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16. （本题满分12分）已知3,(,)4，tan()24，3sin()5.
（1）求sin2的值；
（2）求tan()4的值.
16.解析：（1）由tan()24知，22tan()44tan(2)231tan()4，即4cot23
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3tan24，又32(,2)2，可得3
sin25
（2）由33(,2),sin()25知，3tan()4
3
(2)14tan()tan()()34421()(2)4
17. （本题满分12分） 已知函数2()23sincos2cosfxxxxm.
（1）求函数()fx在[0,]上的单调递增区间；
（2）当[0,]6x时，|()|4fx恒成立，求实数m的取值范围.
17.解析：（1）由题，2()23sincos2cos3sin2cos21fxxxxmxxm
2sin(2)16xm
所以函数()fx在[0,]上的单调增区间为[0,]6，2[,]3
（2）当[0,]6x时，()fx单增，0x时，()fx取最小值2m；6x时，()fx
取最大值3m.
由题意知，|3|471|2|462mmmm
所以实数m的范围是(6,1)
18. （本题满分12分）已知函数426cos5sin4()cos2xxfxx
（1）求()fx的定义域并判断它的奇偶性；
（2）求()fx的值域.
18.解析：（1）cos20,2(),2xxkkZ 即()42kxkZ
故()fx的定义域为|,42kxxkZ
()fx的定义域关于原点对称，且426cos()5sin()4()cos(2)xxfxx
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426cos5sin4()cos2xxfxx，故()fx为偶函数.
（2）当24kx时，422226cos5sin4(2cos1)(3cos1)()3cos1cos2cos2xxfxxx
31cos222x 又cos20,x故()fx的值域为11[1,)(,2]22.
即2coscos121mm对[0,]2恒成立.
2
2
2cos2(2cos)2cos,cos242coscos2mm
[0,],cos2[2,1]2，2cos222cos2
当cos22,cos22时取得. 2cos24422cos2
即422m， 故(422,)MN.
高一数学三角函数的图象与性质试题答案及解析
高一数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.已知函数，R（其中）的图象的一部分如图所示，则= ．【答案】1【解析】由函数图像可知：函数的周期为8，所以；且；所以.【考点】三角函数图像的应用.2.同时具有性质“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】由于周期，排除，图象关于直线对称，排除,由于，因此满足三个性质.【考点】正弦型函数的性质.3.关于函数f(x)＝4sin(2x＋), (x∈R)有下列命题：①y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；② y＝f(x)可改写为y＝4cos(2x－)；③y＝f(x)的图象关于(－，0)对称；④ y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称；其中正确的序号为 .【答案】②③.【解析】对于①，由三角函数的周期公式，故①不正确；对于②，因为，故②正确；对于③，当时，，所以y＝f(x)的图象关于(－，0)对称；对于④，当时，，故④不正确.【考点】三角函数的周期公式，诱导公式，三角函数的对称轴与对称中心（本题还可以用公式完成检验，要注意三角函数与x轴的交点一定是对称中心，而且对称轴对应的函数值一定是最大最小值）.4.函数的部分图象如图所示，则的值是（）.A．0B．－1C．2＋2D．2－2【答案】C.【解析】从图可知A=2，，所以，解得，又图像过（2，2），所以有，得，取，所以函数的表达式为：，又==.【考点】根据函数图像求三角函数的解析式，周期公式，诱导公式，特殊角的三角函数值.5.函数的一条对称轴方程是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】的对称轴方程为,即令，得.【考点】诱导公式、三角函数的图像与性质.6.函数(ω＞0)，把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象的一条对称轴方程是x＝，则ω的最小值是 .【答案】2.【解析】函数(ω＞0)，把函数的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为，因为所得图象的一条对称轴方程是x＝，所以,，所以的最小值为.【考点】三角函数的图像变换与性质.7.函数的最小正周期为 ____【答案】【解析】由。
高一数学任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角的终边过点，且，则___________.【答案】【解析】根据三角函数的定义可知：,所以,,【考点】三角函数的定义2.下列命题正确的是（）A．、都是第二象限角，若，则B．、都是第三象限角，若，则C．、都是第四象限角，若，则D．、都是第一象限角，若，则【答案】C【解析】如果、都是第二象限角，所以，所以，所以A不正确，同理可以判定B,D均不正确，C正确.【考点】本小题主要考查不同象限内角的三角函数值的符号的判断和同角三角函数基本关系式的应用，考查学生的推理能力和转化问题的能力.点评：要特别注意三角函数值符号的判断：一全正，二正弦，三正切，四余弦.3.若，则 .【答案】【解析】所以【考点】本小题主要考查同角三角函数基本关系式的应用和二倍角的正切公式的应用，考查学生的运算求解能力.点评：本小题中用到的求的方法在解题时要注意灵活应用.4.若sinα＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α＝()A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】sinα＝1－sin2α＝cos2α，∴原式＝sinα＋sin2α＝1.5.若α∈[0,2π)且＋＝sinα－cosα，则α的取值范围是()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵＋＝|sinα|＋|cosα|＝sinα－cosα，∴，故选B.6.化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝______.【答案】1【解析】原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1.7.已知sinθ＝，cosθ＝，则tanθ＝________.【答案】－或－【解析】由sin2θ＋cos2θ＝1得，m＝0或8，m＝0时，sinθ＝－，cosθ＝，tanθ＝－，m＝8时，sinθ＝，cosθ＝－，tanθ＝－.本题易错点为直接由tanθ＝给出一个关于m的表达式或者求解关于m的方程时，将零因子约掉只得出m＝8.8.已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，求值：(1)tanθ；(2)sin3θ＋cos3θ.【答案】(1)tanθ＝－，(2)sin3θ＋cos3θ＝.【解析】∵sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，平方得：sinθcosθ＝－<0，∴sinθ>0，cosθ<0，且sinθ，cosθ是方程x2－x－＝0的两根．解方程得x1＝，x2＝－，∴sinθ＝，cosθ＝－.∴(1)tanθ＝－，(2)sin3θ＋cos3θ＝.9.利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是()A．sin1>sin1.2>sin1.5B．sin1>sin1.5>sin1.2C．sin1.5>sin1.2>sin1D．sin1.2>sin1>sin1.5【答案】C【解析】因为，1.5，那么利用结合三角函数线可知sin1.5>sin1.2>sin1，选C10.若α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝，则这个三角形是()A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】D【解析】当0<α≤时，由单位圆中的三角函数线知，sinα＋cosα≥1，而sinα＋cosα＝，∴α必为钝角．11.利用单位圆写出满足sinα<，且α∈(0，π)的角α的集合是__________________________．【答案】∪【解析】作出正弦线如图．MP＝NQ＝，当sinα<时，角α对应的正弦线MP、NQ缩短，∴0<α<或<α<π.12.如果α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值等于()A．B．－C．－D．－【答案】C【解析】∵P(1，－)，∴r＝＝2，∴sinα＝－.13.函数y＝＋＋的值域是()A．{－1,1,3}B．{1,3}C．{－1,3}D．R【答案】C【解析】∵该函数的定义域是{x|x∈R且x≠，k∈Z}，∴当x是第一象限角时，y＝3；当x是第二象限角时，y＝1－1－1＝－1；当x是第三象限角时，y＝－1－1＋1＝－1；当x是第四象限角时，y＝－1＋1－1＝－1.综上，函数的值域是{－1,3}．14. (08·全国Ⅱ)若sinα<0且tanα>0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【解析】因为sinα<0故α是第一二象限，且tanα>0，α是第一三象限，则同时成立时为第三象限角，故选C15.若sinθ<cosθ，且sinθ·cosθ<0，则θ在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】由条件可知：cosθ>0>sinθ，则θ为第四象限角，故选D.16.α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cosα＝x，则sinα的值为() A．B．C．D．－【答案】A【解析】∵|OP|＝，∴cosα＝＝x又因为α是第二象限角，∴x<0，得x＝－∴sinα＝＝，故选A.17.设a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，那么sinα＋2cosα的值等于()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】∵a<0，角α终边经过点P(－3a,4a)，∴r＝－5a，sinα＝－，cosα＝，∴sinα＋2cosα＝，∴选A.18.y＝的定义域为()A．2kπ≤x≤2kπ＋B．2kπ<x<2kπ＋C．2kπ<x<(2k＋1)πD．2kπ－<x<2kπ＋(以上k∈Z)【答案】B【解析】∵，∴2kπ<x<2kπ＋，k∈Z.19.使得lg(cosθ·tanθ)有意义的角θ是第______象限角．【答案】要使原式有意义，必须cosθ·tanθ>0，即需cosθ、tanθ同号，∴θ是第一或第二象限角【解析】要使原式有意义，必须cosθ·tanθ>0，即需cosθ、tanθ同号，∴θ是第一或第二象限角【题型】填空题20.设θ是第三象限角，且满足＝－sin，试判断所在象限．【答案】为第四象限角【解析】∵θ是第三象限角，∴2kπ＋π<θ<2kπ＋π，k∈Z.∴kπ＋<<kπ＋π，k∈Z.∴在第二、四象限内．又∵＝－sin，∴sin≤0.∴为第四象限角．。
高一数学三角函数的图象与性质试题答案及解析
高一数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.已知函数的周期为,且 ,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）,再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.（1）求函数与的解析式；（2）是否存在,使得按照某种顺序成等差数列？若存在,请求出的值，若不存在,说明理由；（3）求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点．【答案】（1）；（2）假设存在，当时，，，又，则，所以，即，化简得或与矛盾，所以不存在,使得按照某种顺序成等差数列；（3），.【解析】（1）依题意可求得和，利用三角函数的图像变换可求得；（2）依题意，当时，，和，问题转化为方程在内是否有解，通过求解该方程即可判断是否有解即可；（3）将“函数有零点的问题”转化为“方程有实数根”的问题，可分种情况进行讨论：①当时，由题意知其不成立；②当时，先令将其换元为，然后根据函数的图像及其性质判断在内有解所满足的条件，最后由零点的个数，判断出正整数的取值即可.试题解析：（1）由函数的周期为可得，，又由，得，所以；将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（保持纵坐标不变）后可得的图像，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数. （2）假设存在，当时，，，又，则，所以，即，化简得或与矛盾，所以不存在,使得按照某种顺序成等差数列.（3）令，即，当时，显然不成立；当时，，令，则当时，.由函数及，的图像可知，当时，在内有3个解.再由可知，，综上所述，，.【考点】函数的图象变换，函数与方程.2.若，则使成立的的取值范围是（）A．（）B．（）C．（）D．（）（）【答案】D【解析】掌握特殊的三角函数值与三角函数的图像.,故选D.【考点】三角函数的基本运算3.已知函数的图象如下图所示，则___________．【答案】【解析】由图象知，即，得，所以，图象中的最低点的坐标为代入，得，得，因此，从而，即．【考点】三角函数的图象和性质．4.若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是________.【答案】【解析】函数的图象向右平移个单位后得到的图象，由题意可得，，即，所以当时，，即的最小正值是.故答案为.【考点】三角函数图象的平移变换.5.已知向量a，b，c，其中.(1)若，求函数b·c的最小值及相应的的值；(2)若a与b的夹角为，且a⊥c,求的值.【答案】（1）函数的最小值为，相应的的值为（2）【解析】（1）由已知易求得，此时再换元令可得，即可求得，然后再反求此时对应的的值，可得结果.（2）利用与的夹角为，可求得，再根据可得，然后联立两式即可求得结果.试题解析：（1），又令则，且当时，，此时即，又，，即所以函数的最小值为，相应的的值为.（2）与的夹角为，.，,即又，.化简得.将代入可得，.【考点】三角恒等变换；换元法求最值.6.下列函数中，周期为的偶函数是A．B．C．D．【答案】B【解析】A,C为奇函数，B中,周期为；D中周期为，故选B.【考点】函数周期.7.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】首先满足最小正周期为有B和D，而且还要是在区间上为减函数，只有B符合条件，故选择B.这里特别要关注的图象，它是将在轴下方的图象沿轴翻折上去，这样最小正周期就变为原来的一半，即为.【考点】三角函数的周期性、单调性和图象变换.8.已知函数，将图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得到的图象沿轴向左平移个单位,这样得到的曲线与的图象相同, 那么的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】由题意可知，首先将的图象向右平移个单位，得到的函数图象，再将的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标保持不变，得到的函数图象，∴.【考点】三角函数的图象与性质.9.在中，角所对的边分别为，且（1）求函数的最大值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：（1）利用二倍角公式及其变形将化成的形式，再求最值；（2)利用正弦定理进行求解.规律总结：（1）涉及三角函数的最值或求值问题，往往先根据三角函数恒等变形化为的形式，再利用三角函数的图像与性质进行求解；（2）解三角形，要根据条件合理选择正弦定理或余弦定理.试题解析：（1）当，即当时，取得最大值，且最大值为（2）由题意得又由（1）知.由，得所以的值为．【考点】1.三角函数的图像与性质；2.解三角形.10.函数的图象的一条对称轴方程是（）.A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为，令，得，取，得，故选C.本题也可以由选项代入中，的值为即可.【考点】正弦函数的对称轴公式.11.函数y＝2sin(ωx＋)(，)的部分图象如图所示，则ω和的值分别是__________．【答案】【解析】∵∴T=π∴ω=2，∵当2x+φ=时，x=，∵|φ|＜∴φ=，故答案为：【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式;五点法12.已知且，那么必有()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∵，∴而正切函数的单调性可知，其在上单调递增，∴，即，∴C正确，D错误A,B,无法判断其正确与否，故选C.【考点】正切函数的单调性.13.已知函数，.（1）若，求函数的解析式；（2）若时，的图像与轴有交点，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1),代入可求得;(2) ，，所以，的图像与轴有交点，根据图形可得：,可以得到的取值范围.（1）（2分）（2） .（4分）又，所以要使的图像与轴有交点，则（8分）解得（10分）【考点】1.三角函数的性质；2.零点问题.14.已知函数y=3sin（1）用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象；（2）求此函数的振幅、周期和初相；（3）求此函数图象的对称轴方程、对称中心．【答案】（1）详见解析;（2）振幅A=3，初相是-；（3）对称轴：x=+2k；中心为．【解析】（1）利用五点作图法即可做出图像；（2）根据周期、振幅、初相的概念即可求出结果；（3）令=+k，解出x即为对称轴；令x-=k，解出x，即可求出对称中心．解：（1）列表：23sin描点、连线,如图所示：5（2）周期T===4，振幅A=3，初相是-．．8(3)令=+k(k∈Z),得x=2k+(k∈Z),此为对称轴方程．令x-=k(k∈Z)得x=+2k(k∈Z)．对称中心为 (k∈Z) ．．12【考点】1．“五点作”图法；2．y=Asin（ωx+φ）的函数性质．15.已知：函数（1）求函数的周期T，与单调增区间.（2）函数的图象有几个公共交点.（3）设关于的函数的最小值为，试确定满足的的值，并对此时的值求的最小值．【答案】（1）函数的周期为，单调增区间为.（2）函数的图象有3个公共交点.（3），此时.【解析】（1）分类讨论去掉绝对值，即可求函数的周期T与单调增区间.（2）分别画出函数的图象，由图知有3个公共交点.（3）由题知：令，把看成关于的二次函数，分情况讨论即可.1）T= .......1分增区间： .........3分(2）作函数的图象，从图象可以看出函数的图象有三个交点..................6分3）解：整理得：令，则，对称轴，当，即时，是函数g(x)的递增区间，；当，即时，是函数的递减区间，得，与矛盾；当，即时，，得或，舍，此时．..........12分【考点】三角函数的图象和性质、分类讨论思想.16.已知，若，则下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】法一：因为，所以，故选C；法二：设，则易知该函数为上的奇函数，所以即也就是，而，所以即，选C.【考点】1.正弦函数的图像与性质；2.函数的奇偶性.17.已知函数（）的最小正周期为．（1）求函数的单调增区间；（2）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像．求在区间上零点的个数．【答案】（1）函数的单调增区间；（2）在上有个零点.【解析】（1）先由三角函数的周期计算公式得到，从而可确定，将当成一个整体，由正弦函数的性质得到，解出的范围，写成区间即是所求函数的单调递增区间；(2)将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图像，即，由正弦函数的图像与性质得到该函数在一个周期内函数零点的个数，而恰为个周期，从而可得在上零点的个数.试题解析：（1）由周期为，得，得由正弦函数的单调增区间得，得所以函数的单调增区间（2）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的图像，所以令，得或所以函数在每个周期上恰有两个零点，恰为个周期，故在上有个零点.【考点】1.三角函数的图像与性质；2.函数的零点.18.已知函数f(x)＝sin2x＋2cos2x＋m在区间[0，]上的最大值为3，则（1）m＝；(2)对任意a∈R，f(x)在[a，a＋20π]上的零点个数为．【答案】（1）0(2)40或41.【解析】（1）,在区间[0，]上的函数值范围为，又最大值为3，刚.(2)原函数周期，区间[a，a＋20π]间距为，则与X轴交点个数为40或41.【考点】二倍角公式，辅助角公式，的图角与性质.19.已知函数.（1）求的最小正周期.（2）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的值域.【答案】(1);(2).【解析】(1)利用二倍角公式，诱导公式，化一公式进行化简为,利用;(2)利用左加右减得到的图像，求的范围，再根据的图像，计算的值域.试题解析：解：由题设可得（1）函数最小正周期为2（2）易知由值域为【考点】1.三角函数的化简；2.性质；3.图像变换.20.已知函数的部分图像如图所示.（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间.【答案】（1）；（2）的单调递增区间是.【解析】（1）从图中观察到该函数的最小正周期，从而由公式得到的值；再由得到的值，进而用得到的值；（2）由的表达式确定，将当成整体，由正弦函数的单调递增区间可求得该函数的单调递增区间. 试题解析：（1）由题设图像知，周期 2分，由，得 4分5分所以 6分（2）由（1）得 7分10分由，得的单调递增区间是 12分.【考点】三角函数的图像与性质.21.为了得到函数的图像，只需将函数图像上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】A【解析】，故要得到的图像，只需将函数的图像向左平移个单位长度，故选A.【考点】三角函数的图像变换.22.函数的图象和直线围成一个封闭的平面图形，这个封闭图形的面积是_____________；【答案】．【解析】本题用切割法求面积，如图，由余弦函数图象的对称性，我们可以把区域（2）放到区域（1）位置，区域（3）放到区域（4）位置，则构成四条直线，，，围成的矩形，其面积为．【考点】余弦函数图象的对称性．23.设函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求ω的值；(2)如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值．【答案】(1)ω＝.(2) a＝.【解析】(1)f(x)＝cos2ωx＋sin2ωx＋＋a＝sin＋＋a.依题意得2ω·＋＝，解得ω＝.(2)由(1)知，f(x)＝sin＋＋a.又当x∈时，x＋∈，故≤sin≤1，从而f(x)在上取得最小值＋＋a.由题设知＋＋a＝，故a＝.【考点】和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质。
新高考第5章 三角函数(典型题专练)高一数学上学期期中期末考试满分全攻略解析版
第5章 三角函数典型题专练一、单选题1．（2021·北京·清华附中高一期末）已知α为第三象限角，则πα-为（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】D【分析】采用一般与特殊的思想，因为α是第三象限角，所以令43πα=，即可判断πα-所在的象限． 【详解】因为α是第三象限角，故可令43πα=，则3ππα-=-，是第四象限角． 故选：D ．2．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高一期中）在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，下列说法正确的是（ ）A ．sin y x =是增函数，且cos y x =是减函数B ．sin y x =是减函数，且cos y x =是增函数C ．sin y x =是增函数，且cos y x =是增函数D ．sin y x =是减函数，且cos y x =是减函数 【答案】A【分析】结合正余弦函数的图象和性质即可作出判定.【详解】由正余弦函数的图象可知，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，sin y x =是增函数，且cos y x =是减函数，故选：A .3．（2021·全国·高一期末）已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan βαtan β则α，β的大小关系是（ ） A ．α<4π<β B ．β<4π<α C ．4π <α<β D ．4π <β<α【答案】B【分析】由两角和与差的正切公式得出α＋β＝3π，结合sin cos 0αα->，得出α>4π，结合选项可得答案．【详解】∵α为锐角，sin α－cos α＝16，∴α>4π．又tan α＋tan αtan∴tan(α＋β)＝tan tan 1tan tan αβαβ+=-3π，又α>4π，∴β<4π<α．故选：B4．（2021·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期末）把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（ ）A ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】解法一：从函数()y f x =的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即得2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x =的解析表达式；解法二：从函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()y f x =的解析表达式.【详解】解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则,234212t t x x πππ=+-=+,所以()sin 212t f t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭逆向变换，第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B.5．（2021·山西·高一期末）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2yx ，[]1,2x ∈与函数2y x ，[]2,1x ∈--即为“同族函数”.下而函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ） A ．sin y x = B ．3y x = C ．x x y e e -=- D ．ln y x =【答案】A【分析】对于BCD ，可以考察其单调性，即可否定；对于A,利用三角函数的性质，不难确定可以构造不同的定义域，其值域是相同的.【详解】3y x =，x x y e e -=-，ln y x =分别是定义域内R,R 和(0,+∞)上的都单调递增函数，规定定义域内的不同子集为构造函数的定义域，值域也必然不同，故都不是能够用来构造“同族函数”的函数； sin y x =可构造同族函数，例如sin y x =，[]0,x π∈和sin y x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选:A6．（2021·山西·高一期末）如图是函数()()sin f x A x =+ωϕ(0A >，0>ω)的部分图象，则（ ）A ．函数()y f x =的最小正周期为2π B ．直线512x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴 C ．点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心D ．函数3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数【答案】C【分析】由图象先求得,A 由相邻的最高点与零点的横坐标的差为四分之一周期，求得周期，得到角速度ω的值，由最高点的横坐标求得φ的值，然后逐项判定即得.【详解】由题意可知，根据图像得到，2A =，4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则选项A 错误；22Tπω==，又2sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得262k ππϕπ+=+，k ∈Z ，则23k πϕπ=+，k ∈Z ，即()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，572sin 1126f ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以直线512x π=不是函数()y f x =图象的一条对称轴，则选项B 错误； 2sin 006f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 所以点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心，选项C 正确；2sin 22sin 23333f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦不是奇函数，所以选项D 错误. 故选：C.7．（2021·安徽·东至县第二中学高一期末）已知tan 2θ=，且)sin cos sin cos tan 22ππθθθθϕϕ⎛⎫+=--<< ⎪⎝⎭，则函数()()sin 2sin 202f x x x x πϕ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．⎤⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【答案】B【分析】先由已知条件求出3πϕ=，再化简()f x 的解析式，即可求出值域.【详解】因为tan 2θ=，所以由)sin cos sin cos tan θθθθϕ+=-，可得tan ϕ===22ππϕ-<<，所以3πϕ=．于是()()sin 2sin 2sin 2sin 23f x x x x x πϕ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭11sin 2sin 22sin 22sin 2223x x x x x x π⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为02x π≤≤，所以02x ≤≤π，所以()221333x f x πππ-≤-≤⇒≤，故答案为：⎡⎤⎢⎥⎣⎦．8．（2021·宁夏·银川三沙源上游学校高一期末（理））已知函数()cos22sin 1f x x x x R =+-∈，，则函数()f x 最大值为 （ ） A ．0 B ．12 C ．1 D ．无最大值【答案】B【分析】利用余弦的二倍解公式转化为关于正弦的二次函数表达式，配方后即可得解.【详解】2211()cos 22sin 12sin 2sin 2sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+-=-+=--+ ⎪⎝⎭，当1sin 2x =时，函数()f x 最大值为12. 故选：B.9．（2021·广东高州·高一期末）若tan 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan2α=（ ）A ．6B ．-6C ．43D ．43-【答案】C【分析】利用和差的正切公式和二倍角公式，即可求解.【详解】解：tan 1tan 341+tan πααα-⎛⎫-== ⎪⎝⎭，解得tan 2α，22tan 4tan 21tan 3ααα==-, 故选：C10．（2021·贵州·兴仁市凤凰中学高一期末）sin 74sin 46sin16sin 44-=（ ）A ．12 B ．12-C D ．【答案】A【分析】转化sin 74cos16,sin 46cos 44==，再利用两角和的余弦公式即得解 【详解】由题意，1sin 74sin 46sin16sin 44cos16cos 44sin16sin 44cos 602-=-== 故选：A【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题11．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高一期中）已知sin 4210πα⎛⎫-=⎪⎝⎭sin α=（ ）A ．1225-B ．1225C ．2425-D ．2425【答案】D【分析】利用换元42παβ=-，利用诱导公式和二倍角公式转化运算即可.【详解】设42παβ=-,则sin 2102πβαβ==-， 2224sin cos 212sin 1210025αββ==-=-⨯=, 故选：D.12．（2021·江苏江都·高一期中）cos54cos 24sin54cos66︒︒+︒︒的值为（ ）A ．12 B C ．－12D 【答案】B【分析】先利用诱导公式转化，然后利用两角差的余弦公式化简计算.【详解】原式=cos54cos 24sin 54sin 24cos(5424)cos30︒︒+︒︒=︒-︒=︒= 故选：B.13．（2021·河北·张家口市第一中学高一期中）在ABC 中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，则()cos A B -的值是（ ） A ．2425B ．725C ．45D ．35【答案】A【分析】由题意，可先求解sin ,cos ,sin ,cos A A B B ，代入()cos cos cos sin sin A B A B A B -=+，即得解 【详解】由题意，在ABC 中，90C ∠=︒，3b =，4a =，222255c a b c ∴=+=∴=4334sin ,cos ,sin ,cos 5555a b b a A A B B c c c c ∴======== 则()344324cos cos cos sin sin 555525A B A B A B -=+=⨯+⨯= 故选：A14．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高一期中）已知函数1()(sin cos )cos 2f x a x x x =+-的图象的一条对称轴为6x π=,则下列结论中正确的是（ ）A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心B ．()f x 是最小正周期为π的奇函数C ．()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．先将函数2sin 2y x =图象上各点的纵坐标缩短为原来的12，然后把所得函数图象再向左平移6π个单位长度，即可得到函数()f x 的图象 【答案】A【分析】化简函数()f x ，将6x π=代入得函数最值，可求得a =进而可得()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，通过计算712f π⎛⎫- ⎪⎝⎭，可判断A ；通过计算()0f ，可判断B ； 当33x ππ-≤≤时，52266x πππ-≤+≤，可得()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，可判断C ； 通过振幅变换和平移变换，可判断D.【详解】211()(sin cos )cos sin cos cos 22f x a x x x a x x x =+-=+-()11cos 21sin 22222a x x x ϕ+=+-=+，当6x π=时，()f x 取到最值，即21sin cos cos 2666a πππ+-=解得a =()1cos 212sin 2226x f x x x π+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭. ()77sin sin 26601f ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图像的一个对称中心，故A 正确； ()0sin 06f π⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，故()f x 不是奇函数，故B 错误；当33x ππ-≤≤时，52266x πππ-≤+≤，又sin y x =在5,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上先增后减，则()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上先增后减，故C 错误；将函数2sin 2y x =图象上各点的纵坐标缩短为原来的12，然后把所得函数图象再向左平移6π个单位长度，得12sin 2sin 2263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误. 故选：A二、多选题15．（2021·福建省福州第八中学高一期末）已知函数f （x ）＝sin （2x +3π），将f （x ）图象上每一点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数g （x ）的图象，则（ ） A ．当x ＝724π时，g （x ）取最小值 B ．g （x ） 在[12π，3π]上单调递减C ．g （x ）的图象向左平移24π个单位后对应的函数是偶函数D ．直线y ＝12与g （x ）（0＜x ＜32π）图象的所有交点的横坐标之和为194π 【答案】ACD【分析】首先利用伸缩变换得到函数()sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再依次利用整体代入的方法，判断AB 是否正确；按照平移变换判断函数()g x 平移后是否是偶函数；令1sin 432x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，计算302x π<<内所有的实数根.【详解】由条件可知()sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当724x π=时，3432x ππ+=，此时()1g x =-，取得最小值，所以A 正确； 当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，254,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当234,332x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即7,1224x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时函数单调递减，当354,323x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即7,243x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增，故B 不正确；()g x 向左平移24π个单位后得到函数sin 4sin 4cos 42432y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数是偶函数，故C 正确； 1sin 432x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：42,36x k k Z πππ+=+∈，解得：224k x ππ=-，k Z ∈或542,36x k k Z πππ+=+∈，解得：28k x ππ=+,k Z ∈, 因为302x π<<，所以112335,,242424x πππ=或59,,,888x πππ=所以交点的横坐标之和为194π，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本题考查三角函数的性质，图象变换，方程实根的综合问题，重点考查整体代入的方法，以及伸缩和平移变换规律，属于中档题型.16．（2021·广东·金山中学高一期末）设函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且把()f x 的图像向左移6π后得到的图像关于原点对称.现有下列结论，其中正确的是（ ） A ．函数()f x 的图像关于直线512x π=对称 B ．函数()f x 的图像关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．若325f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则71225f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】AD【分析】首先根据三角函数的性质和图象变换求函数的解析式()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据函数的性质，利用整体代入的方法判断ABC 选项， 3sin 235f απα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2sin 2121236fππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用角的变换，表示22632πππαα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，利用二倍角公式和诱导公式求函数值，判断D 选项. 【详解】由条件可知函数的最小正周期为π，所以22ππωω=⇒=，()()sin 2f x x ϕ=+，函数的图象向左平移后得到的函数是sin 26y x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 函数的图象关于原点对称，所以当0x =时，3k πϕπ+=，解得：,3k k Z πϕπ=-+∈，因为2πϕ<，所以3πϕ=-，所以函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，A.当512x π=时，521232πππ⨯-=，所以函数的图象关于直线512x π=对称正确，A 正确； B.当12x π=时，21236πππ⨯-=-，此时1sin 01262f ππ⎛⎫⎛⎫=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 不正确； C.当,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，432,,33222x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，是函数的单调递减区间，所以C 不正确；D.3sin 235f απα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2sin 2121236f ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，297sin 2sin 2cos 212sin 12632332525πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ，故D 正确.故选：AD【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间. 17．（2020·广东罗湖·高一期末）已知函数()sin sin f x x x =+，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的最大值是2C ．()f x 的最小值是1-D ．()f x 的最小正周期是π【答案】AB【分析】A.根据奇偶函数的定义判断；B.根据两个函数的最值判断；C.将函数写成分段函数的形式求函数的最小值，D.代入特殊值代入验证. 【详解】A.函数的定义域是R ，并且()()sin sin sin sin f x x x x x -=-+-=+， 即()()f x f x -=，()f x ∴是偶函数，故A 正确； B.当2x π=时，sin y x =和sin y x =同时取到最大值1，所以()f x 的最大值是2，故B 正确；C.当0x >时，()sin sin f x x x =+， ()()[]2sin ,2,20,2,22x x k k f x x k k πππππππ⎧∈+⎪=⎨∈++⎪⎩，k ∈N ， 所以当0x ≥时，()0f x ≥，根据函数是偶函数，可知函数()f x 的值域是[)0,+∞， 所以函数的最小值是0，故C 不正确；D.4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭555sin sin 0444f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，544f f ππ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数的周期不是π，故D 不正确. 故选：AB【点睛】思路点睛：本题考查含绝对值三角函数的性质，本题的关键是判断A 选项，难点是判断C 选项，需正确去掉绝对值，再判断函数的最值.18．（2021·安徽·池州市江南中学高一期末）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示，下列说法不正确是（ ）A ．()f x 的图象关于直线23x π=对称 B ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．将函数2cos 2y x x =-的图象向左平移2π个单位得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,- 【答案】ABC【分析】根据函数()()sin f x A x =+ωϕ的部分图象求出函数解析式，然后根据正弦函数的性质一一判断． 【详解】解:由函数的图象可得2A =，由124312πππω⋅=-，求得2ω=． 再根据五点法作图可得223k πϕππ⨯+=+，又2πϕ<，求得3πϕ=， ∴函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当23x π=时，()52sin 2sin 33f x ππ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭A 不成立； 当512x π=-时，()2sin 22f x π=-=-，不等于零，故B 不成立；将函数2cos 22sin 26y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位得到函数5sin 2sin 2266y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故C 不成立；当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∵2sin sin 33ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 12π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根时，则m 的取值范围是(2,-，故D 成立． 故选:ABC.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，解答的关键是由函数()()sin f x A x =+ωϕ的部分图象求出函数解析式，属于基础题．19．（2021·重庆实验外国语学校高一期中）在ABC 中，若2324cos02B Cc b b +-+=，则下列说法正确的是（ ） A ．A ∠为钝角 B ．2222a b c =- C ．tan 1tan 3A B =- D ．3C π∠≥【答案】BC【分析】选项A ，转化21cos cos 22B C A +-=，结合题干条件，可得3cos 02cA b=>，故可判断； 选项B ，2223cos 22b c a cA bc b +-==，可得2222a b c =-，可判断； 选项C ，转化222222tan tan A a c b B b c a+-=+-，代入2222a b c =-，可判断；选项D ，222223cos 24a b c a b C ab ab +-+==，结合均值不等式和0C π<<，可判断 【详解】21cos()1cos()1cos cos 2222B C B C A Aπ++++--=== 21cos 324cos 324022B C Ac b b c b b +-∴-+=-+⨯= 3cos 02cA b∴=> 02A π∴<<∴A ∠为锐角，故选项A 不正确；又2223cos 22b c a cA bc b +-==，化简得2222a b c =-，故选项B 正确； 222222222222tan cos 2tan i co sin s n s 2a c b A B a a c b ac c A b c a B A b b B b a c+-+-=⋅=⋅=+-+- 将2222a b c =-代入得：2222222222222221(2)3a cb bc c b b c a b c b c+--+-==-+-+--故选项C 正确；222222222223()3222cos 2224b a a b a b ab c a b C ab ab ab ab -+-++-+====≥当且仅当b 时等号成立006C C ππ<<∴<≤，故选项D 不正确故选：BC【点睛】本题考查了解三角形综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题三、填空题20．（2021·北京·清华附中高一期末）已知函数()sin 1f x a x bx =++，若()12f -=，则()1f =_____________. 【答案】0【分析】利用正弦函数的奇偶性可以得到()()112f f +-=，进而得到结果.. 【详解】因为()1sin11f a b =++，()1sin11f a b -=--+，所以()()112f f +-=， 因为()12f -=则()1f =0, 故答案为：0.21．（2021·山西·高一期末）已知函数()sin ,14ln ,1x x f x x x π⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩，则()()f f e =_______.【分析】根据分段函数的解析式，先求得()1f e =,再求()1f 即为所求.【详解】()()1ln 1,111sin 4e f e e f π⎛⎫>∴==≤∴== ⎪⎝⎭，，,∴()()()1f f e f ==.故答案为. 22．（2021·宁夏·银川三沙源上游学校高一期末（理））已知α为钝角，cos()4πα-=则sin α=________.【分析】先判定4πα-的范围，利用用角三角函数的关系求得sin 4⎛⎫- ⎪⎝⎭πα44ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用两角和的正弦公式计算求解. 【详解】α为钝角，∴3,444πππα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又∵cos 4⎛⎫-= ⎪⎝⎭πα∴sin 4⎛⎫-==⎪⎝⎭πα ∴sin sin sin cos cos sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=23．（2021·江苏江都·高一期中）已知cos 223sin 4απα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则cos sin -=αα_____________．【分析】利用余弦的二倍角公式22cos2cos sin ααα=-和两角和的正弦公式转化，并利用平方差公式化简即可求得.【详解】22cos 22sin )3sin 422==-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭αααπα， 所以cos sin αα-=，. 24．（2021·陕西省黄陵县中学高一期中（理））圆的半径变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的____倍． 【答案】2【分析】设改变前后的圆的半径分别为12,r r ，圆心角为,αβ，弧长相等记为l ，利用弧长公式可以求得2βα=. 【详解】设改变前后的圆的半径分别为12,r r ，圆心角为,αβ，弧长相等记为l ， 由弧长公式得12lr r αβ，由已知得2112r r =，所以2βα= ∴该弧所对的圆心角是原来的2倍． 故答案为：2.25．（2021·甘肃·兰州市外国语高级中学高一期末）已知tan 3,α=则sin 23sin cos 4cos2αααα-+的值是_________ 【答案】72-【分析】利用二倍角公式先化为α的正余弦的表达式，增添分母“1”化为22sin cos αα+，然后分子分母同时除以2cos α，转化为含有正切的代数式计算.【详解】解：∵tan 3,α=∴原式=()222sin cos 3sin cos 4cos sin -+-αααααα()2222sin cos 4cos sin sin cos -+-=+αααααα2222tan 44tan 3443357tan 131102-+--+-⨯-====-++ααα， 故答案为：72-。
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.若，则 .【答案】2【解析】由，得，即，整理得，即.【考点】两角和的正切公式及三角函数式的恒等变形.2.若为锐角，且sin＝，则sin的值为________．【答案】【解析】 sin＝，为锐角，故，cos=,，故答案为：.【考点】两角和的正弦公式；三角函数求值.3.已知,,分别为三个内角,,的对边, =sin cos．(1)求；(2)若=,的面积为,求,．【答案】(1) ；(2)【解析】(1) 根据正弦定理可将变形为。
因为角三角形的内角，所以，可将上式变形为。
用化一公式即两角和差公式的逆用将上式左边化简可得，根据整体角的范围可得的值，即可得角的值。
(2)由三角形面积可得。
再结合余弦定理可得的值，解方程组可得的值。
解 (1)由=sin cos及正弦定理得sin sin+cos sin-sin=0,由sin≠0,所以sin（+）=,又0<<π,+故=．(2)△ABC的面积=sin=,故=4．由余弦定理知2=2+2-2cos,得代入=,=4解得,故【考点】1正弦定理；2三角形面积公式；3余弦定理。
4.在中，角的对边分别为，（1）若，求的值；（2）设，当取最大值时求的值。
【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用二倍角公式，化简方程，可得B，利用余弦定理，可求c的值；（2）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，结合A的范围，即可得t取最大值时求A的值．试题解析：解：∵∴∴，即B= （3分）（1）由即∴（5分）当时，＜＜,C＜A＜B=与三角形内角和定理矛盾，应舍去，∴（7分）（2）（10分）∵A∈（0，），∴∈，）即∈，1]当=，即A=时，（12分）【考点】1．二倍角的余弦；2．两角和与差的正弦函数；3．余弦定理．5.为第二象限角，且，求的值.【答案】．【解析】先利用两角和与差的正弦函数和二倍角公式将待求式子化成只含有角的三角函数，再由三角函数的同角公式求出角余弦值，从而求出结果即可．试题解析：为第二象限角，且,．====．【考点】1、两角和与差的正弦函数; 2、二倍角公式；3、同角三角函数基本关系．6.已知，，求的值．【答案】【解析】将视为整体将已知条件用余弦的两角和公式变形可得的值，根据角的范围可得的值，再用二倍角公式分别求的值，最后用正弦两角和公式将展开计算即可。
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析
高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.已知，，那么的值为________ ．【答案】【解析】因为=，所以===．【考点】角的配凑；两角差的正切公式2.在中，已知．（1）求角的值；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）运用正余弦的二倍角公式将化简得到，结合，进而得到的值，从中可确定的值；（2）先由角的大小及的值，结合正弦定理得到，进而由三角形的内角和定理算出，再由两角和差公式算出的值，最后由三角形的面积计算公式即可求得的面积．试题解析：（1）因为，所以因为，所以，从而所以 6分（2）因为，，根据正弦定理得所以因为，所以所以△的面积 12分．【考点】1．正、余弦的二倍角公式；2．正弦定理；3．三角形的面积计算公式．3.在中，角的对边分别为，（1）若，求的值；（2）设，当取最大值时求的值。
【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用二倍角公式，化简方程，可得B，利用余弦定理，可求c的值；（2）利用二倍角、辅助角公式，化简函数，结合A的范围，即可得t取最大值时求A的值．试题解析：解：∵∴∴，即B= （3分）（1）由即∴（5分）当时，＜＜,C＜A＜B=与三角形内角和定理矛盾，应舍去，∴（7分）（2）（10分）∵A∈（0，），∴∈，）即∈，1]当=，即A=时，（12分）【考点】1．二倍角的余弦；2．两角和与差的正弦函数；3．余弦定理．4.（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据两角和的公式，,故选A.【考点】两角和的正弦公式5.在中，，，则（）A．或B．C．D．【答案】D【解析】依据题意,,,为锐角，,,故选D.【考点】三角函数的求值6.如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝，从C，D两点测得A点仰角分别是，()，则A点离地面的高度AB等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以【考点】两角和与差正弦，切化弦7. Sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是_________.【答案】【解析】。
高中数学必修一第五章三角函数单元测试（1）（含答案解析）
⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试（1）（含答案解析）⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试 (1)⼀、选择题（本⼤题共9⼩题，共45.0分）1.以罗尔中值定理、拉格朗⽇中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗⽇中值定理是“中值定理”的核⼼内容，其定理陈述如下：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在区间(a,b)内⾄少存在⼀个点x0∈(a,b)，使得f(b)?f(a)=f?(x0)(b?a)，x=x0称为函数y= f(x)在闭区间[a,b]上的中值点，则函数f(x)=sinx+√3cosx在区间[0,π]上的“中值点”的个数为参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，π≈3.14．A. 1B. 2C. 3D. 42.若α∈(π2,π)，cos?2α=?13，则tan?α=()A. ?√33B. ?√3 C. ?√2 D. ?√223.cos20o cos40°?sin20°sin40°=()A. 1B. 12C. ?12D. √324.为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x的图象()A. 向右平移π4个单位 B. 向左平移π4个单位5.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c?ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC⾯积的最⼤值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√36.已知sinα?cosα=13,则cos2(π4α)=()A. 1718B. 19C. √29D. 1187.若将函数f(x)=sin(2x+φ)+√3cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点(π2,0)对称，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值()A. ?12B. ?√3228.若函数f(cos x)=cos2x+1，则f(cos30°)的值为()A. 12B. 32C. 72D. 49.3?sin110°8?4cos210°=()A. 2B. √22C. 12D. √32⼆、填空题（本⼤题共5⼩题，共25.0分）10.已知cos?(α+π4)=13,α∈(0,π4)，则cos2α=________．11.已知△ABC的内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，B=π4，tan(π4A)=12，且△ABC的⾯积为25，则a+b=_________．12.函数y=√3sin2x?cos2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个长度单位后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为___________．13.在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，且cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC，则a+c的取值范围是________．14.已知函数f(x)=sinxcos(x+π3)+√34,x∈[?π3,π6]，则函数的单调减区间为___________，函数的值域为____________．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共72.0分）15.如图，在四边形ABCD中，已知∠DAB=π3，AD︰AB=2︰3，BD=√7，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD=2π3，求CD的长．16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最⼩值为?3，若f(x)图象相邻的最⾼点与最低点的横坐标之差为2π，且f(x)的图象经过点(0,32)．(2)若⽅程f(x)?k=0在x∈[0,11π3]上有两个零点x1,x2，求k的取值范围，并求出x1+x2的值．17.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m =(b,a?2c)，n?=(cosA?2cosC,cosB)，且n?⊥m ．(1)求sinCsinA的值；(2)若a=2，|m |=3√5，求△ABC的⾯积S．18.化简，求值：(1)已知tanα=34,求tan(α+π4)的值；(2)sin20°sin40°?cos20°cos40°．19.在△ABC中，内⾓A，B，C对边的边长分别是a、b、c，△ABC的⾯积为S⑴若c=2，C=π3，S=√3，求a+b;)=a，求⾓A;⑴若√3(bsinC?ccosBtanC20.如图，某住宅⼩区的平⾯图呈圆⼼⾓为120°的扇形AOB，⼩区的两个出⼊⼝设置在点A及点C处，且⼩区⾥有⼀条平⾏于BO的⼩路CD．(1)已知某⼈从C沿CD⾛到D⽤了10分钟，从D沿DA⾛到A⽤了6分钟，若此⼈步⾏的速度为每分钟50⽶，求该扇形的半径OA的长(精确到1⽶)；(2)若该扇形的半径为OA=a，已知某⽼⼈散步，从C沿CD⾛到D，再从D沿DO⾛到O，试确定C的位置，使⽼⼈散步路线最长．-------- 答案与解析 --------本题考查导数运算、余弦函数性质，属于中档题．求出f(x)的导数，利⽤f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，可得结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，【解答】解：由知由拉格朗⽇中值定理：令f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，即，由?√3π∈(?1,?12)，结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，故在区间[0,π]上的“中值点”有2个，故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式和⼆倍⾓公式，是基础题．由已知可得tanα<0，再由⼆倍⾓公式和同⾓三⾓函数基本关系可得tanα的⽅程，解之可得答案．【解答】解：∵α∈(π2,π)，且cos2α=?13，∴tanα<0，且cos2α=cos2α?sin2α=cos2α?sin2αcos2α+sin2α=1?tan2α1+tan2α=?13，解得tanα=?√2．故选C．3.答案：B本题考查两⾓和与差的三⾓函数公式，属于基础题．由题直接计算求解即可得到答案．【解答】解：cos20o cos40°?sin20°sin40°=cos(20°+40°) =cos60°=12．故选B ． 4.答案：D解析：【分析】本题考查三⾓函数的图象变换规律，是基础题．根据题意，进⾏求解即可．【解答】解：，，⼜，∴只需将函数g(x)=cos2x 的图象向左平移π8个单位即可得到函数f(x)=sin?(2x +3π4)的图象．故选D ． 5.答案：C解析：【分析】本题考查正余弦定理、三⾓形⾯积公式，两⾓和的正弦公式和基本不等式，属于中档题.先由正弦定理和两⾓和的正弦公式得出cosA =12，再由余弦定理和基本不等式解得bc ≤12，最后由三⾓形⾯积公式求得△ABC ⾯积的最⼤值．【解答】解：由已知可得(2c ?b)cosA =acosB ，由正弦定理可得(2sinC ?sinB)cosA =sinAcosB ，所以2sinCcosA =sinBcosA +sinAcosB =sin(A +B)=sinC ，由sinC ≠0可得cosA =12，则，由余弦定理可得12=b 2+c 2?2bc ×12=b 2+c 2?bc ，由基本不等式可得12=b 2+c 2?bc ≥2bc ?bc =bc ，解得bc ≤12，当且仅当b =c =2√3时，取等号，故△ABC ⾯积S =12bcsinA =√34bc ≤√34×12=3√3．故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式、诱导公式以及同⾓三⾓函数基本关系的应⽤，属于基础题．由条件利⽤⼆倍⾓公式可得sin2α=81+cos(π22α)2=12+sin2α2，计算求得结果．【解答】解：∵sinα?cosα=13，∴1?2sinαcosα=1?sin2α=19，∴sin2α=89，则cos2(π4?α)=1+cos(π22α)2=12+sin2α2=1718，故选A．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律、诱导公式和三⾓函数的性质．3]=2cos(2x+φ+π3)，再根据图像关于点(π2,0)对称，得到φ=π6，得到g(x)=cos(x+π6)，进⽽求出g(x)的最⼩值．【解答】解：∵f(x)=sin?(2x+φ)+√3cos?(2x+φ)=2sin?(2x+φ+π3)，∴将函数f(x)的图像向左平移π4个单位长度后，得到图像的函数解析式为y=2sin?[2(x+π4)+φ+π3]=2cos?(2x+φ+π3)．∵函数y=2cos(2x+φ+π3)的图像关于点(π2,0)对称，∴2cos(2×π2+φ+π3)=0，所以π+φ+π3=kπ+π2解得φ=kπ?5π6,k∈Z．∵0<φ<π，∴φ=π6，∴g(x)=cos(x+π6)．∵x∈[?π2,π6]，∴x+π6∈[?π3,π3]，∴cos(x+π6)∈[12,1]，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值是12．故选D．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式的应⽤，属于基础题.利⽤⼆倍⾓公式，然后求出函数值即可．【解答】解：∵f(cos x)=cos 2x +1=2cos 2x ，∴f(cos?30°)=2cos 230°32)2=32．故选B ． 9.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值问题，属于基础题．根据诱导公式与⼆倍⾓的余弦公式即可求出结果．【解答】解：原式=3?sin110°8?4cos 210°=3?cos20°8?2(1+cos20°)=3?cos20°6?2cos20°=12．故选C ．10.答案：4√29解析：解：因为cos(α+π4)=13,α∈(0,π4)，所以sin(α+π4)=2√23，所以cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4) =2sin(α+π4)cos(α+π4)=2×2√23×13=4√29．答案：4√29由诱导公式可知cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4)，然后结合⼆倍⾓的正弦公式展开可求．本题主要考查函数值的计算，利⽤三⾓函数的倍⾓公式是解决本题的关键． 11.答案：5+5√5解析：【分析】本题考查两⾓和与差的三⾓公式的应⽤，考查正弦定理及三⾓形⾯积公式的应⽤，属中档题．依题意，根据两⾓和与差的三⾓公式求得tanA =13，进⽽得sin?A ，cos?A ．⼜B =π4，求得sinC ，再结合三⾓形⾯积及正弦定理求解即可．【解答】解：因为tan?(π4?A)=12，所以1?tan?A1+tan?A =12，则tan?A =13，因此sinA =√1010，cosA =3√1010．所以sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√1010×√22+3√1010×√22=2√55，根据△ABC 的⾯积为25，得12absinC =12ab ×2√55=25，得ab =25√5，⼜由正弦定理得a sinA =bsinB ，得b =√5a ，联⽴{ab =25√5b =√5ab =5√5，所以a +b =5+5√5．故答案为5+5√5．12.答案：π6解析：【分析】先将y =√3sin2x ?cos2x 化为y =2sin(2x ?π6)，然后再利⽤图象平移知识，求出g(x)，根据g(x)是偶函数，则g(0)取得最值，求出φ．本题考查三⾓函数图象变换的⽅法以及性质，将奇偶性、对称性与函数的最值联系起来，是此类问题的常规思路，属于中档题．【解答】解：由已知得y =√3sin2x ?cos2x =2(sin2x ?√32cos2x 12)=2sin(2x π6)．所以g(x)=2sin[2(x ?φ)?π6]，由g(x)是偶函数得g(0)=2sin(?2φ?π6)=±2，∴?2φ?π6=π2+kπ,k ∈Z ，∴φ=?π3kπ2，k ∈Z ，当k =?1时，φ=π6即为所求．故答案为：π6．13.答案：(√32,√3]解析：【分析】本题考查正、余弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤，正弦函数的性质，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．由题意可得⾓B和边b，然后利⽤正弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤可求a+c=√3sin(A+π6)，66<5π6，利⽤正弦函数的性质可求其取值范围．【解答】解：∵在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，∴2(12cos?B+√32sin?B)=2，即2sin(B+π6)=2，所以B+π6=π2，B=π3，⼜cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC=2√3a3c，所以ccosB+bcosC=2√33ab，故c?a2+c2?b22ac +b?a2+b2?c22ab=2√3即a=2√33ab，解得b=√32，∴由正弦定理可得bsinB =√32√32=1=asinA=csinC，故a=sinA，c=sinC，所以a+c=sinA+sinC=sinA+sin(2π3A)=sinA+√32cosA+12sinA=32sinA+√32cosA=√3sin(A+π63，π66<5π6，所以sin(A+π6)∈(12,1]∴a+c=√3sin(A+π6)∈(√32,√3].故答案为(√32,√3].14.答案：；[?√34,12]解析：【分析】本题主要考查了两⾓和与差的三⾓函数公式、⼆倍⾓公式、函数的单调区间以及函数的值域，属于基础题.由题意化简可得，且，，由此即可得到函数的单调减区间以及值域．【解答】解：=sinx (12cosx ?√32sinx)+√34=14sin2x ?√32sin 2x +√34 =14sin2x +√34cos2x ，令，解得，，令k =0，可得，即函数的单调减区间为，此时，，即函数的值域为[?√34,12]，故答案为；[?√34,12]．15.答案：解：(1)由题意可设AD =2k ，AB =3k(k >0)．∵BD =√7，∠DAB =π3，∴由余弦定理，得(√7)2=(3k)2+(2k)2?2×3k ×2kcos π3，解得k =1，∴AD =2，AB =3．．(2)∵AB ⊥BC ，，，，∴CD =√7×2√77√32=4√33．解析：本题主要考查了余弦定理，⽐例的性质，正弦定理，同⾓三⾓函数之间的关系以及特殊⾓的三⾓函数值在解三⾓形中的综合应⽤，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．(1)在△ABC 中，由已知及余弦定理，⽐例的性质即可解得AD =2，AB =3，由正弦定理即可解得sin∠ABD 的值;(2)由(1)可求cos∠DBC ，利⽤同⾓三⾓函数关系式可求sin∠DBC 的值，利⽤正弦定理即可计算得解．16.答案：解：(1)由题意得：A =3,T2=2π，则T =4π，即ω=2πT=12，所以f(x)=3sin(12x +φ)，⼜f(x)的图象经过点(0,32)，则32=3sinφ，由|φ|<π2得φ=π6，所以f(x)=3sin(12x +π6)； (2)由题意得，f(x)?k =0在x ∈[0,11π3]有且仅有两个解x 1，x 2，即函数y =f(x)与y =k 在x ∈[0,11π3]且仅有两个交点，由x ∈[0,11π3]得，12x +π6∈[π6,2π]，则f(x)=3sin(12x +π6)∈[?3,3]，设t =12x +π6，则函数为y =3sint ，且t ∈[π6,2π]，画出函数y =3sint 在t ∈[π6,2π]上的图象，如图所⽰：由图可知，k 的取值范围为：k ∈(?3,0]∪[3 2,3)，当k ∈(?3,0]时，由图可知t 1，t 2关于t =3π2对称，即x =83π对称，所以x 1+x 2=16π3当k ∈[32,3)时，由图可知t 1，t 2关于t =π2对称，即x =23π对称，所以x 1+x 2=4π3，综上可得，x 1+x 2的值是16π3或4π3．解析：(1)由题意求出A 和周期T ，由周期公式求出ω的值，将点(0,32)代⼊化简后，由φ的范围和特殊⾓的三⾓函数值求出φ的值，可得函数f(x)的解析式；(2)将⽅程的根转化为函数图象交点问题，由x 的范围求出12x +π6的范围，由正弦函数的性质求出f(x)的值域，设设t =12x +π6，函数画出y =3sint ，由正弦函数的图象画出y =3sint 的图象，由图象和条件求出k 的范围，由图和正弦函数的对称性分别求出x 1+x 2的值．本题考查了形如f(x)=Asin(ωx +φ)的解析式的确定，正弦函数的性质与图象，以及⽅程根转化为函数图象的交点问题，考查分类讨论思想，数形结合思想，以及化简、变形能⼒．17.答案：解：(1)由m⊥n ? ，可得b(cosA ?2cosC)+(a ?2c)cosB =0，根据正弦定理可得，sinBcosA ?2sinBcosC +sinAcosB ?2sinCcosB =0∴(sinBcosA +sinAcosB)?2(sinBcosC +sinCcosB)=0∴sin(A +B)?2sin(B +C)=0，∵A +B +C =π，∴sinC ?2sinA =0，所以(2)由(1)得：c =2a ，因为a =2，|m |=3√5，所以c =4，b =3，所以cosA =32+42?222×3×4=78，因为A ∈(0,π)，所以sinA =√1?(78)2=√158，所以△ABC 的⾯积为=12bcsinA =12×3×4×√158=3√154解析：本题考查平⾯向量的数量积、垂直的应⽤、考查两⾓和与差的三⾓函数、正弦定理、余弦定理以及三⾓形⾯积公式的运⽤，考查计算能⼒和转化能⼒，属于中档题．(1)由⊥m n?，可得b(cosA?2cosC)+(a?2c)cosB=0，根据正弦定理可得，sinBcosA?2sinBcosC+sinAcosB?2sinCcosB=0，化简即可；(2)由(1)c=2a可求c，由|m |=3√5可求b，结合余弦定理可求cos A，利⽤同⾓平⽅关系可求sin A，代⼊三⾓形的⾯积公式S=12bcsinA可求．18.答案：解：(1)∵tan?α=34，∴tan?(α+π4)=tanα+tanπ41?tanα·tanπ4=34+11?34×1=7．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)=?cos(?20°+?40°)=?cos60°=?12．解析：本题主要考查了两⾓和差公式，三⾓函数的化简与求值，属于较易题．(1)利⽤两⾓和的正切公式直接代值求解．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)，利⽤两⾓和的余弦公式求解．19.答案：解：，∴ab=4 ①，⼜c2=a2+b2?2abcosC,c=2，∴a2+b2?2ab=4 ②，由①②得a+b=4;(2)∵√3(bsinC?ccosBtanC)=a，∴∵√3(sinBsinC?sinCcosBcosCsinC)=sinA，∴?√3cos(B+C)=sinA，∴tanA=√3，⼜，．解析：本题考查解三⾓形和三⾓恒等变换，考查推理能⼒和计算能⼒，属于⼀般题．(1)利⽤三⾓形的⾯积公式和余弦定理即可求解；(2)由正弦定理和三⾓恒等变换公式得tanA=√3，结合范围即可求出A．20.答案：解：(1)设该扇形的半径为r⽶，连接CO.由题意，得CD=500(⽶)，DA=300(⽶)，∠CDO=60°，在△CDO中，CD2?+OD2?2CD?OD?cos60°=OC2，即，5002+(r?300)2??2×500×(r?300)×1 2=r?2，解得r=490011≈445(⽶)．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，在△DOC中，由正弦定理得：CDsinθ=DOsin(2π3θ)=OCsinπ3=√3，于是CD=3，DO=3sin(2π3θ)，则DC+DO=√3+sin(2π3θ)]=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，所以当θ=π3时，DC+DO最⼤为 2a，此时C在弧AB的中点处．解析：本题主要考查解三⾓形在实际问题中的运⽤，属于中档题．(1)连接OC，由CD//OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，由正弦定理，三⾓恒等变换可求DC+DO=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，利⽤正弦函数的性质可求最⼤值，即可得解．。
高一数学任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角的三角函数试题答案及解析1.若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于()A．2B．－2C．2或－2D．0【答案】D【解析】解法一：∵α的终边在直线y＝－x上，∴tanα＝－1，∴原式＝＋，(1)当α在第二象限时，原式＝－tanα＋tanα＝0；(2)当α在第四象限时，原式＝tanα－tanα＝0.解法二：∵角α的终边在直线y＝－x上，∴α＝kπ－(k∈Z)，∴sinα与cosα符号相反，∴＋＝＋＝0.2.若sinα＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α＝()A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】sinα＝1－sin2α＝cos2α，∴原式＝sinα＋sin2α＝1.3.已知α是第三象限角，化简－.【答案】－2tanα.【解析】原式＝－＝－＝－∵α是第三角限角，∴cosα<0，∴原式＝－＝－2tanα.4.已知tanα＝，求下列各式的值．(1)＋；(2)；(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α.【答案】（1）（2）（3）【解析】(1) ＋＝＋＝＋＝.(2)＝＝＝.(3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α＝＝＝＝.5.下列命题中为真命题的是()A．三角形的内角必是第一象限角或第二象限角B．角α的终边在x轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点C．终边在第二象限的角是钝角D．终边相同的角必然相等【答案】B【解析】三角形的内角有可能是，属非象限角；终边在第二象限的角不一定是钝角；终边相同的角不一定相等，故A、C、D都不正确．6.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边()A．在x轴上B．在y轴上C．在直线y＝x上D．在直线y＝x或y＝－x上【答案】B【解析】∵sinα＝1或sinα＝－1，∴角α的终边在y轴上．7.利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是()A．sin1>sin1.2>sin1.5B．sin1>sin1.5>sin1.2C．sin1.5>sin1.2>sin1D．sin1.2>sin1>sin1.5【答案】C【解析】因为，1.5，那么利用结合三角函数线可知sin1.5>sin1.2>sin1，选C8.已知θ∈，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是a、b、c，则它们的大小关系是()A．a>b>c B．c>a>bC．c>b>a D．b>c>a【答案】B【解析】如图，AT>MP>OM，即c>a>b.9.若α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝，则这个三角形是()A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】D【解析】当0<α≤时，由单位圆中的三角函数线知，sinα＋cosα≥1，而sinα＋cosα＝，∴α必为钝角．10.已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是()A．若α、β是第一象限角，则cosα>cosβB．若α、β是第二象限角，则tanα>tanβC．若α、β是第三象限角，则cosα>cosβD．若α、β是第四象限角，则tanα>tanβ【答案】D【解析】如图(1)，α、β的终边分别为OP、OQ，sinα＝MP>NQ＝sinβ，此时OM<ON，∴cosα<cosβ，故A错；如图(2)，OP、OQ分别为角α、β的终边，MP>NQ，∴AC<AB，即tanα<tanβ，故B错；如图(3)，角α，β的终边分别为OP、OQ，MP>NQ即sinα>sinβ，∴ON>OM，即cosβ>cosα，故C错，∴选D.11.利用单位圆中的三角函数线解不等式(组)：(1)3tanα＋>0；(2).【答案】（1），k∈Z.（2），k∈Z.【解析】(1)要使3tanα＋>0，即tanα>－.由正切线知kπ－<α<kπ＋，k∈Z.∴不等式的解集为，k∈Z.(2)不等式组即为区域(Ⅰ)为sin x>，区域(Ⅱ)为cos x≤.区域(Ⅰ)与(Ⅱ)公共部分为不等式组的解，即不等式组解集为，k∈Z.12.已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sinα，cosα，tanα的值．【答案】sinα＝＝－，cosα＝＝－，tanα＝2【解析】(1)当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点A(1,2)，由r＝|OA|＝＝得，sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝2.(2)当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点B(－1，－2)，由r＝|OB|＝＝得，sinα＝＝－，cosα＝＝－，tanα＝2.13.函数y＝＋＋的值域是()A．{－1,1,3}B．{1,3}C．{－1,3}D．R【答案】C【解析】∵该函数的定义域是{x|x∈R且x≠，k∈Z}，∴当x是第一象限角时，y＝3；当x是第二象限角时，y＝1－1－1＝－1；当x是第三象限角时，y＝－1－1＋1＝－1；当x是第四象限角时，y＝－1＋1－1＝－1.综上，函数的值域是{－1,3}．14.设a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，那么sinα＋2cosα的值等于() A．B．－C．D．－【答案】A【解析】∵a<0，角α终边经过点P(－3a,4a)，∴r＝－5a，sinα＝－，cosα＝，∴sinα＋2cosα＝，∴选A.15. sin1，cos1，tan1的大小关系为()A．sin1>cos1>tan1B．sin1>tan1>cos1C．tan1>sin1>cos1D．tan1>cos1>sin1【答案】C【解析】设1rad角的终边与单位圆交点为P(x，y)，∵<1<，∴0<x<y<1，从而cos1<sin1<1<tan1.16.已知|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则的终边在()A．第二、四象限B．第一、三象限C．第一、三象限或x轴上D．第二、四象限或x轴上【答案】D【解析】∵|cosθ|＝cosθ，∴cosθ≥0，又|tanθ|＝－tanθ，∴tanθ≤0，∴2kπ＋<θ≤2kπ＋2π，∴kπ＋<≤kπ＋π，k∈Z.∴应选D.17.设0≤θ<2π，如果sinθ>0且cos2θ>0，则θ的取值范围是() A．0<θ<B．0<θ<或<θ<πC．<θ<πD．<θ<【答案】B【解析】∵0≤θ<2π，且sinθ>0，∴0<θ<π.又由cos2θ>0得，2kπ－<2θ<2kπ＋，即kπ－<θ<kπ＋ (k∈Z)．∵0<θ<π，∴θ的取值范围是0<θ<或<θ<π.18.判断符号，填“>”或“<”：sin3·cos4·tan5________0.【答案】>【解析】<3<π，π<4<，<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3cos4tan5>0 19.已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cosα≤0，sinα>0，求角α的取值范围．【答案】－2<a≤3【解析】∵cosα≤0，sinα>0，∴角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上，∵α终边过(3a－9，a＋2)，∴，∴－2<a≤3.20.设θ是第三象限角，且满足＝－sin，试判断所在象限．【答案】为第四象限角【解析】∵θ是第三象限角，∴2kπ＋π<θ<2kπ＋π，k∈Z.∴kπ＋<<kπ＋π，k∈Z.∴在第二、四象限内．又∵＝－sin，∴sin≤0.∴为第四象限角．。
高一数学 知识点 三角函数及恒等公式 经典题 常考题 50道 含答案及解析
高一数学三角函数及恒等公式经典题常考题50道一、单选题1.函数y=cosx|tanx|（0≤x＜且x≠ ）的图象是下图中的（）A. B.C. D.【答案】C【考点】同角三角函数基本关系的运用，正弦函数的图象【解析】【解答】解：当0 时，y=cosxtanx≥0，排除B，D．当时，y=﹣cosxtanx＜0，排除A．故选：C．【分析】根据x的范围判断函数的值域，使用排除法得出答案．==========================================================================2.若α，β都是锐角，且，则cosβ=（）A. B. C.或 D.或【答案】A【考点】两角和与差的余弦函数【解析】【解答】解：∵α，β都是锐角，且，∴cosα= = ，cos（α﹣β）= = ，则cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）= += ，故选：A．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式，求得cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]的值．==========================================================================3.设为锐角，若cos = ，则sin 的值为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】二倍角的正弦【解析】【解答】∵为锐角，cos = ，∴∈，∴= = ．则sin =2 . 故答案为：B【分析】根据题意利用同角三角函数的关系式求出正弦的值，再由二倍角的正弦公式代入数值求出结果即可。
==========================================================================°sin105°的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值【解析】【解答】sin15°sin105°=sin15°cos15°= sin30°= ，故答案为：A．【分析】利用诱导公式转化已知的三角函数关系式求出结果即可。
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知是第四象限角，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用切化弦以及求解即可．，又是第四象限角，,故选：D.【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知，则= ；【答案】【解析】分子分母同除，便会出现,【考点】三角函数的计算3.已知，则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】本题主要考查三角函数求值.由，故选C.【考点】诱导公式，三角函数求值.4.已知．【答案】.【解析】对式子两边平方，得，从而.【考点】同角三角函数基本关系（平方关系），注意通过平方可与联系.5.若，则．【答案】【解析】因为==，故.考点:角的配凑；诱导公式6.在中，若，则的形状是A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】A【解析】由题知====，所以，所以，故选A．【考点】诱导公式；两角与差的正弦公式7.已知，则______________．【答案】3【解析】对分子分母同除以得===3．【考点】同角三角函数基本关系式8.已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为．【答案】【解析】因为，所以而所以由得，因此或∵x、y为正数，∴【考点】同角三角函数关系，消参数9.化简：.【答案】【解析】此类化简题的关键在于诱导公式的使用，要能够理解诱导公式口决“奇变偶不变，符号看象限”的意义，奇偶指的是的倍数如，中是的偶数倍，4倍，中是的奇数倍，11倍；符号看象限，指的是使用诱导公式时，将看成锐角时的所在的象限，不管题中的范围,如中，为锐角时，为第四象限角，则符号为负，故可知.当然也可用诱导公式层层推进.本题由诱导公式易化简.解：原式=.【考点】诱导公式.10.求的值域.【解析】可利用同角三角函数的基本关系式将函数化为利用换元法令原函数变为一元二次函数，可用一元二次函数求值域的方法解，注意的取值范围.解：原函数可化为令可得则【考点】同角三角函数的基本关系式,一元二次函数求值域.11.已知α∈，.(1) 求值； (2)求的值.【答案】(1) ; (2).【解析】应用公式时注意方程思想的应用；对于，，这三个式子，利用，可以知一求二.解：由，知,即，可得又,可得.【考点】同角的三角函数基本关系式.12.已知，则（）A．2B．1C．4D．【答案】A【解析】本题考查同角三角函数基本关系式,齐次式求值，先利用分子、分母同除以原式=，带人可得答案为A,【考点】不等式的性质13.（1）化简：(2)已知tan α＝3，计算的值．【答案】（1）原式=； (2).【解析】用诱导公式和同角三角函数之间的关系化简即可.1）原式=4分2）由原式==....8分【考点】诱导公式、同角三角函数之间的关系.14.已知均为锐角，且，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）的值为；（2）的值为．【解析】（1）由同角三角函数的基本关系：即可求出结果；（2）因为，用恒等变换公式可求的值．试题解析：（1）∵，从而．又∵，∴． 4分∴． 6分（2）由（1）可得，．∵为锐角，，∴． 10分∴ 12分。