浙江省嘉兴市2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题(word版)
嘉兴市2015—2016学年第一学期期末检测 高二数学 试题卷 （2016.1） 【考生须知】 1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答； 2．本科考试时间为120分钟，满分为100分． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请从A、B、C、D四个选项中选出一个符合题意的正确选项填入答题卷，不选、多选、错选均得零分．）
1．不等式0322xx的解集是 A．3|{xx或}1x B．1|{xx或}3x C．}31|{xx D．}13|{xx
2．命题“若3x，则92x”的逆否命题是 A．若3x，则92x B．若92x，则3x C．若92x，则3x D．若92x，则3x 3．若ba，是任意的实数，且ba，则 A．ba B．1ab C．balglg D．ba)21()21(
4．已知点)000(，，A，)1,0,1(B，)1,1,0(C，则平面ABC的一个法向量m是 A．)1,1,1( B．)1,1,1( C．)1,1,1( D．)1,1,1( 5．已知a，b，c是实数，则“ba”是“22bcac”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．如图，记正方形ABCD四条边的中点为S、M、N、T，连接四个中点得小正方形SMNT．将正方形ABCD、正方形SMNT绕对角线AC旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记为1V，2V，则21:VV A．1:8 B．1:2 C．3:4 D．3:8 7．设cba,,是三条不同的直线，,,是三个不同的平面，已知a，b，c，下列四个命题中不一定成立．．．．．的是
A．若a、b相交，则a、b、c三线共点 B．若a、b平行，则a、b、c两两平行 C．若a、b垂直，则a、b、c两两垂直 D．若，，则a 8．如图，在四棱锥BCDA中，△ABD、△BCD均为正三角形，且平面ABD平面BCD，点MO,分别为棱ACBD,的中点，则异面直线AB与OM所成角的余弦值为
A．46 B．23 C．33 D．462 9．若实数x、y满足0xy，则yxyyxx22的最大值为 A．22 B．22 C．224 D．224 10．如图，底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥ABCDV可绕着棱AB任意旋转，若AB平面，M、N分别是AB、CD的中点，2AB，5VA，点V在平面上的射影为点O．则当ON的最大时，二面角OABC的大小是
A．90 B．105 C．120 D．135
TABCD
NM
S
（第6题） A
BCD
OM
（第8题）
（第10题） VN
M
D
CBA
O二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分．请将答案写在答题卷上．） 11．已知)1,0,1(a，)1,1,(tb，ba，则t ▲ ． 12．已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 ▲ ．
13．已知集合0)13)(1(xaxxAaxx131，则a的取值范围是 ▲ ． 14．如图，在正方体1111DCBAABCD中，CB1和1BC相交于点O，若1DDzDCyDAxDO，则yx ▲ ．
15．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是 ▲ ． 16．已知kji，，为两两垂直的单位向量，kjiAB42，kjiAC2，则AB与AC
夹角的余弦值为 ▲ ． 17．已知实数yx,满足42422xyyx，则yx2的最大值是 ▲ ． 18．如图，在三棱柱222111CBACBA中，各侧棱均垂直于底面，90111CBA，31111CBBA，2211NBMC，则直线11CB与平面MNA1所成
角的正弦值为 ▲ ． 1A
2B2C
1C1B（第18题）
2AM
N
（第14题） ABCD1A1
B
1C1D
O（第15题） 正视图 243侧视图
243
俯视图 24
2三、解答题（本大题有4小题， 共36分．请将解答过程写在答题卷上．） 19．（本题8分） 解下列不等式： （1）xx12； （2）5132xx． 20．（本题8分） 已知0m，0n，nmx，nmy161． （1）求xy的最小值； （2）若152yx，求x的取值范围． 21．（本题10分） 已知四棱锥ABCDP的底面是菱形，PA面ABCD， 2ADPA，60ABC，E为PD中点． （1）求证：//PB平面ACE；
（2）求二面角DACE的正切值． 22．（本题10分） 在梯形ABCD中，BCAD//，90ABC，点M、N分别在边AB、BC上，沿直线MD、DN、NM，分别将△AMD、△CDN、△BNM折起，点CBA,,重合于一点P． （1）证明：平面PMD平面PND； （2）若53cosDPN，5PD，求直线PD与平面DMN所成角的正弦值．
BAPDC
E
（第21题）
PBMA
CD
NMD
N（第22题） 嘉兴市2015—2016学年第一学期期末检测 高二数学 参考答案 （2016.1）
一、选择题（每小题4分，共40分） 1、A； 2、C； 3、D； 4、B； 5、A； 6、D； 7、C； 8、A； 9、C； 10、B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11、1； 12、3； 13、3a； 14、21；
15、101220； 16、4214； 17、4； 18、1111． 三、解答题（有6小题，共36分） 19．（本题8分）解下列不等式： （1）xx12； （2）5132xx． 解：（1）131x； …4分 （2）31x或3x． …4分 20．（本题8分）已知0m，0n，nmx，nmy161． （1）求yx的最小值； （2）若152yx，求x的取值范围． 解：（1）251617)161)((nmmnnmnmyx， 当且仅当mn4时，)161)((nmnmxy有最小值25； …4分 （2）∵25yx，且xxyx1522， ∴0251522xx，即525x． …4分 21．（本题10分）已知四棱锥ABCDP的底面是菱形，PA面ABCD，2ADPA，60ABC，E为PD中点． （1）求证：//PB平面ACE；（2）求二面角DACE的正切值．
解：（1）记OACBD，连结OE． ∵四棱锥ABCDP的底面是菱形，∴O为BD中点． 又∵E为PD中点，∴PBEO// 又∵PB平面ACE，EO平面ACE， 故//PB平面ACE； …4分 （2）如图，取AD的中点F，过F作ACFG，垂足为点G， 连接EG，则EGF为二面角DACE的平面角，
在Rt△EFG中，23,1FGEF，故332tanEGF，
即二面角DACE的正切值为332． …6分 22．（本题10分）在梯形ABCD中，BCAD//，90ABC，点M、N分别在边AB、BC上，沿直线MD、DN、NM，分别将△AMD、△CDN、△BNM折起，点CBA,,
重合于一点P． （1）证明：平面PMD平面PND； （2）若53cosDPN，5PD，求直线PD与平面DMN所成角的正弦值．
解：（1）∵PDPM，PNPM，且PPNPD，∴PM平面PND，又∵PM平面PMD，∴平面PMD平面PND；…4分 （2）∵53cosDPN，5PD，∴在图1中有53cosDCN，5CD，即可知2BMAM，4NCBN，∴8DNCPDNSS， 9DNCBMNAMDABCDMNDSSSSS梯形，又∵PNDMMNDPVV，即可得点
P
到平面DMN的距离为916，∴直线PD与平面DMN所成角的正弦值为4516．…6分 命题人：杨月荣、张启源、吴明华
PBMA
CD
NMD
N（第22题）
（第21题） BAPDC
EFGO
【全国百强校】浙江省嘉兴市第一中学2015-2016学年高二12月月考数学试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共30分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. “直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 ( )A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件【答案】C考点：1、充分条件与必要条件的判定；2、直线与平面垂直的性质与判定定理．【易错点睛】直线和平面垂直的判定定理是判定直线和平面垂直的理论依据，它可以将要证线面垂直问题，转化成证线线垂直问题．定理中的三个条件：两个线线垂直和一个相交条件推得结论．三个条件缺一不可，尤其是最后一个——两条相交直线这一条件极易忽视．2.在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是( )【答案】C【解析】试题分析：当0a >时，两直线均表示增函数，在y 轴上的截距一个为0，一个大于零；当0a <时，两直线表示的函数一增一减，增函数的截距小于零，减函数截距为0，综上可知选C ．考点：函数的方程与图象．3.已知m n ，表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αC ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】C【解析】试题分析：A 中，两直线,m n 可能平行也可能相交或异面，故A 错；B 中，直线与α可能平行也可能在平面α内，故B 错；C 中，由线面垂直的定义可知C 正确；D 中，直线n 可能与面α相交，也可能平行，还可能在面α内，故D 错，故选C ．考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、空间直线与平面的位置关系．4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )俯视图侧视图正视图1211A．2+ B ．2+．4+ D ．5【答案】B考点：1、空间几何体的三视图；2、三棱锥的表面积．5.已知直线l 过点(1,2)P -,且在x 轴和y 轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程为( )A ．30x y --=B ．1020x y x y ++=+=或C ．3020x y x y --=+=或D ．103020x y x y x y ++=--=+=或或 【答案】C【解析】试题分析：当直线过原点及()1,2-时，直线为20x y +=；当直线不过原点时，设直线为1x y a a +=-，代入()1,2-，得3a =，所以方程为30x y --=，故选C ．考点：直线的方程．【易错点睛】对于直线的截距方程1x y a b+=中应注意：（1）其中a 为直线在x 轴上的截距，b 为直线在y 轴上的截距；（2）截距是坐标而不是距离，可正可负可为零．因此在解题过程设截距方程时，要分直线过原点和不过原点讨论，否则易造成漏解．6.四面体ABCD 中，各棱长相等，M 是CD 的中点，则直线BM 与平面ABC 所成角的正弦值为( )A.32 B ．21 C ． 36 D ．32 【答案】D考点：1、直线与平面的所成角；2、正四面体的性质；3、空间向量的应用．7.两个圆2221240()C x y ax a a +++-=∈R ：与2222210()C x y by b b +--+=∈R ：恰有三条公切线，则a b +的最小值为( )A 、B 、C 、、【答案】C【解析】试题分析：由圆的方程知，圆1C 的圆心为(,0)a -，半径为2，圆2C 的圆心为(0,)b ，半径为1．因为两圆有三条公切线，则两圆外切，所以12||3C C ==，即229a b +=．因为222a b ab +≥，所以6-3--3222222()2()a b a b ab a b +≥++=+，所以a b -≤+≤，故选C ．考点：1、圆与圆的位置关系；2、基本不等式．8.一束光线从点A （－1, 1）出发经x 轴反射，到达圆C ：22231x y =(-)+(-)上一点的最短路程( )A 、 4B 、 5C 、32－1D 、26【答案】A考点：直线与圆的位置关系．9.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm ，将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6c ，如果不计容器的厚，则球的体积为( )A.35003cm π B ．38663cm π C ．313723cm πD ．320483cm π 【答案】A【解析】试题分析：设正方体上底面所在平面截球可得小圆记为M ，则圆心M 为正方体上底面正方形的中心，如图所示．设球的半径为R ，根据题意知球心到上底面的距离为2R -，而圆M 的半径为4，由球的截面圆的性质，得222(2)4R R =-+，解得5R =，所以该球的体积为33445005333V R πππ==⨯=3cm ，故选A ．考点：球的体积．10.如图，矩形ABCD 中，2AB AD =,E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆．若M 为线段1AC 的中点，则在ADE ∆翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( )A ．|BM |是定值B ．点M 在某个球面上运动C ．存在某个位置，使1DE AC ⊥ D ．存在某个位置，使MB 平面1A DE 【答案】C考点：1、空间直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定和性质定理；2、余弦定理；3、空间角．DEDE第Ⅱ卷（共70分）二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）11.如果两条直线1l :260ax y ++=与2l :(1)30x a y +-+=平行，那么a 的值为 .【答案】1-【解析】试题分析：由题意，得(1)2a a -=，解得1a =-或2a =，而当2a =时，两直线重合，所以1a =-． 考点：两直线平行的充要条件．12.已知()0,0,0O ，()2,2,2A --,()1,4,6B - ,8(,)8C x -， ,若O A B C 、、、四点共面，则x = ． 【答案】8【解析】试题分析：由条件，得(2,2,2)OA =-- ，(1,4,6)OB =- ，(,8,8)OC x =-，因为O A B C 、、、四点共面，则有(,8,8)(2,2,2)(1,4,6)x λμ-=--+-，即2824826x λμλμλμ=-+⎧⎪-=+⎨⎪=--⎩，解得8x =．考点：共面问题．13.空间四边形ABCD 中，AB CD ＝且AB 与CD 所成的角为30°，E F 、分别为BC AD 、的中点，则EF与AB 所成角的大小为 .【答案】15度或75度【解析】试题分析：取AC 的中点G ，连结EG FG 、，则12EG AB ，12GF CD ，又AB CD ＝，所以EG FG ＝，所以GEF ∠（或它的补角）为EF 与AB 所成的角，EGF ∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角．因为AB 与CD 所成的角为30︒，所以0EGF ∠︒＝3或150︒，则当30EGF ∠︒＝时，75GEF ∠︒＝；当150EGF ∠︒＝时，15GEF ∠︒＝，故EF 与AB 所成的角为15︒或75︒．考点：异面直线所成的角．【方法点睛】异面直线所成的角的范围为]900︒︒，（，而其求法是通过平移放在某三角形内求角，但是应注意平移后所得到的角可能是两条异面直线所成的角也可能是其补角．在解题过程中通常通过中位线进行平移．14.已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆22(1)()4x y a -+-=相交于A B 、两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数a = .【答案】4考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离．15.已知实数,x y 满足()2223x y -+=，则22)1(-+y x 的最大值为 .【答案】8+【解析】试题分析：22)1(-+y x 的最大值即为圆C ：()2223x y -+=上的点到定点(0,1)P 的距离的平方的最大值，即为22(||)8PC r +=+=+．考点：1、圆的方程；2、两点间的距离公式．【一题多解】根据题意设2(02)x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩，则222(1)(2)x y θ+-=＋21)θ-＝8)8θθθα-+=++，所以22max [(1)]x y +-＝8+16.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论正确的序号是 .①11DC D P ⊥ ②平面11D A P ⊥平面1A AP③1APD ∠的最大值为90 ④1AP PD +【答案】①②④考点：1、正方体的性质；2、空间直线与直线、平面与平面垂直的判定．三、解答题（第17,18题每题10分，第19题12分，第20题14分）17.如图，ABC ∆的顶点(3,2)A ，C ∠的平分线CD 所在直线方程为10y -=，AC 边上的高BH 所在直线方程为4290x y +-=.（1）求顶点C 的坐标；（2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）(1,1)C ；（2）1．∴||AC ==又∵点B 到直线AC 的距离d = ∴1||12ABC S AC d ∆==. 考点：1、直线的斜率；2、直线的方程；3、点到直线的距离；4、两点间的距离公式． 【知识点睛】常见求三角形面积公式有：①h a s 底21=；②A bc B ac C ab s sin sin sin 212121===；③r c b a s )(++=21（其中r 为三角形的内切圆半径）；④Rabc s 4=（其中R 为三角形的外接圆半径），在解答过程中根据题设条件选择．18.如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四边形，⊥PG 平面ABCD ，垂足为G ，G 在线段AD 上，GD AG 31=，GC BG ⊥，2==GC BG ，E 是BC 的中点，四面体BCG P -的体积为38．（1）求异面直线GE 与PC 所成角的余弦值；（2）棱PC 上是否存在点F ，使GC DF ⊥，若存在，求FCPF 的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1（2）3PF FC=．考点：1、四棱锥的体积；2、空间直线与直线所成的角；3、空间直线与直线垂直的判定；4、空间向量的应用．19.如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC ==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于E ，AC PF //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ．B FP A F C 'B 'A E（1）求证：//'C B 平面PE A '．（2）设λ=PBAP ，当λ为何值时，二面角P B A C --''的大小为︒60？ 【答案】（1）见解析；（2）λ=． 【解析】 试题分析：（1）先由条件中的平行关系可得FC 平面A PE '，再由条件中面面垂直关系可得B F ' 平面A PE '，从而得平面B CF ' 平面A PE '，进而使问题得证；（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标及相应向量，然后分别求出平面CA B ''与PA B ''的一个法向量，再用夹角角公式得到关于λ的方程求解即可．试题解析：（1）因为PE FC //，⊄FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '．平面''B CA 的一个法向量)1,,1(-=λλm ，平面''B PA 的一个法向量)1,1,1(=n ． 2160cos 311|11|||||22=︒=⋅++-+=λλλλn m ， 化简得0988122=+--+λλλλ，解得2537±=λ． 考点： 1、空间直线与平面平行的判定；2、二面角；3、空间向量的应用．【方法点睛】解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；求二面角，则通过两个半平面的法向量的夹角间接求解．20.已知圆心为M 的圆方程为22:(4)4x y +-=，点P 是直线:20l x y -=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA PB ，，切点为A B ，.（1）当切线PA 的长度为P 的坐标；（2）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 在直线l 上运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由.（3）求线段AB 长度的最小值.【答案】（1）(0,0)P 或168(,)55P ；（2）定点(0,4)，84(,)55；（3．（3）因为圆N 方程为222244(4)()()24b b b x b y ++--+-=， 即222(4)40x y bx b y b +--++=，圆M ：22(4)4x y +-=，即228120x y y +-+=，②-①得：圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为：2(4)1240bx b y b +-+-=，考点：1、直线与圆的位置关系；2、圆与圆的位置关系；3、点到直线的距离；4、弦长公式．【方法点睛】过圆外一点P向圆作切线，求切线长问题，常常在以点P、切点、圆心为顶点的三角形内利用勾股定理求解．当圆外点P在某直线上运动时，求何时切线最短，并求最小值问题，同样在该三角形内利用勾股定理分析，半径为定值，要使切线最短只需点P与圆心连线最短即可，所以过圆心向直线作垂线垂足即为点P，此时切线长最短．高考一轮复习：。
【数学】2015-2016年高二上数学期末试卷与答案
南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学卷2016.01一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．1．命题：“ x ∈Q ，x 2－8＝0”的否定是▲．2．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px 经过点(4，2)，则实数p ＝▲．3．在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＋21＝0的半径为▲．4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程是▲．5．已知p ：0＜m ＜1，q ：椭圆x 2m ＋y 2＝1的焦点在y 轴上，则p 是q 的▲条件（用“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”填空）．6．函数f (x )＝x ＋sin x 的图象在点O (0，0)处的切线方程是▲．7．已知实数x ，y≥1，≥0，＋y ≤2，则z ＝x －2y 的最大值是▲．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以正方形ABCD 的两个顶点A ，B 为焦点，且过点C 、D 的双曲线的离心率是▲．9．函数f (x )＝xex （e 为自然对数的底数）的最大值是▲．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (3，0)，动点P 满足2PO ＝PA ，则点P的轨迹方程是▲．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到点A (3，0)的距离等于它到准线的距离，则PA ＝▲．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝3x ，y ＝0，x ＝t (t ＞0)围成的△OAB 的面积为S (t )，则S (t )在t ＝2时的瞬时变化率是▲．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0和圆M ：x 2＋y 2＝9．若圆M 上存在点P ，使得P 到直线l 的距离为2，则实数m 的取值范围是▲．14．已知函数y ＝x 3－3x 在区间[a ，a ＋1](a ≥0)上的最大值与最小值的差为2，则满足条件的实数a 的所有值是▲．xO y A B CD(第8题)二、解答题：本大题共6小题，共计58分．15．（本题满分8分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点(0，2)，其焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P在椭圆C上，且PF1＝4，求△PF1F2的面积．16．（本题满分10分）已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|x2－ax＜0}．（1）若a＝2，求A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过点A (1，0)，B (3，0)，C (0，1)．（1）求圆M 的方程；（2）若直线l ：mx －2y －(2m ＋1)＝0与圆M 交于点P ，Q ，且MP →·MQ →＝0，求实数m 的值．18．（本题满分10分）A 、B 两地相距300km ，汽车从A 地以v km/h 的速度匀速行驶到B 地（速度不超过60km/h ）．已知汽车每小时．．．的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v 的立方成正比，比例系数为11000．设全程的运输成本为y 元．（1）求y 关于v 的函数关系；（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？已知函数f(x)＝ln x．（1）若直线y＝2x＋p(p∈R)是函数y＝f(x)图象的一条切线，求实数p的值．（2）若函数g(x)＝x－mx－2f(x)(m∈R)有两个极值点，求实数m的取值范围．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2m＋8＋y2m＝1(m＞0)的离心率为63．（1）求m的值；（2）设点A为椭圆C的上顶点，问是否存在椭圆C的一条弦AB，使直线AB与圆(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)相切，且切点P恰好为线段AB的中点？若存在，求满足条件的所有直线AB的方程和对应的r的值；若不存在，说明理由．南京市2015－2016学年度第一学期高二期末调研数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．∀x ∈Q ，x 2－8≠02．123．24．y ＝±x 5．充要6．y ＝2x7．28．2＋19．1e10．x 2＋y 2＋2x －3＝011．312．2313．[－52，52]14．0和3－1二、解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．解（1）由题意可知，c ＝5，b ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝9，……………………2分所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1．……………………4分（2）方法（一）由（1）可知，F 1F 2＝25，PF 1＋PF 2＝6，又PF 1＝4，所以PF 2＝2，…………………6分所以PF 12＋PF 22＝F 1F 22，所以PF 1⊥PF 2，所以△PF 1F 2的面积为12×PF 1·PF 2＝4．……………………8分方法（二）由（1）可知e ＝53，设P (x 0，y 0)，因为PF 1＝4，所以3＋53x 0＝4，解得x 0＝35，…………………6分代入方程得15＋y 024＝1，解得|y 0|＝45，所以△PF 1F 2的面积为12×25×45＝4．……………………8分16．解（1）当a ＝2时，B ＝{x |0＜x ＜2}．………………………3分所以A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}．………………………5分（2）a ＝0时，B ＝∅，a ＜0时，B ＝{x |a ＜x ＜0}，a ＞0时，B ＝{x |0＜x ＜a }．…………7分因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以a ≥3，即实数a 的取值范围为[3，＋∞)．……………………10分17．解（1）方法（一）设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，＋F＋1＝0，D＋F＋9＝0，＋F＋1＝0，…………………………2分＝－4，＝－4，＝3．所以圆M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0．……………………4分方法（二）线段AC的垂直平分线的方程为y＝x，线段AB的垂直平分线的方程为x＝2，＝x，＝2，解得M(2，2)．……………………2分所以圆M的半径r＝AM＝5，所以圆M的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5．……………………4分（2）因为·＝0，所以∠PMQ＝π2．又由（1）得MP＝MQ＝r＝5，所以点M到直线l的距离d＝102．………………………8分由点到直线的距离公式可知，|2m－4－2m－1|m2＋4＝102，解得m＝±6．………………………10分18．解（1）由题意知y＝(v31000＋250)×300v＝300(v21000＋250v)（0＜v≤60）．……………………4分（2）设f(v)＝v21000＋250v，v＞0，则f′(v)＝v500－250v2，由f′(v)＝0得，v＝50，……………………6分当0＜v＜50时，f′(v)＜0，当50＜v＜60时，f′(v)＞0，…………………8分所以v＝50时，f(v)取得最小值，即y取得最小值．答：为使全程运输成本最小，汽车应以50km/h速度行驶．………………10分19．解（1）方法（一）由题意知f ′(x )＝1x．设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则1x 0＝2，解得x 0＝12，所以切点的坐标为(12，－ln2)，代入直线y ＝2x ＋p ，解得p ＝－1－ln2．……………………4分方法（二）f ′(x )＝1x，设切点的坐标为(x 0，ln x 0)，则切线的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0·x ＋ln x 0－1，又切线方程为y ＝2x ＋p ，2，ln x 0－1，解得p ＝－1－ln2．…………………4分（2）函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，且g ′(x )＝1＋m x 2－2x ＝x 2－2x ＋mx 2．………………6分由题意可知，关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不相等的正根x 1，x 2，…………………8分＞0，4－4m ＞0，解得0＜m ＜1．即实数m 的取值范围是(0，1)．…………………10分20．解（1）由题意a 2＝m ＋8，b 2＝m ，所以c 2＝a 2－b 2＝8．又椭圆的离心率为63，所以8m ＋8＝23，解得m ＝4．…………………3分（2）由（1）知椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1，所以A (0，2)．假设存在椭圆C 的一条弦AB 满足条件．方法（一）当AB 斜率不存在时，AB 的方程为x ＝0，显然符合题意，此时P (0，0)，r ＝1．……………………4分当AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，P (x 0，y 0)，x 2＋3y 2＝12，y ＝kx ＋2，消去y ，整理得，(1＋3k 2)x 2＋12kx ＝0，解得x ＝0或x ＝－12k1＋3k 2，……………………6分所以x 0＝－6k1＋3k 2，y 0＝21＋3k2．由21＋3k 2－0－6k 1＋3k 2－1×k ＝－1，得3k 2＋4k ＋1＝0，解得k ＝－1或k ＝－13．………………………9分所以直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22，或直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22；直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．……………………10分方法（二）设P (x 0，y 0)，则B (2x 0，2y 0－2)．因为B 在椭圆C 上，所以(2x 0)2＋3(2y 0－2)2＝12，即x 20＋3(y 0－1)2＝3，所以x 20＋3y 20－6y 0＝0．①……………………5分设M (1，0)，则MP ⊥AB ，所以·＝0，即2x 0(x 0－1)＋(2y 0－4)y 0＝0，x 20＋y 20－x 0－2y 0＝0．②…………………7分0＝0，0＝0，0＝0，0＝2，(舍)0＝32，0＝32，0＝32，0＝12．当点P 为(0，0)时，直线AB 方程为x ＝0，r ＝1；当点P 为(32，32)时，直线AB 方程为y ＝－13x ＋2，r ＝102．当点P 为(32，12)时，直线AB 方程为y ＝－x ＋2，r ＝22．综上，存在这样的弦AB ．直线AB ：x ＝0，r ＝1；直线AB ：y ＝－x ＋2，r ＝22；直线AB ：y ＝－13x ＋2，r ＝102．……………………………10分。
2015-2016学年浙江省嘉兴市高一(上)期末数学试卷
2015-2016学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请从A ，B ，C ，D 四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分．）1. 已知集合M ={1, 2, 3}，N ={2, 3, 4}，则( ) A.N ⊆M B.M ⊆N C.M ∩N ={2, 3} D.M ∪N ={1, 4}2. 已知函数f(x)={log 2x ，x >03x ，x ≤0，则f[f(14)]的值是( )A.9B.19C.−19D.−93. 若非零向量a →，b →满足|a →|=|b →|=|a →+b →|，则a →与b →的夹角为（ ）A.π3 B.π6C.π2D.2π34. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A.y =x +1x B.y ＝x +e x C.y =√1+x 2D.y =2x +12x5. 函数f(x)=x −3+log 3x 的零点所在的区间是（ ） A.(1, 3) B.(0, 1) C.(4, +∞) D.(3, 4)6. 在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若BC →=2CD →，且AE →=λAB →+34AC →，则λ=( )A.14 B.−14C.−13D.137. 函数f(x)=(1−x)|x −3|在(−∞, a]上取得最小值−1，则实数a 的取值范围是（ ） A.[2−√2，2] B.(−∞, 2]C.[2, +∞)D.[2,2+√2]8. 设奇函数f(x)在(0, +∞)上为增函数，且f(√3)=0，则不等式x[f(x)−f(−x)]<0的解集为（ ）A.(−√3，0)∪(0,√3)B.(−√3，0)∪(√3,+∞)C.(−∞,−√3)∪(0,√3)D.(−∞,−√3)∪(√3,+∞)9. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC =√2，D ，E 是线段BC 上的点，且DE =13BC ，则AD →⋅AE →的取值范围是( )A.[43，83] B.[89，43]C.[89，83]D.[43，+∞)10. 设函数f(x)={3x −1,x <32x ，x ≥3，则满足f （f(a)）=2f （a ）的a 取值范围是（ ）A.[23，+∞)B.[23，43]C.[43，+∞) D.[43，+∞]∪{23}二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分，请将答案写在答题卷上）log 2√2+log 2√22=________．已知定义在R 上的偶函数f(x)，当x >0时，f(x)=0.001x ，则f(−13)=________．已知不论a 为何正实数，y =a x+2−3的图象恒过定点，则这个定点的坐标是________．设向量a →，b →不平行，向量a →+λb →与3a →+2b →平行，则实数λ=________．若方程|2x −1|=a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________．如图，定圆C 的半径为4，A 为圆C 上的一个定点，B 为圆C 上的动点，若点A ，B ，C 不共线，且|AB →−tAC →|≥|BC →|对任意的t ∈(0, +∞)恒成立，则AB →⋅AC →=________．设非空集合S ={x|m ≤x ≤l}对任意的x ∈S ，都有x 2∈S ，若m =−12，则l 的取值范围________．已知关于x 的函数y =(1−t)x−t 2x(t ∈R)的定义域为D ，存在区间[a, b]⊆D ，f(x)的值域也是[a, b]．当t 变化时，b −a 的最大值=________．三、解答题（本大题有4小题，共36分，请将解答过程写在答题卷上）已知函数f(x)=lg (x 2−x −2)的定义域为集合A ，函数g(x)=x 12，x ∈[0, 9]的值域为集合B ， （1）求A ∩B ；（2）若C ={x|3x <2m −1}，且(A ∩B)⊆C ，求实数m 的取值范围．已知向量a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，其中a →=(1,2)． （1）若|c →|=2√5，且向量c →与向量a →反向，求c →的坐标；（2）若|b →|=√52，且(a →+2b →)⋅(2a →−b →)=154，求a →与b →的夹角θ．已知函数f(x)=aa 2−1(a x −a −x )(a >0且a ≠1)． （1）判断f(x)的奇偶性；（2）当x ∈[−1, 1]时，f(x)≥m 恒成立，求m 的取值范围．已知函数f(x)=ax 2+bx +c(a ，b ，c ∈R 且a ≠0)，若对任意实数x ，不等式2x ≤f(x)≤12(x +1)2恒成立． （1）求f(1)的值；（2）求a 的取值范围；（3）若函数g(x)=f(x)+2a|x −1|，x ∈[−2, 2]的最小值为−1，求a 的值．参考答案与试题解析2015-2016学年浙江省嘉兴市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请从A，B，C，D四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分．）1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】数量来表示冷个向让又夹角平面向量三量积州运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函体奇序微病性质与判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】函数零都问判定定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】向量水较线定理平面明量息基本衡写及其意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】函根的萄送木其几何意义分段水正的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】奇偶性与根调性的助合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】平面向量三量积州运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】分段水正的应用函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分，请将答案写在答题卷上）【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】指数表数层图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平行三度的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】根的验河性及洗的个会判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平面向量三量积州运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】元素与集水根系的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法函数的较域及盛求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题有4小题，共36分，请将解答过程写在答题卷上）【答案】此题暂无答案【考点】集合体包某关峡纯断及应用交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平面向量三量积州运算平面向明的推标运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数于成立姆题函数奇三性的判刺【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二次明数织性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
【全国百强校】浙江省温州中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．“0sin =x ”是“1cos =x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B考点：充分条件、必要条件.【思路点晴】本题是一个关于充分条件、必要条件的问题，属于容易题.一般的关于充分条件与必要条件判断问题，可按如下方法步骤进行判断：设,p q 是两个命题，如果由条件p 能推出结论q 成立，则p 是q 成立的充分条件，同时q 是p 成立的必要条件；如果,p q 能够互推，则,p q 互为充要条件；如果p 能推出q ，但是q 不能推出p ，则p 是q 的充分不必要条件，如果p 不能推出q ，但是q 能推出p ，则p 是q 的必要不充分条件；如果p 不能推出q ，q 也不能推出p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.2．函数()sin(2))f x x x θθ=++（2πθ<）的图像关于点(,0)6π对称，则()f x 的增区间（ ） A ．5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ C ．5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D ．7,,1212k k k Zππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】试题分析：函数()sin(2))f x x x θθ=++（2πθ<）可化为()2sin 23f x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由于其图像关于点(,0)6π对称，所以06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2sin 03πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由于2πθ<，可解得 3πθ=，所以()22sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，进而可解得其增区间是7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦，故选D. 考点：1、单调区间；2、对称中心；3、辅助角公式.3．已知函数20()2(1)10a x f x x f x x ⎧+≤⎪=+⎨⎪-+>⎩，，，若对任意的),3(+∞-∈a ，关于x 的方程kx x f =)(都有3个不同的根，则k 等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C考点：1、分段函数；2、函数与方程.4．已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B考点：1、抛物线；2、准线；3、圆及圆的切线.5．右图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为43，则它的正视图为（ ）【答案】B考点：三视图.6．将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a 的最大值为（ ） A ．6622- B ．6632- C ．32232- D ．33223-【答案】D 【解析】试题分析：如图，设,,,A B C D 分别为四个小球的球心，则显然几何体D ABC -是正四面体，棱长为2，设O 是正四面体D ABC -的外接球的球心，易知当正方体的对角线交点与点O 重合，并且对角线与平面ABC 垂直时正方体的棱长最大，由于正方体的棱长为2，可求得正四面体D ABC -，进而可求得正四面体D ABC -的外接球的半径为122⎛⎫≤- ⎪ ⎪⎝⎭，解得a ≤ D.俯视图（A ）（B ）（C ）（D ）C考点：1、正方体；2、正四面体；3、球.7．如图，已知双曲线C : 22221x y a b-=()0,0>>b a 的右顶点为,A O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点Q P ,.若60PAQ ∠=︒且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为（ ）ACD【答案】B考点：1、双曲线；2、渐近线；3、离心率；4圆；5、平面向量.【思路点晴】本题是一个圆锥曲线与圆及平面向量的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是通过所给平面图形的数量关系，寻找,,a b c 的数量关系，之后再求离心率e ，而寻找关系的切入点是APQ ∆是等边三角形以及3OQ OP =，再结合直角三角形的边角关系就可得到,a b 的关系，进而求得离心率e . 8．某学生对一些对数进行运算，如下图表格所示：现在发觉学生计算中恰好有两地方出错，那么出错的数据是（ ）A ．(3),(8)B ．()4,(11)C ．()1,(3)D ．(1),(4) 【答案】A考点：对数的运算.【思路点晴】本题主要考查的是对数的运算问题，属于难题.解决本题的基本思路是先从表中找出彼此等价的关系式，然后再找出三个独立的式子，并联立解出,,a b c 的值，再将解出的,,a b c 的值代入其余各式进行一一检验即可得到答案.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，满分36分．）9．设函数)62sin()(π-=x x f ，则该函数的最小正周期为 ，)(x f 在]2,0[π的最小值为 ．【答案】π 12- 【解析】试题分析：函数)62sin()(π-=x x f 的最小正周期是22T π=π=，再由02x π≤≤，可得52666x πππ-≤-≤，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以)(x f 在]2,0[π的最小值为12-，故答案应填：π，12-. 考点：1、周期；2、最值.10．设二次函数()()2,f x x bx c b c R =++∈,()01=f ,且13x ≤≤时，()0f x ≤恒成立，()f x是区间[)+∞,2上的增函数。
【百强校】2015-2016学年浙江省绍兴市一中高二上学期期末数学试卷(带解析)
试卷第1页，共18页绝密★启用前【百强校】2015-2016学年浙江省绍兴市一中高二上学期期末数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：146分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知点A(﹣2，0)，B(2，0)，C(0，2)，直线y=ax+b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，三角形的面积，由于直线与轴的焦点为，由直线，将三角形分割为面积相等的两部分可得点在射线上，设直线和的交点为，试卷第2页，共18页则由，可得点的坐标为，①若点和点重合，则点为线段的中点，则且，解得；②若点在点和点之间，则点在点和点之间，由题意得可得三角形的面积等于，即，即，解得，故，③若点在点的左侧，则，设直线和的交点为，则，求得点的坐标为，此时，，此时，点到直线的距离等于，由题意得三角形的面积为，即，化简可得，由于此时，所以，整理得，综上所述可得的取值范围是．考点：直线的一般方程及其应用．【方法点晴】本题主要考查了去顶直线的要素，点到直线距离公式和两点间的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查运算能力和综合分析能力，分类讨论思想，属于难度较大的试题，本题的解答中，先求得直线与轴的焦点为，由可得点在射线上，求出直线和的交点的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之间的距离公式再分三种情况分别讨论，可求解结论．试卷第3页，共18页2、点P(-3，1)在椭圆(a ＞b ＞0)的左准线()上．过点P 且方向为=（2，-5）的光线，经直线y =﹣2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：如图所示，过点的方向，所以，则的方程为，即直线与联立，可解得，由光线的反射的对称性知：，所以，即，令，得，综上所述，，则，所以椭圆的离心率．考点：直线与椭圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，充分利用光线的反射的性质，运算量比较大，属于中档试题，本题的解答中，根据过点且方向为，求得的方程，把代入可求得的坐标，根据光线反射的对称性质直线的斜率进而得的方程，把代入即可得到焦点坐标，求得，根据点在椭圆的做准线上，可求得和的关系求得，则椭圆的离心率可得．3、如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=4，E 为DC 边的中点，沿AE 将△ADE 折起，在折起过程中，有几个正确（ ）试卷第4页，共18页①ED ⊥平面ACD ②CD ⊥平面BED ③BD ⊥平面ACD ④AD ⊥平面BED A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，根据几何体运动的观点可知，当点运动到使得，此时能使得平面，只有③是正确的，故选A ．考点：线面位置关系的判定与证明．4、某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．4B ．C ．D ．8【答案】B 【解析】试题分析：由已知中的三视图可得该几何体表示一个四棱锥和一个三棱锥构成的组合体，四棱锥的底面面积为，高为，所以体积为，三棱锥的底面面积为，高为，所以体积为，所以几何体的体积为．考点：几何体的三视图及几何体的体积公式． 5、若直线y=x+m 与曲线=x 有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为（ ）试卷第5页，共18页A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：由题意得：曲线表示圆的右半圆，即如图所示，当直线与圆相切时，则，结合图象可得：若直线与曲线相切时，则，平移直线可得直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是．考点：直线与圆的位置关系．6、长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ） A ．B ．C ．50πD ．200π【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，长方体的对角线长为，所以球的半径为，所以球的表面积为，故选C ．考点：长方体的对角线长公式及球的表面积公式． 7、与直线x+y+3=0平行，且它们之间的距离为的直线方程为（ ）A ．x-y+8=0或x-y-1=0B ．x+y+8=0或x+y-1=0C ．x+y-3=0或x+y+3="0"D ．x+y-3=0或x+y+9=0试卷第6页，共18页【答案】D 【解析】试题分析：设所求直线的方程为，则两条平行线之间的距离为，解得或，所以直线的方程为或，故选D ．考点：两条平行线之间的距离公式．8、设l ，m 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若l ∥α，α∩β=m ，则l ∥m B ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β C ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ⊥l ，则m ⊥α【答案】B 【解析】试题分析：A 中，若，则平行或异面，只有，才有所以A 错误；B 中，若，则，所以B 正确；C 中，若，则由线面平行的性质定理可知，平行、相交或异面，所以C 错误；D 中，，则与平行、相交或在平面内，所以D 错误，故选B ．考点：线面位置关系的判定．试卷第7页，共18页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD 1|=的点P 的个数为 ；若满足|PB|+|PD 1|=m 的点P 的个数为6，则m 的取值范围是 ．【答案】【解析】试题分析：因为正方体的棱长为，所以，因为，所以点是以为焦距，以为长半轴，以为短半轴的椭圆，所以点在正方体的棱上，所以点是椭圆与正方体的棱的交点，结合正方体的性质可知，椭圆与正方体的共计个交点；因为，所以，因为正方体的棱长为，所以正方体的面的对角线长为，因为点的个数为，所以，因为短半轴长，解得，所以实数的取值范围是．考点：棱柱的结构特征及正方体的性质．【方法点晴】本题主要以正方体为载体，考查了椭圆的定义的灵活应用，属于综合性较强的试题，难度较大，本题的解答中，可根据判定点是以为焦距，以为长半轴，以为短半轴的椭圆，转化为椭圆与正方体的棱的交点个数；同时根据得，再根据椭圆中短半轴确定实数的取值范围． 10、设圆C ：x 2+y 2=3，直线l ：x+3y ﹣6=0，点P （x 0，y 0）∈l ，存在点Q ∈C ，使∠OPQ=60°（O 为坐标原点），则x 0的取值范围是 ．试卷第8页，共18页【答案】【解析】试题分析：由题意得，，又因为在直线，所以，故，解得，所以的取值范围是．考点：点与圆的位置关系．11、连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别为和，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ； ②弦AB 、CD 可能相交于点N ； ③MN 的最大值是5； ④MN 的最小值是1；其中所有正确命题的序号为 ．【答案】①③④ 【解析】试题分析：由题意得，②中，到球心的距离分别为，若两弦交于，则，中，有，矛盾；分别取球的两条弦的中点，则，即可以看作弦分别是球半径为和的球的切线，且弦在半径为的求的外部，弦与之可能相交于点，且的最大值距离为，最小距离为，当共线时取得最大值和最小值，综上可知正确的命题序号为①③④．考点：球面距离及相关的计算；空间直线与直线间的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了球的切线的性质及其空间位置关系的应用，解答此类问题对空间想象能力的要求较高，考生对命题①②的正确性不能分析到位，是解答该题的错误率较高，也是本题的一个难点，本题的解答中涉及到球面距离及其计算和空间直线与直线间的位置关系判定与应用，着重考查了空间想象能力逻辑思维能力，属于中档试题．试卷第9页，共18页12、四面体的棱长中，有两条为、，其余的全为1，它的体积是 ．【答案】【解析】试题分析：由题意画出几何体，如图所示，，所以为直角三角形，为的中点，垂直于底面，可知，三棱柱的体积为．考点：几何体的体积的计算．13、椭圆E ：内有一点P(2，1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为 ．【答案】【解析】试题分析：设所求直线与椭圆交于，代入椭圆的方程，两式相减得，又，所以斜率，因此所求直线的方程为，即．考点：椭圆的几何性质及其应用．试卷第10页，共18页14、李师傅在建材商店购买了三根外围直径都为10cm 的钢管，为了便于携带，他将三根钢管用铁丝紧紧捆住，截面如图所示，则铁丝捆扎一圈的长度为 cm ．【答案】【解析】试题分析：如图所示，铁丝捆扎一圈的长度为三条公切线的长度+三条弧长，即的周长．考点：圆的性质的应用．15、直观图（如图）中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm ，则在xOy 坐标中四边形ABCD 为 ，面积为 cm 2．【答案】矩形 【解析】试题分析：由斜二测画法的规则可知：分别在轴和轴上，故在坐标中分别在轴和轴上，且，由平行性不变找出对应的点点，可以得到：在坐标中四边形为矩形，且面积为，故答案为：矩形，面积为．考点：平面图形的直观图．三、解答题（题型注释）16、已知圆，点P 是直线上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ． （1）当切线PA 的长度为时，求点P 的坐标；（2）若的外接圆为圆N ，试问：当P 在直线上运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由． （3）求线段AB 长度的最小值．【答案】（1）或；（2），；（3）．【解析】试题分析：（1）因为是圆的一条切线，所以为直角，所以，即可得到点的坐标；（2）设，因为，所以经过三点的圆以为直径，其方程为，即，即可求得结论；（3）求出点到直线的距离，利用勾股定理，即可求线段的长度的最小值．试题解析：（1）由题意知，圆M 的半径，设，∵PA 是圆M 的一条切线，∴， ∴，解得，∴或．（2）设，∵，∴经过A ，P ，M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为，即，试卷第12页，共18页由，解得或，∴圆过定点，．（3）因为圆N 方程为，即，圆M ：，即，②-①得：圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为：，点M 到直线AB 的距离，相交弦长即：，当时，AB 有最小值．考点：直线与圆的方程的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了直线和圆的方程的综合应用，着重考查了圆过定点，圆的切线长等问题，其中确定圆的方程是解答本题的关键，运算量较大，属于中档试题，其中本题的解答中设，因为，所以经过三点的圆以为直径，其方程为，即，从而判定圆过定点，其中认真运算、仔细解答是解答的一个易错点．17、如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点．（1）证明：CD ⊥AE ； （2）证明：PD ⊥平面ABE ； （3）求二面角A ﹣PD ﹣C 的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）运用线面垂直的判定和性质定理即可证明；（2）运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到平面；（3）过点作于点，连接，由（2）知平面，则，则是二面角的平面角，通过解三角形，即可得到所求值．试题解析：（1）证明：∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD ， 又AC ⊥CD ，AC∩PA=A ，∴CD ⊥平面PAC ，又AE ⊂平面PAC ， ∴CD ⊥AE ；（2）证明：∵PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ∴PA ⊥AB ， 又AD ⊥AB ，AD∩PA=A∴AB ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ∴AB ⊥PD ， 由PA=AB=BC ，∠ABC=60°，则△ABC 是正三角形． ∴AC=AB ∴PA=PC ∵E 是PC 中点∴AE ⊥PC由（1）知AE ⊥CD ，又CD∩PC=C ∴AE ⊥平面PCD ∴AE ⊥PD ，又AB ⊥PD ，AB∩AE=A ∴PD ⊥平面ABE ；（3）解：过E 点作EM ⊥PD 于M 点，连结AM ， 由（2）知AE ⊥平面PCD ，则AE ⊥PD ， 则PD ⊥平面AEM ，∴AM ⊥PD ， 则∠AME 是二面角A ﹣PD ﹣C 的平面角．设AC ，AD ，PA ，PD ，试卷第14页，共18页AM ，在Rt △AEM 中，AE ，EM ，则tan ∠AME ．或直接建立空间直角坐标系求解，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y轴，AP 所在直线为z 轴，设AC ,则A （0,0,0），P(0,0,),D(0,,0),C(,0)．考点：线面位置关系的判定与证明；二面角的求解． 18、已知圆，直线．（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点A 、B ；（2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）方法1、根据圆心到直线的距离小于圆的半径，从而判定直线与圆相交；方法2、将直线提出，确定直线恒过点，再根据点再圆内，得到直线与圆相交．（2）将直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理得到两个交点坐标的和，利用中点坐标公式求出的中点，消去得到弦的中点的轨迹方程． 试题解析：（1）解法一：圆的圆心为，半径为．∴圆心C 到直线的距离，∴直线与圆C 相交，即直线与圆C 总有两个不同交点；方法二：∵直线过定点，而点在圆内∴直线与圆C相交，即直线与圆C 总有两个不同交点； （2）当M 与P 不重合时，连结CM 、CP ，则，又因为,设，则，化简得：当M 与P 重合时，也满足上式．故弦AB 中点的轨迹方程是． 考点：直线和圆的方程的应用；直线的一般方程；轨迹方程的求解．19、如图，一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，其中有一个高为xcm 的内接圆柱．（1）试用x 表示圆柱的侧面积；（2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大．【答案】（1）；（2）圆柱的高为时，它的侧面积最大为．【解析】试题分析：（1）由题意得作出结合体的轴截面，根据轴截面的比例关系列出方程，求出圆柱的底面半径，再表示出圆柱的侧面积；（2）由（1）求出的侧面积的表达式，根试卷第16页，共18页据二次函数的性质求出侧面面积的最大值．试题解析：（1）S 圆柱侧=（2）由（1）知当时，这个二次函数有最大值为6π，∴当圆柱的高为3cm 时，它的侧面积最大为6πcm 2考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的侧面积与体积；二次函数的性质．20、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知是椭圆上的一点，从原点O 向圆作两条切线，分别交椭圆于点P,Q ．（1）若直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程； （2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为，求证；（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）是，．【解析】试题分析：（1）通过直线互相垂直，以及点的坐标适合椭圆方程求出圆的圆心，然后求处圆的方程即可；（2）因为直线与圆相切，推出是方程的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出，结合点在椭圆上，可证明；（3）直线落在坐标轴上时，有；当直线不落在坐标轴上时，设()，()，因为，可推出，利用因为()，()在椭圆上，所以，，可推出． 试题解析：（1）由圆R 的方程知圆R 的半径r=,|OR|==4，即①，又点R 在椭圆上，所以②，联立①②，解得，所以圆R 的方程为（2）因为直线OP ：y=k 1x 和OQ ：y=k 2x 都与圆R 相切，所以，化简得，，所以k 1，k 2是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理得， k 1k 2=．因为点R 在椭圆上，所以，即，所以k 1k 2=，即．（3）当直线OP 、OQ 落在坐标轴上时，有=36；当直线OP 、OQ 不落在坐标轴上时，设P()，Q()，因为，所以，故因为P()，Q()在椭圆上，所以，，即，，所以，整理得，所以，所以=36．综上，=36．试卷第18页，共18页考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系． 【方法点晴】本题主要考查了直线与椭圆的综合应用、直线与圆相切的关系的应用，着重考查了分析问题、解决问题的能力，同时考查了分类讨论和转化的数学思想方法，本题的解答中利用直线与圆相切，转化为是方程的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出，证明；第3问中，当直线不落在坐标轴上时，设()，()，由，推出，利用因为()，()，在椭圆上，可推出．。
【百强校】2015-2016学年浙江省温州中学高二上期末数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2015-2016学年浙江省温州中学高二上期末数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：163分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、某学生对一些对数进行运算，如下图表格所示：现在发觉学生计算中恰好有两地方出错，那么出错的数据是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：如上表所示，不妨设（5）正确，即，则易知，即此时（10）、（2）都是正确的；再设（6）正确，即，则，所以（9）也正确；再设（5）正确，即，联立，解之得，从而可得，，，即（1）、（4）、（7）是正确的，而，即（3）、（8）不正确，综上故选A.考点：对数的运算.【思路点晴】本题主要考查的是对数的运算问题，属于难题.解决本题的基本思路是先从表中找出彼此等价的关系式，然后再找出三个独立的式子，并联立解出的值，再将解出的的值代入其余各式进行一一检验即可得到答案.2、如图，已知双曲线:的右顶点为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点.若且，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：由图易知是等边三角形，设的中点为，圆的半径为，则，且，所以，，所以，即，从而可求得，故选B.考点：1、双曲线；2、渐近线；3、离心率；4圆；5、平面向量.【思路点晴】本题是一个圆锥曲线与圆及平面向量的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是通过所给平面图形的数量关系，寻找的数量关系，之后再求离心率，而寻找关系的切入点是是等边三角形以及，再结合直角三角形的边角关系就可得到的关系，进而求得离心率.3、将一个棱长为的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：如图，设分别为四个小球的球心，则显然几何体是正四面体，棱长为，设是正四面体的外接球的球心，易知当正方体的对角线交点与点重合，并且对角线与平面垂直时正方体的棱长最大，由于正方体的棱长为，可求得正四面体的高为，进而可求得正四面体的外接球的半径为，由，解得，故选D.考点：1、正方体；2、正四面体；3、球.4、右图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为，则它的正视图为（ ）【答案】B 【解析】试题分析：易知该几何体的下部是一个棱长为的正方体，体积为，所以上部的体积为，再结合三视图中的B 图知道，这是上部是一个四棱锥，其底面与下部的正方体上底面重合，其顶点在底面上的射影是正方体的内侧上边棱的中点，则此棱锥的体积为，符合题意，故应选B. 考点：三视图.5、已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 试题分析：圆圆心是，半径是，而抛物线的准线是，由于抛物线的准线与圆相切，所以，解之得，故答案选B.考点：1、抛物线；2、准线；3、圆及圆的切线.6、已知函数，若对任意的，关于的方程都有3个不同的根，则等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】试题分析：本题可以用特殊值法判定，由于对任意的，关于的方程都有3个不同的根，不妨取，则，作出和的图象如图，由图可知，的图象和的图象在轴的左侧仅有一个交点，在轴的右侧仅有两个交点，故总共有个交点，因此符合题意，故选C.考点：1、分段函数；2、函数与方程.7、函数（）的图像关于点对称，则的增区间（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：函数（）可化为，由于其图像关于点对称，所以，即，由于，可解得，所以，进而可解得其增区间是，故选D.考点：1、单调区间；2、对称中心；3、辅助角公式. 8、“”是“”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由，可得，所以“”不是“”的充分条件；但是由，一定可以推得，所以“”是“”的必要条件，综上“”是“”的必要不充分条件，故选B.考点：充分条件、必要条件.【思路点晴】本题是一个关于充分条件、必要条件的问题，属于容易题.一般的关于充分条件与必要条件判断问题，可按如下方法步骤进行判断：设是两个命题，如果由条件能推出结论成立，则是成立的充分条件，同时是成立的必要条件；如果能够互推，则互为充要条件；如果能推出，但是不能推出，则是的充分不必要条件，如果不能推出，但是能推出，则是的必要不充分条件；如果不能推出，也不能推出，则是的既不充分也不必要条件.第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、如图所示的一块长方体木料中，已知，设为底面的中心，且，则该长方体中经过点的截面面积的最小值为 ．【答案】【解析】试题分析：如图所示：作出过点的截面，显然为平行四边形，延长，并设，再作于，连接，则，再作于，易知，在直角中，可求得，由相似可得，从而，所以，所以，其中，所以当时截面面积最小为，故答案填.考点：1、长方体；2、平行四边形的面积；3、二次函数求最值.【思路点晴】本题是一个关于几何体的截面面积的最值问题，属于难题.解决本题的基本思路是首先应先做出过点的截面，并判断出该截面是平行四边形，接着再求出这个平行四边形的底边长和高，进而得到面积的表达式，最后再利用二次函数在闭区间上的最值求法即可得到截面面积的最小值.10、已知函数()若，且对任意，方程在总存在两不相等的实数根，求的取值范围 .【答案】【解析】试题分析：由于，则，当时可知恒成立，所以在上是增函数，所以，即，因为对任意，方程在总存在两不相等的实数根，只需和在上都有两个不同的根即可.若在上有两个不同的根，先将变形为，其中，分别作出，的图象，显然当即时两图像无公共点，所以，如图所示，由题知，解得①，若在上有两个不同的根，同理可解的②，综合①②可得，故答案填.考点：1、方程的根；2、导数在函数研究中的应用；3、单调性.【思路点晴】本题重在考查数形结合的思想方法，属于难题.解决本题的基本思路是将问题对任意，方程在总存在两不相等的实数根的问题转化为和在上都有两个不同的根的问题，进而再转化为两函数图像有两个不同的交点问题即可，这是解决问题的切入点，只要突破了这一点，下面的问题便可迎刃而解. 11、圆的半径为，为圆周上一点，现将如图放置的边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点和点重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点第一次回到点的位置，则点走过的路径的长度为 ．试卷第11页，共21页【答案】【解析】试题分析：本题可以建立直角坐标系，的起始位置在原点，求当点第一次回到轴上时，点所走过的路径的长度即可，如图所示，如图圆方程是，圆方程是，圆的方程是，而所求即为三段劣弧之和，而三段弧的长分别等于相应圆周长度的，所以，故答案填.考点：1、圆的方程；2、弧长公式. 12、抛物线的准线方程是 ，经过点的直线与抛物线相交于两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则 ．【答案】,9【解析】试题分析：由方程知抛物线的准线方程是；再设，试卷第12页，共21页，则，可得，所以可求得直线方程是，联立抛物线，得，所以，故答案应填.考点：1、抛物线；2、焦点；3、准线；4、点差法. 13、已知直线上存在唯一一点，满足点到直线的距离等于点到点的距离，则，点的坐标为 .【答案】,【解析】试题分析：由题条件根据抛物线的定义知道，点在以点为焦点，以直线为准线的抛物线上，抛物线的方程是，又已知直线上存在唯一一点，满足点到直线的距离等于点到点的距离，知道直线与抛物线必然相切，联立令可得，并解得点，故答案填.考点：1、抛物线；2、直线与抛物线的位置关系. 14、设二次函数,,且时，恒成立，是区间上的增函数。
【百强校】2015-2016学年浙江省杭州二中高二上学期期末数学试卷(带解析)
绝密★启用前【百强校】2015-2016学年浙江省杭州二中高二上学期期末数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：126分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知，，若不等式恒成立，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．2、如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将AED沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（ ）3、已知实数x，y满足，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m 等于（）A．7 B．5 C．4 D．34、过抛物线的焦点作直线交抛物线于，若，则的斜率是（）A． B． C． D．5、把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°6、直线与曲线的公共点的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47、已知不等式的解集为．则（）A． B． C． D．8、设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若则B．若则C．若则D．若则9、设，则“”是“直线与直线垂直”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件10、双曲线的焦距是（）A． B．5 C．10 D．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线的方程为，设有下列四个说法：①存在实数，使点在直线上；②若，则过、两点的直线与直线平行；③若，则直线经过线段的中点；④若，则点、在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交．在上述说法中，所有正确说法的序号是．12、已知，且满足，则的最大值为．13、如图，直线，垂足为O，已知中，为直角，AB=2，BC=1，该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（1），（2）．则C、O两点间的最大距离为______．14、已知双曲线的左、右焦点分别为，过作斜率为的直线交双曲线的渐近线于两点，为线段的中点．若直线平行于其中一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ．15、设是一个球面上的四个点，两两垂直，且，则该球的体积为 ．16、一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是 ．三、解答题（题型注释）17、已知函数，且，．（1）求､的值； （2）已知定点，设点是函数图象上的任意一点，求的最小值；（3）当时，不等式恒成立，求实数m 的取值范围．18、已知圆经过椭圆的右焦点和上顶点，如图所示．（1）求椭圆的方程； （2）过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为，与圆的交点为，为的中点，求的最大值．19、如图，在三棱锥中，平面，，．（1）求证：平面； （2）求二面角的大小．20、关于的方程：．（1）若方程表示圆，求实数的范围；（2）在方程表示圆时，若该圆与直线相交于两点，且，求实数的值．参考答案1、A2、D3、B4、C5、C6、C7、B8、D9、A10、C11、②③④12、13、14、15、16、17、（1）；（2）；（3）．18、（1）；（2）．19、（1）证明见解析；（2）．20、（1）；（2）．【解析】1、试题分析：由题意得，不等式，对于，，恒成立，所以，令，，，令，所以，则，可求得取得最大值为，所以，故选A．考点：利用导数研究函数的综合应用；不等式的恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查了不等式的恒成立问题的转化、导数在函数中的综合应用、导数求解函数的单调性与极值、最值的知识的应用，着重考查了转化的数学思想方法，属于难度较大的试题，本题的解答中，由不等式恒成立，转化为，令，可得，利用导数求解函数的最大值，从而求解实数的取值范围．2、试题分析：由题意得，，所以的轨迹是以为直径的一段圆弧，设的中点为，因为长方形中，，所以，所以，所以所形成的轨迹的长度为，故选D．考点：轨迹方程的求解．【方法点晴】本题以平面图形的翻折为载体，考查了立体几何中的轨迹问题的求解，同时考查了弧长公式的运用，解题的关键是根据沿翻折，使得在平面上的射影为在直线上，利用，从而可得所形成的轨迹是以为直径的一段圆弧，求出圆心角，利用弧长公式求解弧长．3、试题分析：作出不等式组表示的平面区域如图所示，由目标函数的最小值是，得，即当时，函数，此时对应的平面区域在直线的下方，由，解得，即，同时也在直线上，即，故选B．考点：简单的线性规划的应用．4、试题分析：由题意得，抛物线准线方程为，如图所示，当直线的倾斜角为锐角时，分别作点作，垂足为，过点作交于点，则，因为，所以，在中，由，可得，因为轴，所以，此时；当直线的倾斜角为钝角时，可得，故选C．考点：直线与抛物线的综合应用．5、试题分析：如图，当平面平面时，三棱锥的体积最大，取的中点，则平面，故直线和平面所成的角为，则，所以，故选C．考点：直线与平面所成的角．6、试题分析：由题意得，当时，曲线的方程为，当时，曲线的方程为，所以曲线的图象（如图所示），在同一坐标系中作出直线的图象，可得直线与曲线有三个不同的共点．考点：直线与圆锥曲线的位置关系．7、试题分析：由题意得，和是方程的两根，所以且（），解得，所以，故选B．考点：一元二次不等式的求解与应用．8、试题分析：对于A中，因为所以没有公共点，得到平行或异面，所以不正确；对于B中，若此时直线平行、相交或异面，所以不正确；对于C中，若，且，则有，但在平面可以自由摆动，所以不正确，故选D．考点：空间中的直线与平面的位置关系．9、试题分析：由题意得，，则，解得或，所以“”是“直线”的充分但不必要条件，故选A．考点：两条直线的位置关系．10、试题分析：由题意得，，所以，所以焦距为，故选C．考点：双曲线的几何性质．11、试题分析：若点在直线上，则，所以不存在实数，使得点在直线上，所以不正确；若，则，所以，即过两点的直线与直线平行，所以是正确的；若，则，化简可得，所以直线经过线段的中点，所以是正确的；若，则或，即点在直线的同侧，且直线与线段不平行，所以是真确的，故选②③④．考点：直线的一般方程；命题的真假判定与应用．【方法点晴】本题主要考查了两条直线的位置关系的判定与应用、点与直线的位置的判定与应用、直线一般式方程等知识的综合应用，试题难度较大，属于难题，本题的解答中，根据、、三种情况，分别根据给定的新定义，化简得到和的关系式，从而判定直线与线段的位置关系，从而判定命题的真假．12、试题分析：由题意得，，可变形为，所以，当且仅当或时，取得等号，可化为，解得，所以的最大值为．考点：基本不等式的应用．【方法点晴】本题主要考查了基本不等式的性质及其应用和一元二次不等式的解法及应用，属于中档试题，同时着重考查了转化与回归的数学思想方的和基本不等式的构造，平时要注意总结和积累，本题的解答中，把变形为，再利用基本不等式求解的最值，解关于的一元二次不等式，即可求解的取值范围，确定的最大值．13、试题分析：以为原点，为轴，为建立直角坐标系，如图所示，设，则有，，所以，当时，最大，最大值为，则两点间的最大距离为．考点：点、线、面间的距离的计算．14、试题分析：如图所示，设，根据题意，得直线的方程为，双曲线的渐近线的方程为，联立，解得，联立，解得，因为为线段的中点，若直线平行于其中一条渐近线，所以，所以，解得，所以．考点：双曲线的几何性质．15、试题分析：因为两两垂直，且，所以分别以为长宽高作出正方体，设所得正方体的外接球，则四点所在的球面就是球的表面，此时正方体的对角线长等于球的直径，即，所以球的体积为．考点：球的组合体及球的体积的计算．16、试题分析：由三视图可知几何体为在一个四棱柱，如图所示，因为正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，所以四棱锥的底面是正方形，且边长为，其中一条侧棱垂直于底面且棱长也为，所以四棱锥的表面积为．考点：三视图与几何体的表面积的计算．17、试题分析：（1）由，，代入可方程，解方程即可求解得关于的值；（2）由（1）可知，利用两点间的距离公式代入，结合的范围看求，然后结合基本不等式即可求解；（3）问题即为对恒成立，也就是对恒成立，则或，法一：问题化为对恒成立，从而可转化为函数的最值，利用函数的单调性即可求解；法二：问题即为对恒成立，也就是对恒成立，，结合函数的性质求解．试题解析：（1）由，得，解得：（2）由（1），所以，令，，则即的最小值是，此时．【另解】（3）问题即为对恒成立，也就是对恒成立，要使问题有意义，即，则，或．法一：在或下，问题化为对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，①当时，或，②当时，且对恒成立，对于对恒成立，等价于，令，，则，，，递增，，，结合或，对于对恒成立，等价于令，，则，，，递减，，，，综上：法二：故问题转化为对恒成立，其中或令①若时，由于，故，在时单调递增，依题意，，舍去;②若，由于，故，考虑到，再分两种情形：（ⅰ），即，的最大值是，依题意，即，;（ⅱ），即，在时单调递增，故，，，舍去｡综上可得，【另解】问题即为对恒成立，也就是对恒成立，要使问题有意义，即，则或．（*）此时，问题转化为对恒成立，令，则首先，则由（*）得（缩小范围，避免讨论！）此时考点：函数的恒成立；函数的图象与性质及最值的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式即基本不等式在求解函数的最值与值域等问题中的应用、函数的恒成立问题与函数的最值的综合应用，试题难度较大，属于难题，同时着重考查了转化与化归的思想方法，本题第3问的解答中，把对恒成立，转化为对恒成立，则或，问题转化为对恒成立，从而可转化为函数的最值，利用函数的单调性即可求解或把，对恒成立，转化为对恒成立，利用，结合函数的性质求解是解答本题的关键．18、试题分析：（1）在圆中，令得，即，令，得，由此能求出椭圆的方程；（2）设点，，，又，设与联立得：，由此可求解取最大值．试题解析：（1）在中，令得，即，令，得，即，由，∴椭圆：．（2）法一：依题意射线的斜率存在，设，设得：，∴．=．设，则．当且仅当即．法二：设点，，=．又，设与联立得：．令．又点在第一象限，∴当时，取最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了直线、圆、椭圆、平面向量、分段函数等知识的综合应用，着重考查了直线与圆锥曲线的位置关系及运算能力、推理论证能力，同时考查了属性结合法、转化与化归及函数与方程等数学思想的应用，本题的解答中，设点，，根据，利用直线与椭圆方程联立，由此可求解取最大值．19、试题分析：（1）通过已知条件，可得，进而得到平面；（2）在平面内作于，过作于，连接，则即为二面角的平面角，计算即可．试题解析：（1）因为面，，面，所以，因为，，所以．又因为，所以，故因为，所以平面（2）因为平面，所以面平面．在面内作于，则平面．过作于，连接，则即为二面角的平面角在中，，在中，，故．从而二面角的大小为考点：直线与平面垂直的判定；二面角的求解．20、试题分析：（1）把已知的方程配方后，令等号右边的式子大于列出关于的不等式，求出不等式的解集即为方程为圆时的取值范围；（2）先求出圆心到直线的距离，然后根据垂径定理及勾股定理，由和圆的半径及求出距离，列出关于的方程，求出方程的解即可求出的值.试题解析：（1）方程可化为，若方程表示圆只需，所以的范围是--------6分（2）由（1）圆的圆心半径为，过圆心作直线的垂线，为垂足，则，又，知则，解得--------12分考点：1.直线与圆相交的性质；2.点到直线的距离公式的合理运用.。
2015-2016年浙江省嘉兴市高三上学期数学期末试卷(文科)与解析
2015-2016学年浙江省嘉兴市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题部分，共40分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|（）x≤1，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩B 为（）A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0＜x≤2或x≥4}D．{x|0≤x＜2或x＞4}2．（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=lnx B．y=x3C．y=x2D．y=sinx3．（5分）设α、β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知平面内三点A，B，C满足||=||=1，||=，则•为（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）=（）A．B．0C．﹣2D．16．（5分）设{a n}是等比数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则2a2＜a1+a3D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞07．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，点A是椭圆的右顶点，O为坐标原点，若椭圆上的一点M满足MF1⊥MF2，|MA|=|MO|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）若平面点集M满足：任意点（x，y）∈M，存在t∈（0，+∞），都有（tx，ty）∈M，则称该点集M是“t阶聚合”点集．现有四个命题：①若M={（x，y）|y=2x}，则存在正数t，使得M是“t阶聚合”点集；②若M={（x，y）|y=x2}，则M是“阶聚合”点集；③若M={（x，y）|x2+y2+2x+4y=0}，则M是“2阶聚合”点集；④若M={（x，y）|x2+y2≤1}是“t阶聚合”点集，则t的取值范围是（0，1]．其中正确命题的序号为（）A．①②B．②③C．①④D．③④二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）函数f（x）=sinx•cosx的最小正周期为，f（x）的最小值是．10．（6分）已知等差数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和，若a1，a5是方程x2﹣10x+9=0的两个根，则公差d=，S5=．11．（6分）设不等式组表示的平面区域为M，则平面区域M的面积为；若点P（x，y）是平面区域内M的动点，则z=2x﹣y的最大值是．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是，表面积是．13．（4分）已知实数x，y满足4x2+y2+3xy=1，则2x+y的最大值为．14．（4分）已知圆心在原点，半径为R的圆与△ABC的边有公共点，其中A（4，0），B（6，8），C（2，4），则R的取值范围是．15．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AB，A1D1上的点，PQ⊥AC，则PQ与BD1所成角的余弦值得取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2﹣c2=ab．（Ⅰ）求cos的值；（Ⅱ）若c=2，求△ABC面积的最大值．17．（15分）已知数列{a n}中a1=3，其前n项和S n满足S n=a n+1﹣．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b}是公差为3的等差数列，b1=1．现将数列{a n}中的a，a，…a…抽出，按原有顺序组成一新数列{c n}，试求数列{c n}的前n项和T n．18．（15分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE，AE=1．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADE；（Ⅱ）求BE与平面ABCD所成角的余弦值．19．（15分）已知函数f（x）=﹣x|x﹣a|+1（x∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求使f（x）=x成立的x的值；（Ⅱ）当a∈（0，3），求函数y=f（x）在x∈[1，2]上的最大值．20．（15分）已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），抛物线的焦点到直线l：y=2x+2的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设点R（x0，2）在抛物线C上，过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．2015-2016学年浙江省嘉兴市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题部分，共40分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|（）x≤1，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩B 为（）A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}C．{x|0＜x≤2或x≥4}D．{x|0≤x＜2或x＞4}【解答】解：由A中不等式变形得：（）x≤1=（）0，即x≥0，∴A={x|x≥0}，由B中方程变形得：（x﹣2）（x﹣4）≤0，解得：2≤x≤4，即B={x|2≤x≤4}，则A∩B={x|2≤x≤4}，故选：B．2．（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=lnx B．y=x3C．y=x2D．y=sinx【解答】解：A．y=lnx的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B．y=x3为奇函数，x增大时，x3增大，即y增大，∴该函数在（0，+∞）上为增函数，∴该选项正确；C．y=x2是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；D．y=sinx在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误．故选：B．3．（5分）设α、β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．因为直线l⊂α，且l⊥β所以由判断定理得α⊥β．所以直线l⊂α，且l⊥β⇒α⊥β若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．所以“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）已知平面内三点A，B，C满足||=||=1，||=，则•为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：由余弦定理可得：cosB==，∴•=﹣1×cosB=﹣．故选：B．5．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（π）=（）A．B．0C．﹣2D．1【解答】解：由图象可得A=2，周期T==2[﹣（﹣）]，解得ω=2，代入点（﹣，0）可得0=2sin（﹣+φ），结合|φ|＜可得φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴f（π）=2sin（2π+）=2sin=1故选：D．6．（5分）设{a n}是等比数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则2a2＜a1+a3D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q．A．∵a1+a2＞0，∴a1（1+q）＞0，则当q＜﹣1时，a2+a3=a1q（1+q）＜0，因此不正确；B．∵a1+a3＜0，∴a1（1+q2）＜0，∴a1＜0．则a1+a2=a1（1+q）可能大于等于0或小于0，因此不正确；C．∵0＜a1＜a2，∴0＜a1＜a1q，∴a1＞0，q＞1．则2a2﹣（a1+a3）=﹣a1（1﹣q）2＜0，因此正确；D．∵a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=q（1﹣q）2可能相应等于0或大于0，因此不正确．故选：C．7．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，点A是椭圆的右顶点，O为坐标原点，若椭圆上的一点M满足MF1⊥MF2，|MA|=|MO|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，点A是椭圆的右顶点，O为坐标原点，椭圆上的一点M满足MF1⊥MF2，|MA|=|MO|，过M作MN⊥x轴，交x轴于N，不妨设M在第一象限，∴N是OA的中点，∴M点横坐标为，∴M点纵坐标为，∴F 1（﹣c，0），F2（c，0），==，=（，）•（）==0，∴4c2=a2+3b2=a2+3a2﹣3c2，∴4a2=7c2，∴2a=，∴椭圆的离心率e==．故选：D．8．（5分）若平面点集M满足：任意点（x，y）∈M，存在t∈（0，+∞），都有（tx，ty）∈M，则称该点集M是“t阶聚合”点集．现有四个命题：①若M={（x，y）|y=2x}，则存在正数t，使得M是“t阶聚合”点集；②若M={（x，y）|y=x2}，则M是“阶聚合”点集；③若M={（x，y）|x2+y2+2x+4y=0}，则M是“2阶聚合”点集；④若M={（x，y）|x2+y2≤1}是“t阶聚合”点集，则t的取值范围是（0，1]．其中正确命题的序号为（）A．①②B．②③C．①④D．③④【解答】解：对于①：M={（x，y）|y=2x}，∴（tx，ty）∈M，∴①正确；对于②：∵M={（x，y）|y=x2}，∴取（2，4），而点（1，2）∉M，∴②错误；对于③：取（1，﹣1）为集合M上的一点，则（2，﹣2）∉M，∴③错误；对于④：∵x2+y2≤1，根据题意，得∴t2（x2+y2）≤1，∵t∈（0，+∞），∴t∈（0，1]．∴④正确；故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）函数f（x）=sinx•cosx的最小正周期为π，f（x）的最小值是．【解答】解：化简可得f（x）=sinx•cosx=sin2x，∴函数的最小正周期T==π，当sin2x=﹣1时，函数取最小值．故答案为：π；10．（6分）已知等差数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和，若a1，a5是方程x2﹣10x+9=0的两个根，则公差d=2，S5=25．【解答】解：∵等差数列{a n}是递增数列，a1，a5是方程x2﹣10x+9=0的两个根，∴解方程可得a1=1，a5=9，故公差d==2，∴由求和公式可得S5===25故答案为：2；2511．（6分）设不等式组表示的平面区域为M，则平面区域M的面积为1；若点P（x，y）是平面区域内M的动点，则z=2x﹣y的最大值是2．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，1），联立，解得C （1，3）， 联立，解得B （2，2），∴平面区域M 的面积为；化z=2x ﹣y ，得y=2x ﹣z ，由图可知，当直线y=2x ﹣z 过B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为2×2﹣2=2． 故答案为：1，2．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是，表面积是+1+．【解答】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC ⊥面ABC ，△PAC 是边长为2的正三角形，△ABC 是边AC=2，边AC 上的高OB=1，PO=为底面上的高．于是此几何体的体积V=S △ABC •PO=×2×1×=，几何体的表面积S=S △PAC +S △ABC +2S △PAB =××2+×2×1+2×××=+1+．故答案为：，+1+．13．（4分）已知实数x，y满足4x2+y2+3xy=1，则2x+y的最大值为．【解答】解：∵实数x，y满足4x2+y2+3xy=1，∴4x2+y2+4xy=1+xy，∴（2x+y）2=1+•2x•y≤1+（）2，解关于2x+y的不等式可得2x+y≤，故答案为：．14．（4分）已知圆心在原点，半径为R的圆与△ABC的边有公共点，其中A（4，0），B（6，8），C（2，4），则R的取值范围是．【解答】解：由题意，直线AC的方程为y=（x﹣4），即2x+y﹣8=0，原点到直线的距离为=，原点与B的距离为10，∴R的取值范围是．故答案为：．15．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AB，A1D1上的点，PQ⊥AC，则PQ与BD1所成角的余弦值得取值范围是[，1] ．【解答】解：如图，∵P，Q分别是棱AB，A1D1上的点，且PQ⊥AC，∴当P与B重合，Q与D1重合时，满足PQ⊥AC，此时PQ与BD1重合，所成角最小，所成角的余弦值最大为1，当P与A重合，Q与A1重合时，此时AA1在平面BB1D1D上的射影与BD1所成角最大，即PQ与BD1所成角最大，也就是图中的∠B1BD1．设正方体的棱长为a，则，，∴．∴PQ与BD1所成角的余弦值得取值范围是[，1]．故答案为：[，1]．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+b2﹣c2=ab．（Ⅰ）求cos的值；（Ⅱ）若c=2，求△ABC面积的最大值．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由余弦定理得：，（3分）∴．（5分）∴，∵，∴（7分）（Ⅱ）若c=2，则由（Ⅰ）知：8=2（a2+b2）﹣3ab≥4ab﹣3ab=ab，（10分）又，（12分）∴，即△ABC面积的最大值为．（14分）17．（15分）已知数列{a n}中a1=3，其前n项和S n满足S n=a n+1﹣．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；}是公差为3的等差数列，b1=1．现将数列{a n}中的a，（Ⅱ）设{ba，…a…抽出，按原有顺序组成一新数列{c n}，试求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，，∴a2=9 （2分）∵，∴，相减得：，∴a n==3n，（5分）当n=1时，符合，（6分）∴．（7分）（Ⅱ）b n=b1+（n﹣1）d=3n﹣2，（9分）（12分）∴{c n}是以3为首项，以27为公比的等比数列，∴（15分）18．（15分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE，AE=1．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADE；（Ⅱ）求BE与平面ABCD所成角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵正方形ABCD，∴AD⊥CD，（2分）∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，（5分）又∵AE∩AD=A，∴CD⊥面ADE．（7分）解：（Ⅱ）过E作EF⊥AD交AD于F，连BF，∵CD⊥面ADE，CD⊥EF，CD∩AD=D，（9分）∴EF⊥平面ABCD，∴∠EBF为BE与平面ABCD所成的角，（12分）∵BE=，，∴，∴．∴BE与平面ABCD所成角的余弦值为．（15分）19．（15分）已知函数f（x）=﹣x|x﹣a|+1（x∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求使f（x）=x成立的x的值；（Ⅱ）当a∈（0，3），求函数y=f（x）在x∈[1，2]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=﹣x|x﹣1|+1=，由f（x）=x可得：．解得x=1，（Ⅱ）f（x）=，作出示意图，注意到几个关键点的值：f（0）=f（a）=1，f（）=1﹣，当0＜a≤1时，f（x）在[1，2]上单调递减，函数的最大值为f（1）=a；1＜a＜2时，f（x）在[1，a]上单调递增，在[a，2]上单调递减，函数的最大值为f（a）=1；当2≤a＜3时，f（x）在[1，]上单调递减，在[，2]上单调第增，且直线x=是函数的对称轴，由于（2﹣）﹣（﹣1）=3﹣a＞0，故函数的最大值为f（2）=5﹣2a．综上可得，f（x）max=．20．（15分）已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），抛物线的焦点到直线l：y=2x+2的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设点R（x0，2）在抛物线C上，过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线的焦点为，，得p=2，或﹣6（舍去）；∴抛物线C的方程为y2=4x；（Ⅱ）点R（x0，2）在抛物线C上；∴x0=1，得R（1，2）；设直线AB为x=m（y﹣1）+1（m≠0），，；由得，y 2﹣4my +4m ﹣4=0；∴y 1+y 2=4m ，y 1y 2=4m ﹣4； AR ：=；由，得，同理；∴=；∴当m=﹣1时，，此时直线AB 方程：x +y ﹣2=0．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域(0,)+∞xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义 函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
【全国百强校】浙江省杭州市第二中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．双曲线221169x y -=的焦距是（ ）B.5C. 10D.【答案】C【解析】试题分析：由题意得，216,9a b ==，所以5c ==，所以焦距为210c =，故选C ．考点：双曲线的几何性质.2.设a R ∈，则“2a =”是“直线1:0l x ay a +-=与直线2:(23)10l ax a y --+=垂直”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件【答案】A考点：两条直线的位置关系.3.设n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. 若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m nB. 若//,//,//,m n αβαβ则//m nC. 若,//,,m n m n αβ⊥⊥则//αβD. 若//,,,m m n αβαβ⊂=则//m n【答案】D【解析】试题分析：对于A 中，因为//,,,m n αβαβ⊂⊂所以,m n 没有公共点，得到,m n 平行或异面，所以不正确； 对于B 中，若//,//,//,m n αβαβ此时直线,m n 平行、相交或异面，所以不正确； 对于C 中，若//αβ，且,m n αβ⊂⊂，则有//,//m n αβ，但,m n 在平面可以自由摆动，所以不正确，故选D.考点：空间中的直线与平面的位置关系.4.已知不等式210mx nx m +-<的解集为1{|2}2x x x <->或.则m n -=（ ） A. 12 B. 52- C. 52 D. 12- 【答案】B考点：一元二次不等式的求解与应用.5.直线3+=x y 与曲线1492=-x x y 的公共点的个数是（ ） A. 1 B.2 C.3 D. 4【答案】C【解析】试题分析：由题意得，当0x ≥时，曲线1492=-x x y 的方程为22194y x -=，当0x <时，曲线1492=-x x y 的方程为22194y x +=，所以曲线1492=-x x y 的图象（如图所示），在同一坐标系中作出直线3+=x y 的图象，可得直线与曲线有三个不同的共点.考点：直线与圆锥曲线的位置关系.6.把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ）A. 90°B. 60°C. 45°D.30°【答案】C考点：直线与平面所成的角.7．过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B ，若BF AF 3=，则l 的斜率是（ ）B. C.【答案】C【解析】试题分析：由题意得，抛物线2:4C y x =准线方程为:1l x =-，如图所示，当直线AB 的倾斜角为锐角时，分别作点,A B 作,AM l AN l ⊥⊥，垂足为,M N ，过点B 作BC AM ⊥交于点C ，则 ,AM AF BN BF ==，因为334AF BF AB ==，所以12AM BN AC AF BF AB -==-=，在Rt ABC ∆中，由12AC AB =，可得60BAC ∠=，因为//AM x 轴，所以60BAC AFx ∠=∠=，此时AB k =；当直线AB 的倾斜角为钝角时，可得AB k =，故选C.考点：直线与抛物线的综合应用.8. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥1y ≤2x －1x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．3【答案】B考点：简单的线性规划的应用.9．如图，在长方形ABCD 中，AB=3，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将∆AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（ ）BAA ．23 B ．332 C ．2π D ． 3π 【答案】D考点：轨迹方程的求解.【方法点晴】本题以平面图形的翻折为载体，考查了立体几何中的轨迹问题的求解，同时考查了弧长公式的运用，解题的关键是根据AED ∆沿AE 翻折，使得D 在平面ABC 上的射影为K 在直线AE 上，利用D K AE '⊥，从而可得K 所形成的轨迹是以AD '为直径的一段圆弧D K '，求出圆心角D OK '∠，利用弧长公式求解弧长．10．已知0x >，0y >，若不等式()a x y x +≥a 的最小值为（ ）2++ 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，不等式()a x y x +≥，对于0x >，0y >，恒成立，所以max a ≥，令(,)f x y ==，0x >，0y >，令(0)t t =>，所以()g t =，则()g t '===可求得()g t 取得最，所以a≥ A.考点：利用导数研究函数的综合应用；不等式的恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查了不等式的恒成立问题的转化、导数在函数中的综合应用、导数求解函数的单调性与极值、最值的知识的应用，着重考查了转化的数学思想方法，属于难度较大的试题，本题的解答中，由不等式()a x y x+≥转化为maxa≥，(0)t t=>，可得()g t=，利用导数求解函数()g t的最大值，从而求解实数a的取值范围.第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题（本大题共6小题，每题4分，满分24分．）11．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是．【答案】2+【解析】试题分析：由三视图可知几何体为在一个四棱柱，如图所示，因为正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，所以四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱垂直于底面且棱长也为1，所以四棱锥的表面积为11121121222ABCD SAB SAD SBC SCDS S S S S S∆∆∆∆=++++=+⨯⨯⨯+⨯⨯=+正视图侧视图俯视图考点：三视图与几何体的表面积的计算.12.设,,,P A B C 是一个球面上的四个点，,,PA PB PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则该球的体积为 ．【答案】2考点：球的组合体及球的体积的计算.13.已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作斜率为2-的直线交双曲线的渐近线于P Q ，两点，M 为线段P Q 的中点．若直线1M F 平行于其中一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】17【解析】试题分析：如图所示，设2(,0)F c ，根据题意，得直线2PF 的方程为2()y x c =-，双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，联立2()y x c b y x a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2(,)22ac bc Q a b a b ++，联立2()y x c b y x a =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得2(,)22ac bc P a b a b ---，因为M 为线段PQ 的中点，若直线1MF 平行于其中一条渐近线，所以2PM MQ QF ==，所以22322bc bc a b a b ⨯=+-，解得4b a =，所以c e a ===考点：双曲线的几何性质.14.如图，直线l α⊥平面，垂足为O ，已知ABC ∆中，ABC ∠为直角，AB=2，BC=1，该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（1）A l ∈，（2）B α∈.则C 、O 两点间的最大距离为______.【答案】1考点：点、线、面间的距离的计算.15．已知00x y >>，，且满足18102y x x y+++=，则2x y +的最大值为 ． 【答案】18考点：基本不等式的应用.【方法点晴】本题主要考查了基本不等式的性质及其应用和一元二次不等式的解法及应用，属于中档试题，同时着重考查了转化与回归的数学思想方的和基本不等式的构造，平时要注意总结和积累，本题的解答中，把18102y x x y +++=变形为2881022x y x y+++=，再利用基本不等式求解10(2)x y +的最值，解关于 2x y +的一元二次不等式，即可求解2x y +的取值范围，确定2x y +的最大值.16. 在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为0=++c by ax ， 设cby ax c by ax ++++=2211δ 有下列四个说法：①存在实数δ，使点N 在直线l 上；②若1=δ，则过M 、N 两 点的直线与直线l 平行；③若1-=δ，则直线l 经过线段MN 的中点；④若1>δ，则点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 的延长线相交.在上述说法中，所有正确说法的序号是 .【答案】②③④考点：直线的一般方程；命题的真假判定与应用.【方法点晴】本题主要考查了两条直线的位置关系的判定与应用、点与直线的位置的判定与应用、直线一般式方程等知识的综合应用，试题难度较大，属于难题，本题的解答中，根据1δ=、1δ=-、1δ>三种情况，分别根据给定的新定义1122ax by c ax by cδ++=++，化简得到11ax by c ++和22ax by c ++的关系式，从而判定直线l 与线段MN 的位置关系，从而判定命题的真假.三、解答题（本大题共4小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分8分）关于y x ,的方程C ：04222=+--+m y x y x .（1）若方程C 表示圆，求实数m 的范围；（2）在方程C 表示圆时，若该圆与直线042:=-+y x l 相交于N M ,两点，且554||=MN ，求实数m 的值.【答案】（1）)5,(-∞；（2）4．【解析】试题分析：(1)由圆的一般方程可化为m y x -=-+-5)2()1(22，得50m ->，由此可求出实数m 的范围；（2）求出圆心到直线042:=-+y x l 的距离，由此利用已知条件，能求出实数m 的值． 试题解析：（1）方程可化为m y x -=-+-5)2()1(22若方程C 表示圆只需05>-m ,所以m 的范围是)5,(-∞ -----3分（2）由（1）圆的圆心C （1，2）半径为m -5，过圆心C 作直线l 的垂线CD ，D 为垂足， 则55||=CD ，又554||=MN ，知552||=MD -----6分 则222)552()55()5(+=-m ，解得4=m -----8分 考点：圆的一般方程.18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P A B C -中，BC ⊥平面APC ，AB =，2A P P CCB ===． （1）求证：AP ⊥平面PBC ；（2）求二面角P A B C --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）3π．考点：直线与平面垂直的判定；二面角的求解.19．（本小题满分12分）已知圆22:(1)(1)2C x y-+-=经过椭圆2222:1(0)x ya ba bΓ+=>>的右焦点F和上顶点B,如图所示．（1）求椭圆Γ的方程；（2）过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求OM OQ⋅的最大值.【答案】（1）22184x y +=；（2）．法二：设点00(,)Q x y ，000,0x y >>，考点：直线与圆锥曲线的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了直线、圆、椭圆、平面向量、分段函数等知识的综合应用，着重考查了直线与圆锥曲线的位置关系及运算能力、推理论证能力，同时考查了属性结合法、转化与化归及函数与方程等数学思想的应用，本题的解答中，设点00(,)Q x y ，00OM OQ x y ⋅=+，根据2200184x y +=，利用直线00b x y =+与椭圆方程2200184x y +=联立，由此可求解OM OQ ⋅取最大值. 20．（本小题满分14分）已知函数()ax f x x b=+,且(1)1f =,(2)4f -=. （1）求a ､b 的值； （2）已知定点(1,0)A ,设点(,)P x y 是函数()(1)y f x x =<-图象上的任意一点,求||AP 的最小值；（3）当[1,2]x ∈时,不等式2()(1)||m f x x x m ≤+-恒成立,求实数m 的取值范围.【答案】（1）2,1a b ==；（2）t =（3）24m <≤．【解析】试题分析：（1）由(1)1f =，(2)4f -=，代入可方程，解方程即可求解,a b 得关于,a b 的值；（2）由（1）可知()21x f x x =+，利用两点间的距离公式代入22222||(1)(1)4()1x AP x y x x =-+=-++，结合x 的范围看求10x t +=<，然后结合基本不等式即可求解；（3）问题即为221(1)||x m x x x m ≤++-对[1,2]x ∈恒成立,也就是||m x x m ≤-对[1,2]x ∈恒成立，则01m <<或2m >，法一：问题化为||m x m x -≤对[1,2]x ∈恒成立，从而可转化为函数的最值，利用函数的单调性即可求解；法二：问题即为221(1)||x m x x x m ≤++- 对[1,2]x ∈恒成立,也就是||m x x m ≤-对[1,2]x ∈恒成立，()g x x x m =-，结合函数的性质求解.【另解】221[(1)1]1||1(1)x x AP x x ++-+===+-+ 2||2[(1)]21)(1)AP x x x ∴=-++≥+<-+ ---------------8分 (3)问题即为221(1)||x m x x x m ≤++-对[1,2]x ∈恒成立,也就是||m x x m ≤-对[1,2]x ∈恒成立, 要使问题有意义,即x m ≠，则01m <<,或2m >. ----------10分法一:在01m <<或2m >下,问题化为||m x m x -≤对[1,2]x ∈恒成立, 即m m m x m x x-≤≤+对[1,2]x ∈恒成立,即2mx m x mx m -≤≤+对[1,2]x ∈恒成立, ①当1x =时,112m ≤<或2m >, ②当1x ≠时,21x m x ≥+且21x m x ≤-对(1,2]x ∈恒成立, 对于21x m x ≥+对(1,2]x ∈恒成立,等价于2max ()1x m x ≥+,法二:故问题转化为||x x m m -≤对[1,2]x ∈恒成立, 其中01m <<或2m >令()||g x x x m =-①若01m <<时,由于[1,2]x ∈,故2()()g x x x m x mx =-=-,()g x 在[1,2]x ∈时单调递增,依题意(2)g m ≤,43m ≥,舍去; ②若2m >,由于[1,2]x ∈,故22()()()24m m g x x m x x =-=--+, 考虑到12m >,再分两种情形: (ⅰ)122m <≤,即24m <≤,()g x 的最大值是2()24m m g =, 依题意24m m ≤,即4m ≤,24m ∴<≤; (ⅱ)22m >,即4m >,()g x 在[1,2]x ∈时单调递增,故(2)g m ≤,2(2)m m ∴-≤,4m ∴≤,舍去｡综上可得,24m <≤ ----------14分考点：函数的恒成立；函数的图象与性质及最值的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了利用待定系数法求解函数的解析式即基本不等式在求解函数的最值与值域等问题中的应用、函数的恒成立问题与函数的最值的综合应用，试题难度较大，属于难题，同时着重考查了转化与化归的思想方法，本题第3问的解答中，把221(1)||x m x x x m ≤++-对[1,2]x ∈恒成立，转化为||m x x m ≤-对[1,2]x ∈恒成立，则01m <<或2m >，问题转化为||m x m x -≤对[1,2]x ∈恒成立，从而可转化为函数的最值，利用函数的单调性即可求解或把221(1)||x m x x x m ≤++-，对[1,2]x ∈恒成立，转化为||m x x m ≤-对[1,2]x ∈恒成立，利用()g x x x m =-，结合函数的性质求解是解答本题的关键.高考一轮复习：。
2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题_Word版含答案
2016级高二期末考试试卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．i 为虚数单位，则2013i = （ ）A ．i -B ．1-C ．iD ．1 2．若()e x f x x =，则(1)f '＝( )A ．0B ．eC ．2eD ．2e3．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点坐标是()5,0,则双曲线的渐近线方程是 （ ）A ．34y x =±B ．43y x =±C．y x = D．y x = 4．下列叙述：①若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反；②若两个向量均为同一个平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行； ③若一条直线的方向向量与某一个平面的法向量垂直，则该直线与这个平面平行. 其中正确的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．学校体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，西侧有2个大门，某学生到该体育场训练，但必须是从南或北门进入，从西门或北门出去，则他进出门的方案有( )A ．7个B ．12个C ．24个D ．35个 6．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{}n a 的前n 项和为n S .由21n a n =-，求出2221231,2,3,S S S ===，…，推断：2n S n =B ．由()cos f x x x =满足()()f x f x -=-对∀x ∈R 都成立，推断：()cos f x x x =为奇函数C ．由圆222x y r +=的面积2S r π=，推断：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积S ab π=D ．由()()()222123112,212,312,+>+>+>…，推断：对一切n ∈N *，()212n n +>7．已知函数32()393f x x x x =--+，若函数()()g x f x m =-在[]2,5x ∈-上有3个零点，则m 的取值范围为( ) A ．(－24,8)B ．(－24,1]C ．[1,8]D ．[1,8)8．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足90AFB ∠=.过弦AB的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为ABC ．1D二、 75分，共35分．9．204sin xdx π=⎰10．已知01a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1,则复数z 对应的点Z 到原点距离的取值范围是 11．曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线方程是 . 12．棱长均为3的三棱锥S ABC -，若空间一点P 满足(1)SP xSA ySB zSC x y z =++++=，则SP 的最小值为 .13．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是 .14．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12A A 、，点P 在椭圆C 上，记直线2PA 的斜率为2k ，直线1PA 的斜率为1k ，则 1k ·2k = . 15．函数2()ln(1)f x x a x =++有两个不同的极值点12,x x ，且12x x <，则实数a 的范围是 三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分） 设p :实数x 满足22430x ax a -+<, :q 实数x 满足31x -<. (1)若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若其中0a >且p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 17．（本小题满分12分）如图,在三棱柱111ABC A B C －中,侧棱垂直底面,90ACB ∠=︒，12AC BC CC ===. （1）求证:11AB BC ⊥；（2）求二面角111C AB A －－的大小.18．（本小题满分12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()2462m y x x =+--，其中26x <<，m 为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求m 的值；（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数）. 19．（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S (即123n n S a a a a =++++)，且方程20n n x a x a --=有一根为n S －1，n ＝1,2,3…….（1）求12,a a ；（2）猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法给出严格的证明．20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M (0，13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分13分）已知),1ln()(+=x x f bx ax x g +=221)( （1）若0=a ，1=b 时，求证：0)()(≤-x g x f 对于),1(+∞-∈x 恒成立； （2）若2=b ，且)()1()(x g x f x h --=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（3）利用（1）的结论证明：若y x <<0，则2ln )(ln ln yx y x y y x x ++>+．CCBBDADA 9．4 10．()1,2 11．1y x =- 12．6 13．24 14．－34 15．10,2⎛⎫⎪⎝⎭16．解:（1）. 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<当1a =时，13x <<,即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.……………2分由31x -<, 得131x -<-<, 得24x <<即q 为真时实数x 的取值范围是24x <<,……4分 若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<.……6分(2) 由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --< p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即p ⌝⇒q ⌝,且q ⌝⇒/p ⌝, ……………8分设A ={|}x p ⌝,B ={|}x q ⌝,则AB ,又A ={|}x p ⌝={|3}x x a x a ≤≥或, B ={|}x q ⌝={x|x≥4或x≤2}，……………10分 则02a <≤,且34a ≥所以实数a 的取值范围是423a ≤≤12分 17．解：：方法一：（1）∵11,AC BC AC CC BCCC C ⊥⊥=且∴11AC C CBB ⊥平面，又111BC C CBB ⊂平面∴1111,,AC BC B C BC AC B C C ⊥⊥=且 ∴1111BC AB C AB AB C ⊥⊂平面，又平面 ∴11AB BC ⊥（2）取11A B 的中点为H ，在平面11A ABB 内过H 作1HQ AB ⊥于点Q ，连接1C Q 则111C H A ABB ⊥平面，∴11C H AB ⊥，而1C H HQ H =∴1111AB C HQ AB C Q ⊥∴⊥平面，∴1C QH ∠是二面角111C AB A －－的平面角，又1162C H A AB HQ ==，在内，解得∴111tan 3,60C HC QH C QH HQ∠==∠=︒∴二面角111C AB A －－为60°.18．解：（1）因为4x =时，21y =， 代入关系式()2462m y x x =+--，得16212m +=， 解得10m =.……………………4分 （2）由（1）可知，套题每日的销售量()210462y x x =+--，……………5分 所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦……………………8分从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<.令()'0f x =，得103x =,且在102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上,0)('>x f ，函数)(x f 单调递增；在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减， ……………………10分所以103x =是函数)(x f 在()2,6内的极大值点，也是最大值点，所以当103.33x =≈时，函数)(x f 取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. …………………12分19．解：(1)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12.……………3分当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是⎝⎛⎭⎫a 2－122－a 2⎝⎛⎭⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16.……5分 (2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0，即S 2n －2S n ＋1－a n S n ＝0. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得S n －1S n －2S n ＋1＝0.① 由(1)得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.由①可得S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3…. ……………7分下面用数学归纳法证明这个结论． (ⅰ)n ＝1时已知结论成立．……………8分(ⅱ)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k，……………10分 即S k ＋1＝k ＋1k ＋2，故n ＝k ＋1时结论也成立．……………12分综上，由(ⅰ)(ⅱ)可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立．……………13分1CA BC1A1B20．解：（1）设椭圆的焦距为2c，则由题设可知2221a c ca a cb ⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解此方程组得a =1b =. 所以椭圆C 的方程是2212x y +=. ……………………5分 （2）解法一：假设存在点T （u, v ）. 若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-， 将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=．设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--及112211,,33y kx y kx =-=-所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--2221212121(1)()()339v k x x u k kv x x u v =+-+++++++222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-=+ …………………9分 当且仅当0TA TB =恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以2222618180,0,33250.u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）. …………………11分 当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件. …………………13分解法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是22 1.x y +=若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是22116().39x y ++=……………7分 由22221,116().39x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得01x y =⎧⎨=⎩.由此可知所求点T 如果存在，只能是（0，1）. ………………8分 事实上点T （0，1）就是所求的点. 证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为221x y +=，过点T （0，1）；当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-，代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--= 设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩…………………10分因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-，21212121212416()1(1)()39TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++222216161632160.189k k k k ---++==+所以TA TB ⊥，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件. …………………13分 21．解：（1）设x x x g x f x -+=-=)1ln()()()(ϕ，则.1111)('+-=-+=x x x x ϕ………………….2分当时，)(x 有最大值0 ∴0)(≤x 恒成立。