高三理科数学专题复习课后练习18

3．2 同角三角函数基本关系与诱导公式

一、选择题

1．sin 43π·cos 5

6π·tan ? ??

??－43π的值是( )

A ．－334 B.334

C ．－34 D.3

4

解析：原式＝sin ? ????π＋π3·cos ? ????π－π6·tan ? ??

??－π－π3＝?

????－sin π3·? ????－cos π6·? ????－tan π3＝? ????－32·? ????－32·

(－3)＝－334 答案：A

2．α是第四象限角，tan α＝－5

12，则sin α等于( ) A.15 B ．－15 C.513 D ．－513

解析：∵???

sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝－512，

解得sin α＝±5

13

. 又∵α为第四象限角，∴sin α＜0.

∴sin α＝－5

13.故选D. 答案：D

3．已知cos(α－π)＝－5

13，且α是第四象限的角，则sin(－2π＋α)＝( )

A ．－1213 B.1213

C ．±1213 D.512

解析：由cos(α－π)＝－513得，cos α＝5

13，而α为第四象限角，∴

sin(－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－12

13，所以选A.

答案：A

4．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.1

2 B ．2

C ．－1

2 D ．－2

解析：由?????

cos α＋2sin α＝－5，①

sin 2

α＋cos 2

α＝1，

②

)

将①代入②得(5sin α＋2)2＝0， ∴sin α＝－255，cos α＝－5

5.∴tan α＝2.故选B. 答案：B

5．已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)

cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )

A ．{1，－1,2，－2}

B ．{－1,1}

C ．{2，－2}

D ．{1，－1,0,2，－2}

解析：当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos α

cos α＝2，

k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos α

cos α＝－2. 答案：C

6．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg 1

1－cos A

＝n ，则lg sin A

的值为( )

A ．m ＋1

n B ．m －n

C.12? ??

??m ＋1n D.1

2(m －n ) 解析：两式相减得lg(1＋cos A )－lg 1

1－cos A

＝m －n ?lg[(1＋

cos A )(1－cosA)]＝m －n ?lgsin 2A ＝m －n ，

∵A 为锐角，∴sin A ＞0，

∴2lg sin A ＝m －n ，∴lg sin A ＝m －n

2. 答案：D

二、填空题

7．如果cos α＝1

5，且α是第四象限的角，那么cos ? ??

??α＋π2＝__________.

解析：α是第四象限的角且cos α＝1

5，

∴sin α＝－1－cos 2α＝－26

5，

于是cos ? ????α＋π2＝－sin α＝265. 答案：265

8．已知函数f (x )＝sin n π

3(n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)的值为__________．

解析：由函数f (n )＝sin n π

3(n ∈N *)的周期为6 可知f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0 又2018＝6×335＋4

∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2018)＝3

2.

答案：3

2

9．若sin α＋cos α＝7

13(0＜α＜π)，则tan α＝__________.

解析：由sin α＋cos α＝7

13(0＜α＜π)①

得2sin αcos α＝? ??

??7132－1＝－120169＜0， ∴π

2＜α＜π，即sin α＞0，cos α＜0.

∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝ 1＋120169＝17

13，②

由①②解得sin α＝1213，cos α＝－513，∴tan α＝－12

5.

答案：－12

5 三、解答题

10．已知0＜α＜π2，若cos α－sin α＝－5

5，求：

2sin αcos α－cos α＋1

1－tan α

的值．

解析：∵cos α－sin α＝－55，∴1－2sin α·cos α＝1

5，

∴2sin α·cos α＝4

5，

∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝9

5.

∵0＜α＜π2，∴sin α＋cos α＝3

55，

与cos α－sin α＝－5

5联立解得：

cos α＝55，sin α＝2

5 5.

∴2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝cos α(2sin αcos α－cos α＋1)cos α－sin α

＝55? ????45－55＋1－55

＝55－95.

11．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23? ??

??π

2＜α＜π.求下列各式的值：

(1)sin α－cos α；

(2)sin 3? ????π2－α＋cos 3? ??

??π2＋α. 解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝2

3，

得sin α＋cos α＝2

3.①

将①式两边平方，得1＋2sin α·cos α＝2

9，

故2sin α·cos α＝－7

9， 又π

2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0. ∴sin α－cos α＞0.

(1)(sin α－cos α)2

＝1－2sin α·cos α＝1－? ??

??－79＝169，

∴sin α－cos α＝4

3.

(2)sin 3? ????π2－α＋cos 3? ??

??

π2＋α＝cos 3α－sin 3α

＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α)

＝? ????－43×? ?

???1－718 ＝－2227.

12．已知sin(θ＋k π)＝－2cos(θ＋k π)，k ∈Z .求： (1)4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ； (2)14sin 2θ＋2

5cos 2θ.

解析：由已知得cos(θ＋k π)≠0，

∴tan(θ＋k π)＝－2，k ∈Z ，即tan θ＝－2. (1)4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ＝4tan θ－25＋3tan θ

＝10. (2)14sin 2θ＋25cos 2θ＝14sin 2θ＋25cos 2θ

sin 2θ＋cos 2θ

＝14tan 2θ＋25tan 2θ＋1 ＝725.