第22讲开放性问题

第二十二讲开放性问题
温馨提示
所谓开放性问题是指：①问题内容是开放的，涉及到的面比较广，不仅仅局限于教材；②问题的条件是开放的，可能完整，也可能不完整；③问题的解答途径是开发的，具有探索性，孩子们可以运用已有知识和生活经验，提出假设、相互讨论、进行推理计算，问题的解答方式多样化，一题多解；④问题的答案是开放的，要求孩子从多个方面进行思考，不能满足于一个答案，要尽可能多地寻求答案，有时还要对众多答案进行甄别，选择最优化答案。

通过解决开放性问题的实践, 可以拓展学生的视野,激发孩子的创造潜能,让孩子学会学习。

我们常常通过列表或分类枚举的方法，列出开放性问题的所有答案。

例题精讲
【例1】有人民币5元一张、2元一张、1元2张、5角一张、2角三张、1角一张。

要从中拿出7.6元，可以怎样拿？
思路点拨：如果5元一张的不拿，剩下的钱合在一起也凑不齐7.6元，所以必须先拿一张5元的。

7.6－5=2.6（元）
再用剩下的2元一张、1元2张、5角一张、2角三张、1角一张，凑足2.6元。

拿法分两类：
①拿一张2元的，再凑6角，有两种方法：2元、5角、1角；或2元、2角、2角、2角。

②2元一张的不拿，另凑2.6元，也有两种方法：1元、1元、5角、1角；或1元、1元、2角、2角、2角。

所以这一题共有4种拿法。

【例2】有8个大小完全一样的球，其中一个是次品，已经知道次品球比其它球稍轻一些。

用一架没有砝码的天平，最少称几次可以找出这个次品球？
思路点拨：把8个球分成3份：第一份3个、第二份3个、第三份2个。

第一次称：在天平的两端各放3个，看这前2份是否一样重；
第二次称：如果第一次称得前2份一样重，表示这6个球里没有次品球，次品球必然在第三份里，把第三份2个球放到天平左右两端，一端1个，哪个球轻一些，哪个球就是次品；
如果第一次称得前2份不一样重，表示次品球在较轻的那一份里，第三份2个球里没有次品球不用再称。

拿出较轻的那一份3个球，再分成3份，每份1个，用天平称其中的2个，如果这两个里，有一个轻一些，这个就是次品球，如果被称的2个球一样重，则剩下的那个球就是次品球。

无论是哪种情况，称2次必然可以找出那个次品球。

解题技巧：解决这个问题的关键是，把8个球分成适当的3份。

【例3】在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？
思路点拨：上珠一个表示5，下珠一个表示1。

分三类枚举：
（1）两颗珠都是上珠时，可表示5005，5050，5500三个数；
（2）两颗珠都是下珠时，可表示1001，1010，1100，2000四个数；
（3）一颗上珠、一颗下珠时，可表示5001，5010，5100，1005，1050，1500，6000七个数。

一共可以表示3＋4＋7=14（个）四位数。

【例4】用五个1×2的小矩形纸片覆盖右图的2×5的大矩形，共有多少种不同
盖法？
思路点拨：如下图所示，只有1个小矩形
竖放的有3种，有3个小矩形竖放的有4
种，5个小矩形都竖放的有1种。

共3＋4
＋1=8（种）。

【例5】从十位数7677782980中划去5个数字，使剩下的5个数字（先后顺序不变）组成的五位数最小，这个最小五位数是多少？
思路点拨：一个多位数，高位上数字对应的计数单位要比低位上数字的计数单位大，要使这个五位数最小，要从高位到低位确定数字，使高位上的数字尽可能小。

因为要剩下5个数字且先后顺序不变，所以万位（最高位）上的数字只能在76 77782980的前六个数字（划线部分）中选择最小的数字6，然后再在7677782 980的划线部分选择最小的数字2作千位上数字，这时后面只剩下三个数字，因
此这个最小的五位数是62980。

参观海底世界，个人门票每人40元，满30人可购团体票，8折优惠（即每人3 2元）。

现有27人去参观，怎样购票最好？
【例6】参观海底世界，个人门票每人40元，满30人可购团体票，8折优惠（即每人32元）。

现有27人去参观，怎样购票最好？
思路点拨：
买团体票30张需要钱：30×32=960（元），
买个人票27张需要钱：27×40=1080（元），
1080元﹥960元。

所以，27人去参观，应该多买3张票凑成30张购团体票，这样买可以少花钱。

智慧挑战
1．在四位数中，有些数满足各位上数的积等于这四个数字中的一个，如1119，1×1×1×9=9，且积不能为0，你能写出这样的四位数吗？试一试。

2. 神州旅行社推出一日游A、B两种优惠方案。

A方案：小孩每位20元，大人每位60元。

B方案：团体5人以上（含5人），每位40元。

有10位家长带5名孩子，用哪种方案买票省钱？
3. 在科技作品评选中，有2人获一等奖，7人获二等奖，15人获三等奖。

组委会准备了1000元奖金分发给他们，每等奖之间的差距要拉开。

你知道组委会是怎样分发奖金的吗？
4. 小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两天不做同一门。

如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，这五天作业他共有多少种不同的安排？
5. 小明家有两块正方形台布，边长都是1米。

最近小明家新买了一张边长是1.3米的长方形的新桌子，两块台布都不合适用了，丢掉又太可惜。

你能替小明想个办法，使两块台布拼成一块正方形的大台布（布料没有剩余），盖住现在的新桌子吗？
家庭驿站
1. 岸上有75名学生，准备乘船过河。

来了一批小船，每船载人人数相等，同学们分3次过河，问有多少条船？（每船人数比1人多，比10人少）
2. 有一袋500克的白糖，老师交代贝贝用一台天平把它分成三份，一份70克，一份180克，一份250克。

当贝贝动手称时才发现，这架天平只配有两个砝码，5克和50克各一个。

贝贝一下子犯难了不知道该怎么分。

小朋友，你能帮贝贝分一分吗？最少要称几次？
参考答案：
1．在四位数中，各数位上数字的积等于这四个数字中的一个且不能为0，即四个数字的积是一位数，而且与其中的一个因数。

通过尝试、排除，可知满足条件的只有一种情况，即3个1加上一个一位数（与积相等的数字）。

根据与积相等的一位数的情况，可以把这样的四位数分为9类：
①1111
②2111、1211、1121、1112
③3111、1311、1131、1113。