对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
一道高考压轴题的另解及反思
一道高考压轴题的另解及反思-中学数学论文
一道高考压轴题的另解及反思
路便利
（巩义市第二高中，河南郑州451200）
摘要：本文笔者对2011浙江卷一道高考压轴题进行了分析解读，认为分离参数解决恒成立问题的基本思路在综合性问题中是有效的，当然这种方法不是万能的，但它能为学生提供一个思考方向，导数是高中数学和大学数学衔接的内容，近几年的高考题中导数题的综合性加强，在教学中要强化导数工具在研究函数性质中的应用，拓展学生的思路，提高学生解决综合问题的能力。
关键词：高考；分离参数；导数
中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-04-0036-01
分离参数解决恒成立问题的基本思路在综合性问题中是有效的，当然这种方法不是万能的，但它能为学生提供一个思考方向，导数是高中数学和大学数学衔接的内容，近几年的高考题中导数题的综合性加强，在教学中要强化导数工具在研究函数性质中的应用，拓展学生的思路，提高学生解决综合问题的能力。
由一道高考压轴题所引发的探究与思考
由一道高考压轴题所引发的探究与思考发布时间：2022-09-29T02:58:53.083Z 来源：《教学与研究》2022年11期 作者： 张宇伟[导读] 本文通过对2019年全国高考理科数学Ⅰ卷压轴题第（21）题——概率与统计题的问题情境、阅读理解、思想方法、数学运算、评价决策等方面的分析与探究，
张宇伟
广州市从化区从化中学 510900
摘要：本文通过对2019年全国高考理科数学Ⅰ卷压轴题第（21）题——概率与统计题的问题情境、阅读理解、思想方法、数学运算、评价决策等方面的分析与探究，明确解答这类问题需要提高学生学习数学的关键能力，实现从提高数学能力到发展数学核心素养的转变,并结合高考的变化趋势对备考复习进行反思.
关键词：高考数学；实践应用；能力
一、题目与解答
二、分析与探究
（一）问题情境：“为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．”说明这样试验是相互独立试验.用数学的符号语言可以这样描述：一轮试验共有4个可能的结果（每个结果就是一个基本事件），我们用符号√表示“治愈”，用符号×表示“未治愈”.所有可能结果分别是：甲√乙√；甲√乙×；甲×乙√；甲×乙×，并且每一轮试验是相互独立的.“一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．这样的一轮试验会反复进行”这便是独立重复试验.
（二）“为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．”建立数学模型，定义随机变量，题干最后一句话“一轮试验中甲药的得分记为”，即基本事件映射到实数集的函数.用表示一轮试验中施以甲药的得分，表示表示该轮试验中施以乙药的得分.用下面的表格表示该映射关系：
计算起步 研究发散 归纳提升——高考数学压轴题的教学探究与反思
由解法 １ ， 知 １ 上２ ｋ
所以是 ＿Ｊ 一 ｒ
，
．
段 的长 度 问题 尤其 是 比值或 倍数 问题 ， 都可 以转化 到 三 角形 中去 ， 利 用 三角 函数 、 三 角形 相 似 等 知 识 来 解
教师（ 剖析 ） ： 同学 们 在上 面 的解 题 中抓 住 了点 的 特 殊位 置 ， 利 用 圆 锥 曲线 的 定 义 对 距 离 长 度 进 行 了 转 化． 这时 ， 学 生 ３提 出 了不 同看 法 ， 他 认 为无 需 向准
＋ ￣ Ｆ ＋１ （ －１ ２ ＋２ ） Ｊ
『＿
．
直线 ＡＦ 与直 线 Ｂ Ｆ 。 平行 ， ＡＦ 与 Ｂ Ｆ 交于 点 Ｐ．
Ｂ Ｆ。 一 —
（ ｉ ） 若Ａ Ｆ 一Ｂ Ｆ ＝ ， 求 直线 ＡＦ 的斜率 ；
（ ｉ ｉ ） 求证 ： Ｐ Ｆ ＋ＰＦ 是 定值 ． （ 注： 本 文只 呈现 第 （ Ⅱ） （ ｉ ） 问 的 师 生探 究过 程．
思 路．
（ １ ＋２ ｋ ） ＋４ ｋ ＋２ ｋ。 一２ —０ ．
一
塑
ｌ＋ ２ ｋ ￣
一
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例 １ （ ２ ０ １ ２年 高考数 学 江 苏 卷第 １ ９题 ） 如图 １ ， 在 平 面直 角 坐
标系 ｘ Ｏｙ 中 ， 椭 圆 Ｔ ｙ Ｚ 一１ （ “
— —
ＡＦ 一ＢＦ 一 ， 就要 先求 出线 段 ＡＦ 。 、 Ｂ Ｆ 。的长 度 ，
而且 还必 须用 所要求 的斜 率来 表示 ， 这 就要 先 求 出点 Ａ、 Ｂ的 坐标 ， 于是可 设 出直 线方 程 ， 采 用 联 立方 程 组 的方法计 算解 决．
曲线 的统 一定 义实 现 向准 线距 离 的转 化 ， 所 以不 需求 ＡＦ 、 Ｂ Ｆ 的长 度 ， 只要 联 立 方 程 组 ， 利用韦达定理 ，
一道高考导数压轴题解答的优化与思考
[转]一道高考导数压轴题解答的优化与思考摘要：导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。
而“一题多解导数 ;一题多解 ;一题多变”教学有利于提高学生思维的发散性、灵活性,能激发学生的学习兴趣,对于学生从不同角度、不同侧面去分析问题、解决问题,提高学习能力有很大帮助.因此，教师在平时教学过程中应多选用一些有多种解法的例题进行讲解。
关键词：导数；一题多解；优化导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。
2010高考数学全国卷2第22题师生普遍反映抽象晦涩,难于求解.甚至参考答案看起来都一知半解。
笔者认为这道题的解法可以优化。
题目：（22）（2010年数学全国卷2 本小题满分12分）设．函数．（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．命题组的参考答案：（I）当时，当且仅当令当，是增函数；当是减函数。
于是在x=0处达到最小值，因而当时，所以当（II）由题设当不成立；当则当且令当（i）当时，由（I）知是减函数，（ii）当时，由（I）知当时，综上，a的取值范围是上述解答初看似乎非常简单，其实不然。
第一问非常简单，这里就不再叙述。
我们来分析第二个问，不妨把按上述展开，解: （I）略（II）由题设当不成立,当则当且仅当此时参考答案立刻分下述情况进行讨论（i）当时，由（I）知是减函数，（ii）当时，由（I）知当时，综上，a的取值范围是显然上述解法有些突然，令人觉得很费解。
那么，上面分类讨论的理由是什么呢？，为什么这样讨论？这一点似乎不大好解释。
如果这样解就很自然。
解析：（I）略（II）由题设当不成立；比较两种解法不难发现，方法2更好理解。
那么在遇到答案看不懂或一种方法做不起’的题目时，应该怎么办呢?平时教学“一题多解导数 ;一题多变”的训练是解决此类问题的好帮手。
让学生的个性品质在难题突破中得到升华--一道高考数学压轴题的突破感悟
一 、选题原则 ，导向为先
平常每次考试，学生都很难突破此类题.久而久之， 学生心理上已经将其归为难题了. 加上 2013年高考，命 题者将传统的直线与圆锥曲线题前移后，此题也确实承 载了压轴的重任.而用导数研究函数的性质是新课标倡 导的理念，也将其确定为核心知识，难怪高考要重 点 考 查这方面的内容了.
关于一道填空压轴题的命制与思考
关于一道填空压轴题的命制与思考该题的答案是：①②④.①考查了不等关系，重点考查学生的数学运算和逻辑推理两大数学核心素养.要求学生能够运用两角和与差的正余弦公式、同角三角函数基本关系式以及平方差公式等对题干的表达式进行简单的三角恒等变换，并利用余弦函数的单调性判断是否成立，有助于锻炼学生的数学运算能力②要求学生能处理综合性的问题，能够有根据图形探索解题的思路，运用数形结合、转化与化归等数学思想将抽象的数学符号转化为长方体，并结合长方体的性质和基本不等式求最值.③加深了解析几何与代数之间的联系，考查了共轭双曲线、离心率等基本概念，要求学生能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，能够通过逻辑推理，比较已知的平方关系与共轭双曲线中离心率关系的异同，进而进行判断，得出结论.④把空间角问题转化为平面角问题，考查了学生对反证法的掌握程度，希望学生能提炼出解答一类问题的数学方法，进一步提高逻辑推理能力.②③要求学生能够掌握图形与图形，图形与数量之间关系以及转化方法，能够借助图形探索出数学规律.学生需将三棱锥放置在更为熟悉的长方体中，根据“体对角线平方和等于长宽高平方和”这一基本数学事实建立关系式，将一些数学运算法则或性质（比如移项，两边同除一个非零实数等式仍然成立）抽象成为角的正弦函数式之间的平方关系，以此考查学生是否能够通过想象、转化，把复杂的数学问题以直观的方式表达出来，运用数形结合思想和转化思想来解答问题.四、反思1. 填空压轴题应具有创新性中国高考评价体系指出高考评价体系主要由“一核”“四层”“四翼”三部分内容组成.其中“四翼”明确提出了评价应具有基础性、综合性、应用性，创新性.不同的试题会有不同的考查重点，而填空压轴题的命制应偏向于“創新性”，激发学生的创新意识和创新思维，即设置新颖的试题内容和设问方式，促使学生主动思考，善于发现新问题，找到新规律，得出新结论.2.填空压轴题应体现出数学学科素养中国高考评价体系说明指出：学科素养主要用于在复杂情境中解决复杂问题.因此填空压轴题必须具有更强的综合性，且每个选项都应体现核心素养，让不同学业水平的学生都能有所收获.3. 命制填空压轴题时应紧扣课程目标在命制填空压轴题时，不应过分追求难度，应围绕提高学生的“四基四能”来进行，让不同层次的学生都能有自己的突破口，体现出“人文关怀”.。
攻克高考数学考压轴题的心得
攻克高考数学考压轴题的心得考压轴题也并非一点分数也抢不到！只要了解到高考数学压轴题的特点，并且掌握一定的答题技巧，相信高考生还是可以从中拿到一些分数的！说到高考数学压轴题，在很多高考生眼中，那是尖子生的天下。
其实高考压轴题也并非一点分数也抢不到！只要了解到高考数学压轴题的特点，并且掌握一定的答题技巧，相信高考生还是可以从中拿到一些分数的！首先同学们要正确认识压轴题压轴题主要出在函数，解几，数列三部分内容，一般有三小题。
记住：第一小题是容易题！争取做对！第二小题是中难题，争取拿分！第三小题是整张试卷中最难的题目！也争取拿分！其实对于所有认真复习迎考的同学来说，都有能力与实力在压轴题上拿到一半左右的分数，要获取这一半左右的分数，不需要大量针对性训练，也不需要复杂艰深的思考，只需要你有正确的心态！信心很重要，勇气不可少。
同学们记住：心理素质高者胜！第二重要心态：千万不要分心其实高考的时候怎么可能分心呢？这里的分心，不是指你做题目的`时候想着考好去哪里玩。
高考时，你是不可能这么想的。
你可以回顾高三以往考试，问一下自己：在做最后一道题目的时候，你有没有想“最后一道题目难不难？不知道能不能做出来”“我要不要赶快看看最后一题，做不出就去检查前面题目”“前面不知道做的怎样，会不会粗心错”……这就是影响你解题的“分心”，这些就使你不专心。
专心于现在做的题目，现在做的步骤。
现在做哪道题目，脑子里就只有做好这道题目。
现在做哪个步骤，脑子里就只有做好这个步骤，不去想这步之前对不对，这步之后怎么做，做好当下！第三重要心态：重视审题你的心态就是珍惜题目中给你的条件。
数学题目中的条件都是不多也不少的，一道给出的题目，不会有用不到的条件，而另一方面，你要相信给出的条件一定是可以做到正确答案的。
所以，解题时，一切都必须从题目条件出发，只有这样，一切才都有可能。
在数学家波利亚的四个解题步骤中，第一步审题格外重要，审题步骤中，又有这样一个技巧：当你对整道题目没有思路时，步骤(1)将题目条件推导出“新条件”，步骤(2)将题目结论推导到“新结论”，步骤(1)就是不要理会题目中你不理解的部分，只要你根据题目条件把能做的先做出来，能推导的先推导出来，从而得到“新条件”。
2022_年甲卷理数客观压轴题的探究及启示
２０２２年甲卷理数客观压轴题的探究及启示王东海(安徽省肥东县城关中学ꎬ安徽合肥２３１６００)摘㊀要:２０２２年甲卷数学第１２题源于教材ꎬ又高于教材ꎬ笔者以此题为例ꎬ从不同角度开拓思路ꎬ充分挖掘高考题的教学指导功能ꎬ再现命题的能力立意ꎬ并给出背景分析及启示ꎬ以期提高教学实效性.关键词:全国甲卷理数ꎻ解法探究ꎻ背景探究ꎻ教学启示中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２２－００９４－０４收稿日期:２０２３－０５－０５作者简介:王东海(１９７４.１２－)ꎬ男ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀好的试题来之不易ꎬ它需要命题老师源于教材ꎬ又要高于教材ꎬ要注重基础性㊁创新性ꎬ还要立足于考查考生的关键能力和数学学科核心素养.１真题呈现题目㊀已知ａ＝３１３２ꎬｂ＝ｃｏｓ１４ꎬｃ＝４ｓｉｎ１４ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｃ>ｂ>ａ㊀㊀㊀Ｂ.ｂ>ａ>ｃＣ.ａ>ｂ>ｃＤ.ａ>ｃ>ｂ分析㊀此题中三数的数值差距极小ꎬ如采用常规的作差法㊁作商法比较大小ꎬ则难以奏效.观察其结构特点ꎬ可尝试构造函数ꎬ再辅之求导判断其单调性进行比较大小.２解法探究探求思路１㊀这里如果将１４设为ｘꎬ则ａ＝１－１３２＝１－１２１４æèçöø÷２＝１－１２ｘ２ꎬｂ＝ｃｏｓｘꎬｃ＝４ｓｉｎｘꎬ这样就成功构造了函数ꎬ从而为下一步求导打下基础.解法１㊀令ａ＝１－１３２＝１－１２１４æèçöø÷２＝１－１２ｘ２ꎬｂ＝ｃｏｓｘꎬｃ＝４ｓｉｎｘꎬ因为ｘɪ０ꎬπ２æèçöø÷时ꎬ构造ｆ(ｘ)＝１－１２ｘ２－ｃｏｓｘꎬ则ｆᶄｘ()＝－ｘ＋ｓｉｎｘꎬｆᵡｘ()＝－１＋ｃｏｓｘɤ０.则ｆᶄｘ()＝－ｘ＋ｓｉｎｘ在０ꎬπ２æèçöø÷上单调递减.从而ｆᶄｘ()<ｆᶄ０()＝０ꎬ故ｆｘ()<ｆ０()＝１－０－１＝０.即ａ<ｂ.再令ｇｘ()＝ｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘꎬｘɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬ因为ｇᶄｘ()＝－ｘｓｉｎｘ<０ꎬ所以ｇｘ()在０ꎬπ２æèçöø÷上单调递减.则ｇｘ()<ｇ０()＝０－ｓｉｎ０＝０.即ｘｃｏｓｘ<ｓｉｎｘ.故１４ｃｏｓ１４<ｓｉｎ１４.所以ｂ<ｃ.综上ꎬｃ>ｂ>ａ.故选Ａ.探求思路２㊀这里比较大小时使用了构造法ꎬ而构造的函数不是唯一的ꎬ可以构造多种函数.解法２㊀设１２＝ｘꎬ则ａ＝１－ｘ２８ꎬｂ＝ｃｏｓｘ２ꎬｃ＝４ｓｉｎｘ２.当ｘɪ０ꎬπ２æèçöø÷时ꎬ构造ｆ(ｘ)＝１－ｘ２８－ｃｏｓｘ２ｆｘ()ꎬ因为ｆᶄｘ()＝－ｘ４＋１２ｓｉｎｘ２ꎬｆᵡｘ()＝－１４＋１４ｃｏｓｘ２＝１４ｃｏｓｘ２－１æèçöø÷<０ꎬ所以ｆᶄｘ()在０ꎬπ２æèçöø÷上单调递减.从而ｆᶄｘ()<ｆᶄ０()＝０.故有ｆｘ()<ｆ０()＝０.即ａ<ｂ.再证当ｘɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬｔａｎｘ>ｘ.设ｇｘ()＝ｔａｎｘ－ｘꎬ则ｇᶄｘ()＝１ｃｏｓ２ｘ－１>０.所以函数ｇｘ()在０ꎬπ２æèçöø÷上单调递增.所以ｇｘ()>ｇ０()＝０.故ｔａｎｘ>ｘ.从而ｃｂ＝４ｔａｎｘ２>２ｘ.因为１２＝ｘꎬ故４ｓｉｎ１４>２ˑ１２ˑｃｏｓ１４.所以ｃ>ｂ.综上ꎬｃ>ｂ>ａ.探求思路３㊀此题出现的几个式子都与ｓｉｎｘ㊁ｃｏｓｘ有关ꎬ这里还可以考虑利用ｓｉｎｘ㊁ｃｏｓｘ的放缩不等式尝试比较大小[１].解法３㊀由三角函数线的知识可得放缩不等式ｓｉｎｘ<ｘ<ｔａｎｘｘɪ０ꎬπ２æèçöø÷æèçöø÷.从而ａ－ｂ＝３１３２－ｃｏｓ１４＝１－ｃｏｓ１４－１３２＝２ｓｉｎ２１８－３１３２<２ˑ１８æèçöø÷２－１３２＝０.即ａ<ｂ.又ｃｂ＝４ｔａｎ１４>４ˑ１４＝１ꎬ所以ｃ>ｂ.综上ꎬａ<ｂ<ｃ.故选Ａ.评注㊀这类放缩不等式平时都会有所涉及ꎬ只要我们能够足够重视ꎬ运用起来就会得心应手.探求思路４㊀函数的泰勒展开式ꎬ对于比较大小往往会化繁为简.解法４㊀根据泰勒公式ꎬ知ｓｉｎｘ＝ｘ－ｘ３３!＋ｘ５５!－ ＋－１()ｎｘ２ｎ＋１２ｎ＋１()!＝ðɕｎ＝０－１()ｎｘ２ｎ＋１２ｎ＋１()!ꎬｃｏｓｘ＝１－ｘ２２!＋ｘ４４!－ ＋－１()ｎｘ２ｎ２ｎ()!＝ðɕｎ＝１－１()ｎｘ２ｎ２ｎ()!.由此而知ꎬａ＝３１３２ʈ０.９６８７.而由泰勒公式ꎬ知ｂ＝ｃｏｓ１４＝１－１/１６２!＋１/４()４４!－ ʈ０.９６８９.ｃ＝４ｓｉｎ１４＝４[１４－１/４()３３!＋ｘ５５!－ )ʈ０.９８９６.从而ａ<ｂ<ｃ.故选Ａ.评注㊀泰勒公式虽是估值计算ꎬ但对解决选填题的比较大小问题ꎬ不失为一种快速有效的方法.３推广拓展结论㊀设ｎȡ２且ｎɪＮ∗ꎬ则ｎｓｉｎ１ｎ>ｃｏｓ１ｎ>１－１２ｎ２.证明㊀由解法１知ꎬ当０<ｘ<π２时ꎬｓｉｎｘ>ｘｃｏｓｘ.从而ｎｓｉｎｘ>ｎｘｃｏｓｘ.令ｘ＝１ｎꎬ则ｎｓｉｎ１ｎ>ｃｏｓ１ｎ.再由泰勒公式知ｃｏｓ１ｘ>１－１２ｘ２ꎬ可得ｃｏｓ１ｎ>１－１２ｎ２ꎬ故获证.４几点启示４.１背景分析无论是从解题思路的获得ꎬ还是运算量大小ꎬ上述的第三种方法都相对比较简洁ꎬ并且其运用的泰勒公式的解题思路也是值得推广的.众所周知ꎬ若ｆｘ()在ｘ＝ｘ０处有任意阶导数ꎬ则ｆｘ()＝ｆｘ０()＋ｆᶄｘ０()ｘ－ｘ０()＋ｆᵡｘ－ｘ０()２!ｘ－ｘ０()２＋ ＋ｆｎ()ｘ０()ｎ!＋ ＝ðɕｎ＝０ｆｎ()ｘ０()ｘ－ｘ０()ｎｎ!.当ｘ０＝０时ꎬ上式右端叫做ｆｘ()泰勒公式的麦克劳林级展开.也就是说ꎬ我们可以将具有任意阶导数的函数展开成一个多项式函数ꎬ而高中所学的基本初等函数在定义域内大都具有任意阶导数.对于一些常见函数的泰勒展开式ꎬ在教学中要求学生尽量记住ꎬ如ｅｘ＝１＋ｘ＋ｘ２２＋ ＋ｘｎｎ!＋ ＝ðɕｎ＝０ｘｎｎ!ꎬｌｎ１＋ｘ()＝ｘ－ｘ２２＋ ＋－１()ｎ－１ｘｎｎ＋ ＝ðɕｎ＝０－１()ｎ－１ｘｎｎꎬ此式两边求导ꎬ得１１＋ｘ＝１－ｘ＋ｘ２＋ ＋－１()ｎｘｎ＋ ＝ðɕｎ＝０－１()ｎｘｎ.题１㊀(２０２２年全国Ⅰ卷理数７题)设ａ＝０.１ｅ０.１ꎬｂ＝１９ꎬｃ＝－ｌｎ０.９ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ａ<ｂ<ｃ㊀㊀㊀㊀Ｂ.ｃ<ｂ<ａＣ.ｃ<ａ<ｂＤ.ａ<ｃ<ｂ解析㊀根据泰勒公式ꎬ知ｅｘ＝１＋ｘ＋ｘ２２＋ｏｘ３()ꎬｌｎ１＋ｘ()＝ｘ－ｘ２２＋ｘ３３＋ｏｘ３()ꎬ由此而知ꎬａ＝０.１ｅ０.１＝０.１[１＋０.１＋０.１２２＋ｏ１０－３()]ʈ０.１１０５ꎬｂ＝１９ʈ０.１１１ ꎬｃ＝ｌｎ１＋１９æèçöø÷＝１９－１８１ˑ２＋ｏ１０－３()ʈ０.１０５.综上ꎬｃ<ａ<ｂ.故选Ｃ.题２㊀(２０２１年高考全国乙卷理１２)设ａ＝２ｌｎ１.０１ꎬｂ＝ｌｎ１.０２ꎬｃ＝１.０４－１ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ａ<ｂ<ｃ㊀㊀㊀Ｂ.ｂ<ｃ<ａＣ.ｂ<ａ<ｃＤ.ｃ<ａ<ｂ解析㊀因为ｌｎ１＋ｘ()＝ｘ－ｘ２２＋ｘ３３－ ꎬ１＋ｘ－１＝ｘ２－ｘ２８＋ｘ３１６－ ꎬ故ａ＝２ｌｎ１＋０.０１()＝２０.０１－０.０１２２＋０.０１３３－ æèçöø÷＝０.０２－０.０１２＋２ˑ０.０１３３－ ꎬｂ＝ｌｎ(１＋０.０２)＝０.０２－０.０２２２＋０.０２３３－ ＝０.０２－０.０１ˑ０.０２＋０.０２３３－ ꎬｃ＝１＋０.０４－１＝０.０４２－０.０４２８＋０.０４３１６－＝０.０２－０.０１ˑ０.０２＋０.０２３２－ ꎬ综上所述ꎬｂ<ｃ<ａ.故选Ｂ.题３㊀设函数ｆｘ()＝ｅｘ－１－ｘ－ａｘ２ȡ０对ｘɪ０ꎬ＋ɕ[)恒成立ꎬ求实数ａ的取值范围.解析㊀因为ｆｘ()＝ｅｘ－１－ｘ－ａｘ２ȡ０ꎬ所以ｅｘȡ１＋ｘ＋ａｘ２.由泰勒公式知ｅｘ＝ðɕｎ＝０ｘｎｎ!.当ａɤ０.５时ꎬ显然函数ｆｘ()＝ｅｘ－１－ｘ－ａｘ２ȡ０对ｘɪ０ꎬ＋ɕ[)恒成立.故ａɤ０.５.上面这三道高考题的解法运用到了高等数学中的部分知识ꎬ事实上近年来的高考题往往有高等数学的身影ꎬ如高等数学中的泰勒级数㊁洛必达法则㊁拉格朗日中值定理㊁函数的凸凹性㊁空间解析几何等.学生若是掌握了这部分知识可以很快给出答案.因此想考高分的同学ꎬ尽量还是要掌握一点大学的知识ꎬ笔者平时的教学也会根据学生情况进行分层教学ꎬ适当渗透一些高等数学的知识ꎬ如让学有余力的学生记住常用函数泰勒展开式㊁拐点等ꎬ并教会他们如何去运用[２].４.２追本溯源２０２２年高考数学全国甲卷第１２题是一道对思维能力有较高要求的好题ꎬ但它并不是无本之源ꎬ而是与教材有着紧密的联系ꎬ正是贯彻了高考命题源于教材㊁高于教材的理念.此题的通解通法是构造函数ꎬ然后判断单调性即可.它来源于人教版必修２第９４页第２题ꎬ证明下面不等式１()ｘ－１ȡｌｎｘꎬｘɪ０ꎬ＋ɕ()ꎬ２()１－１ｘɤｌｎｘꎬｘɪ０ꎬ＋ɕ().另外此题也与人教版(２０１９)数学必修１第２５６页２６题紧密联系㊁英国数学家泰勒发现了如下公式:ｓｉｎｘ＝ðɕｎ＝１－１()ｎｘ２ｎ＋１２ｎ＋１()!ꎬｃｏｓｘ＝ðɕｎ＝１－１()ｎｘ２ｎ２ｎ()!ꎬ这些公式被编入计算工具ꎬ比如用前三项计算ｃｏｓ０.３ꎬ得到ｃｏｓ０.３ʈ１－０.３２２＋０.３４４!＝０.９５５３３７５.试用你的计算工具计算ｃｏｓ０.３ꎬ并与上述结果比较.考题是以此课本习题为蓝本进行命题的.因此笔者在平时的实际教学中也非常重视对课本例习题的挖掘ꎬ尤其是对教材中的 好题 的挖掘ꎬ所谓好题ꎬ就是指蕴含丰富的数学思想㊁开阔的思路㊁广阔的切入点的课本例习题.针对这些好题ꎬ要挖掘其中的高等数学背景ꎬ剖析背后的数学本质ꎬ感悟试题设计所蕴含的数学思想等ꎬ这样才能为高考打好基础.４.３教学感悟４.３.１选择素材ꎬ一题多解从这次的高考数学来看ꎬ光靠题海战术ꎬ靠大量刷题是行不通的ꎬ它对学生的关键能力和创新思维有着要求ꎬ随着新高考的逐步落地ꎬ高考评价体系也在逐步完善ꎬ推动着高考命题由能力立意向素养导向的变革ꎬ近年来的高考全国卷在题型㊁情景㊁设问方式等方面不断进行改革ꎬ导致新高考阅读量和灵活度增大.高三备考复习课上ꎬ虽然教师有基本方法的小结ꎬ但学生往往无法上升到解题能力的提升ꎬ这就容易造成复习时间长㊁效率低㊁进度慢的局面.而在复习中精选素材开展 一题多解 教学则能开拓学生的解题思路ꎬ并引导学生从多种解法的对比中选出最佳解法ꎬ使学生分析问题㊁解决问题的能力得到提高.因此在实际教学中既要重点讲解通解通法ꎬ也要适当渗透其它一些解题方法ꎬ这样才能培养学生的发散思维.４.３.２培养编题ꎬ重视探究为了适应新高考的要求ꎬ我们还可以培养学生的编题能力ꎬ通过编题训练学生深入钻研和探究的能力.比如根据上述题目可编写:①比较ａ＝１０ｓｉｎ０.１ꎬｂ＝１００１０１ꎬｃ＝ｃｏｓ０.１ꎻ②比较ａ＝０.０１ｅ０.０１ꎬｂ＝１９９ꎬｃ＝－ｌｎ０.９９的大小等试题.参考文献:[１]罗增儒.解题分析:人人都能做解法的改进[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ１９９８(０７):２９－３０.[２]波利亚.怎样解题:数学思维的新方法[Ｍ].上海:上海科技教育出版社ꎬ２０１１.[责任编辑:李㊀璟]。
一道高考导数压轴题的多角度思考及解法
2020年7月1日理科考试研究•数学版• 13 .问题的流程为：审视数学问题（求A 4fiC 面积的取值 范围）-> 选择解决问题的方法（从数的角度或是从形 的角度人手来表示面积）—运用数学知识解决问题 (如何求目标函数的最值或是如何通过图形发现最值 时的位置).上述的求解思路表明，基于素养立意的试 题,考查方向通常有:一是考查考生会不会想到运用 哪些知识与方法解决问题;二是考查考生能不能熟练 且准确地运用数学知识与方法解决相应的问题[3].数学家哈尔莫斯说过：“数学的真正组成部分是问题和求解.研究数学，基本上都是在努力提出数学 问题和解决数学问题.” “函数与方程思想”及“数形 结合思想”是高考重点考查的两大思想方法.对“函数 与方程思想”的考查，在全国卷中，经常以三角函数为 载体，考查求值、最值与取值范围问题，求解策略一般 为构造出待求最值关于某个变量的函数或构造出关 于待求值的方程.对学生“数形结合思想”的考查，大 致可分为“以形助数”和“以数助形”两种情形.2019 年高考全国1D 卷理科第18题，没有出现任何图形，考查学生如何根据动点C 的运动，对图形展开想象，由 “数”构造出“形基于画图、用图和对图形的想象而 命制试题，是素养立意的重要体现方式.基于高考改革带来的变化，教师在平时的解题教 学中也要与时俱进，努力寻求合理的教学策略，需要 更新理念:领悟思想比做题重要;深度思考比答题方 法重要;培养能力比分数重要；提高学科素养比考试 重要[4].参考文献：[1] 林新建.思想立意,将数学解题臻于完美[M ].长春： 吉林大学出版社,2016.[2] 任子朝.从能力立意到素养导向[J ].中学数学教学参 % ,2018(13) ：1.[3] 柯跃海.选拔性数学考试的命题与评价[M ].西安:陕 西师范大学出版总社,2018.[4]林运来.数学教学髙手的秘密[M ].上海:华东师范大学出版社,2018.(收稿日期:2020 - 02 - 24)一道高考导教汪轴题的多角皮思考及鮮法杨应洪(六枝特区第一中学贵州六盘水5534〇0)摘要：本文以2018年全国m 卷第2丨题为载体，结合高中函数导数的基本知识，利用高数中的原理分析含参导数问题的优越做法.关键词：函数；导数；极值点含参导数问题是高考的一个难点，也是高考热 点.本文以2018年全国m 卷第21题为例，利用洛必 达法则与极值的第二充分条件来解答此题.1真题再现题目（2018年全国m 卷第21题）已知函数/'(X )-(2 + x + ax ") In (1 + x ) — 2x .(1) 若 a =〇,证明：当-1 <*<〇 时/(*) <〇;当 *>0 时/(*) >0;(2) 若* =0是/(*)的极大值点，求a .2第（2)问解法分析解法1 (官方解答）①若a >〇,由（1)知，当* >〇 时>/(•*)在（2+ ：»)In (1+*)-2* >0=/(0)，这与 *=〇是/(：〇的极大值点矛盾.作者简介：杨应洪（1989-),男，贵州六枝人，本科，中学二级教师，研究方向：高中数学教学.②若a <〇,设函数W *) ' ’⑷2 =ln(l +^)2 x + ax2x2 + x + ax 2由于当 |i | <min|l 时，2 + x +ax 2 >0,故&U )与/U )符号相同.又/i (0) =/(0) =0，故％=0是/U )的极大值点，当且仅当x =〇是/i U )的极大值点.ra ^ x 1 2(2 + x + ax ") -2x (\ + 2ax )因为/i (x )=厂厂-------—------rh ------1 (2 + ^ + ax )_ x 2 ( a 2x 2 -f ~ Aax + 6a 1)(^: + 1) ( ax 2 + a : + 2)2.14 •理科考试研究•数学版2020年7月1日如果 6a + 1>0,则 0 <;c < - 且 UI <4amin{ 1a;) >0.故x=o不是/i U)的极大值点.如果6a+ 1 <0,则当 a2%2 +4ax+6a+ 1 =0 时，存在根。
几道高考压轴题的自然解法与解题思考
通 过 直 观 想 象 ，使解题变得轻松自然.
题 2 (2018年高考浙江卷第2 2 题 ）已知函数
/(%) = 7^" - lru;. ( I ) 若/ ( % )在 ％= ^
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处导数相等，证 明 : / ( ' ) + / ( ' ) > 8 -81n2;( I I ) 若 a 矣 3 - 41n2,证明：对于任意& > 0 , 直 线 ;x
2018年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题: 如图，圆 C 与 x 轴相切于点7X2 , 0 ) 与^轴的正半轴
[1 ]任子朝.从能力立意到素养导向[J ]. 中学数学教学参考 2 0 1 8 ( 5 ) ：1.
几道高考压轴题的自然解法与解题思考
福 建 省 闽 清 教 师 进 修 学 校 （350800) 黄如炎
>〇 ，/ “ ）递 增 ，/ U ) </(〇) = 〇 ，/ u ) 递 减 ， /(%) >/(〇) = 〇,故％ = 〇为/U ) 极大值点.
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2019年第2 期
中学数学研究
45
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对一道高考数学卷压轴题的研究与反思
高考数学卷压轴题往往是难度最大、思维最复杂的一道题目。
对于考生来说，这不仅是一件考验智商的事情，更是挑战思维和解题能力的机会。
在解答这种类型的题目时，要有耐心、细心、理智，思路清晰，方法得当。
首先，要认真阅读题干，明确问题。
在阅读中须注意数据和条件，梳理各种信息，尤其是一些重要的条件和限制，如区间、范围、等式、不等式以及与相关变量的关系等，对于解题过程中的把握和计算将起到至关重要的作用。
其次，要找到合适的方法和解决思路。
针对不同的题型，应该灵活运用代数、几何、统计、推理、概率等各种数学知识，找到最简单、最快捷的方法来求解问题。
如对于一些图形变换题目或者容斥原理等组合问题，我们可以运用几何知识去思考、解题；对于一些像余弦值或正切值之类的三角函数问题，我们可以通过代数和几何相结合想办法求出其近似值，并进一步搭配其他相关性函数来解决; 使用几何思想推导数学定理等都是一些灵活应用的例子。
最后，在解答过程中也要注意细节，严密把握每一步计算、推导。
不要心急，一定要认真检查，以防万一出错。
此外，要保持冷静，乐观态度，坚定信念，不要让不必要的紧张和焦虑影响到正常解题思路和效率。
总的来说，对于一道高考数学卷压轴题，解答的关键在于平时复习的基础和对综合运用各种解题思路的灵活性。
要不断摸索，积累经验并灵活运用，带着问题思考和解决问题的能力在高考时打出好成绩。