数学人教版九年级上册二次函数的图像和性质的综合(线段的最大值问题)
2022年九年级中考数学专题复习讲义 二次函数中的最值问题(线段和面积最值)
2022年九年级中考数学专题复习讲义 二次函数中的最值问题（线段和面积最值）
二次函数中的最值问题
问题背景：在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）.
（1）求二次函数的表达式；
一、线段最值问题：
（2）点M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN∥y轴交直线AC于点N，求出线段MN的最大值，并求出此时点M的坐标；
思考：此时还能通过几何构图确定动点位置，从而计算相应的MN的最值吗？
（3）点M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MN∥y轴交直线AC于点N，作ME∥AC于点E，求∥MEN周长的最大值，并求出此时点M的坐标；
思考：由动点M生成动点N，E，∥MEN三边长虽然均为变量，但它们之间有怎样的数量关系？
变式：∥MEN的面积有最大值，求出其最大值.
（4）如图，点M为直线AC上方抛物线上一动点，连接OM与AC交于点F，求MFFO的最大值；
思考：MF与OF是斜线段，它们的长度好表示吗？
变式：如图，点M为直线AC上方抛物线上一动点，连接OM与AC交于点F，当23MFFO时，求此时点M的坐标；
（5）如图，连接BC，点P为直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PQ∥y轴交AC线段于点Q，过点Q作QG∥BC交x轴于点G，求31010PQGQ的最大值及此时点P的坐标
（6）如图，点P为直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AC于点D，过点P作y轴的平行线交x轴于点E，求PD＋PE的最大值及此时点P的坐标；
二、面积最值问题
用铅垂法表示三角形面积的计算公式为：12S铅垂高水平宽
（7）点M是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点M，使∥ACM的面积最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（8）点M是直线AC下方的抛物线上一动点，是否存在点M，使S∥ACM＝15？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
专题05二次函数-线段最大值问题解析版
第五讲 二次函数--线段最大值问题目录必备知识点.....................................................................................................................................................1考点一 单个线段的最大值...........................................................................................................................1考点二 线段之和的最大值...........................................................................................................................6考点三 线段之差的最大值.........................................................................................................................24考点四 线段之比的最大值.........................................................................................................................27
必备知识点
考点一 单个线段的最大值
1．如图1，抛物线y＝﹣+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点C在
y轴上，点B的纵坐标为﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA
数学人教版九年级上册二次函数最值问题
二次函数（专题二）：最值和特殊几何图形存在性问题
一．二次函数中几何图形最值问题（线段长度和与差、三角形或四边形的周长和面积等）例1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？
若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB
是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若
没有，请说明理由.
练习.抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点，已知抛物线的对称轴为x＝
1，B（3，0），C（0，-3）。
（1）求抛物线的解析式。
（2）在对称轴上是否存在一点P，使得点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M、N两点，若线段MN的中点到x轴的距离刚好
等于的MN
长的一半，求此这条直线的解析式。
二．二次函数中特殊几何图形问题（直角三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形等）
例1.已知二次函数y=x2-(m2+8)x+2(m2+6)，设抛物线顶点为A，与x轴交于B、C两点，问
是否存在实数m,使△ABC为等腰直角三角形，如果存在求m;若不存在说明理由。
练习.一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，
且AC⊥BC．
(1)若m为常数，求抛物线的解析式；
(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？若存在，
求出m的值；若不存在，请说明理由．
例2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm，
人教版数学九年级上专题二 抛物线(二次函数)线段、周长与面积的最值专题【学生版】
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初中数学
1 / 10 专题二 抛物线（二次函数）线段、周长与面积的最值专题
（一）将军饮马问题及其延伸
1、在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.
解题思路：作定点B关于直线l的对称点C,连接AC,交
直线于点Q，当点P运动到点Q，最小值为AC.
证明：关键是作其中一个定点的对称点，使得PB=PC，求
PA+PB的最小值，即求PA+PC的最小值。再转化为
上述题型。
2、如图，在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．
解题思路：作点A关于OM的对称点'A，作点A关于ON的
对称点''A ，连接'''AA，与OM交于点B，
与ON交于点C，连接AB，AC，此△ABC周长最短．
证明：两点之间，线段最短
3、如图在∠MON的内部有两点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．
解题思路：作点A关于OM的对称点'A，作点B关于ON的
对称点'B ，连接''BA，与OM交于点C，
与ON交于点D，连接AC，BD，此四边形
ABCD周长最短．
证明：两点之间，线段最短。
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初中数学
2 / 10 4、如图，直线l外有A,B两个定点，在l上找一点P,使得PBPA最大
解题思路：延长AB交直线l于点Q,当点P运动到点Q，
PBPA最大值为AB.
证明：三角形任意两边之差小于第三边，
当A、B、P三点共线可取等于.
5、如图：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
人教版数学九年级上册《二次函数的图像和性质》综合练习(附答案)
1 22.1二次函数图像性质 综合练习题(附答案)
1、函数2hxay的图象与性质
1、抛物线2321xy，顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而减小， 函数有最 值 。
2、试写出抛物线23xy经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
（1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。
3、请你写出函数21xy和12xy具有的共同性质（至少2个）。
4、二次函数2hxay的图象如图：已知21a，OA=OC，试求该抛物线的解析式。
5、抛物线2)3(3xy与x轴交点为A，与y轴交点为B，求A、B两点坐标及⊿AOB的面积。
6、二次函数2)4(xay，当自变量x由0增加到2时，函数值增加6。求：（1）求出此函数关系式。（2）说明函数值y随x值的变化情况。
7、已知抛物线9)2(2xkxy的顶点在坐标轴上，求k的值。
2 2、khxay2的图象与性质
1、请写出一个以（2， 3）为顶点，且开口向上的二次函数： 。
2、二次函数 y＝(x－1)2＋2，当 x＝ 时，y 有最小值。
3、函数 y＝12 (x－1)2＋3，当 x 时，函数值 y 随 x
的增大而增大。
4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到。
5、已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是
6、如图所示，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是（ ）
A、x>3 B、x<3 C、x>1 D、x<1
人教版初中数学九年级上册二次函数重点知识归纳
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人教版初中数学九年级上册二次函数重点知识归纳
知识点1 二次函数的概念和一般形式
1.概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a ，b ，c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中， x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
【注意】（1）自变量x的最高次数是2，a≠0，b，c可以为0；（2）含自变量x的代数式是整式而不是分式或根式。
2.一般式：y=ax2+bx+c（a ，b ，c 是常数，a≠0）
知识点2 二次函数的图像和性质
1.二次函数的图像：是一条平滑的曲线叫做抛物线。
2.二次函数图像的画法：①列表；②描点；③连线。
3.二次函数的解析式（4种形式）
（1）y = ax 2（a≠0）
（2）y = ax 2+k（a，k是常数，a≠0）
（3）y = a（x-h）2（a，h是常数，a≠0）
（4）y = a（x-h）2+k（a，k，h是常数，a≠0
4.二次函数的图像和性质：
分别从五种图像（4种特殊+1个一般式）和7个性质（顶点特点、开口方向、顶点坐标、对称轴、最值、增减性、形状和大小等7个方面研究）。如下图：
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二次函数的图像与性质
解析式
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
图像 a>0
a <0
顶点特点 顶点在原点 顶点在y轴上 顶点在x轴上 ———— ————
开口方向 a>0，开口向上； a <0，开口向下
顶点坐标 （0,0） （0，k） （h，0） （h，k） （−𝒃𝟐𝒂，𝟒𝒂𝒄−𝒃²𝟒𝒂）
对称轴 Y轴 Y轴 直线x=h 直线x=h 直线x=−𝒃𝟐𝒂
最值 ①若a>0，当x=0时，y有最小值0
②若a<0，当x=0时，y有最大值0 ①若a>0，当x=0时，y有最小值k
②若a<0，当x=0时，y有最大值k ①若a>0，当x=h时，y有最小值0
人教版九年级上册数学二次函数的图象和性质(二)
22.1.3 二次函数2)(hxay的图象和性质（二）
知识点：抛物线2)(hxay的特点有：
(1)当0a时，开口向 ；当0a时，开口向 。
(2)对称轴是 ，顶点坐标是 。
(3)当0a时，在对称轴的左侧（hx），y随x的 ，在对称轴的右侧（hx），y随x的
；当0a时，在对称轴的左侧（hx），y随x的 ，在对称轴的右侧（hx），y随x的 。
(4)当x 时，函数y的值最大（或最小），是 。
一．选择题
1.把二次函数2xy的图象向右平移3个单位长度，得到新的图象的函数表达式是（ ）
A. 32xy B. 32xy C. 2)3(xy D. 2)3(xy
2.抛物线2)3(2xy的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A.3),0,3(x直线 B. 3),0,3(x直线
C. 3),3,0(x直线 D. 3),3,0(x直线 3.已知二次函数2)1(3xy的图象上有三点 ),2(),,2(),,1(321yCyByA ，则321,,yyy的大小关系为（ ）
A.321yyy B. 312yyy C. 213yyy D. 123yyy
4.把抛物线2)1(6xy的图象平移后得到抛物线26xy的图象，则平移的方法可以是（ ）
A.沿y轴向上平移1个单位长度
B.沿y轴向下平移1个单位长度
C.沿x轴向左平移1个单位长度
D.沿x轴向右平移1个单位长度
5.若二次函数12mxxy的图象的顶点在x轴上，则m的值是（ ）
数学人教版九年级上册二次函数线段的最大值
二次函数专题训练
类型一 与线段、周长有关的问题的导学案
一、考点聚焦
（一）与几何最值有关的知识点。
1.两点之间，线段最短；
2. 在直线外一点与直线上各点连线中，垂线段最短；
3. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（二）求线段和的最小值，线段差的最大值
二、玩转重庆四年中考
（2016年B卷26（2）题 ， 2015年A卷26（2）题，）
（2014年A卷25题，2013年A卷25（2）题，B卷25（2）题 ）
三、典例精讲
例 1 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A、
B(1，0)，与y轴交于点C，直线y＝21x－2经过
点A、C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)设点E为x轴上一点，且AE＝CE，求点E的坐标；
(3)设点G是y轴上一点，是否存在点G，使得GD＋GB的值最小，若存在，求出点G的
(4)在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F的坐标及△BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由；
(5)在y轴上是否存在一点S，使得SD－SB的值最大，若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由；
(6)若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC于点K，设点H的横坐标为h，线段HK＝d.
①求d 关于h的函数关系式；
②求d 的最大值及此时H点的坐标．
四、针对演练 与课后作业 （1、2、3题必作题， 4题选作）
1. 如图，抛物线y＝－41x2＋bx＋c的图象过点A(4，0)，B(－4，－4)，且抛物线与y轴交于点C，连接AB，BC，AC.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上的点，求△PBC周长的最小值及此时点P的坐标；
(3)若E是线段AB上的一个动点(不与A、B重合)，过E作y轴的平行线，分别交抛物线及x轴于F、D两点. 请问是否存在这样的点E，使DE＝2DF？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
数学人教版九年级上册二次函数专题复习------动点图形的最值问题
二次函数专题复习------动点图形的最值问题
一、教学目标：
1. 利用函数图像的性质解决动点图形，如线段最大值，三角形面积最大值，三角形、四边形周长的最小值
2.培养学生阅读理解能力，收集处理信息能力
3.培养学生数形结合思想、转化思想
二、教学重点：动点三角形面积最大值
三、教学难点：动点形成的线段最大值
四、教学过程：
例1：如图，二次函数322xxy的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
(1) 求直线BC的解析式；
(2) 点E抛物线在第一象限上的动点，过点E作EF∥y轴交直线BC于点F，求线段EF长度的最大值；并求出此时E点的坐标
(3) 在直线BC上方的抛物线上，是否存在一点P，使得△CBP的面积最大？若存在，求出△CBP面积的最大值并求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【归纳】：斜放三角形面积
SABC=
练习：求三角形面积
例2：如图，已知抛物线562xxy与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
（1）求直线BC解析式
（2）点M是直线BC下方抛物线上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN长度的最大值；并求出此时M点的坐标
（3）在直线BC下方的抛物线上，是否存在一点P，使得△CBP的面积最大？若存在，求出△CBP面积的最大值并求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(4) 在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使得△ACQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；
（5）点C关于抛物线对称轴的对称点为点D ，点E、F为线段OB上两个动点，且EF=2，使四边形CEFD周长最小？若存在，求出点E、F的坐标
练习1： 如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
九年级数学二次函数最值问题
九年级数学二次函数最值问题
我们要解决一个关于二次函数的最值问题。
首先，我们需要理解二次函数的基本性质，特别是它的开口方向和顶点。
假设我们的二次函数是 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a ≠ 0。
二次函数的开口方向由 a 决定：
1. 如果 a > 0，则函数开口向上。
2. 如果 a < 0，则函数开口向下。
二次函数的顶点坐标是 (-b/2a, c - b^2/4a)。
对于开口向上的二次函数，其最小值就是顶点的 y 坐标。
对于开口向下的二次函数，其最大值就是顶点的 y 坐标。
现在，我们要求出给定函数的最值。
给定的二次函数是 f(x) = -x^2 + 2x。
首先，我们确定函数的开口方向。由于 a = -1 < 0，函数开口向下。
接下来，我们找到函数的顶点。顶点的 x 坐标是 -b/2a = -2/(-2) = 1，y
坐标是 c - b^2/4a = 0 - 2^2/(-4) = 1。
因此，函数的顶点是 (1, 1)。
由于函数开口向下，所以函数的最小值是 1。