高考数学专题复习导数中两种零点问题解决方法

导数中的零点问题解决方法

解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。

一、能直接分离参数的零点题目

此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。

例1.已知函数(),()ln a f x x g x x x =+=，若关于x 的方程2()()2g x f x e x

=-只有一个实数根，求a 的值。解析：22()ln ()22g x x f x e a x ex x x =-?=-+，令2ln ()2x h x x ex x

=-+，'21ln ()22x h x x e x -=

-+，令'()0h x =，则x e = 当0x e <<时，'()0h x >，()h x 单调递增；当x e >时，'()0h x <，()h x 单调递减，2max 1()()h x h e e e

==+ 注意这里()h x 的单调性不是硬解出来的，因为你会发现'()h x 的式子很复杂，但是如果把()h x 当成两个函数的和，即2ln (),()2x m x n x x ex x

==-+，此时(),()m x n x 的单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出()h x 的单调性和极值点。所以21a e e

=+（注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可）二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题）

这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如()f x 在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说

明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着()f x 在区间(0,1)上存在极值点。

在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间的个数，二是参数影响函数的极值或最值，而通过这两个方向就可以影响函数的趋势图像，进而影响零点的个数，因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。例2.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是

2()31f x x =-+有两个零点，不符合题意

当0a >时，'2()363(2)f x ax x x ax =-=-，若'()0f x >，则20x x a

><或若'()0f x <，则20x a <<

，此时函数在(,0)-∞上单增，(1)20f a -=--< 此时在(,0)-∞上存在零点，不符合题意。

当0a <时，若'()0f x >，则20x a <<，若'()0f x <，则2x a

<或0x > 此时要保证函数存在唯一的正零点，则2()0f a

>，解得(,2)a ∈-∞- 注意：如果不是的大题没必要分类讨论，做出符合题意的图像反推即可

例3.已知函数2()ln 2f x x x b x =++--在区间1[,]e e

上有两个不同零点，求实数b 的取值范围。解析：2'

222(2)(1)()x x x x f x x x +-+-==，可知函数()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，要保证函数()f x 在1[,]e e

上有两个不同的零点，根据函数的趋势图像可

得必须满足1()0

2(1)011()0f e f b e e f e ?≥??

例4.已知函数

32()f x x ax b =++ （1）讨论()f x 的单调性；

（2）若b c a =-，当函数

()f x 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22

-∞-??+∞，求c 的值。解析：（1）当0a =时，()f x 在R 上单调递增

当0a >时，()f x 在2(,),(0,)3a -∞-+∞上单调递增，在2(,0)3

a -上单调递减；当0a <时，()f x 在2(,0),(,)3a -∞-

+∞上单调递增，在2(0,)3a -上单调递减；（2）只有当0a ≠时才有可能满足()f x 有三个零点

因为()f x 有两个极值点324(0),()327a f b f a b =-

=+，要满足有三个零点必须满足2(0)()03a f f ?-<，结合b c a =-可得330044002727

a a a a c a a c >-+

-∞-??+∞ 所以题目可以转化为

34027a a c -+>在33(1,)(,)22a ∈?+∞上恒成立，且34027

a a c -+<在(,3)a ∈-∞-上恒成立

高考数学(理)总复习：利用导数解决函数零点问题

题型一利用导数讨论函数零点的个数【题型要点解析】对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)画出函数草图； (4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．1.已知f (x )＝ ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝????? f (x )，f (x )≥ g (x )，g (x )，f (x )0)的零点个数．【解】 (1)∈函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，∈f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1 ＝0或x 2＝2 a ，∈a >0，∈x 1

即不等式2a ≤1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上有解．设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1 x 3(x ∈[1,2])， ∈y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立， ∈y ＝1x 3＋3 x 在x ∈[1,2]上单调递减， ∈当x ＝1时，y ＝1x 3＋3 x 的最大值为4， ∈2a ≤4，即a ≤2. (3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ?? ? ??a 2＝1－4a 2， ∈当1－4 a 2>0，即a >2时，f (x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋ ∞)上无零点． ∈当1－4 a 2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0. 又g (1)＝0，∈h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有一个零点． ∈当1－4 a 2<0，即00， ∈存在唯一的x 0∈?? ? ??1,1e ，使得φ(x 0)＝0， (∈)当0