高中数学第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系课件新人教A版必修1
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(新课程)高中数学《1.1.2 集合间的基本关系》课件 新人教A版必修1
解析：∵A＝B，∴1－m＝2.解得m＝－1. 答案：－1
5．已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，求 实数a的取值集合．
解：将数集A表示在数轴上(如右图所示)，要满足A⊆B， 表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所 以所求a的取值集合为{a|a≥4}．
类型一 有关子集的概念 【例1】 已知集合A＝{0,1,2}，且B⊆A，求集合B. 思路分析：B中的元素都属于A，故从A中取元素可得 B，同时注意B为空集及和A相等的情况． 解：集合B为Ø，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{1,2}，{0,2}， {0,1,2}．
温馨提示：两个集合相等，就是一个集合中的任何一 个元素一定是另一个集合中的元素，但集合中的元素是互 异的，无序的．解题时，要注意所求参数应满足互异性和 题意．
类型四 子集问题的应用 【例4】 设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m ＋1}，已知B⊆A. (1)求实数m的取值范围； (2)当x∈N时，求集合A的子集的个数． 思路分析：由B⊆A，需就B＝Ø或B≠Ø两种情况对B进 行分类讨论，特别是B＝Ø不可遗漏．
温馨提示：因为B⊆A，首先应用分类讨论数学思想分 B≠Ø与B＝Ø两种情况，然后再利用集合A，B之间的关系 建立不等式进行求解．解决该类问题常借助数轴把集合A， B表示出来，利用数形结合的思想解决，但要特别注意端点 值的取舍．
已知{a，b}⊆A {a，b，c，d，e}，写出所有满足 条件的A.
解：∵{a，b}⊆A， ∴a∈A，b∈A. 又A {a，b，c，d，e}， ∴集合A为{a，b}、{a，b，c}、{a，b，d}、{a，b， e}、{a，b，c，d}、{a，b，c，e}、{a，b，d，e}．,
5．已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，求 实数a的取值集合．
解：将数集A表示在数轴上(如右图所示)，要满足A⊆B， 表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所 以所求a的取值集合为{a|a≥4}．
类型一 有关子集的概念 【例1】 已知集合A＝{0,1,2}，且B⊆A，求集合B. 思路分析：B中的元素都属于A，故从A中取元素可得 B，同时注意B为空集及和A相等的情况． 解：集合B为Ø，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{1,2}，{0,2}， {0,1,2}．
温馨提示：两个集合相等，就是一个集合中的任何一 个元素一定是另一个集合中的元素，但集合中的元素是互 异的，无序的．解题时，要注意所求参数应满足互异性和 题意．
类型四 子集问题的应用 【例4】 设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m ＋1}，已知B⊆A. (1)求实数m的取值范围； (2)当x∈N时，求集合A的子集的个数． 思路分析：由B⊆A，需就B＝Ø或B≠Ø两种情况对B进 行分类讨论，特别是B＝Ø不可遗漏．
温馨提示：因为B⊆A，首先应用分类讨论数学思想分 B≠Ø与B＝Ø两种情况，然后再利用集合A，B之间的关系 建立不等式进行求解．解决该类问题常借助数轴把集合A， B表示出来，利用数形结合的思想解决，但要特别注意端点 值的取舍．
已知{a，b}⊆A {a，b，c，d，e}，写出所有满足 条件的A.
解：∵{a，b}⊆A， ∴a∈A，b∈A. 又A {a，b，c，d，e}， ∴集合A为{a，b}、{a，b，c}、{a，b，d}、{a，b， e}、{a，b，c，d}、{a，b，c，e}、{a，b，d，e}．,
1.1.2集合间的基本关系(新人教版A必修1)
2 2
B {0}满足条件； (b)B 时， 4(a 1) 4( a 1) 0, 解得a 1
2 2
综合(1)、 (2)知，所求实数a的值a 1, 或a 1.
练习：已知A＝{x | x2－2x－3＝0},
B＝{x | ax－1＝0},
若BA, 求实数a的值．
证明两集合相等.
形 }，
若A B且 B A, 则A=B; 反之,亦然.
例A＝{ x|x是两边相等的三角
B＝{ x|x是等腰三角形}，
A(B)
有AB，BA，则A＝B
（2）真子集
对于两个集合A与B,如果A B,但存在元素x B, 且x A ,则称集合 A是集合B的真子集．记作A B
⑵写出所有{a，b，c}的所有子集； ⑶写出所有{a，b，c，d}的所有子集. 解：⑴所有子集为，{a}，{b}，{a，b}； ⑵所有子集为，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，b，c}， {a，c}，{b， c}； ⑶所有子集为，{a}，{b}，{c}，{d}，{a, b}，{b, c}， {a, d}，{a, c}， {b, d}， {c, d}， {a，b，c}，{a， b，d}， {b，c，d}， {a，d，c} {a，b，c，d}； 注意：一般地，集合A含有n个元素，则A的子集 共有2n个，A的真子集共有2n－1个，非空真子集2n －2个.
B为这个班学生的全体组成的集合;
⑶ 设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是 等腰三角形}.
1．子集的概念
文字语言
一般地，对于两个集合A、B， 如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个 集合有包含关系，称集合A为集合B的子集. 记作 A B ( 或B A) 读作 “A含于B”( 或“B包含A” )
B {0}满足条件； (b)B 时， 4(a 1) 4( a 1) 0, 解得a 1
2 2
综合(1)、 (2)知，所求实数a的值a 1, 或a 1.
练习：已知A＝{x | x2－2x－3＝0},
B＝{x | ax－1＝0},
若BA, 求实数a的值．
证明两集合相等.
形 }，
若A B且 B A, 则A=B; 反之,亦然.
例A＝{ x|x是两边相等的三角
B＝{ x|x是等腰三角形}，
A(B)
有AB，BA，则A＝B
（2）真子集
对于两个集合A与B,如果A B,但存在元素x B, 且x A ,则称集合 A是集合B的真子集．记作A B
⑵写出所有{a，b，c}的所有子集； ⑶写出所有{a，b，c，d}的所有子集. 解：⑴所有子集为，{a}，{b}，{a，b}； ⑵所有子集为，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，b，c}， {a，c}，{b， c}； ⑶所有子集为，{a}，{b}，{c}，{d}，{a, b}，{b, c}， {a, d}，{a, c}， {b, d}， {c, d}， {a，b，c}，{a， b，d}， {b，c，d}， {a，d，c} {a，b，c，d}； 注意：一般地，集合A含有n个元素，则A的子集 共有2n个，A的真子集共有2n－1个，非空真子集2n －2个.
B为这个班学生的全体组成的集合;
⑶ 设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是 等腰三角形}.
1．子集的概念
文字语言
一般地，对于两个集合A、B， 如果集合A中任 意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个 集合有包含关系，称集合A为集合B的子集. 记作 A B ( 或B A) 读作 “A含于B”( 或“B包含A” )
1.1.2集合间的基本关系(2)课件(新人教版A必修一)
6：子集有关的性质。
(1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2) A⊆B， B⊆C⇒ A⊆C；
A⊊B， B⊊C ⇒ A⊊C。
上一页
例
(1)写出集合{a,b}的所有子集;
(2)写出集合{a,b,c}的所有子集; (3)写出集合{a}的所有子集;
做一做
(4)写出∅的所有子集. 请归纳出规律来!
思考:
观察下面两个例子，你能发现两个集合间的关系 吗?
(1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}
(2) 设A为高Biblioteka (2)班全体女生组成的集合，B为高一(2)班全体学生组成的集合。
共性:集合A中的任何一个元素都是集合B的元素
对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元 素都是B中的元素，就说这两个集合有包含关系， 称集合A为集合B的子集，记作：AB（或B⊉A）。
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练一练
元素个数与集合子集个数的关系:
集合
∅
{a} {a,b} {a,b,c} {a,b,c,d} …
集合元素的个数 集合子集个数 0 1
1 2 3 4 … n个元素
2 4 8 16 …
2n
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试一试
例：以下六个写法错误写法的个数（ ）
①{0} ∈ {0，1} ② ∅ ⊊{0}
③{0，-1，1} ⊆{-1，0，1} ④0 ∈ ∅ ⑤Z={全体整数} ⑥{（0，0）}={0}
做一做 例4：已知A{x|x=8m+14n，m，n ∈Z} ， B ={x|x=2k，k ∈Z。 问题：（1）数2和集合A的关系如何？ （2）集合A与集合B的关系如何 分析（1）：2是否属于A，即2能否表示成 8m+14n形式； （2）：判断两个集合A，B的关系先考察包 含关系，即A⊆B， B⊆A是否成立？两个都成立 则A=B。只有一个方面成立考虑是否是真子集如 两方都不成立则两集合不具备包含关系。
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真子集
如果A ⊆B，但存在x B，且x A，
称集合A是集合B的真子集.
记作：A B（或者B A）
A A
B
B
A
B
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A x R x2 1 0
(1)、 A={1,3,5,7}， B={1,2,3,4,5,6,7,} ； (2)、A={1,5,7}, B={1,2,3,5,7}；
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(2)、A={1,5,7}, B={1,2,3,5,7}； (3)、A={2,4,6,8},
B={2,4,6,8}； (4)、A={1,4,5,6},
B={1,2,3,4,5}；
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(1)、 A={1,3,5,7}， B={1,2,3,4,5,6,7,} ； 高中数学人教A版必修一第一章1.1.2集合间的基本关系课件(共22张PPT)
含于B，记为：A B
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判断下列两个集合之间的关系.
(1)、 A={1,3,5,7}， B={1,2,3,4,5,6,7,} ；
(2)、A={1,5,7}, B={1,2,3,5,7}； (3)、A={2,4,6,8},
如果A ⊆B，但存在x B，且x A，
称集合A是集合B的真子集.
记作：A B（或者B A）
A A
B
B
A
B
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A x R x2 1 0
(1)、 A={1,3,5,7}， B={1,2,3,4,5,6,7,} ； (2)、A={1,5,7}, B={1,2,3,5,7}；
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(2)、A={1,5,7}, B={1,2,3,5,7}； (3)、A={2,4,6,8},
B={2,4,6,8}； (4)、A={1,4,5,6},
B={1,2,3,4,5}；
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(1)、 A={1,3,5,7}， B={1,2,3,4,5,6,7,} ； 高中数学人教A版必修一第一章1.1.2集合间的基本关系课件(共22张PPT)
含于B，记为：A B
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判断下列两个集合之间的关系.
(1)、 A={1,3,5,7}， B={1,2,3,4,5,6,7,} ；
(2)、A={1,5,7}, B={1,2,3,5,7}； (3)、A={2,4,6,8},
新教材人教A版数学必修第一册课件：第一章1.2集合间的基本关系
（2）集合A：高一全体学生，集合B：高一全体男生
（3）集合M：所有等腰三角形，集合N：所有等边三角形
可以发现，在（1）（2）（3）中的两个集合A和B，集合B中的
每一个元素都是集合A中的元素，我们就说集合A包含集合B，或者说
集合B包含于集合A。像这样，对于两个集合A，B，如果集合B中任意
一个元素都是集合A中的元素，就称集合B为集合A的子集，
也可以是其他封闭曲线
②Venn图的优点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意
区分大小关系。
即时巩固
A和B两个集合的大小情况如图所示，则A和B的关系是（
A. ∈
B. ∈
B
A
C. ⊆
D. ⊆
【解】由Venn图易知B是A的子集，即 ⊆ ，选D
D
）
两个集合相等是什么意思？
a∈{ a, b, c }
由上述集合间的基本关系，我们可以得到如下结论：
（1）任何一个集合是它本身的子集，即 ⊆ ；
（2）对于集合A，B，C，如果 ⊆ ，且 ⊆ ，那么 ⊆
即：包含关系具有传递性
即时巩固
1.用适当的数学符号填空。
∈
∈
(1) _____ {, , }
(2) 0 _____ { 2 = 0}
举例说明，若A={1,2,3}，B={1,2,3,4}，C={1,2,5},则有
⊆ ， ⊈ ， ⊉
即时巩固
设集合A={0，1，2}，集合B={ | = + , ∈ , ∈ },求A与B的关系。
【解】由题意易知的情况有如下几种：
= 0+0=0， = 0+1=1， = 0+2=2， = 1+1=2，
（3）集合M：所有等腰三角形，集合N：所有等边三角形
可以发现，在（1）（2）（3）中的两个集合A和B，集合B中的
每一个元素都是集合A中的元素，我们就说集合A包含集合B，或者说
集合B包含于集合A。像这样，对于两个集合A，B，如果集合B中任意
一个元素都是集合A中的元素，就称集合B为集合A的子集，
也可以是其他封闭曲线
②Venn图的优点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意
区分大小关系。
即时巩固
A和B两个集合的大小情况如图所示，则A和B的关系是（
A. ∈
B. ∈
B
A
C. ⊆
D. ⊆
【解】由Venn图易知B是A的子集，即 ⊆ ，选D
D
）
两个集合相等是什么意思？
a∈{ a, b, c }
由上述集合间的基本关系，我们可以得到如下结论：
（1）任何一个集合是它本身的子集，即 ⊆ ；
（2）对于集合A，B，C，如果 ⊆ ，且 ⊆ ，那么 ⊆
即：包含关系具有传递性
即时巩固
1.用适当的数学符号填空。
∈
∈
(1) _____ {, , }
(2) 0 _____ { 2 = 0}
举例说明，若A={1,2,3}，B={1,2,3,4}，C={1,2,5},则有
⊆ ， ⊈ ， ⊉
即时巩固
设集合A={0，1，2}，集合B={ | = + , ∈ , ∈ },求A与B的关系。
【解】由题意易知的情况有如下几种：
= 0+0=0， = 0+1=1， = 0+2=2， = 1+1=2，
高中数学第一章集合与函数概念1.1.1.2集合的表示课件新人教A版必修1
知识点一 列举法 把集合中的元素_一__一__列__举_出来，并用大括号“{ }”括起来 表示集合的方法叫做__列__举__法__．例如，方程(x＋1)(x－1)＝0 的解集 可以表示为{－1,1}．
1．列举法表示集合时的 4 个关注点 (1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物．
(2)可以写成{x|x＝3n＋1，n∈N*，且 1≤x≤100}，或{100 以内 被 3 除余 1 的正整数}．②
(3)可以写成{(x，y)|x±y＝0}．③ (4)可以写成{正方形}．④
①容易错写成{1,1}或{x＝1，y＝1}等，要注意代表元素的选取． ②若用描述法，一定要把限制条件 n∈N*，x＝3n＋1,1≤x≤100 都写出来． ③容易错写成{y＝x}． ④用描述法表示集合有两种，即文字描述和符号描述．
(2)审题要讨论 a、b 的符号． (3)元素是点．
类型二 描述法表示集合 例 2 用描述法表示下列集合，并指明是有限集还是无限集． (1)大于 5 小于 10 的所有有理数组成的集合； (2)被 3 除余 2 的正整数组成的集合； (3)反比例函数 y＝x－2 1的自变量的值组成的集合； (4)三角形的全体组成的集合．
①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M＝{3,2}，N＝{2,3}；③M＝
{(1,2)}，N＝{1,2}
A．①
B．②
C．③
D．以上都不对
解析：①M 表示点(3,2)，N 表示点(2,3); ②由元素的无序性知是 相等集合； ③M 表示一个元素点(1,2)，N 表示两个元素分别为 1,2.
答案：B
【解析】 (1)设元素为 x，则大于 5 小于 10 的有理数为 5<x<10 且 x∈Q，组成的集合用描述法可表示为{x∈Q|5<x<10}；无限集．
1.1.2_集合间的基本关系_课件(人教A版必修1)
③从集合之间的关系看，Ø⊆{Ø}，Ø {Ø}． (2)分别写出集合{a}，{a，b}和{a，b，c}的所有子集， 通过子集个数你能得出一个规律吗？
提示：集合{a}的所有子集是Ø，{a}，共有2个子集； 集合{a，b}的所有子集是Ø，{a}，{b}，{a，b}，共 有4个，即22个子集； 集合{a，b，c}的所有子集可以分成四类：即Ø；含 一个元素的子集：{a}，{b}，{c}；含两个元素的子集{a， b}，{a，c}，{b，c}；含三个元素的子集{a，b，c}．共有 8个，即23个子集． 规律：集合{a1，a2，a3，…，an}的子集有2n个；真 子集有(2n－1)个；非空真子集有(2n－2)个．
图6 当a<1时，B＝Ф，此时B⊆A成立． 综述，当a≤2时，B⊆A.
• 类型三 集合相等及应用 • [例4] 已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}， 若A＝B，求c的值．
[解]
a＋b＝ac ①若 2 a＋2b＝ac
，消去b得a＋ac2－2ac
＝0，即a(c2－2c＋1)＝0， 当a＝0时，集合B中的三个元素相同，不满足集 合中元素的互异性， 故a≠0，c2－2c＋1＝0，即c＝1. 当c＝1时，集合B中的三个元素也相同， ∴c＝1舍去，即此时无解．
[例3]
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋
1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
－2≤m＋1 2m－1≤5
[错解] 欲使B⊆A，只需
⇒－
3≤m≤3. ∴m的取值范围是－3≤m≤3.
[错因] 空集是一个特殊的集合，是任何集合 的子集，因此需要对B＝Ø与B≠Ø两种情况分别确 定m的取值范围．
3．对于A B可以分为两类去讨论： (1)A＝Ø，(2)A≠Ø，特别注意不要遗漏A＝Ø的 情况。在解决子集的有关问题时，常常需要数形结 合，借助于数轴，通过图示找到相应的关系式，从而 使问题获得解决．
高中数学 1.1.2 集合间的基本关系课件 新人教A版必修1
(2)如果集合A中存在着不属于集合B的元素，那么A 不包含于B，或B不包含A.这有两方面的含义，其一 是A、B互不包含，如A＝{a，b}，B＝{b，c，d}； 其二是，A包含B，如A＝{a，b，c}，B＝{b，c}．
2．∈与⊆、a与{a}、{0}与∅的区别
(1)∈与⊆的区别：∈表示元素与集合之间的关系， 因此，有∈Q，∉Q等；⊆表示集合与集合之间的关 系，因此，有Q⊆R，∅⊆R等．
子集、真子集的概念及应用
写出满足{a，b} A⊆{a，b，c，d}的所有集合A.
解答本题可根据子集、真Байду номын сангаас集的概念求解.
[解题过程] 由题设可知，一方面A是集合{a，b， c，d}的子集，另一方面A又真包含集合{a，b}，故 集合A中至少含有两个元素a，b，且含有c，d两个元 素中的一个或两个．
(2)当 B＝{0}时， Δ＝0
有a2－1＝0 ∴a＝－1. (3)当 B＝{－4}时，
Δ＝0 有a2－8a＋7＝0 无解． (4)当 B＝{0，－4}时，由韦达定理得 a＝1. 综上所述，a＝1 或 a≤－1.
1．子集、空集的概念的理解
(1)集合A是集合B的子集，不能简单地理解为集合A 是由集合B的“部分元素”所组成的集合．如A＝∅， 则集合A不含B中的任何元素．
先把两集合中元素变成统一的表达式，然后 再判断.
[解题过程] 方法一：(1)对于任意x∈M， 则x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5， ∵a∈N＋，∴a＋2∈N＋， ∴x∈P，由子集定义知M⊆P. (2)∵1∈P，此时a2－4a＋5＝1， 即a＝2∈N＋，而1∉M， 因1＋a2＝1在a∈N＋时无解． 综合(1)、(2)知，M P. 方法二：取a＝1,2,3,4，…， 可得M＝{2,5,10,17，…}，P＝{2,1,5,10,17，…}． ∴M P.
2．∈与⊆、a与{a}、{0}与∅的区别
(1)∈与⊆的区别：∈表示元素与集合之间的关系， 因此，有∈Q，∉Q等；⊆表示集合与集合之间的关 系，因此，有Q⊆R，∅⊆R等．
子集、真子集的概念及应用
写出满足{a，b} A⊆{a，b，c，d}的所有集合A.
解答本题可根据子集、真Байду номын сангаас集的概念求解.
[解题过程] 由题设可知，一方面A是集合{a，b， c，d}的子集，另一方面A又真包含集合{a，b}，故 集合A中至少含有两个元素a，b，且含有c，d两个元 素中的一个或两个．
(2)当 B＝{0}时， Δ＝0
有a2－1＝0 ∴a＝－1. (3)当 B＝{－4}时，
Δ＝0 有a2－8a＋7＝0 无解． (4)当 B＝{0，－4}时，由韦达定理得 a＝1. 综上所述，a＝1 或 a≤－1.
1．子集、空集的概念的理解
(1)集合A是集合B的子集，不能简单地理解为集合A 是由集合B的“部分元素”所组成的集合．如A＝∅， 则集合A不含B中的任何元素．
先把两集合中元素变成统一的表达式，然后 再判断.
[解题过程] 方法一：(1)对于任意x∈M， 则x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5， ∵a∈N＋，∴a＋2∈N＋， ∴x∈P，由子集定义知M⊆P. (2)∵1∈P，此时a2－4a＋5＝1， 即a＝2∈N＋，而1∉M， 因1＋a2＝1在a∈N＋时无解． 综合(1)、(2)知，M P. 方法二：取a＝1,2,3,4，…， 可得M＝{2,5,10,17，…}，P＝{2,1,5,10,17，…}． ∴M P.
高中数学第一章 1.1 1.1.2 集合间的基本关系课件
人教A版数学·必修1
自我纠正：A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}＝{0，－4}，
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因为 B⊆A，所以 B＝A 或 B A.当 B＝A 时，B＝{－4,0}，
即－4,0 是方程 x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0 的两根，代入得 a＝1，此时满足条件，即 a＝1 符合题意． 当 B A 时，分两种情况：
则称集合 A 是集合 B 的真子集.
B
B(或 A)
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知识点二 集合相等 预习教材P6－7，思考并完成以下问题 设 A＝{x|x 是有三条边相等的三角形}，B＝{x|x 是等边三角形}． (1) 三边相等的三角形是何三角形？ 提示：等边三角形． (2)两集合中的元素相同吗？ 提示：相同． (3)A 是 B 的子集吗？B 是 A 的子集吗？ 提示：是．是.
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知识梳理 如果集合 A 是集合 B 的 子集 (A⊆B)，且集合 B 是集合 A 的 子集 (B
⊆A)，此时，集合 A 与集合 B 中的元素是一样的，因此，集合 A 与集合 B 相等， 记作 A＝B .
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知识点三 空集 知识梳理 1.空集的定义： 不含任何元素 的集合，叫做空集． 2．空集的表示： ∅ . 3．规定：空集是任何集合的 子集 ． 思考：{0}与∅相同吗？
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01课前 自主预习 02课堂 合作探究 03课后 讨论探究 04课时 跟踪训练
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[基础认识] 知识点一 子集与真子集 预习教材P6，思考并完成以下问题 观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系吗？ ①A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}； ②设 A 为育才中学高一(2)班全体女生组成的集合，B 为这个班全体学生组成的集合．