2014年高考复习专题8函数与方程
函数与方程-高考真题复习-高考复习
设m(x)=-x3+3xx2+a1x-a,x∈(0,1),1a>0x,
则m(0)=-a<0,m(1)=2>0⇒m(0)·m(1)<0,
又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,
∴m(x)在(0,1)上有零点,
则h(x)在(0,1)上有零点.
因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.
2.(2014山东,8,5分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是 ( )
A.
0,
1 2
B.
1 2
,1
C.(1,2)
D.(2,+∞)
答案 B f(x)=
x 3
1, x,
x如图2,,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA= x 2.
同时要满足
y
(x
2)在2 , x>2时有两个不同的解,即x2-5x+8-b=0有两个大于2的不同实根,令
y b2 x2
h(x)=x2-5x+8-b,需
h(2) 0,
即
h
5 2
0,
2 b 解 0得, <b<2.
8
25 4
b
0,
7 4
综上所述,满足条件的b的取值范围是 <b<2,故7选D.
4
y 2 x,
则
Δ1
Δ2Байду номын сангаас
a2 a2
4a 8a
∴04,<a<8. 0,
情况二:
则
2014年高考三轮复习数学思想方法专题一 函数与方程思想学生版
数学思想方法专题一 函数与方程思想1． (2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范 围是( )A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30] 2． (2012·浙江)设a >0，b >0，e 是自然对数的底数( )A ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a >bB ．若e a ＋2a ＝e b ＋3b ，则a <bC ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a >bD ．若e a －2a ＝e b －3b ，则a <b 3． (2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．题型一 利用函数与方程思想求解最值、范围问题例1 设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22变式训练1 若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x2a2－y 2＝1 (a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为 ( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞ D ．⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 题型二 利用函数与方程思想研究方程根的问题例2 如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值范围．变式训练2 已知方程9x －2·3x ＋(3k －1)＝0有两个实根，求实数k 的取值范围． 题型三 利用函数与方程思想求解不等式问题例3 已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围．变式训练3 设不等式2x －1>m (x －1)对满足|m |≤2的一切实数m 的取值都成立，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫34，＋∞ D ．(－∞，2)题型四 利用函数与方程思想解决数列问题例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－4n ＋4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：14≤T n<1.典例 (14分)(2012·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程． (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 规范解答解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.[4分](2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.[5分]设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.[8分]所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.[10分]又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2， 所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2.[12分]由|k |4＋6k 21＋2k2＝103，解得k ＝±1.∴k 的值为1或－1.[14分] 评分细则 (1)不列方程没有a 2＝b 2＋c 2，扣1分；(2)求|MN |时直接使用弦长公式没有中间变形，扣1分；(3)最后结论不写不扣分．阅卷老师提醒(1)本题易错点：不会整合题目条件，没有列出方程求b 、c ；运算能力较差，用弦长表示面积出现计算错误；(2)阅卷中发现考生的快捷解法：直线y ＝k (x －1)过定点T (1,0)，则S △AMN＝12·|AT |·|y 1－y 2|， 大大简化运算过程．1． 在正实数集上定义一种运算“*”：当a ≥b 时，a *b ＝b 3；当a <b 时，a *b ＝b 2，则满足3*x =27的x 的值为( )A ．3B ．1或9C ．1或 2D ．3或3 32． (2012·课标全国)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为 ( )A.12B.23C.34D.453． 方程x 2－32x －m ＝0在x ∈[－1,1]上有实根，则m 的取值范围是 ( )A ．m ≤－916B ．－916<m <52C ．m ≥52D ．－916≤m ≤524． 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，则a n 的最小值为 ( )A ．－1B ．1 C.23 D ．－235． 对于满足0≤p ≤4的实数p ，使x 2＋px >4x ＋p －3恒成立的x 的取值范围是__________．专题限时规范训练一、选择题1． 函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)2． 若函数f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有 ( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)3． 设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数4． 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于( )A ．7B ．8C ．15D ．165． (2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－126． 若a >1，则双曲线x 2a 2－y2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，5)C ．[2，5]D ．(3，5)7． 设函数f (x )＝x 3＋sin x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 8． 若不等式ax －1x ＋b >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式bx ＋1ax ＋1<0的解集是 ( )A ．{x |12<x <1}B ．{x |x <12或x >2}C ．{x |－12<x <1}D ．{x |x <－1或x >2}.二、填空题9． 若关于x 的方程(2－2－|x －2|)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________．10．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是____________．11．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________． 12．已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________． 三、解答题13．椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →.(1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．。
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件：常考问题2 函数与方程及函数的应用
热点与突破
热点一 函数与方程问题 【例 1】 (2013· 苏锡常镇调研)已知直线 y＝mx 与函数 f(x)＝ 1x ，x≤0， 2－ 3 1x2＋1，x>0 2
的图象恰好有 3 个不同的公共点， 则实数 m
的取值范围是________．
解析
作出函数
1x ，x≤0， 2－ 3 f(x)＝ 1x2＋1，x>0 2
不同的交点． 作出函数 f(x)的图象，如图，由图象可知，当 0<k<1 时，函数 f(x)与 y＝k 的图象有两个不同的交点， 所以所求实数 k 的取值 范围是(0,1)．
答案 (0,1)
热点二
函数的实际应用问题
【例 2】 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万 元，每生产 1 千件需另投入 2.7 万元．设该公司一年内生产该 品牌服装 x 千件并全部销售完， 每千件的销售收入为 R(x)万元， 1 2 10.8－30x ，0＜x≤10， 且 R(x)＝ 108－1 000 ，x＞10. 3x2 x (1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获 得的年利润最大． (注：年利润＝年销售收入一年总成本)
(2)①当 0＜x≤10 时， x2 由 W′＝8.1－10＝0， 得 x＝9. 当 x∈(0,9)时，W′＞0； 当 x∈(9,10]时，W′＜0， ∴当 x＝9 时， W 取得最大值， 1 即 Wmax＝8.1×9－30×93－10＝38.6.
②当 x＞10 时，
1 000 W＝98－ 3x ＋2.7x≤98－2
• 3．在求方程解的个数或者根据解的个数求 方程中的字母参数的范围的问题时，数形 结合是基本的解题方法，即把方程分拆为 一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的 函数的解析式，然后构造两个函数f(x)， g(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这 时方程根的个数就是两个函数图象交点的 个数，可以根据图象的变化趋势找到方程 中字母参数所满足的各种关系.
《课堂新坐标》高考数学一轮总复习课件：第二章 第八节 函数与方程(共33张PPT)
2＋4 确度 ε＝0.01，取区间(2，4)的中点 x1＝ 2 ＝3，计算
得 f(2)·f(x1)＜0，则此时零点 x0 所在的区间为( )
A．(2，4)
B．(3，4)
探究·提知能
C．(2，3)
D．(2.5，3)
课后作
【解析】 由零点存在性定理知x0∈(2，3)，故选C.
【答案】 C
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新课标 ·文科数学（广东专用）
菜单
新课标 ·文科数学（广东专用）
Δ＝b2－4ac
落实·固基础
Δ>0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
Δ＝0
Δ<0
高考体验·明
探究·提知能与x轴的交点 零点个数
_(_x_1，___0_)，___(x_2_，__0__) __(_x_1，___0_)_
2
1
无交点 课后作 0
菜单
新课标 ·文科数学（广东专用）
菜单
新课标 ·文科数学（广东专用）
落实·固基础
1．解答本题一要从图表中寻找数量信息，二要注 高考体验·明 意“精确度”的含义，切不可与“精确到”混淆．
2．(1)用二分法求函数零点的近似解必须满足①y
＝f(x)的图象在[a，b]内连续不间断，②f(a)·f(b)＜0.(2)
在第一步中，尽量使区间长度缩短，以减少计算量及计
落实·固基础
新课标 ·文科数学（广东专用）
第八节 函数与方程
高考体验·明
探究·提知能 菜单
课后作
新课标 ·文科数学（广东专用）
落实·固基础 1．函数零点
高考体验·明
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使____f_(x_)_＝_0___成
2014版高考数学一轮总复习 第7讲 二次函数与一元二次方程课件 理 新人教A版
三
二次函数、二次方程等综合应用
【例 3】 f(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)， a＋b＋c＝0， 设 若 f(0)· f(1)>0，求证： (1)方程 f(x)＝0 有实根； b (2)－2<a<－1； 3 2 (3)设 x1，2 是方程 f(x)＝0 的两实根， 3 ≤|x1－x2|<3. x 则
2．二次函数的图象是一条④ ________ ， 经过配方，可得y =ax ＋bx＋c=⑤
2
，
顶点为⑥
，对称轴为直线⑦ _____.
其图象及主要性质如下表：
3.一元二次方程根的分布．
1 方程ax 2＋bx＋c＝0(a 0)两根：一正一负 ac 0；
0 0 b b 两正根 x1 x2 0 两负根 x1 x2 0； a a c c x1 x2 a 0 x1 x2 a 0 一零根 c＝0.
2.函数 f(x)＝2＋2x－x2，x∈[0, 3]的值域是( A．(－∞，3] C．[－2,3] B．[－1,3] D．(－3，＋∞)
)
【解析】因为 f(x)＝－(x－1)2＋3，x∈[0,3]， 所以[f(x)]max＝f(1)＝3，[f(x)]min＝f(3)＝－1， 所以 f(x)的值域是[－1,3]，故选 B.
又 m<n，所以 m＝0，n＝1.
【点评】1.求二次函数的解析式，常用待定系数法，若能 恰当选择其形式，将可化繁为简． 2．条件二次问题，注意一看开口方向，二看轴的位 置，三算端点数值．若盲目分类，“前途”将很渺茫．
素材1
已知二次函数 f(x)满足 f(－1)＝f(3)＝2，且 f(x)的最大 值为 6，则 f(x)＝ －x2＋2x＋5 ；若 x∈[0,5]，则 f(x)的 最小值是 －10 .
2014版3-2-1高考之数学(理)专题2.4 函数图象与方程解析版含解析
【三年高考全收录】1．【2014高考湖南卷第8题】某市生产总值连续两年持续增加。
第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A 。
2p q + B.(1)(1)12p q ++-C.pqD.(1)(1)1p q ++-【答案】D【解析】设两年的平均增长率为(0)x x >,则有()()()2111x p q +=++()()111x p q ⇒=++-,故选D.2．【2014山东高考理第8题】 已知函数()21,().f x x g x kx =-+=若方程()()f x g x =有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是（）A.1(0,)2B.1(,1)2C.(1,2)D.(2,)+∞3．【2014天津高考理第14题】已知函数23fxx x，x R ．若方程10f xa x 恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________．【答案】()()0,19,+∞．9a．4．【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科】函数331x x y =-的图象大致是（ ）5．【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】函数0.5()2|log |1xf x x =-的零点个数为( ） （A ） 1（B) 2(C ） 3（D ） 46．【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】函数cos sin y x x x =+的图象大致为【答案】D【解析】函数cos sin y x x x =+在x π=时为负，排除A ，由奇函数的性质可排除B ，再比较C ，D ，不难发现在x 取接近于0的正值时0,y >排除C 。
7．【2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷）理科】设函数()x f x e x a =+-（a R ∈,e 为自然对数的底数）。
若曲线sin y x =上存在点00(,)x y 使0(())f f y y =,则a 的取值范围是( ）（A ）[1,]e (B ）1[1,1]e -- （C ）[1,1]e + （D ）1[1,1]e e --+8.【2013年全国高考新课标（I）理科】已知函数f(x）＝错误!，若|f(x）｜≥ax，则a的取值范围是( )A、（－∞,0］B、（－∞，1]C、[－2，1]D、［－2，0］9．【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷）】设函数(),0,0.x x xf x a b c c a c b其中=+->>>>（1）记集合{}=不能构成一个三角形的三条边长，且=b，则(,,)(,,),,M a b c a b c a∈所a b c M对应的()f x的零点的取值集合为____。
2014版高考数学一轮总复习 第12讲 函数与方程课件 理 新人教A版
1 B．(0,1)，f(2) 1 1 D．(0，2)，f(4)
1 1 【解析】因为 f(0)<0，f(2)>0，所以 f(0)· 2)<0， f( 1 0＋2 1 1 则 x0∈(0，2)，第二次计算 f( 2 )＝f(4)，故选 D.
3.方程 0.9x－x＝0 的实数解的个数是( A．0 C．2 B．1 D．3
【解析】 (2)函数 f(x)的零点个数， 即为方程 f(x)＝0 的根的 个数．
x>0 x≤0 由 2 或 ， －2＋lnx＝0 x ＋2x－3＝0
得 x＝－3(x＝1 舍去)或 x＝e2，有两根， 故函数 f(x)的零点个数为 2，选 B.
二
二分法
【例 2】 用二分法求函数 f(x)＝x3－x－1 在区间[1,1.5]内 的一个零点(精确度为 0.1)．
【解析】 由于 f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0， 所以 f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，取区间[1,1.5]作为计算的初始区间． 用二分法逐次计算列表如下： 端(中)点 中点函数值 零点所在区间 |an－bn| 坐标 符号 [1,1.5] 1.25 1.375 1.3125 f(1.25)<0 f(1.375)>0 [1.25,1.5] [1.25,1.375] 0.5 0.25 0.125
f(1.3125)<0 [1.3125,1.375] 0.0625
因为|1.375－1.3125|＝0.0625<0.1， 所 以 函 数 的 零 点 落 在 区 间 长 度 小 于 0.1 的 区 间 [1.3125,1.375]内， 故函数零点的近似值为 1.3125.
2014年高考理科数学真题解析分类汇编：函数专题练习[1]解析
函数专题练习下列函数中，在区间(0,+R )上为增函数的是()A . y = x + 1B .y = (x — 1)2 C . y = 2 x D .y = log o.5(x + 1)x 2 +1, x>0 ,3.已知函数f(x)=则下列结论正确的是()|cos x , x < 0,A . f(x)是偶函数B . f(x)是增函数C . f(x)是周期函数D . f(x)的值域为［—1,+s )4.函数f(x) = ln(x 2 — x)的定义域为()A . (0, 1]B . [0 , 1]C . ( — 3 0) U (1 ,+s )6.［函数y = f(x)的图像与函数y = g(x)的图像关于直线5. 函数f(x)"(log 2x ) 2—1的定义域为 A. 0, 2 B . (2 ,+s ) C.(2,+s )D.U [2 ,+s )7. A . y = g(x) B . y = g( — x) C . y =— g(x)D . y =— g(— x)下列函数中，在区间(0,+s )上为增函数的是( ) A . y = x + 1 B . y = (x — 1)2 C . y = 2 x D . y = log °.5(x + 1) 广2x + 1 , x>0 , & 已知函数f(x)= f 则下列结论正确的是( ) |cos x , x < 0,A . f(x)是偶函数B . f(x)是增函数C . f(x)是周期函数D . f(x)的值域为［—1,+s ) 设函数 f(x) - , ( x 2+ 2x + k ) 2+ 2 (x 2+ 2x + k )— 3 ，其中k<— 2. (1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示)； ⑵讨论函数f(x)在D 上的单调性；(3)若k< — 6,求D 上满足条件f(x)>f(1)的x 的集合(用区间表示).1设函数 f(x)(x € R )满足 f(x + n )= f(x)+ sin x .当 0< x< n 时，f(x)= 0，贝U f1 A.2B FC . 0D .2. D . ( — 3, 0] U [1,+s )x + y = 0对称，则y = f(x)的反函数是(P■- 4X 2+ 2，— 1 < x<0,10.设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x € [ — 1,1)时，f(x)i则f[2 ；= ________ •x,0 < X <1 ,匕丿11. 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数 «x)组成的集合：对于函数 0(x),存 在一个正数M ，使得函数 «x)的值域包含于区间[一 M , M].例如，当$1(x)=X 3,如X ) = sin X 时，© 1(x)€ A ,© 2(x)€B.现有如下命题：① 设函数f(x)的定义域为D ，则“ f(x)€ A ”的充要条件是“ ？ b € R , ? a € D , f(a)= b ”； ② 函数f(x)€ B 的充要条件是f(x)有最大值和最小值；③ 若函数f(x), g(x)的定义域相同，且 f(x)€ A , g(x)€ B ，则f(x)+ g(x)?B ;X④ 若函数 f(x)= aln(x + 2) + -2石(X > — 2, a € R )有最大值，则 f(x) € B. 其中的真命题有 _________ .(写出所有真命题的序号)-2+ 1 , ->0 ,12.已知函数f(x)= <则下列结论正确的是()|cos X , X < 0,A . f(x)是偶函数B . f(x)是增函数C . f(x)是周期函数D . f(x)的值域为[—1 ,+s )13.已知f(x), g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且f(x)— g(x)= X 3+ -2 + 1，则f(1)+ g(1)=()A . — 3B . — 1C . 1D . 314•设函数f(-), g(-)的定义域都为 R ，且f(-)是奇函数，g(-)是偶函数，则下列结论中正确的是 ( )A . f(x)g(x)是偶函数B . |f(x)|g(x)是奇函数C . f(x)|g(x)|是奇函数D . |f(x)g(x)|是奇函数15 .已知偶函数f(x)在[0,+^ )单调递减，f(2) = 0，若f(x — 1)>0,则X 的取值范围是 __________________17.若函数y = log a x(a>0,且a ^ 1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是(16 . 若函数 f(x) = cos 2X + asin X 在区间 —,—;是减函数，则a 的取值范围是18. 已知函数 f(x)= 5|X , g(x)= ax 2— x(a € R )•若 f[g(1)] = 1,则 a =( )A . 1B . 2C . 3D . — 11 1 1119. 已知 a = 2— 3, b = Iog 2§, c = log 元，则( )A . a>b>cB . a>c>bC . c>a>bD . c>b>a20 .设集合 A = {x||x — 1|v 2}, B = {y|y = 2x , x € [0 , 2]}，则 A A B =()A . [0, 2]B . (1 , 3)C . [1 , 3)D . (1 , 4)21.已知实数x , y 满足a x v a y (0 v a v 1)，则下列关系式恒成立的是( )11 2 233A. 2 >-2B. ln(x 2+ 1)> In(y 2+ 1) C. sin x >sin y D. x 3>y 3x 十1 y 十122 .下列函数中，满足“ f(x + y) = f(x) •y)”的单调递增函数是( )1 3 WxA . f(x)= x2B . f(x) = xC . f(x)= 2D . f(x)= 323 .已知 4a = 2, Ig x = a ,贝V x = ________ .24 .已知实数x , y 满足a x v a y (0 v a v 1)，则下列关系式恒成立的是()1 12 233A. 2 >弋B. In(x + 1)>ln(y + 1)C. sin x >sin yD. x >yx 十1 y 十126 . 若等比数列{ a n }的各项均为正数，且 aean + a g a 12 = 2e 5，则In a 1 + In a 2 +…+ In a 2o = ____________1 1 1127 . 已知 a = 2— 3, b = Iog 2§, c = log 云，则( )A . a>b>cB . a>c>bC . c>a>bD . c>b>a1 228 .函数f(x)= Iog2(x — 4)的单调递增区间为( )A . (0,+^ )B .(―汽 0)C . (2,+^ )D . ( — m,— 2)29.在同一直角坐标系中，函数 )25 .函数 f(x) =1(Iog 2x ) 2 的定义域为（—1A.B . (2 ,+s )C. 0, U (2 ,+ )30 .函数 f(x)= Iog2& • log/(2x)的最小值为 ____________1 2 2 231. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x >0 时，f(x)= $(|x — a 2|+ |x — 2a 2|— 3a 2).若？ x € R, f(x — 1)< f(x),则实数a 的取值范围为( )32. 已知函数f(x)= |x — 2|+ 1, g(x)= kx ,若方程f(x) = g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是( 0, 2 B. 2 1 C.(1 , 2) D. (2 ,+^ )33.在同一直角坐标系中，函数134.已知函数f(x) = x 2 + e x — 2(x<0)与g(x) = x 2 + ln(x + a)的图像上存在关于 y 轴对称的点，则a 的取值范围是( (—命同D.[-g 越35. 已知函数f(x) = x 2 + 3x|, x € R 若方程f(x)— a|x — 1|= 0恰有4个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为36.已知函数 f(x)= x 3+ ax 2 + bx + c ,且 0<f(— 1) = f( — 2) = f(— 3)< 3,则( )A . c < 3B . 3<c < 6C . 6<c < 9D . c>937. 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 p ,第二年的增长率为 q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )p + q (P + 1) (q+ 1)—1I — /A. 2B. 2 ° pq D. (p +1)( q +1)— 138.如图1-2,某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )A.6' 6B. C. 1 11 3，3D.A.A . i, ―)B . i, e) C.码，)图1-2A.y=在x3-5xB. 2 3 4y=质x-5x C.y = 2x3- x D .y —2x3+1x y125x40.曲线y= e-5x+ 2在点(0, 3)处的切线方程为_____________41.若曲线y = e-x上点P处的切线平行于直线2x+ y+ 1 = 0，则点P的坐标是42.已知函数f(x)= (x2+ bx+ b) 1 —2x(b € R).(1)当b= 4时，求f(x)的极值；⑵若f(x)在区间0, 3上单调递增，求b的取值范围.43 •曲线y= xe x—1在点(1,1)处切线的斜率等于()A. 2eB. eC. 2D. 144.设曲线y= ax—In(x+ 1)在点(0, 0)处的切线方程为y= 2x,则a =( )A. 0B. 1 C . 2 D . 345 .已知函数f(x)= ax3—3x2+ 1，若f(x)存在唯一的零点x°,且x0>0，则a的取值范围是()A . (2,+^ )B . (1,+^ )C . ( — g, 2)D . ( — g, —1)46.如图1-4,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为147.若函数f(x), g(x)满足f(x)g(x) dx = 0,则称f(x) , g(x)为区间［—1, 1］上的一组正交函数，给出三组函数：* — 11 1 2① f(x) = singx , g(x) = cosqx :②f(x) = x +1, g(x) = x — 1;③f(x) = x , g(x) = x .其中为区间［—1, 1］上的正交函数 的组数是()A . 0B . 1C . 2D . 32 n48. 已知函数f(x)= sin(x —妨，且/ —of(x) dx = 0,则函数f(x)的图像的一条对称轴是49.若 f(x)= x 2 + 2 J f(x)dx ，则'1f(x)dx =( )* 0 * 01 1A . — 1B . — 3C .3D . 150.直线y = 4x 与曲线y = x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A. 22 B. 42 C. 2 D. 451 .定积分J (2x + e x )dx 的值为()2 0A . e + 2B . e + 1C . eD . e — 152.已知 f(x)= ln(1 + x)— ln(1 — x), x € (— 1, 1).现有下列命题：f 2x 、①f( — x) = — f(x);②f =2f(x)；③|f(x)p 2|x|.其中的所有正确命题的序号是 ( )A .①②③B .②③C .①③D .①②y 轴对称的点，则a 的取值范围是(54. 设f(x)是定义在(0,+^ )上的函数，且f(x)>0，对任意a>0, b>0,若经过点(a , f(a)), (b , — f(b))的直线 与x 轴的交点为(c , 0)，则称c 为a , b 关于函数f(x)的平均数，记为 M f (a , b),例如，当f(x)= 1(x>0)时，可得M f (a ,a + bb) = c =—厂，即M f (a , b)为a , b 的算术平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可 )55. 已知定义在［0, 1］上的函数f(x)满足：A . x = 5 n"67n x =12(1) 当 f(x) = (2) 当 f(x) = _______ (x>0)时, _______ (x>0)时, M f (a , b)为a , b 的几何平均数; M f (a , b)为a , b 的调和平均数 2aba + b53 .已知函数f(x) = x 2+ e x — *x<0)与g(x)= x 2 + In(x + a)的图像上存在关于① f(0) = f(1) = 0;②对所有x, y€ ［0, 1］,且X M y,有|f(x) —f(y)|<；|x—y|. 若对所有x, y € ［0, 1］, |f(x)—f(y)|<k恒成立，则k的最小值为()1111込 B.4D.856. 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数M组成的集合：对于函数0(x),存在一个正数M，使得函数«x)的值域包含于区间[一M , M].例如，当O i(x)= x3,规(x) = sin x时，©i(x)€ A, © 2(x)€ B.现有如下命题：①设函数f(x)的定义域为D，则“ f(x)€ A”的充要条件是“ ？ b € R, ? a € D , f(a)= b”；②函数f(x)€ B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；③若函数f(x), g(x)的定义域相同，且f(x)€ A, g(x)€ B，则f(x)+ g(x)?B;x④若函数f(x)= aln(x+ 2) + -2—^(x> —2, a€ R)有最大值，则f(x) € B.x ~—I其中的真命题有_________ .(写出所有真命题的序号)2 2 1 i 、57. 设函数f i(x) = x , f2(x)= 2(x—x ), f3(x) = §|sin 2n x|, a i = 99, i= 0, 1, 2,…，99.记l k=l f k(a i)—f k(a o)|+ |f k(a2)—fg)—…+ |f k(a99)—f k(a98)|, k= 1, 2, 3，则( )A . I1<l2<l3B . I2<I1<I 3C . I1<I 3<I2D . I3<l2<l1x2+ x, x<0,58. [2014浙江卷]设函数f(x) = 2 若f[f(a)] < 2,则实数a的取值范围是____________ .——, x》0.11. ①③④ ［解析］若f(x) € A ,则f(x)的值域为R ，于是，对任意的b € R ，一定存在a € D ，使得f(a) = b ,故 ①正确.取函数f(x)= x(- 1 < x < 1)，其值域为(—1, 1),于是，存在M = 1,使得f(x)的值域包含于［—M , M ］ = ［- 1 , 1］, 但此时f(x)没有最大值和最小值，故②错误.当f(x) € A 时，由①可知，对任意的b € R ，存在a € D ，使得f(a)= b ，所以，当g(x) € B 时，对于函数f(x) + g(x), 如果存在一个正数M ，使得f(x) + g(x)的值域包含于［—M , M ］，那么对于该区间外的某一个b °€ R ，一定存在一个a 0 € D ，使得 f(a °)=b — g(a 0),即卩 f(a °) + g(a °) = b °?［ — M , M ］，故③正确.x对于f(x) = aln(x + 2) + PR (x >- 2)，当a > 0或a < 0时，函数f(x)都没有最大值.要使得函数f(x)有最大值，答案11 nn . 5 n =sin - 6 61 2.2. A ［解析］由基本初等函数的性质得，选项 上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.B 中的函数在(0, 1)上递减，选项C ,D 中的函数在(0,+^ )3. D ［解析］由函数 f(x)的解析式知，f(1) = 2, f(- 1) = cos(- 1) = cos 1, 当x>0时，令f(x) = x 2 + 1,贝y f(x)在区间(0,+8 )上是增函数，且函数值 f(1)M f(- 1)，贝y f(x)不是偶函数; f(x)>1 ；当x < 0时，f(x) = cos x ,贝U f(x)在区间(一g, 0］上不是单调函数，且函数值 f(x)€ ［ — 1, 1］；•••函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为 ［—1,+^ ).4. C ［解析］由 x 2- x>0,得 x>1 或 x<0.5. C ［解析］根据题意得,x > 0, (lOg 2)X> 0,2- 1 >0,解得x >2或x <1故选C.6. D ［解析］设(X 0, y 0)为函数y = f(x)的图像上任意一点，其关于直线 x + y = 0的对称点为(—y °，一 x 0).根据 题意，点(—y 0,- X 0)在函数y = g(x)的图像上，又点(X 0 , y °)关于直线y =x 的对称点为(y 0, X 0),且(y 0, x 0)与(—y 0,—x 0)关于原点对称，所以函数y = f(x)的反函数的图像与函数y = g(x)的图像关于原点对称，所以-y = g(-x),即y=-g( - x).7. A ［解析］由基本初等函数的性质得，选项 上为减函数，所以排除B ,C ,D ，选A.B 中的函数在(0, 1)上递减，选项C ,D 中的函数在(0,+g )& D ［解析］由函数 f(x)的解析式知，f(1) = 2, f(- 1) = cos(- 1) = cos 1, 当x>0时，令f(x) = x 2 + 1,贝U f(x)在区间(0,+g )上是增函数，且函数值f(1)M f(- 1)，贝U f(x)不是偶函数; f(x)>1 ；当x < 0时，f(x) = cos x ,贝U f(x)在区间(-g, 0］上不是单调函数，且函数值 f(x)€ ［- 1, 1］；•函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为［—1,+g ).1. A ［解析］由已知可得，f心=fi n6 . 6siJ!n + sin^6 6+ sin10. 1 ［解析］由题意可知,1 1 1 1 1易知f(x) € — 2，2,所以存在正数 M = 2,使得f(x) € ［ — M , M ］，故④正确.12. D ［解析］由函数 f(x)的解析式知，f(1) = 2, f(— 1) = cos(— 1) = cos 1, f(1)丰 f(— 1)，则 f(x)不是偶函数; 当x>0时，令f(x) = x 2 + 1,贝U f(x)在区间(0,+^ )上是增函数，且函数值 f(x)>1 ;当x < 0时，f(x) = cos x ,贝U f(x)在区间(一汽 0］上不是单调函数，且函数值 f(x)€ ［ — 1, 1］;•••函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为［—1,+^ ).13. C ［解析］因为 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以 f(1) + g(1) = f( — 1) — g(— 1)= (— 1) + (— 1) + 1= 1. 14. C ［解析］由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为 C.15.(— 1, 3)［解析］根据偶函数的性质，易知 f(x)>0的解集为(—2, 2)，若f(x — 1)>0，则—2<x — 1<2，解得 —1<x<3.16. (— ^, 2］［解析］f(x)= cos 2x + as in x =— 2si n x + asi n x + 1,令 si n x = t ,贝 U f(x) = — 2t + at + 1•因为 x € 時,n ,所以 t € g, 1 ,所以 f(x) = — 2t 2+ at + 1, t € £, 1 J 因为 f(x)= cos 2x + asin x 在区间 肓,j 是减函数， 所以f(x) = — 2t 2+ at + 1在区间1, 1上是减函数，又对称轴为 x =罗,•学2，所以a € ( — ^, 2］.17. B ［解析］由函数y = log a x 的图像过点(3, 1)，得a = 3. 选项A 中的函数为y = 3，则其函数图像不正确；选项的函数为y = (— x)3,则其函数图像不正确；选项 D 中的函数为y = log 3(— x)，则其函数图像不正确.18.A［解析］g(1) = a — 1，由 f ［g(1)］ = 1,得 5|a "= 1,所以 |a — 1|= 0,故 a = 1.19. C ［解析］因为 0<a = 2 — 3<1 , b = Iog 2§<0, c = log 刃>log^ = X 所以 c>a>b.20. C ［解析］根据已知得，集合 A = {x|— 1v x v 3}, B = {y|1< y < 4}，所以 A n B = {x|1<x v 3}.故选 C.1 121. D ［解析］因为 a x v a y (0v a v 1)，所以 x >y ,所以 sin x >sin y , ln(x 2 +1)>ln(y 2 + 1), 定正确，故选D.22.B ［解析］由于f(x + y) = f(x)f(y)，故排除选项 A , C.又f(x)= *为单调递减函数，所以排除选项D.__ 1 1 1 ___________________________________________________________23. ,10 ［解析］由 4a = 2,得 a = ^,代入 lg x = a ，得 lg x = p 那么 x = 10? = . 10.24. D ［解析］因为 a x v a y (0v a v 1)，所以 x >y ,所以 sin x >sin y ,ln(x 2+1)>In(y 2 + 1),尹+门 定正确，故选D.X> 0,解得 1故选C.x > 2或x v ?.B 中的函数为y = x 3,则其函数图像正确；选项25. C ［解析］根据题意得, 爲 2—1> 0,526. 50 ［解析］本题考查了等比数列以及对数的运算性质••••{a n }为等比数列，且 a io a ii + a g a i2= 2e ,55二 a i°a ii + a g a i2=2a i°a ii = 2e ，二 a i°a ii = e ,• • In a i + In a ?+…+ In a 20=In (a i a 2 …a 2o )= In (a io a ii/0 = In (e)" = In e'° = 50.” —「，1111 11 * 才,27. C ［解析］因为 0<a = 2-3<1 , b = Iog 2§<0, c = log刃'log^ =1,所以 c>a>b.28. D ［解析］要使f(x)单调递增，需有宀4>°，解得x<-2. x<0,29. D ［解析］只有选项D 符合，此时0<a<1，幕函数f(x)在(0,+^ )上为增函数，且当x € (0, 1)时，f(x)的 图像在直线y = x 的上方，对数函数 g(x)在(0,+^ )上为减函数，故选D.1 2 2 2 2 12 2231.B ［解析］因为当 x >0 时,f(x) = q (|x -a |+ |x — 2a|-3a )，所以当 0W x < a 时，f(x) = ^(a - x + 2a — x — 3a ) =-x ;当 a 2<x<2a 2 时，f(x) = 1(x - a 2+ 2a 2-x - 3a 2) = - a 2; 当 x >2a 2时，f(x) = *(x — a 2+ x — 2a 2— 3a 2) = x — 3a 2.x , 0W x < a 2,22小2—a , a <x<2a ,x 3a , x — 2a .30.— 14,所以当［解析］f(x) = Iog 2 x • log 2(2x)=1 4.1^Iog 2 x • 2log 2(2x) = Iog 2x • (1 + log 2X )= (log 2x)+ log 2x = T f —综上，f(x)=x =，函数f(x)取得最小值- W *■/.故选 B.32. B ［解析］画出函数f(x)的图像，如图所示.若方程f(x) = g(x)有两个不相等的实数，则函数 f(x), g(x)有两1个交点，则k > ，且k v 1.故选B.33.D ［解析］只有选项D 符合，此时0<a<1，幕函数f(x)在(0,+^ )上为增函数，且当x € (0, 1)时，f(x)的 图像在直线y = x 的上方，对数函数 g(x)在(0,+^ )上为减函数，故选 D. 34. B ［解析］依题意，设存在 P(- m , n)在f(x)的图像上，贝UQ(m , n)在g(x)的图像上，则有 m 2+ e m —-=m 2 + ln(m + a),解得 m + a = ee _m — 3,即卩 a = ee _m —?— m(m >0)，可得 a € (— a, e).35. (0, 1) U (9,+a )［解析］在同一坐标系内分别作出y = f(x)与y = a|x — 1|的图像如图所示.当y = a|x —1|r2—ax + a =一 x 一3x , 2 2 2 七 整理得 x 2+ (3 — a)x + a = 0，则△ = (3 — a)2— 4a = a 2— 10a + 9 = 0,a>0,36. C ［解析］由 f( — 1) = f( — 2) = f( — 3)得? f = 6, 则 f(x)= x 3+ 6x 2 + 11x + c ,而 0<f(— 1)w 3,故 0< — 6+ c < 3, b = 11, 37. D ［解析］设年平均增长率为 x ,则有(1 + p)(1 + q)= (1 + x)2，解得x = , (1 + p )( 1 + q )— 1.与y = f(x)的图像相切时，由—1 + a — b + c =— 8 + 4a — 2b + c ,—8 + 4a — 2b + c =— 27+ 9a — 3b + c—7+ 3a — b = 0, 19 — 5a + b = 0 6<c W 9,故选 C.=0.联立厂 125a 一 5c = 2，75a + c = 0,/ =盍,解得故该三次函数的解析式为_丄3 3 y= 125x 一 5x38. A ［解析］设该三次函数的解析式为y= ax3+ bx2+ cx + d•因为函数的图像经过点(0, 0)，所以d= 0,所以y = ax3+ bx2 + cx.又函数过点(一5, 2), (5,—2),则该函数是奇函数，故b = 0,所以y = ax3+ cx,代入点(一5, 2) 得—125a —5c= 2•又由该函数的图像在点(—5, 2)处的切线平行于x轴，y'= 3ax2+ c,得当x=—5时，y'= 75a + c_ 5x40.y =- 5x + 3 ［解析］本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法•因为 y=_ 5e _，所以切线的斜率 k =_ 5e 0=_ 5,所以切线方程是：y — 3 =_ 5(x _ 0)，即 y =— 5x + 3.一 x41.(— In 2, 2)［解析］设点P 的坐标为(x o , y o ), y '=— e .又切线平行于直线2x + y + 1 = 0,所以—e _x o =_ 2,可得x o =_ In 2，此时y = 2，所以点P 的坐标为(一In 2 , 2).—5x (x + 2)42. ----------------------------------------------------------- 解：(1)当 b = 4 时，f' x)= ，由 f 'x)= 0，得 x =_ 2 或 x = 0.\1 — 2x所以b 的取值范围为(_R, £] 43. C [解析]因为y'= (xe x 1) = e x 1 + xe x 1,所以 y = xe x1在点(1, 1)处的导数是 y '=l= e 11+ e 11=2,故曲线y = xe x —1在点(1, 1)处的切线斜率是 2.144. D ［解析］y = a _石，根据已知得，当x = 0时，y ' = 2,代入解得a = 3. 45. C ［解析］当a = 0时，f(x)=_ 3x 2 + 1,存在两个零点，不符合题意，故 a 丰0.由 f 'x(= 3ax 2— 6x = 0,得 x = 0 或 x = 2 a若a>0,则f(x)极大值=f(0) = 1>0,此时函数f(x)一定存在小于零的零点，不符合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为(一a, — 2). 246. -2 ［解析］因为函数y = In x 的图像与函数y = e x 的图像关于正方形的对角线所在直线 y = x 对称，则图中的e两块阴影部分的面积为eS = 2 e ln xdx = 2(xln x — x)|1 = 2［(eln e — e)_ (In 1 — 1)］ = 2,*12 故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率P =与e47.C ［解析］由题意，要满足f(x) ,所以当x € (―汽―2)时，f'x)<0, f(x)单调递减；当x € (— 2, 0)时，f 'x)>0, f(x)单调递增；当f'x)<0, f(x)单调递减，故f(x)在x =_ 2处取得极小值f(— 2) = 0，在x = 0处取得极大值 —x[5x +( 3b — 2) ] 一”’ _ f 11， 一 x (2)f'x)= f(0) = 4..1 — 2x 依题意当x € 0, 3时，有，易知当x €卩舟”产瓦<0,5 5x + (3b — 2)< 0，从而-+ (3b _ 2)< 0,得3只需 若a<0,则函数f(x)的极大值点为 x = 0，且 f(x) 极大值 =f(0) = 1,极小值点为2 口 x =：,且f(x)极小值=f2 a 2— 42 = 丁，此时2a — 4 >0, a ，即可解得 a< —2;g(x)是区间［—1, 1］上的正交函数，即需满足11 f(x)g(x) dx = 0.* -1①f(x)g(x) dx= sin^xcos^xdx =打1 sinxdx= (一*cos x 丿_ 1 = 0，故第①组是区间［—1, 1］上的正交函数；'_ 1 ' _ 1 '-1②d f(x)g(x) dx= d (x+ 1)(x —1)dx =〒—x —1 = _彳工0,故第②组不是区间［—1, 1］上的正交函数；'_ 1 ' _ 1418③f f(x)g(x) dx = f x • x 2dx =竽1= 0,故第③组是区间［—1,1］上的正交函数.，—1 ，— 1 综上，是区间［—1, 1］上的正交函数的组数是 2.故选C. 2 n 2 n 2 n［解析］因为 / 丁0f(x) dx = 0，即 / —0f(x) dx =— cos(x — ©才0=—cos5 n x = ~6-是函数f(x)图像的一条对称轴.=x(x>0).48. A49. B［解析］f f(x)dx =「■ 0■ 0+ 2f (x ) dx dx =1 3.50. D ［解析］直线y = 4x 与曲线y = x 3在第一象限的交点坐标是(2, 8)，所以两者围成的封闭图形的面积为 3(4x — x )dx =2x 2—步4 ； 0 = 4,故选 D.51 . C ［解析］J (2x + e x )dx = (x 2 + e x )J = (12+ e 1)— (02 + e 0)= e.” 052. Ad yd I y［解析］f(— x)= ln(1 — x)— ln(1 + x) = In ~ =— ln =— ［ln (1 + x )— ln (1 — x )］1 + x 1 — x2x=—f(x),故①正确；当 x € ( — 1, 1)时，1+2€ (— 1, 1),且 fI I .X. .1 + x 2 + 2x . =ln 2 = ln 1 + x 2 — 2x由①知，f(x)为奇函数，所以|f(x)|为偶函数，则只需判断当x € ［0 , 1)时，f(x)与2x 的大小关系即可.记 g(x)= f(x) — 2x , 0 < x v 1,彳 + x 2 1 + x 1+x = 2ln L = 2［ln(1 + x) — ln(1 - x)］ = 2f(x)，故②正确;即 g(x)= ln(1 + x)— ln(1 — x)— 2x , 0< x<1 , g ' (x)= — + 丄—2=-^, 0< x v 1.1 + x 1 — x 1 — x 即g(x)在［0, 1)上为增函数，且g(0) = 0,所以g(x)> 0,1)，于是|f(x)| >2|x|正确.综上可知，①②③都为真命题，故选A.当0 < x v 1时， 即 f(x) — 2x >0,g'x) > 0,x € ［0,53. B ［解析］ 依题意, m 2+ In (m + a),解得 m + a = 设存在 P(— m , n)在f(x)的图像上，贝U Q(m , n)在g(x)的图像上，则有 —1 —1ee m — 2，即 a = ee m —?— m(m >0)，可得 a € (— 8, m 2+ e -m —壬.e).54. (1) .x (2)x(或填(1)k 1 .x ; (2)k 2x ，其中 k 1, k ?为正常数) ［解析］设 A(a , f(a)), B(b ,— f(b)), C(c , 0)，则此三点共线:0 — f (a ) = 0+ f (b ) 即 c — a c— b ab — a Jab — bb>0，所以化简得f ) = f#，故可以选择f(x) = Vx(x>0); 0| f (b)，因为a>0, b>0，所以化简得 2ab ,—b a + b(1)依题意,因为a>0. ⑵依题意,........ 需c —迪则 0―f (a )c= a + b ‘ 则 2ab a —a a + b0— f (a ) 0+ f (b ) f (a ) _f (b ) a =故可以选择f(x)cos © = 0，可取 ©?+ 仔:f ( x ) 1 1 1 =Q + 2' f(x)dx ,得'f(x)dx = ■ 0 ■ 055. B ［解析］不妨设0 w y<x w 1.1 ill当 x — y < 2时，f(x) — f(y)l<2lx — y|=2(x — y)w 4.1 1 当 x — y>2时，|f(x) — f(y)|= |f(x) — f(1) — (f(y) — f(0))| w |f(x) — f(1)| + |f(y) — f(0)|<111 1 1 斗 1|x — 1|+ 2|y — 0|= —2(x — y)+ 2<4.故 k min — 4.56.①③④ ［解析］若f(x)€ A ，则f(x)的值域为R ，于是，对任意的b € R ，一定存在a € D ，使得f(a) = b ,故①正确.取函数f(x)= x( — 1 v x v 1)，其值域为(—1, 1),于是，存在M = 1,使得f(x)的值域包含于［—M , M ］ = ［ — 1 , 1］, 但此时f(x)没有最大值和最小值，故②错误.当f(x) € A 时，由①可知，对任意的b € R ，存在a € D ，使得f(a)= b ，所以，当g(x) € B 时，对于函数f(x) + g(x), 如果存在一个正数M ，使得f(x) + g(x)的值域包含于［—M , M ］，那么对于该区间外的某一个b °€ R ，一定存在一个a 0 € D ，使得 f(a °)=b — g(a 0),即卩 f(a °) + g(a °) = b °?［ — M , M ］，故③正确.x对于f(x) = aln(x + 2) + 2 , 1 (x >— 2)，当a >0或a v 0时，函数f(x)都没有最大值.要使得函数f(x)有最大值，x只有 a = 0,此时 f(x) = x ?+ 1 (x >— 2).-1111 一易知f(x) € — 2, 2，，所以存在正数 M = 2,使得f(x) € ［ — M , M ］，故④正确.1 I 3= §sin血 2n X 99 -sin 2n X 器=58.(―汽 2］［解析］函数f(x)的图像如图所示，令t = f(a),则f(t )w 2，由图像知t >— 2，所以f(a)>— 2,则 a w 2.\ y t1\)■=-2——\i ： 2 - Xx只有 a = 0,此时 f(x) = T(x >— 2).° -仁2©9丿(99 992=992= 1；对于 i 2, 2100X 98 99 — 1h<1.2 9999 由于2」——L 丄仁译 9999 =1 , 2,…，99)，故-丄， 250 (98+ 0) —扁丿 + 百丿=992|100— 2i|(i =1,2,…，99),故 I 2=992X 2X 57. B ［解析］对于11,由于sin 2 n X 99 — sin 2n X 2nX 99 — sin 2n X …+ 1 2sin ［2 n X 2sin 2 n X4>1.故丨2<11<13，故选 B.x + 1。
高考冲刺-函数与方程的思想习题及答案
高考 函数与方程的思想类型一、函数思想在方程中应用 1.已知155=-acb （a 、b 、c ∈R ），则有（ ） (A) ac b 42> (B) ac b 42≥ (C) ac b 42< (D) ac b 42≤2.若关于x 的方程cos2x －2cos x ＋m ＝0有实数根，则实数m 的取值范围是________3.已知函数 32()f x ax bx cx d =+++的图象如下，则（ ） （A ）(),0b ∈-∞ (B)()0,1b ∈ (C) (1,2)b ∈ (D)(2,)b ∈+∞4.若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有大于1的解，则实数a 的取值范围是( )A ．a <253-B ．a ≤－8C ．a <133- D ．a ≤－45.设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，类型二、函数思想在不等式中的应用6.当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ；7.已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围．8.对于满足0≤p ≤4的实数p ，使x 2＋px >4x ＋p －3恒成立的x 的取值范围是________类型三、函数思想在数列中的应用9.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知123=a ，12S >0，13S <0，（1）求公差d 的取值范围；（2）指出1S 、2S 、3S …，12S 中哪一个最大，并说明理由。
10.已知等差数列的公差，对任意都有，函数．（1）求证：对任意，函数的图象过一定点．（2）若，函数f(x)与x 轴的一个交点为（），且，求数列的通项公式．（3）在（2）的条件下，求．类型四、函数思想在立体几何中的应用 11.如图，已知面，于D ，．（1）令，，试把表示为x 的函数，并求其最大值；（2）在直线PA 上是否存在一点Q ，使成立？类型五、利用方程思想处理解析几何问题 12.直线与圆相切，则a 的值为（ ）A ．B ．C ．1D ．13.（2016 全国I 卷高考）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （I ）求OH ON；（II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 14.直线和双曲线的左支交于A 、B 两点，直线l 过点P(－2，0)和线段AB 的中点M ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围．类型六、函数思想在三角中的应用 15.求的取值范围。
函数与方程及函数的综合应用课件——高三数学一复习
2
x 1
品售价为50万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
解析 (1)当0<x<50时,L(x)=50x- 1 x 2 10 x -200=- 1 x2+40x-200,
6
4 3
3 2
6
2
函数f(x)的一个零点位于 , 内,即x0∈ , .故选C.
6 4
答案 C
6 4
考法二 已知函数有零点(方程有根)求参数值(或取值范围)
1.直接法:利用零点构建关于参数的方程(组)或不等式(组),直接求解.
2.参数分离法:将参数与自变量分离,转化为求函数的最值或值域.
2
2
当x≥50时,L(x)=50x-52x- 7 200 +1 200-200=1 000- 2 x 7 200 ,
x 1
1 2
x 40 x 200,0 x 50,
所以L(x)= 2
1 000 2 x 7 200 , x 50.
3.5专题三、函数与方程及
函数的综合应用
知识梳理
基础篇
考点一 函数的零点
1.函数的零点
1)函数零点的定义:对于一般函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=
f(x)的零点.
注意:零点不是点,是满足f(x)=0的实数x.
2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的
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2014年高考复习专题8
函数与方程
【考纲要求】
1．考查具体函数的零点的取值范围和零点个数．2．利用函数零点求解参数的取
值范围．3．利用二分法求方程的近似解．
基础梳理
1．函数的零点
(1)函数零点的定义(2)几个等价关系(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)零点的分布
根的分布(m＜n
＜p为常数) 图象 满足条件
x1＜x2＜m
m＜x1＜x2
x1＜m＜x2
m＜x1＜x2＜n
m＜x1＜
n＜x2＜p
只有一根在
(m，n)之间
3.二分法求方程的近似解
(1)二分法的定义
(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
一个口诀___________________________________________
两个防范_________________________________________
三种方法__________________________________________
双基自测
1．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m
的取值范围是( )．
A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
2．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点( )．
A．至少有一个 B．至多有一个
C．有且只有一个 D．可能有无数个
3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的
是( )．
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
4．(2011·新课标全国)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为
( )．
A.－14，0 B.0，14C.14，12 D.12，34
5．(人教A版教材习题改编)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数
a的取值范围是________．
考向一 函数零点与零点个数的判断
【例1】►(2010·福建)函数f(x)＝ x2＋2x－3，x≤0－2＋ln x，x＞0的零点个数为( )．
A．3 B．2 C．7 D．0
【训练1】 函数f(x)＝log3x＋x－3的零点一定在区间( )．
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
考向二 有关二次函数的零点问题
【例2】►是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]
上与x轴恒有一个零点，且只有一个零点．若存在，求出a的取值范围，若不存
在，说明理由．
[审题视点] 可用零点定理去判断，注意对函数端点值的检验．
【训练2】 关于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，当a为何实数时
(1)有两不同正根；(2)不同两根在(1,3)之间；(3)有一根大于2，另一根小于2；
(4)在(1,3)内有且只有一解
考向三 函数零点性质的应用
【例3】►已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋e2x(x>0，其中e表示自然对数
的底数)．
(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；
(2)确定t的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
【训练3】 已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若a＝3217，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．
难点突破6——如何利用图象求解函数零点问题
数形结合是重要的思想方法之一，也是高考考查的热点问题，利用函数图象判断
方程是否有解，有多少个解是常见常考的题型，数形结合法是求函数零点个数的
有效方法，其基本思路是把函数分成两个函数的差，分析的基本思想是分析后的
函数图象比较容易做出，则函数零点个数就是两函数图象交点的个数．
一、判定函数零点的个数
【例】► (2011·陕西)函数f(x)＝x－cos x在[0，＋∞)内( )．
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
二、判断零点的范围
【例】► (2011·山东)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜
4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.