向量的减法
向量的运算的减法法则
向量的运算的减法法则向量是数学中的一个重要概念，它具有大小和方向。
在向量的运算中，减法是其中一种基本的运算法则。
减法法则描述了如何计算两个向量之间的差向量。
在本文中，我们将详细讨论向量的减法法则，包括定义、计算方法和几何意义等方面。
首先，我们来定义向量的减法。
设有两个向量$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$，它们的减法定义为：$$\mathbf{A} - \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})$$其中，$-\mathbf{B}$表示向量$\mathbf{B}$的相反向量。
对于二维向量和三维向量，向量的相反向量定义如下：1. 二维向量：如果$\mathbf{B} = (x_1, y_1)$，那么$-\mathbf{B} = (-x_1, -y_1)$。
2. 三维向量：如果$\mathbf{B} = (x_1, y_1, z_1)$，那么$-\mathbf{B} = (-x_1, -y_1, -z_1)$。
根据这个定义，我们可以将向量的减法转化为向量的加法。
具体来说，向量的减法可以通过将减法转化为加法，然后使用向量的加法法则进行计算。
接下来，我们来讨论向量的减法的计算方法。
设有两个向量$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$，它们的减法可以通过以下步骤进行计算：1. 计算向量$\mathbf{B}$的相反向量$-\mathbf{B}$。
2. 使用向量的加法法则，计算向量$\mathbf{A} + (-\mathbf{B})$。
在具体计算过程中，可以按照对应分量相减的方式进行。
例如，对于二维向量，设$\mathbf{A} = (x_1, y_1)$，$\mathbf{B} = (x_2, y_2)$，则$\mathbf{A} - \mathbf{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
对于三维向量，设$\mathbf{A} = (x_1, y_1, z_1)$，$\mathbf{B} = (x_2, y_2,z_2)$，则$\mathbf{A} - \mathbf{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$。
向量减法及其几何意义
设有两个向量 $vec{A} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $vec{B} = (x_2, y_2, z_2)$，则向量 $vec{A}$ 减去向量 $vec{B}$ 的结果是一个新的向量 $vec{C} = vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2, z_1 - z_2)$。
几何意义
向量 $vec{C}$ 是由向量 $vec{A}$ 的终点指向向量 $vec{B}$ 的起点的向量。在平面直角坐标系中，这相当于从 点 $(x_1, y_1)$ 到点 $(x_2, y_2)$ 画一个有向线段，其方向由 $(x_1, y_1)$ 指向 $(x_2, y_2)$。
空间直角坐标系中向量减法
04 向量减法在物理问题中应 用
位移、速度、加速度等物理量计算
01
02
03
位移计算
向量减法可以应用于计算 物体在一段时间内的位移， 即末位置向量减去初位置 向量。
速度计算
通过位移向量与时间向量 的商，可以计算物体的平 均速度或瞬时速度。
加速度计算
加速度是速度向量的变化 率，可以通过相邻两个时 刻的速度向量相减并除以 时间间隔来计算。
向量减法及其几何意义
目录
• 向量减法基本概念 • 向量减法在坐标系中表示 • 向量减法几何意义探讨 • 向量减法在物理问题中应用 • 向量减法在数学问题中应用 • 总结与拓展
01 向量减法基本概念
定义与性质
定义
性质
结合律
交换律的逆
存在零元
向量减法定义为加上一个 向量的相反向量。即对于 任意两个向量 A 和 B， 向量 A 减去向量 B 的结 果是一个新的向量，记作 C = A - B，其中 C 是 A 与 -B（B的相反向量）的 向量和。
向量的减法法则口诀
向量的减法法则口诀
向量的减法口诀：首首相连，尾连尾，方向指向被减向量。
向量的学习是高一数学必修四第二章的内容，要求同学们会向量的基本运算，其中就包括加法、减法、数乘。
要求大家能根据运算法则解决基本的向量运算，学会运用图像解决向量加减法，向量的数乘等问题。
向量的相关题目难度也不是很大，只要大家认真学习，认真做好笔记，认真做做题目，总结做题规律，那么当我们遇到类似题目时就会似曾相识，做起来也很顺手，再细心点的话，得满分也没有问题。
学习方法很多，重要的事找到适合自己的方法，当然适合自己方法就是最好的方法。
向量减法运算及其几何意义
在力学中，力的合成与分解可以通过向量减法来描述，例如合力与分力之间的关 系。
03
向量减法的运算规则
向量减法的代数运算
80%
定义
向量减法是通过将一个向量的起 点平移到另一个向量的终点，然 后按照向量加法的规则进行计算 。
100%
性质
向量减法满足交换律和结合律， 即a-b=-(b-a)和(a-b)-c=a(b+c)。
向量减法不满足结合律
$(vec{A} - vec{B}) - vec{C}$不等于$vec{A} (vec{B} - vec{C})$。
向量减法的零向量
若$vec{A} - vec{B} = vec{0}$，则表示$vec{A}$与 $vec{B}$方向相同或相反，且模长相等。
向量减法与加法的关系
向量加法和减法是互为逆运算
$vec{A} + vec{B} = vec{B} + vec{A}$，但$vec{A} - vec{B} neq vec{B} vec{A}$。
向量加法和减法的结合律
$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$，但$(vec{A} vec{B}) - vec{C} neq vec{A} - (vec{B} - vec{C})$。
数学表示
设$vec{A}$和$vec{B}$是两个向量，则$vec{A} - vec{B}$表示从 $vec{B}$的起点沿着$vec{B}$的方向移动到$vec{A}$的起点，再 反向延长到原点所形成的向量。
向量减法的性质
向量减法不满足交换律
$vec{A} - vec{B}$不等于$vec{B} - vec{A}$。
向量的四则运算公式
向量的四则运算公式一、向量加法。
1. 三角形法则。
- 已知向量→a与→b，将→b的起点平移至→a的终点，则从→a的起点指向→b的终点的向量就是→a+→b。
- 公式：设→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a+→b=(x_1 + x_2,y_1 + y_2)。
2. 平行四边形法则。
- 以同一点O为起点的两个已知向量→a，→b为邻边作平行四边形，则以O 为起点的对角线向量就是→a+→b。
二、向量减法。
1. 三角形法则。
- 已知向量→a与→b，将→a与→b的起点平移到同一点，则从→b的终点指向→a的终点的向量就是→a-→b。
- 公式：设→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a-→b=(x_1 - x_2,y_1 - y_2)。
三、向量数乘。
1. 定义。
- 实数λ与向量→a的乘积是一个向量，记作λ→a。
- 当λ>0时，λ→a与→a方向相同；当λ = 0时，λ→a=→0；当λ<0时，λ→a 与→a方向相反。
2. 公式。
- 设→a=(x,y)，则λ→a=(λ x,λ y)。
四、向量的数量积（内积）1. 定义。
- 已知两个非零向量→a与→b，它们的夹角为θ(0≤slantθ≤slantπ)，则→a·→b=|→a||→b|cosθ。
2. 坐标表示。
- 设→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，则→a·→b=x_1x_2 + y_1y_2。
向量没有除法运算，因为向量之间的除法没有唯一确定的结果，但是在一些特殊情况下，可以通过向量的数量积和向量的模等概念来求解类似的问题。
向量的减法
b
A
a
B
答案： AC a b , DB AB AD a b .
作业：P 4， 5， 6 （ 4， 5 ）， 7 105
； / 聚星平台
vcg49wfv
在离家之前就已经做了简单的准备呢！“吁—”耿老爹吆喝驴车停了下来，朗声招呼耿正兄妹三个下车：“来，娃儿们，俺们 给五道爷磕个头，许个愿哇！”说着话，耿老爹自己已经麻利地跳下车来，并且伸手从搭连里取出来三柱香和一个很好用的火 镰子。耿正、耿英和耿直也赶快跟着爹爹下车，父子四人一溜儿快步来到五道庙前。耿老爹先用火镰子打火点着了三柱香，再 把它们稳稳地并排插在了庙前的香炉里。然后，他把火镰子装进衣袋里，回头看看身后的三个儿女，自己先恭恭敬敬地跪了下 去。耿正、耿英和耿直也赶快跪在爹爹的身后。耿老爹十二分虔诚地双手合十抬头望着庙堂里端坐着的五道爷塑像，非常字正 腔圆地认真说道：“请五道爷保佑俺们父子四人此趟出门一路顺利，南下创业赚钱遂心如愿，早日衣锦还乡，全家团圆，光宗 耀祖，造福乡里！”耿正、耿英和耿直也十二分虔诚地双手合十抬头望着庙堂里端坐着的五道爷塑像，齐声跟着爹爹说道： “请五道爷保佑俺们父子四人此趟出门一路顺利，南下创业赚钱遂心如愿，早日衣锦还乡，全家团圆，光宗耀祖，造福乡里！” 随后，在耿老爹的带领下，父子四人一起，十二分虔诚地给端坐在庙堂里的五道爷塑像标标准准地磕了三个头。磕完头以后， 父子们站起身来双手合十各自许愿。实际上，耿正兄妹三个所许的愿，都只不过是把刚才说给五道爷听的那些话，又都在心里 边默默地说了几遍罢了。然而，耿老爹此时在心里边默默地跟五道爷述说的，却更加地具体和详细了许多。他衷心地希望，五 道爷能够听得到他的心里话！他相信，五道爷已经听到他在心里说的话了！并且，他更愿意相信，五道爷一定能够保佑他父子 们此趟出门创业一路顺利，也一定能够衣锦还乡造福乡里！许完了愿，耿老爹举起右手有力地一挥，大声说：“娃儿们，上车 喽！”大家又上车坐回到各自的位置上。耿老爹拉起缰绳一声吆喝：“咦—”黑灰色毛驴拉着平车转向左边，又精神抖擞地 “哒哒哒”向东疾步而行。在一片敞亮的晨光中，坐在驾车位置上的耿老爹目光坚毅神采奕奕，那些个曾经在他的脑海里设想 过无数回的巨大成功，此时仿佛已经在向他父子们招手了！望着前方宽阔的东西大道，他爽朗地大声对耿正、耿英和耿直说： “这条东西大道无论是往东走，还是往西走，只要在第一个路口往南拐，就都能通往俺们要去的地方。今儿个俺们打东边儿去， 到南面儿转他一圈儿，找个能站得住脚的好地儿，痛痛快快地好好儿干上一番！等到过几年赚发了以后，俺们再从西边儿回 来！”然而，尽管耿老爹此时是如此得信心满满且神情朗朗，但耿正、耿英和耿直毕竟是平生第一次背井离乡啊！前方的道路 对于还尚未成人的他们来说，既充满向往，但更多的
2.1.3向量的减法
计
堂
双
课
【提示】 相反向量．
基
前
达
自
标
主
导
学
课
课
堂
时
互
作
动
业
探
究
菜单
新课标 ·数学 必修4
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教 学
1．定义：如果两个向量长度 相等 ，而方向 相反 ，那
方
案 设
么称这两个向量是相反向量．
当
计
堂
课
2．性质：(1)对于相反向量有：a＋(－a)＝0.
双 基
前
达
自
(2)若 a，b 互为相反向量，则 a＝－b，a＋b＝0.
误 辨 析
教
学 方
＝(A→B－A→C)＋(D→C－D→B)＝C→B＋B→C＝0.
案
设 计
法三 设 O 为平面内任意一点，则有
当 堂
双
课 前
(A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D
基 达
自
标
主 导 学
＝(O→B－O→A)－(O→D －O→C)－(O→C－O→A)＋(O→D－O→B)
课 时 作 业
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
新课标 ·数学 必修4
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
向量的减法
五、课堂检测
则|O→C|＝|B→A|， 即平行四边形 OACB 的对角线相等， ∴平行四边形 OACB 是矩形， ∴a⊥b.]
1234 5
六、课堂小结
回顾本节内容，自我完成以下问题： 1.向量减法的实质是什么？ [提示] 向量减法是向量加法的逆运算．即减去一个向量等于加 上这个向量的相反向量．
四、典例分析
1.如图所示，O 为△ABC 内一点，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，求作：
(1)向量 b＋c－a； (2)向量 a－b－c.
四、典例分析
[解] (1)以O→B，O→C为邻边作▱OBDC，如图，连接 OD，AD，则O→D＝O→B＋O→C＝b＋c，A→D＝O→D－O→A＝b ＋c－a.
五、课堂检测
1．在△ABC 中，A→B＝a，A→C＝b，则B→C＝( )
A．a＋b
B．a－b
C．b－a C [B→C＝A→C－A→B＝b－a.]
D．－a－b
1234 5
五、课堂检测
2．如图，在四边形 ABCD 中，设A→B＝a，A→D＝b，B→C＝c，则D→C 等于( )
A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c [答案] A
四、典例分析
[解] (1)原式＝N→P＋M→N－M→P＝N→P＋P→N＝N→P－N→P＝0. (2)原式＝A→B－C→D－A→C＋B→D＝(A→B－A→C)＋(D→C－D→B)＝C→B＋B→C ＝0.
四、典例分析
2．化简：(1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)； (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B).
1234 5
五、课堂检测
4．设正方形
ABCD
的边长为
向量加减法公式
向量加减法公式
向量加法和减法是在向量空间中进行的基本操作。
它们可以帮助我们计算多个向量之间的总和或差异。
向量加法的公式如下：
对于两个n维向量A和B，它们的和向量C可以表示为：
C = A + B = (A1 + B1, A2 + B2, ..., An + Bn)
例如，如果有两个二维向量A = (2, 3)和B = (1, -4)，它们的和向量C可以计算为：
C = (2 + 1, 3 + (-4)) = (3, -1)
向量减法的公式如下：
对于两个n维向量A和B，它们的差向量D可以表示为：
D = A - B = (A1 - B1, A2 - B2, ..., An - Bn)
例如，如果有两个二维向量A = (2, 3)和B = (1, -4)，它们的差向量D可以计算为：
D = (2 - 1, 3 - (-4)) = (1, 7)
向量加法和减法具有一些重要的性质：
1. 交换律：A + B = B + A，A - B ≠ B - A
2. 结合律：(A + B) + C = A + (B + C)，(A - B) - C ≠ A - (B -
C)
3. 零向量：对于任意向量A，都有A + 0 = A，A - 0 = A，其中0是全为零的向量。
在实际应用中，向量加法和减法可以用于计算两个向量的合力、位置变化等。
同时，它们也可以用于解决几何和物理问题，如平面几何中的位移、速度、加速度等概念。
向量的运算法则公式
向量的运算法则公式1. 向量的加法。
向量的加法遵循以下法则：若有两个向量a和b，它们的加法表示为a + b，其结果为一个新的向量c。
c的每个分量等于a和b对应分量的和，即c = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。
2. 向量的减法。
向量的减法遵循以下法则：若有两个向量a和b，它们的减法表示为a b，其结果为一个新的向量c。
c的每个分量等于a和b对应分量的差，即c = (a1 b1, a2b2, ..., an bn)。
3. 向量的数量乘法。
向量的数量乘法遵循以下法则：若有一个向量a和一个标量k，它们的数量乘法表示为ka，其结果为一个新的向量b。
b的每个分量等于a对应分量乘以k，即b = (ka1, ka2, ..., kan)。
4. 向量的点积。
向量的点积遵循以下法则：若有两个向量a和b，它们的点积表示为a·b，其结果为一个标量c。
c等于a和b对应分量的乘积之和，即c = a1b1 + a2b2 + ... + anbn。
5. 向量的叉积。
向量的叉积遵循以下法则：若有两个三维向量a和b，它们的叉积表示为a×b，其结果为一个新的向量c。
c的每个分量分别为a和b的对应分量按照右手定则计算得出。
6. 向量的混合积。
向量的混合积遵循以下法则：若有三个三维向量a、b和c，它们的混合积表示为(a×b)·c，其结果为一个标量d。
d等于a、b和c构成的平行六面体的有向体积。
这些向量的运算法则是线性代数中的基本概念，它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
通过这些法则，可以对向量进行加法、减法、数量乘法、点积、叉积和混合积的运算，从而解决各种实际问题。
在实际应用中，向量的运算法则可以帮助我们描述物体的运动、力的作用、空间的几何关系等。
例如，在物理学中，利用向量的加法可以描述多个力合成的结果；利用向量的点积可以计算功和投影；利用向量的叉积可以描述力矩和磁场等。