直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角和斜率 课件
【解析】 (3)∵l 与 x 轴交于点 P，且倾斜角为 α，∴0°< α<180°.
又∵逆时针旋转后得到倾斜角为 α＋45°， ∴0°≤α＋45°<180°. 综上：00°°<≤αα<＋18405°°，<180°，解得 0°<α<135°. 【答案】 (1)B (2)90° (3)0°<α<135°
【思路分析】 直接用斜率公式去求． 【解析】 (1)kPQ＝－－21－－11＝32. (2)∵x1＝x2，∴斜率不存在． (3)当 m＝2 时，斜率不存在； 当 m≠2 时，kPQ＝m2－－12＝m－1 2.
题型三 直线的倾斜角与斜率的关系
例 3 (1)已知过点 A(2m，3)，B(2，－1)的直线的倾斜角为 45°，求实数 m 的值；
题型二 直线的斜率的求法
例 2 如图，已知 A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线 AB，BC，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
【思路分析】 由题目可获取以下主要信息：①已知三点 A、 B、C 的坐标；②通过斜率判断直线 AB，BC，CA 的倾斜角．
解答本题可通过斜率的定义，求出直线的斜率，根据斜率的 正、负确定直线倾斜角是锐角还是钝角．
(2)数形结合是一种常用的方法． (3)直线逆时针旋转，k 变大，顺时针旋转，k 变小．
思考题 4 经过点 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(2，
1)，B(2，－3)的线段总有公共点，求直线的倾斜角与斜率的取值 范围．
【解析】 连接 PA，PB，kPA＝1－2（－－01）＝1，α1＝45°， kPB＝－3－2－ （0－1）＝－1，α2＝135°，
探究 2 根据斜率与倾斜角的关系(即当倾斜角 0°≤α< 90°时，斜率是非负的；当倾斜角 90°<α<180°时，斜率是负 的)来解答直线的倾斜角是锐角还是钝角问题．
直线的倾斜角和斜率,直线方程
直线的倾斜角和斜率，直线方程一、直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角概念的注意点：1）注意旋转方向：逆时针2）规定平行x轴（或与x轴重合）的直线倾斜角为0°3）直线倾斜角的范围是0°≤<180°2．直线的倾率：直线的倾斜角的正切值tan（倾斜角不为90°时）。
概念注意点：1）倾斜角为90°的直线无斜率2）斜率k可以是任何实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但不是每条直线都有斜率3）=0°时，k=0；0°<<90°时，k>0；=90°时，k不存在；90°<<180°时，k<0。
3．斜率公式：设直线l的倾斜角为(≠90°)，P1(x1，y2)，P2(x2，y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点，直线l的斜率为k，则：k=tan=，当=90°时，或x1=x2时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在。
例1．求过A(-2，0)，B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。
解：k==-1，即tan=-1，∵0°≤<180°，∴=135°。
点评：已知直线的斜率，可以直接得出直线的倾斜角，但要注意角的范围。
例2．设直线l的斜率为k，且-1<k<1，求直线倾斜角的范围。
解法1：当-1<k<0时，∈()，则，当k=0时，=0，当0<k<1时，∈(0，)，则0<<解法2：作k=tan，∈[0，π)时的图形：由上图可知：-1<k<1时，∈[0，）（）。
点评：1、当直线的斜率在某一区间内时，要注意对倾斜角范围的讨论。
2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。
二、直线方程的四种形式1．两个独立的条件确定一条直线，常见的确定直线的方法有以下两种（1）由一个定点和确定的方向可确定一条直线，这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方程。
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明一、教学目标：1. 让学生理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 让学生掌握直线的斜率的概念，能够求出直线的斜率。
3. 让学生能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学内容：1. 直线的倾斜角的概念。
2. 直线的斜率的概念。
3. 直线的倾斜角与斜率的关系。
4. 求直线的倾斜角和斜率的方法。
5. 直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 直线的倾斜角的概念。
2. 直线的斜率的概念。
3. 直线的倾斜角与斜率的关系。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 采用案例分析法，分析直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考直线的倾斜角和斜率的概念。
2. 讲解直线的倾斜角和斜率的概念，让学生掌握直线的倾斜角和斜率的定义。
3. 通过案例分析，让学生了解直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
4. 互动环节：引导学生参与课堂讨论，探讨直线的倾斜角和斜率的关系。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线的倾斜角和斜率的重要性。
6. 作业布置：布置有关直线的倾斜角和斜率的练习题，巩固所学知识。
说明：本教案根据学生的实际情况，采用讲解法、案例分析法和互动教学法，旨在让学生掌握直线的倾斜角和斜率的概念，并能运用到实际问题中。
在教学过程中，注意启发学生的思维，培养学生的动手能力。
六、教学评估：1. 课堂讲解过程中，观察学生对直线的倾斜角和斜率概念的理解程度。
2. 案例分析环节，观察学生对实际问题中直线倾斜角和斜率的应用能力。
3. 课堂互动环节，评估学生对直线倾斜角和斜率关系的掌握情况。
七、教学反思：1. 课后对学生的作业进行批改，总结学生在直线的倾斜角和斜率方面的掌握情况。
2. 针对学生存在的问题，调整教学方法，以便更好地让学生理解和掌握直线的倾斜角和斜率。
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案在平面直角坐标系中，我们用斜率来描述直线的倾斜程度，但是斜率只能描述直线相对于x轴的倾斜程度，无法描述直线相对于y轴的倾斜程度。
因此，引入直线的倾斜角来描述直线的倾斜程度，可以更加全面地描述直线的特征。
2．举例说明：如图，直线L1与x轴的夹角为30度，直线L2与x轴的夹角为60度，直线L3与x轴的夹角为120度。
我们可以发现，直线L1相对于x轴的倾斜程度最小，直线L3相对于x轴的倾斜程度最大。
同时，我们也可以根据倾斜角的大小来判断直线相对于x轴的倾斜方向。
二)直线的斜率1．定义：直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)的连线所成的角，叫做直线L的斜率，记作k，即k=tan.2．斜率公式：设直线L上两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则直线L的斜率为k=(y2-y1)/(x2-x1).3．举例说明：如图，直线L1过点A(1,2)和点B(3,4)，直线L2过点C(2,3)和点D(2,5)，直线L3过点E(-1,2)和点F(1,-2)。
我们可以通过斜率公式计算出直线L1的斜率为1，直线L2的斜率为无穷大，直线L3的斜率为-2.三)倾斜角和斜率的关系1．推导过程：设直线L与x轴的夹角为，则tan=k，即=arctan(k)。
2．结论：直线的倾斜角和斜率是互相确定的，知道其中一个就可以求出另一个。
同时，当直线的斜率存在时，直线的倾斜角是唯一确定的。
三、知识拓展一)斜率的性质1．斜率相等的直线平行，斜率相反的直线垂直。
2．斜率为0的直线与x轴平行，斜率不存在的直线与y轴平行。
3．斜率为正数的直线向上倾斜，斜率为负数的直线向下倾斜。
4．斜率越大，直线的倾斜程度越大。
二)斜率的应用1．求两点间的距离：设两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则AB的距离为d=sqrt[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
2．判断三点共线：设三点A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)，则当AB的斜率等于BC的斜率时，三点共线。
直线倾斜角斜率
直线倾斜角斜率直线倾斜角斜率是指直线与x轴之间的夹角的度量，它是直线的一个重要特征。
在数学中，直线的斜率是通过两点的坐标来计算的，而直线倾斜角斜率则是通过斜率来计算的。
直线倾斜角斜率的计算公式是tanθ=k，其中k是直线的斜率。
斜率是直线上任意两点的纵坐标之差除以横坐标之差的比值。
根据斜率的正负和大小可以判断直线的倾斜方向和程度。
直线倾斜角斜率对于理解直线的性质和解决实际问题非常重要。
下面将从几个方面来介绍直线倾斜角斜率的应用。
直线倾斜角斜率可以用来判断直线的方向。
当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为零时，直线水平；当斜率不存在时，直线垂直。
直线倾斜角斜率还可以用来计算直线与坐标轴的交点。
例如，对于一个直线的倾斜角斜率为k，如果它与x轴的交点为(0, b)，那么可以得到b=0，即直线与x轴相交于原点；如果它与y轴的交点为(a, 0)，那么可以得到a=0，即直线与y轴相交于原点。
直线倾斜角斜率还可以用于求两条直线的夹角。
如果直线1的斜率为k1，直线2的斜率为k2，那么直线1和直线2的夹角θ可以通过tanθ=(k2-k1)/(1+k1k2)来计算。
根据夹角的正负和大小可以判断两条直线的相对方向和夹角的大小。
直线倾斜角斜率还可以用来解决实际问题。
例如，在物理学中，可以通过直线的斜率来计算物体的速度和加速度；在经济学中，可以通过直线的斜率来计算价格和需求的关系；在工程学中，可以通过直线的斜率来计算斜坡的倾斜程度。
直线倾斜角斜率是直线的一个重要特征，它可以用来判断直线的方向、计算交点和夹角，以及解决实际问题。
通过理解和应用直线倾斜角斜率，我们可以更好地理解和应用数学知识，提高问题解决的能力。
直线的倾斜角与斜率 知识点总结及典例
直线的倾斜角与斜率基础知识梳理1.倾斜角定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角. 范围：)180,0[0.2.斜率（1）斜率计算：倾斜角为α，)90(tan 0≠=ααk ；经过两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠的直线的斜率为1212x x y y k --=. α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180°k ＝0 k ＞0 斜率不存在 k ＜0 一、选择题1．关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的( )A ．任一条直线都有倾斜角，也都有斜率B ．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大C ．平行于x 轴的直线的倾斜角是0°D ．两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等2．一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为( )A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－α3．直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的范围是( )A ．0°≤α＜90°B ．90°≤α＜180°C ．90°＜α＜180°D ．0°≤α＜180°4．已知直线l 的倾斜角为150°，则直线l 的斜率为( )A ．33B ． 3C ．－33D ．－3 5．如图，直线l 的倾斜角为( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．150°6．已知直线的斜率为－3，则它的倾斜角为( )A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．150°7．若直线l 经过点M (2,3)，N (4,3)，则直线l 的倾斜角为( )A ．0°B ．30°C ．60°D ．90°8．斜率为2的直线经过点(3,5)，(a,7)，(－1，b )三点，则a ，b 的值是( )A ．a ＝4，b ＝0B ．a ＝－4，b ＝－3C ．a ＝4，b ＝－3D ．a ＝－4，b ＝39．经过两点A (2,1)，B (1，m )的直线的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( )A ．m ＜1B ．m ＞－1C ．－1＜m ＜1D ．m ＞1或m ＜－110、直线x=1的倾斜角和斜率分别是( )A.45°,1B.135°,-1C.90°,不存在D.180°,不存在11．在平面直角坐标系中，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为()A．-B．0 C D．二、填空题12．如果直线l1与l2关于x轴对称，且与x轴相交，它们的倾斜角分别为α1，α2，则α1与α2的关系是________．13．过点(0,1)与(2,3)的直线的斜率为_________，倾斜角为__________．14．若过点(a，－2)和(4，a)的直线斜率不存在，则a＝__________．15．已知点A(－m,5)，B(1,3m)，且直线AB的倾斜角为135°，则实数m＝__________．16．已知点A(1,2)，点P在x轴上，且直线P A的倾斜角为135°，则点P的坐标为__________．17．已知点A(3,4)，点B在坐标轴上，且直线BA的斜率为2，则点B的坐标为__________．18.若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则11a b+的值等于________．三、解答题19.已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1)．求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角.20.(1)已知：A(2,2)，B(4,0)，C(0,4)，求证：A，B，C三点共线；(2)若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，m)在同一条直线上，求m的值．21.(1)经过两点A(－m,6)，B(m＋1,3m)的直线倾斜角的正切值为2，求m的值；(2)一束光线从点A(－2,3)射入，经过x轴上点P反射后，通过点B(5,7)，求点P的坐标．。
名师教学设计《直线的倾斜角和斜率》完整教学教案
2.如何探究直线的斜率坐标计算公式。
三、学习者特征分析
学生掌握了平面内两点确定一条直线，以及在平面直角坐标系中点用坐标表示。直线如何表示直线的几何问题如何转化成代数问题从而研究几何性质是学生第一次学习，通过联系实际激发学生的学习兴趣、满足求知欲和好奇心。
学生小组讨论
理解斜率计算的代数式结构与坐标顺序无关，而且培养学生分类讨论的数学思想
六、教学评价设计
1.本节课从实际生活出发，引导学生通过观察抽象出直线的几何要素以及代数表示，让学生理解抽象的定义。
2.在教学过程中，借助多媒体加强动态演示，渗透解析几何从常量到变量转变的观点。通过合作探究让学生成为学习主体，有助于培养学习数学的兴趣，增强克服困难的自信心。
并且当直线 与 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 。
2.直线斜率的定义
直线斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用小写的字母k表示，所以
k= （ ≠ ， = 正切值不存在）
3.直线斜率的两点坐标计算公式
两点间斜率的计算公式 （x1≠x2）
（三）巩固新知
例题：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1),求直线AB, BC, CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.
2. （x1≠x2）
八、教学反思
1.知识的讲解尽量联系实际，体现数学的应用性；
2.在数学能力方面应多强调；
3.加强学生教学生的合作交流意识；
4.应提高学生的求知欲。
四、教学过程
（一）情景引入：在直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢初中时我们知道确定一条直线的方法是：两点确定一条直线，那么在直角坐标系中除了两点确定一条直线外还有其他的方法吗这就是我们本节课研究的主要内容。
直线的倾斜角与斜率(优质课)PPT课件
、
的斜率为 k2,求.x,y.的值 .
1.直线的倾斜角的定义 2.直线的斜率的定义
3.两点间斜率公式
2021
14
P.89习题3.1 A组 1，2， 3，4，5
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15
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4
y l3 l2 l1
Q
O
P
x
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5
yl
x O
yl
x O
yl
O
x
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0
y
l
x O
6
直线的倾斜角
y
l
α o
定义：当直线
l 与x轴相交时， 我们取x轴作为 基准，x轴正向 与直线 l 向上方 向之间所成的角 x α 叫做直线 l 的 倾斜角．
规定：直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°
()
()
象限. 象限.
3、已知a,b,c是两两不等的实数，求经过下列两点直线的倾斜角： （1）A(a,c),B(b,c) （2）C(a,b),D(a,c) （3）P(b,b+c),Q(a,a+c)
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4、 如图 ，已知 A(3,2), B(4,1),C(0,1)，求直
线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角．
蓬街私立中学林葵31117世纪法国数学家笛卡尔有一天躺在床上观察虫子在天花板上爬行位置激发了灵感产生了坐标的概念创立了解析几何
3.1.1 倾斜角与斜率
蓬街私立中学林葵
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1
17世纪，法国数学家笛卡尔，有一天躺在 床上观察虫子在天花板上爬行位置，激发了灵 感，产生了坐标的概念，创立了解析几何。
【原创】倾斜角和斜率
135
k tan135 tan 45 1
150
k tan150 tan 30
3
3
即 若两角互补，正切值互为相反数！
2.直线的倾斜角与斜率之间的关系:
y
直线
y
y
y
情况
o
o
o
o
x
x
x
x
的
大小
0 0 90 90 90 180
k的
范围
k=0 k (0,) k不存在 k (,0)
例2 (书P86 练习4）在平面直角坐标系中， 画出经过点（0，2）且斜率分别为2和-2 的直线。
y
O
x
∵入射角等于反射角
倾斜角APN 180 APM
M(2,2)
K MP K PN
23
PA x
2x 8x
解得 x 2 反射点 P (2,0)
三、小结：
1、直线的倾斜角定义及其范围：0 180
2、直线的斜率定义： k tan ( 90 )
3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
0 k tan 0 0
k AB
y2 x2
y1 x1
kBA
y1 y2 x1 x2
答：直线AB的斜率与A、B两点的 顺序无关。
3、当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公
式还适用吗？为什么？
y
P1(x1, y1)
x1 o
P2 (x2, y2 )
x2 x
斜率k tan0 0
由于 y1 y2 ,
y2 y1 0 x2 x1
直线的倾斜角是什么角？
解：直线AB的斜率
k AB
22 84
0
直线BC的斜率
知识要点-直线的倾斜角与斜率及直线方程
第1讲直线的倾斜角与斜率及直线方程★知识梳理★1、直线的倾斜角与斜率：对于一条与X轴相交的直线,把X轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范用是［0°, 180°）直线的倾斜角α与斜率k的关系：当α ≠ 90°时，k与a的关系是k = tana； « = 90°时，直线斜率不存在：经过两点P I（X If y1）P=（x=,y=）（χ1≠χ=）的直线的斜率公式是R =旦二如:心一召三点A.B.C共线的充要条件是k Al） = kλc2.直线方程的五种形式：点斜式方程是y-y0= ψ-⅞）;不能表示的直线为垂直于迟轴的宜线斜截式方程为y = kx+b i不能表示的直线为垂宜于兰轴的宜线两点式方程为=L =上二土：不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线y2 - >,ι v2-西截距式方程为- + - = 1：不能表示的宜线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线• a b一般式方程为coc+by + c = 0 .3.几种特殊直线的方程：①过点P（a,b）垂直于X轴的直线方程为空;过Pab）垂直于y轴的直线方程为y≡b②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为y = kx+b；③已知直线的横截距为a,可设其方程为x = my + a^④过原点的直线且斜率是k的直线方程为y=kx★重难点突破★重点：理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程难点:在求直线方程时，条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确立直线位置的要素,从而顺利求岀直线方程（1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角（或范用）求斜率（范由）（2）已知斜率（或范围)求倾斜角(或范围),如: 问题1：直线Xtan-+ y + 2 = O的倾斜角&是、兀GltCM TXπA.—B. —C. —D.——3 6 3 3点拨:转化为：已知tana =-tan—,c? ∈[0,Λ∙),求α ,答案：C 问题2:求直线XCOS0 + √3>- + 2 = 0的倾斜角的取值范用点拨：要从k = tana和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系，①当α∈[O,-)f⅛, /r∈[0Λ∞), k随α的增大而增大；2②当QE(Z+s)时，k∈ (-≪>,0) I&随Q的增大而增大.2本题可先求出斜率的取值范国，再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范囤. k=--cosθ,故：心亜3 3 一一3当05R≤g时，直线的倾斜角α满足：0≤α≤兰3 6当_迺“<0时,直线的倾斜角α满足-≤a<π3 6所以，直线的倾斜角的范围：0≤a≤-和竺SavTr6 6(2)利用直线方程的几何特征确定直线的位置问题3：已知函数f(x) = a∖{a> O且a≠l),当xVo时,f(x) > 1,方程y = ax +丄表aV点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确龙直线的斜率和截距的范用,再确泄直线的位置，由已知可得a∈ (0,1),从而斜率k∈ (0,1),截距b>∖,故选C(3)选择恰当的形式求直线方程问题4:过点P(-l,-2)的宜线分别交X轴、y轴的负半轴于A,B两点，当IP4I∙IPBI最小时，求直线/的方程。
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1 直线的倾斜角与斜率 一、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点： ⅰ.与x轴相交; ⅱ.x轴正向; ⅲ.直线向上方向. ②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 .③倾斜角的范围 .. （2）直线的斜率 ①直线的斜率k= .，而倾斜角为------度的直线斜率不存在。
②经过两点的直线的斜率公式是- . ③每条直线都有 ，但并不是每条直线都有 .。
例题分析： 例1、 （1）图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则： A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
（2）若是三角形的内角，则直线0cosmyx的倾斜角为的取值范围是：
A．)4,4( B．)43,4( C．)43,2()2,4( D．),43()4,0[ 例2.直线l方程为02)1(ayxa，直线l不过第二象限，求a的取值范围。 2
3、利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,),AxyBxyCxy .则有A、B、C三点共线。
注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 练习： 若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（0，ｍ）三点共线，则ｍ的值为 . 练习： 1．直线经过),1(),1,2(2mBA两点，那么直线的倾斜角的取值范围是 A．),2(]4,0[ B．),0[ C．]4,0[ D．),2()2,4[ 2．若6，则过两点)0,(sin),cos,0(BA的直线的倾斜角是 A．6 B．3 C．6 D．65 3．若0AC，且0BC，则直线0CByAx一定不经过 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 直线的平行与垂直
2、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,ll，其斜率分别为12,kk，则有 .。特别地，当直线12,ll的斜率都不存在时，12ll与的关系为平行。 例：已知点M（2，2），N（5，-2），点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标。 （1）∠MOP=∠OPN（O是坐标原点）； （2）∠MPN是直角。
练习：1．（2010安徽文数）（4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 3
（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0 2．已知过点(2,)Am和(,4)Bm的直线与直线012yx平行，则m的值为（ ） A. 0 B. 8 C. 2 D. 10 3．如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a =（ ） A． -3 B．-6 C．23 D．32
注：（1）充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线1l和2l，。若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,ll斜率存在，设为12,kk，则 . 例题：1l：0)1(mymx，2l：02mmyx，①若1l∥2l，求m的值；②若1l⊥2l，求m的值。
练习1．以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） A．3x-y-8=0 B．3x+y+4=0 C．3x-y+6=0 D．3x+y+2=0 2．直线0202nyxmyx和的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直D．不能确定 3.过点P（－2，1）且到原点距离最远的直线l 的方程是 ．
4.若直线1:10lmxy与2:250lxy垂直，则m的值是 ． 4
注：两条直线12,ll垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,ll中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12ll与互相垂直。 直线与方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k为斜率
斜截式 k为斜率，b是直线在y轴上的截距 两点式 是直线上两定
点 截距式 a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 一般式 A，B，C为系数 （一）直线方程的求法 用待定系数法求直线方程的步骤： （1）设所求直线方程的某种形式； （2）由条件建立所求参数的方程（组）； （3）解这个方程（组）求参数； （4）把所求的参数值代入所设直线方程。 2、求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程。要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论。在用截距式时，应先判断截距是否为0。若不确定，则需分类讨论。 例1.求过点P（2，-1），在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。 5
例2．已知ABC中，)1,2(A，AB边上的中线所在的直线方程为0135yx，AC边上的中线所在的直线方程为0632yx，求直线BC的方程。
例3．已知ABC三个顶点是)4,1(A，)1,2(B，)3,2(C． (1)求BC边中线AD所在直线方程； (2)求AC边上的垂直平分线的直线方程 （3）求点Ａ到ＢＣ边的距离．
例4.求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等； （2）经过点A（-1，-3），且倾斜角等于直线y= 3x的倾斜角的2倍. 6
练习： 1．倾斜角为45，在y轴上的截距为1的直线方程是（ ）
A．1yx B．1yx C．1yx D．1yx 2．过点2,1M的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于P、Q两点，且2MQMP，则直 线l的方程为（ ） A.x+2y-4=0 B.x-2y=0 C.x-y-1=0 D.x+y-3=0
3.求经过A（2，1），B（0，2）的直线方程 4. 直线方程为02)1(ayxa，直线l在两轴上的截距相等，求a的方程； 5、过P（1，2）的直线l在两轴上的截距的绝对值相等，求直线l的方程
6．已知点)2,4(P和直线l:073yx 求：（1）过点P与直线l平行的直线方程一般式； （2）过点P与直线l垂直的直线方程一般式； 7
7．已知直线l经过点(5,4)P，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程． 直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 2.几种距离 （1）两点间的距离
平面上的两点间的距离公式 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离 （2）点到直线的距离
点到直线的距离 ； 例题1：点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） A．2 B．21 C．1 D．27
练习：圆22:2440Cxyxy的圆心到直线3440xy的距离d 。
例2：已知点P（2，-1）。 （1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程； （2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ （3）是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。 8
练习： 1．过点P（－2，3）且与原点的距离为2的直线共有 （ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．若直线3x－2y=5,6x＋y=5与直线3x＋my=1不能围成三角形，则m的值是（ ）
A．12 B．－2 C．12 或－2 D．12 或±2 3．如果点（5，b）在两条平行直线6x－8y＋1=0及3x－4y＋5=0之间，则b应取的整数值是 （ ） A．－4 B．4 C．－5 D．5 4．与直线2x－y＋3=0垂直，且在x 轴上的截距比在y轴上的截距大2的直线方程是 ．
（3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。 例：已知直线1:260laxy和直线22:(1)10lxaya，（1）试判断1l与2l是否平行，如果平行就求出它们间的距离； （2）1l⊥2l时，求a的值。
练习：求两直线:3x-4y+1=0与6x-8y-5=0间的距离 。 （４）直线方程的应用 例：如图，过点P（2，1）作直线l，分别为交x、y轴正半轴于A、B两点。 （1）当⊿AOB的面积最小时，求直线l的方程； 9
（2）当｜PA｜·｜PB｜取最小值时，求直线l的方程。 练习：直线ax+y+1=0与连结A（2，3）、B（-3，2）的线段相交，则a的取值范围是 （ ） A.［-1，2］ B.（-∞，-1）∪［2，+∞） C.［-2，1］ D.（-∞，-2］∪［1，+∞） （５）、线段的中点坐标公式
若点的坐标分别为，且线段的中点M的坐标为（ ， ），则此公式为线段的中点坐标公式。 练习：一直线被两直线1l：460xy，2l：3560xy截得的线段的中点恰好是坐标原点，求此直线的方程。
点、直线----对称关系
（二）有关对称问题 常见的对称问题： （1）中心对称
①若点及关于对称，则由中点坐标公式得 ②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已
知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得到所求直线方程。 （2）轴对称