第三章数学物理定解问题1-25页PPT资料

为杆的密度，S为杆的横截面。
上式两边同除Sdx，得到杆的纵振动方程
utt a2uxx 0,
(5)
其中a2=Y/，形式上与Eq. (3)完全相同，a为纵振动在杆中
传播的速度。
2020/4/27
第三章 数学物理定解问题1
9
3、扩散方程
扩散现象：是输运过程之一。由于浓度(单位体积中的分子数 或质量)的不均匀，物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移 的现象。
第三章 数学物理定解问题1
11
即假定x流入、x+dx流出物质，流量分别为 q1 x dydz
和 q1 xdx dydz，二者之差为单位时间内沿x方向净“增”的粒子 数目， 即
q1xq1xdxdydzq1xdqx1xdx dxdydz qx1dxdydzxDuxdxdydz.
同理，单位时间内y、z方向净“增”的粒子数目分别为
2020/4/27
第三章 数学物理定解问题1
2
常见的数理方程分为三类：
1.波动方程
1.双曲型：utt=a2du.
物理 2.输运方程
数学 2.抛物型：ut=a2du.
3.稳定场方程
3.椭圆型：du=0.
其中，a为参数，d=1, 2, 3为体系维数，一些符号为
ut
u, t
utt
2tu2 ,
1
2 x2
(q 1, q2, q3) D u x,
D u, y
D u z ,
(6)
其中，D是扩散系数，与物质类型和温度有关。
研究对象：小六面体 dxdydz
z
物理规律：扩散定理和粒子数 守恒定律(或质量守恒定律).
扩散方向：假定沿x，y，z正方 x 向，如图中箭头所示。
dz dy dx
y
2020/4/27
研究对象：选取x到x+dx的一小段 B，弧长为ds。
弦的每个小段没有纵向运动(即x 方向)，纵向合力为零。
u
T2
ds
B
2
C
1
T1 A
x x dx x
2020/4/27
第三章 数学物理定解问题1
4
由牛顿第二定律
T2cos2T1cos10,
T2sin2T1sin1dsutt.
(1)
仅考虑微小振动，即1和2为小量，则有
第三章 数学物理定解问题
物理量u(x,y,z,t) (各种场、声压、杂质浓度等) 随时间、空间 变化规律，称为物理规律；物理规律用偏微分方程表达出来， 叫做数学物理方程(数理方程)。
求解具体问题需要(空间上的)边界条件以及(时间上的)初始 条件，二者合称为定解条件。
数理方程本身(不带定解条件)给出同类物理现象的共性，称 为泛定方程。
2020/4/27
第三章 数学物理定解问题1
7
2、均匀杆的纵振动
物理量：纵向位移u(x,t).
研究对象：如图所示的B段. 两端的位移分别记为u(x,t)和 u(x+dx,t)，则B段的伸长为：
x
x dx
x
A
uB
u du C
A
B
C
d uuxd x,t ux,t.
相对伸长为
uxdx,d txux,td du xux.
2020/4/27
第三章 数学物理定解问题1
5
在微小振动的条件下，即(ux)2<<1，式(1)简化为
T2 T1 0,
T2ux xdx T1ux x uttdx.
(2)
式(2)说明张力不随x变化，记为T1= T2=T，因此
Tuxx d xuxx u tt d x.
又因为 u xx d x u xx u x x d x u x x d x ，所以
cos1; 1, cos2; 1,
sin1; 1; tan1, sin2; 2; tan2,
tan1ux
x,tan2
ux
.
xdx
因此弧长可近似为
d s d x 2 d u 2 1 d u /d x 2 d x 1 ( u x ) 2 d x d x .
可见微小振动也指(ux)2<<1.
不同点相对伸长不同，B两端的相对伸长分别为u x x 和 u x x d x ， 根据胡克定律，两端的应力(单位面积上的作用力)为
2020/4/27
第三章 数学物理定解问题1
8Βιβλιοθήκη Baidu
B
YS ux x
YS ux xdx
比例系数Y为杨氏模量。于是根据牛顿第二定律，B端的运动 方程为
S d x u t t Y S u x x d x u x x Y S u x x d x ,
,
2
2 x2
y22
,
3
2 x2
2 y2
2 z2
.
d称为d维Laplace算符。
2020/4/27
第三章 数学物理定解问题1
3
1、均匀弦的微小振动
设一根绷紧的均匀、柔软弹性弦，弦上相邻小段之间有沿切线
方向的张力。静止状态下将弦视为无重量的直线(线密度为)，
取为x轴。
物理量：弦上各点的垂直于x的横向位移，记为u=u(x,t)，utt为 横向加速度。
给定定解条件，求解数理方程，叫做数学物理的定解问题， 简称定解问题。
2020/4/27
第三章 数学物理定解问题1
1
§3.1 数学物理方程的导出
导出步骤：
(1) 确定研究的物理量u； (2) 从研究的系统中划出一小部分作为研究对象(隔离法)； (3) 根据物理规律分析这一小部分和邻近部分的相互作用； (4) 分析相互作用对物理量u的影响； (5) 将这种影响简化成数学表达式。
其中F(x,t)表示单位长度上弦所受到的横向力，量纲为 [F]=[N]/[L]。
同样考虑弦的微小振动，得到
utt a2uxxfx,t,
(4)
其中f(x,t)=F(x,t)/称为力密度，量纲为[f]=[N]/[M]，即单位质
量上的横向外力。
式(4)称为弦的受迫振动方程； 而式(3)称为弦的自由振动方程。
扩散问题研究的物理量是浓度u(x,y,z,t)，它的梯度u表示浓 度不均匀程度。
扩散流强度 qvu，描述扩散运动的强弱，即单位时间通
过单位面积的粒子数或质量。不同空间点扩散流强度不同。
扩散现象遵从扩散定律(斐克Fick定律)：
qvDu.
2020/4/27
第三章 数学物理定解问题1
10
写成分量形式为
utt a2uxx 0,
(3)
其中参数a2=T/，量纲为 [a2] [N] [ML/S2][L2/S2]，
[M/L] [M/L]
因此a就是振动在弦上传播速度.
2020/4/27
第三章 数学物理定解问题1
6
如果弦在振动过程中还受到外加横向力的作用，则式(1)修改 为
T 2 s i n 2 T 1 s i n 1 F x ,t d s d s u t t,