一元二次函数与x.轴两交点间距离公式
一元二次函数归纳
一元二次函数的图象一、 定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 其中，x 是自变量，a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次函数y ＝ax ²＋bx ＋c ﹙a ≠0﹚的图象(其中a,b,c 均为常数)1.当a ＞0时 函数图象开口向上；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最小值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递减；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递增；2.当a ＜0时函数图象开口向下；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最大值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递增；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递减；2.△＝b ²－4ac当△＞0时，函数图象与x 轴有两个交点； 当△＝0时，函数图象与x 轴只有一个交点； 当△＜0时，函数图象与x 轴没有交点。
(如下图所示)三、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1) a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.例1：画出212y x =- 2y x =- 22y x =-的图象212y x =- 22y x =- 2y x =-归纳：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当0a >时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。
(2)b 和a共同决定抛物线对称轴的位置例2：画出二次函数21(1)2y x =-+，211)2y x =--（的图象，考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。
21(1)2y x =-+ 211)2y x =--（可以看出，抛物线21(1)2y x =-+的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x 轴垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线211)2y x =--（的开口向下，对称轴是x=1，顶点是（1,0）。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数知识点总结一、函数定义与表达式1.一般式：y = ax^2 + bx + c（a、b、c为常数，a≠0）；2.顶点式：y = a(x - h)^2 + k（a、h、k为常数，a≠0）；3.交点式：y = a(x - x1)(x - x2)（a≠0，x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）。
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b^2 - 4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。
二次函数解析式的这三种形式可以互相转化。
二、函数图像的性质——抛物线1）开口方向——二次项系数a二次函数y = ax^2 + bx + c中，a作为二次项系数，显然a≠0.当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大。
顶点坐标：（h，k）一般式：（-b/2a，-Δ/4a）总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小。
|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大。
y = 2x^2y = x^2y = (1/2)x^2y = -(1/2)x^2y = -x^2y = -2x^22）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴顶点式：x = h两根式：x = x1、x = x23）对称轴位置一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
（“左同右异”）a与b同号（即ab>0）对称轴在y轴左侧a与b异号（即ab<0）对称轴在y轴右侧4）增减性，最大或最小值当a>0时，在对称轴左侧（当x。
-b/2a时），y随着x的增大而增大；当a -b/2a时），y随着x的增大而增大；当a>0时，函数有最小值，并且当x = -b/2a时，ymin = -Δ/4a；当a<0时，函数有最大值，并且当x = -b/2a时，ymax = -Δ/4a；5）常数项c常数项c决定抛物线与y轴交点。
2018年度二次函数压轴题题型归纳
2018二次函数压轴题题型归纳一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：⎪⎭⎫ ⎝⎛++22BA B A y y x x ，直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。
例：关于x 的一元二次方程()01222＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。
4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。
（方法同上）例：若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下：已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。
解：当0=m 时，1=x ；当0≠m 时，()032≥-=∆m ，()m m x 213∆±-=，mx 321-=、12=x ；综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。
6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。
解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122；∴ ⎩⎨⎧=-=+-01 02 2x x y ，解得：⎩⎨⎧=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。
《二次函数》知识点总结(修改版)
《二次函数》主要知识点归纳（修改版）(何老师归纳)一、概念：形如2y ax bx c=++（a b c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
1：条件：① a不为零②最高项次数为2（整理后）③整式2：特殊：若a＝0 则y＝bx＋c 是一次函数3：若y＝0，则函数图象交于x轴，化为一元二次方程a x2＋bx + c =04：特殊解析式：形如y=kx²-2kx-3k这样各项都含参数k的二次函数，图像必过定点.（令y=0, 则kx²-2kx-3k=0，化掉参数k得：x²-2x-3=0）二、二次函数的几种基本形式1：2y ax=的性质:a越大，抛物线的开口越小，越靠近y轴2. 2y ax c=+的性质：平移规律：上加下减y。
3.()2y a x h=-的性质：平移规律：左加右减x。
y=3(x+4)2(x-2)2y=3x24.()2y a x h k=-+（顶点式）的性质：平移规律：左加右减x 。
上加下减y,5．2y ax bx c =++（一般式）的性质： 先将一般式2y ax bx c =++通过配方法化成22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再对比顶点式，()2y a x h k =-+可得2424b ac b h k a a -=-=，．故两者性质相同。
三、二次函数2y ax bx c =++（或()2y a x h k =-+）图象及性质再归纳： 1：开口方向.①：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下； ②：a 相等，几条抛物线的开口大小、形状相同. ③：a 越大，抛物线的开口越小，越靠近y 轴 2：对称轴，直线abx 2-=（或直线x ＝h ） 3：顶点坐标：），（ab ac a b 4422-- 或（h,k ）4：增减性 ①：若0>a ，当x<a b 2-时，y 减；当x>a b2-时，y 增，简记：左减右增； ②：若0<a ，当x<a b 2-时，y 增；当x>ab2-时，y 减，简记：左增右减；5:最值 ⑴：若定义域是全体实数，则在顶点处取得最大值（或最小值），即:当a b x 2-=时，ab ac y 442-=最值，（或当x ＝h 时，最值是y ＝k ）2-32⑵: 若定义域是21x x x ≤≤， 则：①：若a b 2-在21x x x ≤≤内，则当x=a b 2-时，ab ac y 442-=最值；②：若ab2-不在21x x x ≤≤内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性， A: 若y 为增，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小； B: 若y 为减，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
二次函数交点式公式
y=a(x-x1)(x-x2) 的函数图象
我 们 来 画 二 次 函 数 y=2(x-1)(x-3) 、 y=3(x-2)(x+1) 、 y=-(x+4)(x+3)的图象，并研
究函数与x轴的交点坐标。y=Leabharlann (x-x1)(x-x2) 的函数图象
y
4
3
2 1
c
与X轴的交点坐标
x1
O x2
x (x1,0) (x2,0)
与Y轴的交点坐标及它关
（
b 2a
，4ac 4a
） b2
于对称轴的对称点
(0, c)
(
b a
,
c)
y=-2(x+1)2-8 y=3(x+1)(x-3)
y=x2-4x-5 y=-x2+5
y a x
b
2
4ac
b2
2a
4a
直线x b 2a
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
a 0,当x b , 2a
y最小 4ac b2 ) 4a
a>0，x≤-b/2a,y随x增大而减小 x≥b/2a,y随x增大而增大
y
对称轴直线x=
b 2a
(
b
a,
c)
顶点坐标（
b 2a
， ） 4ac b2 4a
（2，0）（-1，0） （-4，0）（-2，0）
y=a(x_-_x_1 )(x_-_x_2) （a交≠0点）式 (x1,0),( x2,0)
二次函数的交点式（两根式）：y＝a(x－x1)(x－x2)， 其中x1 ，x2 为两交点的横坐标.
二次函数中间轴公式
二次函数中间轴公式二次函数的对称轴公式是x=-b∕2a0其中，a表示的是二次函数y=ax~2+bx+c的二次项系数，b是一次项系数，但当二次函数是顶点式y=a(xf)-2+k时，其对称轴公式是x=ho一、二次函数的相关性质对于二次函数y=ax^2+bx+c其顶点坐标为(-b∕2a, (4ac-t√2)∕4a)交点式：y=a(χ-χ1) (χ-χ2)［仅限于与X轴有交点A(X［，0)和B (x2, 0)的抛物线］其中 xl, 2=-b÷ √b^2-4ac顶点式：y=a(χ-h) ^2+k［抛物线的顶点P (h, k)］一般式：y=ax^2+bx+c (a, b, C 为常数，a≠0)二、扩展资料：抛物线的性质1、抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b∕2a.对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2、抛物线有一个顶点P,坐标为：P(-b∕2a, (4ac-K2)∕4a)当-b∕2a=0时,P在y轴上；当△二丁2-4川二0时，P在X轴上。
3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口；当aV0时，抛物线向下开口。
Ia越大，则抛物线的开口越小。
4、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>O）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即abV0）,对称轴在y轴右。
5、常数项C决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（O, c）6、抛物线与X轴交点个数AM√2-4ac>0时，抛物线与X轴有2个交点。
A=l√2-4ac=0时，抛物线与X轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac<0时，抛物线与X轴没有交点。
X的取值是虚数（x=-b± √b^2- 4ac的值的相反数，乘上虚数i,整个式子除以2a）。
二次函数与x轴交点坐标
二次函数与x轴交点坐标一、二次函数基本知识二次函数是指具有如下形式的函数：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于a的正负。
若a>0，则图像开口向上；若a<0，则图像开口向下。
我们可以通过求解二次函数的零点来求得二次函数与x轴的交点坐标。
二、二次函数与x轴交点坐标的性质1.若二次函数与x轴有且仅有一个交点，则该交点为二次函数的顶点，并且对称轴为x=-b/2a。
2.若二次函数与x轴有两个交点，则其x轴交点的x坐标分别为两个根的解。
三、求解二次函数与x轴交点坐标的方法1.因式分解法：对于易于因式分解的二次函数，我们可以通过因式分解得到x轴交点的x坐标，进而求得交点的具体坐标。
例如：已知二次函数y=x²-3x+2，我们可以将其进行因式分解，得到y=(x-1)(x-2)。
因此，x=1和x=2分别为该二次函数与x轴交点的x坐标，进而得到交点的具体坐标为(1,0)和(2,0)。
2. 公式法：对于一般的二次函数，我们可以通过求解二次方程的根来求得交点的具体坐标。
二次方程的一般解为x = (-b±√(b² -4ac))/2a。
其中，b² - 4ac称为判别式。
若判别式大于0，则二次方程有两个不相等的实根，即二次函数与x轴有两个交点；若判别式等于0，则二次方程有两个相等的实根，即二次函数与x轴有且仅有一个交点；若判别式小于0，则二次方程无实根，即二次函数与x轴没有交点。
例如：已知二次函数y = x² - 3x + 2，我们可以通过求解二次方程x² - 3x + 2= 0的根来求得交点的具体坐标。
根据公式，判别式为∆ = (-3)² -4(1)(2) = 1、因为判别式为正，所以该二次方程有两个不相等的实根，分别求得x = 1和x = 2，进而得到交点的具体坐标为(1, 0)和(2, 0)。
二次函数求x轴之间距离及与顶点组成的三角形面积
知识点
已知二次函数 y ax2 bx c 与 x 轴交A.B两点,c点为图像 顶点，则 AB △
a
S△ABC
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对应练习
已知二次函数 y x2 3x 4 与 x 轴交A.B两点,C点为
图像顶点，则 S△ABCx 3 与 x 轴交A.B两点,C点为图
微师数学
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第一讲
二次函数中 三角形面积最值求法
主讲人：吴 笛
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CONTENTS
1 技巧讲解 2 例题讲解 3 对应习题 4 课程总结
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动点问题： 动点，运动，同时出发，最小值....
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Part 1
二次函数中三角形面积最值
秒杀技巧
AB的则为 AB ：
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知识点
已知二次函数 y ax2 bx c 与 x 轴交A.B两点,c点为图
像顶点，则
△ AB
a
S△ABC
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下次课见
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试一试
抛物线 y x2 4x 3 与 x 轴两个交点之间的距离为：
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试一试
抛物线 y x2 x 1 与 x 轴交A.B两点,则线段AB的距离为：
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知识点
已知二次函数 y ax2 bx c 与 x 轴交A.B两点,则线段
AB的则为 AB ：
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对应练习
抛物线 y -2x2 4x 1 在x轴上截得线段长度是：
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对应练习
抛物线 y -2x2 - mx 6 与 x 轴上交的线段AB的距离为4，
求二次函数解析式的常用方法
求二次函数解析式的常用方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
一、二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
二、求二次函数解析式的方法.求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
三、探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。
二次函数与x轴的关系
二次函数与x轴的关系
二次函数与x轴的关系涉及函数的定义、顶点、对称轴、交点、开口方向、奇 偶性、单调性，以及平移变换、拉伸变换和周期性等概念。
二次函数定义
二次函数是指形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 为常数，且 a ≠ 0。
二次函数的标准式
二次函数的标准式是 y = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 表示顶点坐标。
二次函数的一般式
二次函数的一般式是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 分别表示二次项、一次项和常数项的系数。
顶点的概念
顶点是二次函数图像的最高点或最低点，表示函数的极值。
顶点的求法
二次函数的顶点坐标可以通过公式 h = -b/(2a) 和 k = f(h) 求得。
对称轴的概念
二次函数图像的开口方向
根据二次项 a 的正负性可以确定二次函数图像的开口方向，向上开口表示 a > 0，向下开口表示 a < 0。
正比例系数和负比例系数的概念
正比例系数表示二次项 a 的绝对值较大，负比例系数表示二次项 a 的绝对值较小。
正比例系数和负比例系数的影响
正比例系数使得二次函数图像扁平，而负比例系数使得二次函数图像纵向拉长。
平移变换后的二次函数与x轴的关系取决于平移的方向和距离。
变换后的顶点、对称轴和交点
平移变换后，顶点和对称轴的位置会改变，交点的个数和位置也会改变。
拉伸变换的概念
拉伸变换是指通过改变二次函数图像的开口程度来改变函数的形状。
拉伸变换后的二次函数
拉伸变换后的二次函数可以表示为 y = a(x - h)^2 + k * m，其中 m 表示拉伸的程度。
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一元二次函数与x轴两交点间距离公式
1.引言
一元二次函数是高中数学学习中的重点内容之一，在解决实际问题中经常要用到与x轴的交点和交点间距离等概念。
本文将重点介绍一元二次函数与x轴两交点间距离的计算公式，并通过实例演示其应用。
2.一元二次函数的定义
一元二次函数是形如$f(x)=ax^2+b x+c$的函数，其中$a$、$b$、$c$为常数，$a\ne q0$。
它的图像一般呈抛物线状，开口方向由$a$的正负决定。
3.计算交点的横坐标
为了计算一元二次函数与x轴的交点，我们先需要求解方程
$f(x)=0$的解。
以求解$x^2-4x+3=0$为例，我们可以使用求根公式或配方法来求解。
假设方程的两个解为$x_1$和$x_2$，则$x_1$和
$x_2$就是一元二次函数与x轴的交点的横坐标。
4.计算交点间的距离
一元二次函数与x轴的交点间的距离可以通过下面的公式来计算：
$$d=|x_1-x_2|$$
其中，$d$表示交点间的距离，$x_1$和$x_2$表示一元二次函数与x 轴的交点的横坐标。
5.实例演示
现在我们通过一个实例来进一步理解一元二次函数与x轴交点间距离的计算。
实例描述
已知一元二次函数$f(x)=x^2-4x+3$，求函数与x轴交点间的距离。
解决步骤
1.首先，将方程$f(x)=x^2-4x+3=0$进行因式分解或使用求根公式求解。
我们可以得到$x_1=1$和$x_2=3$，即方程的两个解。
2.使用公式$d=|x_1-x_2|$计算交点间的距离。
代入$x_1=1$和
$x_2=3$，可得$d=|1-3|=2$。
结果分析
根据计算结果，一元二次函数与x轴交点间的距离为2。
这意味着函
数的图像在$x=1$和$x=3$两点处与x轴相交，并且两个交点间的距离为
2个单位。
6.总结
本文介绍了一元二次函数与x轴两交点间距离的计算公式和应用方法。
通过求解方程和计算交点间的距离，我们可以确定一元二次函数与x轴
的关系，并得出交点间的距离。
这对于解决实际问题中涉及一元二次函数
的情况非常有帮助。
希望本文的介绍和实例演示能够帮助读者更好地理解一元二次函数与
x轴交点间距离的计算方法，并能够灵活运用于实际问题的解决中。
>注意：本文仅涉及一元二次函数与x轴两交点间距离的计算公式，其
他相关概念和性质在本文中未做详细介绍。
如需了解更多相关知识，请参
考相关教材或课程。