2020年高考数学分类汇编：直线与圆

2020年高考数学分类汇编：直线与圆
一、单选题
1．【2020年新课标Ⅲ卷文科】点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
1．B 【解析】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)
y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||2AP =.故选B ．
2．【2020年) 新课标皿卷理科)】若直线l 与曲线y =x 和x 2+y 2=
1
5
都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1
B ．y =2x +
1
2
C ．y =
1
2
x +1 D ．y =
12x +12
2．D 【解析】设直线l 在曲线y x =
上的切点为()
00,x x ，则00x >，函数y x =
的
导数为2y x
'=
，则直线l 的斜率0
2k x =
，设直线l 的方程为()0002y x x x x -=
-，即0020x x y x -+=，由于直线l 与圆2215
x y +=相切，则
00
145x =
+，两边平方并整理得2
005410x x --=，解得01x =，015
x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即11
22
y x =
+.故选D. 3．【2020年新课标I 卷文理科)】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直
线230x y --=的距离为（ ）
A ．5
B ．25
C ．
35
D ．
45
3．B 【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一
条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(),a a ，则
圆的半径为a ，圆的标准方程为()()2
2
2x a y a a -+-=．由题意可得
()()
22
221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐
标为()1,1或()5,5，圆心
到直线
的距离均为
12113
25
5
5d ⨯--=
=
；圆心到直线的距离均为
22553
25
5
d ⨯--=
=
圆心到直线230x y --=的距离均为2255
d -==所以，圆心到直线230x y --=25
.故选B. 4．【2020年新课标I 卷理科】已知⊙M ：22
2220x y x y +---=，直线l ：
220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，
当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ）
A ．210x y --=
B ．210x y +-=
C ．210x y -+=
D ．210x y ++= 4．D 【解析】圆的方程可化为()()2
2
114x y -+-=，点 M 到直线l 的距离为
2
2
21125221
d ⨯++=
=>+，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点
,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以
1
4442
PAM
PM AB S
PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而 2
4PA MP =
-，当直
线MP l ⊥时，min 5MP ， min 1PA =，此时PM AB ⋅最
小．∴()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220
y x x y ⎧=+⎪
⎨⎪++=⎩解得，
1
0x y =-⎧⎨=⎩
．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故
选D.
5．【2020年新课标I 卷文科】已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截
得的弦的长度的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．B 【解析】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径
大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)22CP =-+-=．根据弦长公式得最
小值为229||2982CP -=-=.故选：B.
6．【2020年北京卷】已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值
为（ ）． A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
6．A 【解析】设圆心(),C x y ，则
()()
2
2
341x y -+-=，化简得
()()
22
341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，
所以||1||OC OM +≥22345=+=，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段
OM 上时取得等号，故选：A.
二、填空题
7．【2020年江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，已知3
(
0)P ，A ，B 是圆C ：221
()362
x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△P AB 面积的最大值是
__________． 7．105PA PB PC AB =∴⊥，设圆心C 到直线AB 距离为d ，则
231
||=236,||144
AB d PC -=
+=，所以2221
236(1)(36)(1)2
PAB
S
d d d d ≤⋅-+=-+222(36)(1)(06)2(1)(236)04y d d d y d d d d '=-+≤<∴=+--+=∴=（负
值舍去）．当04d ≤<时，0y '>；当46d ≤<时，0y '
≤，因此当4d =时，y 取
最大值，即PAB
S
取最大值为105
8．【2020年天津卷】已知直线380x +=和圆222
(0)x y r r +=>相交于,A B 两
点．若||6AB =，则r 的值为_________．
8．5【解析】因为圆心()0,0到直线80x +=的距离4
d =
=，由
||AB =6==5r ．
三、双空题
9．【2020年浙江卷】设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22
(4)1x y -+=均
相切，则k =_______；b =______．
93
-【解析】设221:1C x y +=，22
2:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C
1=1=，所以||4b k b =+，所
以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b =
=.。