人教A版高中数学必修三概率的基本性质教案

高一新课标必修三3.1.3概率的基本性质教案

一、教学目标：

1、知识与技能：(1)正确理解事件的包含、并事件、交事件，以及互斥事件、对立事件的概念；（2）掌握概率的几个基本性质，并能灵活运用解决实际问题；（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系。

2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类比与归纳的数学思想。

3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习数学的情趣。

二、重点与难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算。

三、教学方法：讨论法，通过师生共同讨论，从而使学生加深对概率基本性质的理解和认识；

四、教学过程：

㈠、创设问题情境

问题：在掷骰子的试验中，我们可以定义许多事件，如：

C 1={ 出现 1 点 }； C

2

={出现 2 点}； C

3

={ 出现 3 点 }；

C 4 ={ 出现 4 点 }； C

5

={出现 5 点}； C

6

={ 出现 6 点 }；

D 1 ={ 出现的点数不大于 1 }； D

2

={ 出现的点数大于 3 }；

D

3

={ 出现的点数小于 5 }；

E ={ 出现的点数小于 7 };

F ={ 出现的点数大于 6 };

G ={ 出现的点数为偶数 }; H ={ 出现的点数为奇数 };……

⑴.你能说出E、F、G、H所包含的试验结果吗？

⑵.你能写出这个试验中出现的其他一些事件吗？

⑶. 上述事件中有必然事件或不可能事件吗？有的话，哪些是？

我们知道，一个事件可以包含试验的多个结果，这样，我们可以把每一个结果看做一个元素，把每一个事件看做一个集合，因此事件之间的关系及运算几乎等价于集合之间的关系和运算，

回顾：集合之间的关系与运算

我们可以类比集合之间的关系和运算，发现事件之间关系以及运算，加深对概率基本性质的理解和认识，这就是我们这一节课所要学习的内容——概率的基本性质

㈡、新知探究与应用

思考：在掷骰子的试验中，回答下列问题，类比集合之间的关系和运算，找出事件的关系和运算。

⑴.若事件C

1

发生，则还有哪些事件也一定会发生？反过来可以么？

⑵.上述事件中，哪些事件发生会使得 K={出现1点或5点}也发生？

⑶.上述事件中，哪些事件发生当且仅当事件D

2且事件D

3

同时发生?

⑷.若只掷一次骰子，则事件C

1和事件C

2

有可能同时发生么？

⑸.在掷骰子实验中事件G和事件H是否一定有一个会发生？

师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？

1、事件的关系和运算

例.如果事件C

1发生，则事件H一定发生，这时我们说事件H包含事件C

1

. 反

过来不可以

（1）包含关系 一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A （或称事件A 包含于事件B ）,记作B ?A(或A ?B).

知识拓展：

⑴与集合类比，事件的包含关系也可以用图来表示

⑵不可能事件与其他事件的关系 ？任何事件都包含不可能事件。 ⑶事件的包含关系与集合的包含关系相似，不可能事件与空集相似。 例.事件C 1={出现1点}发生，则事件D 1={出现的点数不大于1}就一定会发生，反过来也一样，所以C 1=D 1.

（2）相等关系 一般地，对事件A 与事件B ，若 B ?A,且A ?B ，那么称事件A 与事件B 相等，记作A=B 。

知识拓展：两个事件相等的实质是什么？

两个事件相等的实质就是两个事件为相同事件。

例.若事件K={出现1点或5点}发生，则事件C 1 ={出现1点}与事件C 5 ={出现 5 点}中至少有一个会发生，则 C 1∪C 5=K

（3）事件的并（或称事件的和）若事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生（即事件A ，B 中至少有一个发生），则称此事件为A 与 B 的并事件（或和事件），记为 A ∪B （或A+B ）。

A

B

B A

思考：谈谈你对并事件的理解

并事件具有三层意思：事件A 发生，事件B 不发生；事件A 不发生，事件B 发生；事件A 、B 同时发生；即事件A 、B 中至少有一个发生。

例.在掷骰子的试验中，D 2 ={出现的点数大于3 }；D 3 ={出现的点数小于5}；D 2∩D 3= C 4

（4）交事件（积事件）

若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 和事件B 的交事件（或积事件），记作A ∩B(或AB)。

例.因为事件C 1={出现1点}与事件C 2={出现2点}不可能同时发生，故这两个事件互斥。

（5）互斥事件

若A ∩B 为不可能事件（A ∩B= ），那么称事件A 与事件B 互斥， 其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中都不会同时发生。

例.事件G ={出现的点数为偶数}与事件H ={出现的点数为奇数} 即为互为对立事件。

（6）互为对立事件

若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件，

⑴其含义是：事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。

A B

A B

B

B A A

⑵事件A与事件B互为对立事件和集合A与集合B互补类似。

思考：你能说说互斥事件和对立事件的区别吗？

互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

探究交流：分别指出日常生活中有关互斥事件和对立事件的一个或几个例子例如，某人在象棋比赛中的输或赢就是两个互斥事件；

掷一枚质地均匀的硬币出现正面的事件与出现反面的事件就是对立事件。

联想拓展：通过对事件的关系与运算的学习，我们发现事件的关系、运算与集合的关系、运算十分类似，它们之间可以建立一个对应关系，请列出事件与集

⑴范围

由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即对于任何事件的概率的范围是：0≤P（A）≤1。

在每次实验中，必然事件一定发生，因此它的频率是1，从而必然事件的概率为1，例如在掷骰子的试验中，由于出现的点数最大是6，因此P(E)=1。

在每次实验中，不可能事件一定不发生，因此它的频率是0，从而不可能事件的概率为0，例如在掷骰子的试验中，P(F)=0。

⑵概率的加法公式

当事件A与事件B互斥时，A∪B的频率 f

n (A∪B)= f

n

(A)+ f

n

(B),由此得到概

率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B）。

在掷骰子的试验中，由于在一次试验中，事件C

1与事件C

2

不会同时发生，因

此C

1∪C

2

发生的频数等于C

1

发生的频数与C

2

发生的频数之和，P(C

1

∪

C 2)=P(C

1

)+P(C

2

)。

推广：一般地，如果事件A

1

，A

2

，…，A

n

两两互斥，那么事件“A

1

+A

2

+…+A

n

”

发生的概率，有什么结论？

如果事件A

1，A

2

，…，A

n

两两互斥，事件“A

1

+A

2

+…+A

n

”发生的概率，等于这

n个事件分别发生的概率和，即P（A

1∪A

2

∪…∪A

n

）=P(A

1

)+P(A

2

)+…+P(A

n

)。

在掷骰子的试验中，由于在一次试验中，事件C 1、C 2、C 3、C 4不会同时发生，因此C 1∪C 2∪C 3∪C 4发生的频数等于事件C 1、C 2、C 3、C 4发生的频数之和，P(C 1∪C 2∪C 3∪C 4)=P(C 1)+P(C 2)+P(C 3)+P(C 4)。

特别地，当事件A 与事件B 是对立事件时，则A ∪B 为必然事件，P(A ∪B)=1再有加法公式有P （A ）=1- P （B ）。

例如在掷骰子的试验中，G 与H 互为对立事件，因此P （G ）=1- P （H ）。 利用上述概率的性质，可以简化概率的计算。 ㈢、例题分析：

如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A ）的概率是1/4，取到方片（事件B ）的概率是1/4。 问：（1）取到红色牌（事件C ）的概率是多少？ （2）取到黑色牌（事件D ）的概率是多少？

（讨论：事件C 是事件A 与事件B 的并，且A 与B 互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C 与事件D 是对立事件，因此P(D)=1—P(C)．） 解：（1）因为C=A ∪B,且A 与B 不会同时发生，所以A 与B 是互斥事件。根

据概率的加法公式，得P(C)=P(A)+P(B)=2

1

.

（2）C 与D 是互斥事件，又由于C ∪D 为必然事件，所以C 与D 互为对立事

件。所以P(D)=1-P(C)= 2

1

。

五、课堂小结： 1.事件的关系与运算

包含关系、相等关系、并事件、交事件、互斥事件、对立事件、互斥事件与对立事件的区别与联系 2.概率的性质

⑴范围 对于任何事件的概率的范围是：0≤P （A ）≤1。 其中必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。

⑵概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）。 推广：如果事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥，事件“A 1+A 2+…+A n ”发生的概率，等于这n 个事件分别发生的概率和，即P （A 1∪A 2∪…∪A n ）=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n )。 特别地，当事件A 与事件B 是对立事件时，则A ∪B 为必然事件，P(A ∪B)=1再有加法公式有P （A ）=1- P （B ）。 六、自我评价与课堂练习：

1.判断下面给出的每对事件是否是互斥事件或互为对立事件。 从40张扑克牌（四种花色从1~10 各10 张）中任取一张 ①“抽出红桃”和“抽出黑桃” ②“抽出红色牌”和“抽出黑色牌”

③“抽出的牌点数为 5 的倍数”和“抽出的牌点数大于 9”

答案：①是互斥事件、②是互为对立事件、③不是互斥事件或互为对立事件 2、某检查员从一批产品中抽取8件进行检查，观察其中的次品数,记： A ={次品数少于5件} ; B ={次品数恰有2件} C ={次品数多于3件} ;

试写出下列事件的基本事件组成： A ∪ B ， A ∩C, B ∩ C

答案：A∪B = A、A∩C= {有4件次品}、B∩C =

3、一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?

事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；

事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.

分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。

解：A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件（至少一个发生）.

4、某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：

（1）射中10环或9环的概率；

（2）少于7环的概率。

解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为0.21+0.23=0.44。（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为1－

0.97=0.03。

七、作业 P121 第3题 P124 第6题.

课后反思：新的教学理念告诉我们：教材是学生从事数学学习的基本素材，但它不是唯一的课程资源。教材内容不等于教学内容，教师要对教学内容进行重组，做课程的开发者、教学的研究者，加强课后反思，创造性地使用教材，才能把教学过程变为课程内容持续生成与转化的过程，进行有效的教学。