四川省德阳市学年高二上学期期末考试数学文试题解析版
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3 = 31 +
3×2
× (−18) = 180，
2
解得1 = 78(石)．
∴ 甲应该分得 78 石．
故选：A．
由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差 =
3−1
3−1
=
−36
3×2
= −18，再由3 = 31 + 2
2
× (−18) = 180，能求出甲应该分得 78 石．
当 = 1时，1 = 1符合，
故 = 1，
则数列{}为非零的常数列，既是等差数列，又是等比数列；
故选：B．
根据题意，分析可得
−1
= −1，又由 = (
−1
2
−2
1
) × …… × ( ) × 1，分析可得
) × (
−1
= ，进而分析可得数列{}的通项公式为 = 1，据此分析可得答案．
2
1
2 ，
，即1
{
− = 1
⃗ ⃗
又1,2为平面的一组基底向量，解得： − = 4，解得： = 4，得解．
本题考查了平面向量的基本定理及平面向量的线性运算，属简单题．
1
4
11. 若 ∈ (0,2)，则sin2 + cos2的最小值为( )
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
直接利用正弦型函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能
力，属于基础题型．
5.
下列不等式推理正确的是( )
1
1
A. 若 > > 则|| > ||
B. 若 < < 0，则 > 2
C. 若 > ， > ，则 >
A. = ln( + 1)
B. = − + 1
1
C. = (2)
1
D. = +
【答案】A
【解析】解：A 中，函数 = ln( + 1)在区间(0, + ∞)上为增函数，
B 中， = − + 1在区间(0, + ∞)上为减函数，
1
C 中， = (2)在区间(0, + ∞)上为减函数，
{ =5
由 −3 + 1 = 0，解得 = 2，即(5,2)
代入目标函数 = 2−，
得 = 2 × 5−2 = 8．
故选：B．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最
大值．
本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想
lg|的零点问题转化为图象的交点问题，结合图象，即可得到结论．
本题的考点是函数零点与方程根的关系，主要考查函数零点的定义，关键是正确作出
函数图象，
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 直线 = + 1的倾斜角是______．
【答案】4
【解析】解：设直线 = + 1的倾斜角为， ∈ [0,)．
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D. + 2−1 = 0
故选：A．
因为所求直线与直线−2−2 = 0平行，所以设平行直线系方程为−2 + = 0，代入
此直线所过的点的坐标，得参数值
本题属于求直线方程的问题，解法比较灵活．
1
函数 = sin(2 + 3)的图象的一条对称轴的方程可以是( )
1
D 中， = + 在区间(0,1)上为减函数，在(1, + ∞)为增函数，
故选：A．
根据指数函数，对数函数，幂函数，一次函数，对勾函数和复合函数单调性，逐一分
析四个答案中函数的单调性，可得答案．
本题考查的知识点是函数单调性的性质，熟练掌握指数函数，对数函数，幂函数，一
次函数，对勾函数和复合函数单调性，是解答的关键．
4.
A. = 0
B. = 2
C. = 3
D. = 2
【答案】C
1
【解析】解：函数 = sin(2 + 3)，
1
令2 + 3 = + 2( ∈ )，
解得： = 2 + 3( ∈ )，
当 = 0时，函数图象的一条对称轴的方程为 = 3．
故选：C．
本题考查数列的递推公式，涉及数列的前 n 项和与通项的关系，属于基础题．
10.
⃗ ⃗⃗⃗⃗ Nhomakorabea⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
1,2为平面的一组基底向量，已知向量 = 1−2， = 21 + 2， = 31−32，
若 A，B，D 三点共线，则实数 k 的值是( )
A. 2
B. −3
C. −2
() = ()−|lg|的零点共有( )
A. 7 个
B. 8 个
C. 9 个
【答案】D
【解析】解：根据题意，函数 = ()满足
() = ( + 2)，则函数 = ()是周期为
2 的周期函数，
设ℎ() = |lg|，则函数() = ()−|lg|的
零点个数即图象 = ()与 = ℎ()的交点
故答案为：[0,3)．
根据对数函数的定义与性质，利用判别式 △< 0求出 k 的取值范围．
本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
15. tan25 ∘ + tan35 ∘ + 3tan25 ∘ tan35 ∘ = ______．
是解决此类问题的基本方法．
中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于 60 岁时完成杰作《直指算法
8.
统宗》，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百
八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”
翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米
∴ tan = 1，解得 = 4．
故答案为：4．
设直线 = + 1的倾斜角为， ∈ [0,).可得tan = 1，解得即可得出．
本题考查了直线斜率与倾斜角之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．
3
14. 函数() = lg(22− + 8)的定义域为 R，则实数 k 的取值范围是______．
本题考查等差数列的首项的求法，考等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能
力，是基础题．
9.
+ 1
已知数列{}中，1 = 1，
=
+1
，则数列{}( )
A. 既非等差数列，又非等比数列
C. 仅为等差数列
B. 既是等差数列，又是等比数列
D. 仅为等比数列
【答案】B
+ 1
【解析】解；根据题意，数列{}中，
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D. 10 个
个数，
由于()的最大值为 1，所以 > 10时，图象没有交点，在(0,1)上有一个交点，(1,3)
，(3,5)，(5,7)，(7,9)上各有两个交点，
在(9,10)上有一个交点，故共有 10 个交点，即函数零点的个数为 10；
故选：D．
根据题意，由() = ( + 2)确定函数 = ()的周期，分析可以将函数() = ()−|
D. 若2 > 2则 >
【答案】D
1
1
【解析】解：若 < < 0，则 < < 0，则2 > ，排除 B；
若2 > 2，则2(−) > 0，则− > 0，则 > ，
故选：D．
2 > 2⇔2(−) > 0⇒− > 0⇒ >
本题考查了不等式的基本性质，属基础题．
【答案】[0,3)
3
【解析】解：函数() = lg(22− + 8)的定义域为 R，
3
∴ 关于 x 的不等式22− + 8 > 0恒成立，
3
= 0时，不等式为8 > 0恒成立；
3
≠ 0时，应满足 △= 2−4 × 2 × 8 < 0，
解得0 < < 3，
综上，实数 k 的取值范围是[0,3)．
D. 4
【答案】D
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗ = ⃗ − ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗ ⃗
【解析】解：由已知向量
1
2， = 21 + 2， = 31−32，则 = − = −
⃗
⃗
1 + 42，
又 A，B，D 三点共线，
⃗ = ⃗
所以
，
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⃗
⃗
⃗
⃗
即1−2 = (−1 + 42)，
3.
过点(1,0)且与直线−2−2 = 0平行的直线方程是( )
A. −2−1 = 0
B. −2 + 1 = 0
C. 2 + −2 = 0
【答案】A
【解析】解：设直线方程为−2 + = 0，又经过(1,0)，
∴ 1−0 + = 0
故 = −1，
∴ 所求方程为−2−1 = 0；
1
sin2
+
4
cos2
的最小值是 9．
故选：B．
1
4
2021年高二上学期期末考试数学(文)含答案
2021年高二上学期期末考试数学（文）含答案说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷（选择题，共120分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．一、本题共20小题，每小题6分，共120分，在每小题给出的四个选项中选出一个符合题目要求的选项．1、下列四个命题：①若，②若，③若a>b，c>d，则a c>bd ④若，其中正确命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、已知两直线：互相平行，则它们之间的距离为（）A．4 B．C．D．3、已知过两点P（－2，m），Q（m，4）的直线的倾斜角为，则实数m的值为（）A．2 B．10 C．－8 D．04、下列四个命题中的真命题是 ( )A.经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0＝k(x-x0)表示B.经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)＝(x-x1)(y2-y1)表示.C.不经过原点的直线都可以用方程+＝1表示D.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx+b表示5、双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是（）A．y = ±3x B．y = ±x C．y =±x D．y = ±x6、圆x2 + y2－2 x = 0和x2 + y2＋4y = 0的位置关系是（）A．相离B．外切C．内切D．相交7、长轴在x轴上，短半轴长为1，两准线之间的距离最近的椭圆的标准方程是( ) A．B．C．D．8、已知F1、F2是双曲线16x2－9y2＝144的焦点，P为双曲线上一点，若|PF1||PF2| =32，则∠F1PF2 = ( )A．B．C．D．9、设F1、F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则动点M的轨迹是（）A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段10、若点A的坐标是（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使得|PA|+|PF|取得最小值，则P点的坐标是（）A．（1，2）B．（2，1）C．（2，2）D．（0，1）11、圆M与圆内切，且经过点A（3，2），则圆心M在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物上D．一个圆上12 、设F1、F2是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，若点P到左焦点F1的距离等于9，则点P到右准线的距离（）A．B．C．D．13．观测两个相关变量，得到如下数据：则两变量之间的线性回归方程为A． B．C．D．14．若函数f（x）和g（x）的定义域、值域都是R，则不等式f（x）> g（x）有解的充要条件是A．x∈R，f（x）>g（x）B．有无穷多个x（x∈R ），使得f（x）>g（x）C．x∈R，f（x）>g（x）D．{ x∈R| f（x）≤g（x）}=15．设椭圆的左、右焦点分别为是上的点，，则椭圆的离心率为A．B．C．D．16．数列的通项公式，则数列的前10项和为A．B．C．D．17．已知且，则A．有最大值2 B．等于4 C．有最小值3 D．有最大值4 18．观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y）的个数为4，|x|+|y|=2的不同整数解（x,y）的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解（x,y）的个数为12，……，则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为A．76 B．80 C．86 D．9219．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若=，则=A．B．C．D．20．已知函数，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷(非选择题，共105分)二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分，把答案填在答案纸中横线上. 21．若抛物线的焦点坐标为（1,0）则准线方程为_____；22．若命题：，，则：__；23．观察按下列顺序排列的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，……，猜想第（）个等式应为；24．函数在点处的切线方程为；25．某厂家为调查一种新推出的产品的颜色接受程度是否与性别有关，数据如下表:根据表中的数据，得到，因为，所以产品的颜色接受程度与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为__ ______；26．若，则的解集为__ ___．三、解答题：本大题共5小题，共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 27．（本小题满分13分）数列的前项和为，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设求数列的前项和．28． (本小题满分13分)在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知，且最长边的边长为．求：(Ⅰ)角C的正切值及其大小；(Ⅱ)△ABC最短边的长．29．（本小题满分14分）给定两个命题, ：对任意实数都有恒成立；：．如果∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围．30．（本小题满分15分）已知函数,曲线在点处的切线方程为．（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）求在上的最大值．31．（本小题满分15分）已知椭圆的对称轴为坐标轴，焦点是（0，），（0，），又点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）已知直线的斜率为，若直线与椭圆交于、两点，求面积的最大值．xx－xx学年度第一学期模块学分认定考试高二数学1-20 BDABB DACDC ABBAC ADBBD21．22．23．24．25．26．27．解：（Ⅰ）当时，，∴------------------------2分当时，∴∴------------------------5分∴数列是首项为2，公比为2的等比数列∴------------------------7分（Ⅱ）--------9分-----------------------11分∴-------------------------13分28．解：(Ⅰ)tanC＝tan[π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）……………………4分∵，∴……………………6分(Ⅱ)∵0<tanB<tanA，∴A、B均为锐角, 则B<A，又C为钝角，∴最短边为b ，最长边长为c……………………8分由，解得……………………10分由，∴………………13分29．解：命题：恒成立当时，不等式恒成立，满足题意------------------------2分当时，，解得-------------------------4分∴-------------------------6分命题：解得-------------------------9分∵∨为真命题，∧为假命题∴，有且只有一个为真，-------------------------11分如图可得或-------------------------13分30．解: （Ⅰ）由,得．…………1分曲线在点处的切线方程为,………3分即整理得．………5分又曲线在点处的切线方程为,故, …………7分解得, ,．…………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知…………9分令,得或．……10分当变化时,的变化如下表:＋－＋增极大值减极小值增的极大值为极小值为…………13分又…………14分在[-3,1]上的最大值为…………15分31．解：（Ⅰ）由已知椭圆的焦点为，故设椭圆方程为……2分将点代入方程得，整理得，………4分解得或（舍）．故所求椭圆方程为． …………6分 （Ⅱ）设直线的方程为，设 …………7分 代入椭圆方程并化简得， …………9分 由，可得 ①． 由，…………11分故．又点到的距离为， ……………………13分故2212(162)22ABCm m S BC d ∆+-=⋅=≤=当且仅当，即时取等号（满足①式）所以面积的最大值为． ……………………………15分23995 5DBB 嶻 1 36497 8E91 躑23549 5BFD 寽;37475 9263 鉣28098 6DC2 淂;pX!。
四川省高二上期期末考试数学(理科)试题(解析版)
高二年级理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 过点且与已知直线垂直的直线方程为（）()0,2-0x y +=A. B.C.D.20x y +-=20x y --=20x y ++=20x y -+=【答案】B 【解析】【分析】由垂直关系得到直线斜率，由点斜式写出方程即可. 【详解】∵直线的斜率，∴所求直线斜率， 0x y +=11k =-21k =故直线方程为，即. ()()220y k x --=-20x y --=故选：B ．2. 若一个圆的标准方程为，则此圆的圆心与半径分别是（ ）()2214x y +-=A. B. C. D. ()1,04-；()102,；()014-,；()0,12；【答案】D 【解析】【分析】根据圆的标准方程求得圆心和半径. 【详解】圆的标准方程为， ()2214x y +-=所以圆心为，半径为. ()0,12故选：D3. 将某选手的得分去掉个最高分，去掉个最低分，剩余分数的平均分为，现场作的分数的茎叶图后1191来有个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则（ ）1x x =A. B.C.D.2345【答案】B 【解析】【分析】根据去掉最高分和最低分后的平均分可直接构造方程求解. 【详解】由茎叶图可知：最高分为分，最低分为分，9987剩余分数的平均分为，解得：.∴8794909190915x+++++=3x =故选：B.4. 某校为了了解高二学生的身高情况，打算在高二年级12个班中抽取3个班，再按每个班男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是（ ） A. 简单随机抽样 B. 先用分层抽样，再用随机数表法 C. 分层抽样 D. 先用抽签法，再用分层抽样【答案】D 【解析】【分析】利用抽样方法求解．【详解】解：在高二年级12个班中抽取3个班，这属于简单随机抽样中的抽签法， 按男女生比例抽取样本属于分层抽样，所以是先用抽签法，再用分层抽样． 故选：D ．5. 若，则“”是“”的（ ） x ∈R 44x -<<22x x <A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】【分析】由解得，由集合的包含关系判断必要性、充分性即可 22x x <02x <<【详解】由解得，22x x <02x <<则由真包含于可得“”是“”的必要不充分条件. ()0,2()4,4-44x -<<22x x <故选：B ．6. 已知命题，，则为（ ） *:p x ∀∈R 12x x+≥p ⌝A. ， B. ， *0x ∃∈R 0012x x +≥*0x ∃∈R 0012x x +<C. ， D. ， *0x ∃∉R 0012x x +<x ∀∈R 12x x+<【答案】B 【解析】【分析】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”. 【详解】“任意一个都符合”的否定为“存在一个不符合”. 故选：B ．7. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则B. 若，则 0a b <<11a b<ac bc >a b >C. 若，，则 D. 若，则a b >c d >a c b d ->-22ac bc >a b >【答案】D 【解析】【分析】利用不等式的性质，赋值法进行判断解决即可. 【详解】对于A ，当时，，故A 错误； 2,1a b =-=-11a b>对于B ，当时，，故B 错误；0c <a b <对于C ，当时，，故C 错误； 2,1,5,1a b c d ====a c b d -<-对于D ，当时，必有，所以，故D 正确； 22ac bc >20c >a b >故选：D8. 已知双曲线的上、下焦点分别为，，P 是双曲线上一点且满足，()10,5F ()20,5F -126PF PF -=则双曲线的标准方程为（ ）A.B.C.D.221169x y -=221916x y -=221169y x -=221916y x -=【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的定义求得正确答案.【详解】依题意，， 5c =1226,3PF PF a a -===所以，4b ==由于双曲线的焦点在轴上，y 所以双曲线的标准方程是.221916y x -=故选：D9. 已知圆的圆心是坐标原点截得的弦长为6，则圆的方程为O O 0y --=O（ ） A. B. 224x y +=228x y +=C. D.2212x y +=22216x y +=【答案】C 【解析】【分析】由圆的弦长公式，计算可得.【详解】圆心到直线的距离，d 6=212r =故选：C ．10. 如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的分别为，则输出的（ ）,a b 39,27=aA. B. C.D.1357【答案】B 【解析】【分析】按照程序框图运行程序，直到不满足时输出结果即可. a b ¹【详解】按照程序框图运行程序，输入，， 39a =27b =满足，且，，继续运行； a b ¹a b >392712a ∴=-=满足，不满足，，继续运行； a b ¹a b >271215b ∴=-=满足，不满足，，继续运行； a b ¹a b >15123b ∴=-=满足，且，，继续运行； a b ¹a b >1239a ∴=-=满足，且，，继续运行； a b ¹a b >936a ∴=-=满足，且，，继续运行； a b ¹a b >633a ∴=-=不满足，输出. a b ¹3a =故选：B.11. 若两个正实数x ，y 满足，则x ＋3y 的最小值为（ ） 311x y+=A. 6 B. 9C. 12D. 15【答案】C 【解析】【分析】运用基本不等式求解.【详解】，()319336612y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭当且仅当，x ＝6，y ＝2时取等号； 9y xx y=故选：C ．12. 直线l 过抛物线（p >0）的焦点F ，且交抛物线于P ，Q 两点，由P ，Q 分别向准线引垂线22y px =PR ，QS ，垂足分别为R ，S ，如果，，M 为RS 的中点，则（ ） 2PF =4QF =MF =A. B.C. D. 2【答案】A 【解析】【分析】利用抛物线的定义得，，证明，则有，过点QF QS =PF PR =90SFR ∠= 12MF RS =P 作PN ⊥QS 交于点N ，利用矩形性质得，利用勾股定理求得，则得到. PN RS =PN =MF 【详解】如图所示，由抛物线的定义可得，，QF QS =PF PR =，，由题意可得，QFS QSF ∴∠=∠PFR PRF ∠=∠////QS FG PR，， SFG QSF ∴∠=∠RFG PRF ∠=∠，∴， 90SFG RFG ∴∠+∠= 12MF RS =过点P 作PN ⊥QS 交于点N ，则， PN RS =在中，，∴．Rt PQN A PN =MF =故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 以下两个变量成负相关的是_____． ①学生的学籍号与学生的数学成绩； ②坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数； ③气温与冷饮销售量；④电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量． 【答案】② 【解析】【分析】根据相关关系的知识确定正确答案. 【详解】①无相关关系；②负相关；③④正相关. 故答案为：②14. 若圆与圆外切，则实数m ＝_____． 224x y +=22()9(0)x m y m ++=>【答案】 5【解析】【分析】根据两圆外切列方程，从而求得的值. m 【详解】圆的圆心为，半径为. 224x y +=()0,02圆的圆心为，半径为. 22()9(0)x m y m ++=>(),0m -3， 235m ==+=由于，故解得. 0m >5m =故答案为：515. 若抛物线上的点M 到焦点的距离为8，则点M 到y 轴的距离为_____． 212y x =【答案】5 【解析】【分析】设，根据已知求出抛物线的准线方程.根据抛物线的定义求出，即可得出结()00,M x y 05x =果.【详解】解：由已知可得，抛物线的焦点坐标为，准线方程为. ()3,0F :3l x =-由已知根据抛物线的定义可得，点到准线距离为8. M 设，，则，解得. ()00,M x y 00x ≥()038x --=05x =所以点到轴距离为5. M y 故答案为：5．16. ，是椭圆C 的两个焦点，点P 是椭圆C 上异于顶点的一点，点I 是 的内切圆圆心，1F 2F 12PF F △若 的面积是 的面积的4倍，则椭圆C 的离心率为______． 12PF F △12IF F △【答案】13【解析】【分析】作图，根据几何关系以及条件求出a 与c 的关系式，再求出e .【详解】设椭圆方程为：，如图，设P （m ，n ），，， 221x y a b+=()1,0F c -()2,0F c 的周长为l ，内切圆I 的半径为r ，12PF F △则由椭圆的定义可得l ＝2a ＋2c ，∴， ， 122222PF F S c n c nr la c a c===++△12124PF F IF F S S =△△∴，解得：，；1124222c nc n c a c⨯⨯=⨯⨯⨯+13c a =13e =故答案为：． 13三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知直线l ：与圆C ：交于A ，B 两点．12540x y +-=222270x y x y +---=（1）求圆C 的弦AB 的长；（2）若直线m 与直线l 平行，且与圆C 相切，求直线m 的方程． 【答案】（1）；AB =（2）或. 125220x y ++=125560x y +-=【解析】【分析】（1）求出圆心到直线的距离，利用弦长公式即可求出.l AB （2）设出直线的方程，利用点到直线的距离公式列方程，化简求得直线的方程. m m 【小问1详解】圆C ：，其中圆心，半径r ＝3， ()()22119x y -+-=(1,1)C 圆心C 到直线l 的距离，1d 可得AB ==【小问2详解】∵直线m 与直线l 平行，∴可设直线m 的方程为：， 1250(4)x y K K ++=≠-又直线m 与圆C 相切，有或，322K =56K =-∴直线m 的方程为：或．125220x y ++=125560x y +-=18. 已知命题p ：方程表示焦点在x 轴上的双曲线，命题q ：a <m <a ＋4．22113x y m m +=--（1）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围； （2）若a ＝2，为假，为真，求实数m 的取值范围． p q ∧p q ∨【答案】（1）[－1，1]（2） (][)1,23,6⋃【解析】【分析】（1）根据充分不必要条件的定义推理计算； （2）由条件可知，p 与q 一真一假，分类讨论. 【小问1详解】由方程表示焦点在x 轴上的双曲线，可得 ， 22113x y m m +=--10,1330m m m ->⎧<<⎨-<⎩∵p 是q 的充分不必要条件，∴ ， 1,1143a a a ≤⎧-≤≤⎨+≥⎩经检验，满足题意，∴实数a 的取值范围为：[－1，1]； 11a -≤≤【小问2详解】易得p ：1<m <3，q ：2<m <6，又假，为真，∴p ，q 一真一假， p q ∧p q ∨当p 真q 假时有，得，1326m m m <<⎧⎨≤≥⎩或12m <≤当p 假q 真时有，，得，1326m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或36m ≤<所以实数m 的取值范围为： ； (][)1,23,6⋃综上，（1） ，（2）[]1,1a ∈-(][)1,23,6m ∈ 19. 世界对中国的印象很多，让很多人印象深刻的肯定包括“吃”，中国有句话叫民以食为天，中国人认为吃对于人来说是一件很重要的事情，不但要能吃，也要会吃．我们四川更是遍地美食，四川人很多也是“好吃嘴”，但是好吃不等于健康，有人对不同类型的某些食品做了一次调查，制作了下表．其中x 表示某种食品所含热量的百分比，y 表示一些“好吃嘴”以百分制给出的对应的评分． x 15 20 25 3035y68 78 80 8292附：相关系数r 可以衡量两个变量x 和y 之间线性关系的强弱，当r 为正时，x 和y 正相关，当r 为负时，x 和y 负相关，统计学认为如果相关性很强，如果相关性一般，如果[]0.75,1r ∈[)0.30,0.75r ∈相关性较弱．[]0.25,0.25r ∈-，，．r =()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑ˆˆa y bx=-．13.60≈（1）试用r 对两个变量x ，y 的相关性进行分析（r 的结果保留两位小数）； （2）求回归方程．【答案】（1）答案见解析；（2）. ˆ 1.0454yx =+【解析】【分析】（1）由已知条件求出公式中的相关数值，代入即可求出，即可得出结果；r 0.96r ≈（2）根据（1）问中所求的数据可求出，进而得到，即可得出回归方程. ˆ 1.04b=ˆ54a =【小问1详解】 解：易得，， 1520253035255x ++++==6878808292805y ++++==，()()()522222211050510250i i x x =-=-+-+++=∑，()()()522222211220212296ii y y =-=-+-+++=∑，()()()()()511012520521012260iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-++⨯+⨯=∑所以，5x x y y r--===130.9613.60≈≈，即r 为正且接近于1，0.96[0.75,1]∈所以两个变量x ，y 之间成正相关，并且有相当强的相关性. 【小问2详解】解：由（1）易得， ()()()2155126026ˆ 1.0425025iii i i x x y y bx x ==--====-∑∑， 4ˆˆ80 1.04255ay bx =⨯==--所以，回归方程为． ˆ 1.0454yx =+20. 已知椭圆E ：（）的左、右焦点分别为，，且过点22221x y a b+=0a b >>()1F)2F ．12P ⎫⎪⎭（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过椭圆E 的左焦点且斜率为1的直线与椭圆E 交于A ，B 两点，求的面积．1F PAB A 【答案】（1） 2214x y +=（2【解析】【分析】（1）由椭圆定义列方程求得参数a ，由a 、b 、c 关系求得b .（2）写出直线方程，联立椭圆与直线方程，由弦长公式及点线距离求得高，即可求得面积.【小问1详解】由椭圆定义得，∴，又1224a PF PF =+==2a =c =1b ==， ∴椭圆E 的标准方程为：； 2214x y +=【小问2详解】过椭圆E 的左焦点且斜率为1的直线方程为，1F y x =由，得． 2244y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2580x ++=设，，有，， ()11,A x y ()22,B x y12x x +=1285x x =∴， 85AB==又点P 到直线AB 的距离，∴面积．d PAB A 12S AB d ==21. 四川新高考于2022年启动，2025年整体实施，2025年参加高考的学生将面临“3＋1＋2”高考新模式．其中的“3”指“语、数、外”三个必选学科，“1”是指“物理、历史”两个学科二选一，“2”是指“化学、政治、生物、地理”这四个再选学科中选两科，对于再选学科会通过等级赋分的办法计入总成绩．等级赋分以30分作为赋分起点，满分为100分，将考生每门的原始成绩从高到低划定为A 、B 、C 、D 、E 五等，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%、2%．现在高2022级新高一学生已经开始使用新教材，并且新高一的学生也参加了进高中以来的第一次期中考试，成都市某高中为了调研新高一学生在此次期中考试中政治学科的学情，随机抽取了100名新高一学生的政治成绩，统计了如下表格： 分数范围[)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 []90,100学生人数 5 25 35 30 5（1）根据统计表格画出频率分布直方图；（2）根据统计数据估计该学校新高一学生在此次期中考试中政治成绩的平均分；（3）根据统计数据结合等级赋分的办法，预估此次考试政治赋分等级至少为B 的大致分数线（取整数）．【答案】（1）作图见解析；（2）75.5； （3）76.【解析】【分析】（1）根据统计表格求出各分组的频率，画出图即可；（2）根据频率分布图，估算样本平均数即可； （3）由已知，可得大致分数线即为数据的中位数.根据频率分布图列出，解出即为所求. 700.050.250.350.58070x -++⨯=-x 【小问1详解】解：由已知可得，分数范围在的频率为；分数范围在的频率为[)50,6050.05100=[)60,70250.25100=；分数范围在的频率为；分数范围在的频率为；分数范围在[)70,80350.35100=[)80,90300.30100=的频率为. []90,10050.05100=则画出频率分布图如下图：【小问2详解】根据频率分布直方图可估计：该学校新高一学生在此次期中考试中政治成绩的平均分为.550.05650.25750.35850.30950.0575.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【小问3详解】由题设条件可知A 、B 两等级人数占比为50%，所以，赋分等级至少为B 的大致分数线即为数据的中位数.由频率分布直方图可知，大致位于，设中位数为x ，[)70,80由可得，得， 700.050.250.350.58070x -++⨯=-75.7x ≈所以，此次考试政治赋分等级至少为B 的大致分数线为76分．22. 已知抛物线C ：（p >0）的焦点为F ，过抛物线的焦点F 且斜率为1的直线l 与抛物线交于22y px =A ，B 两点，线段AB 的中点为P （3，2）．（1）求抛物线C 的方程；（2）证明：抛物线过A ，B 两点的切线的交点Q 在抛物线的准线上．【答案】（1）24y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件，建立方程组求出p ； （2）设A ，B 两点的切线方程，联立抛物线与切线方程，利用 ，求出相应的代数关系，再利用直Δ0=线AB 的方程即可求解.【小问1详解】 ，，()11,A x y ()22,B x y ∵线段AB 的中点为P （3，2），直线AB 的斜率为1，∴，， 124y y +=21211y y x x -=-又A ，B 两点在抛物线上，∴有，，相减整理得：， 2112y px =2222y px =()()()21212124y y y y p x x -+==-∴抛物线C 的方程为；24y x =【小问2详解】易得过A ，B 两点的抛物线的切线不与坐标轴垂直，不妨设过的抛物线的切线方程为：， ()11,A x y ()11x x m y y -=-即，11x my x my =+-由，有 ，切线与抛物线只有1个交点， 1124x my x my y x=+-⎧⎨=⎩2114440y my x my --+=∴， 2111616160m x my ∆=+-=又，整理得，解得， 2114y x =221104y m my -+=12y m =∴过的抛物线的切线方程为：，整理得， ()11,A x y ()1112y x x y y -=-()112x x y y +=同理可得过的抛物线的切线方程为：， ()22,B x y ()222x x y y +=设两切线的交点为，由 ()00,Q x y ()()112222x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩可得， ()()2221212121211212012121244444y x x y y x x y y y y y y y x y y y y y y ---====---易得直线AB 的方程为：x ＝y ＋1，由有，∴，∴， 214x y y x=+⎧⎨=⎩2440y y --=124y y =-01x =-即两切线的交点Q 在抛物线的准线上；。
高二上学期期末数学试题(解析版)
第 1 页 共 17 页一、单选题 1．过点和点的直线在轴上的截距为（ ） ()1,2-
0,3x
A．3 B．1 C． D． 31
【答案】C 【分析】由直线的两点式方程可写出直线的方程，令其中，即可求得答案. 0y
【详解】由题意可得过点和点的直线方程为 ，即 ， ()1,2-
0,3
302310yx
30xy
令，则，即过点和点的直线在轴上的截距为， 0y3x()1,2-
0,3x3
故选：C. 2．设数列的前项和，则的值为（ ） nan2
1nSn
6a
A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D
【分析】利用求解即可. 11,1,2nnn
SnaSSn
【详解】，， 266137S255126S
故. 665
372611aSS
故选：D 3．已知平面外的直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的
l3,2,1a1,2,1ul
位置关系是（ ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 l//ll//l
l
【答案】B 【分析】由确定正确答案. 0au
【详解】由于，即， 3,2,11,2,13410au
au
由于，所以. l//l
故选：B 4．若直线为圆的一条对称轴，则（ ） 220xy22()1xay
a
A． B． C．1 D． 12
1
21
【答案】C 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 第 2 页 共 17 页
【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解,0a2020a
得． 1a故选：C 5．在前项和为的等比数列中，，，则（ ） nnS
na
232aa344aa8S
A． B． C． D． 808590
95
【答案】B 【分析】利用等比数列通项公式化简已知等式可求得，结合等比数列求和公式可得结果. 1
高二数学上学期期末考试试卷文含解析试题
云天化中学2021—2021学年上学期期末测试高二年级文科数学试卷一、选择题。
1.集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据交集定义即可得到结论．【详解】∵，∴M∩N＝{3，4}，应选：D．【点睛】此题主要考察交集的概念及求法，比拟根底．2.的内角的对边分别是，，那么等于〔〕A. 3B. 2C.D.【答案】A【解析】由余弦定理得〔负舍〕，选A.3.向量，假设，那么实数的值是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，又，所以，选C.4.椭圆的焦点坐标是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由椭圆的方程分析可得焦点位置以及a、b的值，计算可得c的值，由椭圆的焦点公式计算可得答案．【详解】在椭圆中，，因此，因此焦点坐标为；应选D.【点睛】此题考察椭圆的焦点坐标求法，注意先分析椭圆的焦点位置．5.命题“〞的否认是〔〕A. 使得B. 使得C. 使得D.【答案】B【解析】全称性命题的否认是特称命题，要否认结论，所以选B.6.某工厂利用随机数表对消费的700个零件进展抽样测试，先将700个零件进展编号，001,002,……，699,700.从中抽取70个样本，以下图提供随机数表的第4行到第6行，假设从表中第5行第6列开场向右读取数据，那么得到的第6个样本编号是〔〕32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45A. 623B. 328C. 253D. 007【答案】A【解析】分析：从第五行第六列开场向右读，依次读取，将其中不符合要求的也就是超范围的数据去掉，再将重复的去掉，最后找到满足条件的数据.详解：从第5行第6列开场向又读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个是623，应选A.点睛：这是一道有关随机数表的题目，明确随机数的含义是关键，在读取数据的过程中，需要把超范围的数据和重复的数据都去掉，接着往下读就行了.7.圆截直线所得的弦的长度为，那么等于〔〕A. 2B. 6C. 2或者6D.【答案】C【解析】∵圆截直线所得的弦的长度为，圆心到直线的间隔，∴，解得或者．应选C．8.以下函数中，周期为，且在上为减函数的是〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】A,D周期为，故排除；当时，，满足，应选C.9.直线过点且与椭圆相交于两点，那么使得点为弦中点的直线斜率为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么，，两式相减，再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【详解】设，那么有，两式作差：，又因为，所以，应选A.【点睛】此题考察了椭圆的HY方程及其性质、“点差法〞、中点坐标公式、斜率计算公式，属于中档题．10.函数是上的偶函数，且对任意的有，当时，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用函数的周期性可得f〔8〕＝f〔2〕，进而利用函数的奇偶性可得f〔2〕＝f 〔﹣2〕，结合函数的解析式即可得f〔﹣2〕的值，综合即可得答案．【详解】根据题意，函数f〔x〕满足f〔x+6〕＝f〔x〕，那么f〔8〕＝f〔2〕，又由函数为偶函数，那么f〔2〕＝f〔﹣2〕，又由当x∈〔﹣3，0〕时，f〔x〕＝2x﹣5，那么f〔﹣2〕＝2×〔﹣2〕﹣5＝﹣9；那么有f〔8〕＝f〔2〕＝f〔﹣2〕＝﹣9；应选B.【点睛】此题考察函数的奇偶性与周期性的应用，关键是利用函数的周期性，属于根底题．11.椭圆的一个焦点为，为椭圆上一点，且，是线段的中点，那么〔为坐标原点〕为〔〕A. 3B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】因为椭圆的实轴长为，那么，由椭圆的定义可知,而是的中位线，所以，应选C．12.设为双曲线的左焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支交于点，假设，，那么该双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】设,那么。
2022-2023学年四川省德阳市第五中学高二上学期10月月考数学(文)试题(解析版)
2022-2023学年四川省德阳市第五中学高二上学期10月月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}sin ,M y y x x ==∈R ，{}12N x x =-<<，则M N =（ ） A ．(]1,1- B ．[)1,2-C ．()1,1-D ．[)1,1-【答案】A【分析】根据正弦函数的值域可得集合[]1,1M =-，再根据交集运算求解即可. 【详解】因为{}[]sin ,1,1M y y x x ==∈=-R ，{}()121,2N x x =-<<=-， 所以M N =(]1,1-.故选:A.2．下列结论正确的是（ ） A ．若ac bc >，则a b > B ．若22a b >，则a b >C ．若a b >，0c <，则ac bc <D a b >【答案】C【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.【详解】A 选项，ac bc >，如()()()()2111-⨯->-⨯-，而21-<-，所以A 选项错误. B 选项，22a b >，如()2210->，而10-<，所以B 选项错误.C 选项，,0,0a b a b c >-><，则()0ac bc a b c -=-<，所以ac bc <，所以C 选项正确.D <，而12<，所以D 选项错误. 故选：C3．抛物线22x y =-的焦点到其准线的距离是（ ）. A ．4 B ．2 C ．1 D ．12【答案】C【分析】利用抛物线22x py =±焦点到准线的距离为p 求解即可.【详解】由抛物线22x y =-知其焦点坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线为12y =，所以焦点到准线的距离为11122--=.故选：C.4．已知函数()()()2log 2,04,0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2022f =（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】D【分析】利用函数的周期性及分段函数的性质即可求解. 【详解】由题意得当0x >时，函数()f x 的一个周期为4，所以()()()()220225054222log 42f f f f =⨯+==-==.故选：D ．5．双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上且120PF =，则2PF 等于（ ） A ．14 B ．26 C ．14或26 D ．16或24【答案】C【分析】根据双曲线的方程可得,,a b c ，由212PF PF a -=即可求解. 【详解】由双曲线的方程可得3,4,5a b c ===，故22PF c a ≥-=. 因为1226P F F P a ==-，故2206PF -=，解得214PF =或26. 故选:C.6．已知()0πα∈，，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A ．23B C ．13D 【答案】B【分析】根据二倍角余弦公式可得23cos 4cos 40αα--=，然后求出cos α的值，再根据平方关系即可求解.【详解】解：因为2cos 22cos 1αα=-，3cos28cos 5αα-=，所以()232cos 18cos 5αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，所以2cos 3α=-或cos 2α=（舍），又()0πα∈，，所以sin α==，故选：B.7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>（c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ）A B C D ．【答案】C【分析】根据焦点到渐近线的距离求得b 关于c 的表达式，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为0bx ay -=，焦点为(),0c ，bcb c==，所以b ，由于222c a b =+，所以2222222279,,,997c c a c c a e a =+===故选：C8．已知1F 、2F 是椭圆22:182x y C +=的两个焦点，若椭圆C 上的点P 满足∠F 1PF 2＝90°，则点P 的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个【答案】D【分析】由椭圆方程求得椭圆的长半轴长及离心率，设出P 的坐标，由焦半径公式得到左右焦半径，结合勾股定理求得P 的坐标得答案．【详解】设0(P x ，0)y 为椭圆22:182x y C +=上的一点，则a b c =由焦半径公式得：1020,PF PF x ==， 若1290F PF ∠=︒，则(22200x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：0x =． ∴椭圆上能够满足1290F PF ∠=︒的点P 共有4个．故选：D9．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()f x 关于直线()π5πZ 212k x k =+∈对称D ．将()f x 的图像向左平移5π12个单位长度后得到的图象关于原点对称 【答案】D【分析】根据图象求出A ，ω和ϕ的值，然后利用三角函数的图象和性质即可求解． 【详解】解：由图可知3A =，ππ3π()461212T =--=，即πT =，故选项A 正确； 由2ππω=，可得2ω=，则()3sin(2)f x x ϕ=+，因为πππ()3sin[2()]3sin()312126f ϕϕ-=⨯-+=-+=-，即πsin()16ϕ-+=-， 所以ππ2π62k ϕ-+=-，Z k ∈，得π2π3k ϕ=-，Z k ∈， 因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=-，所以π()3sin(2)3f x x =-，故选项B 正确； 由ππ2π+,Z 32x k k -=∈，可得()π5πZ 212k x k =+∈，即()f x 关于直线()π5πZ 212k x k =+∈对称，故选项C 正确； 将()f x 的图象向左平移5π12个单位长度后得到5πππ3sin[2()]3sin(2)3cos21232y x x x =+-=+=，所以()f x 为偶函数，图象不关于原点对称. 故选：D.10．已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，P 为对角线AC 上一点，则()PA PB PD ⋅+的最小值是（ ）A ．0B ．14-C ．12-D ．2-【答案】B【分析】根据向量的加法和向量的数量积的定义，以及再利用基本不等式可得出()2+22PA POPA PB PD ⎛⎫⎪⋅+≥- ⎪⎝⎭，可得选项. 【详解】作出图形如下图所示，()2+2222PA POPA PB PD PA PO PA PO ⎛⎫⎪⋅+=⋅≥-⋅≥- ⎪⎝⎭，而此时2+2PA PO =，所以()2+1224PA PO PA PB PD ⎛⎫⎪⋅+≥-=- ⎪⎝⎭，当且仅当PA PO =时取等号，所以()PA PB PD ⋅+的最小值是14-，故选：B.【点睛】本题考查向量的加法和向量的数量积的运算，以及基本不等式的应用求最值，属于中档题.11．已知函数()e 3,0ln ,0x x f x x x -⎧+≤=⎨>⎩，若函数()()()210g x f x f x m =-+有四个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[)24,25 B ．[]24,25 C ．[)21,25 D ．[]21,25【答案】A【分析】将问题转化为方程()()2100f x f x m -+=有四个不等实根，令()t f x =，可知2100t t m -+=有两个不等实根()1212,t t t t ≠，结合()f x 与1y t =和2y t =有四个不同交点可得124,4t t ≥≥，由二次函数根的分布可构造不等式组求得结果.【详解】()g x 有四个零点等价于方程()()2100f x f x m -+=有四个不等实根；作出()f x 图象如下图所示，令()t f x =，则2100t t m -+=需有两个不等实根()1212,t t t t ≠， 即10040m ∆=->，解得：25m <；要使()g x 有四个零点，则需()f x 与1y t =和2y t =有四个不同交点，在图象中平移直线1y t =和2y t =，要使()f x 与1y t =和2y t =有四个不同交点，则需14t ≥，24t ≥，241040m ∴-⨯+≥，解得：24m ≥； 综上所述：实数m 的取值范围为[)24,25. 故选：A.12．设A 、B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上关于原点的两个对称点，右焦点为(c,0)F ，若||2AB c =，212ABF S c ≥，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．26⎡⎢⎣⎦B ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．6⎛ ⎝⎦D ．2⎛ ⎝⎦【答案】A【分析】根据题意求出可知b c ≤，求出圆222x y c +=与椭圆的交点，进而表示出ABF S △，根据212ABFSc ≥即可求解. 【详解】,A B 关于原点对称，故12OA OB AB c ===， 若b c >，则椭圆与圆222x y c +=没有交点，∴b c ≤，即2222222c c c e a b c c c ==++， 设()()1111,,,A x y B x y --，不妨设110,0x y >>，则22222221x y c x yab ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，整理可得222222ac c x a b -=，解得22222a b x a c =-， 22222221221a b a y c a b c c ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，解得21b y c， 2111111222ABFSy OF y OF y c c ∴=⋅⋅+⋅-⋅=⋅≥， 即212b c c ≥，22212a c c ∴-≥，解得c e a =≤.e ≤≤故选：A二、填空题13．若方程2212x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为______.【答案】(0,1)【分析】根据给定条件，利用椭圆方程与焦点的位置关系列式求解作答.【详解】因方程2212x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则20m m ->>，解得01m <<，所以实数m 的取值范围为(0,1). 故答案为：(0,1)14．已知()1,a m =，()3,4b =-，若()a ab ⊥-，则m =______． 【答案】2【分析】求出a b -的坐标，由()a a b ⊥-推出()0⋅-=a a b ，列出方程即可求得m . 【详解】已知()1,a m =，()3,4b =-， 所以()4,4a b m -=-，由()a ab ⊥-可得()440m m +-=，解得2m =． 故答案为：2.15．已知圆C ：2230x y bx ay +++-=（a ，b 为正实数）的圆心在直线l ：20x y ++=上，则13a b+的最小值为__________．【答案】1【分析】先由圆心在直线上求出4a b +=，再由基本不等式求出最值即可.【详解】圆22:30(,C x y bx ay a b +++-=为正实数），所以圆的圆心坐标,22b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由直线经过圆心，得20,422b aa b --+=+=，131313344444a b b a a b a b a b +⎛⎫+=+=+++ ⎪⎝⎭333112144442b a b a a b a b =++≥+⨯=+，当且仅当344b a a b=，且4a b +=时取等号， 故答案为：312+. 【点睛】本题主要考查圆的方程及性质、利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.16．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点H ，过焦点F 且倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，如图所示，则下列说法中正确的有______．①以线段AB 为直径的圆与准线l 相切； ②112AF BF p+=； ③2sin AOBp S α=△（其中点O 为坐标原点）； ④若点(),0M p ，且AF AM =，则直线AB 6；⑤若已知点A 的横坐标为0x ，且已知点()0,0T x -，则直线TA 与该抛物线相切； 【答案】①②⑤【分析】对于①，=AF a ，=BF b ，根据抛物线的定义可得线段AB 的中点到准线的距离为22ABa b，从而可判断；对于②，设()()1122,,,A x y B x y ，其中120,0y y ><，分π2α=与π2α≠讨论，结合抛物线的定义及韦达定理可判断；对于③，取π2α=，可得2sin AOBp S α≠△，从而可判断；对于④，求出点A 的坐标，从而可求直线AB 的斜率，从而可判断；对于⑤，求出点A 的坐标与直线AT 的方程，与抛物线方程联立，根据判别式即可判断.【详解】对于①，设=AF a ，=BF b ，则1AA a =,1BB b =. 所以线段AB 的中点到准线的距离为22ABa b. 所以以线段AB 为直径的圆与准线l 相切，故①真确； 对于②，设()()1122,,,A x y B x y ，其中120,0y y ><，当π2α=时，直线AB 的方程为2p x =， 则,,,22p p A p B p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11AF BF p ==，故112AF BF p +=； 当π2α≠时，设直线AB 的方程为()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x 得，2220ky py kp --=，则122p y y k +=，212y y p =-. 所以1212122222y y y y p p p x x p p k k k k +⎛⎫⎛⎫+=+++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2221212224y y p x x p p =⋅=. 所以()12212121211112224x x p p p p p AF BF x x x x x x +++=+=+++++ 2222222222222424p pp p p k k p p p p p p p p k k +++===⎛⎫+⨯+++ ⎪⎝⎭， 综上，112AF BF p+=，故②正确； 对于③，当π2α=时，221=2222sin AOB p p p S p α⨯⨯=≠△，故③错误；对于④，因为(),0M p ，且AF AM =， 所以点A 在线段MF 的垂直平分线上，即直线34px =上， 将34p x =代入22y px =，得2232y p=，即y p =.故34p A p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,02342AB p k p p -==-④错误；对于⑤，易知(0A x，则0AT k =所以直线AT的方程为0x x =-， 与抛物线方程22y px =联立可得02220px y +=-. 因为202480x p px p∆=⋅-=，所以直线AT 与抛物线相切，故⑤正确. 故答案为:①②⑤. 【点睛】总结点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式A B B x p A x ++=，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．三、解答题17．已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率为2．(1)求双曲线C 的渐近线方程(2)如果双曲线C 的焦点和椭圆22162x y +=的焦点相同，求双曲线C 的方程．【答案】(1)y =； (2)2213y x -=【分析】（1）利用离心率可得到ba= （2）通过椭圆的方程可得到公共焦点，然后通过题意可列出关于,a b 的方程组，即可得到答案【详解】(1)由双曲线2222:1x y C a b-=()00a b >>，的离心率为2，所以2c e a ==，则224c a=即2224a b a +=，∴223b a =即b a = ∴双曲线C的渐近线为y =；(2)因为椭圆22162x y +=的焦点在x 轴，且焦点坐标为()()2,0,2,0-，所以2c =，由222234b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得2213a b ⎧=⎨=⎩，所以双曲线的方程为2213y x -=18．已知向量()cos ,sin m x x =，()cos ,n x x =，x R ∈，设函数()12f x m n =⋅+. （1）求函数()f x 的解析式及单调递增区间；（2）设a ，b ，c 别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若()2f A =，b c +=ABC ∆的面积为12，求a 的值.【答案】（1）()f sin 216x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, 函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）31a【分析】（1）由向量()cos ,sinm x x =，()cos ,n x x =，得()sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求得单调区间；（2）由()2f A =，得6A π=，又ABC∆的面积为12，bc +=弦定理，求得1a =【详解】（1）()2cos cos f x x x x =1sin 2126x π⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 令26x π+∈2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，解得；,36x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；所以函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（2）()sin 2126f x A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，sin 216A π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.0A π<<，132666A πππ∴<+<，262A ππ∴+=，即6A π=. 由11sin 22S bc A ==得2bc =，又b c +=由余弦定理得2222a b c bc =+-()()2cos 21cos A b c bc A =+-+， 解得1a =.【点睛】题目条件给出的向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系，然后求解，对于面积公式111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===，一般考查哪个角就使用哪一个公式，与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化19．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，1n a +-，n a ，2n a +成等差数列．等差数列{}n b 满足121b a =+，523233b b a -=-． (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)求数列()121n n b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ．【答案】(1)2n n a =，23n b n =+； (2)69nn +【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式进行求解即可; （2）用裂项相消法进行求解即可【详解】(1)设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，等差数列{}n b 的公差为d ，因为1n a +-，n a ，2n a +成等差数列，所以212n n n a a a ++=- 即111112n n na q a q a q -+=-，因为0q >，10a >，所以22q q =-，解得2q或1q =-（舍去），所以111222n n nn a a q --==⨯=，2121215b a =+=+=，由523233b b a -=-可得()()32543523d d +-+=-，解得2d =，所以()()1152123n b b n d n n =+-⋅=+-=+； (2)因为23n b n =+，所以()()()1111121212322123n n b n n n n ⎛⎫==- ⎪+++++⎝⎭，所以11111111123525722123n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111235572123232369nn n n n ⎛⎫⎛⎫-+-++-=-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 20．已知圆()22:21M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．(1)过点13,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭的直线1l 被圆M 截得的弦最短，求1l 的方程；(2)若PAM △的外接圆圆心为C ，试问：当P 运动时，圆C 是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由； 【答案】(1)10x y -+=(2)圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）判断点Q 在圆M 内，进而可得过点13,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭且与MQ 垂直的弦长最短，然后根据斜率公式求出1l 的斜率即可求解；（2）设()2,P b b -，由90MAP ∠=︒，进而可得圆C 的方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，即()()222220x y b x y y -+++-=，从而即可求解.【详解】(1)解：因为圆()22:21M x y +-=，13,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2213121222⎛⎫⎛⎫+-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以Q 在圆内，所以过点13,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭且与MQ 垂直的弦长最短，因为圆心M 点坐标为()0,2M ，所以3221102MQk -==--， 所以所求直线1l 的斜率k ＝1， 所以1l 的方程为3122y x -=-，即10x y -+=； (2)解：由题意，设()2,P b b -，因为90MAP ∠=︒，所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径的圆，其方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭，即()()222220x y b x y y -+++-=， 由2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或4525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．21．已知抛物线()2:20C x py p =>上第一象限的一点(),1P x 到其焦点的距离为2．(1)求抛物线C 的方程和P 点坐标；(2)过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 交抛物线C 于A 、B ，若APB ∠的角平分线与y 轴垂直，求弦AB的长．【答案】(1)抛物线方程为：24x y =， P 点坐标为（2，1）【分析】（1）根据题意结合抛物线的定义可求出p ，则可得抛物线方程，再将1y =代入抛物线方程可求出x ，从而可求得点P 的坐标，（2）由题意可得直线l 的斜率存在，设直线方程为()112y k x =++，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，再由APB ∠的角平分线与y 轴垂直，可得0PA PB k k +=，化简可求出k 的值，再利用弦长公式可求得弦AB 的长. 【详解】(1)由122p+=可得：p ＝2， 故抛物线方程为：24x y =， 当y ＝1时，24x =， 又因为x ＞0，所以x ＝2， 所以P 点坐标为（2，1）；(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设直线方程为()112y k x =++，()11,A x y ，()22,B x y ，由2124y kx k x y⎧=++⎪⎨⎪=⎩，得24420x kx k ---=， 所以()2164420k k ∆=++>，124x x k +=，1242x x k ⋅=--，因为APB ∠的角平分线与y 轴垂直，所以0PA PB k k +=， 所以121211022PA PBy y k k x x --+=+=--，即2212121144022x x x x --+=--， 即1240x x ++=，所以1k =-，124x x +=-，122x x ⋅=，所以124AB x =-=.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线24y x =的焦点相同，椭圆C的离心率为12． (1)求椭圆C 方程；(2)若直线:2l y kx =+交椭圆C 于P 、Q 两点，求三角形POQ 面积的最大值（其中O 为坐标原点）﹒【答案】(1)22143x y +=【分析】结合离心率求出2a c =以及223b c =，然后利用抛物线的焦点求出c 即可求解；(2)联立直线l 与椭圆方程，结合韦达定理表示出三角形POQ 的面积，再利用基本不等式即可求解.【详解】(1)由题意知，122c e a c a ==⇒=，则22223b a c c =-= 故椭圆C 的方程为：2222143x y c c+=，因为抛物线24y x =的焦点为(1,0)，且与椭圆C 共焦点， 所以1c =，从而椭圆C 的方程为：22143x y +=． (2)设()11,P x y ，()22,Q x y由22222(34)1640143y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒+++=⎨+=⎪⎩， ()()222116434404k k k ∆=-+⨯>⇒>，由韦达定理知，1221634k x x k +=-+，122434x x k =+，故12PQ x =-==又由原点O 到直线l 距离d =从而1122POQS PQ d ===△ 令222304133t t t k +=>⇒==+，故212121212POQt St t t==≤++ 当且仅当()120t tt =>，即t =k =POQ S △从而三角形POQ。
四川省德阳2023-2024学年高二上学期11月月考数学试题含解析
高2022级高二上期11月月考数学试题（答案在最后）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项涂在答题卡相应位置上.1.对抛物线214y x =，下列判断正确的是A.准线方程是=1x -B.焦点坐标是()1,0C.准线方程是1y =D.焦点坐标是()0,1【答案】D 【解析】【详解】分析：将抛物线的方程化为标准方程，即可分别求出焦点坐标及准线方程．详解：∵抛物线的方程为214y x =∴抛物线的标准方程为24x y=∴抛物线的焦点坐标是()0,1，准线方程是1y =-故选：D.2.已知点P 为ABC 所在平面内一点，O 为平面ABC 外一点，若2OP mOA nOB OC =++，则m n +的值为（）A.1B.1- C.2D.2-【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量共面的基本定理化简可得出m n +的值.【详解】因为点P 为ABC 所在平面内一点，设AP AB AC λμ=+，其中λ、μ∈R ，即()()OP OA OB OA OC OA λμ-=-+- ，所以，()21OP OA OB OC mOA nOB OC λμλμ=--++=++ ，所以，()211m n λμλμ++=--++=，所以，1m n +=-.故选：B.3.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图．现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（）A.23B.13C.19D.29【答案】D 【解析】【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，用列举法即可求解.【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，(),x y 代表依次摸出的卡片，{},,,x y A B C ∈，则基本事件分别为：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A C B A B B B C C A C B C C ，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：()(),,,A B B A ，所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是29.故选：D.4.若[]0,πα∈，5252cos cos sin sin 03333αααα+=，则α的值是（）A.π6 B.π4C.π3D.π2【答案】D 【解析】【分析】利用余弦的差角公式得到cos 0α=，再根据条件即可求出结果.【详解】因为525252cos cos sin sin cos()cos 0333333ααααααα+=-==，又[]0,πα∈，所以π2α=，故选：D.5.已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），且满足3AF BF =，则直线l 的斜率为（）A.1B.C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】设直线l 的方程为1x my =+代入抛物线方程，利用韦达定理可得124y y m +=,124y y =-,由3AF BF =可知3AF FB =所以可得123y y =-代入化简求得参数,即可求得结果.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y （10y >，20y <）.易知直线l 的斜率存在且不为0，设为1m，则直线l 的方程为1x my =+.与抛物线方程联立得()241y my =+，所以124y y =-，124y y m +=.因为3AF BF =，所以3AF FB = ，得123y y =-，所以2243y =，即2233y =-，1y =，所以1214m y y ==+.故选:B.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理及向量的坐标之间的关系,考查计算能力，属于中档题.6.如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（）（结果精确到0.01）A.4.96B.5.06C.4.26D.3.68【答案】A 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程，根据题意知抛物线经过点()5,6-，把点()5,6-代入抛物线方程即可求出p ，根据竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为62p-，即可求出答案.【详解】如图，设抛物线的方程为22x py =-，抛物线经过点()5,6-，所以2512p =，解得2512p =，所以抛物线顶点到焦点的距离为25224p =，故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为2566 4.96224p -=-≈米.故选：A.7.圆()22125C x y -+=：，过点()2,1P -作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意，最长弦为经过点P 的直径AD ，最短的弦是过点P 与AD 垂直的弦BE ，求出PC ，再利用圆的性质可求出BE ，从而可求出四边形面积.【详解】由圆()22125C x y -+=：，得圆心(1,0)C ，半径=5r ，因为()2221(1)25-+-<，所以点()2,1P -在圆C 内，所以经过点P 的直径是最长的弦AD ，且最短的弦是与该直径垂直的弦BE ，如图所示，因为PC ==，所以由垂径定理得BE ==，所以四边形ABDE 的面积为111022AD BE =⨯⨯=，故选：C8.点A、B 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点，F 为右焦点，C 为短轴上不同于原点O 的一点，D 为OC 的中点，直线AD 与BC 交于点M，且MF⊥AB，则该椭圆的离心率为A.12B.13C.23D.32【答案】B 【解析】【分析】利用MF //OC，MF //OD，得到比例关系 OD a MF a c =+①， MF a cOC a-=，②，①⨯②得到a 、c 数量关系，可求得离心率．【详解】由题意如图：MF⊥AB，且OC⊥AB，∴MF //OC，同理MF //OD，∴OD OA a MF AF a c ==+①， MF FB a cOC OB a-==，②①⨯②得到：OD MF MF OC ⋅=a a c a c a -⋅+=c a c a -+=12OD OC =,∴2（a ﹣c ）＝c +a ，∴a ＝3c ，∴e 13c a ==．故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法，通过平行线段的比例关系，找到a、b、c 的关系是解决本题的关键，属于中档题．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分.9.已知关于x ，y 的方程22142x ym m +=--表示的曲线是E ，则曲线E 可以是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线D.抛物线【答案】ABC 【解析】【分析】根据圆以及双曲线，以及椭圆的性质即可分类讨论求解.【详解】当420m m -=->时，3m =，方程22142x y m m +=--可以化简为221x y +=，曲线E 是圆；当40m ->，20m ->且42m m -≠-时，23m <<或34m <<，曲线E 是椭圆；当()()420m m --<时，2m <或4m >，曲线E 是双曲线．故选:ABC ．10.下列说法中，正确的有（）A.过点(1,2)P 且在x 轴，y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B.直线2y kx =-在y 轴的截距是2C.直线10x +=的倾斜角为30°D.过点(5,4)且倾斜角为90°的直线方程为50x -=【答案】CD 【解析】【分析】根据直线的截距、倾斜角、直线方程等知识确定正确答案.【详解】A 选项，直线2y x =过点(1,2)P 且在x 轴，y 轴截距相等，所以A 选项错误.B 选项，直线2y kx =-在y 轴上的截距是2-，B 选项错误.C 选项，直线10x -+=的斜率为33，倾斜角为30°，C 选项正确.D 选项，过点(5,4)且倾斜角为90°的直线方程为50x -=，D 选项正确.故选：CD11.在空间直角坐标系Oxyz 中，()0,2,1A ，()0,1,1B -，()1,2,1C --，则（）A.直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值为510B.点O 到平面ABCC.异面直线OA 与BC 所成角的余弦值为27035D.点A 到直线OB 的距离为2【答案】BC 【解析】【分析】利用线面角公式计算A ，利用点到面的距离公式计算B ，利用异面直线夹角公式计算C ，利用点到线的距离公式计算D.【详解】()0,3,0AB =- ，()1,3,2BC =--．设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =，则30,320,n AB y n BC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ 令2x =，得()2,0,1n =- ．设直线OB 与平面ABC 所成的角为θ，且()0,1,1OB =-，则sin cos ,10OB nOB n OB n θ⋅=<===，点O 到平面ABC的距离为5OB n n ⋅= ，A 错误，B 正确．因为cos ,35OA CBC OA BC OA BC⋅<>==，所以异面直线OA 与BC 所成角的余弦值为27035，C 正确．设2OA OB m OB⋅== ，则点A 到直线OB的距离2d ===，D 错误．故选：BC.12.已知双曲线E过点(-且与双曲线22149x y -=共渐近线，直线l 与双曲线E 交于A ，B 两点，分别过点A ，B 且与双曲线E 相切的两条直线交于点P ，则下列结论正确的是（）A.双曲线E 的标准方程是221818x y -=B.若AB 的中点为()1,4，则直线l 的方程为916550x y -+=C.若点A 的坐标为()11,x y ，则直线AP 的方程为1194360x x y y -+=D.若点P 在直线3460x y -+=上运动，则直线l 恒过点()3,6【答案】BC 【解析】【分析】A选项，根据两双曲线共渐近线设出双曲线方程，代入点(-运算得解判断；B 选项，运用点差法求得直线l 的斜率，即可得出直线方程可判断；C 选项，设()11:PA y k x x y =-+，将直线代入双曲线E 方程，由Δ0=，解得斜代回可得直线AP 的方程；D 选项，设出点()22,B x y ，类比C 选项，求出直线PB 的方程，设出点33,42P a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入直线AP ，PB 的方程比较可得直线l 的方程，从而得解.【详解】因为双曲线E 与双曲线22149x y -=共渐近线，所以可设双曲线E 的方程为2249x y λ-=，又双曲线E过点(-，所以()(22249λ--=，即1λ=-，所以双曲线E 的标准方程是22194y x -=，故A 错误；设()11,A x y ，()22,B x y ，由A ，B 在双曲线E 上，得221122221,941,94y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减，得22221212094y y x x ---=，即()()()()12121212094y y y y x x x x -+-+-=，又AB 的中点为()1,4，所以122x x +=，128y y +=，所以1212916AB y y k x x -==-，直线l 的方程为()94116y x -=-，即916550x y -+=，故B 正确；设直线()11:PA y k x x y =-+，代入曲线E 的方程得，()()()222221111149884980kx ky k x x k kx y x -+-++-=，令Δ0=，得()22211114290kkx y yx +-+-=，解得1194x k y =，则切线方程为1194360x x y y -+=，即直线AP 的方程为1194360x x y y -+=，故C 正确；设()22,B x y ，由选项C 同理可得直线BP 的方程为2294360x x y y -+=，由点P 在直线3460x y -+=上运动，可设33,42P a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为点P 在AP 与BP 上，所以()()1122936360936360ax a y ax a y ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩，因此直线l 的方程为()936360ax a y -++=，即()()933660x y a y -+-=，令9303660x y y -=⎧⎨-=⎩，解得26x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过点()2,6，故D 错误．故选：BC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13.已知焦点在x 轴上的椭圆2218x ym +=的焦距是2，则该椭圆的长轴长为______.【答案】6【解析】【分析】根据焦点以及焦距即可根据,,a b c 的关系求解.【详解】由于2218x y m +=为焦点在x轴上，所以22,8,a m b c ====，由于焦距是2，所以221c c =⇒==，所以9m =，故长轴长为26a =，故答案为：614.已知直线1:340l x ay ++=与直线2:3410l x y +-=，若12l l ∥，则1l 与2l 之间距离是______.【答案】1【解析】【分析】根据两直线平行可得4a =，即可由两平行线间的距离公式即可求解.【详解】由于12l l ∥，所以343a ⨯=，所以4a =，故1:3440l x y ++=与直线2:3410l x y +-=，所以1l 与2l之间距离1d ==，故答案为：115.已知F 是椭圆22:12x C y +=的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则||||PQ PF +的最大值为__________．【答案】【解析】【详解】∵点F 为椭圆2212x y +=的左焦点，∴(1,0)F -，设椭圆的右焦点(1,0)F '，∵点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，∴PQ PF PQ PF PQ PF +=+-=+-''，又∵PQ PF QF -≤=''∴PQ PF +≤，即||||PQ PF +的最大值为Q 、F '、P 共线．故答案为点睛：本题考查椭圆的方程与性质，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键.这个题应用到了椭圆中焦半径的性质和焦三角形的性质．一般和焦三角形有关的题，经常和椭圆的定义联系起来，或者焦三角形的周长为定值．16.已知P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点，点M ，N 分别在直线11:3l y x =与21:3l y x =-上，且2//PM l ，1//PN l ，若22PM PN +为定值，则椭圆的离心率为______.【答案】3【解析】【分析】设00(,)P x y ，求出M ，N 的坐标，得出22PM PN +关于00,x y 的式子，根据P 在椭圆上得到,a b 的关系，进而求出离心率.【详解】设00(,)P x y ，则直线PM 的方程为00133x y x y =-++，直线PN 的方程为00133x y x y =-+，联立方程组0013313x y x y y x⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得00003(,2262x x y M y ++，联立方程组0013313x y x y y x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得00003(,2262x x y N y --+，则222222220000000000335()()()()5226222629x y x y x x y PM PN y x y +=-++-++++=+又点P 在椭圆上，则有22222200b x a y a b +=，因为2200559x y +为定值，则2251959b a ==，222289a b e a -==，3e =.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，有一定的难度.四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆心为()2,1的圆C 与直线:3l x =相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）若圆C 与圆22:4O x y +=相交于A ，B 两点，求两个圆公共弦AB 的长【答案】（1）()()22211x y -+-=（2）455【解析】【分析】（1）由题意可得圆心()2,1C 到直线l 的距离等于圆的半径，进而求得半径，从而求解；（2）将两圆方程相减可得直线AB 的方程，进而结合()0,0O 到直线AB 的距离和半径求解即可.【小问1详解】∵圆C 与直线:3l x =相切，∴圆心()2,1C 到直线l 的距离等于圆的半径，∴半径321r =-=，∴圆C 的标准方程为()()22211x y -+-=．【小问2详解】由()()22222114x y x y ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减得方程240x y +-=，∴直线AB 的方程即为240x y +-=．∴()0,0O 到直线AB的距离为5d ==，所以455AB =.18.已知椭圆22:22C x y +=，左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 作倾斜角为4π的直线l 交椭圆于A ，B 两点．（1）求AB 的长；（2）求2ABF △的面积．【答案】（1）423（2）43【解析】【分析】（1）联立直线与椭圆方程求得交点坐标，即可根据弦长公式求解，（2）由面积公式即可求解.【小问1详解】椭圆22:12x C y +=，22a =，21b =，2221c a b =-=，即1(1,0)F -，所以直线l 的方程为1y x =+，联立22122y x x y =+⎧⎨+=⎩，得2340x x +=，10x =或243x =-，所以124||033AB x ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，【小问2详解】由10x =，得11y =，由243x =-，得213y =-，不妨设(0,1)A ，41,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2ABF △的面积12121114212233S F F y y ⎛⎫=⨯⨯-=⨯⨯--= ⎪⎝⎭.19.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，sin cos a B A =.（1）求角A 的大小；（2）若6AB AC ⋅=，a =，求b c +.【答案】（1）π3A =（2）7b c +=【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得出tan A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用平面向量数量积的定义可求得bc 的值，然后利用余弦定理可求得b c +的值.【小问1详解】解：因为sin cos a B A =，由正弦定理可得sin sin sin A B A B =，因为A 、()0,πB ∈，则sin 0B >，所以，sin 0A A =>，则tan A =，故π3A =.【小问2详解】解：由平面向量数量积的定义可得1cos 62AB AC AB AC A cb ⋅=⋅== ，可得12bc =，由余弦定理可得()()2222222132cos 336a b c bc A b c bc b c bc b c ==+-=+-=+-=+-，解得7b c +=.20.一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为11,,,42p p ，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为172．（1）求p 的值；（2）求小红不能正确解答本题的概率；（3）求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．【答案】（1）13p =；（2）16；（3）19.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算得解.（2）利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算得解.（3）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解.【小问1详解】记小红使用解法一、二、三、四答对分别为事件,,,D E F G ，则()()()()11,,42P D P E p P F P G ====，因为各种解法能否答对互不影响，且全部答对的概率为172，于是()()()()()211872P DEFG P D P E P F P G p ===，解得13p =，所以13p =.【小问2详解】若小红不能正确解答本题，则说明小红任何方法都不会，所以小红不能正确解答本题的概率是11111111133426⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【小问3详解】记事件H 为小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对，则()()()()()P H P DEFG P DEFG P DEFG P DEFG=+++11111111111111111111133423342334233429⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-+-⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率为19．21.如图，在三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，8,5AC PA PC ===，O 为AC 中点.（1）求证：PO ⊥平面ABC ；（2）求平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值；【答案】（1）证明见解析（2）817【解析】【分析】（1）运用面面垂直的性质定理即可证明.（2）建立空间直角坐标系，运用面面夹角的坐标公式计算即可.【小问1详解】因为在PAC △中5PA PC ==，O 为AC 中点，所以PO AC ⊥.又因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，PO AC ⊥，PO ⊂平面PAC ，所以PO ⊥平面ABC ，得证.【小问2详解】在三棱锥-P ABC 中，连接OB ，因为O 为AC 中点，ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，则OB OC ⊥，由（1）知，PO ⊥平面ABC ，所以以O 为原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，由题意知，4OB OA OC ===，又5PA PC ==，则3OP =，则(0,0,3)P ，(0,4,0)-A ，(4,0,0)B ，(0,4,0)C ，所以(0,4,3)PA =-- ，(4,0,3)PB =- ，(0,4,3)PC =-，设平面PAB 的法向量为111(,,)n x y z =，则1111430430n PA y z n PB x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取13x =，则13y =-，14z =，则(3,3,4)n =-，设平面PBC 的法向量为222(,,)m x y z =，则2222430430m PB x z m PC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取23x =，则23y =，24z =，则(3,3,4)m = ，设平面PAB 与平面PBC 夹角为θ，则||168cos |cos ,|3417||||n m n m n m θ⋅=====，即平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为817.22.已知抛物线E ：22x py =（0p >）上的一点3,4M M x ⎛⎫⎪⎝⎭到准线的距离为1．（1）求抛物线E 的方程；（2）若正方形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 在抛物线E 上，求这种正方形面积的最小值．【答案】（1）2x y =（2）2【解析】【分析】（1）根据抛物线定义可求解；（2）设出A ，B ，C 点的坐标，BC 的斜率为k ，根据斜率公式可得32x k x =-，121x x k=--，再根据CB AB =，可得()32121k x k k -=+，可求出正方形面积的表达式，利用不等式放缩可求出面积的最小值.【小问1详解】抛物线E 的准线方程为2p y =-，由抛物线上点3,4M M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭到准线的距离为1，结合抛物线的定义得3142p+=，∴12p =，∴抛物线E 的方程为2x y =.【小问2详解】方法一：如图设三个顶点有两个在y 轴的右侧（包括y 轴），设在抛物线2y x =上的三个点A ，B ，C 点的坐标分别为()211,x x ，()222,x x ，()233,x x ，1230x x x <<<，BC 的斜率为k （0k >）．则有()223232x x k x x -=-，()2212121x x x x k-=--，即32x x k +=，121x x k +=-．所以32x k x =-，121x x k=--，①又CB AB =，所以()()()()2222222232321212x x x x x x x x -+-=-+-即()()()()22223232121211x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-++=-++⎣⎦⎣⎦,代入①，得()()222222112121x k k x k k ⎛⎫⎛⎫-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即()22222122kx k x k ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,∵()2212211220x x x x x x k+=-+=->，()222323220x k x x x x x -=-+=-<，0k >，∴()22122k x k x k ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，化简得()332112221k k k x k k k --==++，∴正方形的面积为()()()()()()22232222222221121111k k S AB x k k k k k k k k k +⎛⎫-==-+=-+=⋅+⎪++⎝⎭，∵212k k +≥，∴()22214k k +≥，当且仅当1k =时等号成立，所以()()22221121k k k k +≥++=+，即()221112k k +≥+，∴()()()()()222222222141112211k k S k k k k k k +=⋅+≥⋅+=++.方法二：BC 的斜率为k （0k >），B 点的坐标为()200,x x ，则由()2002y x k x x y x ⎧-=-⎨=⎩，得22000x kx kx x -+-=，∴2000c x x kx x ⋅=-，0c x k x =-，又AB BC =，00122k x x k-=--，即002212x k x k k -=+，∴0022120x k x k k ---=，即021121x k k k ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴30212k x k k-=+，正方形的面积()()()()()322322220222112111kk S AB x k k k k k k k k +⎛⎫-==-+=-+=⎪++⎝⎭，令tan k θ=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()32222222sin 1cos 1sin cos sin cos sin cos sin cos cos S θθθθθθθθθθθ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==+⋅⋅+⎛⎫⋅⎪⎝⎭，设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，(t ∈，则21sin cos 2t θθ-⋅=，()22222214112S t t t t ∴==⎛⎫--⋅ ⎪⎝⎭，∵(t ∈，∴(]21,2t ∈，∴()2221t t -单调递增，()()22224422211S t t =≥=⨯--.方法三：设直线BC ：020cos sin x x t y x t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）代入抛物线2y x =，得()2200sin cos x t x t αα+⋅=+⋅，即()220cos 2cos sin 0t x t ααα+-⋅=，∴02sin 2cos cos B C x t t ααα-+=，0B C t t =，设0B t =，则02sin 2cos cos C x t ααα-=，同理，0022sin 2cos cos 2sin 22sin cos 2A x x t ππααααπαα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，不妨设00x ≥，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵A C t t =，∴0022sin 2cos cos 2sin cos sin x x αααααα-+=，化简得()330sin cos 20sin cos sin cos x αααααα-=≥⋅⋅+，∴,42ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()()33323322sin cos sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos sin sin cos C t αααααααααααααααα--++⋅-+==⋅⋅+()1cos sin sin cos αααα=⋅⋅+，设sin cos m αα=+，则(m ∈，()21sin cos sin cos 2m m αααα-+⋅=⋅，()()222222214114C S t m m m m ===--⋅，∵(m ∈，∴(]21,2m ∈，∴()2221m m -单调递增，。
四川省德阳市继光中学2020-2021学年高二数学理上学期期末试卷含解析
四川省德阳市继光中学2020-2021学年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若集合A={y|y=2x}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，那么A∩B=（）A．（0，3] B．[﹣1，3] C．（3，+∞）D．（0，﹣1）∪（3，+∞）参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】根据指数函数的性质求出函数的值域化简集合A，求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：集合A={y|y=2x}=（0，+∞），B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），∴A∩B=（3，+∞）故选C．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题．2. 已知物体的运动方程是（表示时间，表示位移），则瞬时速度为0的时刻是（）A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒参考答案：D略3. 已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 参考答案：C略4. 曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为（）A. (1,0)B. (1,0)或(－1,－4)C. (2,8)D. (2,8)或(－1,－4)参考答案：B试题分析：设，或，点的坐标为或考点：导数的几何意义5. 用反证法证明命题：“若a，b，c为不全相等的实数，且a+b+c=0，则a，b，c至少有一个负数”，假设原命题不成立的内容是（）A．a，b，c都大于0 B．a，b，c都是非负数C．a，b，c至多两个负数D．a，b，c至多一个负数参考答案：B【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立．【解答】解：“a，b，c中至少有一个负数”的否定为“a，b，c都是非负数”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c都是非负数”，故选：B．【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．6. 函数的单调递增区间是( )A. B. C. D.参考答案：D略7. 甲、乙两人参加歌唱比赛，晋级概率分别为和，且两人是否晋级相互独立，则两人中恰有一人晋级的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D8. 已知球直径SC = 8，A、B是该球面上的两点，AB = 2,ASC =BSC=300,则三棱锥S—ABC的体积为（）A． 3 B．8 C．4 D．参考答案：B9. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于（）．A． B． C． D．参考答案：B10. 函数的导数是：A． B．C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，，且对任意都有：①②给出以下三个结论：（1）；（2）；（3）其中正确结论为参考答案：12. 在△ABC中，已知的值为 ( ）A．－2 B．2 C．±4D．±2参考答案：D13. 若抛物线上一点到其焦点的距离为4．则点的坐标为．参考答案：14. 若，，且函数在处有极值，则的最小值等于________．参考答案：函数的导函数：，由函数的极值可得：，解得：，则：，当且仅当时等号成立，即的最小值等于.15. 若复数z=2+（a+1）i，且|z|＜2，则实数a 的取值范围是．参考答案：（﹣3，1）考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义以及复数的模长公式进行化简即可．解答：解：∵z=2+（a+1）i，且|z|＜2，∴＜2，即4+（a+1）2＜8，即（a+1）2＜4，﹣2＜a+1＜2，解得﹣3＜a＜1，故答案为：（﹣3，1）点评：本题主要考查复数的基本运算和复数的几何意义，比较基础．16. 若n＞0，则的最小值为．参考答案：6【考点】基本不等式．【专题】转化思想；不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵n＞0，则=+≥3=6，当且仅当n=2时取等号．故答案为：6．【点评】本题考查了变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 球的半径扩大为原来的倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.参考答案：解析：三、解答题：本大题共5小题，共72分。