导数的放缩
【高考数学秒杀系列-导数秒杀】专题3 常用的导数放缩技巧(原卷及答案)-高考数学二轮复习
第3讲 常用的导数放缩技巧知识与方法第一组: 对数放缩(放缩成一次函数) ln 1,ln ,ln(1),ln x x x x x x x x -<+<;(放缩成双次函数)1111ln (1),ln (01),ln 1),ln22x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫<->>-<<<>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1)x<<; (放缩成二次函数)22211ln ,ln(1)(10),ln(1)(0)22x x x x x x x x x x x -+--<<+->; (放缩成类反比例函数) 12(1)ln 1,ln(1),ln (01)11x x x x x x x x x --+<<<++. 第二组: 指数放缩 (放缩成一次函数) e1,e ,e e xx x x x x +>;(放缩成类反比例函数) 11e (0),e (0)1xx x x x x <-<-; (放缩成二次函数) 223111e1(0),e 1226xx x x x x x x ++>+++. 第三组: 以直线 1y x =- 为切线的函数121ln ,e 1,,1,ln x y x y y x x y y x x x-==-=-=-=.以上公式较多且繁杂, 我们记住基础的、最常见的即可, 其他可以根据最基础的不等式推导. 常用不等式 11:e 11ln 1xx x x x x+>>--. 常用不等式12:ee ,ln exx x x (非常具有对称美感)证明: e 1xx +构造()e (1)()e 1x x f x x f x =-+'=-(,0)()0()x f x f x ∈-∞'<单调递减(0,)()0()x f x f x ∈+∞'>单调递加 ∴0()(0)e (01)0f x f =-+= ∴e 1xx +证明: 1ln x x - 构造1()1ln ()1f x x xf x x=--'=-(0,1)()0()x f x f x ∈'<单调递减(1,)()0()x f x f x ∈+∞'>单调递加∴()(1)11ln10f x f =--= 1ln x x ∴-证明: 1ln 1x x-构造221111()ln 1()x f x x f x x x x x-⎛⎫=--'=-= ⎪⎝⎭ (0,1)()0()x f x f x ∈'< 单调递减(1,)()0()x f x f x ∈+∞'>单调递加()(1)0(11)0f x f =--=1ln 1x x∴-证明: ee xx构造()e e ()e e xxf x xf x =-'=-(,1)()0()x f x f x ∈-∞'<，，单调递减(1,)()0()x f x f x ∈+∞'>，， 单调递加1()(1)e 0f x f e ∴=-=∴ee xx证明:1ln x x e构造111()ln ()f x x xf x e e x=-'=- (0,)()0()x e f x f x ∈'<单调递减 (,)()0()x e f x f x ∈+∞'>，，单调递加 ∴()()110f x f e =-= 1ln x x e∴ 典型例题【例1】已知函数1()ex f x x =+, 若对于任意的,()x f x ax ∈>R 恒成立, 则实数a 的取值范围是 ( ) A. (,1e]-∞- B. (1,)+∞C. (1e,1]-D. (,1e](1,)-∞-⋃+∞【例2】已知对于任意的1x <, 有不等式ln(1)x ax a -+恒成立, 则实数a 的取值范围？【例3】已知函数()e ln()xf x x m =-+.(1) 设0x =是()f x 的极值点, 求m 并讨论()f x 的单调性; (2) 当2m 时, 证明：()0f x >.【例4】已知函数()e ln 1xf x a x =--.（1）设2x =是()f x 的极值点, 求a 的值,并求()f x 的单调区间; （2）证明: 当1ea时, ()0f x .强化训练1. 已知函数e ()ln exm f x x =-.(1) 设1x =是函数()f x 的极值点, 求m 的值并讨论()f x 的单调性; (2) 当2m 时, 证明: ()0f x >.2. 设函数1e ()e ln x xb f x a x x-=+, 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处得切线方程为e(1)2y x =-+.(1) 求a 、b ; (2) 证明: ()1f x >.第3讲 常用的导数放缩技巧知识与方法第一组: 对数放缩(放缩成一次函数) ln 1,ln ,ln(1),ln x x x x x x x x -<+<;(放缩成双次函数)1111ln (1),ln (01),ln 1),ln22x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫<->>-<<<>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1)x<<; (放缩成二次函数)22211ln ,ln(1)(10),ln(1)(0)22x x x x x x x x x x x -+--<<+->; (放缩成类反比例函数) 12(1)ln 1,ln(1),ln (01)11x x x x x x x x x --+<<<++. 第二组: 指数放缩 (放缩成一次函数) e1,e ,e e xx x x x x +>;(放缩成类反比例函数) 11e (0),e (0)1xx x x x x <-<-; (放缩成二次函数) 223111e1(0),e 1226xx x x x x x x ++>+++. 第三组: 以直线 1y x =- 为切线的函数121ln ,e 1,,1,ln x y x y y x x y y x x x-==-=-=-=.以上公式较多且繁杂, 我们记住基础的、最常见的即可, 其他可以根据最基础的不等式推导. 常用不等式 11:e 11ln 1xx x x x x+>>--. 常用不等式12:ee ,ln exx x x (非常具有对称美感)证明: e 1xx +构造()e (1)()e 1x x f x x f x =-+'=-(,0)()0()x f x f x ∈-∞'<单调递减(0,)()0()x f x f x ∈+∞'>单调递加 ∴0()(0)e (01)0f x f =-+= ∴e 1xx +证明: 1ln x x - 构造1()1ln ()1f x x xf x x=--'=-(0,1)()0()x f x f x ∈'<单调递减(1,)()0()x f x f x ∈+∞'>单调递加∴()(1)11ln10f x f =--= 1ln x x ∴-证明: 1ln 1x x-构造221111()ln 1()x f x x f x x x x x-⎛⎫=--'=-= ⎪⎝⎭ (0,1)()0()x f x f x ∈'< 单调递减(1,)()0()x f x f x ∈+∞'>单调递加()(1)0(11)0f x f =--=1ln 1x x∴-证明: ee xx构造()e e ()e e xxf x xf x =-'=-(,1)()0()x f x f x ∈-∞'<，，单调递减(1,)()0()x f x f x ∈+∞'>，， 单调递加1()(1)e 0f x f e ∴=-=∴ee xx证明:1ln x x e构造111()ln ()f x x xf x e e x=-'=- (0,)()0()x e f x f x ∈'<单调递减 (,)()0()x e f x f x ∈+∞'>，，单调递加 ∴()()110f x f e =-= 1ln x x e∴ 典型例题【例1】已知函数1()ex f x x =+, 若对于任意的,()x f x ax ∈>R 恒成立, 则实数a 的取值范围是 ( ) A. (,1e]-∞- B. (1,)+∞C. (1e,1]-D. (,1e](1,)-∞-⋃+∞【解析】 【解法1】 对任意的x ∈R , 要使()f x ax >恒成立, 可设1()()(1)ex g x f x ax a x =-=+-, 则要 ()0g x >恒成立. 当1a =时, 1()0e xg x =>恒成立, 故满足题意; 当1a ≠时, ()1g x a '=-- e x -;若1a >, 则()0g x '<恒成立, ()g x 单调递减, 当x 趋近于正无穷时, ()g x 趋近于负无穷, 不满足题意; 若1a <, 由于()0g x '=, 解得ln(1)x a =--, 所以()g x 在(,ln(1))a -∞--上单调递减,在(ln(1),)a --+∞上单调递增, ()g x 在ln(1)x a =--处取得极小值即最小值, 要使()0g x >恒成立, 即 (ln(1))0g a -->恒成立, 解得此时1e a >-. 综上所述, a 的取值范围是(1e,1]-. 【解法2】 函数1()e x f x x =+, 即1(1)e x a x >-恒成立, 设函数1()e xg x =, 同时令不等式右边为h ()(1)x a x =-, 如图所示:由于e x存在过原点的切线e y x =, 故此时该切线为e y x =-, 故e 10a -<-, 则1e 1a -<.【答案】C.【例2】已知对于任意的1x <, 有不等式ln(1)x ax a -+恒成立, 则实数a 的取值范围？ 【解析】【解法1】 由于要对于任意的1x <有ln(1)x ax a -+恒成立, 即ln(1)(1)x a x --, 由于x <1时, 10x ->, 故只需ln(1)1x a x --, 令ln(1)()(1)1x g x x x-=<-, 令1t x =-,即此时0t >,即ln ()(0)t g t t t =>, 此时221ln 1ln ()(0)t t tt g t t t t⋅--'==>. 当0e t <<时, 函数()0g t '>, 此时函数 ()g t 单调递增; 当e t >时, 函数 ()0g t '<, 此时函数()g t 单调递减,故函数()g t 在e t =时取得极 大值, 即最大值, 故函数1()(e)eg t g =, 即此时得到1()e ag t , 故实数a 的取值范围为1e⎡⎢⎣, )+∞. 【解法2】 若保证ln(1)x ax a -+恒成立, 即保证ln(1)(1)x a x ---恒成立, 此时令1t =-x , 即ln (0)t at t >恒成立, 由基本不等式, 1ln e xx , 故得到1,e a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【答案】1e⎡⎢⎣, )+∞.【例3】已知函数()e ln()xf x x m =-+.(1) 设0x =是()f x 的极值点, 求m 并讨论()f x 的单调性; (2) 当2m 时, 证明：()0f x >. 【解析】(1) ∵1()e ,0xf x x x m '=-=+ 是 ()f x 的极值点, ∴1(0)10f m'=-=, 解得1m =.所以函数()e ln(1)xf x x =-+, 其定义域为1e (1)1(1,).()e 11x xx f x x x +--+∞'=-=++.设()g x = e (1)1x x +-, 则()e (1)e 0x xg x x '=++>, 所以()g x 在(1,)-+∞上为增函数, 又∵(0)0g =, 所以当0x >时, ()0g x >, 即()0f x '>; 当10x -<< 时,()0,()0g x f x <'<.所以()f x 在(1,0)-上为减函数; 在(0,)+∞上为增函数.(2)证明: 【解法1】当2,(,)m x m ∈-+∞时, ln()ln(2)x m x ++, 故只需证明当2m =时()0f x >. 当2m =时, 函数1()e 2x f x x '=-+在(2,)-+∞上为增函数, 且(1)0,(0)f f '-<'0>.故()0f x '=在(2,)-+∞上有唯一实数根0x , 且0(1,0)x ∈-. 当()02,x x ∈-时,()f x '0<,当()0,x x ∈+∞时, ()0f x '>, 从而当0x x =时, ()f x 取得最小值. 由 ()00f x '=,得0e x=()0001,ln 22x x x +=-+. 故()()2000011()022x f x f x x x x +=+=>++. 综上, 当2m 时, ()f x 0>.【解法2】当 2,(,)m x m ∈-+∞ 时, ln()ln(2)x m x ++, 故只需证明当2,()0m f x =>. 即证 明 e ln(2)0x x -+>, 由于 e 1x x +, 即证明 1ln(2)x x ++,显然成立.【例4】已知函数()e ln 1xf x a x =--.（1）设2x =是()f x 的极值点, 求a 的值,并求()f x 的单调区间; （2）证明: 当1ea时, ()0f x . 【解析】 (1) ∵函数1()e ln 1.0,()e ,2xxf x a x x f x a x x=--∴>'=-= 是()f x 的极值点, ∴(2)f '=21e 02a -=, 解得 2221111,()e ln 1,()e 2e 2e 2e x x a f x x f x x=∴=--∴'=-,当02x <<时, ()f x ' 0<; 当2x > 时, ()0.()f x f x '>∴在(0,2)上单调递减, 在(2,)+∞上单调递增.（2）证明: 【解法1】 当1e a 时, e ()ln 1e x f x x --, 设e ()ln 1e x g x x =--, 则e 1()e x g x x '=-, 由 e 1()0e x g x x'=-=, 得 1x =, 当01x <<时,()0g x '<, 当1x >时,()0,1g x x '>∴=是()g x 的最小值点, 故当0x >时, ()(1)0,g x g =∴当1ea 时, ()0f x .【解法2】当1ea 时, e ()ln 10e x f x x --, 由于e e x x 或者1e x x -, 所以证明ln 10x x --即可, 显然成立.强化训练1. 已知函数e ()ln exm f x x =-.(1) 设1x =是函数()f x 的极值点, 求m 的值并讨论()f x 的单调性; (2) 当2m 时, 证明: ()0f x >.【解析】 (1) e 1(),(0),1e x m f x x x x '=->=是函数()f x 的极值点, 即e10em -=, 所以1m =.于是函数e ()ex m f x = 数e e 1ln ln ,()e e x x x x f x x =-'=-, 由()0f x '=, 可得1x =, 因此，当(0,1)x ∈时, ()0f x '<; 当(1x ∈, )+∞时, ()0f x '>, 所以, 函数()f x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增.(2) 证明: 当2m 时, 对于任意(0,),e 1xx x ∈+∞>+恒成立, 又(0,),ln x x x ∈+∞>恒成立, 2x ≠时, 22e e 1ln ,2e x x x x x -=>-=时, 2e 1ln e x x x =->, 原式得证, 即()0f x >.2. 设函数1e ()e ln x xb f x a x x-=+, 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处得切线方程为e(1)2y x =-+.(1) 求a 、b ;(2) 证明: ()1f x >.【解析】(1)函数()f x 的定义域为112(0,),()e ln e e e x x x x a b b f x a x x x x --+∞'=+-+, 由题意可得(1)2,(1)e f f ='=, 故 1,2a b ==;(2)证明:由(1)知,12()e ln e ,x x f x x x -=+若()1f x >, 有12e ln e 1x x x x -+>, 即12ln ,()e e x x f x x >-∴ 1>等价于2ln e ex x x x ->-, 设函数()ln g x x x =, 则()1ln ,g x x '=+∴ 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0g x '<; 当x 1,e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, ()0g x '>. 故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增, 从而()g x 在 (0,)+∞上的最小值为11e e g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设函数2()e ex h x x -=-, 则()e (1)x h x x -'=-. 当 (0,1)x ∈ 时, ()0h x '>; 当(1,)x ∈+∞时, ()0h x '<, 故()h x 在(0,1)上单调递增, 在(1,)+∞上单调递减, 从而h ()x 在(0,)+∞上的最大值为1(1)eh =-. 综上, 当0x >时,()()g x h x >, 即()1f x >.。
高考导数解答题中常见的放缩大法完整版.doc
(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。
例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e xln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
导数大题中最常用的放缩大法
导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。
例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
(完整版)高考导数解答题中常见的放缩大法
(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴，变形即为sin1xx<，其几何意义为sin,(0,)y x xπ=∈上的的点sin,(0,)x x xπ<∈与原点连线斜率小于1.⑵1xe x>+⑶ln(1)x x>+⑷ln,0xx x e x<<>.将这些不等式简单变形如下：那么很多问题将迎刃而解。
exxexexexxxxx1ln,,1,1ln11-≥≥+≥-≤≤-例析：（2018年广州一模）恒成立，xexxfxxaxxf2)(,0,1ln)(⋅≤>++=若对任意的设求a的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥xe x2)1(ln1ln2)1(ln)1(ln1ln ln22=+-++≥+-=+-=+-+xxxxxxexxxexxexxxx高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数），，ln1x x≤-ln x x<()ln1x x+≤（放缩成双撇函数），，()11ln12x x xx⎛⎫<->⎪⎝⎭()11ln012x x xx⎛⎫>-<<⎪⎝⎭，，)ln1x x<>)ln01x x><<（放缩成二次函数），，2ln x x x≤-()()21ln1102x x x x+≤--<<()()21ln102x x x x+≥->（放缩成类反比例函数），，1ln1xx≥-()()21ln11xx xx->>+，()()21ln011xx xx-<<<+，，()ln 11x x x +≥+()()2ln 101x x x x +>>+()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数），，，1x e x ≥+x e x >x e ex ≥（放缩成类反比例函数），，()101x e x x ≤≤-()10x e x x <-<（放缩成二次函数），，()21102x e x x x ≥++>2311126x e x x x ≥+++第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩，，. ()sin tan 0x x x x <<>21sin 2x x x ≥-22111cos 1sin 22x x x -≤≤-第五组：以直线为切线的函数1y x =-，，，，.ln y x =11x y e -=-2y x x =-11y x =-ln y x x =拓展阅读：为何高考中总是考因为高考命题专家是大学老师，这些超越函数呢？和x e xln 他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
导数大题放缩法题目
导数大题放缩法题目当涉及到导数的放缩法题目时，通常是要求通过放缩法来确定一个函数的导数的范围或者找到一个函数的最大值或最小值。
下面我将从不同的角度给出一些相关的问题和解答。
1. 问题，如何利用放缩法确定一个函数的导数的范围？回答，要确定一个函数的导数的范围，可以采用放缩法来进行推导。
首先，找到函数的极值点和导数不存在的点，然后根据这些点的性质来确定导数的范围。
具体步骤包括，求导，找到导函数的零点，求导函数的符号变化区间，以及考虑导数不存在的点。
通过这些步骤，可以得到导数的范围。
2. 问题，如何利用放缩法找到一个函数的最大值或最小值？回答，要找到一个函数的最大值或最小值，可以利用放缩法来进行求解。
首先，找到函数的极值点和导数不存在的点，然后根据这些点的性质来确定函数的最大值或最小值。
具体步骤包括，求导，找到导函数的零点，求导函数的符号变化区间，以及考虑导数不存在的点。
通过这些步骤，可以确定函数的最大值或最小值。
3. 问题，放缩法在求解导数范围和最值时有什么注意事项？回答：在使用放缩法求解导数范围和最值时，需要注意以下几点：对于导函数的零点，要找到所有的零点，并判断其性质（极大值点或极小值点）。
对于导函数的符号变化区间，要确定函数在这些区间内的斜率的正负情况，从而判断函数的增减性。
对于导数不存在的点，要单独考虑这些点对函数的影响，可能是函数的极值点或者不可导点。
在进行放缩时，要注意不要漏掉任何可能的情况，尤其是边界点和特殊点。
通过以上的问题和解答，我们可以初步了解到在求解导数的放缩法题目时，需要注意对函数的极值点、导数不存在的点以及导函数的符号变化区间进行分析，并综合考虑这些因素来确定导数的范围或者找到函数的最大值或最小值。
这样的综合分析能够帮助我们更全面地理解和解决这类问题。
(完整word版)高考导数解答题中常见的放缩大法
(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.将这些不等式简单变形如下： exx ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。
例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。
放缩法：由可得：1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。
第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =. 拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。
导数 三角放缩
导数三角放缩
我们要证明一个关于三角函数的放缩不等式，具体来说，我们要证明：
当0 < x < π/2时，有sin x < x < tan x。
首先，我们需要理解导数在数学分析中的作用。
导数描述了一个函数在某一点的切线的斜率，也描述了函数值随自变量变化的速率。
对于函数f(x)，其导数f'(x)描述了f(x)在x点的切线斜率。
如果f'(x) > 0，那么函数在该区间内是增函数；如果f'(x) < 0，那么函数在该区间内是减函数。
现在，我们来分析题目中的三个函数：sin x, x 和tan x。
1. 对于sin x，其导数为cos x。
在0 < x < π/2的区间内，cos x < 1，所以sin x是增函数。
2. 对于x，其导数始终为1，所以在任何区间内都是增函数。
3. 对于tan x，其导数为sec^2 x = 1 + tan^2 x。
在0 < x < π/2的区间内，tan x > 0，所以sec^2 x > 1，tan x是增函数。
由于这三个函数在0 < x < π/2的区间内都是增函数，且tan x
和x在该区间内始终大于sin x，所以有sin x < x < tan x。
初中数学导数放缩法教案
初中数学导数放缩法教案教学目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 学会使用导数放缩法解决问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 导数的概念和意义；2. 导数放缩法的应用。
教学难点：1. 导数放缩法的理解和运用。
教学准备：1. 导数的定义和性质；2. 放缩法的概念和原理。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾初中数学中已经学过的极限、导数等基础知识；2. 提问：同学们，你们知道什么是导数吗？导数有什么作用呢？二、导数的概念和意义（10分钟）1. 讲解导数的定义：导数是函数在某一点的瞬时变化率，表示函数在某一点的斜率；2. 解释导数的意义：导数可以描述函数的增减性、极值等性质，是研究函数变化的重要工具。
三、导数放缩法的原理（15分钟）1. 讲解放缩法的概念：放缩法是一种利用导数性质证明不等式或解决问题的方法；2. 解释放缩法的原理：通过放缩不等式，利用导数的单调性、符号等性质，推导出所要证明的不等式。
四、导数放缩法的应用（10分钟）1. 举例讲解导数放缩法在解决函数不等式中的应用：如证明函数的单调性、求函数的值域等；2. 让学生尝试解决一些简单的导数放缩问题，巩固所学知识。
五、课堂练习（10分钟）1. 布置一些有关导数放缩法的练习题，让学生独立完成；2. 对学生的练习进行讲解和指导，解答学生的问题。
六、总结和反思（5分钟）1. 让学生总结本节课所学的内容，巩固导数放缩法的理解和应用；2. 教师进行教学反思，看学生对导数放缩法的掌握情况，为下一步的教学做好准备。
教学延伸：1. 引导学生进一步学习高等数学中的导数放缩法，提高学生的数学素养；2. 让学生参加一些数学竞赛或研究活动，提高学生的解决问题的能力。
教学反思：本节课通过讲解导数的概念和意义，让学生理解导数的重要性；通过讲解导数放缩法的原理和应用，让学生掌握导数放缩法的方法和技巧。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
高中数学 导数中同构与放缩的应用(学生版).docx
[例1](1)已知1()ln x f x x x x +=+-ｅ，则函数()f x 的最大值为________．(2)函数ln 1()x x f x x+=-ｅ的最小值是________．(3)函数22ln ()1x x x f x x -=+ｅ的最小值是________．[例2](1)不等式ln 10x xax x ---≥ｅ恒成立，则实数a 的最大值是________．(2)不等式(ln 1)0x x a x x -++≥ｅ恒成立，则正数a 的取值范围是________．(3)不等式(ln )0x xa x x -+≥ｅ恒成立，则正数a 的取值范围是________．(4)已知函数()ln 1(1)bx f x x a x x x =--->ｅ，其中b ＞0，若()0f x ≥恒成立，则实数a 与b 的大小关系是________．(5)已知函数()ln 1x f x ax =--ｅ，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．(6)已知不等式1ln x kx x -≥+ｅ，对任意的正数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________．(7)已知不等式ln 10ax ax xx -+--≥ｅ，对任意的正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．(8)已知函数()(ln )x f x xa x x =-+ｅ有两个零点，则实数a 的取值范围是________．[例3](2020届太原二模)已知函数()ln 1f x x ax =++.(1)若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)若()e x f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．=++-ｅ的最大值是________．4．已知不等式(1)ln x x a x x -+≥ｅ，对任意正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．5．已知函数()(ln 1)x f x xa x x =+-++ｅｅ，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．6．已知函数2()ln 1x f x ax =--ｅ，若()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．7．已知a ，b 分别满足23e e , (ln 1)e a a b b =-=，则ab ＝________．8．已知x 0是函数22()e ln 2x f x x x -=+-的零点，则020e ln x x -+=________．考点二整体同构携手脱衣法【方法总结】在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若F (x )≥0能等价变形为f [g (x )]≥f [h (x )]，然后利用f (x )的单调性，如递增，再转化为g (x )≥h (x )，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法．1．地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）如，322222ln ln ln ln mm m m xx x x x x me x x x x e x ≥⇔≥⇔≥ｅ，后面的转化同(1)说明；在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知．(2)商型：ln e e e () ln e e ()ln ln e ln ln ln ln ln(ln )()ln a b x a a a f x a b x b b x f x a b b x a a b b f x x x ⎧<−−−−→=⎪⎪⎪<−−−−−→<−−−−→=⎨⎪⎪-<-−−−−→=-⎪⎩构造函数三种同构方式构造函数构造函数同左 同右 取对 (3)和差：ln e e ln ()e e ln e ln e ln ()ln a b x a a a a b f x x a b b b b f x x x ⎧±>±−−−−→=±⎪±>±−−−−−→⎨±>±−−−−→=±⎪⎩构造函数两种同构方式构造函数同左 同右 如；ln(1)ln(1)1ln(1)ln(1)ax ax x ax x x ax x ax x ++>+++⇔+>++⇔>+ｅｅｅ．3．无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）(1)e ln e ln 21ax x ax a x ax x x >−−−−−→>同乘(无中生有) ，后面的转化同()；(2)ln ln 1e ln()e ln (1)1e ln ln(1)1e +ln x x x a x x a a ax a a a x a x x a a-->--⇔>--⇔->--−−−−−→->同加(无中生有) ln(1)ln(1)1ln(1)ln ln(1)x x x x x a x --+-=-⇔->-ｅ＋；(3)ln ln ln log e ln e ln 21ln x x a x a a x a x x a x x a>⇔>⇔> ()，后面的转化同()．【例题选讲】[例4](1)若1201x x <<<，则A ．2121e e ln ln x x x x ->-B ．2121e e ln ln x x x x -<-C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x x x x <(2)若120x x a <<<，都有211212ln ln x x x x x x -≤-成立，则a 的最大值为()A ．2１B ．1C ．eD ．2e(3)已知2()ln(1)f x a x x =+-，在区间(1, 2)内任取两实数p ，q ，且p ≠q ，不等式(1)(1)1f p f q p q+-+<-恒成立，则实数a 的取值范围为________．[例5]对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数(1)2log 20kx x k -⋅≥(2)2ln 0mxx x m -≥ｅ(3)1(1)2()ln ax a x x x+≥+ｅ(4)ln (1)x a x a x x x -++≥>ｅ(5)2ln 0x x x +=ｅ[例6](1)已知不等式log (0, 1)x a a x a a >>≠，对任意正数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数()ln(1)33f x m x x =+--，若不等式()3e x f x mx >-在(0, )+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．03m ≤≤B ．3m ≥C ．3m ≤D ．0m ≤(3)对任意0x >，不等式22e ln ln 0x a x a -+≥恒成立，则实数a 的最小值为________．(4)已知函数()ln()(0)x f x a ax a a a =--->ｅ，若关于x 的不等式()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．2(0, e ]B ．2(0, e )C ．2[1, e ]D ．2(1, e ](5)对任意0x >，不等式1(e 1)2(ax a x x x+≥+恒成立，则实数a 的最小值为________．(6)已知不等式1ln e a x x a x x ++≥对任意的(1, )x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为()A ．B ．e2-C ．e -D ．2e -[例7]已知函数ln(1)()x f x x+=.(1)判断()f x 在(0, )+∞上的单调性；(2)若0x >，证明：2(e 1)ln(1)x x x -+>．[例8](2020·新高考Ⅰ)已知函数f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ．(1)当a ＝e 时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f (x )≥1，求a 的取值范围．3．对不等式20x λλ-≥ｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．4．对方程2ln 0x x x ---=ｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．5．对不等式ln(1)2(1)2x a x x ax -+-≥+ｅ进行同构变形，并写出相应的一个同构函数．=-+>ｅ，若关于x 的不等式()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围是________．8．已知对任意0x >，不等式1(e 1)(10kx k x x+-+>恒成立，则实数k 的取值范围为________．9．已知0a <，不等式1ln 0a x x a x ++≥ｅ，对任意的实数1x >恒成立，则实数a 的最小值是()A ．12e-B ．1e -C ．e -D ．2e -10．已知函数13()2ln ()m x f x x x m x -=--ｅ，当e x ≥时，()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围为()。
(完整版)导数大题精析1——放缩思想在高考函数中的应用
放缩思想在高考数学中的应用高中阶段,在数列那一章节的学习中，我们曾接触过放缩思想。
其实在高考函数中，尤其是导数大题中，放缩思想起着举足轻重的作用。
例如,让我们证明x^2-2x+1≥0，这个题目对大家来说根本算不上问题。
但是如果让我们证明x^2—3x+e^x ≥0。
这个式子我们看起来非常陌生，我们对e^x 并不熟悉，我们不喜欢e^x 或者lnx,因此,我们可以把他们转化为x 的形式。
这道题目，我们可以先证明e^x ≥x+1，这里构造辅助函数f(x ）=e^x-x-1即可证明,证明后,我们可以得到x^2—3x+e^x ≥x^2—2x+1≥0当x=1时两等号成立。
在此,我给出以下4个常考的辅助函数供大家参考。
① e^x ≥x+1当x=0时等号成立② lnx ≤x —1当x=1时等号成立③ sinx ≤x 当x=0时等号成立④ cosx ≤x+1当x=0时等号成立接下来我们不妨来试一道高考题，2012年山东高考压轴题。
22（本小题满分13分）已知函数f(x) = x ek x +ln （k 为常数，e=2。
71828……是自然对数的底数)，曲线y= f(x ）在点(1,f （1）)处的切线与x 轴平行。
（Ⅰ)求k 的值；（Ⅱ）求f(x)的单调区间；（Ⅲ）设g （x ）=（x 2+x ） '()f x ，其中'()f x 为f （x ）的导函数，证明：对任意x ＞0,21)(-+<e x g .上面本题的标准答案，前两问在此不做解释。
在第三问中,我们可以看出关键步骤就是把g（x）分成1+x/e^x和1-x-xlnx两部分,但是我们如何想到这一步呢？为什么他要把函数分成这两部分呢?看完上面的文章,我想各位读者已经有了初步的思考，下面，让我们再重新看一遍第三问。
g(x)= （1-x-xlnx)（x+1)/e^x看到这个函数，我们的第一反应应该是:这个函数不好做,e^x和lnx太烦了，我们把它放缩一下.把lnx换成x-1，把e^x换成x+1。
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导数的放缩
导数是微积分中的重要概念，在数学和物理学等领域中都有广泛的应用。
在导数的放缩中，主要有以下几种方法：
- 整体放缩和部分放缩：放缩可以是针对整体函数，也可以是针对函数的一部分。
- 精确放缩和不精确放缩：放缩的精度可以是精确的，也可以是近似的。
- 利用有界性放缩：根据函数在给定定义域范围下的取值范围进行放缩。
- 切线放缩：本质上是泰勒不等式展开形式的应用。
- 恒成立放缩：将函数放缩成一个常数。
在选择放缩方法时，需要根据具体问题的特点和需求来确定。
选择合适的放缩方法可以帮助我们简化问题，更有效地解决问题。